Балка навантажена поздовжньою силою. Методика побудови епюр згинальних моментів, поперечних та поздовжніх сил

УДК 539.52

ГРОМАЛЬНЕ НАВАНТАЖЕННЯ ДЛЯ ЗАЩЕМЛЕНОЇ БАЛКИ, НАГРУДЖЕНОЇ ПОДОЛЬНОЇ СИЛОЮ, НЕСИМЕТРИЧНО РОЗПОДІЛЕНОЇ НАВАНТАЖЕННЯМ І ОПОРНИМИ МОМЕНТАМИ

І.А. Монахов1, Ю.К. Басов2

кафедра будівельного виробництва Будівельний факультет Московський державний машинобудівний університет вул. Павла Корчагіна, 22, Москва, Росія, 129626

2Кафедра будівельних конструкційта споруд Інженерний факультет Російський університет дружби народів вул. Орджонікідзе, 3, Москва, Росія, 115419

У статті розроблено методику вирішення завдань про малі прогини балок з ідеального жорстко-пластичного матеріалу при дії несиметрично розподілених навантажень з урахуванням попереднього розтягування-стиснення. Розроблена методика застосована для дослідження напружено-деформованого стану однопрогонових балок, а також для обчислення граничного навантаження балок.

Ключові слова: балка, нелінійність, аналітичне.

У сучасному будівництві, суднобудуванні, машинобудуванні, хімічній промисловості та інших галузях техніки найпоширенішими видами конструкцій є стрижневі, зокрема балки. Природно, що з визначення реального поведінки стрижневих систем(зокрема, балок) та ресурсів їхньої міцності необхідний облік пластичних деформацій.

Розрахунок конструктивних систем при обліку пластичних деформацій за допомогою моделі ідеального жорсткопластичного тіла є найпростішим, з одного боку, і досить прийнятним з погляду вимог практики проектування – з іншого. Якщо мати на увазі область малих переміщень конструктивних систем, це пояснюється тим, що несуча здатність («граничне навантаження») ідеальних жесткопластичних і пружнопластичних систем виявляється однією і тією ж.

Додаткові резерви та суворіша оцінка несучої здібностіконструкцій виявляються результаті обліку геометричної нелінійності при деформуванні їх. В даний час облік геометричної нелінійності в розрахунках конструктивних систем є першочерговим завданням не лише з погляду розвитку теорії розрахунку, але й з погляду практики проектування споруд. Прийнятність розв'язків задач про розрахунок конструкцій в умовах малості

переміщень досить невизначена, з іншого боку, практичні дані і властивості систем, що деформуються, дозволяють вважати, що великі переміщення є реально досяжними. Досить вказати на конструкції будівельних, хімічних, судно- та машинобудівних об'єктів. З іншого боку, модель жесткопластического тіла означає нехтування пружними деформаціями, тобто. пластичні деформації набагато перевершують пружні. Оскільки деформаціям відповідають переміщення, облік великих переміщень жесткопластичних систем є доречним.

Однак геометрично нелінійне деформування конструкцій здебільшого неминуче призводить і до виникнення пластичних деформацій. Тому особливого значення набуває одночасного обліку пластичних деформацій та геометричної нелінійності у розрахунках конструктивних систем і, звичайно, стрижневих.

У цій статті розглядаються малі прогини. Подібні завдання вирішувалися у роботах.

Розглядається балка із защемленими опорами, під дією ступінчастого навантаження, крайових моментів та попередньо доданої поздовжньої сили (рис. 1).

Рис. 1. Балка під розподіленим навантаженням

Рівняння рівноваги балки при великих прогинах у безрозмірній формі має вигляд

d2 т / , год d2 w dn

-- + (п ± щ)-- + р = ^ - = 0, dx ах ах

х 2w р12 М N ,г,

де х ==, w =-, р =--, т =--, п =-, N та М - внутрішні нормальна

I до 5хЪк Ъ!!Ък 25!!Ък

сила і згинальний момент, р - поперечне рівномірно розподілене навантаження, W - прогин, х - поздовжня координата (початок координат на лівій опорі), 2к - висота поперечного перерізу, Ъ - ширина поперечного перерізу, 21 - проліт балки, 5 - межа плинності матеріалу. Якщо N задано, то зусилля N є наслідком дії р при

наявних прогинах, 11 = = , характеристика над літерами означає розмірність величин.

Розглянемо перший етап деформування – «малі» прогини. Пластичний переріз виникає при х = х2, у ньому т = 1 – п2.

Вирази для швидкостей прогинів мають вигляд - прогин при х = х2):

(2-х), (х > Х2),

Розв'язання задачі розбивається на два випадки: х2< 11 и х2 > 11.

Розглянемо випадок х2< 11.

Для зони 0< х2 < 11 из (1) получаем:

Рх 111 1 Р11 к1р/1 т = + к1 р + р/1 -к1 р/1 -±4- +-^41

х -(1 -п2)±а,

(, 1, р/2 к1 р12Л

Рх2 + к1 р + р11 - к1 р11 - + 1^

Х2 = к1 +11 - к111 - +^

Враховуючи виникнення пластичного шарніру при х = х2, отримуємо:

тх = х = 1 - п2 = - р

(12 к12 Л до +/ - к1 - ^ + к"А

до, +/, - до,/, -L +

(/ 2 до/ 2 Л к1 + /1 - к1/1 - ^ + М

Розглядаючи випадок х2>/1, отримуємо:

для зони 0< х < /1 выражение для изгибающих моментов имеет вид

до р-р2 + кар/1+р/1-к1 р/1 ^ х-(1-П12)±

а для зони 11< х < 2 -

^ р-рЦ + 1^ Л

х-(1-п-)±а +

(. рг-к1 р1-Л

Кх рх2 + кх р+

0, і тоді

I2 12 1 год х2 = 1 - + -.

З умови пластичності випливає рівність

звідки отримуємо вираз для навантаження:

к1 - 12+М Л2

К1/12 - к2 ¡1

Таблиця 1

к1 = 0 11 = 0,66

Таблиця 2

к1 = 0 11 = 1,33

0 6,48 9,72 12,96 16,2 19,44

0,5 3,24 6,48 9,72 12,96 16,2

Таблиця 3

к1 = 0,5 11 = 1,61

0 2,98 4,47 5,96 7,45 8,94

0,5 1,49 2,98 4,47 5,96 7,45

Таблиця 5 к1 = 0,8 11 = 0,94

0 2,24 3,56 4,49 5,61 6,73

0,5 1,12 2,24 3,36 4,49 5,61

0 2,53 3,80 5,06 6,33 7,59

0,5 1,27 2,53 3,80 5,06 6,33

Таблиця 3

к1 = 0,5 11 = 2,0

0 3,56 5,33 7,11 8,89 10,7

0,5 1,78 3,56 5,33 7,11 8,89

Таблиця 6 к1 = 111 = 1,33

0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0

0,5 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

Таблиця 7 Таблиця 8

к, = 0,8 /, = 1,65 k, = 0,2 /, = 0,42

0 2,55 3,83 5,15 6,38 7,66

0,5 1,28 2,55 3,83 5,15 6,38

0 7,31 10,9 14,6 18,3 21,9

0,5 3,65 7,31 10,9 14,6 18,3

Задаючи коефіцієнт навантаження к1 від 0 до 1, згинальний момент від -1 до 1, значення поздовжньої сили п1 від 0 до 1, відстань /1 від 0 до 2, отримаємо положення пластичного шарніра за формулами (3) і (5), а потім отримаємо значення граничного навантаження за формулами (4) або (6). Численні результати розрахунків зведені у таблиці 1-8.

ЛІТЕРАТУРА

Басов Ю.К., Монахов І.А. Аналітичне рішення задачі про великі прогини жорстко-пластичної защемленої балки під дією локального розподіленого навантаження, опорних моментів та поздовжньої сили // Вісник РУДН. Серія "Інженерні дослідження". – 2012. – № 3. – С. 120-125.

Савченко Л.В., Монахов І.А. Великі прогини фізично нелінійних круглих пластинок // Вісник Інжекон. Серія "Технічні науки". - Вип. 8(35). – СПб., 2009. – С. 132-134.

Галілєєв С.М., Саліхова Є.А. Дослідження частот власних коливань елементів конструкції зі склопластику, вуглепластику та графену // Вісник Інжекон. Серія "Технічні науки". - Вип. 8. – СПб., 2011. – С.102.

Єрхов М.І., Монахов А.І. Великі прогини попередньо напруженої жесткопласти-чеської балки з шарнірними опорами при рівномірно розподіленому навантаженні та крайових моментах // Вісник відділення будівельних наук Російської академії архітектури та будівельних наук. – 1999. – Вип. 2. – С. 151-154. .

THE LITTLE DEFLECTIONS OF THE PREVIOUSLY INTENSE IDEAL PLASTIC BEAMS WITH THE REGIONAL MOMENTS

I.A. Monakhov1, U.K. Basov2

"Department of Building production manufacture Building Faculty Moscow State Machine-building University Pavla Korchagina str., 22, Moskow, Russia,129626

Department of Bulding Structures and Facilities Факультети людей "Friendship University of Russia Ordzonikidze str., 3, Moskow, Russia, 115419

У роботі над технологією вирішення проблем про дрібні відбитки бруків від ідеального hard-plastic material, з різними видами оздоблюваних, за якоюсь діям з asymmetrically distributed loads with allowance for preliminary stretching-compression is developed. Розроблена технологія застосовується для дослідження тяжких-затверджених умов, а також для визначення розподілу шлангів з відповідністю до геометричної nonlinearity.

Key words: beam, analytic, nonlinearity.

Між згинальним моментом, поперечною силою та інтенсивністю розподіленого навантаження легко встановити певну залежність. Розглянемо балку, навантажену довільним навантаженням (рис. 5.10). Визначимо поперечну силу у довільному перерізі, що віддаляється від лівої опори на відстані Z.

Проеціюючи на вертикаль сили, розташовані лівіше за переріз, отримуємо

Обчислюємо поперечну силу в перерізі, розташованому на відстані z+ dzвід лівої опори.

Малюнок 5.8 .

Віднімаючи (5.1) з (5.2) отримуємо dQ= qdz, звідки

тобто похідна від поперечної сили по абсцисі перерізу балки дорівнює інтенсивності розподіленого навантаження .

Обчислимо тепер згинальний момент у перетині з абсцисою z, Взявши суму моментів сил, прикладених зліва від перерізу. Для цього розподілене навантаження на ділянці завдовжки zзамінюємо її рівнодією, рівною qzта прикладеної в середині ділянки, на відстані z/2від перерізу:

(5.3)

Віднімаючи (5.3) з (5.4), отримуємо збільшення згинального моменту

Вираз у дужках є поперечною силою Q. Тоді. Звідси отримуємо формулу

Таким чином, похідна від згинального моменту по абсцисі перерізу балки дорівнює поперечній силі (теорема Журавського).

Взявши похідну від обох частин рівності (5.5), отримаємо

т. е. друга похідна від згинального моменту по абсцисі перерізу балки дорівнює інтенсивності розподіленого навантаження. Отримані залежності будемо використовувати під час перевірки правильності побудови епюр згинальних моментів та поперечних сил.

Побудова епюр при розтягуванні-стисканні

приклад 1.

Кругла колона діаметра dстискається силою F. Визначити збільшення діаметра , знаючи модуль пружності Ета коефіцієнт Пуассона матеріалу колони.

Рішення.

Поздовжня деформація за законом Гука дорівнює

Використовуючи закон Пуассона, знаходимо поперечну деформацію

З іншого боку, .

Отже, .

приклад 2.

Побудувати епюри поздовжньої сили, напруги та переміщення для ступінчастого бруса.

Рішення.

1. Визначення опорної реакції. Складаємо рівняння рівноваги у проекції на вісь z:

звідки R E = 2qa.

2. Побудова епюр N z, , W.

Епюра N z. Вона будується за формулою

,

Епюра. Напруга дорівнює. Як випливає з цієї формули, стрибки на епюрі будуть зумовлені не лише стрибками N z, а також різкими змінами площі поперечних перерізів. Визначаємо значення у характерних точках:

У точках поперечних перерізів бруса при поздовжньопоперечному згині виникають нормальні напруження від стиснення поздовжніми силами та від вигину поперечними та поздовжніми навантаженнями (рис. 18.10).

У зовнішніх волокнах балки в небезпечному перерізі сумарні нормальні напруги мають найбільші значення:

У розглянутому вище прикладі стиснутої балки з однією поперечною силою згідно (18.7) отримуємо такі напруження у зовнішніх волокнах:

Якщо небезпечний перерізсиметрично щодо його нейтральної осі, то найбільшою по абсолютній величині буде напруга в зовнішніх стиснутих волокнах:

У перерізі, не симетричному щодо нейтральної осі, найбільшим за абсолютною величиною може бути як стискаюча, так і напруга, що розтягує, у зовнішніх волокнах.

При встановленні небезпечної точки слід враховувати різницю у опорі матеріалу розтягуванню і стиску.

Враховуючи вираз (18.2), формулу (18.12) можна записати так:

Застосовуючи наближений вираз для отримуємо

Небезпечним у балках постійного перерізу буде той переріз, для якого чисельник другого доданку має найбільше значення.

Розміри поперечного перерізу бруса повинні бути підібрані так, щоб не перевищувало допустимої напруги.

Однак отримана залежність між напругами та геометричними характеристикамиперерізу складна для проектувального розрахунку; розміри перерізу можна підібрати лише методом повторних спроб. При поздовжньо-поперечному згині проводиться, як правило, перевірочний розрахунок, призначення якого встановити запас міцності деталі.

При поздовжньо-поперечному згині між напругами та поздовжніми силами немає пропорційності; напруги при змінній осьовій силі зростають швидше, ніж сама сила, що видно, наприклад, формули (18.13). Тому запас міцності у разі поздовжньо-поперечного вигину треба визначати не за напругою, тобто не з відношення а за навантаженнями, розуміючи під запасом міцності число, що показує, у скільки разів треба збільшити діючі навантаження, щоб максимальна напруга в деталі, що розраховується, досягла межі плинності.

Визначення запасу міцності пов'язане з розв'язанням трансцендентних рівнянь, оскільки сила міститься у формулах (18.12) та (18.14) під знаком тригонометричної функції. Наприклад, для балки, стиснутої силою та навантаженою однією поперечною силою Р, запас міцності згідно (18.13) знаходиться з рівняння

Для спрощення задач можна скористатися формулою (18.15). Тоді для визначення запасу міцності отримуємо квадратне рівняння:

Зауважимо, що у випадку, коли поздовжня сила залишається постійною, а змінюються за величиною лише поперечні навантаження, завдання визначення запасу міцності спрощується, і можливе визначення не за навантаженням, а за напругою. З формули (18.15) для цього випадку знаходимо

приклад. Двохопірна дюралюмінієва балка двотаврового тонкостінного перерізу стиснута силою Р і піддана дії рівномірно розподіленого поперечного навантаження інтенсивністю та моментів прикладених на кінцях

балки, як показано на рис. 18.11. Визначити напругу в небезпечної точкиі максимальний прогин з урахуванням та без урахування згинальної дії поздовжньої сили Р, а також знайти запас міцності балки за межею плинності.

Характеристики двотавру:

Рішення. Найбільш навантаженим є середній переріз балки. Максимальний прогин і згинальний момент від одного тільки поперечного навантаження:

Максимальний прогин від спільної дії поперечного навантаження та поздовжньої сили Р визначимо за формулою (18.10). Отримаємо

Все різноманіття існуючих опорних пристроїв схематизується у вигляді ряду основних типів опор, з яких

найчастіше зустрічаються: шарнірно-рухливаопора(можливі позначення для неї представлені на рис.1, а), шарнірно-нерухома опора(рис.1,б) та жорстке защемлення, або закладення(Рис.1, в).

У шарнірно-рухомій опорі виникає одна опорна реакція, перпендикулярна до опорної площини. Така опора позбавляє опорний перетин одного ступеня свободи, тобто перешкоджає зсуву в напрямку опорної площини, але допускає переміщення в перпендикулярному напрямку та поворот опорного перерізу.
У шарнірно-нерухомій опорі виникають вертикальна та горизонтальна реакції. Тут неможливі переміщення у напрямах опорних стрижнів, але допускається поворот опорного перерізу.
У жорсткому закладенні виникають вертикальна та горизонтальна реакції та опорний (реактивний) момент. При цьому опорний переріз не може зміщуватися і повертатися. При розрахунку систем, що містять жорстке закладення, опорні реакції, що виникають, можна не визначати, вибираючи при цьому відсічену частину так, щоб закладення з невідомими реакціями в неї не потрапляла. При розрахунку систем на шарнірних опорах реакції опор повинні бути обов'язково визначені. Рівняння статики, що використовуються для цього, залежать від виду системи (балка, рама та ін.) та будуть наведені у відповідних розділах цього посібника.

2. Побудова епюр поздовжніх сил Nz

Поздовжня сила в перерізі чисельно дорівнює алгебраїчній сумі проекцій всіх сил, прикладених по одну сторону від перерізу, що розглядається, на поздовжню вісь стрижня.

Правило знаків для Nz: умовимося вважати поздовжню силу в перерізі позитивною, якщо зовнішнє навантаження, прикладене до розглянутої відсіченої частини стрижня, викликає розтяг і негативною - інакше.

приклад 1.Побудувати епюру поздовжніх сил для жорстко защемленої балки(Рис.2).

Порядок розрахунку:

1. Намічаємо характерні перерізи, нумеруючи їх від вільного кінця стрижня до закладення.
2. Визначаємо подовжню силу Nz у кожному характерному перерізі. При цьому розглядаємо завжди ту відсічену частину, в яку не потрапляє жорстка загортання.

За знайденими значеннями будуємо епюру Nz. Позитивні значення відкладаються (у вибраному масштабі) над віссю епюри, негативні – під віссю.

3. Побудова епюр крутних моментів Мкр.

Обертаючий моментв перерізі чисельно дорівнює сумі алгебри зовнішніх моментів, прикладених по одну сторону від аналізованого перерізу, щодо поздовжньої осі Z.

Правило знаків для Мкр: умовимося рахувати обертаючий моменту перерізі позитивним, якщо при погляді на переріз з боку відсіченої частини, що розглядається, зовнішній момент видно спрямованим проти руху годинної стрілки і негативним - в іншому випадку.

приклад 2.Побудувати епюру моментів, що крутять, для жорстко защемленого стрижня(Рис.3, а).

порядок розрахунку.

Слід зазначити, що алгоритм і принципи побудови епюри моментів, що крутять, повністю збігаються з алгоритмом і принципами побудови епюри поздовжніх сил.

1. Намічаємо характерні перерізи.
2.Визначаємо крутний момент у кожному характерному перерізі.

За знайденими значеннями будуємо епюру Мкр(Рис.3,б).

4. Правила контролю епюр Nz та Мкр.

Для епюр поздовжніх силі моментів, що крутять, характерні певні закономірності, знання яких дозволяє оцінити правильність виконаних побудов.

1. Епюри Nz та Мкр завжди прямолінійні.

2. На ділянці, де немає розподіленого навантаження, епюра Nz(Мкр) – пряма, паралельна осі, а на ділянці під розподіленим навантаженням – похила пряма.

3. Під точкою докладання зосередженої сили на епюрі Nz обов'язково повинен бути стрибок на величину цієї сили, аналогічно під точкою додатка зосередженого моменту на епюрі Мкр буде стрибок на величину цього моменту.

5. Побудова епюр поперечних сил Qy та згинальних моментів Mx у балках

Стрижень, що працює на вигин, називається балкою. У перерізах балок, завантажених вертикальними навантаженнями, виникають, як правило, два внутрішні силові фактори. Qy та згинальниймомент Mx.

Поперечна силау перерізі чисельно дорівнює алгебраїчній сумі проекцій зовнішніх сил, прикладених з одного боку від розрізу, на поперечну (вертикальну) вісь.

Правило знаків для Qy:умовимося вважати поперечну силу в перерізі позитивної, якщо зовнішнє навантаження, прикладена до розглянутої відсіченої частини, прагне повернути цей переріз за годинниковою стрілкою та негативною - інакше.

Схематично це правило знаків можна у вигляді

Згинальний момент Mx у перерізі чисельно дорівнює алгебраїчній сумі моментів зовнішніх сил, прикладених по одну сторону від розрізу, що розглядається, щодо осі x , що проходить через даний переріз.

Правило знаків для Mx: умовимося вважати згинальний момент у перерізі позитивним, якщо зовнішнє навантаження, прикладене до розглянутої відсіченої частини, призводить до розтягування в даному перерізі нижніх волокон балки та негативного - інакше.

Схематично це правило знаків можна представити у вигляді:

Слід зазначити, що з використанням правил знаків для Mx у вказаному вигляді, епюра Mx завжди виявляється побудованої з боку стиснених волокон балки.

6. Консольні балки

При побудові епюр Qy та Mxу консольних, або жорстко защемлених, балках немає необхідності (як і в розглянутих раніше прикладах) обчислювати опорні реакції, що виникають у жорсткому закладенні, але вибирати відсічену частину потрібно так, щоб закладення в неї не потрапляло.

Приклад 3.Побудувати епюри Qy та Mx(Рис.4).

Порядок розрахунку.

1. Намічаємо характерні перерізи.

Насправді дуже часто трапляються випадки спільної роботи стрижня на вигин і розтягнення чи стиск. Подібного роду деформація може викликатися або спільною дією на балку поздовжніх і поперечних сил, або лише одними поздовжніми силами.

Перший випадок зображено Рис.1. На балку АВ діють рівномірно розподілене навантаження q і поздовжні стискаючі сили Р.

Рис.1.

Припустимо, що прогинами балки проти розмірами поперечного перерізу можна знехтувати; тоді з достатньою для практики ступенем точності вважатимуться, як і після деформації сили Р викликатимуть лише осьове стиск балки.

Застосовуючи спосіб складання дії сил, ми можемо знайти нормальна напругау будь-якій точці кожного поперечного перерізу балки як алгебраїчну суму напруги, викликаних силами Р і навантаженням q.

Стислі напруги від сил Р рівномірно розподілені по площі F поперечного перерізу і однакові для всіх перерізів

нормальні напруги від вигину у вертикальній площині у перерізі з абсцисою х, яка відрахована, скажімо, від лівого кінця балки, виражаються формулою

Таким чином, повна напруга в точці з координатою z (вважаючи від нейтральної осі) для цього перерізу дорівнює

На Рис.2 зображені епюри розподілу напруги у перерізі від сил Р, навантаження q і сумарна епюра.

Найбільша напруга у цьому перерізі буде у верхніх волокнах, де обидва види деформації викликають стиснення; в нижніх волокнах може бути або стиснення або розтягування залежно від числових величин напруги та. Для складання умови міцності знайдемо найбільшу нормальну напругу.

Рис.2.

Так як напруги від сил Р у всіх перерізах однакові і рівномірно розподілені, то небезпечними будуть волокна, найбільш напружені від вигину. Такими є крайні волокна в перерізі з найбільшим згинальним моментом; для них

Таким чином, напруги в крайніх волокнах 1 і 2 середнього перерізу балки виражаються формулою

і розрахункова напруга буде рівна

Якби сили Р були розтягуючими, то знак першого доданка змінився б, небезпечними були б нижні волокна балки.

Позначаючи буквою N силу, що стискає або розтягує, можемо написати загальну формулудля перевірки міцності

Описаний хід розрахунку застосовується при дії на балку похилих сил. Таку силу можна розкласти на нормальну до осі, що згинає балку, і поздовжню, що стискає або розтягує.

балка вигин сила стиск