Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ оюутнуудын гаргадаг ердийн алдаа. Сургуулийн математикийн хичээлийн асуудлыг шийдвэрлэхэд гардаг ердийн алдааны дүн шинжилгээ: тэгшитгэл, тригонометр, планиметр

Квадрат тэгш бус байдлын "x 2"-ийн өмнө сөрөг коэффициент байгаа жишээг авч үзье.

Энэ хичээлээр бид интервалын аргыг ашиглан дэвшилтэт оновчтой тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх болно. Жишээнүүд нь илүү төвөгтэй хосолсон функцуудыг ашиглах бөгөөд ийм тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд гарч ирдэг ердийн алдаануудыг хэлэлцэх болно.

Сэдэв: Хоолны дэглэмтэгш бус байдал ба тэдгээрийн системүүд

Хичээл: Рационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхповмаш нарийн төвөгтэй

1. Хичээлийн сэдэв, танилцуулга

Бид оновчтой шийдсэн тэгш бус байдалтөрөл ба тэдгээрийг шийдвэрлэхийн тулд интервалын аргыг ашигласан. Функц нь шугаман, шугаман бутархай эсвэл олон гишүүнт байсан.

2. Асуудлыг шийдвэрлэх

Өөр төрлийн тэгш бус байдлыг авч үзье.

1. Тэгш бус байдлыг шийд

Эквивалент хувиргалтыг ашиглан тэгш бус байдлыг өөрчилье.

Одоо бид функцийг шалгаж болно

Үндэсгүй функцийг авч үзье.

Функцийн графикийг бүдүүвчээр дүрсэлж уншъя (Зураг 1).

Функц нь аливаад эерэг байна.

Учир нь бид үүнийг тогтоосон Энэ илэрхийллээр бид тэгш бус байдлын хоёр талыг хувааж болно.

Бутархай эерэг байхын тулд тоологч эерэг байх үед эерэг хуваагч байх ёстой.

Функцийг авч үзье.

Функцийн графикийг бүдүүвчээр дүрсэлцгээе - парабол, энэ нь салбарууд доош чиглэсэн гэсэн үг юм (Зураг 2).

2. Тэгш бус байдлыг шийд

Функцийг авч үзье

1. Тодорхойлолтын хамрах хүрээ

2. Функцийн тэг

3. Бид тогтмол тэмдгийн интервалуудыг сонгоно.

4. Тэмдгийг байрлуул (Зураг 3).

Хэрэв хаалт нь сондгой зэрэглэлд байвал уг функцийг язгуураар дамжих үед тэмдэг өөрчлөгдөнө. Хэрэв хаалт тэгш зэрэгтэй байвал функц тэмдэг өөрчлөгдөхгүй.

Бид ердийн алдаа гаргасан - хариултанд үндсийг оруулаагүй болно. Энэ тохиолдолд тэгш бус байдал нь хатуу биш тул тэгтэй тэнцүү байхыг зөвшөөрнө.

Ийм алдаа гаргахгүйн тулд та үүнийг санаж байх хэрэгтэй

Хариулт:

Бид нарийн төвөгтэй тэгш бус байдал, боломжит ердийн алдаа, тэдгээрийг арилгах арга замуудын интервалын аргыг авч үзсэн.

Өөр нэг жишээг харцгаая.

3. Тэгш бус байдлыг шийд

Хаалт бүрийг тусад нь хүчин зүйлээр ангилъя.

, тиймээс та энэ хүчин зүйлийг үл тоомсорлож болно.

Одоо та интервалын аргыг хэрэглэж болно.

Ингээд авч үзье Бид тоо, хуваагчийг багасгахгүй, энэ бол алдаа юм.

1. Тодорхойлолтын хамрах хүрээ

2. Бид аль хэдийн функцийн тэгийг мэддэг болсон

Энэ нь функцийн тэг биш, учир нь энэ нь тодорхойлолтын мужид ороогүй болно - энэ тохиолдолд хуваагч нь тэгтэй тэнцүү байна.

3. Тэмдгийн тогтмол байдлын интервалыг тодорхойл.

4. Бид тэмдгүүдийг интервал дээр байрлуулж, бидний нөхцөлийг хангасан интервалуудыг сонгоно (Зураг 4).

3. Дүгнэлт

Бид илүү төвөгтэй тэгш бус байдлыг авч үзсэн боловч интервалын арга нь тэдгээрийг шийдвэрлэх түлхүүрийг өгдөг тул бид үүнийг цаашид үргэлжлүүлэн ашиглах болно.

1. Мордкович А.Г., Алгебр 9-р анги: Сурах бичиг. Ерөнхий боловсролын хувьд Байгууллага.- 4-р хэвлэл. - М.: Мнемосине, 2002.-192 х.: өвчтэй.

2. Мордкович А.Г. нар Алгебр 9-р анги: Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан асуудлын ном / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina et al. - 4th ed. - М.: Мнемосине, 2002.-143 х.: өвчтэй.

3. Макарычев Ю.Н.Алгебр. 9-р анги: боловсролын. ерөнхий боловсролын оюутнуудад зориулсан. байгууллагууд / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, И.Е.Феоктистов. - 7-р хэвлэл, Илч. болон нэмэлт - М.: Мнемосине, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В.Алгебр. 9-р анги. 16 дахь хэвлэл. - М., 2011. - 287 х.

5. Мордкович A. G. Алгебр. 9-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12 дахь хэвлэл, устгасан. - М.: 2010. - 224 х.: өвчтэй.

6. Алгебр. 9-р анги. 2 хэсэгтэй. 2-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн оюутнуудад зориулсан асуудлын ном / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina болон бусад; Эд. A. G. Мордкович. - 12-р хэвлэл, Илч. - М.: 2010.-223 х.: өвчтэй.

1. Мордкович А.Г. нар Алгебр 9-р анги: Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан асуудлын ном / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina et al. - 4th edition. - М.: Мнемосине, 2002.-143 х.: өвчтэй. № 37; 45(а, в); 47(б, г); 49.

1. Байгалийн шинжлэх ухааны портал.

2. Байгалийн шинжлэх ухааны портал.

3. 10-11 ангийг компьютер, математик, орос хэлний хичээлээр элсэлтийн шалгалтад бэлтгэх цахим сургалт, арга зүйн цогцолбор.

4. Виртуал багш.

5. "Багшийн технологи" боловсролын төв.

6. Коллежийн хэсэг. Математик дахь ru.

Оршил…………………………………………………… 3

1. Алдааг жишээгээр ангилах………………………………………5

1.1. Даалгаврын төрлөөр ангилах……………………………………….5

1.2. Өөрчлөлтийн төрлөөр ангилах…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. Тест………………………………………………………………………………………………………………….12

3. Шийдвэрийн протокол……………………….….……………………………… 18

3.1. Буруу шийдвэрийн протокол…………………………………… 18

3.2. Хариултууд (зөв шийдвэрийн протоколууд)……………………………….34

3.3. Шийдвэр гаргахдаа гаргасан алдаа ………………………………… 51

Хавсралт…………………………………………………………………… 53

Уран зохиол…………………………………………………………………………….56

ОРШИЛ

"Та алдаанаасаа суралцдаг" гэж ардын мэргэн үг хэлдэг. Гэхдээ сөрөг туршлагаас сургамж авахын тулд эхлээд алдаагаа олж харах хэрэгтэй. Харамсалтай нь, оюутан тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхдээ үүнийг илрүүлэх чадваргүй байдаг. Үүний үр дүнд оюутнуудын гаргадаг ердийн алдааг олж тогтоох, аль болох бүрэн ангилах зорилготой судалгаа хийх санаа гарч ирэв.

Энэхүү судалгааны хүрээнд Омскийн Улсын Их Сургуульд 4-р сарын шалгалтын сонголт, шалгалт, бичгийн даалгавар, төрөл бүрийн гарын авлага, их дээд сургуульд элсэгчдэд зориулсан даалгаврын цуглуулга, захидал харилцааны сургуулийн материалыг судалж, шийдвэрлэв. Омскийн Улсын Их Сургуулийн Философийн факультетийг сайтар судалжээ. Хүлээн авсан өгөгдлийг нарийвчилсан шинжилгээнд хамруулж, шийдвэрийн логикт ихээхэн анхаарал хандуулсан. Эдгээр өгөгдлүүд дээр үндэслэн хамгийн их гаргадаг, өөрөөр хэлбэл ердийн алдаануудыг тодорхойлсон.

Энэхүү шинжилгээний үр дүнд үндэслэн шинж чанарын алдааг системчлэх, тэдгээрийг хувиргалт, асуудлын төрлөөр ангилах оролдлого хийсэн бөгөөд үүнд дараахь зүйлийг авч үзсэн: квадрат тэгш бус байдал, тэгш бус байдлын систем, бутархай-рационал тэгшитгэл, тэгшитгэл. модуль, иррационал тэгшитгэл, тэгшитгэлийн систем, хөдөлгөөний бодлого, ажлын даалгавар ба хөдөлмөрийн бүтээмж, тригонометрийн тэгшитгэл, тригонометрийн тэгшитгэлийн систем, планиметр.

Ангилалыг буруу шийдвэрийн протокол хэлбэрээр харуулсан дүрслэл дагалддаг бөгөөд энэ нь сургуулийн сурагчдад өөрийгөө шалгах, хянах чадварыг хөгжүүлэх, тэдний үйл ажиллагаанд шүүмжлэлтэй хандах, алдаа, тэдгээрийг арилгах арга замыг олоход тусалдаг.

Дараагийн шат бол тесттэй ажиллах явдал байв. Бодлого тус бүрийн хувьд таван боломжит хариултыг санал болгосон бөгөөд тэдгээрийн нэг нь зөв, нөгөө дөрөв нь буруу байсан боловч тэдгээрийг санамсаргүй байдлаар аваагүй боловч энэ төрлийн асуудлын стандарт, тодорхой алдаа гаргасан шийдэлтэй тохирч байв. . Энэ нь алдааны "хүнд байдлын" зэрэг, сэтгэцийн үндсэн үйл ажиллагааг хөгжүүлэх (шинжилгээ, нэгтгэх, харьцуулах, нэгтгэх) үндэслэлийг бий болгодог. Туршилтууд нь дараахь бүтэцтэй байна.

Алдааны кодыг гурван төрөлд хуваадаг: OK - зөв хариулт, дижитал код - даалгаврын төрлөөр ангилсан алдаа, үсгийн код - өөрчлөлтийн төрлөөр ангилах алдаа. Тэдгээрийн кодыг тайлахыг 1-р бүлгээс олж болно. Алдааг жишээгээр ангилах.

Дараа нь шийдлийн алдааг олох даалгавруудыг санал болгов. Эдгээр материалыг Омскийн Улсын Их Сургуулийн дэргэдэх захидал харилцааны сургуулийн оюутнуудтай ажиллах, мөн Омск болон Омск мужийн NOF Омск улсын их сургуулиас явуулсан багш нарын мэргэжил дээшлүүлэх курсуудад ашигласан.

Цаашид хийсэн ажилдаа үндэслэн шалгуулагчийн мэдлэг, ур чадварын түвшинг хянах, үнэлэх тогтолцоог бий болгох боломжтой. Ажилд тулгарч буй асуудлуудыг тодорхойлох, амжилттай арга, арга барилыг бүртгэх, сургалтын ямар агуулгыг өргөжүүлэхэд тохиромжтой болохыг шинжлэх боломжтой болно. Гэхдээ эдгээр аргуудыг хамгийн үр дүнтэй болгохын тулд оюутны сонирхол шаардлагатай. Энэ зорилгоор би Чубрик А.В. мөн шугаман болон квадрат тэгшитгэлийн буруу шийдлүүдийг үүсгэдэг жижиг програм хангамжийн бүтээгдэхүүнийг боловсруулсан (онолын үндэслэл ба алгоритмууд - би болон Чуубрик А.В., хэрэгжүүлэхэд туслах - MP-803 бүлгийн оюутан М.В. Филимонов). Энэхүү программтай ажиллах нь оюутан нь компьютер болох багшийн үүргийг гүйцэтгэх боломжийг олгодог.

Хүлээн авсан үр дүн нь ойрын болон урт хугацаанд математикийн сургалтын системд шаардлагатай зохицуулалтыг хийх боломжтой илүү ноцтой судалгааны эхлэл болж чадна.

1. ЖИШЭЭТЭЙ АЛДААНЫ АНГИЛАЛ

1.1. Ажлын төрлөөр ангилах

1. Алгебрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдал.

1.1. Квадрат тэгш бус байдал. Тэгш бус байдлын системүүд:

1.1.1. Квадрат гурвалсан язгуурыг буруу олсон: Виетийн теорем ба үндсийг олох томъёог буруу ашигласан;

1.1.2. Квадрат гурвалсан гишүүний графикийг буруу харуулсан;

1.1.3. Тэгш бус байдлыг хангаж буй аргументуудын утгыг буруу тодорхойлсон;

1.1.4. Үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн агуулсан илэрхийллээр хуваах;

1.1.5. Тэгш бус байдлын системд бүх тэгш бус байдлын шийдлүүдийн огтлолцлыг буруу авсан;

1.1.6. Интервалын төгсгөлийг буруу оруулсан эсвэл эцсийн хариултанд оруулаагүй;

1.1.7. Дугуйлах.

1.2. Бутархай рационал тэгшитгэл:

1.2.1. ODZ-ийг буруу зааж өгсөн эсвэл заагаагүй: бутархайн хуваагч тэгтэй тэнцүү байх ёсгүй гэдгийг харгалзан үзэхгүй;

ОДЗ: .

1.2.2. Хариултыг хүлээн авахдаа DZ-ийг тооцохгүй;

2. Далингер В.А. Элсэлтийн шалгалтын үеэр математикийн нийтлэг алдаа, түүнээс хэрхэн зайлсхийх талаар. - Омск: Омскийн IUU-ийн хэвлэлийн газар, 1991 он.

3. Далингер В.А. Математикийн төгсөлтийн болон элсэлтийн шалгалтанд амжилтанд хүрэхийн тулд бүх зүйл. Асуудал 5. Экспоненциал, логарифм тэгшитгэл, тэгш бус байдал, тэдгээрийн систем: Сурах бичиг. - Омск: Омскийн улсын багшийн их сургуулийн хэвлэлийн газар, 1996 он.

4. Далингер В.А. Математикийн шинжилгээний эхлэл: Ердийн алдаа, тэдгээрийн шалтгаан, түүнээс урьдчилан сэргийлэх арга замууд: Сурах бичиг. - Омск: "Хэвлэн нийтлэгч-плиграфист", 2002.

5. Далингер В.А., Зубков А.Н. Математикийн шалгалт өгөх гарын авлага: Өргөдөл гаргагчдын математикийн алдааны дүн шинжилгээ, түүнээс урьдчилан сэргийлэх арга замууд. - Омск: Омскийн улсын багшийн их сургуулийн хэвлэлийн газар, 1991 он.

6. Кутасов А.Д. Экспоненциал ба логарифм тэгшитгэл, тэгш бус байдал, систем: Сургалт арга зүйн гарын авлага N7. - Оросын нээлттэй их сургуулийн хэвлэлийн газар, 1992 он.

Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд оюутнуудын гаргасан алдаа нь маш олон янз байдаг: шийдлийг буруу форматлахаас эхлээд логик шинж чанартай алдаа хүртэл. Эдгээр болон бусад алдааг энэ нийтлэлд авч үзэх болно.

1. Оюутнууд тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг нэмэлт тайлбаргүйгээр шийдвэрлэхдээ тэгшитгэлийг зөрчсөн хувиргалтуудыг ашигладаг нь хамгийн түгээмэл алдаа бөгөөд энэ нь үндэс алдагдах, гадны морь харагдахад хүргэдэг.

Энэ төрлийн алдааны тодорхой жишээнүүдийг харцгаая, гэхдээ эхлээд уншигчдын анхаарлыг дараах бодолд хандуулъя: гадны үндэс олж авахаас бүү ай, тэдгээрийг шалгах замаар устгаж болно, үндсээ алдахаас ай.

a) Тэгшитгэлийг шийд:

log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x).

Оюутнууд энэ тэгшитгэлийг ихэвчлэн дараах байдлаар шийддэг.

log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x), log3(5 - x) + log3(-1 - x) = 3, log3((5 - x)(-1 - x)) = 3 , (5 - x)(-1 - x) = 33, x2 - 4x - 32 = 0,

x1 = -4; x2 = 8.

Оюутнууд ихэвчлэн ямар ч үндэслэлгүйгээр хоёр тоог хариулт болгон бичдэг. Гэхдээ шалгалтаас харахад x = 8 тоо нь анхны тэгшитгэлийн үндэс биш, учир нь x = 8 үед тэгшитгэлийн зүүн ба баруун тал утгагүй болно. Х= -4 тоо нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн язгуур болохыг шалгахад харагдана.

б) Тэгшитгэлийг шийд

Анхны тэгшитгэлийн тодорхойлолтын хүрээг системээр тодорхойлно

Өгөгдсөн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд х суурийн логарифм руу явъя, бид олж авна

Энэ сүүлчийн тэгшитгэлийн зүүн ба баруун тал нь x = 1-д тодорхойлогдоогүй байгааг бид харж байна, гэхдээ энэ тоо нь анхны тэгшитгэлийн үндэс юм (та үүнийг шууд орлуулах замаар баталгаажуулж болно). Тиймээс шинэ суурь руу албан ёсоор шилжих нь үндэс алдагдахад хүргэсэн. Үндэс x = 1-ийг алдахгүйн тулд та шинэ суурь нь нэгээс өөр эерэг тоо байх ёстойг зааж өгөх ёстой бөгөөд x = 1 тохиолдлыг тусад нь авч үзэх хэрэгтэй.

2. Бүхэл бүтэн бүлэг алдаа, эс тэгвээс дутагдал нь оюутнууд тэгшитгэлийг тодорхойлох талбарыг олоход зохих ёсоор анхаарал хандуулдаггүй, гэхдээ зарим тохиолдолд яг энэ нь шийдлийн түлхүүр болдог. Үүнтэй холбогдуулан жишээ авч үзье.

Тэгшитгэлийг шийд

Тэгш бус байдлын системийг шийдэж байгаа энэ тэгшитгэлийн тодорхойлолтын мужийг олцгооё.

Эндээс бид x = 0 байна. x = 0 тоо нь анхны тэгшитгэлийн язгуур мөн эсэхийг шууд орлуулах замаар шалгая.

Хариулт: x = 0.

3. Оюутнуудын нийтлэг алдаа бол ойлголтын тодорхойлолт, томьёо, теоремын илэрхийлэл, алгоритмын талаар шаардлагатай мэдлэггүй байх явдал юм. Үүнийг дараах жишээгээр баталгаажуулъя.

Тэгшитгэлийг шийд

Энэ тэгшитгэлийн алдаатай шийдэл энд байна:

Шалгаснаар x = -2 нь анхны тэгшитгэлийн үндэс биш болохыг харуулж байна.

Дүгнэлт нь өгөгдсөн тэгшитгэл нь үндэсгүй болохыг харуулж байна.

Гэсэн хэдий ч тийм биш юм. Өгөгдсөн тэгшитгэлд x = -4-ийг орлуулснаар бид язгуур мөн гэдгийг баталж чадна.

Үндэс алдагдал яагаад үүссэнийг дүн шинжилгээ хийцгээе.

Анхны тэгшитгэлд x ба x + 3 илэрхийлэл нь нэгэн зэрэг сөрөг эсвэл хоёулаа эерэг байж болох боловч тэгшитгэл рүү шилжих үед эдгээр ижил илэрхийллүүд зөвхөн эерэг байж болно. Улмаар тодорхойлолтын талбайг нарийсгаж, үндсээ алдахад хүргэсэн.

Үндэсийг алдахгүйн тулд бид дараах байдлаар явж болно: анхны тэгшитгэлд бид нийлбэрийн логарифмаас бүтээгдэхүүний логарифм руу шилждэг. Энэ тохиолдолд гадны үндэс гарч ирэх боломжтой боловч та тэдгээрийг орлуулах замаар салгаж болно.

4. Тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд гарсан олон алдаа нь оюутнууд асуудлыг загвараар, өөрөөр хэлбэл ердийн аргаар шийдвэрлэхийг маш их хичээдэг байдгийн үр дагавар юм. Үүнийг жишээгээр харуулъя.

Тэгш бус байдлыг шийдэх

Энэхүү тэгш бус байдлыг танил алгоритмын аргуудыг ашиглан шийдэхийг оролдох нь хариулт өгөхгүй. Эндхийн шийдэл нь тэгш бус байдлыг тодорхойлох талбар дээрх тэгш бус байдлын зүүн талд байгаа нэр томъёо бүрийн утгыг тооцоолохоос бүрдэх ёстой.

Тэгш бус байдлын тодорхойлолтын хүрээг олъё:

(9;10) интервалаас бүх x-ийн хувьд илэрхийлэл эерэг утгатай байна (экпоненциал функцийн утгууд үргэлж эерэг байдаг).

(9;10] интервалаас бүх x-ийн хувьд x - 9 илэрхийлэл эерэг утгатай, lg(x - 9) илэрхийлэл сөрөг эсвэл тэг утгатай, дараа нь (- (x - 9) lg(x - 9) илэрхийлэл байна. ) эерэг буюу тэгтэй тэнцүү байна.

Бид эцэст нь x∈ (9;10) байна. Хувьсагчийн ийм утгуудын хувьд тэгш бус байдлын зүүн талд байгаа гишүүн бүр эерэг (хоёр дахь гишүүн нь тэгтэй тэнцүү байж болно) гэдгийг анхаарна уу, энэ нь тэдний нийлбэр үргэлж байна гэсэн үг юм. тэгээс их.Тиймээс анхны тэгш бус байдлын шийдэл нь завсар (9;10) юм.

5. Алдаануудын нэг нь тэгшитгэлийн график шийдэлтэй холбоотой.

Тэгшитгэлийг шийд

Бидний туршлагаас харахад сурагчид энэ тэгшитгэлийг графикаар шийдэж (үүнийг бусад энгийн аргаар шийдвэрлэх боломжгүй гэдгийг анхаарна уу) зөвхөн нэг язгуур (энэ нь у = x шулуун дээр байрлах цэгийн абсцисса) хүлээн авдаг, учир нь функцүүдийн графикууд

Эдгээр нь харилцан урвуу функцүүдийн графикууд юм.

Үнэн хэрэгтээ анхны тэгшитгэл нь гурван язгууртай: тэдгээрийн нэг нь координатын эхний өнцгийн биссектриса дээр байрлах цэгийн абсцисса y = x, нөгөө нь язгуур, гурав дахь язгуур юм.Та хэлсэн зүйлийнхээ үнэн зөвийг шалгаж болно. өгөгдсөн тэгшитгэлд тоог шууд орлуулах замаар.

Логакс = ax хэлбэрийн тэгшитгэл 0-д байгааг анхаарна уу< a < e-e всегда имеют три действительных корня.

Энэ жишээ нь дараах дүгнэлтийг амжилттай харуулж байна: f(x) = g(x) тэгшитгэлийн график шийдэл нь хоёр функц нь өөр монотон (тэдгээрийн нэг нь нэмэгдэж, нөгөө нь буурдаг) бол "төгс" бөгөөд математикийн хувьд хангалттай зөв биш юм. монотон функцүүдийн хувьд (хоёулаа буурч эсвэл нэгэн зэрэг нэмэгдэх).

6. Оюутнууд функциональ арга барилд тулгуурлан тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг бүхэлд нь зөв шийдэж чаддаггүйтэй холбоотой хэд хэдэн ердийн алдаа гардаг. Энэ төрлийн ердийн алдаануудыг харуулъя.

a) xx = x тэгшитгэлийг шийд.

Тэгшитгэлийн зүүн талын функц нь экспоненциал бөгөөд хэрэв тийм бол зэрэгт үндэслэн дараах хязгаарлалтуудыг тавих ёстой: x > 0, x ≠ 1. Өгөгдсөн тэгшитгэлийн хоёр талын логарифмыг авъя:

Эндээс бид x = 1 байна.

Логарифмчилал нь анхны тэгшитгэлийн тодорхойлолтын хүрээг нарийсгахад хүргэсэнгүй. Гэсэн хэдий ч бид тэгшитгэлийн хоёр үндсийг алдсан; Шууд ажиглалтаар бид x = 1 ба x = -1 нь анхны тэгшитгэлийн үндэс болохыг олж мэдэв.

б) Тэгшитгэлийг шийд

Өмнөх тохиолдлын адил бид экспоненциал функцтэй бөгөөд энэ нь x > 0, x ≠ 1 гэсэн үг юм.

Анхны тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид хоёр талын логарифмыг дурын суурь руу, жишээлбэл, 10 суурь руу авна.

Хоёр хүчин зүйлийн үржвэр нь ядаж нэг нь тэг, нөгөө нь утга учиртай байх үед хоёр хүчин зүйлийн үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна гэж үзвэл бид хоёр системийг хослуулсан болно.

Эхний системд шийдэл байхгүй; Хоёрдахь системээс бид x = 1-ийг авна. Өмнө нь тавьсан хязгаарлалтыг харгалзан үзэхэд x = 1 тоо нь анхны тэгшитгэлийн язгуур байх ёсгүй, гэхдээ шууд орлуулалтаар бид тийм биш гэдэгт итгэлтэй байна.

7. Хэлбэрийн цогц функцийн тухай ойлголттой холбоотой зарим алдааг авч үзье. Энэ жишээг ашиглан алдааг харуулъя.

Функцийн монотон байдлын төрлийг тодорхойлно уу.

Бидний дадлагаас харахад оюутнуудын дийлэнх нь энэ тохиолдолд монотон байдлыг зөвхөн логарифмын суурь, 0-ээс хойш тодорхойлдог болохыг харуулж байна.< 0,5 < 1, то отсюда следует ошибочный вывод - функция убывает.

Үгүй! Энэ функц нэмэгдэж байна.

Уламжлал ёсоор, маягтын функцийн хувьд бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

Өсөх (буурах) = буурах;

Өсөх (Өсөх) = Өсөх;

Буурах (Багарах) = Өсөх;

Буурах (Өсөх) = Буурах;

8. Тэгшитгэлийг шийд

Энэ даалгаврыг оноогоор үнэлдэг Улсын нэгдсэн шалгалтын гуравдугаар хэсгээс авсан болно (хамгийн их оноо - 4).

Бид алдаа агуулсан шийдлийг танилцуулж байгаа бөгөөд энэ нь хамгийн их оноо авахгүй гэсэн үг юм.

Бид логарифмуудыг 3 суурь болгон бууруулна. Тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна

Хүчтэй болгосноор бид олж авдаг

x1 = 1, x2 = 3.

Ямар нэгэн гадаад үндэс байгаа эсэхийг шалгацгаая.

, 1 = 1,

Энэ нь x = 1 нь анхны тэгшитгэлийн үндэс гэсэн үг.

Энэ нь x = 3 нь анхны тэгшитгэлийн үндэс биш гэсэн үг юм.

Энэ шийдэлд яагаад алдаа байгааг тайлбарлая. Алдааны мөн чанар нь бичлэгт хоёр бүдүүлэг алдаа байгаа явдал юм. Эхний алдаа: бичлэг нь ямар ч утгагүй юм. Хоёр дахь алдаа: нэг нь 0 гэсэн хоёр хүчин зүйлийн үржвэр нь заавал тэг байх нь худлаа. Зөвхөн нэг хүчин зүйл 0, хоёр дахь хүчин зүйл нь утга учиртай байвал энэ нь тэг болно. Гэхдээ энд хоёрдахь хүчин зүйл нь утгагүй юм.

9. Дээр тайлбарласан алдаа руу буцъя, гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн бид шинэ үндэслэл гаргах болно.

Логарифмын тэгшитгэлийг шийдэхдээ тэгшитгэл рүү очно уу. Эхний тэгшитгэлийн үндэс бүр нь хоёр дахь тэгшитгэлийн үндэс болно. Эсрэг заалт нь ерөнхийдөө үнэн биш тул тэгшитгэлээс тэгшитгэл рүү шилжихдээ эцэст нь анхны тэгшитгэлд орлуулах замаар сүүлчийнх нь үндсийг шалгах шаардлагатай болно. Үндэсийг шалгахын оронд тэгшитгэлийг түүнтэй адилтгах системээр солихыг зөвлөж байна.

Хэрэв логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед илэрхийллүүд

n нь тэгш тоо бол , , , томьёоны дагуу өөрчлөгдөнө, тэгвэл олон тохиолдолд энэ нь тэгшитгэлийн тодорхойлолтын хүрээг нарийсгадаг тул түүний зарим үндсийг алдах боломжтой байдаг. Тиймээс эдгээр томъёог дараах хэлбэрээр ашиглахыг зөвлөж байна.

n бол тэгш тоо юм.

Үүний эсрэгээр, хэрэв логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед , , , n нь тэгш тоо байх илэрхийлэлүүдийг тус тус илэрхийлэл болгон хувиргана.

Дараа нь тэгшитгэлийн тодорхойлолтын хүрээ өргөжиж, үүнээс үүдэн гадны язгуурыг олж авах боломжтой. Үүнийг харгалзан ийм нөхцөлд хувиргалтын тэнцүү байдлыг хянах шаардлагатай бөгөөд хэрэв тэгшитгэлийн тодорхойлолтын хүрээ өргөжиж байвал үүссэн үндсийг шалгах шаардлагатай.

10. Орлуулах аргыг ашиглан логарифмын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ бид үргэлж шинэ хувьсагчтай холбоотой шинэ тэгш бус байдлыг шийддэг бөгөөд зөвхөн үүнийг шийдвэрлэхдээ хуучин хувьсагч руу шилждэг.

Сургуулийн хүүхдүүд ихэвчлэн тэгш бус байдлын зүүн талд олж авсан оновчтой функцын үндсийг олох үе шатанд урвуу шилжилтийг ихэвчлэн андуурдаг. Үүнийг хийх ёсгүй.

11. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхтэй холбоотой өөр нэг алдааны жишээг өгье.

Тэгш бус байдлыг шийд

.

Оюутнуудын байнга санал болгодог алдаатай шийдлийг энд оруулав.

Анхны тэгш бус байдлын хоёр талыг квадрат болгоё. Байх болно:

Үүнээс бид буруу тоон тэгш бус байдлыг олж авдаг бөгөөд энэ нь бидэнд дүгнэлт хийх боломжийг олгодог: өгөгдсөн тэгш бус байдалд шийдэл байхгүй.