Поздовжня та поперечна деформація. Деформації Нормальні напруження при розтягуванні та стисканні
Мати уявлення про поздовжні та поперечні деформації та їх зв'язок.
Знати закон Гука, залежності та формули для розрахунку напружень та переміщень.
Вміти проводити розрахунки на міцність та жорсткість статично визначних брусів при розтягуванні та стисканні.
Деформації при розтягуванні та стисканні
Розглянемо деформацію бруса під дією поздовжньої сили F(Рис. 4.13).
Початкові розміри бруса: - Початкова довжина, - Початкова ширина. Брус подовжується на величину Δl; Δ1- Абсолютне подовження. При розтягуванні поперечні розміри зменшуються, Δ а- абсолютне звуження; Δ1 > 0; Δ а<0.
При стисканні виконується співвідношення Δl< 0; Δ а> 0.
У опорі матеріалів прийнято розраховувати деформації у відносних одиницях: рис.4.13
Відносне подовження;
Відносне звуження.
Між поздовжньою та поперечною деформаціями існує залежність ε′=με, де μ – коефіцієнт поперечної деформації, або коефіцієнт Пуассона, - характеристика пластичності матеріалу.
Кінець роботи -
Ця тема належить розділу:
Теоретична механіка
Теоретична механіка.. введення.. будь-яке явище в навколишньому макросвіті пов'язане з рухом отже не може не мати того чи іншого.
Якщо вам потрібно додатковий матеріална цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:
Що робитимемо з отриманим матеріалом:
Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:
| Твітнути |
Всі теми цього розділу:
Аксіоми статики
Умови, за яких тіло може перебувати в рівновазі, виводитися з кількох основних положень, що застосовуються без доказів, але підтверджених досвідом та званих аксіомами статики.
Зв'язки та реакції зв'язків
Усі закони та теореми статики справедливі для вільного твердого тіла. Всі тіла поділяються на вільні та пов'язані. Вільним називається тіло, яке не випробувало
Визначення рівнодіючим геометричним способом
Знати геометричний спосіб визначення рівнодіючої системи сил, умови рівноваги плоскої системи сил, що сходяться.
Рівнодійна сила, що сходяться
Рівночинну двох сил, що перетинаються, можна визначити за допомогою паралелограма або трикутника сил (4-а аксіома) (рис. 1.13).
Проекція сили на вісь
Проекція сили на вісь визначається відрізком осі, що відсікається перпендикулярами, опущеними на вісь із початку та кінця вектора (рис. 1.15).
Визначення рівнодіючої системи сил аналітичним способом
Величина рівнодіючої дорівнює векторній (геометричній) сумі векторів системи сил. Визначаємо рівнодіючу геометричним способом. Виберемо систему координат, визначимо проекції всіх завдань
Умови рівноваги плоскої системи схожих сил в аналітичній формі
Виходячи з того, що рівнодіюча дорівнює нулю, отримаємо: FΣ
Методика розв'язання задач
Розв'язання кожного завдання можна умовно поділити на три етапи. Перший етап: Відкидаємо зовнішні зв'язки системи тіл, рівновага якої розглядається, та замінюємо їхню дію реакціями. Необхідно
Пара сил та момент сили щодо точки
Знати позначення, модуль та визначення моментів пари сил та сили щодо точки, умови рівноваги системи пар сил. Вміти визначати моменти пар сил та момент сили відносник
Еквівалентність пар
Дві пари сил вважаються еквівалентними в тому випадку, якщо після заміни однієї пари іншою парою механічний стан тіла не змінюється, тобто не змінюється рух тіла або не порушується його
Опори та опорні реакції балок
Правило визначення напрями реакцій зв'язків (рис.1.22). Шарнірно-рухлива опора допускає поворот навколо осі шарніра та лінійне переміщення паралельно опорній площині.
Приведення сили до точки
Довільна плоска система сил є системою сил, лінії дії яких розташовані в площині будь-яким чином (рис. 1.23). Візьмемо силу
Приведення плоскої системи сил до цієї точки
Метод приведення однієї сили до цієї точки можна застосувати до будь-якого числа сил. Припустимо, що
Вплив точки наведення
Точка приведення обрана довільно. Довільна плоска система сил є системою сил, лінія дії яких розташовані в площині будь-яким чином. При зміні за
Теорема про момент рівнодіючої (теорема Варіньйона)
У загальному випадку довільна плоска система сил наводиться до головного вектора F"гл і до головного моменту Мгл щодо обраного центру приведення, причому
Умова рівноваги довільно плоскої системи сил
1)При рівновазі головний вектор системи дорівнює нулю (=0).
Балочні системи. Визначення реакцій опор та моментів затискання
Мати уявлення про види опор і реакції, що виникають в опорах. Знати три форми рівнянь рівноваги та вміти їх використовувати для визначення реакцій в опорах балкових систем.
Види навантажень
За способом застосування навантаження поділяються на зосереджені та розподілені. Якщо реально передача навантаження відбувається на малому майданчику (у точці), навантаження називають зосередженим
Момент сили щодо точки
Момент сили щодо осі характеризується обертальним ефектом, що створюється силою, що прагне повернути тіло навколо цієї осі. Нехай до тіла у довільній точці К прикладена сила
Вектор у просторі
У просторі вектор сили проектується на три взаємно перпендикулярні осі координат. Проекції вектора утворюють ребра прямокутного паралелепіпеда, Вектор сили збігається з діагоналлю (рис. 1.3
Приведення довільної просторової системи сил до центру
Дано просторову систему сил (рис. 7.5а). Наведемо її до центру О. Сили необхідно паралельно переміщати, при цьому утворюється система пар сил. Момент кожної з цих пар дорівнює
Деякі визначення теорії механізмів та машин
При подальшому вивченні предмета теоретичної механіки, особливо під час вирішення завдань, ми зіштовхнемося з новими поняттями, які стосуються науки, що називається теорією механізмів і машин.
Прискорення точки
Векторна величина, що характеризує швидкість зміни швидкості за величиною та направленням
Прискорення точки при криволінійному русі
При русі точки по криволінійному траєкторії швидкість змінює свій напрямок. Уявімо точку М, яка за час Δt, рухаючись по криволінійній траєкторії, перемістила
Рівномірний рух
Рівномірний рух – це рух із постійною швидкістю: v = const. Для прямолінійного рівномірного руху (рис. 2.9 а)
Нерівномірний рух
При нерівномірному русі чисельні значення швидкості та прискорення змінюються. Рівняння нерівномірного руху у загальному вигляді є рівнянням третьої S = f
Найпростіші рухи твердого тіла
Мати уявлення про поступальний рух, його особливості та параметри, про обертальний рух тіла та його параметри. Знати формули для визначення параметрів поступово
Обертальний рух
Рух, при якому принаймні точки твердого тіла або незмінної системи залишаються нерухомими, які називають обертальним; пряма лінія, що з'єднує ці дві точки,
Окремі випадки обертального руху
Рівномірне обертання (кутова швидкість стала): ω = const. Рівняння (закон) рівномірного обертання у разі має вид: `
Швидкості і прискорення точок тіла, що обертається
Тіло обертається навколо точки О. Визначимо параметри руху точки Л, розташованої на відстані від осі обертання (рис. 11.6, 11.7).
Перетворення обертального руху
Перетворення обертального руху здійснюється різноманітними механізмами, що називаються передачами. Найбільш поширеними є зубчасті та фрикційні передачі, а також
Основні визначення
Складним рухом вважають рух, який можна розкласти на кілька найпростіших. Простими рухами вважають поступальне та обертальне. Для розгляду складного руху точ
Плоскопаралельний рух твердого тіла
Плоскопаралельним, або плоским, називається такий рух твердого тіла, при якому всі точки тіла переміщуються паралельно деякою нерухомою в системі відліку, що розглядається.
Метод визначення миттєвого центру швидкостей
Швидкість будь-якої точки тіла можна визначати за допомогою миттєвого центру швидкостей. У цьому складне рух представляють як ланцюга обертань навколо різних центрів. Завдання
Поняття тертя
Абсолютно гладких і абсолютно твердих тіл у природі не існує, і тому при переміщенні одного тіла поверхнею іншого виникає опір, який називається тертям.
Тертя ковзання
Тертям ковзання називається тертя руху, у якому швидкості тіл у точці торкання різні за значенням та (або) напрямку. Тертя ковзання, як і тертя спокою, обумовлено
Вільна та невільна точки
Матеріальна точка, рух якої у просторі не обмежена будь-якими зв'язками, називається вільною. Завдання вирішуються з допомогою основного закону динаміки. Матеріальні то
Принцип кінетостатики (принцип Даламбера)
Принцип кінетостатики використовують для спрощення розв'язання низки технічних завдань. Реально сили інерції прикладені до тіл, пов'язаних з тілом, що розганяється (до зв'язків). Даламбер запропонував
Робота постійної сили на прямолінійному шляху
Робота сили в загальному випадку чисельно дорівнює добутку модуля сили на довжину пройденого мм шляху та на косинус кута між напрямком сили та напрямком переміщення (рис. 3.8): W
Робота постійної сили на криволінійному шляху
Нехай точка М рухається дугою кола і сила F становить деякий кут а
Потужність
Для характеристики працездатності та швидкості виконання роботи введено поняття потужності.
Коефіцієнт корисної дії
Здатність тіла під час переходу з одного стану до іншого виконувати роботу називається енергією. Енергія є загальний захід різних формруху та взаємодії матері
Закон зміни кількості руху
Кількість руху матеріальної точки називається векторна величина, рівна добутку маси точки на її швидкість
Потенційна та кінітецька енергія
Існують дві основні форми механічної енергії: потенційна енергія, або енергія становища, та кінетична енергія, або енергія руху. Найчастіше доводиться їм
Закон зміни кінетичної енергії
Нехай на матеріальну точку масою m діє постійна сила. У цьому випадку точк
Основи динаміки системи матеріальних точок
Сукупність матеріальних точок, пов'язаних між собою силами взаємодії, називається механічною системою. Будь-яке матеріальне тіло в механіці сприймається як механічна.
Основне рівняння динаміки тіла, що обертається
Нехай тверде тіло під дією зовнішніх сил обертається навколо осі Oz із кутовою швидкістю
Моменти інерції деяких тіл
Момент інерції суцільного циліндра (рис. 3.19) Момент інерції порожнистого тонкостінного цилі
Опір матеріалів
Мати уявлення про види розрахунків у опорі матеріалів, про класифікацію навантажень, про внутрішні силові фактори і деформації, що виникають, про механічні напруги. Зн
Основні положення. Гіпотези та припущення
Практика показує, що це частини конструкцій під впливом навантажень деформуються, т. е. змінює свою форму і розміри, а деяких випадках відбувається руйнація конструкції.
Зовнішні сили
У опорі матеріалів під зовнішніми впливами мається на увазі не тільки силова взаємодія, а й теплове, що виникає через нерівномірну зміну температурного ре
Деформації лінійні та кутові. Пружність матеріалів
На відміну від теоретичної механіки, де вивчалася взаємодія абсолютно жорстких (недеформованих) тіл, у опорі матеріалів досліджується поведінка конструкцій, матеріал яких здатний де
Допущення та обмеження, прийняті у опорі матеріалів
Реальні будівельні матеріали, з яких зводяться різні будівліі споруди, є досить складні і неоднорідні тверді тіла, які мають різні властивості. Врахувати це
Види навантажень та основних деформацій
У процесі роботи машин та споруд їх вузли та деталі сприймають і передають один одному різні навантаження, тобто силові впливи, що викликають зміну внутрішніх сил та
Форми елементів конструкції
Все різноманіття форм зводиться до трьох видів за однією ознакою. 1. Брус - будь-яке тіло, у якого довжина значно більша за інші розміри. Залежно від форм поздовжньої
Метод перерізів. Напруга
Знати метод перерізів, внутрішні силові фактори, що становлять напруги. Вміти визначати види навантажень та внутрішні силові фактори у поперечних перерізах. Для ра
Розтягування та стиснення
Розтягуванням або стиском називають вид навантаження, при якому в поперечному перерізі бруса виникає тільки один внутрішній силовий фактор - поздовжня сила. Поздовжні сили м
Центральний розтяг прямого бруса. Напруження
Центральним розтягуванням або стисненням називається такий вид деформації, при якому в будь-якому поперечному перерізі бруса виникає лише поздовжня (нормальна) сила N, а решта всіх внутрішніх
Напруги при розтягуванні та стисканні
При розтягуванні та стисканні в перетині діє лише нормальна напруга. Напруги у поперечних перерізах можуть розглядатися як сили, що припадають на одиницю площі. Таким
Закон Гука при розтягуванні та стисканні
Напруги та деформації при розтягуванні та стиску пов'язані між собою залежністю, яка називається законом Гука, на ім'я встановив цей закон англійського фізика Роберта Гука (1635 - 1703).
Формули для розрахунку переміщень поперечних перерізів бруса при розтягуванні та стисканні
Використовуємо відомі формули. Закон Гука σ=Еε. Звідки.
Механічні випробування. Статичні випробування на розтягування та стиснення
Це стандартні випробування: обладнання - стандартна розривна машина, стандартний зразок (круглий або плоский), стандартна методика розрахунку. На рис. 4.15 представлена схема
Механічні характеристики
Механічні характеристики матеріалів, тобто величини, що характеризують їх міцність, пластичність, пружність, твердість, а також пружні постійні Е і υ, необхідні конструктору для
Розглянемо деформації, що виникають при розтягуванні та стисканні стрижнів. При розтягуванні довжина стрижня збільшується, а поперечні розміри скорочуються. При стисканні, навпаки, довжина стрижня зменшується, а поперечні розміри збільшуються. На рис.2.7 пунктиром показано деформований вигляд розтягнутого стрижня.
ℓ – довжина стрижня до застосування навантаження;
ℓ 1 – довжина стрижня після застосування навантаження;
b – поперечний розмір до застосування навантаження;
b 1 – поперечний розмір після застосування навантаження.
Абсолютна поздовжня деформація ∆ℓ = ℓ 1 – ℓ.
Абсолютна поперечна деформація ∆b = b1 – b.
Значення відносної лінійної деформації можна визначити як відношення абсолютного подовження ∆ℓ до початкової довжини бруса ℓ
Аналогічно перебувають поперечні деформації.
При розтягуванні поперечні розміри зменшуються: ε > 0, ε′< 0; при сжатии: ε < 0, ε′ >0. Досвід показує, що при пружних деформаціях поперечна завжди прямо пропорційна поздовжній.
ε′ = – νε. (2.7)
Коефіцієнт пропорційності ν називається коефіцієнтом Пуассона або коефіцієнтом поперечної деформації. Він є абсолютною величиною відношення поперечної деформації до поздовжньої при осьовому розтягуванні
Названий на ім'я французького вченого, який уперше запропонував його на початку XIX століття. Коефіцієнт Пуассон є величина постійна для матеріалу в межах пружних деформацій (тобто деформацій, що зникають після зняття навантаження). Для різних матеріалівкоефіцієнт Пуассона змінюється не більше 0 ≤ ν ≤ 0,5: для сталі ν = 0,28…0,32; для гуми = 0,5; для пробки = 0.
Між напруженнями та пружними деформаціями існує залежність, відома під назвою закон Гука:
σ = Еε. (2.9)
Коефіцієнт пропорційності між напругою і деформацією називається модулем нормальної пружності або модулем Юнга. Розмірність Е така сама, як і у напруги. Так само, як і ν, Е – пружна постійна матеріалу. Чим більше значенняЕ, тим менше, за інших рівних умов, поздовжня деформація. Для сталі Е = (2...2,2) 105 МПа або Е = (2...2,2) 104 кН/см 2 .
Підставляючи у формулу (2.9) значення σ за формулою (2.2) та ε за формулою (2.5) , отримаємо вираз для абсолютної деформації
Твір EF називається жорсткістю бруса при розтягуванні та стисканні.
Формули (2.9) та (2.10) – це різні формизапису закону Гука, запропонованого в середині XVII ст. Сучасна формазаписи цього фундаментального закону фізики з'явилася набагато пізніше – на початку ХІХ століття.
Формула (2.10) справедлива лише межах тих ділянок, де сила N і жорсткість EF постійні. Для ступінчастого стрижня і стрижня, навантаженого декількома силами, подовження підраховуються по ділянках з постійними N і F і результати підсумовуються алгебраїчно
Якщо ці величини змінюються за безперервним законом, ∆ℓ обчислюється за формулою
У ряді випадків для забезпечення нормальної роботи машин та споруд розміри їх деталей повинні бути обрані так, щоб, крім умови міцності, забезпечувалася умова жорсткості
де ∆ℓ – зміна розмірів деталі;
[∆ℓ] – допустима величина цієї зміни.
Підкреслюємо, що розрахунок на твердість завжди доповнює розрахунок на міцність.
2.4. Розрахунок стрижня з урахуванням власної ваги
Найпростішим прикладом задачі про розтягнення стрижня зі змінними по довжині параметрами є задача про розтягнення призматичного стрижня під дією власної ваги (рис.2.8 а). Поздовжня сила N x у поперечному перерізі цього бруса (на відстані x від нижнього кінця) дорівнює силі тяжкості нижчележачої частини бруса (рис.2.8,б), тобто.
N x = γFx, (2.14)
де γ – об'ємна вага матеріалу стрижня.
Поздовжня сила та напруги змінюються за лінійним законом, досягаючи максимуму в закладенні. Осьове переміщення довільного перерізу дорівнює подовженню вище розташованої частини бруса. Тому визначити його потрібно за формулою (2.12), інтегрування вести від поточного значення х до х = ℓ:
Отримали вираз для довільного перерізу стрижня
При х = ℓ переміщення найбільше, воно дорівнює подовженню стрижня
На рис.2.8,в,г,д наведено графіки N x , σ х і u x
Помножимо чисельник і знаменник формули (2.17) на F і отримаємо:
Вираз γFℓ дорівнює власній вазі стрижня G. Тому
Формула (2.18) може бути одразу отримана з (2.10)., якщо пам'ятати, що рівнодіюча власна вага G повинна бути додана в центрі тяжкості стрижня і тому вона викликає подовження тільки верхньої половини стрижня (рис.2.8,а).
Якщо стрижні, крім власної ваги, навантажені ще зосередженими поздовжніми силами, то напруги та деформації визначають на основі принципу незалежності дії сил окремо від зосереджених сил та від власної ваги, після чого результати складають.
Принцип незалежності дії силвитікає з лінійної деформованості пружних тіл. Суть його полягає в тому, що будь-яка величина (напруга, переміщення, деформація) від дії групи сил може бути отримана як сума величин, знайдених від кожної сили окремо.
Відношення абсолютного подовження стрижня до його первісної довжини називається відносним подовженням (-епсілон) або поздовжньою деформацією. Поздовжня деформація – це безрозмірна величина. Формула безрозмірної деформації:
При розтягуванні поздовжня деформація вважається позитивною, а за стисненні – негативною.
Поперечні розміри стрижня в результаті деформування змінюються, при цьому при розтягуванні вони зменшуються, а при стисканні - збільшуються. Якщо матеріал є ізотропним, його поперечні деформації рівні між собою:
.
Досвідченим шляхом встановлено, що при розтягуванні (стисненні) у межах пружних деформацій відношення поперечної деформації до поздовжньої є постійною для даного матеріалу величиною. Модуль відношення поперечної деформації до поздовжньої, що називається коефіцієнтом Пуассона або коефіцієнтом поперечної деформації, обчислюється за формулою:
Для різних матеріалів коефіцієнт Пуассона змінюється не більше. Наприклад, для пробки, для каучуку, для сталі, для золота.
Закон Гука
Сила пружності, що виникає у тілі за його деформації, прямо пропорційна величині цієї деформації
Для тонкого розтягненого стрижня закон Гука має вигляд:
Тут – сила, якою розтягують (стискають) стрижень, – абсолютне подовження (стиснення) стрижня, а – коефіцієнт пружності (або жорсткості).
Коефіцієнт пружності залежить як від властивостей матеріалу, і від розмірів стрижня. Можна виділити залежність від розмірів стрижня (площі поперечного перерізуі довжини) явно, записавши коефіцієнт пружності як
Величина називається модулем пружності першого роду або модулем Юнга і є механічною характеристикоюматеріалу.
Якщо ввести відносне подовження
І нормальна напруга у поперечному перерізі
То закон Гука у відносних одиницях запишеться як
У такій формі він справедливий для будь-яких мінімальних обсягів матеріалу.
Також при розрахунку прямих стрижнів застосовують запис закону Гука у відносній формі
Модуль Юнга
Модуль Юнга (модуль пружності) - фізична величина, що характеризує властивості матеріалу чинити опір розтягуванню/стиску при пружній деформації.
Модуль Юнга розраховується так:
Де:
E - модуль пружності,
F - сила,
S - площа поверхні, за якою розподілено дію сили,
l - довжина стрижня, що деформується,
x - модуль зміни довжини стрижня в результаті пружної деформації (виміряного в тих самих одиницях, що й довжина l).
Через модуль Юнга обчислюється швидкість поширення поздовжньої хвилі в тонкому стрижні:
Де – щільність речовини.
Коефіцієнт Пуассона
Коефіцієнт Пуассона (позначається як або) - абсолютна величина відношення поперечної до поздовжньої відносної деформації зразка матеріалу. Цей коефіцієнт залежить немає від розмірів тіла, як від природи матеріалу, з якого виготовлений зразок.
Рівняння
,
де
- коефіцієнт Пуассона;
- деформація в поперечному напрямку (негативна при осьовому розтягуванні, позитивна при осьовому стисканні);
- Поздовжня деформація (позитивна при осьовому розтягуванні, негативна при осьовому стиску).
Лекція №5
Тема: « Розтягування та стиск»
Запитання:
1. Нормальні напруження при розтягуванні та стисканні
2. Визначення поздовжньої та поперечної деформації. Закон Гука
4. Температурна напруга
5. Монтажна напруга
1. Нормальні напруження при розтягуванні та стисканні
Якщо на поверхню призматичного стрижня нанести сітку ліній, паралельних і перпендикулярних до осі стрижня, і прикласти до нього розтягуючу силу, то можна переконатися в тому, що лінії сітки і після деформації залишаться взаємно перпендикулярними (див. рис. 1).
Рис. 1
Усі горизонтальні лінії, наприклад, cd перемістяться вниз, залишаючись горизонтальними та прямими. Можна припустити також, що усередині стрижня буде така сама картина, тобто. "поперечні перерізи стрижня, плоскі та нормальні до його осі до деформації, залишаться плоскими та нормальними до осі та після деформації". Ця важлива гіпотеза називається гіпотези плоских перерізів або гіпотези Бернуллі. Формули, отримані з урахуванням цієї гіпотези, підтверджуються результатами дослідів.
Така картина деформацій дає підставу вважати, що в поперечних перерізах діють лише нормальні напруження, однакові у всіх точках перерізу, а дотичні напруження дорівнюють нулю. Якби виникали дотичні напруги, то спостерігалася б кутова деформація, і кути між поздовжніми та поперечними лініями перестали бути прямими. Якби нормальні напруги були не однаковими у всіх точках перерізу, там, де напруги вище, була б і більша деформація, а отже, поперечні перерізи не були б плоскими і паралельними. Прийнявши гіпотезу плоских перерізів, ми встановлюємо, що 
.
Оскільки поздовжня сила є рівнодією внутрішніх сил 
, що виникають на нескінченно малих майданчиках (див. рис 3.2), її можна представити у вигляді:
Рис. 2
Постійні величини можна виносити за знак інтеграла:
де А – площа поперечного перерізу.
Отримуємо формулу для знаходження нормальних напруг при розтягуванні або стисненні:
(1)
Це одна з найважливіших формул у опорі матеріалів тому її виділимо в рамочки і також надходитимемо надалі.
При розтягуванні 
позитивно, при стисканні – негативно.
Якщо на брус діє лише одна зовнішня сила F, то
N= F,
і напруги можна визначати за такою формулою:
2. Визначення поздовжньої та поперечної деформації
В пружній стадії роботи більшості конструкційних матеріалів напруги та деформації пов'язані прямою залежністю, яка називається законом Гука:
(2)
де Е - модуль поздовжньої пружності або модуль Юнга, що вимірюється в МПа, характеризує жорсткість матеріалу, тобто. здатність чинити опір деформаціям, його значення наведені в таблиціx довідника;
відносна поздовжня деформація, величина безрозмірна, оскільки:
; (3)
абсолютне подовження стрижня, м;
l первісна довжина, м.
Що значення модуля поздовжньої пружності Е, то менше деформація. Наприклад, для сталі Е=2,110 5 МПа, а для чавуну Е=(0,75…1,6)10 5 МПа, тому елемент конструкції із чавуну за однакових інших умов отримає більшу деформацію, ніж зі сталі. Тут не треба плутати з тим, що доведений до розриву стрижень зі сталі матиме значно більшу деформацію, ніж чавунний. Йдеться не про граничну деформацію, йдеться про деформацію на пружній стадії, тобто. без виникнення пластичних деформацій, і за однакового навантаження.
Перетворимо закон Гука, замінивши з рівняння (3.3):
Підставимо значення 
із формули (1):
(4)
Ми отримали формулу для абсолютного подовження (укорочення) стрижня. При розтягуванні 
позитивна, при стисканні – негативна. твір, добуток ЕАназивають твердістю бруса.
При розтягуванні стрижень стає тоншим, при стисканні - товщі. Зміна розмірів поперечного перерізу називається поперечною деформацією. Наприклад, у прямокутного перерізу до навантаження були ширина bта висота перерізу h, а після навантаження b 1 і h 1 . Відносна поперечна деформація для ширини перерізу:
для висоти перерізу:
У ізотропних матеріалів властивості однакові у всіх напрямках. Тому:
При розтягуванні поперечна деформація негативна, при стисканні позитивна.
Відношення поперечної деформації до поздовжньої називається коефіцієнтом поперечної деформації або коефіцієнтом Пуассона:
(5)
Експериментально встановлено, що у пружній стадії роботи будь-якого матеріалу значення 
та постійно. Воно лежить у межах 0 
0,5 та для конструкційних матеріалів дається в таблицях довідника.
З залежності (5) можна отримати таку формулу:
(6)
При розтягуванні (стисненні) поперечні перерізи бруса переміщуються у поздовжньому напрямку. Переміщення є наслідком деформації, але ці два поняття слід чітко розмежовувати. Для стрижня (див. рис. 3) визначимо величину деформації та побудуємо епюру переміщень.
Рис. 3
Як видно з малюнка, відрізок стрижня АВ не розтягується, але переміщення отримає, оскільки подовжиться відрізок СВ. Його подовження одно:
Переміщення поперечних перерізів позначимо через 
. У перетині переміщення дорівнює нулю. Від перерізу З до перерізу У переміщення дорівнює подовженню, тобто. зростає пропорційно до 
у перерізі В. Для перерізів від В до А переміщення однакові та рівні 
тому що цей відрізок стрижня не деформується.
3. Статично невизначені завдання
Статично невизначеними прийнято вважати системи, зусилля яких не можна визначити з допомогою лише рівнянь статики. Всі статично невизначені системи мають "зайві" зв'язки у вигляді додаткових закріплень, стрижнів та інших елементів. "Зайвими" такі зв'язку називають тому, що вони не є необхідними з точки зору забезпечення рівноваги системи або її геометричної незмінності, та їх пристрій має конструктивні або експлуатаційні цілі.
Різниця між кількістю невідомих та кількістю незалежних рівнянь рівноваги, які можна скласти для даної системи, характеризує кількість зайвих невідомих чи ступінь статичної невизначеності.
Статично невизначені системи вирішують шляхом складання рівнянь переміщення певних точок, кількість яких має дорівнювати ступеню невизначеності системи.
Нехай на стрижень, жорстко оббитий обома кінцями, діє сила F(Див. рис. 4). Визначимо реакції опор.
Рис. 4
Реакції опор направимо вліво, оскільки сила F діє праворуч. Оскільки вага сили діють по одній лінії, можна скласти лише одне рівняння статичної рівноваги:
-B+F-C=0;
Отже, дві невідомі реакції опор і С і одне рівняння статичної рівноваги. Система один раз статично невизначена. Отже, для її вирішення потрібно скласти одне додаткове рівняння, що ґрунтується на переміщеннях точки С. Подумки відкинемо праву опору. Від сили F ліва частина стрижня ВД розтягуватиметься і перетин З зміститься праворуч на величину цієї деформації:
Від реакції опори З стрижень стискатиметься і перетин переміститься вліво на величину деформації всього стрижня:
Опора не дозволяє перерізу З переміщатися ні вліво, ні вправо, тому сума переміщень від сил F і С повинна дорівнювати нулю:
|
Підставивши значення З рівняння статичної рівноваги, визначимо другу реакцію опори:
4. Температурна напруга
У статично невизначених системах при зміні температури можуть виникати напруження. Нехай стрижень, жорстко закріплений з двох кінців, нагрівається на температуру. 
град. (Див. рис. 5).
Рис. 5
При нагріванні тіла розширюються, і стрижень прагнутиме подовжитися на величину:
де 
коефіцієнт лінійного розширення,
l первісна довжина.
Опори не дозволяють стрижню подовжитися, тому стрижень стискається на величину:
Відповідно до формули (4):
=
;
оскільки:
(7)
Як видно з формули (7) температурні напруження не залежать від довжини стрижня, а залежать лише від коефіцієнта лінійного розширення, модуля поздовжньої пружності та зміни температури.
Температурна напруга може досягати великих значень. Для їх зменшення у конструкціях передбачаються спеціальні температурні зазори (наприклад, зазори у стиках рейок) або компенсаційні пристрої (наприклад, коліна у трубопроводах).
5. Монтажна напруга
Елементи конструкції можуть мати відхилення у розмірах при виготовленні (наприклад, через зварювання). При складанні розміри не збігаються (наприклад, отвори під болти), і прикладаються зусилля, щоб зібрати вузли. В результаті в елементах конструкції виникають внутрішні зусилля без застосування зовнішнього навантаження.
Нехай між двох жорстких закладень вставлений стрижень, довжина якого на величину абільше відстані між опорами (див. мал. 6). Стрижень відчуватиме стиснення. Визначимо напруги, використовуючи формулу (4):
(8)
Рис. 6
Як видно з формули (8) монтажна напруга прямо пропорційна похибкам у розмірах а. Тому бажано мати а=0, особливо для стрижнів невеликої довжини, оскільки 
обернено пропорційно довжині.
Однак у статично невизначених системах до монтажних напруг спеціально вдаються, щоб підвищити несучу здатністьконструкції.
Зміна розмірів, обсягу і можливо форми тіла, при зовнішньому впливі на нього, називають у фізиці деформацією. Тіло деформується при розтягуванні, стисненні або (і) при зміні його температури.
Деформація виникає тоді, коли різні частини тіла здійснюють різні переміщення. Так, наприклад, якщо гумовий шнур тягнути за кінці, різні його частини змістяться відносно один одного, і шнур виявиться деформованим (розтянеться, подовжиться). При деформації змінюються відстані між атомами чи молекулами тіл, тому виникають сили пружності.
Нехай прямий брус, довжиною і має постійний переріз, закріплений одним кінцем. За інший кінець його розтягують, прикладаючи чинність (рис.1). При цьому тіло подовжується на величину, яку називають абсолютним подовженням (або абсолютною поздовжньою деформацією).
У будь-якій точці тіла, що розглядається, є однаковий напружений стан. Лінійну деформацію () при розтягуванні та стисканні подібних об'єктів називають відносним подовженням (відносною поздовжньою деформацією):
Відносна поздовжня деформація
Відносна поздовжня деформація – величина безрозмірна. Зазвичай відносне подовження набагато менше одиниці ().
Деформацію подовження зазвичай вважають позитивною, а деформацію стиснення негативною.
Якщо напруга в брусі не перевищує певної межі, експериментально встановлено залежність:
де - поздовжня сила у поперечних перерізах бруса; S – площа поперечного перерізу бруса; E – модуль пружності (модуль Юнга) – фізична величина, характеристика жорсткості матеріалу. Зважаючи на те, що нормальна напруга в поперечному перерізі ():
Абсолютне подовження бруса можна виразити як:
Вираз (5) є математичним записом закону Р. Гука, який відбиває пряму залежність між силою та деформацією при невеликих навантаженнях.
У наступному формулюванні, закон Гука використовується не тільки при розгляді розтягування (стиснення) бруса: Відносна поздовжня деформація прямо пропорційна до нормальної напруги.
Відносна деформація при зрушенні
При зрушенні відносну деформацію характеризують за допомогою формули:
де - Відносне зрушення; - абсолютне зрушення шарів паралельних по відношенню один до одного; h - відстань між шарами; - Кут зсуву.
Закон Гука для зсуву записують як:
де G - модуль зсуву, F - сила, що викликає зсув, паралельна шарам тіла, що зсуваються.
Приклади розв'язання задач
ПРИКЛАД 1
| Завдання | Яким є відносне подовження сталевого стрижня, якщо його верхній кінець закріплений нерухомо (рис.2)? Площа поперечного перерізу стрижня. До нижнього кінця стрижня прикріплено вантаж масою кг. Вважайте, що власна маса стрижня набагато менша, ніж маса вантажу. |
| Рішення | Сила, яка змушує стрижень розтягуватися, дорівнює силі тяжкості вантажу, що знаходиться на нижньому кінці стрижня. Ця сила діє вздовж осі стрижня. Відносне подовження стрижня знайдемо як:
де. Перед тим, як проводити розрахунок, слід знайти в довідниках модуль Юнга для сталі. Па. |
| Відповідь |
ПРИКЛАД 2
| Завдання | Нижня основа металевого паралелепіпеда з основою у вигляді квадрата зі стороною a та висотою h закріплена нерухомо. На верхню основу паралельно до основи діє сила F (рис.3). Якою є відносна деформація зсуву ()? Модуль зсуву (G) вважайте відомим. |
