Водопровід

Вигин із крученням круглого бруса. Розрахунок круглого бруса на вигин із крученням Вигин з крученням бруса круглого поперечного перерізу

Просторовий (складний) вигин

Просторовим вигином називається такий вид складного опору, при якому в поперечному перерізі бруса діють тільки згинальні моменти. Повний згинальний момент при цьому діє в жодній з головних площин інерції. Поздовжня сила відсутня. Просторовий або складний вигин часто називають неплоським вигином, тому що вигнута вісь стрижня не є плоскою кривою. Такий вигин викликається силами, що діють у різних площинах перпендикулярно до осі балки (Рис. 1.2.1).

Рис.1.2.1

Наслідуючи порядок вирішення завдань при складному опорі, викладеному вище, розкладаємо просторову систему сил, представлену на рис. 1.2.1 на дві такі, щоб кожна з них діяла в одній з головних площин. В результаті отримуємо два плоскі поперечні вигини - у вертикальній і горизонтальній площині. З чотирьох внутрішніх силових факторів, які при цьому виникають у поперечному перерізі балки, враховуватимемо вплив лише згинальних моментів. Будуємо епюри, викликаних відповідно до сил (Рис. 1.2.1).

Аналізуючи епюри згинальних моментів, приходимо до висновку, що небезпечним є переріз А, оскільки саме в цьому перерізі виникають найбільші за величиною згинальні моменти. Тепер необхідно встановити небезпечні точки перетину А. Для цього збудуємо нульову лінію. Рівняння нульової лінії з урахуванням правила знаків для членів, що входять до цього рівняння, має вигляд:

Тут прийнято знак “” біля другого члена рівняння, оскільки напруги першої чверті, викликані моментом, будуть негативними.

Визначимо кут нахилу нульової лінії з позитивним напрямком осі (Рис.12.6):

Рис. 1.2.2

З рівняння (8) випливає, що нульова лінія при просторовому згині є прямою лінією та проходить через центр тяжкості перерізу.

З рис. 1.2.2 видно, що найбільша напруга виникне в найбільш віддалених від нульової лінії точках перерізу №2 та №4. За величиною нормальні напруженняу цих точках будуть однаковими, але за знаком відрізняються: у точці №4 напруги будуть позитивними, тобто. розтягуючими, точці №2 - негативними, тобто. стискають. Знаки цих напруг встановлені з фізичних міркувань.

Тепер, коли небезпечні точки встановлені, обчислимо максимальну напругу в перерізі А і перевіримо міцність балки за допомогою виразу:

Умова міцності (10) дозволяє як виконати перевірку міцності балки, а й підібрати розміри її поперечного перерізу, якщо задане співвідношення сторін поперечного перерізу.

Поєднання вигину та кручення брусів круглого поперечного перерізу найчастіше розглядається при розрахунку валів. Значно рідше трапляються випадки вигину з крученням брусів некруглого перерізу.

У § 1.9 встановлено, що у разі коли моменти інерції перерізу щодо головних осей рівні між собою, косий вигин бруса неможливий. У зв'язку з цим неможливий косий вигин брусів круглого перерізу. Тому у випадку дії зовнішніх сил брус круглого перерізу відчуває поєднання наступних видів деформації: прямого поперечного вигину, кручення та центрального розтягування (або стиснення).

Розглянемо такий окремий випадок розрахунку бруса круглого перерізу, коли в його поперечних перерізах поздовжня силадорівнює нулю. У цьому випадку брус працює на спільну дію вигину та кручення. Для пошуку небезпечної точкибруса необхідно встановити, як змінюються по довжині бруса величини згинальних та крутних моментів, тобто побудувати епюри повних згинальних моментів М та крутних моментів Побудова цих епюр розглянемо на конкретному прикладі валу, зображеного на рис. 22.9 а. Вал спирається на підшипники А і В і обертається двигуном С.

На вал насаджені шківи Е і F, через які перекинуті приводні ремені, що мають натяг . Припустимо, що вал обертається у підшипниках без тертя; власною вагою валу і шківів нехтуємо (у разі, коли їхня власна вага значний, його слід врахувати). Направимо вісь у поперечного перерізу валу вертикально, а вісь – горизонтально.

Величини сил можна визначити за допомогою формул (1.6) і (2.6), якщо, наприклад, відомі потужність, що передається кожним шківом, кутова швидкість валу та співвідношення Після визначення величин сил ці сили переносять паралельно самим собі до поздовжньої осі валу. При цьому до валу в перерізах, в яких розташовані шківи Е і F, прикладаються скручують і рівні відповідно Ці моменти врівноважуються моментом переданим від двигуна (рис. 22.9, б). Потім сили розкладають на вертикальні та горизонтальні складові. Вертикальні сили викличуть у підшипниках вертикальні реакції а горизонтальні сили - горизонтальні реакції Величини цих реакцій визначаються як для балки, що лежить на двох опорах.

Епюра згинальних моментів, що діють у вертикальній площині, будується від вертикальних сил (рис. 22.9, в). Вона показана на рис. 22.9, м. Аналогічно від горизонтальних сил (рис. 22.9, д) будується епюра згинальних моментів, що діють у горизонтальній площині (рис. 22.9, е).

За епюрами можна визначити (у будь-якому поперечному перерізі) повний згинальний момент М за формулою

За значеннями М, отриманими за допомогою цієї формули, будується епюра повних згинальних моментів (рис. 22.9 ж). На тих ділянках валу, на яких прямі, що обмежують епюри, перетинають осі епюр у точках, розташованих на одній вертикалі, епюра М обмежена прямими, а на інших ділянках вона обмежена кривими.

(Див. скан)

Наприклад, на ділянці валу, що розглядається, довжиною епюра М обмежена прямою (рис. 22.9, ж), так як епюри на цій ділянці обмежені прямими і , що перетинають осі епюр в точках розташованих на одній вертикалі.

На тій же вертикалі розташована і точка Про перетин прямий з віссю епюри. Аналогічний стан характерний і для ділянки валу довжиною

Епюра повних (сумарних) згинальних моментів М характеризує величину цих моментів у кожному перерізі валу. Площини дії цих моментів у різних перерізах валу різні, але ординати епюри умовно всім перерізів поєднані з площиною креслення.

Епюра моментів, що крутять, будується так само, як і при чистому крученні (див. § 1.6). Для валу вона показана на рис. 22.9, з.

Небезпечний переріз валу встановлюється за допомогою епюр повних згинальних моментів М і моментів, що крутять, Якщо в перерізі бруса постійного діаметра з найбільшим згинальним моментом М діє і найбільший крутний момент то цей переріз є небезпечним. Зокрема, у розглянутого валу таким є переріз, розташований правіше шківа F на нескінченно малій відстані від нього.

Якщо ж найбільший згинальний момент М і найбільший момент, що крутить, діють у різних поперечних перерізах, то небезпечним може виявитися переріз, в якому ні величина не є найбільшою. При брусах змінного діаметра найбільш небезпечним може бути перетин, в якому діють значно менші згинальні і крутні моменти, ніж в інших перерізах.

У випадках, коли небезпечний переріз не можна встановити безпосередньо по епюр М і доводиться перевіряти міцність бруса в декількох його перерізах і таким чином встановлювати небезпечні напруги.

Після того, як встановлено небезпечний переріз бруса (або намічено кілька перерізів, один з яких може виявитися небезпечним), необхідно знайти в ньому небезпечні точки. Для цього розглянемо напруги, що виникають у поперечному перерізі бруса, коли в ньому одночасно діють згинальний момент М і крутний момент

У брусах круглого перерізу, довжина яких у багато разів більша за діаметр, величини найбільших дотичних напруг від поперечної сили невеликі і при розрахунку міцності брусів на спільну дію вигину та кручення не враховуються.

На рис. 23.9 показано поперечний переріз круглого бруса. У цьому перерізі діють згинальний момент М і крутний момент За вісь у прийнята вісь, перпендикулярна площині дії згинального моменту вісь є, таким чином, нейтральною віссю перерізу.

У поперечному перерізі бруса виникають нормальні напруги від вигину і дотичні напруги від кручення.

Нормальні напруги а визначаються за формулою Епюра цих напруг показано на рис. 23.9. Найбільші за абсолютною величиною нормальні напруги виникають у точках А і В. Ці напруги рівні

де - осьовий момент опору поперечного перерізу бруса.

Дотичні напруги визначаються за формулою Епюра цих напруг показано на рис. 23.9.

У кожній точці перерізу вони спрямовані нормалі до радіусу, що з'єднує цю точку з центром перерізу. Найбільші дотичні напруження виникають у точках, розташованих по периметру перерізу; вони рівні

де полярний момент опору поперечного перерізу бруса

При пластичному матеріалі точки А і В поперечного перерізу, в яких одночасно і нормальні та дотичні напруги досягають найбільшого значенняє небезпечними. При крихкому матеріалі небезпечною є та з цих точок, в якій від згинального моменту М виникають напруги, що розтягують.

Напружений стан елементарного паралелепіпеда, виділеного на околиці точки А, зображено на рис. 24.9 а. По краях паралелепіпеда, що збігаються з поперечними перерізами бруса, діють нормальні напруження та дотичні. На підставі закону парності дотичних напруг напруги виникають також на верхній та нижній гранях паралелепіпеда. Інші дві грані його вільні від напружень. Таким чином, в даному випадку є приватний виглядплоского напруженого стану, докладно розглянутого гл. 3. Головні напруження атах і визначаються за формулами (12.3).

Після підстановки у них значення отримуємо

Напруження мають різні знаки і, отже,

Елементарний паралелепіпед, виділений на околиці точки А головними майданчиками, показаний на рис. 24.9, б.

Розрахунок брусів на міцність при вигині з крученням, як зазначалося (див. початок § 1.9), проводиться із застосуванням теорій міцності. У цьому розрахунок брусів із пластичних матеріалів виконується зазвичай з урахуванням третьої чи четвертої теорії міцності, та якщо з тендітних - з теорії Мора.

По третій теорії міцності [див. формулу (6.8)], підставивши в цю нерівність виразу [див. формули (23.9)], отримаємо

Короткі відомості з теорії

Брус перебувають у умовах складного опору, якщо у поперечних перерізах одночасно рівні нулі кілька внутрішніх силових чинників.

Найбільший практичний інтерес становлять такі випадки складного навантаження:

1. Косий вигин.

2. Вигин з розтягуванням або стисненням, коли в поперечному
перерізі виникають поздовжня сила і згинальні моменти, як,
наприклад, при позацентровому стисканні бруса.

3. Вигин з крученням, що характеризується наявністю в попі
річкових перерізах згинального (або двох згинальних) та крутного
моментів.

Косий вигин.

Косий вигин - це такий випадок вигину бруса, при якому площина дії сумарного згинального моменту в перерізі не збігається з жодною з головних осей інерції. Косий вигин зручніше розглядати як одночасний вигин бруса в двох головних площинах zoy і zox, де вісь z - вісь бруса, а осі х і у - головні центральні осі поперечного перерізу.

Розглянемо консольну балку прямокутного поперечного перерізу, навантажену силою Р (рис. 1).

Розклавши силу Р по основних центральних осях поперечного перерізу, отримаємо:

Р у = Рcos φ, Р х = Рsin φ

У поточному перерізі бруса виникають згинальні моменти.

М х = – Р у z = –Р z cos φ,

М у = Р х z = Р z sin φ.

Знак згинального моменту М х визначається так само, як і у разі прямого згину. Момент М у будемо вважати позитивним, якщо в точках з позитивним значенням координати х цей момент викликає напруги, що розтягують. До речі, знак моменту М легко встановити за аналогією з визначенням знака згинального моменту М x , якщо подумки повернути перетин так, щоб вісь х збіглася з початковим напрямкомосі у.

Напруга в довільній точці поперечного перерізу бруса можна визначити, використовуючи формули визначення, напружена для випадку. плоского вигину. На підставі принципу незалежності дії сил підсумовуємо напруги, що викликаються кожним із згинальних моментів.

(1)

У цей вислів підставляються значення згинальних моментів (зі своїми знаками) та координати точки, в якій підраховується напруга.

Для визначення небезпечних точок перерізу необхідно визначити положення нульової або нейтральної лінії (геометричного місця точок перерізу, у яких напруги σ =0). Максимальна напруга виникає в точках, найбільш віддалених від нульової лінії.

Рівняння нульової лінії отримуємо з рівняння (1) при =0:

звідки слідує, що нульова лінія проходить через центр тяжіння поперечного перерізу.

Виникаючими в перерізах балки дотичними напругами (при Q х ≠0 і Q у ≠0), як правило, можна знехтувати. Якщо виникає необхідність у визначенні, то обчислюються спочатку складові повного дотичного напруги τ х і τ у за формулою Д.Я.Журавского, та був останні геометрично сумуються:

Для оцінки міцності бруса необхідно визначити в небезпечному перерізі максимальну нормальну напругу. Так як в найбільш навантажених точках напружений стан одновісний, то умова міцності при розрахунку за методом напруг, що допускаються, набуває вигляду

Для пластичних матеріалів

Для крихких матеріалів,

n-коефіцієнт запасу міцності.

Якщо вести розрахунок за методом граничних станів, то умова міцності має вигляд:

де R - розрахунковий опір,

m – коефіцієнт умов роботи.

У тих випадках, коли матеріал бруса по-різному чинить опір розтягуванню і стиску, необхідно визначити як максимальну розтягуючу, так і максимальну стискаючу напругу, а висновок про міцність балки зробити із співвідношень:

де R p і R c - відповідно розрахункові опори матеріалу при розтягуванні та стисненні.

Для визначення прогинів балки зручно попередньо знайти переміщення перерізу в головних площинах у напрямку осей х та у.

Обчислення цих переміщень x і f можна здійснити шляхом складання універсального рівняння вигнутої осі балки або енергетичними методами.

Повний прогин можна знайти як геометричну суму:

умова жорсткості балки має вигляд:

де - - Допустимий прогин балки.

Позацентрене стиснення

В цьому випадку стискаюча брус сила Р спрямована паралельно осі бруса і прикладена в точці, що не збігається з центром перетину тяжкості. Нехай Х р і У p - координати точки докладання сили Р відраховані щодо головних центральних осей (рис.2).

Чинне навантаженнявикликає появу в поперечних перерізах наступних внутрішніх силових факторів: N=-P, Mx=-Py p, My=-Px p

Знаки згинальних моментів негативні, оскільки останні викликають стиск у точках, що належать першій чверті. Напруга у довільній точці перерізу визначається виразом

(9)

Підставивши значення N, Мх та Му, отримаємо

(10)

Так як Ух = F, Уу = F (де i x і i y - головні радіуси інерції), то останній вираз можна привести до вигляду

(11)

Рівняння нульової лінії отримаємо, поклавши =0

1+ (12)

Відрізані нульовою лінією на осях координат відрізку і виразяться наступним чином:

За допомогою залежностей (13) можна легко знайти положення нульової лінії в перерізі (мал. 3), після чого визначаються найбільш віддалені від цієї лінії точки, які є небезпечними, оскільки в них виникають максимальні напруги.

Напружений стан у точках перерізу – одновісний, тому умова міцності бруса аналогічна раніше розглянутому випадку косого вигину бруса – формули (5), (6).

При позацентровому стиску брусів, матеріал яких слабко чинить опір розтягуванню, бажано не допустити появи в перерізі розтягуючих напруг. У перерізі виникнуть напруження одного знака, якщо нульова лінія проходитиме поза перерізом або в крайньому випадку торкатися його.

Ця умова виконується тоді, коли стискаюча сила прикладена всередині області, яка називається ядром перерізу. Ядро перетину - це область, що охоплює центр тяжкості перерізу і характерна тим, що будь-яка поздовжня сила, що прикладається всередині цієї зони, викликає у всіх точках бруса напруги одного знака.

Для побудови ядра перерізу необхідно задавати положення нульової лінії так, щоб вона торкалася перерізу, ніде не перетинаючи його, і знаходити відповідну точку докладання сили Р. Провівши сімейство дотичних до перетину, отримаємо безліч відповідних їм полюсів, геометричне місце яких дасть контур ядра перерізу.

Нехай, наприклад, дано перетин, показаний на рис. 4, з головними центральними осями х та у.

Для побудови ядра перерізу наведемо п'ять дотичних, чотири з яких збігаються зі сторонами АВ, ДЕ, EF і FA, а п'ята з'єднує точки В і Д. Вимірявши або обчисливши від різання, що відсікаються зазначеними дотичними I-I, . . . ., 5-5 на осях х, у і підставляючи ці значення залежно (13), визначаємо координати х р, у р для п'яти полюсів 1, 2...5, відповідних п'яти положенням нульової лінії. Стосовну II можна перевести в положення 2-2 обертанням навколо точки А, при цьому полюс I повинен переміщатися по прямій і в результаті повороту дотичної перейти в точку 2. Отже, всі полюси, що відповідають проміжним положенням між II і 2-2, розташуються на прямий 1-2. Аналогічно можна довести, що інші сторони ядра перерізу також прямокутними, тобто. ядро перерізу - багатокутник, для побудови якого достатньо з'єднати полюси 1, 2, ... 5 прямими.

Вигин із крученням круглого бруса.

При вигині з крученням у поперечному перерізі бруса в загальному випадку не дорівнюють нулю п'ять внутрішніх силових факторів: М х, М у, М к, Q x і Q у. Однак у більшості випадків впливом перерізуючих сил Q x і Q y можна знехтувати, якщо перетин не є тонкостінним.

Нормальну напругу в поперечному перерізі можна визначати за величиною результуючого згинального моменту.

т.к. нейтральна вісь перпендикулярна до порожнини дії моменту М u .

На рис. 5 зображені згинальні моменти М х і М y у вигляді векторів (напрями М х і М y обрані позитивними, тобто такими, щоб у точках першого квадранта перерізу напруги були розтягують).

Напрямок векторів М х і М y обрано таким чином, щоб спостерігач, дивлячись з кінця вектора, бачив їх спрямованими проти руху стрілки годинника. У цьому випадку нейтральна лінія збігається з напрямком вектора результуючого моменту М u а найбільш навантажені точки перерізу А і В лежать у площині дії цього моменту.

У разі розрахунку круглого бруса при дії вигину та кручення (рис. 34.3) необхідно враховувати нормальні та дотичні напруги, тому що максимальні значення напруг в обох випадках виникають на поверхні. Розрахунок слід вести за теорією міцності, замінюючи складний напружений стан рівнонебезпечним простим.

Максимальна напругакручення в перетині

Максимальна напруга вигину у перерізі

По одній з теорій міцності в залежності від матеріалу бруса розраховують еквівалентну напругу для небезпечного перерізу і перевіряють брус на міцність, використовуючи напругу, що допускається вигину для матеріалу бруса.

Для круглого бруса моменти опору перерізу наступні:

При розрахунку по третій теорії міцності, теорії максимальних дотичних напруг, еквівалентна напруга розраховується за формулою

Теорія застосовна для пластичних матеріалів.

При розрахунку за теорією енергії формозміни еквівалентна напруга розраховується за формулою

Теорія застосовна для пластичних та тендітних матеріалів.

теорії максимальних дотичних напруг:

Еквівалентна напруга при розрахунку по теорії енергії формозміни:

де – еквівалентний момент.

Умова міцності

Приклади розв'язання задач

приклад 1.Для заданого напруженого стану (рис. 34.4), користуючись гіпотезою максимальної дотичної напруги, обчислити коефіцієнт запасу міцності, якщо Т = 360 Н/мм 2 .

1. Чим характеризується як зображується напружений стан у точці?

2. Які майданчики та які напруги називають головними?

3. Перерахуйте види напружених станів.

4. Чим характеризується деформований стан у точці?

5. У яких випадках виникають граничні напружені стани у пластичних та крихких матеріалів?

6. Що таке еквівалентне напруження?

7. Поясніть призначення теорій міцності.

8. Напишіть формули для розрахунку еквівалентних напруг при розрахунках з теорії максимальних дотичних напруг та теорії енергії формозміни. Поясніть, як користуватися ними.

лекція 35

Тема 2.7. Розрахунок бруса круглого поперечного перерізу при поєднанні основних деформацій

Знати формули для еквівалентних напруг за гіпотезами найбільших дотичних напруг та енергії формозміни.

Вміти розраховувати брус круглого поперечного перерізу на міцність при поєднанні основних деформацій.

Формули для розрахунку еквівалентних напруг

Еквівалентна напруга з гіпотези максимальних дотичних напруг

Еквівалентна напруга з гіпотези енергії формозміни

Умова міцності при спільній дії згинання кручення

де М ЕКВ- Еквівалентний момент.

Еквівалентний момент з гіпотези максимальної дотичної напруги

Еквівалентний момент із гіпотези енергії формозміни

Особливість розрахунку валів

Більшість валів відчувають поєднання деформацій вигину та кручення. Зазвичай вали - прямі бруси з круглим або кільцевим перетином. При розрахунку валів дотичні напруги від дії поперечних сил не враховують через їхню незначність.

Розрахунки проводять за небезпечними поперечними перерізами. При просторовому навантаженні валу користуються гіпотезою незалежності дії сил і згинальні моменти розглядають у двох взаємно перпендикулярних площинах, а сумарний момент, що згинає, визначають геометричним підсумовуванням.

Приклади розв'язання задач

приклад 1.У небезпечному поперечному перерізі круглого бруса виникають внутрішні силові фактори (рис. 35.1) М х; М у; Mz.

М хі М у- згинальні моменти в площинах уОхі zOxвідповідно; M z- обертаючий момент. Перевірити міцність за гіпотезою найбільших дотичних напруг, якщо [ σ ] = 120 МПа. Вихідні дані: М х= 0,9 кН; М у = 0,8 кН; M z = 2,2 кН * м; d= 60 мм.

Рішення

Будуємо епюри нормальних напруг від дії згинальних моментів щодо осей Охі Оута епюру дотичних напруг від кручення (рис. 35.2).

Максимальна дотична напруга виникає на поверхні. Максимальна нормальна напруга від моменту М хвиникають у точці А,максимальна нормальна напруга від моменту М уу точці Ст.Нормальна напруга складається, тому що згинальні моменти у взаємно перпендикулярних площинах геометрично підсумовуються.

Сумарний згинальний момент:

Розраховуємо еквівалентний момент з теорії максимальних дотичних напруг:

Умова міцності:

Момент опору перерізу: W oce в oe = 0,1 60 3 = 21 600 мм 3 .

Перевіряємо міцність:

Міцність забезпечена.

приклад 2.Із умови міцності розрахувати необхідний діаметр валу. На валу встановлено два колеса. На колеса діють дві окружні сили F t 1 = 1,2 кН; F t 2= 2кН і дві радіальні сили у вертикальній площині F r 1= 0,43 кН; F r 2 = 0,72 кН (рис. 35.3). Діаметри коліс відповідно дорівнюють d 1= 0,1м; d 2= 0,06 м-коду.

Прийняти для матеріалу валу [ σ ] = 50МПа.

Розрахунок провести за гіпотезою максимальної дотичної напруги. Вагою валу і коліс знехтувати.

Рішення

Вказівка.Використовуємо принцип незалежності дії сил, складаємо розрахункові схеми валу у вертикальній та горизонтальній площинах. Визначаємо реакції в опорах у горизонтальній та вертикальній площинах окремо. Будуємо епюри згинальних моментів (рис. 35.4). Під дією окружних сил вал скручується. Визначаємо крутний момент, що діє на валу.

Складемо розрахункову схему валу (рис. 35.4).

1. Крутний момент на валу:

2. Вигин розглядаємо у двох площинах: горизонтальній (пл. Н) та вертикальній (пл. V).

У горизонтальній площині визначаємо реакції в опорі:

Зі В:

У вертикальній площині визначаємо реакції в опорі:

Визначаємо згинальні моменти в точках С і В:

Сумарні згинальні моменти в точках С і В:

У точці Вмаксимальний згинальний момент, тут же діє крутний момент.

Розрахунок діаметра валу ведемо за найбільш навантаженим перетином.

3. Еквівалентний момент у точці Вз третьої теорії міцності

4. Визначаємо діаметр валу круглого поперечного перерізу з умови міцності

Округлюємо отриману величину: d= 36 мм.

Примітка.При виборі діаметрів валу користуватися стандартним рядом діаметрів (Додаток 2).

5. Визначаємо необхідні розміри валу кільцевого перерізу при с = 0,8 де d - зовнішній діаметр валу.

Діаметр валу кільцевого перерізу можна визначити за формулою

Приймемо d = 42 мм.

Перевантаження незначне. d BH = 0,8 d = 0,8 42 = 33,6 мм.

Округлюємо до значення d BH= 33 мм.

6. Порівняємо витрати металу за площами перерізу валу в обох випадках.

Площа поперечного перерізу суцільного валу

Площа поперечного перерізу порожнього валу

Площа поперечного перерізу суцільного валу майже вдвічі більша за вал кільцевого перерізу:

Приклад 3. Визначити розміри поперечного перерізу валу (рис. 2.70, а)приводу керування. Зусилля від тяги педалі P 3, зусилля, що передаються механізмом P 1 , Р 2 , Р 4. Матеріал валу - сталь СтЗ з межею плинності σ т = 240 Н/мм 2 , необхідний коефіцієнт запасу n] = 2,5. Розрахунок виконати з гіпотези енергії формозміни.

Рішення

Розглянемо рівновагу валу, попередньо навівши сили Р 1 , Р 2 , Р 3 , Р 4до точок, що лежать на його осі.

Переносячи сили Р 1паралельно самим собі у крапки Доі E, треба додати пари сил з моментами, рівними моментам сил Р 1щодо точок Доі Е,тобто.

Ці пари сил (моменти) умовно показано на рис. 2.70 , бу вигляді дугоподібних ліній із стрілками. Аналогічно при перенесенні сил Р 2 , Р 3 , Р 4у крапки K, E, L, Нтреба додати пари сил з моментами

Опори валу, зображеного на рис. 2.70 а, треба розглядати як просторові шарнірні опори, що перешкоджають переміщенням у напрямку осей хі у(Вибрана система координат показана на рис. 2.70, б).

Користуючись розрахунковою схемою, зображеною на рис. 2.70, в, складемо рівняння рівноваги:

отже, опорні реакції Н Аі Н Ввизначено правильно.

Епюри крутних моментів М zта згинальних моментів М упредставлені на рис. 2.70, г. Небезпечним є перетин зліва точки L.

Умова міцності має вигляд:

де еквівалентний момент із гіпотези енергії формозміни

Потрібен зовнішній діаметр валу

Приймаємо d=45 мм, тоді d0=0,8*45=36 мм.

Приклад 4.Перевірити міцність проміжного валу (рис. 2.71) циліндричного прямозубого редуктораякщо вал передає потужність N= 12,2 кВт за частоти обертання п= 355 об/хв. Вал виготовлений зі сталі Ст5 з межею плинності σ т = 280 Н/мм2. Необхідний коефіцієнт запасу [ n] = 4. При розрахунку застосувати гіпотезу найбільших дотичних напруг.

Вказівка.Окружні зусилля Р 1і Р 2лежать у горизонтальній площині та спрямовані по дотичних до кіл зубчастих коліс. Радіальні зусилля T 1і Т 2лежать у вертикальній площині і виражаються через відповідне окружне зусилля так: T = 0,364Р.

Рішення

На рис. 2.71, апредставлений схематичне креслення валу; на рис. 2.71 б показана схема валу і зусилля, що виникають в зубчастому зачепленні.

Визначимо момент, що передається валом:

Очевидно, m = m 1 = m 2(скручують моменти, прикладені до валу, при рівномірному обертанні рівні за величиною і протилежні за напрямом).

Визначимо зусилля, що діють на зубчасті колеса.

Окружні зусилля:

Радіальні зусилля:

Розглянемо рівновагу валу АВ, попередньо навівши сили Р 1і Р 2до точок, що лежать на осі валу.

Переносячи силу Р 1паралельно самій собі в крапку L, треба додати пару сил з моментом, рівним моменту сили Р 1щодо точки L, тобто.

Ця пара сил (момент) умовно показано на рис. 2.71, ву вигляді дугоподібної лінії зі стрілкою. Аналогічно при перенесенні сили Р 2в ціль Дотреба приєднати (додати) пару сил із моментом

Опори валу, зображеного на рис. 2.71, а, треба розглядати як просторові шарнірні опори, що перешкоджають лінійним переміщенням у напрямках осей. хі у(Вибрана система координат показана на рис, 2.71, б).

Користуючись розрахунковою схемою, зображеною на рис. 2.71, г, складемо рівняння рівноваги валу у вертикальній площині:

Складемо перевірочне рівняння:

отже, опорні реакції у вертикальній площині визначені правильно.

Розглянемо рівновагу валу в горизонтальній площині:

Складемо перевірочне рівняння:

отже, опорні реакції у горизонтальній площині визначені правильно.

Епюри крутних моментів М zта згинальних моментів М хі М упредставлені на рис. 2.71, д.

Небезпечним є переріз До(див. рис. 2.71, г,д). Еквівалентний момент з гіпотези найбільшої дотичної напруги

Еквівалентна напруга з гіпотези найбільших дотичних напруг для небезпечної точки валу

Коефіцієнт запасу

що значно більше [ n] = 4, отже, міцність валу забезпечена.

При розрахунку валу на міцність не враховано зміну напруги у часі, тому й вийшов такий значний коефіцієнт запасу.

Приклад 5.Визначити розміри поперечного перерізу бруса (рис. 2.72, а).Матеріал бруса - сталь 30XГС з умовними межами плинності при розтягуванні та стиску σ о, 2р = σ тр = 850 Н/мм 2 , σ 0,2 c = σ Tc = 965 Н/мм 2 . Коефіцієнт запасу [ n] = 1,6.

Рішення

Брус працює на спільну дію розтягування (стиснення) та кручення. При такому навантаженні в поперечних перерізах виникають два внутрішні силові фактори: поздовжня сила і крутний момент.

Епюри поздовжніх сил Nта крутних моментів M zпоказано на рис. 2.72, б, в.В даному випадку визначити положення небезпечного перерізу за епюрами Nі M zнеможливо, оскільки розміри поперечних перерізів ділянок бруса є різними. Для з'ясування положення небезпечного перерізу слід побудувати епюри нормальних та максимальних дотичних напруг по довжині бруса.

За формулою

обчислюємо нормальні напруги в поперечних перерізах бруса і будуємо епюру (рис. 2.72, г).

За формулою

обчислюємо максимальну дотичну напругу в поперечних перерізах бруса і будуємо епюру т тах(рис* 2.72, д).

Ймовірно, небезпечними є точки контуру поперечних перерізів ділянок АВі CD(див. рис. 2.72, а).

На рис. 2.72, eпоказані епюри σ і τ для поперечних перерізів ділянки АВ.

Нагадаємо, в даному випадку (брус круглого поперечного перерізу працює на спільну дію розтягування - стискування та кручення) рівнонебезпечними є всі точки контуру поперечного перерізу.

На рис. 2.72, ж

На рис. 2.72, зпоказані епюри а і т для поперечних перерізів ділянки CD.

На рис. 2.72, іпоказано напруження на вихідних майданчиках у небезпечній точці.

Головні напруження у небезпечній точці ділянки CD:

По гіпотезі міцності Мора еквівалентна напруга для небезпечної точки ділянки, що розглядається

Небезпечними виявилися точки контуру поперечних перерізів ділянки АВ.

Умова міцності має вигляд:

Приклад 2.76.Визначити допустиме значення сили Рз умови міцності стрижня НД(рис.2.73). Матеріал стрижня - чавун з межею міцності при розтягуванні σ вр = 150 Н/мм 2 та межею міцності при стисканні σ вс = 450 Н/мм 2 . Необхідний коефіцієнт запасу [ n] = 5.

Вказівка. Ламаний брус АВСрозташований у горизонтальній площині, причому стрижень AВперпендикулярний до НД.Сили Р, 2Р, 8Рлежать у вертикальній площині; сили 0,5 Р, 1,6 Р- у горизонтальній та перпендикулярній стрижнів НД;сили 10Р, 16Рзбігаються з віссю стрижня НД; пара сил з моментом m = 25Pd розташована у вертикальній площині, перпендикулярній до осі стрижня НД.

Рішення

Наведемо сили Рі 0,5Р до центру тяжкості поперечного перерізу.

Переносячи силу Р паралельно самій собі в точку, треба додати пару сил з моментом, рівним моменту сили Рщодо точки В, Т. е. пару з моментом m 1 = 10 Pd.

Силу 0,5Рпереносимо вздовж її лінії дії у точку В.

Навантаження, що діють на стрижень НД,показано на рис. 2.74, а.

Будуємо епюри внутрішніх силових факторів для стрижня НД.При зазначеному навантаженні стрижня у його поперечних перерізах їх виникає шість: поздовжня сила N, поперечні сили Qxі Qy,обертаючий момент Mzзгинальні моменти Мхі Му.

Епюри N, Мz, Мх, Мупредставлені на рис. 2.74, б(ординати епюр виражені через Рі d).

Епюри Qyі Qxне будуємо, оскільки дотичні напруги, що відповідають поперечним силам, мають мінімальну величину.

У аналізованому прикладі положення небезпечного перерізу не очевидно. I) та С.

Головні напруги в точці L:

За гіпотезою міцності Мора еквівалентна напруга для точки L

Визначимо величину і площину дії згинального моменту Мі в перерізі, зображеному окремо на рис. 2.74, д. На цьому ж малюнку показані епюри І, N, τ для перерізу С.

Напруження на вихідних майданчиках у точці Н(Рис. 2.74, е)