Квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн бүтээгдэхүүн болгон хувиргах вэ. Аль тэгшитгэлд үндэс байхгүй вэ? Тэгшитгэлийн жишээ

Бүрэн квадрат тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийн тэгшитгэл гэдгийг бид танд сануулж байна.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэх нь эдгээрээс арай илүү хэцүү (бага зэрэг) юм.

Санаж байна уу, Ямар ч квадрат тэгшитгэлийг дискриминант ашиглан шийдэж болно!

Бүр бүрэн бус.

Бусад аргууд нь үүнийг хурдан хийхэд тусална, гэхдээ квадрат тэгшитгэлтэй холбоотой асуудал байвал эхлээд ялгаварлагч ашиглан шийдлийг эзэмш.

1. Квадрат тэгшитгэлийг дискриминант ашиглан шийдвэрлэх.

Энэ аргыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдэх нь маш энгийн бөгөөд гол зүйл бол үйлдлийн дараалал, хэд хэдэн томъёог санах явдал юм.

Хэрэв, тэгшитгэл 2 үндэстэй байна. Та 2-р алхамд онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй.

Дискриминант D нь тэгшитгэлийн язгуурын тоог хэлж өгдөг.

• Хэрэв, дараа нь алхам дахь томъёо багасна. Тиймээс тэгшитгэл нь зөвхөн үндэстэй байх болно.
• Хэрэв тийм бол бид алхам дээр ялгаварлагчийн үндсийг гаргаж чадахгүй. Энэ нь тэгшитгэл нь үндэсгүй болохыг харуулж байна.

Квадрат тэгшитгэлийн геометрийн утгыг авч үзье.

Функцийн график нь парабол юм:

Дараа нь тэгшитгэлдээ буцаж очоод зарим жишээг харцгаая.

Жишээ 9

Тэгшитгэлийг шийд

1-р алхамбид алгасах.

Алхам 2.

Бид ялгагчийг олдог:

Энэ нь тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй гэсэн үг юм.

Алхам 3.

Хариулт:

Жишээ 10

Тэгшитгэлийг шийд

Тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр үзүүлэв, тиймээс 1-р алхамбид алгасах.

Алхам 2.

Бид ялгагчийг олдог:

Энэ нь тэгшитгэл нь нэг үндэстэй гэсэн үг юм.

Хариулт:

Жишээ 11

Тэгшитгэлийг шийд

Тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр үзүүлэв, тиймээс 1-р алхамбид алгасах.

Алхам 2.

Бид ялгагчийг олдог:

Энэ нь бид ялгаварлагчийн үндсийг гаргаж авах боломжгүй гэсэн үг юм. Тэгшитгэлийн үндэс байхгүй.

Одоо бид ийм хариултыг хэрхэн зөв бичихээ мэддэг болсон.

Хариулт:үндэс байхгүй

2. Квадрат тэгшитгэлийг Виетийн теоремоор шийдвэрлэх

Хэрэв та санаж байгаа бол бууруулсан гэж нэрлэгддэг тэгшитгэлийн төрөл байдаг (a коэффициент нь тэнцүү байх үед):

Ийм тэгшитгэлийг Виетийн теоремыг ашиглан шийдвэрлэхэд маш хялбар байдаг.

Үндэс нийлбэр өгсөнквадрат тэгшитгэл тэнцүү, язгуурын үржвэр тэнцүү байна.

Та зүгээр л үржвэр нь тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү хос тоог сонгох хэрэгтэй бөгөөд нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү байна.

Жишээ 12

Тэгшитгэлийг шийд

Энэ тэгшитгэлийг Виетийн теоремыг ашиглан шийдэж болно, учир нь .

Тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. Бид эхний тэгшитгэлийг авна:

Мөн бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байна:

Системийг зохиож, шийдье:

• Тэгээд. хэмжээ нь тэнцүү байна;
• Тэгээд. хэмжээ нь тэнцүү байна;
• Тэгээд. Хэмжээ нь тэнцүү байна.

системийн шийдэл нь:

Хариулт: ; .

Жишээ 13

Тэгшитгэлийг шийд

Хариулт:

Жишээ 14

Тэгшитгэлийг шийд

Тэгшитгэл өгөгдсөн бөгөөд энэ нь:

Хариулт:

Квадрат тэгшитгэл. ДУНДАЖ ТҮВШИН

Квадрат тэгшитгэл гэж юу вэ?

Өөрөөр хэлбэл квадрат тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл бөгөөд энд - үл мэдэгдэх, - зарим тоо, ба.

Тоо нь хамгийн өндөр буюу эхний коэффициентквадрат тэгшитгэл, - хоёр дахь коэффициент, A - чөлөөт гишүүн.

Учир нь хэрэв тэгшитгэл шууд шугаман болж хувирвал, учир нь алга болно.

Энэ тохиолдолд, мөн тэгтэй тэнцүү байж болно. Энэ сандал дээр тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг бүрэн бус.

Хэрэв бүх нөхцөл байгаа бол тэгшитгэл нь байна бүрэн.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Нэгдүгээрт, бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг авч үзье - тэдгээр нь илүү хялбар байдаг.

Бид дараах төрлийн тэгшитгэлүүдийг ялгаж чадна.

I., энэ тэгшитгэлд коэффициент ба чөлөөт гишүүн тэнцүү байна.

II. , энэ тэгшитгэлд коэффициент тэнцүү байна.

III. , энэ тэгшитгэлд чөлөөт гишүүн нь тэнцүү байна.

Одоо эдгээр дэд төрөл бүрийн шийдлийг авч үзье.

Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэл үргэлж нэг үндэстэй байдаг:

Квадрат тоо нь сөрөг байж болохгүй, учир нь та хоёр сөрөг эсвэл хоёр эерэг тоог үржүүлэхэд үр дүн нь үргэлж эерэг тоо байх болно. Тийм учраас:

хэрэв тэгшитгэлд шийдэл байхгүй;

хэрэв бид хоёр үндэстэй бол

Эдгээр томъёог цээжлэх шаардлагагүй. Санаж байх ёстой гол зүйл бол үүнээс бага байж болохгүй.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ

Жишээ 15

Хариулт:

Сөрөг тэмдэгтэй үндсийг хэзээ ч бүү март!

Жишээ 16

Тооны квадрат нь сөрөг байж болохгүй, энэ нь тэгшитгэл гэсэн үг

үндэс байхгүй.

Асуудлыг шийдэх арга байхгүй гэдгийг товч бичихийн тулд бид хоосон багц дүрсийг ашигладаг.

Хариулт:

Жишээ 17

Тэгэхээр энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй: ба.

Хариулт:

Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргая:

Хэрэв хүчин зүйлийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү байвал бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна. Энэ нь тэгшитгэл нь дараах тохиолдолд шийдэлтэй байна гэсэн үг юм.

Тэгэхээр энэ квадрат тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй: ба.

Жишээ:

Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл:

Тэгшитгэлийн зүүн талыг хүчин зүйл болгож үндсийг нь олцгооё.

Хариулт:

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

1. Ялгаварлан гадуурхагч

Квадрат тэгшитгэлийг ийм аргаар шийдэх нь амархан, гол зүйл бол үйлдлийн дараалал, хэд хэдэн томъёог санах явдал юм. Ямар ч квадрат тэгшитгэлийг дискриминантын тусламжтайгаар шийдэж болно гэдгийг санаарай! Бүр бүрэн бус.

Үндэсийн томъёонд ялгаварлагчаас үндсийг анзаарсан уу?

Гэхдээ ялгаварлагч нь сөрөг байж болно.

Юу хийх вэ?

Бид 2-р алхамд онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй. Ялгаварлагч нь тэгшитгэлийн язгуурын тоог хэлж өгдөг.

• Хэрэв тэгшитгэл нь үндэстэй бол:
• Хэрэв тэгшитгэл нь ижил үндэстэй бөгөөд үнэндээ нэг үндэстэй бол:

  Ийм үндэсийг давхар үндэс гэж нэрлэдэг.

• Хэрэв, дараа нь ялгаварлагчийн үндсийг гаргаж аваагүй болно. Энэ нь тэгшитгэл нь үндэсгүй болохыг харуулж байна.

Яагаад өөр өөр тооны үндэс байж болох вэ?

Квадрат тэгшитгэлийн геометрийн утгыг авч үзье. Функцийн график нь парабол юм:

Квадрат тэгшитгэл болох онцгой тохиолдолд .

Энэ нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд нь абсцисса тэнхлэгтэй (тэнхлэг) огтлолцох цэгүүд гэсэн үг юм.

Парабол нь тэнхлэгтэй огт огтлолцохгүй, эсвэл нэг (параболын орой нь тэнхлэг дээр байрлах үед) эсвэл хоёр цэгээр огтлолцож болно.

Үүнээс гадна коэффициент нь параболын салбаруудын чиглэлийг хариуцдаг. Хэрэв параболын мөчрүүд дээш, харин доошоо чиглэнэ.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 4 жишээ

Жишээ 18

Хариулт:

Жишээ 19

Хариулт: .

Жишээ 20

Хариулт:

Жишээ 21

Энэ нь ямар ч шийдэл байхгүй гэсэн үг юм.

Хариулт: .

2. Вьетагийн теорем

Виетийн теоремыг ашиглах нь маш хялбар.

Танд хэрэгтэй бүх зүйл авахИйм хос тоо, үржвэр нь тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү, нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү байна.

Виетийн теоремыг зөвхөн ашиглах боломжтой гэдгийг санах нь чухал юм багасгасан квадрат тэгшитгэл ().

Хэд хэдэн жишээг харцгаая:

Жишээ 22

Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл:

Энэ тэгшитгэлийг Виетийн теоремыг ашиглан шийдэж болно, учир нь . Бусад коэффициентүүд: ; .

Тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь:

Мөн бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байна:

Үржвэр нь тэнцүү хос тоонуудыг сонгоод тэдгээрийн нийлбэр тэнцүү эсэхийг шалгацгаая.

• Тэгээд. хэмжээ нь тэнцүү байна;
• Тэгээд. хэмжээ нь тэнцүү байна;
• Тэгээд. Хэмжээ нь тэнцүү байна.

системийн шийдэл нь:

Тиймээс, мөн бидний тэгшитгэлийн үндэс юм.

Хариулт: ; .

Жишээ 23

Шийдэл:

Бүтээгдэхүүнд өгөгдсөн хос тоог сонгоод, тэдгээрийн нийлбэр тэнцүү эсэхийг шалгацгаая.

ба: тэд нийтдээ өгдөг.

ба: тэд нийтдээ өгдөг. Хүлээн авахын тулд зүгээр л бодож буй үндэсийн шинж тэмдгийг өөрчлөхөд хангалттай: мөн эцсийн эцэст, бүтээгдэхүүн.

Хариулт:

Жишээ 24

Шийдэл:

Тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүн нь сөрөг тул язгуурын үржвэр нь сөрөг тоо юм. Энэ нь зөвхөн нэг үндэс нь сөрөг, нөгөө нь эерэг байвал л боломжтой. Тиймээс үндэсийн нийлбэр нь тэнцүү байна тэдгээрийн модулиудын ялгаа.

Бүтээгдэхүүнд өгөгдсөн, ялгаа нь дараахтай тэнцүү хос тоог сонгоцгооё.

ба: тэдгээрийн ялгаа тэнцүү - тохирохгүй байна;

ба: - тохиромжгүй;

ба: - тохиромжгүй;

ба: - тохиромжтой. Үлдсэн зүйл бол нэг үндэс нь сөрөг гэдгийг санах явдал юм. Тэдний нийлбэр тэнцүү байх ёстой тул бага модультай үндэс нь сөрөг байх ёстой: . Бид шалгаж байна:

Хариулт:

Жишээ 25

Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл:

Тэгшитгэл өгөгдсөн бөгөөд энэ нь:

Чөлөөт нэр томъёо нь сөрөг, тиймээс үндэсийн бүтээгдэхүүн нь сөрөг байна. Энэ нь тэгшитгэлийн нэг үндэс сөрөг, нөгөө нь эерэг байх үед л боломжтой юм.

Үржвэр нь тэнцүү тооны хосуудыг сонгоод аль үндэс нь сөрөг тэмдэгтэй байх ёстойг тодорхойлъё.

Мэдээжийн хэрэг, зөвхөн үндэс нь эхний нөхцөлд тохиромжтой:

Хариулт:

Жишээ 26

Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл:

Тэгшитгэл өгөгдсөн бөгөөд энэ нь:

Үндэсний нийлбэр нь сөрөг, энэ нь ядаж нэг үндэс нь сөрөг байна гэсэн үг юм. Гэхдээ тэдний бүтээгдэхүүн эерэг учраас энэ нь хоёр үндэс нь хасах тэмдэгтэй гэсэн үг юм.

Үржвэр нь дараахтай тэнцүү хос тоонуудыг сонгоцгооё.

Мэдээжийн хэрэг, үндэс нь тоонууд ба.

Хариулт:

Зөвшөөрч байна, энэ муухай ялгаварлан гадуурхагчийг тоолохын оронд амаар үндсийг гаргах нь маш тохиромжтой.

Виетийн теоремыг аль болох олон удаа ашиглахыг хичээгээрэй!

Гэхдээ үндсийг нь олоход хялбар, хурдасгахын тулд Виетийн теорем хэрэгтэй.

Үүнийг ашиглахын тулд та үйлдлүүдийг автоматжуулах хэрэгтэй. Үүний тулд дахиад таван жишээг шийд.

Гэхдээ хууран мэхлэх хэрэггүй: та ялгаварлагчийг ашиглаж болохгүй! Зөвхөн Вьетагийн теорем!

Бие даасан ажилд зориулсан Виетийн теоремын 5 жишээ

Жишээ 27

Даалгавар 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Виетийн теоремын дагуу:

Ердийнх шигээ бид сонголтоо дараах хэсгээс эхлүүлнэ.

Хэмжээ нь тохиромжгүй;

: хэмжээ нь танд хэрэгтэй зүйл юм.

Хариулт: ; .

Жишээ 28

Даалгавар 2.

Дахин хэлэхэд бидний дуртай Вьета теорем: нийлбэр нь тэнцүү, үржвэр нь тэнцүү байх ёстой.

Гэхдээ энэ нь тийм биш байх ёстой тул, гэхдээ бид үндэсийн шинж тэмдгийг өөрчилдөг: ба (нийт).

Хариулт: ; .

Жишээ 29

Даалгавар 3.

Хмм... Тэр хаана байна?

Та бүх нэр томъёог нэг хэсэгт шилжүүлэх хэрэгтэй:

Үндэсний нийлбэр нь бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.

За, зогсоо! Тэгшитгэлийг өгөөгүй байна.

Гэхдээ Виетийн теорем нь зөвхөн өгөгдсөн тэгшитгэлд хамаарна.

Тиймээс эхлээд тэгшитгэл өгөх хэрэгтэй.

Хэрэв та удирдаж чадахгүй бол энэ санаагаа орхиж, өөр аргаар (жишээлбэл, ялгаварлагчаар дамжуулан) шийдээрэй.

Квадрат тэгшитгэл өгөх нь тэргүүлэх коэффициентийг тэнцүү болгоно гэдгийг сануулъя.

Дараа нь үндэсийн нийлбэр нь бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.

Энд лийрийг хяруулснаар сонгоход хялбар байдаг: эцсийн эцэст энэ бол анхны тоо юм (тавтологийг уучлаарай).

Хариулт: ; .

Жишээ 30

Даалгавар 4.

Чөлөөт гишүүн сөрөг байна.

Энэ юугаараа онцлог вэ?

Үнэн хэрэгтээ үндэс нь өөр өөр шинж тэмдэгтэй байх болно.

Одоо сонгохдоо бид үндэсийн нийлбэрийг биш, харин тэдгээрийн модулиудын ялгааг шалгадаг: энэ ялгаа нь тэнцүү, гэхдээ бүтээгдэхүүн юм.

Тэгэхээр, үндэс нь ба-тай тэнцүү боловч тэдгээрийн нэг нь хасах юм.

Виетийн теорем нь язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдэгтэй хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл.

Энэ нь жижиг үндэс нь хасах: ба, оноос хойш гэсэн үг юм.

Хариулт: ; .

Жишээ 31

Даалгавар 5.

Та эхлээд юу хийх ёстой вэ?

Зөв, тэгшитгэлийг өг:

Дахин хэлэхэд: бид тооны хүчин зүйлсийг сонгох бөгөөд тэдгээрийн ялгаа нь дараахтай тэнцүү байх ёстой.

Үндэс нь ба-тай тэнцүү боловч тэдгээрийн нэг нь хасах юм. Аль нь? Тэдний нийлбэр тэнцүү байх ёстой бөгөөд энэ нь хасах нь илүү том үндэстэй болно гэсэн үг юм.

Хариулт: ; .

Дүгнэж хэлье

1. Виетийн теоремыг зөвхөн өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлд ашигладаг.
2. Виетийн теоремыг ашиглан үндсийг сонгон авч, амаар олж болно.
3. Хэрэв тэгшитгэл өгөгдөөгүй эсвэл чөлөөт нэр томъёоны тохирох хос хүчин зүйл олдоогүй бол бүхэл үндэс байхгүй тул та үүнийг өөр аргаар (жишээлбэл, ялгаварлагчаар) шийдэх хэрэгтэй.

3. Бүрэн квадратыг сонгох арга

Хэрэв үл мэдэгдэхийг агуулсан бүх нэр томъёог үржүүлэх товчилсон томъёоноос авсан нэр томьёо хэлбэрээр - нийлбэрийн квадрат буюу зөрүү - хувьсагчдыг орлуулсны дараа тэгшитгэлийг бүрэн бус квадрат тэгшитгэл хэлбэрээр гаргаж болно.

Жишээлбэл:

Жишээ 32

Тэгшитгэлийг шийд: .

Шийдэл:

Хариулт:

Жишээ 33

Тэгшитгэлийг шийд: .

Шийдэл:

Хариулт:

IN ерөнхий үзэлөөрчлөлт дараах байдлаар харагдах болно.

Энэ нь: .

Танд юу ч сануулахгүй байна уу?

Энэ бол ялгаварлан гадуурхсан зүйл! Яг ийм байдлаар бид ялгах томъёог олж авсан.

Квадрат тэгшитгэл. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Квадрат тэгшитгэл- энэ нь хэлбэрийн тэгшитгэл бөгөөд энд - үл мэдэгдэх, - квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд, - чөлөөт гишүүн.

Бүрэн квадрат тэгшитгэл- коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү биш тэгшитгэл.

Багасгасан квадрат тэгшитгэл- коэффициент байх тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл: .

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл- коэффициент ба чөлөөт гишүүн c нь тэгтэй тэнцүү байх тэгшитгэл:

• Хэрэв коэффициент бол тэгшитгэл нь дараах байдлаар харагдана.
• Хэрэв чөлөөт нэр томъёо байгаа бол тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
• хэрэв ба бол тэгшитгэл нь: .

1. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм

1.1. Хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл, энд, :

1) Үл мэдэгдэхийг илэрхийлье: ,

2) Илэрхийллийн тэмдгийг шалгана уу:

• Хэрэв тэгшитгэлд шийдэл байхгүй бол,
• Хэрэв тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй.

1.2. Хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл, энд, :

1) Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргая: ,

2) Хэрэв хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү бол бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй:

1.3. Маягтын бүрэн бус квадрат тэгшитгэл, үүнд:

Энэ тэгшитгэл нь үргэлж нэг үндэстэй байдаг: .

2. Хэлбэрийн бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм хаана

2.1. Дискриминант ашиглан шийдэл

1) Тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрт оруулъя: ,

2) Дискриминантыг томъёогоор тооцоолъё: , энэ нь тэгшитгэлийн язгуурын тоог заана.

3) Тэгшитгэлийн язгуурыг ол:

• Хэрэв тэгшитгэл нь язгууртай бөгөөд үүнийг дараах томъёогоор олно.
• Хэрэв тэгшитгэл нь язгууртай бөгөөд үүнийг дараах томъёогоор олно.
• Хэрэв тэгшитгэл нь үндэсгүй болно.

2.2. Виетийн теоремыг ашиглан шийдэл

Буурсан квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр (хэлбэрийн тэгшитгэл) тэнцүү, язгуурын үржвэр нь тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. , А.

2.3. Бүрэн квадратыг сонгох аргын шийдэл

Математикийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь онцгой байр суурь эзэлдэг. Энэ үйл явцын өмнө олон цаг онолыг судлах шаардлагатай бөгөөд энэ хугацаанд оюутан тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх, тэдгээрийн төрлийг тодорхойлох, бүрэн автоматжуулалт хийх чадварыг эзэмшдэг. Гэсэн хэдий ч үндэс хайх нь үргэлж утга учиртай байдаггүй, учир нь тэд зүгээр л байхгүй байж магадгүй юм. Үндэс олох тусгай арга техник байдаг. Энэ нийтлэлд бид үндсэн функцууд, тэдгээрийн тодорхойлолтын хүрээ, мөн тэдгээрийн үндэс байхгүй тохиолдолд дүн шинжилгээ хийх болно.

Аль тэгшитгэлд үндэс байхгүй вэ?

Тэгшитгэл нь яг адилхан үнэн бодит х аргумент байхгүй бол тэгшитгэл нь үндэсгүй болно. Мэргэжилтэн бус хүний ​​хувьд энэ томъёолол нь ихэнх математикийн теорем, томьёоны нэгэн адил маш тодорхой бус, хийсвэр мэт харагддаг боловч онолын хувьд энэ юм. Практикт бүх зүйл маш энгийн болдог. Жишээ нь: 0 * x = -53 тэгшитгэлд шийдэл байхгүй, учир нь тэгтэй үржвэр нь тэгээс өөр зүйлийг өгөх x тоо байхгүй.

Одоо бид тэгшитгэлийн хамгийн үндсэн төрлүүдийг авч үзэх болно.

1. Шугаман тэгшитгэл

Тэгшитгэлийн баруун ба зүүн талыг шугаман функцээр дүрсэлсэн бол шугаман гэж нэрлэнэ: ax + b = cx + d эсвэл ерөнхий хэлбэрээр kx + b = 0. Энд a, b, c, d нь мэдэгдэж байгаа тоонууд, x нь үл мэдэгдэх тоо хэмжээ. Аль тэгшитгэлд үндэс байхгүй вэ? Шугаман тэгшитгэлийн жишээг доорх зурагт үзүүлэв.

Үндсэндээ шугаман тэгшитгэлийг зүгээр л тооны хэсгийг нэг хэсэг рүү, х-ийн агуулгыг нөгөө хэсэгт шилжүүлэх замаар шийддэг. Үр дүн нь mx = n хэлбэрийн тэгшитгэл бөгөөд m ба n нь тоонууд, x нь үл мэдэгдэх юм. X-ийг олохын тулд хоёр талыг м-ээр хуваахад л хангалттай. Дараа нь x = n/m. Ихэнх шугаман тэгшитгэлүүд нь зөвхөн нэг язгууртай боловч төгсгөлгүй олон үндэстэй эсвэл огт үндэсгүй байх тохиолдол байдаг. m = 0 ба n = 0 үед тэгшитгэл нь 0 * x = 0 хэлбэрийг авна. Ийм тэгшитгэлийн шийдэл нь туйлын дурын тоо байх болно.

Гэсэн хэдий ч ямар тэгшитгэл үндэсгүй вэ?

m = 0 ба n = 0-ийн хувьд тэгшитгэл нь бодит тооны олонлогт үндэсгүй болно. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - эдгээр тэгшитгэлд үндэс байхгүй.

2. Квадрат тэгшитгэл

Квадрат тэгшитгэл нь a = 0-ийн хувьд ax 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл юм. Хамгийн түгээмэл шийдэл нь дискриминантаар дамждаг. Квадрат тэгшитгэлийн дискриминантыг олох томьёо нь: D = b 2 - 4 * a * c. Дараа нь хоёр үндэс байна x 1.2 = (-b ± √D) / 2 * a.

D > 0 бол тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй, D = 0 бол нэг язгууртай. Гэхдээ ямар квадрат тэгшитгэл үндэсгүй вэ? Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын тоог ажиглах хамгийн хялбар арга бол парабол болох функцийг графикаар зурах явдал юм. a > 0-ийн хувьд мөчрүүд дээшээ чиглэсэн, a хувьд< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Та мөн ялгаварлагчийг тооцоолохгүйгээр язгуурын тоог нүдээр тодорхойлж болно. Үүнийг хийхийн тулд та параболын оройг олж, мөчрүүд аль чиглэлд чиглэж байгааг тодорхойлох хэрэгтэй. Оройн х координатыг дараах томъёогоор тодорхойлж болно: x 0 = -b / 2a. Энэ тохиолдолд оройн y координатыг энгийн тэгшитгэлд x 0 утгыг орлуулах замаар олно.

x 2 - 8x + 72 = 0 квадрат тэгшитгэл нь сөрөг ялгах D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224 тул үндэсгүй. Энэ нь парабол нь х тэнхлэгт хүрэхгүй бөгөөд функц хэзээ ч 0 утгыг авдаггүй тул тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй болно гэсэн үг юм.

3. Тригонометрийн тэгшитгэл

Тригонометрийн функцийг тригонометрийн тойрог дээр авч үзэх боловч декартын координатын системд мөн төлөөлүүлж болно. Энэ нийтлэлд бид хоёр үндсэн тригонометрийн функц ба тэдгээрийн тэгшитгэлийг авч үзэх болно: sinx болон cosx. Эдгээр функцууд нь 1 радиустай тригонометрийн тойрог үүсгэдэг тул |sinx| болон |cosx| 1-ээс их байж болохгүй. Тэгэхээр аль синкс тэгшитгэл үндэсгүй вэ? Доорх зурагт үзүүлсэн sinx функцийн графикийг авч үзье.

Функц нь тэгш хэмтэй бөгөөд 2pi давтагдах хугацаатай болохыг бид харж байна. Үүний үндсэн дээр бид энэ функцийн хамгийн их утга нь 1, хамгийн бага нь -1 байж болно гэж хэлж болно. Жишээлбэл, cosx = 5 илэрхийлэл нь язгуургүй болно, учир нь түүний үнэмлэхүй утга нэгээс их байна.

Энэ бол тригонометрийн тэгшитгэлийн хамгийн энгийн жишээ юм. Үнэн хэрэгтээ тэдгээрийг шийдвэрлэхэд олон хуудас шаардагдах бөгөөд эцэст нь та буруу томьёо ашигласан гэдгээ ойлгож, бүгдийг дахин эхлүүлэх хэрэгтэй болно. Заримдаа та үндсийг зөв олсон ч гэсэн OD-ийн хязгаарлалтыг анхаарч үзэхээ мартаж магадгүй тул хариултанд нэмэлт үндэс эсвэл интервал гарч ирдэг бөгөөд хариулт бүхэлдээ алдаа болж хувирдаг. Тиймээс, бүх үндэс нь даалгаврын хүрээнд тохирохгүй тул бүх хязгаарлалтыг чанд дагаж мөрдөөрэй.

4. Тэгшитгэлийн системүүд

Тэгшитгэлийн систем нь буржгар эсвэл дөрвөлжин хаалтанд холбогдсон тэгшитгэлийн багц юм. Буржгар хаалт нь бүх тэгшитгэлийг хамт ажиллуулж байгааг харуулж байна. Өөрөөр хэлбэл, тэгшитгэлийн дор хаяж нэг нь үндэсгүй эсвэл нөгөөтэй нь зөрчилддөг бол бүхэл бүтэн систем шийдэлгүй болно. Дөрвөлжин хаалт нь "эсвэл" гэсэн үгийг заана. Энэ нь системийн тэгшитгэлүүдийн ядаж нэг нь шийдэлтэй байвал бүхэл систем нь шийдэлтэй гэсэн үг юм.

c системийн хариулт нь бие даасан тэгшитгэлийн бүх язгууруудын олонлог юм. Мөн буржгар хаалт бүхий систем нь зөвхөн нийтлэг үндэстэй байдаг. Тэгшитгэлийн системүүд нь огт өөр функцийг агуулж болох тул ийм нарийн төвөгтэй байдал нь ямар тэгшитгэл үндэсгүй болохыг шууд хэлэх боломжийг олгодоггүй.

Асуудлын ном, сурах бичгээс олдсон янз бүрийн төрөлтэгшитгэлүүд: үндэстэй ба үндэсгүй нь. Юуны өмнө, хэрэв та үндсийг нь олж чадахгүй бол тэд огт байхгүй гэж бүү бодоорой. Магадгүй та хаа нэгтээ алдаа гаргасан байж магадгүй, та шийдвэрээ сайтар нягталж үзэх хэрэгтэй.

Бид хамгийн энгийн тэгшитгэлүүд болон тэдгээрийн төрлүүдийг авч үзсэн. Одоо та ямар тэгшитгэл үндэсгүй болохыг хэлж чадна. Ихэнх тохиолдолд үүнийг хийхэд хэцүү биш юм. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд амжилтанд хүрэх нь зөвхөн анхаарал, төвлөрлийг шаарддаг. Илүү их дасгал хий, энэ нь танд материалыг илүү сайн, хурдан удирдахад тусална.

Тэгэхээр тэгшитгэлд үндэс байхгүй бол:

• шугаман тэгшитгэлд mx = n утга нь m = 0 ба n = 0;
• квадрат тэгшитгэлд, хэрэв ялгаварлагч нь тэгээс бага бол;
• cosx = m / sinx = n хэлбэрийн тригонометрийн тэгшитгэлд, хэрэв |m| > 0, |n| > 0;
• тэгшитгэлийн системд ядаж нэг тэгшитгэл үндэсгүй бол буржгар хаалттай, бүх тэгшитгэл нь үндэсгүй бол дөрвөлжин хаалттай.

Энэ өгүүллийг судалсны дараа та бүрэн квадрат тэгшитгэлийн үндсийг хэрхэн олохыг сурах болно гэж найдаж байна.

Дискриминантыг ашиглан зөвхөн бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийддэг; бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бусад аргуудыг ашигладаг бөгөөд үүнийг "Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" нийтлэлээс олох болно.

Ямар квадрат тэгшитгэлийг бүрэн гэж нэрлэдэг вэ? Энэ ax 2 + b x + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл, a, b ба c коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү биш байна. Тиймээс бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид D дискриминантыг тооцоолох хэрэгтэй.

D = b 2 – 4ac.

Ялгаварлагчийн үнэ цэнээс хамааран бид хариултыг бичнэ.

Хэрэв ялгаварлагч нь сөрөг тоо бол (D< 0),то корней нет.

Дискриминант нь тэг бол x = (-b)/2a. Дискриминант нь эерэг тоо байх үед (D > 0)

дараа нь x 1 = (-b - √D)/2a, мөн x 2 = (-b + √D)/2a.

Жишээлбэл. Тэгшитгэлийг шийд x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Хариулт: 2.

2-р тэгшитгэлийг шийд x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Хариулт: үндэс байхгүй.

2-р тэгшитгэлийг шийд x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Хариулт: – 3.5; 1.

Тиймээс 1-р зураг дээрх диаграммыг ашиглан бүрэн квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг төсөөлцгөөе.

Эдгээр томъёог ашигласнаар та ямар ч бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадна. Та зүгээр л болгоомжтой байх хэрэгтэй тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичсэн

А x 2 + bx + c,эс бөгөөс та алдаа гаргаж магадгүй. Жишээлбэл, x + 3 + 2x 2 = 0 тэгшитгэлийг бичихдээ та андуурч болно.

a = 1, b = 3 ба c = 2. Дараа нь

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ба тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно. Мөн энэ нь үнэн биш юм. (Дээрх жишээ 2-ын шийдлийг үзнэ үү).

Тиймээс, хэрэв тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичээгүй бол эхлээд бүрэн квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичих ёстой (хамгийн том илтгэгчтэй мономиал эхлээд байх ёстой, өөрөөр хэлбэл А x 2 , дараа нь бага – bxдараа нь үнэгүй гишүүн болно -тай.

Хоёр дахь гишүүнд бууруулсан квадрат тэгшитгэл ба тэгш коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бусад томъёог ашиглаж болно. Эдгээр томьёотой танилцацгаая. Хэрэв бүрэн квадрат тэгшитгэлийн хоёр дахь гишүүн тэгш коэффициенттэй (b = 2k) байвал та 2-р зураг дээрх диаграммд үзүүлсэн томъёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж болно.

Коэффицент нь -д байвал бүрэн квадрат тэгшитгэлийг багасгасан гэж нэрлэдэг x 2 нэгтэй тэнцүүтэгшитгэл нь хэлбэрийг авна x 2 + px + q = 0. Ийм тэгшитгэлийг шийдэлд өгч болно, эсвэл тэгшитгэлийн бүх коэффициентийг коэффициентэд хуваах замаар олж авч болно. А, зогсож байна x 2 .

Зураг 3-т багасгасан квадратыг шийдэх диаграммыг үзүүлэв
тэгшитгэл. Энэ нийтлэлд авч үзсэн томъёоны хэрэглээний жишээг авч үзье.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Зураг 1-ийн диаграммд үзүүлсэн томьёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг шийдье.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))/6 = –1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3

Энэ тэгшитгэлийн х-ийн коэффициент нь тэгш тоо болохыг анзаарч болно, өөрөөр хэлбэл b = 6 эсвэл b = 2k, үүнээс k = 3. Дараа нь D зургийн диаграммд үзүүлсэн томъёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж үзье. 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3))/3 = – 1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3. Энэ квадрат тэгшитгэлийн бүх коэффициентүүд 3-т хуваагддаг болохыг анзаарч, хуваахдаа бид x 2 + 2x – 2 = 0 багасгасан квадрат тэгшитгэлийг олж авна.
тэгшитгэл зураг 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3))/2 = – 1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3.

Таны харж байгаагаар энэ тэгшитгэлийг янз бүрийн томъёогоор шийдвэрлэхэд бид ижил хариултыг хүлээн авсан. Тиймээс 1-р зурагт үзүүлсэн томьёог сайтар эзэмшсэнээр та ямар ч бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжтой болно.

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Квадрат функцийн график нь парабол юм. Квадрат тэгшитгэлийн шийд (язгуур) нь параболын х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд юм. Хэрэв квадрат функцээр тодорхойлсон парабол нь х тэнхлэгтэй огтлолцохгүй бол тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй болно. Хэрэв парабол х тэнхлэгийг нэг цэгт (параболын орой) огтолж байвал тэгшитгэл нь нэг бодит язгууртай байна (тэгшитгэлийг мөн хоёр язгуур давхцаж байна гэж нэрлэдэг). Хэрэв парабол х тэнхлэгийг хоёр цэгээр огтолж байвал тэгшитгэл нь хоёр жинхэнэ үндэстэй болно.

Хэрэв коэффициент Аэерэг бол параболын мөчрүүд дээш, сөрөг бол параболын мөчрүүд доош чиглэсэн байна. Хэрэв b коэффициент эерэг байвал параболын орой нь зүүн хагас хавтгайд, сөрөг бол баруун талын хагас хавтгайд байрладаг.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томьёоны гарган авах

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёог дараах байдлаар олж авч болно.

а x 2 + б x+ в = 0
а x 2 + б x = - в

Тэгшитгэлийг 4-өөр үржүүлнэ а

4а 2 x 2 + 4 ab x = -4 ac
4а 2 x 2 + 4 ab x+ б 2 = -4ac + б 2
(2а x+ б) 2 = б 2 -4ac
2а x+ б= ±$\sqrt(b^2-4 a c)$

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох

Бодит коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэл нь D = дискриминантын утгаас хамааран 0-ээс 2 бодит язгууртай байж болно. б 2 − 4ac:

• D > 0-ийн хувьд хоёр үндэс байх ба тэдгээрийг томъёогоор тооцоолно
• D = 0-ийн хувьд нэг үндэс (хоёр тэнцүү буюу давхцах үндэс), үржвэр 2:

Зүгээр л. Томъёо, ойлгомжтой, энгийн дүрмийн дагуу. Эхний шатанд

өгөгдсөн тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрт оруулах шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл. маягт руу:

Хэрэв тэгшитгэлийг энэ хэлбэрээр аль хэдийн өгсөн бол эхний шатыг хийх шаардлагагүй. Хамгийн гол нь үүнийг зөв хийх явдал юм

бүх коэффициентийг тодорхойлох; А, бТэгээд в.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох томъёо.

Үндэс тэмдгийн доорх илэрхийллийг дуудна ялгаварлагч . Таны харж байгаагаар X-г олохын тулд бид

Бидний хэрэглэдэг зөвхөн a, b, c. Тэдгээр. -аас коэффициентүүд квадрат тэгшитгэл. Зүгээр л болгоомжтой оруулаарай

үнэт зүйлс a, b ба cБид энэ томъёогоор тооцоолно. Бид орлоно тэднийтэмдэг!

Жишээлбэл, тэгшитгэлд:

А =1; б = 3; в = -4.

Бид утгыг орлуулж бичнэ:

Жишээ нь бараг шийдэгдсэн:

Энэ бол хариулт юм.

Хамгийн түгээмэл алдаа бол тэмдгийн утгыг төөрөгдүүлэх явдал юм а, бТэгээд -тай. Өөрөөр хэлбэл, орлуулах замаар

үндсийг тооцоолох томъёонд сөрөг утгыг оруулна. Томъёоны нарийвчилсан бичлэг энд аврах ажилд ирдэг

тодорхой тоогоор. Хэрэв танд тооцоололд асуудал байгаа бол үүнийг хий!

Бид дараах жишээг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё.

Энд а = -6; б = -5; в = -1

Бид бүх зүйлийг нарийвчлан, анхааралтай, бүх тэмдэг, хаалтанд оруулалгүйгээр дүрсэлсэн болно.

Квадрат тэгшитгэл нь ихэвчлэн арай өөр харагддаг. Жишээлбэл, иймэрхүү:

Одоо алдааны тоог эрс багасгадаг практик аргуудыг анхаарч үзээрэй.

Эхний уулзалт. Өмнө нь залхуурах хэрэггүй квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхстандарт хэлбэрт оруулах.

Энэ юу гэсэн үг вэ?

Бүх хувиргалтын дараа та дараах тэгшитгэлийг авна гэж бодъё.

Үндэс томъёог бичих гэж бүү яар! Та магадлалыг бараг л хольж хутгана a, b ба c.

Жишээг зөв зохио. Эхлээд X квадрат, дараа нь квадратгүй, дараа нь чөлөөт гишүүн. Үүн шиг:

Хасах зүйлээс сал. Хэрхэн? Бид бүхэл тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлэх хэрэгтэй. Бид авах:

Харин одоо та үндэсийн томъёог аюулгүй бичиж, ялгаварлагчийг тооцоолж, жишээг шийдэж дуусгах боломжтой.

Өөрийнхөө төлөө шийд. Та одоо 2 ба -1 үндэстэй байх ёстой.

Хоёр дахь хүлээн авалт.Үндэсийг шалгана уу! By Вьетагийн теорем.

Өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд, өөрөөр хэлбэл. коэффициент бол

x 2 +bx+c=0,

Дараа ньx 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−б

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийн хувьд a≠1:

x 2 +бx+в=0,

тэгшитгэлийг бүхэлд нь хуваана Х:

→ →

Хаана x 1Тэгээд x 2 - тэгшитгэлийн үндэс.

Гурав дахь хүлээн авалт. Хэрэв таны тэгшитгэл бутархай коэффициенттэй бол бутархайг зайлуул! Үржүүлэх

нийтлэг хуваагчтай тэгшитгэл.

Дүгнэлт. Практик зөвлөгөө:

1. Шийдвэрлэхийн өмнө квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрт оруулж, байгуулна Зөв.

2. Хэрвээ X квадратын өмнө сөрөг коэффициент байгаа бол бид бүгдийг үржүүлж хасна

тэгшитгэл -1.

3. Хэрэв коэффициентүүд нь бутархай бол бид бүхэл тэгшитгэлийг харгалзах тоогоор үржүүлж бутархайг арилгана.

хүчин зүйл.

4. Хэрэв x квадрат нь цэвэр бол түүний коэффициент нь нэгтэй тэнцүү бол шийдлийг хялбархан шалгаж болно