Τυπικά λάθη που κάνουν οι μαθητές όταν λύνουν δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Ανάλυση τυπικών σφαλμάτων κατά την επίλυση προβλημάτων σε σχολικό μάθημα μαθηματικών: εξισώσεις, τριγωνομετρία, επιπεδομετρία

Εξετάστε ένα παράδειγμα όπου υπάρχει αρνητικός συντελεστής μπροστά από το "x 2" στην τετραγωνική ανισότητα.

Σε αυτό το μάθημα θα συνεχίσουμε να λύνουμε προχωρημένες ορθολογικές ανισότητες χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του διαστήματος. Τα παραδείγματα θα χρησιμοποιούν πιο σύνθετες συνδυασμένες συναρτήσεις και θα συζητούν τυπικά σφάλματα που προκύπτουν κατά την επίλυση τέτοιων ανισοτήτων.

Θέμα: Διατροφήοι ανισότητες και τα συστήματά τους

Μάθημα: Επίλυση ορθολογικών ανισοτήτωνpovεξαιρετικά περίπλοκη

1. Θέμα μαθήματος, εισαγωγή

Λύσαμε ορθολογικά ανισότητεςτύπου και για την επίλυσή τους χρησιμοποιήσαμε τη μέθοδο interval. Η συνάρτηση ήταν είτε γραμμική, γραμμική κλασματική ή πολυωνυμική.

2. Επίλυση προβλημάτων

Ας εξετάσουμε ανισότητες άλλου τύπου.

1. Λύστε την ανισότητα

Ας μετατρέψουμε την ανισότητα χρησιμοποιώντας ισοδύναμους μετασχηματισμούς.

Τώρα μπορούμε να εξετάσουμε τη συνάρτηση

Θεωρήστε τη συνάρτηση χωρίς ρίζες.

Ας απεικονίσουμε σχηματικά και ας διαβάσουμε το γράφημα της συνάρτησης (Εικ. 1).

Η συνάρτηση είναι θετική για οποιοδήποτε .

Γιατί το έχουμε διαπιστώσει μπορούμε να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με αυτήν την έκφραση.

Για να είναι θετικό ένα κλάσμα, πρέπει να υπάρχει θετικός παρονομαστής όταν ο αριθμητής είναι θετικός.

Ας εξετάσουμε τη συνάρτηση.

Ας απεικονίσουμε σχηματικά τη γραφική παράσταση της συνάρτησης - μια παραβολή, που σημαίνει ότι οι κλάδοι κατευθύνονται προς τα κάτω (Εικ. 2).

2. Λύστε την ανισότητα

Εξετάστε τη συνάρτηση

1. Πεδίο εφαρμογής του ορισμού

2. Μηδενικά της συνάρτησης

3. Επιλέγουμε διαστήματα σταθερού πρόσημου.

4. Τοποθετήστε τις πινακίδες (Εικ. 3).

Εάν η παρένθεση είναι σε περιττή ισχύ, η συνάρτηση αλλάζει πρόσημο όταν περνάει από τη ρίζα. Εάν η παρένθεση είναι άρτια, η συνάρτηση δεν αλλάζει πρόσημο.

Κάναμε ένα τυπικό λάθος - δεν συμπεριλάβαμε τη ρίζα στην απάντηση. Στην περίπτωση αυτή επιτρέπεται η ισότητα προς το μηδέν, αφού η ανισότητα δεν είναι αυστηρή.

Για να αποφύγετε τέτοια λάθη, πρέπει να το θυμάστε

Απάντηση:

Εξετάσαμε τη μέθοδο διαστήματος για σύνθετες ανισότητες και πιθανά τυπικά σφάλματα, καθώς και τρόπους εξάλειψής τους.

Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα.

3. Λύστε την ανισότητα

Ας παραγοντοποιήσουμε κάθε παρένθεση ξεχωριστά.

, ώστε να μπορείτε να αγνοήσετε αυτόν τον παράγοντα.

Τώρα μπορείτε να εφαρμόσετε τη μέθοδο διαστήματος.

Ας σκεφτούμε Δεν θα μειώσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή κατά, αυτό είναι λάθος.

1. Πεδίο εφαρμογής του ορισμού

2. Γνωρίζουμε ήδη τα μηδενικά της συνάρτησης

Δεν είναι μηδέν της συνάρτησης, γιατί δεν περιλαμβάνεται στο πεδίο ορισμού - στην περίπτωση αυτή ο παρονομαστής είναι ίσος με μηδέν.

3. Προσδιορίστε τα διαστήματα σταθερότητας του πρόσημου.

4. Τοποθετούμε πινακίδες ανά διαστήματα και επιλέγουμε διαστήματα που ικανοποιούν τις συνθήκες μας (Εικ. 4).

3. Συμπέρασμα

Εξετάσαμε πιο σύνθετες ανισότητες, αλλά η μέθοδος του διαστήματος μας δίνει το κλειδί για την επίλυσή τους, επομένως θα συνεχίσουμε να τη χρησιμοποιούμε στο μέλλον.

1. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9η τάξη: Σχολικό βιβλίο. Για γενική εκπαίδευση Ιδρύματα.- 4η έκδ. - Μ.: Μνημοσύνη, 2002.-192 σελ.: εικ.

2. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9η τάξη: Βιβλίο προβλημάτων για μαθητές ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina et al. - 4η έκδ. - Μ.: Μνημοσύνη, 2002.-143 σελ.: εικ.

3. Makarychev Yu. N. Algebra. 9η τάξη: εκπαιδευτικά. για μαθητές γενικής εκπαίδευσης. ιδρύματα / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7η έκδ., αναθ. και επιπλέον - Μ.: Μνημοσύνη, 2008.

4. Alimov Sh. A., Kolyagin Yu. M., Sidorov Yu. V. Algebra. 9η τάξη. 16η έκδ. - Μ., 2011. - 287 σελ.

5. Mordkovich A. G. Άλγεβρα. 9η τάξη. Σε 2 ώρες Μέρος 1. Εγχειρίδιο για μαθητές ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12η έκδ., σβησμένο. - M.: 2010. - 224 σελ.: ill.

6. Άλγεβρα. 9η τάξη. Σε 2 μέρη. Μέρος 2. Βιβλίο προβλημάτων για μαθητές ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina και άλλοι. Εκδ. A. G. Mordkovich. — 12η έκδ., αναθ. - Μ.: 2010.-223 σελ.: αρ.

1. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9η τάξη: Βιβλίο προβλημάτων για μαθητές ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina et al. - 4η έκδ. - Μ.: Μνημοσύνη, 2002.-143 σελ.: εικ. Νο. 37; 45(a, c); 47(b, d); 49.

1. Πύλη Φυσικών Επιστημών.

2. Πύλη Φυσικών Επιστημών.

3. Ηλεκτρονικό εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό συγκρότημα προετοιμασίας τάξεων 10-11 για εισαγωγικές εξετάσεις στην επιστήμη των υπολογιστών, στα μαθηματικά και στη ρωσική γλώσσα.

4. Εικονικός δάσκαλος.

5. Κέντρο Εκπαίδευσης «Διδακτική Τεχνολογία».

6. Τμήμα Κολλεγίου. ru στα μαθηματικά.

Εισαγωγή……………………………………………………………… 3

1. Ταξινόμηση σφαλμάτων με παραδείγματα……………………………… .…… …5

1.1. Ταξινόμηση ανά τύπο εργασιών……………………………………….5

1.2. Ταξινόμηση ανά τύπο μετασχηματισμών………………………………10

2. Δοκιμές……………………………………………….… .…………………….12

3. Πρωτόκολλα αποφάσεων…………………………………………………………………… 18

3.1. Πρωτόκολλα λανθασμένων αποφάσεων…………………………………………… 18

3.2. Απαντήσεις (πρωτόκολλα ορθών αποφάσεων)……………………………………….34

3.3. Λάθη που έγιναν στις αποφάσεις……………………………………… 51

Παράρτημα……………………………………………………………………… 53

Λογοτεχνία……………………………………………………………………………….56

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

«Μαθαίνεις από τα λάθη», λέει η λαϊκή σοφία. Αλλά για να πάρετε ένα μάθημα από μια αρνητική εμπειρία, πρέπει πρώτα να δείτε το λάθος. Δυστυχώς, ένας μαθητής συχνά δεν μπορεί να το εντοπίσει όταν λύνει ένα συγκεκριμένο πρόβλημα. Ως αποτέλεσμα, προέκυψε η ιδέα να διεξαχθεί μια μελέτη, σκοπός της οποίας ήταν να εντοπιστούν τυπικά λάθη που έκαναν οι μαθητές, καθώς και να ταξινομηθούν όσο το δυνατόν πληρέστερα.

Ως μέρος αυτής της μελέτης, εξετάστηκαν και λύθηκαν ένα μεγάλο σύνολο προβλημάτων από τις επιλογές δοκιμών του Απριλίου, τεστ και γραπτές εργασίες για εισαγωγικές εξετάσεις στο Omsk State University, διάφορα εγχειρίδια και συλλογές εργασιών για υποψήφιους στα πανεπιστήμια και υλικά από το σχολείο αλληλογραφίας στη Φιλοσοφική Σχολή του Κρατικού Πανεπιστημίου του Ομσκ μελετήθηκαν προσεκτικά. Τα δεδομένα που ελήφθησαν υποβλήθηκαν σε λεπτομερή ανάλυση, με μεγάλη προσοχή στη λογική των αποφάσεων. Με βάση αυτά τα δεδομένα, εντοπίστηκαν τα πιο συχνά λάθη, δηλαδή τα τυπικά.

Με βάση τα αποτελέσματα αυτής της ανάλυσης, έγινε προσπάθεια συστηματοποίησης των χαρακτηριστικών σφαλμάτων και ταξινόμησης τους ανάλογα με τους τύπους μετασχηματισμών και τους τύπους προβλημάτων, μεταξύ των οποίων εξετάστηκαν τα ακόλουθα: τετραγωνικές ανισώσεις, συστήματα ανισώσεων, κλασματικές-ορθολογικές εξισώσεις, εξισώσεις με ένα μέτρο, παράλογες εξισώσεις, συστήματα εξισώσεων, προβλήματα κίνησης, εργασίες εργασίας και παραγωγικότητα εργασίας, τριγωνομετρικές εξισώσεις, συστήματα τριγωνομετρικών εξισώσεων, επιπεδομετρία.

Η ταξινόμηση συνοδεύεται από μια απεικόνιση με τη μορφή λανθασμένων πρωτοκόλλων απόφασης, η οποία επιτρέπει στους μαθητές να αναπτύξουν την ικανότητα να ελέγχουν και να ελέγχουν τον εαυτό τους, να αξιολογούν κριτικά τις δραστηριότητές τους, να βρίσκουν λάθη και τρόπους εξάλειψής τους.

Το επόμενο στάδιο ήταν η εργασία με δοκιμές. Για κάθε πρόβλημα, προτάθηκαν πέντε πιθανές απαντήσεις, εκ των οποίων η μία ήταν σωστή και οι άλλες τέσσερις ήταν λανθασμένες, αλλά δεν λήφθηκαν τυχαία, αλλά αντιστοιχούσαν σε μια λύση στην οποία έγινε ένα συγκεκριμένο σφάλμα, πρότυπο για προβλήματα αυτού του τύπου. . Αυτό παρέχει τη βάση για την πρόβλεψη του βαθμού «σοβαρότητας» ενός σφάλματος και την ανάπτυξη βασικών νοητικών λειτουργιών (ανάλυση, σύνθεση, σύγκριση, γενίκευση). Τα τεστ έχουν την ακόλουθη δομή:

Οι κωδικοί σφάλματος χωρίζονται σε τρεις τύπους: ΟΚ - η σωστή απάντηση, ένας ψηφιακός κωδικός - ένα σφάλμα από την ταξινόμηση ανά τύπο εργασίας, ένας κωδικός γράμματος - ένα σφάλμα από την ταξινόμηση ανά τύπο μετασχηματισμού. Η αποκωδικοποίησή τους βρίσκεται στο Κεφάλαιο 1. Ταξινόμηση σφαλμάτων με παραδείγματα.

Στη συνέχεια, προτάθηκαν εργασίες για την εύρεση ενός σφάλματος στη λύση. Αυτά τα υλικά χρησιμοποιήθηκαν κατά την εργασία με μαθητές της σχολής αλληλογραφίας στο Κρατικό Πανεπιστήμιο NOF Omsk, καθώς και σε μαθήματα προηγμένης κατάρτισης για δασκάλους στο Ομσκ και την περιοχή του Ομσκ, που διεξάγονται από το Κρατικό Πανεπιστήμιο NOF Omsk.

Στο μέλλον, με βάση την εργασία που έχει γίνει, είναι δυνατό να δημιουργηθεί ένα σύστημα παρακολούθησης και αξιολόγησης του επιπέδου γνώσεων και δεξιοτήτων του εξεταζόμενου. Γίνεται δυνατός ο εντοπισμός προβληματικών περιοχών στην εργασία, η καταγραφή επιτυχημένων μεθόδων και τεχνικών και η ανάλυση του περιεχομένου της εκπαίδευσης που είναι κατάλληλο να επεκταθεί. Αλλά για να είναι αυτές οι μέθοδοι πιο αποτελεσματικές, απαιτείται το ενδιαφέρον των μαθητών. Για το σκοπό αυτό, εγώ, μαζί με τον Chubrik A.V. και αναπτύχθηκε ένα μικρό προϊόν λογισμικού που δημιουργεί λανθασμένες λύσεις σε γραμμικές και τετραγωνικές εξισώσεις (θεωρητική βάση και αλγόριθμοι - εγώ και Chuubrik A.V., βοήθεια στην υλοποίηση - μαθητής της ομάδας MP-803 M.V. Filimonov). Η εργασία με αυτό το πρόγραμμα δίνει στον μαθητή την ευκαιρία να ενεργήσει ως δάσκαλος του οποίου μαθητής είναι ο υπολογιστής.

Τα αποτελέσματα που θα προκύψουν μπορούν να αποτελέσουν την αρχή μιας πιο σοβαρής μελέτης, η οποία βραχυπρόθεσμα και μακροπρόθεσμα θα μπορέσει να κάνει τις απαραίτητες προσαρμογές στο σύστημα διδασκαλίας των μαθηματικών.

1. ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1.1. Ταξινόμηση ανά τύπο εργασιών

1. Αλγεβρικές εξισώσεις και ανισώσεις.

1.1. Τετραγωνικές ανισότητες. Συστήματα ανισοτήτων:

1.1.1. Οι ρίζες του τετραγωνικού τριωνύμου βρέθηκαν λανθασμένα: Το θεώρημα του Vieta και ο τύπος για την εύρεση των ριζών χρησιμοποιήθηκαν λανθασμένα.

1.1.2. Η γραφική παράσταση ενός τετραγωνικού τριωνύμου εμφανίζεται λανθασμένα.

1.1.3. Οι τιμές του ορίσματος στο οποίο ικανοποιείται η ανισότητα ορίζονται εσφαλμένα.

1.1.4. Διαίρεση με μια παράσταση που περιέχει μια άγνωστη ποσότητα.

1.1.5. Στα συστήματα ανισοτήτων, η τομή των λύσεων για όλες τις ανισότητες λαμβάνεται εσφαλμένα.

1.1.6. Τα άκρα των διαστημάτων περιλαμβάνονται λανθασμένα ή δεν περιλαμβάνονται στην τελική απάντηση.

1.1.7. Στρογγύλεμα.

1.2. Κλασματικές ορθολογικές εξισώσεις:

1.2.1. Το ODZ υποδεικνύεται λανθασμένα ή δεν αναφέρεται: δεν λαμβάνεται υπόψη ότι ο παρονομαστής του κλάσματος δεν πρέπει να είναι ίσος με μηδέν.

ODZ: .

1.2.2. Κατά τη λήψη απάντησης, η DZ δεν λαμβάνεται υπόψη.

2. Dalinger V.A. Τυπικά λάθη στα μαθηματικά στις εισαγωγικές εξετάσεις και πώς να τα αποφύγετε. – Omsk: Publishing House of Omsk IUU, 1991.

3. Dalinger V.A. Τα πάντα για να διασφαλιστεί η επιτυχία στις τελικές και εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά. Τεύχος 5. Εκθετικές, λογαριθμικές εξισώσεις, ανισώσεις και τα συστήματά τους: Σχολικό βιβλίο. – Omsk: Omsk State Pedagogical University Publishing House, 1996.

4. Dalinger V.A. Αρχές μαθηματικής ανάλυσης: Τυπικά λάθη, αιτίες και τρόποι αποτροπής τους: Σχολικό βιβλίο. – Omsk: “Publisher-Plygraphist”, 2002.

5. Dalinger V.A., Zubkov A.N. Οδηγός επιτυχίας στις εξετάσεις των μαθηματικών: Ανάλυση των λαθών των υποψηφίων στα μαθηματικά και τρόποι πρόληψής τους. – Omsk: Omsk State Pedagogical University Publishing House, 1991.

6. Kutasov A.D. Εκθετικές και λογαριθμικές εξισώσεις, ανισώσεις, συστήματα: Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό εγχειρίδιο N7. – Εκδοτικός οίκος του Ρωσικού Ανοικτού Πανεπιστημίου, 1992.

Τα λάθη που κάνουν οι μαθητές κατά την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων και ανισώσεων είναι πολύ διαφορετικά: από λανθασμένη μορφοποίηση της λύσης έως σφάλματα λογικής φύσης. Αυτά και άλλα σφάλματα θα συζητηθούν σε αυτό το άρθρο.

1. Το πιο χαρακτηριστικό λάθος είναι ότι οι μαθητές, όταν λύνουν εξισώσεις και ανισότητες χωρίς πρόσθετη εξήγηση, χρησιμοποιούν μετασχηματισμούς που παραβιάζουν την ισοδυναμία, γεγονός που οδηγεί στην απώλεια ριζών και στην εμφάνιση ξένων αλόγων.

Ας δούμε συγκεκριμένα παραδείγματα σφαλμάτων αυτού του είδους, αλλά πρώτα εφιστούμε την προσοχή του αναγνώστη στην ακόλουθη σκέψη: μην φοβάστε να αποκτήσετε ξένες ρίζες, μπορούν να απορριφθούν με έλεγχο, φοβάστε να χάσετε τις ρίζες.

α) Λύστε την εξίσωση:

log3(5 - x) = 3 - log3 (-1 - x).

Οι μαθητές συχνά λύνουν αυτή την εξίσωση ως εξής.

log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x), log3(5 - x) + log3(-1 - x) = 3, log3((5 - x)(-1 - x)) = 3 , (5 - x)(-1 - x) = 33, x2 - 4x - 32 = 0,

x1 = -4; x2 = 8.

Οι μαθητές συχνά γράφουν και τους δύο αριθμούς ως απάντηση χωρίς περαιτέρω αιτιολογία. Αλλά όπως δείχνει ένας έλεγχος, ο αριθμός x = 8 δεν είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης, αφού στο x = 8 η αριστερή και η δεξιά πλευρά της εξίσωσης δεν έχουν νόημα. Ο έλεγχος δείχνει ότι ο αριθμός x = -4 είναι η ρίζα της δεδομένης εξίσωσης.

β) Λύστε την εξίσωση

Το πεδίο ορισμού της αρχικής εξίσωσης καθορίζεται από το σύστημα

Για να λύσουμε τη δεδομένη εξίσωση, ας πάμε στον λογάριθμο στη βάση x, παίρνουμε

Βλέπουμε ότι η αριστερή και η δεξιά πλευρά αυτής της τελευταίας εξίσωσης στο x = 1 δεν ορίζονται, αλλά αυτός ο αριθμός είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης (μπορείτε να το επαληθεύσετε με άμεση αντικατάσταση). Έτσι, η επίσημη μετάβαση σε μια νέα βάση οδήγησε στην απώλεια της ρίζας. Για να αποφύγετε την απώλεια της ρίζας x = 1, θα πρέπει να καθορίσετε ότι η νέα βάση πρέπει να είναι ένας θετικός αριθμός εκτός του ενός και να εξετάσετε την περίπτωση x = 1 χωριστά.

2. Μια ολόκληρη ομάδα λαθών, ή μάλλον ελλείψεων, συνίσταται στο γεγονός ότι οι μαθητές δεν δίνουν τη δέουσα προσοχή στην εύρεση του πεδίου ορισμού των εξισώσεων, αν και σε ορισμένες περιπτώσεις ακριβώς αυτό είναι το κλειδί για τη λύση. Ας δούμε ένα παράδειγμα από αυτή την άποψη.

Λύστε την εξίσωση

Ας βρούμε το πεδίο ορισμού αυτής της εξίσωσης, για το οποίο λύνουμε το σύστημα των ανισώσεων:

Όπου έχουμε x = 0. Ας ελέγξουμε με άμεση αντικατάσταση εάν ο αριθμός x = 0 είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης

Απάντηση: x = 0.

3. Ένα τυπικό λάθος των μαθητών είναι ότι δεν έχουν το απαιτούμενο επίπεδο γνώσης ορισμών εννοιών, τύπων, δηλώσεων θεωρημάτων και αλγορίθμων. Ας το επιβεβαιώσουμε με το ακόλουθο παράδειγμα.

Λύστε την εξίσωση

Εδώ είναι μια λανθασμένη λύση αυτής της εξίσωσης:

Ο έλεγχος δείχνει ότι το x = -2 δεν είναι ρίζα της αρχικής εξίσωσης.

Το συμπέρασμα υποδηλώνει ότι η δεδομένη εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Ωστόσο, δεν είναι. Αντικαθιστώντας x = -4 στη δεδομένη εξίσωση, μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι είναι ρίζα.

Ας αναλύσουμε γιατί συνέβη η απώλεια ρίζας.

Στην αρχική εξίσωση, οι παραστάσεις x και x + 3 μπορεί να είναι και οι δύο αρνητικές ή και οι δύο θετικές ταυτόχρονα, αλλά όταν μεταβαίνουμε στην εξίσωση, αυτές οι ίδιες εκφράσεις μπορεί να είναι μόνο θετικές. Κατά συνέπεια, υπήρξε μια στένωση της περιοχής ορισμού, η οποία οδήγησε στην απώλεια των ριζών.

Για να μην χάσουμε τη ρίζα, μπορούμε να προχωρήσουμε ως εξής: στην αρχική εξίσωση μετακινούμαστε από τον λογάριθμο του αθροίσματος στον λογάριθμο του γινομένου. Σε αυτή την περίπτωση, η εμφάνιση ξένων ριζών είναι δυνατή, αλλά μπορείτε να απαλλαγείτε από αυτές με υποκατάσταση.

4. Πολλά λάθη που γίνονται κατά την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων είναι συνέπεια του γεγονότος ότι οι μαθητές προσπαθούν πολύ συχνά να λύσουν προβλήματα σύμφωνα με ένα πρότυπο, δηλαδή με τον συνηθισμένο τρόπο. Ας το δείξουμε αυτό με ένα παράδειγμα.

Λύστε την ανισότητα

Η προσπάθεια επίλυσης αυτής της ανισότητας χρησιμοποιώντας γνωστές αλγοριθμικές μεθόδους δεν θα οδηγήσει σε απάντηση. Η λύση εδώ πρέπει να συνίσταται στην εκτίμηση των τιμών κάθε όρου στην αριστερή πλευρά της ανισότητας στον τομέα ορισμού της ανισότητας.

Ας βρούμε το πεδίο ορισμού της ανισότητας:

Για όλα τα x από το διάστημα (9;10] η έκφραση έχει θετικές τιμές (οι τιμές της εκθετικής συνάρτησης είναι πάντα θετικές).

Για όλα τα x από το διάστημα (9;10], η παράσταση x - 9 έχει θετικές τιμές και η έκφραση lg(x - 9) έχει αρνητικές ή μηδενικές τιμές, στη συνέχεια η έκφραση (- (x - 9) lg(x - 9 ) είναι θετικό ή ίσο με μηδέν.

Τελικά έχουμε x∈ (9;10]. Σημειώστε ότι για τέτοιες τιμές της μεταβλητής, κάθε όρος στην αριστερή πλευρά της ανισότητας είναι θετικός (ο δεύτερος όρος μπορεί να είναι ίσος με μηδέν), που σημαίνει ότι το άθροισμά τους είναι πάντα μεγαλύτερο από το μηδέν Επομένως, η λύση στην αρχική ανισότητα είναι το χάσμα (9;10].

5. Ένα από τα λάθη σχετίζεται με τη γραφική λύση των εξισώσεων.

Λύστε την εξίσωση

Η εμπειρία μας δείχνει ότι οι μαθητές, λύνοντας αυτή την εξίσωση γραφικά (σημειώστε ότι δεν μπορεί να λυθεί με άλλες στοιχειώδεις μεθόδους), λαμβάνουν μόνο μια ρίζα (είναι η τετμημένη ενός σημείου που βρίσκεται στην ευθεία y = x), επειδή οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Αυτά είναι γραφήματα αμοιβαία αντίστροφων συναρτήσεων.

Στην πραγματικότητα, η αρχική εξίσωση έχει τρεις ρίζες: μία από αυτές είναι η τετμημένη του σημείου που βρίσκεται στη διχοτόμο της πρώτης γωνίας συντεταγμένων y = x, η άλλη ρίζα και η τρίτη ρίζα. Μπορείτε να επαληθεύσετε την εγκυρότητα όσων ειπώθηκαν αντικαθιστώντας απευθείας αριθμούς στη δεδομένη εξίσωση.

Σημειώστε ότι οι εξισώσεις της μορφής logax = ax στο 0< a < e-e всегда имеют три действительных корня.

Αυτό το παράδειγμα επεξηγεί με επιτυχία το ακόλουθο συμπέρασμα: η γραφική λύση της εξίσωσης f(x) = g(x) είναι «τέλεια» εάν και οι δύο συναρτήσεις είναι διαφορετικές μονότονες (η μία από αυτές αυξάνεται και η άλλη μειώνεται) και δεν είναι αρκετά σωστή από μαθηματικά στην περίπτωση των μονοτονικών συναρτήσεων (και οι δύο μειώνονται ή αυξάνονται ταυτόχρονα).

6. Μια σειρά από τυπικά λάθη συνδέονται με το γεγονός ότι οι μαθητές δεν λύνουν εξισώσεις και ανισότητες εντελώς σωστά με βάση τη συναρτησιακή προσέγγιση. Ας δείξουμε τυπικά σφάλματα αυτού του είδους.

α) Λύστε την εξίσωση xx = x.

Η συνάρτηση στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι εκθετική και αν ναι, τότε θα πρέπει να επιβληθούν οι ακόλουθοι περιορισμοί με βάση το βαθμό: x > 0, x ≠ 1. Ας πάρουμε τον λογάριθμο και των δύο πλευρών της εξίσωσης:

Όπου έχουμε x = 1.

Ο λογαριθμισμός δεν οδήγησε σε στένωση του πεδίου ορισμού της αρχικής εξίσωσης. Ωστόσο, έχουμε χάσει δύο ρίζες της εξίσωσης. με άμεση παρατήρηση βρίσκουμε ότι x = 1 και x = -1 είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης.

β) Λύστε την εξίσωση

Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, έχουμε μια εκθετική συνάρτηση, που σημαίνει x > 0, x ≠ 1.

Για να λύσουμε την αρχική εξίσωση, παίρνουμε τον λογάριθμο και των δύο πλευρών σε οποιαδήποτε βάση, για παράδειγμα, στη βάση 10:

Λαμβάνοντας υπόψη ότι το γινόμενο δύο παραγόντων είναι ίσο με μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από αυτούς είναι ίσος με μηδέν και ο άλλος είναι λογικός, έχουμε έναν συνδυασμό δύο συστημάτων:

Το πρώτο σύστημα δεν έχει λύση. από το δεύτερο σύστημα παίρνουμε x = 1. Λαμβάνοντας υπόψη τους περιορισμούς που επιβλήθηκαν νωρίτερα, ο αριθμός x = 1 δεν πρέπει να είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης, αν και με άμεση αντικατάσταση είμαστε πεπεισμένοι ότι αυτό δεν συμβαίνει.

7. Ας εξετάσουμε μερικά λάθη που σχετίζονται με την έννοια της σύνθετης συνάρτησης της φόρμας. Ας δείξουμε το σφάλμα χρησιμοποιώντας αυτό το παράδειγμα.

Προσδιορίστε το είδος της μονοτονίας της συνάρτησης.

Η πρακτική μας δείχνει ότι η συντριπτική πλειονότητα των μαθητών καθορίζει τη μονοτονία σε αυτή την περίπτωση μόνο από τη βάση του λογαρίθμου, και αφού 0< 0,5 < 1, то отсюда следует ошибочный вывод - функция убывает.

Οχι! Αυτή η λειτουργία αυξάνεται.

Συμβατικά, για μια συνάρτηση της μορφής μπορούμε να γράψουμε:

Αύξηση (Μείωση) = Φθίνουσα;

Αύξηση (Αύξηση) = Αύξηση;

Μειώνοντας (Μειωτικό) = Αυξάνοντας;

Μείωση (Αύξηση) = Μείωση;

8. Λύστε την εξίσωση

Η εργασία αυτή προέρχεται από το τρίτο μέρος της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης, η οποία αξιολογείται με μόρια (μέγιστη βαθμολογία - 4).

Παρουσιάζουμε μια λύση που περιέχει σφάλματα, πράγμα που σημαίνει ότι δεν θα λάβει τη μέγιστη βαθμολογία.

Ανάγουμε τους λογάριθμους στη βάση 3. Η εξίσωση παίρνει τη μορφή

Με την ενίσχυση, παίρνουμε

x1 = 1, x2 = 3.

Ας ελέγξουμε για να εντοπίσουμε τυχόν ξένες ρίζες.

, 1 = 1,

Αυτό σημαίνει ότι x = 1 είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.

Αυτό σημαίνει ότι το x = 3 δεν είναι ρίζα της αρχικής εξίσωσης.

Ας εξηγήσουμε γιατί αυτή η λύση περιέχει σφάλματα. Η ουσία του σφάλματος είναι ότι η εγγραφή περιέχει δύο μεγάλα σφάλματα. Πρώτο λάθος: η ηχογράφηση δεν έχει κανένα νόημα. Δεύτερο σφάλμα: δεν είναι αλήθεια ότι το γινόμενο δύο παραγόντων, εκ των οποίων ο ένας είναι 0, θα είναι απαραίτητα μηδέν. Θα είναι μηδέν εάν και μόνο εάν ένας παράγοντας είναι 0, και ο δεύτερος παράγοντας έχει νόημα. Εδώ, όμως, ο δεύτερος παράγοντας δεν έχει νόημα.

9. Ας επιστρέψουμε στο λάθος που ήδη σχολιάστηκε παραπάνω, αλλά ταυτόχρονα θα δώσουμε νέο σκεπτικό.

Όταν λύνετε λογαριθμικές εξισώσεις, πηγαίνετε στην εξίσωση. Κάθε ρίζα της πρώτης εξίσωσης είναι επίσης μια ρίζα της δεύτερης εξίσωσης. Το αντίστροφο, μιλώντας γενικά, δεν ισχύει, επομένως, μεταβαίνοντας από εξίσωση σε εξίσωση, είναι απαραίτητο στο τέλος να ελέγξουμε τις ρίζες της τελευταίας αντικαθιστώντας την αρχική εξίσωση. Αντί να ελέγχετε τις ρίζες, καλό είναι να αντικαταστήσετε την εξίσωση με ένα ισοδύναμο σύστημα

Αν κατά την επίλυση μιας λογαριθμικής εξίσωσης οι παραστάσεις

όπου το n είναι ζυγός αριθμός, μετασχηματίζονται ανάλογα με τους τύπους , , , τότε, αφού σε πολλές περιπτώσεις αυτό περιορίζει το πεδίο ορισμού της εξίσωσης, είναι δυνατή η απώλεια ορισμένων από τις ρίζες της. Επομένως, συνιστάται να χρησιμοποιείτε αυτούς τους τύπους με την ακόλουθη μορφή:

Το n είναι ζυγός αριθμός.

Αντίστροφα, εάν, κατά την επίλυση μιας λογαριθμικής εξίσωσης, οι παραστάσεις , , , όπου n είναι ζυγός αριθμός, μετατρέπονται αντίστοιχα στις παραστάσεις

τότε το πεδίο ορισμού της εξίσωσης μπορεί να επεκταθεί, λόγω του οποίου μπορεί να αποκτηθούν εξωτερικές ρίζες. Έχοντας αυτό υπόψη, σε τέτοιες καταστάσεις είναι απαραίτητο να παρακολουθείται η ισοδυναμία των μετασχηματισμών και, εάν διευρυνθεί το πεδίο ορισμού της εξίσωσης, να ελέγξετε τις ρίζες που προκύπτουν.

10. Όταν λύνουμε λογαριθμικές ανισώσεις με χρήση αντικατάστασης, πάντα λύνουμε πρώτα μια νέα ανισότητα σε σχέση με μια νέα μεταβλητή και μόνο στην επίλυσή της προχωράμε στην παλιά μεταβλητή.

Οι μαθητές πολύ συχνά κάνουν λάθος την αντίστροφη μετάβαση νωρίτερα, στο στάδιο της εύρεσης των ριζών της ορθολογικής συνάρτησης που προκύπτει στην αριστερή πλευρά της ανισότητας. Αυτό δεν πρέπει να γίνει.

11. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα άλλου σφάλματος που σχετίζεται με την επίλυση ανισώσεων.

Λύστε την ανισότητα

.

Εδώ είναι μια λανθασμένη λύση που πολύ συχνά προσφέρουν οι μαθητές.

Ας τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές της αρχικής ανισότητας. Θα έχω:

από την οποία προκύπτει μια λανθασμένη αριθμητική ανισότητα, η οποία μας επιτρέπει να συμπεράνουμε: η δεδομένη ανισότητα δεν έχει λύσεις.