Σε διατομές ξυλείας. Εύρεση επικίνδυνου τμήματος
Η διαμήκης δύναμη N που προκύπτει στη διατομή της δοκού είναι το αποτέλεσμα των εσωτερικών κανονικών δυνάμεων που κατανέμονται στην περιοχή της διατομής και σχετίζεται με τις κανονικές τάσεις που προκύπτουν σε αυτό το τμήμα με εξάρτηση (4.1):
εδώ είναι η κανονική τάση σε ένα αυθαίρετο σημείο διατομής που ανήκει σε μια στοιχειώδη περιοχή - την περιοχή διατομής της δοκού.
Το γινόμενο αντιπροσωπεύει τη στοιχειώδη εσωτερική δύναμη ανά περιοχή dF.
Το μέγεθος της διαμήκους δύναμης N σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση μπορεί εύκολα να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο τομής, όπως φαίνεται στην προηγούμενη παράγραφο. Για να βρείτε τις τιμές των τάσεων a σε κάθε σημείο της διατομής της δοκού, πρέπει να γνωρίζετε τον νόμο της κατανομής τους σε αυτό το τμήμα.
Νόμος της διανομής φυσιολογικό στρεςστη διατομή μιας δοκού συνήθως απεικονίζεται με ένα γράφημα που δείχνει τη μεταβολή τους στο ύψος ή το πλάτος της διατομής. Ένα τέτοιο γράφημα ονομάζεται διάγραμμα κανονικής τάσης (διάγραμμα α).
Η έκφραση (1.2) μπορεί να ικανοποιηθεί για έναν απείρως μεγάλο αριθμό τύπων διαγραμμάτων τάσης a (για παράδειγμα, με τα διαγράμματα a που φαίνονται στο Σχ. 4.2). Επομένως, για να αποσαφηνιστεί ο νόμος κατανομής των κανονικών τάσεων σε διατομέςξυλεία είναι απαραίτητο να διεξαχθεί ένα πείραμα.
Ας χαράξουμε γραμμές στην πλαϊνή επιφάνεια της δοκού, πριν τη φόρτωση, κάθετες στον άξονα της δοκού (Εικ. 5.2). Κάθε τέτοια γραμμή μπορεί να θεωρηθεί ως ίχνος του επιπέδου διατομής της δοκού. Όταν η δοκός φορτώνεται με αξονική δύναμη P, αυτές οι γραμμές, όπως δείχνει η εμπειρία, παραμένουν ευθείες και παράλληλες μεταξύ τους (οι θέσεις τους μετά τη φόρτωση της δοκού φαίνονται στο Σχ. 5.2 με διακεκομμένες γραμμές). Αυτό μας επιτρέπει να υποθέσουμε ότι οι διατομές της δοκού, επίπεδες πριν φορτωθεί, παραμένουν επίπεδες υπό τη δράση του φορτίου. Αυτή η εμπειρία επιβεβαιώνει την υπόθεση των επίπεδων τομών (υπόθεση Bernoulli), που διατυπώθηκε στο τέλος της § 6.1.
Ας φανταστούμε μια δέσμη που αποτελείται από αμέτρητες ίνες παράλληλες στον άξονά της.
Όταν μια δοκός τεντώνεται, οποιεσδήποτε δύο διατομές παραμένουν επίπεδες και παράλληλες μεταξύ τους, αλλά απομακρύνονται η μία από την άλλη κατά ένα ορισμένο ποσό. Κάθε ίνα επιμηκύνεται κατά την ίδια ποσότητα. Και δεδομένου ότι οι ίδιες επιμηκύσεις αντιστοιχούν στις ίδιες τάσεις, οι τάσεις στις διατομές όλων των ινών (και, κατά συνέπεια, σε όλα τα σημεία της διατομής της δοκού) είναι ίσες μεταξύ τους.
Αυτό μας επιτρέπει να αφαιρέσουμε την τιμή a από το ενσωματωμένο πρόσημο στην έκφραση (1.2). Ετσι,
Έτσι, στις διατομές της δοκού, κατά την κεντρική τάση ή συμπίεση, προκύπτουν ομοιόμορφα κατανεμημένες κανονικές τάσεις, ίσες με τον λόγο της διαμήκους δύναμης προς το εμβαδόν της διατομής.
Εάν υπάρχει εξασθένηση ορισμένων τμημάτων της δοκού (για παράδειγμα, από οπές για πριτσίνια), κατά τον προσδιορισμό των τάσεων σε αυτά τα τμήματα, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη η πραγματική επιφάνεια του εξασθενημένου τμήματος ίση με τη συνολική επιφάνεια που μειώνεται κατά το τιμή της περιοχής αποδυνάμωσης
Για οπτική εικόνααλλαγές στις κανονικές τάσεις στις διατομές της ράβδου (κατά το μήκος της), κατασκευάζεται ένα διάγραμμα κανονικών τάσεων. Ο άξονας αυτού του διαγράμματος είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ίσο με το μήκος της ράβδου και παράλληλο με τον άξονά της. Με μια ράβδο σταθερής διατομής, το διάγραμμα των κανονικών τάσεων έχει την ίδια μορφή με το διάγραμμα των διαμήκων δυνάμεων (διαφέρει από αυτό μόνο στην αποδεκτή κλίμακα). Με μια ράβδο μεταβλητής διατομής, η εμφάνιση αυτών των δύο διαγραμμάτων είναι διαφορετική. Ειδικότερα, για μια ράβδο με σταδιακό νόμο μεταβολής των διατομών, το διάγραμμα κανονικής τάσης έχει άλματα όχι μόνο σε τομές στις οποίες εφαρμόζονται συγκεντρωμένα αξονικά φορτία (όπου το διάγραμμα διαμήκους δύναμης έχει άλματα), αλλά και σε σημεία όπου οι διαστάσεις των διατομών αλλάζουν. Η κατασκευή ενός διαγράμματος κατανομής των κανονικών τάσεων κατά το μήκος της ράβδου εξετάζεται στο παράδειγμα 1.2.
Ας εξετάσουμε τώρα τις τάσεις στα κεκλιμένα τμήματα της δοκού.
Ας υποδηλώσουμε a τη γωνία μεταξύ της κεκλιμένης τομής και της διατομής (Εικ. 6.2, α). Θα συμφωνήσουμε να θεωρήσουμε τη γωνία α θετική όταν η διατομή πρέπει να περιστραφεί αριστερόστροφα κατά αυτή τη γωνία για να ευθυγραμμιστεί με το κεκλιμένο τμήμα.
Όπως είναι ήδη γνωστό, οι επιμηκύσεις όλων των ινών που είναι παράλληλες προς τον άξονα της δοκού όταν αυτή τεντώνεται ή συμπιέζεται είναι ίδιες. Αυτό μας επιτρέπει να υποθέσουμε ότι οι τάσεις p σε όλα τα σημεία της κεκλιμένης (καθώς και της διατομής) είναι ίδιες.
Ας σκεφτούμε κάτω μέροςξυλεία, κομμένη ανά τομή (Εικ. 6.2, β). Από τις συνθήκες ισορροπίας της προκύπτει ότι οι τάσεις είναι παράλληλες με τον άξονα της δοκού και κατευθύνονται προς την αντίθετη κατεύθυνση από τη δύναμη P, και η εσωτερική δύναμη που ενεργεί στο τμήμα είναι ίση με P. Εδώ, το εμβαδόν το κεκλιμένο τμήμα είναι ίσο με (όπου είναι το εμβαδόν διατομής της δοκού).
Ως εκ τούτου,
όπου είναι οι κανονικές τάσεις στις διατομές της δοκού.
Ας αποσυνθέσουμε την τάση σε δύο συνιστώσες τάσης: κανονική, κάθετη στο επίπεδο τομής και εφαπτομένη, παράλληλη σε αυτό το επίπεδο (Εικ. 6.2, γ).
Λαμβάνουμε τις τιμές των και από τις εκφράσεις
Η κανονική καταπόνηση θεωρείται συνήθως θετική σε τάση και αρνητική στη συμπίεση. Η εφαπτομενική τάση είναι θετική εάν το διάνυσμα που την αντιπροσωπεύει τείνει να περιστρέφει το σώμα γύρω από οποιοδήποτε σημείο C που βρίσκεται στην εσωτερική κανονική προς την τομή, δεξιόστροφα. Στο Σχ. Το 6.2, c δείχνει τη θετική διατμητική τάση ta, και στο Σχ. 6,2, g - αρνητικό.
Από τον τύπο (6.2) προκύπτει ότι οι κανονικές τάσεις έχουν τιμές από (στο μηδέν (στο α). Έτσι, οι μεγαλύτερες (σε απόλυτη τιμή) κανονικές τάσεις προκύπτουν στις διατομές της δοκού. Επομένως, η αντοχή ενός Η εφελκυστική ή συμπιεσμένη δοκός υπολογίζεται χρησιμοποιώντας κανονικές τάσεις στις διατομές της.
Υπολογισμός ξυλείας με στρογγυλή διατομή για αντοχή και στρεπτική ακαμψία
Υπολογισμός ξυλείας με στρογγυλή διατομή για αντοχή και στρεπτική ακαμψία
Ο σκοπός των υπολογισμών για την αντοχή και τη στρεπτική ακαμψία είναι να προσδιοριστούν οι διαστάσεις της διατομής της δοκού στις οποίες οι τάσεις και οι μετατοπίσεις δεν θα υπερβαίνουν τις καθορισμένες τιμές που επιτρέπονται από τις συνθήκες λειτουργίας. Η συνθήκη αντοχής για τις επιτρεπόμενες εφαπτομενικές τάσεις γράφεται γενικά με τη μορφή Αυτή η συνθήκη σημαίνει ότι οι υψηλότερες διατμητικές τάσεις που προκύπτουν σε μια στριμμένη δοκό δεν πρέπει να υπερβαίνουν τις αντίστοιχες επιτρεπόμενες τάσεις για το υλικό. Η επιτρεπόμενη τάση κατά τη στρέψη εξαρτάται από το 0 ─ την τάση που αντιστοιχεί στην επικίνδυνη κατάσταση του υλικού και τον αποδεκτό συντελεστή ασφαλείας n: ─ αντοχή διαρροής, n - συντελεστής ασφάλειας για πλαστικό υλικό. ─ αντοχή σε εφελκυσμό, nв - συντελεστής ασφάλειας για εύθραυστο υλικό. Λόγω του γεγονότος ότι είναι πιο δύσκολο να ληφθούν τιμές σε πειράματα στρέψης παρά στην τάση (συμπίεση), τότε, τις περισσότερες φορές, λαμβάνονται οι επιτρεπόμενες τάσεις στρέψης ανάλογα με τις επιτρεπόμενες τάσεις εφελκυσμού για το ίδιο υλικό. Έτσι για χάλυβα [για χυτοσίδηρο. Κατά τον υπολογισμό της αντοχής των στριμμένων δοκών, είναι δυνατοί τρεις τύποι προβλημάτων, που διαφέρουν ως προς τη χρήση συνθηκών αντοχής: 1) έλεγχος τάσεων (υπολογισμός δοκιμής). 2) επιλογή τμήματος (υπολογισμός σχεδιασμού). 3) προσδιορισμός του επιτρεπόμενου φορτίου. 1. Κατά τον έλεγχο των τάσεων για δεδομένα φορτία και διαστάσεις της δοκού, προσδιορίζονται οι μεγαλύτερες εφαπτομενικές τάσεις που εμφανίζονται σε αυτήν και συγκρίνονται με αυτές που καθορίζονται σύμφωνα με τον τύπο (2.16). Εάν δεν πληρούται η προϋπόθεση αντοχής, τότε είναι απαραίτητο είτε να αυξηθούν οι διαστάσεις της διατομής είτε να μειωθεί το φορτίο που ασκείται στη δοκό ή να χρησιμοποιηθεί υλικό υψηλότερης αντοχής. 2. Κατά την επιλογή μιας διατομής για δεδομένο φορτίο και δεδομένη τιμή επιτρεπόμενης τάσης, από την συνθήκη αντοχής (2.16), προσδιορίζεται η τιμή της πολικής ροπής αντίστασης της διατομής της δοκού Οι διάμετροι του συμπαγούς στρογγυλού ή το δακτυλιοειδές τμήμα της δοκού καθορίζονται από την τιμή της πολικής ροπής αντίστασης. 3. Κατά τον προσδιορισμό του επιτρεπόμενου φορτίου από μια δεδομένη επιτρεπόμενη τάση και πολική ροπή αντίστασης WP, με βάση το (3.16), προσδιορίζεται πρώτα η τιμή της επιτρεπόμενης ροπής MK και στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας ένα διάγραμμα ροπής, δημιουργείται μια σύνδεση μεταξύ K M και εξωτερικές στιγμές συστροφής. Ο υπολογισμός της ξυλείας για αντοχή δεν αποκλείει την πιθανότητα παραμορφώσεων που είναι απαράδεκτες κατά τη λειτουργία της. Οι μεγάλες γωνίες συστροφής της δοκού είναι πολύ επικίνδυνες, καθώς μπορεί να οδηγήσουν σε παραβίαση της ακρίβειας των εξαρτημάτων επεξεργασίας εάν αυτή η δοκός είναι δομικό στοιχείο μιας μηχανής επεξεργασίας ή μπορεί να προκύψουν στρεπτικές δονήσεις εάν η δοκός μεταδίδει στρεπτικές ροπές που ποικίλλουν σε χρόνο, επομένως η δέσμη πρέπει να υπολογιστεί και στην ακαμψία της. Η συνθήκη ακαμψίας γράφεται με την ακόλουθη μορφή: όπου ─ η μεγαλύτερη σχετική γωνία συστροφής της δοκού, που προσδιορίζεται από την έκφραση (2.10) ή (2.11). Τότε η συνθήκη ακαμψίας για τον άξονα θα πάρει τη μορφή. Η τιμή της επιτρεπόμενης σχετικής γωνίας συστροφής καθορίζεται από τα πρότυπα για διάφορα δομικά στοιχεία και ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙΤα φορτία ποικίλλουν από 0,15° έως 2° ανά 1 m μήκους ξυλείας. Τόσο στην κατάσταση αντοχής όσο και στην κατάσταση ακαμψίας, κατά τον προσδιορισμό του max ή max θα χρησιμοποιήσουμε γεωμετρικά χαρακτηριστικά: WP ─ πολική ροπή αντίστασης και IP ─ πολική ροπή αδράνειας. Προφανώς, αυτά τα χαρακτηριστικά θα είναι διαφορετικά για στρογγυλές συμπαγείς και δακτυλιοειδείς διατομές με την ίδια επιφάνεια αυτών των τμημάτων. Μέσω συγκεκριμένων υπολογισμών, μπορεί κανείς να πειστεί ότι οι πολικές ροπές αδράνειας και η ροπή αντίστασης για το δακτυλιοειδές τμήμα είναι σημαντικά μεγαλύτερες από ό,τι για το ακανόνιστο κυκλικό τμήμα, αφού το δακτυλιοειδές τμήμα δεν έχει περιοχές κοντά στο κέντρο. Επομένως, μια δοκός με δακτυλιοειδή διατομή κατά τη στρέψη είναι πιο οικονομική από μια δοκό με συμπαγή κυκλική διατομή, δηλαδή απαιτεί λιγότερη κατανάλωση υλικού. Ωστόσο, η παραγωγή τέτοιων δοκών είναι πιο δύσκολη και επομένως πιο δαπανηρή, και αυτή η περίσταση πρέπει επίσης να λαμβάνεται υπόψη κατά τον σχεδιασμό δοκών που λειτουργούν σε στρέψη. Θα επεξηγήσουμε τη μεθοδολογία για τον υπολογισμό της ξυλείας για αντοχή και ακαμψία στρέψης, καθώς και εκτιμήσεις σχετικά με τη σχέση κόστους-αποτελεσματικότητας, με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα 2.2 Συγκρίνετε τα βάρη δύο αξόνων, οι εγκάρσιες διαστάσεις των οποίων επιλέγονται για την ίδια ροπή MK 600 Nm στις ίδιες επιτρεπόμενες τάσεις 10 R και 13 Τάση κατά μήκος των ινών p] 7 Rp 10 Συμπίεση και σύνθλιψη κατά μήκος των ινών [cm] 10 Rc, Rcm 13 Σύμπτυξη κατά μήκος των ινών (σε μήκος τουλάχιστον 10 cm) [cm]90 2,5 Rcm 90 3 Τρίψιμο κατά μήκος των ινών κατά την κάμψη [και] 2 Rck 2,4 Σκίσιμο κατά μήκος των ινών κατά την κοπή 1 Rck 1,2 – 2,4 Τρίψιμο κατά μήκος των ινών κοπής
Εάν, κατά την άμεση ή λοξή κάμψη, ενεργεί μόνο μια ροπή κάμψης στη διατομή της δοκού, τότε, κατά συνέπεια, υπάρχει μια καθαρή ευθεία ή καθαρή λοξή κάμψη. Αν στη διατομή επίσης ενεργεί δύναμη διάτμησης, τότε υπάρχει εγκάρσια ευθεία ή εγκάρσια λοξή κάμψη. Εάν η ροπή κάμψης είναι ο μόνος συντελεστής εσωτερικής δύναμης, τότε μια τέτοια κάμψη ονομάζεται ΚΑΘΑΡΗ(Εικ. 6.2). Όταν υπάρχει δύναμη διάτμησης, ονομάζεται κάμψη εγκάρσιος. Αυστηρά μιλώντας, να απλοί τύποιΗ αντίσταση αφορά μόνο την καθαρή κάμψη. Η εγκάρσια κάμψη κατατάσσεται συμβατικά ως ένας απλός τύπος αντίστασης, καθώς στις περισσότερες περιπτώσεις (για επαρκώς μακριές δοκούς) η επίδραση της εγκάρσιας δύναμης μπορεί να αγνοηθεί κατά τον υπολογισμό της αντοχής. Δείτε την κατάσταση αντοχής σε κάμψη επιπέδου.Κατά τον υπολογισμό μιας δοκού για κάμψη, ένα από τα πιο σημαντικά καθήκοντα είναι ο προσδιορισμός της αντοχής της. Η επίπεδη κάμψη ονομάζεται εγκάρσια εάν προκύπτουν δύο συντελεστές εσωτερικής δύναμης στις διατομές της δοκού: M - ροπή κάμψης και Q - εγκάρσια δύναμη, και καθαρή εάν προκύπτει μόνο M. εγκάρσια κάμψητο επίπεδο δύναμης διέρχεται από τον άξονα συμμετρίας της δοκού, που είναι ένας από τους κύριους άξονες αδράνειας της τομής.
Όταν μια δοκός κάμπτεται, μερικά από τα στρώματά της τεντώνονται, άλλα συμπιέζονται. Ανάμεσά τους υπάρχει ένα ουδέτερο στρώμα, το οποίο μόνο λυγίζει χωρίς να αλλάζει το μήκος του. Η γραμμή τομής του ουδέτερου στρώματος με το επίπεδο διατομής συμπίπτει με τον δεύτερο κύριο άξονα αδράνειας και ονομάζεται ουδέτερη γραμμή (ουδέτερος άξονας).
Από τη δράση της ροπής κάμψης, προκύπτουν κανονικές τάσεις στις διατομές της δοκού, που καθορίζονται από τον τύπο
όπου M είναι η ροπή κάμψης στο υπό εξέταση τμήμα.
I – ροπή αδράνειας της διατομής της δοκού σε σχέση με τον ουδέτερο άξονα.
y είναι η απόσταση από τον ουδέτερο άξονα μέχρι το σημείο στο οποίο προσδιορίζονται οι τάσεις.
Όπως φαίνεται από τον τύπο (8.1), οι κανονικές τάσεις στο τμήμα της δοκού κατά το ύψος της είναι γραμμικές, φθάνοντας σε μια μέγιστη τιμή στα πιο απομακρυσμένα σημεία από το ουδέτερο στρώμα.
όπου W είναι η ροπή αντίστασης της διατομής της δοκού ως προς τον ουδέτερο άξονα.
27. Εφαπτομενικές τάσεις στη διατομή μιας δοκού. Η φόρμουλα του Zhuravsky.
Ο τύπος του Zhuravsky σας επιτρέπει να προσδιορίσετε τις διατμητικές τάσεις κατά την κάμψη που προκύπτουν σε σημεία της διατομής της δοκού που βρίσκονται σε απόσταση από τον ουδέτερο άξονα x. 
ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΤΟΥ ZHURAVSKI
Ας κόψουμε ένα στοιχείο με μήκος και μια πρόσθετη διαμήκη τομή σε δύο μέρη από μια δοκό ορθογώνιας διατομής (Εικ. 7.10, α) (Εικ. 7.10, β).
Ας εξετάσουμε την ισορροπία του άνω μέρους: λόγω της διαφοράς στις ροπές κάμψης, προκύπτουν διαφορετικές θλιπτικές τάσεις. Για να είναι αυτό το τμήμα της δοκού σε ισορροπία (), πρέπει να προκύψει εφαπτομενική δύναμη στο διαμήκη τμήμα της. Εξίσωση ισορροπίας για μέρος της δοκού:
όπου η ενσωμάτωση πραγματοποιείται μόνο στο αποκομμένο τμήμα της περιοχής διατομής της δοκού (σκιασμένο στο Σχ. 7.10), 
– στατική ροπή αδράνειας του αποκομμένου (σκιασμένου) τμήματος του εμβαδού της διατομής ως προς τον ουδέτερο άξονα x.
Ας υποθέσουμε: οι εφαπτομενικές τάσεις () που προκύπτουν στη διαμήκη τομή της δοκού κατανέμονται ομοιόμορφα στο πλάτος της () στη διατομή:
Λαμβάνουμε μια έκφραση για τις εφαπτομενικές τάσεις:
, a , τότε ο τύπος για τις εφαπτομενικές τάσεις () που προκύπτουν σε σημεία της διατομής της δοκού που βρίσκονται σε απόσταση y από τον ουδέτερο άξονα x:
Η φόρμουλα του Zhuravsky
Ο τύπος του Zhuravsky ελήφθη το 1855 από τον D.I. Ο Zhuravsky, επομένως, φέρει το όνομά του.
Από τον τύπο για τον προσδιορισμό των τάσεων και το διάγραμμα της κατανομής των εφαπτομενικών τάσεων κατά τη στρέψη, είναι σαφές ότι οι μέγιστες τάσεις εμφανίζονται στην επιφάνεια.
Ας προσδιορίσουμε τη μέγιστη τάση, λαμβάνοντας υπόψη αυτό ρ taΧ =d/ 2, όπου ρε- διάμετρος στρογγυλής δοκού.
Για μια κυκλική διατομή, η πολική ροπή αδράνειας υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο (βλ. διάλεξη 25).
Η μέγιστη πίεση εμφανίζεται στην επιφάνεια, οπότε έχουμε
Συνήθως JP/pmaxδείχνω W σελκαι καλέστε στιγμή αντίστασηςσε στρέψη, ή πολική στιγμή αντίστασηςενότητες
Έτσι, για να υπολογίσουμε τη μέγιστη τάση στην επιφάνεια μιας στρογγυλής δοκού, λαμβάνουμε τον τύπο
Για στρογγυλό τμήμα
Για δακτυλιοειδή τομή
Κατάσταση αντοχής στρέψης
Η θραύση μιας δοκού κατά τη στρέψη συμβαίνει από την επιφάνεια· κατά τον υπολογισμό της αντοχής, χρησιμοποιείται η συνθήκη αντοχής
Οπου [ τ k ] - επιτρεπόμενη στρεπτική τάση.
Τύποι υπολογισμών αντοχής
Υπάρχουν δύο τύποι υπολογισμών αντοχής.
1. Υπολογισμός σχεδιασμού - προσδιορίζεται η διάμετρος της δοκού (άξονας) στο επικίνδυνο τμήμα:
2. Υπολογισμός επαλήθευσης - ελέγχεται η εκπλήρωση της συνθήκης αντοχής
3. Προσδιορισμός χωρητικότητας φορτίου (μέγιστη ροπή)
Υπολογισμός ακαμψίας
Κατά τον υπολογισμό της ακαμψίας, προσδιορίζεται η παραμόρφωση και συγκρίνεται με την επιτρεπόμενη. Ας εξετάσουμε την παραμόρφωση μιας στρογγυλής δοκού υπό τη δράση ενός εξωτερικού ζεύγους δυνάμεων με ροπή Τ(Εικ. 27.4).
Στη στρέψη, η παραμόρφωση εκτιμάται από τη γωνία συστροφής (βλ. διάλεξη 26):
Εδώ φ - γωνία συστροφής. γ - γωνία διάτμησης. μεγάλο- μήκος δοκού R- ακτίνα κύκλου; R =d/2.Οπου
Ο νόμος του Χουκ έχει τη μορφή τ k = Γ γ. Ας αντικαταστήσουμε την έκφραση με γ , παίρνουμε
Δουλειά GJPονομάζεται ακαμψία διατομής.
Ο συντελεστής ελαστικότητας μπορεί να οριστεί ως σολ = 0,4ΜΙ.Για χάλυβα σολ= 0,8 10 5 MPa.
Συνήθως υπολογίζεται η γωνία συστροφής ανά ένα μέτρο μήκους δοκού (άξονας). φ ο.
Η συνθήκη στρεπτικής ακαμψίας μπορεί να γραφτεί ως
Οπου φ o - σχετική γωνία συστροφής, φ o = φ/l; [φ o ]≈ 1 deg/m = 0,02 rad/m - επιτρεπόμενη σχετική γωνία συστροφής.
Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων
Παράδειγμα 1.Από τους υπολογισμούς της αντοχής και της ακαμψίας, προσδιορίστε την απαιτούμενη διάμετρο άξονα για μετάδοση ισχύος 63 kW με ταχύτητα 30 rad/s. Υλικό άξονα - χάλυβας, επιτρεπόμενη τάση στρέψης 30 MPa. επιτρεπτή σχετική γωνία συστροφής [φ o ]= 0,02 rad/m; μέτρο διάτμησης σολ= 0,8 * 10 5 MPa.
Λύση
1. Προσδιορισμός διαστάσεων διατομής με βάση την αντοχή.
Συνθήκη αντοχής στρέψης:
Καθορίζουμε τη ροπή από τον τύπο περιστροφικής ισχύος:
Από την κατάσταση αντοχής, προσδιορίζουμε τη στιγμή αντίστασης του άξονα κατά τη στρέψη
Αντικαθιστούμε τις τιμές σε newton και mm.
Προσδιορίστε τη διάμετρο του άξονα:
2. Προσδιορισμός διαστάσεων διατομής βάσει ακαμψίας.
Συνθήκη στρεπτικής ακαμψίας:
Από την συνθήκη ακαμψίας προσδιορίζουμε τη ροπή αδράνειας του τμήματος κατά τη στρέψη:
Προσδιορίστε τη διάμετρο του άξονα:
3. Επιλογή της απαιτούμενης διαμέτρου άξονα με βάση τους υπολογισμούς αντοχής και ακαμψίας.
Για να εξασφαλίσουμε αντοχή και ακαμψία ταυτόχρονα, επιλέγουμε τη μεγαλύτερη από τις δύο τιμές που βρέθηκαν.
Η προκύπτουσα τιμή θα πρέπει να στρογγυλοποιηθεί χρησιμοποιώντας ένα εύρος προτιμώμενων αριθμών. Στην πράξη, στρογγυλοποιούμε την τιμή που προκύπτει έτσι ώστε ο αριθμός να τελειώνει σε 5 ή 0. Παίρνουμε την τιμή d του άξονα = 75 mm.
Για τον προσδιορισμό της διαμέτρου του άξονα, συνιστάται να χρησιμοποιήσετε το τυπικό εύρος διαμέτρων που δίνεται στο Παράρτημα 2.
Παράδειγμα 2.Στη διατομή της δοκού ρε= 80 mm υψηλότερη διατμητική τάση τ max= 40 N/mm 2. Προσδιορίστε τη διατμητική τάση σε σημείο 20 mm μακριά από το κέντρο της τομής.
Λύση
σι. Προφανώς,
 |
Παράδειγμα 3.Σε σημεία του εσωτερικού περιγράμματος της διατομής του σωλήνα (d 0 = 60 mm, d = 80 mm), προκύπτουν εφαπτομενικές τάσεις ίσες με 40 N/mm 2. Προσδιορίστε τις μέγιστες διατμητικές τάσεις που εμφανίζονται στον σωλήνα.
Λύση
Το διάγραμμα των εφαπτομενικών τάσεων στη διατομή φαίνεται στο Σχ. 2.37, V. Προφανώς,
Παράδειγμα 4.Στη δακτυλιοειδή διατομή της δοκού ( δ 0= 30 mm; d = 70 mm) εμφανίζεται ροπή Μ ζ= 3 kN-m. Υπολογίστε τη διατμητική τάση σε σημείο 27 mm μακριά από το κέντρο της τομής.
Λύση
Η εφαπτομενική τάση σε ένα αυθαίρετο σημείο της διατομής υπολογίζεται από τον τύπο
Στο υπό εξέταση παράδειγμα Μ ζ= 3 kN-m = 3-10 6 N mm,
Παράδειγμα 5. Σωλήνας απο ατσάλι(d 0 = l00 mm, d = 120 mm) μήκος μεγάλο= 1,8 m στροφές Τ, εφαρμόζεται στις τελικές ενότητες του. Προσδιορίστε την τιμή Τ, στην οποία η γωνία συστροφής φ = 0,25°. Όταν βρεθεί η τιμή Τυπολογίστε τη μέγιστη διατμητική τάση.
Λύση
Η γωνία συστροφής (σε μοίρες/m) για ένα τμήμα υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο
Σε αυτήν την περίπτωση
Αντικαθιστώντας αριθμητικές τιμές, παίρνουμε
Υπολογίζουμε τη μέγιστη διατμητική τάση:
Παράδειγμα 6.Για μια δεδομένη δοκό (Εικ. 2.38, ΕΝΑ) Κατασκευάστε διαγράμματα ροπών, μέγιστες τάσεις διάτμησης και γωνίες περιστροφής διατομών.
Λύση
Η δεδομένη δοκός έχει τμήματα I, II, III, IV, V(Εικ. 2. 38, ΕΝΑ).Ας υπενθυμίσουμε ότι τα όρια των τομών είναι τμήματα στα οποία εφαρμόζονται εξωτερικές (στρεπτικές) ροπές και σημεία όπου αλλάζουν οι διαστάσεις της διατομής.
Χρησιμοποιώντας την αναλογία
Κατασκευάζουμε ένα διάγραμμα ροπών.
Κατασκευάζοντας ένα διάγραμμα Μ ζΞεκινάμε από το ελεύθερο άκρο της δοκού:
για οικόπεδα IIIΚαι IV
για τον ιστότοπο V
Το διάγραμμα των ροπών φαίνεται στο Σχ. 2.38, σι. Κατασκευάζουμε ένα διάγραμμα των μέγιστων εφαπτομενικών τάσεων κατά το μήκος της δοκού. Αποδίδουμε υπό όρους τ ελέγξτε τα ίδια σημάδια με τις αντίστοιχες ροπές. Τοποθεσία ενεργοποιημένη Εγώ
Τοποθεσία ενεργοποιημένη II
Τοποθεσία ενεργοποιημένη III
Τοποθεσία ενεργοποιημένη IV
Τοποθεσία ενεργοποιημένη V
Το διάγραμμα των μέγιστων εφαπτομενικών τάσεων φαίνεται στο Σχ. 2.38, V.
Η γωνία περιστροφής της διατομής της δοκού σε σταθερή (μέσα σε κάθε τμήμα) διάμετρο διατομής και ροπή καθορίζεται από τον τύπο
Κατασκευάζουμε διάγραμμα των γωνιών περιστροφής των διατομών. Γωνία περιστροφής τομής Ένα φ l = 0, αφού η δοκός είναι στερεωμένη σε αυτό το τμήμα.
Το διάγραμμα των γωνιών περιστροφής των διατομών φαίνεται στο Σχ. 2.38, σολ.
Παράδειγμα 7.Στην τροχαλία ΣΕβαθμιδωτός άξονας (Εικ. 2.39, ΕΝΑ)η ισχύς μεταδίδεται από τον κινητήρα Ν B = 36 kW, τροχαλίες ΕΝΑΚαι ΜΕαναλόγως μεταφορά ισχύος στις μηχανές Ν Α= 15 kW και Ν Γ= 21 kW. Ταχύτητα άξονα Π= 300 σ.α.λ. Ελέγξτε την αντοχή και την ακαμψία του άξονα εάν [ τ K J = 30 N/mm 2, [Θ] = 0,3 deg/m, G = 8,0-10 4 N/mm 2, δ 1= 45 mm, δ 2= 50 mm.
Λύση
Ας υπολογίσουμε τις εξωτερικές (στρεπτικές) ροπές που εφαρμόζονται στον άξονα:
Κατασκευάζουμε ένα διάγραμμα ροπών. Σε αυτή την περίπτωση, κινούμενοι από το αριστερό άκρο του άξονα, υπολογίζουμε υπό όρους τη ροπή που αντιστοιχεί ΝΑ, θετικό Nc- αρνητικό. Το διάγραμμα M z φαίνεται στο Σχ. 2.39, σι. Μέγιστες τάσεις σε διατομές διατομής ΑΒ
που είναι λιγότερο [tk] κατά
Σχετική γωνία συστροφής τμήματος ΑΒ
που είναι σημαντικά μεγαλύτερο από [Θ] ==0,3 deg/m.
Μέγιστες τάσεις σε διατομές της διατομής Ήλιος
που είναι λιγότερο [tk] κατά
Σχετική γωνία συστροφής του τμήματος Ήλιος
που είναι σημαντικά μεγαλύτερο από [Θ] = 0,3 deg/m.
Κατά συνέπεια, διασφαλίζεται η αντοχή του άξονα, αλλά η ακαμψία όχι.
Παράδειγμα 8.Από τον ηλεκτροκινητήρα με χρήση ιμάντα μέχρι τον άξονα 1 μεταδίδεται ισχύς Ν= 20 kW, Από άξονα 1 μπαίνει στον άξονα 2 εξουσία Ν 1= 15 kW και σε μηχανές εργασίας - ισχύς Ν 2= 2 kW και Ν 3= 3 kW. Από τον άξονα 2 τροφοδοτείται με ρεύμα σε μηχανές εργασίας Ν 4= 7 kW, Ν 5= 4 kW, Ν 6= 4 kW (Εικ. 2.40, ΕΝΑ).Προσδιορίστε τις διαμέτρους των αξόνων d 1 και d 2 από τις συνθήκες αντοχής και ακαμψίας, εάν [ τ K J = 25 N/mm 2, [Θ] = 0,25 deg/m, G = 8,0-10 4 N/mm 2. Τμήματα άξονα 1 Και 2 να θεωρείται σταθερή σε όλο το μήκος. Ταχύτητα άξονα κινητήρα n = 970 rpm, διάμετροι τροχαλίας D 1 = 200 mm, D 2 = 400 mm, D 3 = 200 mm, D 4 = 600 mm. Παράβλεψη ολίσθησης στην κίνηση του ιμάντα.
Λύση
Σύκο. 2.40, σιαπεικονίζει έναν άξονα Εγώ. Λαμβάνει δύναμη Νκαι η εξουσία αφαιρείται από αυτό N l, Ν 2 , Ν 3.
Ας προσδιορίσουμε τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του άξονα 1
και εξωτερικές στρεπτικές ροπές m, m 1, t 2, t 3:
 |
Κατασκευάζουμε ένα διάγραμμα ροπών για τον άξονα 1 (Εικ. 2.40, V). Ταυτόχρονα, κινούμενοι από το αριστερό άκρο του άξονα, υπολογίζουμε υπό όρους τις ροπές που αντιστοιχούν Ν 3Και Ν 1, θετικά, και Ν- αρνητικό. Ονομαστική (μέγιστη) ροπή N x 1 max = 354,5 H * m.
Διάμετρος άξονα 1 από συνθήκες αντοχής
Διάμετρος άξονα 1 από συνθήκη ακαμψίας ([Θ], rad/mm)
Τελικά δεχόμαστε στρογγυλοποίηση στην τυπική τιμή d 1 = 58 mm.
Ταχύτητα άξονα 2
Στο Σχ. 2.40, σολαπεικονίζει έναν άξονα 2; τροφοδοτείται ρεύμα στον άξονα Ν 1, και αφαιρείται η ισχύς από αυτό Ν 4, Ν 5, Ν 6.
Ας υπολογίσουμε τις εξωτερικές ροπές συστροφής:
Διάγραμμα ροπής για τον άξονα 2 φαίνεται στο Σχ. 2.40, ρε.Εκτιμώμενη (μέγιστη) ροπή M i max " = 470 N-m.
Διάμετρος άξονα 2 από την κατάσταση αντοχής
Διάμετρος άξονα 2 από την κατάσταση ακαμψίας
Επιτέλους δεχόμαστε d 2 = 62 χλστ.
Παράδειγμα 9.Προσδιορίστε την ισχύ από τις συνθήκες αντοχής και ακαμψίας Ν(Εικ. 2.41, ΕΝΑ), το οποίο μπορεί να μεταδοθεί από έναν χαλύβδινο άξονα με διάμετρο d = 50 mm, εάν [t k] = 35 N/mm 2, [ΘJ = 0,9 deg/m; G = 8,0* I0 4 N/mm 2, n= 600 σ.α.λ.
Λύση
Ας υπολογίσουμε τις εξωτερικές ροπές που εφαρμόζονται στον άξονα:
Το σχέδιο σχεδίασης του άξονα φαίνεται στο Σχ. 2.41, σι.
Στο Σχ. 2.41, Vπαρουσιάζεται ένα διάγραμμα ροπών. Ονομαστική (μέγιστη) ροπή Μ ζ = 9,54Ν. Συνθήκη αντοχής
Συνθήκη ακαμψίας
Η περιοριστική συνθήκη είναι η συνθήκη ακαμψίας. Επομένως, η επιτρεπόμενη τιμή της μεταδιδόμενης ισχύος [N] = 82,3 kW.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Διάτμηση και στρέψη
Η δοκός που φαίνεται στο Σχ. 9.13, έχει τέσσερις ενότητες. Αν λάβουμε υπόψη τις συνθήκες ισορροπίας για συστήματα δυνάμεων που εφαρμόζονται στο αριστερό τμήμα αποκοπής, μπορούμε να γράψουμε:
Τμήμα 1 |
α (Εικ. 9.13, β). |
|||||||||||||||
Mx 0 : Mcr m x dx 0 ; Mkr |
dx. |
|||||||||||||||
Τομέας 2 |
ένα x2 |
α β (Εικ. 9.13, γ). |
||||||||||||||
Mx 0 : Mcr m x dx M1 0 ; Mkr m x dx M1 . |
||||||||||||||||
Ενότητα 3 |
α β x2 |
α β γ (Εικ. 9.13, δ). |
||||||||||||||
M0; |
x dx M . |
|||||||||||||||
Ενότητα 4 |
α β γ x2 α β γ δ . |
|||||||||||||||
Mx 0 : Mcr m x dx M1 M2 0 ; |
||||||||||||||||
Μ κρ |
m x dx M1 M2 . |
|||||||||||||||
Έτσι, η ροπή Mcr στη διατομή της δοκού είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών όλων των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν στη μία πλευρά της τομής.
9.2.2. Τάσεις και καταπονήσεις κατά τη στρέψη ευθύγραμμης δοκού κυκλικής διατομής
Όπως ήδη αναφέρθηκε, οι συνολικές εφαπτομενικές τάσεις θα μπορούσαν να προσδιοριστούν από την εξάρτηση (9.14) εάν ήταν γνωστός ο νόμος της κατανομής τους στη διατομή της δοκού. Η αδυναμία αναλυτικού προσδιορισμού αυτού του νόμου αναγκάζει κάποιον να στραφεί σε μια πειραματική μελέτη των παραμορφώσεων δοκών.
V. A. Zhilkin
Ας εξετάσουμε μια δοκό, το αριστερό άκρο της οποίας είναι άκαμπτα συσφιγμένο και μια ροπή στρέψης M cr εφαρμόζεται στο δεξιό άκρο. Πριν φορτωθεί η δοκός με ροπή, εφαρμόστηκε στην επιφάνειά της ένα ορθογώνιο πλέγμα με διαστάσεις κυψέλης a×b (Εικ. 9.14, α). Μετά την εφαρμογή μιας ροπής συστροφής M cr, το δεξί άκρο της δοκού θα περιστραφεί σε σχέση με το αριστερό άκρο της δοκού κατά γωνία, ενώ οι αποστάσεις μεταξύ των τμημάτων της στριμμένης δέσμης δεν θα αλλάξουν και οι ακτίνες που σύρονται στο ακραίο τμήμα θα παραμείνει ευθεία, δηλαδή μπορεί να υποτεθεί ότι η υπόθεση των επίπεδων τομών ικανοποιείται (Εικ. 9.14, β). Τα τμήματα που είναι επίπεδα πριν από την παραμόρφωση της δοκού παραμένουν επίπεδα μετά την παραμόρφωση, γυρίζοντας όπως σκληροι ΔΙΣΚΟΙ, το ένα σε σχέση με το άλλο σε μια ορισμένη γωνία. Δεδομένου ότι η απόσταση μεταξύ των τμημάτων της δοκού δεν αλλάζει, η διαμήκης σχετική παραμόρφωση x 0 είναι ίση με μηδέν. Οι διαμήκεις γραμμές του πλέγματος παίρνουν ελικοειδές σχήμα, αλλά η απόσταση μεταξύ τους παραμένει σταθερή (επομένως, y 0), τα ορθογώνια κελιά του πλέγματος μετατρέπονται σε παραλληλόγραμμα, οι διαστάσεις των πλευρών δεν αλλάζουν, δηλ. ο επιλεγμένος στοιχειώδης όγκος οποιουδήποτε στρώματος ξυλείας είναι υπό συνθήκες καθαρής διάτμησης.
Ας κόψουμε ένα στοιχείο δοκού με μήκος dx σε δύο διατομές (Εικ. 9.15). Ως αποτέλεσμα της φόρτωσης της δοκού, το δεξιό τμήμα του στοιχείου θα περιστραφεί σε σχέση προς τα αριστερά κατά γωνία d. Σε αυτή την περίπτωση, η γεννήτρια του κυλίνδρου θα περιστρέφεται υπό γωνία
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Διάτμηση και στρέψη
βάρδια Όλες οι γεννήτριες των εσωτερικών κυλίνδρων ακτίνας θα περιστρέφονται κατά την ίδια γωνία.
Σύμφωνα με το Σχ. 9,15 τόξο
αβ δχ δ .
όπου d dx ονομάζεται σχετική γωνία συστροφής. Εάν οι διαστάσεις των διατομών μιας ευθείας δοκού και οι ροπές που ενεργούν σε αυτές είναι σταθερές σε μια ορισμένη περιοχή, τότε η τιμή είναι επίσης σταθερή και ίση με τον λόγο της συνολικής γωνίας συστροφής σε αυτήν την περιοχή προς το μήκος της L, δηλ. ΜΕΓΑΛΟ.
Περνώντας σύμφωνα με το νόμο του Hooke υπό διάτμηση (G) σε τάσεις, λαμβάνουμε
Έτσι, στις διατομές της δοκού, κατά τη στρέψη, προκύπτουν εφαπτομενικές τάσεις, η διεύθυνση των οποίων σε κάθε σημείο είναι κάθετη στην ακτίνα που συνδέει αυτό το σημείο με το κέντρο της τομής και το μέγεθος είναι ευθέως ανάλογο
V. A. Zhilkin
την απόσταση του σημείου από το κέντρο. Στο κέντρο (στο 0 ) οι εφαπτομενικές τάσεις είναι μηδενικές. σε σημεία που βρίσκονται σε κοντινή απόσταση από εξωτερική επιφάνειαξυλεία, είναι τα μεγαλύτερα.
Αντικαθιστώντας τον νόμο κατανομής της ευρεθείσας τάσης (9.18) με ισότητα (9.14), λαμβάνουμε
Mkr G dF G 2 dF G J , |
||||||||||||||||
όπου J d 4 είναι η πολική ροπή αδράνειας του κυκλικού εγκάρσιου |
||||||||||||||||
ενός μεγάλου τμήματος ξυλείας. |
||||||||||||||||
Προϊόν της G.J. |
ονομάζεται πλευρική ακαμψία |
|||||||||||||||
το τμήμα της δοκού κατά τη στρέψη. |
||||||||||||||||
Οι μονάδες μέτρησης της σκληρότητας είναι |
||||||||||||||||
είναι N·m2, kN·m2, κ.λπ. |
||||||||||||||||
Από το (9.19) βρίσκουμε τη σχετική γωνία συστροφής της δοκού |
||||||||||||||||
Μ κρ |
||||||||||||||||
και στη συνέχεια, εξαλείφοντας το (9.18) από την ισότητα, παίρνουμε τον τύπο |
||||||||||||||||
για στρεπτικές τάσεις στρογγυλών δοκών |
||||||||||||||||
Μ κρ |
||||||||||||||||
Οι υψηλότερες τιμές τάσης επιτυγχάνονται στο τέλος |
||||||||||||||||
τουριστικά σημεία του τμήματος στο δ 2: |
||||||||||||||||
Μ κρ |
Μ κρ |
Μ κρ |
||||||||||||||
ονομάζεται η ροπή αντίστασης στη στρέψη ενός άξονα κυκλικής διατομής.
Η διάσταση της ροπής αντίστασης στρέψης είναι cm3, m3 κ.λπ.
που σας επιτρέπει να προσδιορίσετε τη γωνία συστροφής ολόκληρης της δοκού
GJ cr. |
Εάν η δοκός έχει πολλά τμήματα με διαφορετικές αναλυτικές εκφράσεις για M cr ή διαφορετικές έννοιεςακαμψία διατομής GJ , τότε
Mkr dx |
|||||
Για μια δέσμη μήκους L σταθερής διατομής, φορτισμένη στα άκρα από συγκεντρωμένα ζεύγη δυνάμεων με ροπή M cr,
Mkr L |
|||||||||||||||||||
| Δ και εσωτερικό δ. Μόνο σε αυτή την περίπτωση είναι απαραίτητα τα J και W cr | |||||||||||||||||||
1 γ 4 ; W cr |
1 γ 4 ; ντο |
|||||
Το διάγραμμα των εφαπτομενικών τάσεων στην τομή μιας κοίλης δοκού φαίνεται στο Σχ. 9.17.
Η σύγκριση των διαγραμμάτων των εφαπτομενικών τάσεων σε συμπαγείς και κοίλες δοκούς υποδεικνύει τα πλεονεκτήματα των κοίλων αξόνων, καθώς σε τέτοιους άξονες το υλικό χρησιμοποιείται πιο ορθολογικά (το υλικό στην περιοχή χαμηλής τάσης αφαιρείται). Ως αποτέλεσμα, η κατανομή των τάσεων σε όλη τη διατομή γίνεται πιο ομοιόμορφη και η ίδια η δοκός γίνεται ελαφρύτερη,
από μια συμπαγή δοκό ίσης αντοχής - Εικ. 9.17 διατομή, παρά ορισμένους
σμήνος αύξηση της εξωτερικής διαμέτρου.
Όταν όμως σχεδιάζουμε δοκούς που λειτουργούν σε στρέψη, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι στην περίπτωση ενός δακτυλιοειδούς τμήματος, η παραγωγή τους είναι πιο δύσκολη, άρα και πιο ακριβή.
