Μάθημα και παρουσίαση με θέμα: "Μια αντιπαράγωγη συνάρτηση. Γράφημα συνάρτησης"

Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τις κριτικές, τις επιθυμίες σας! Όλα τα υλικά έχουν ελεγχθεί από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.

Διδακτικά βοηθήματα και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα Integral για την 11η τάξη
Αλγεβρικά προβλήματα με παραμέτρους, τάξεις 9–11
"Διαδραστικές εργασίες για την οικοδόμηση στο χώρο για τις τάξεις 10 και 11"

Αντιπαράγωγη λειτουργία. Εισαγωγή

Παιδιά, ξέρετε πώς να βρίσκετε παραγώγους συναρτήσεων χρησιμοποιώντας διάφορους τύπους και κανόνες. Σήμερα θα μελετήσουμε την αντίστροφη πράξη του υπολογισμού της παραγώγου. Η έννοια του παραγώγου χρησιμοποιείται συχνά στην πραγματική ζωή. Να σας υπενθυμίσω: η παράγωγος είναι ο ρυθμός μεταβολής μιας συνάρτησης σε ένα συγκεκριμένο σημείο. Οι διαδικασίες που περιλαμβάνουν κίνηση και ταχύτητα περιγράφονται καλά σε αυτούς τους όρους.

Ας δούμε αυτό το πρόβλημα: «Η ταχύτητα ενός αντικειμένου που κινείται σε ευθεία γραμμή περιγράφεται από τον τύπο $V=gt$ Πρέπει να επαναφέρουμε τον νόμο της κίνησης.
Λύση.
Γνωρίζουμε καλά τον τύπο: $S"=v(t)$, όπου S είναι ο νόμος της κίνησης.
Η αποστολή μας καταλήγει στην εύρεση μιας συνάρτησης $S=S(t)$ της οποίας η παράγωγος είναι ίση με $gt$. Κοιτάζοντας προσεκτικά, μπορείτε να μαντέψετε ότι $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$.
Ας ελέγξουμε την ορθότητα της λύσης σε αυτό το πρόβλημα: $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
Γνωρίζοντας την παράγωγο της συνάρτησης βρήκαμε την ίδια τη συνάρτηση, δηλαδή εκτελέσαμε την αντίστροφη πράξη.
Αλλά αξίζει να δώσετε προσοχή σε αυτή τη στιγμή. Η λύση στο πρόβλημά μας απαιτεί διευκρίνιση εάν προσθέσουμε οποιονδήποτε αριθμό (σταθερά) στη συνάρτηση που βρέθηκε, τότε η τιμή της παραγώγου δεν θα αλλάξει: $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+. c,c=const$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.

Παιδιά, προσοχή: το πρόβλημά μας έχει άπειρες λύσεις!
Εάν το πρόβλημα δεν καθορίζει μια αρχική ή κάποια άλλη συνθήκη, μην ξεχάσετε να προσθέσετε μια σταθερά στη λύση. Για παράδειγμα, η εργασία μας μπορεί να καθορίσει τη θέση του σώματός μας στην αρχή της κίνησης. Τότε δεν είναι δύσκολο να υπολογίσουμε τη σταθερά αντικαθιστώντας το μηδέν στην προκύπτουσα εξίσωση, παίρνουμε την τιμή της σταθεράς.

Πώς ονομάζεται αυτή η λειτουργία;
Η αντίστροφη λειτουργία της διαφοροποίησης ονομάζεται ολοκλήρωση.
Εύρεση συνάρτησης από δεδομένη παράγωγο – ολοκλήρωση.
Η ίδια η συνάρτηση θα ονομάζεται αντιπαράγωγος, δηλαδή η εικόνα από την οποία προέκυψε η παράγωγος της συνάρτησης.
Συνηθίζεται να γράφεται το αντιπαράγωγο με κεφαλαίο γράμμα $y=F"(x)=f(x)$.

Ορισμός. Η συνάρτηση $y=F(x)$ ονομάζεται αντιπαράγωγος της συνάρτησης $у=f(x)$ στο διάστημα X εάν για οποιοδήποτε $хϵХ$ ισχύει η ισότητα $F'(x)=f(x)$ .

Ας φτιάξουμε έναν πίνακα αντιπαραγώγων για διάφορες συναρτήσεις. Θα πρέπει να εκτυπωθεί ως υπενθύμιση και να απομνημονευθεί.

Στον πίνακά μας, δεν καθορίστηκαν αρχικές συνθήκες. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να προστεθεί μια σταθερά σε κάθε έκφραση στη δεξιά πλευρά του πίνακα. Θα διευκρινίσουμε αυτόν τον κανόνα αργότερα.

Κανόνες εύρεσης αντιπαραγώγων

Ας γράψουμε μερικούς κανόνες που θα μας βοηθήσουν να βρούμε αντιπαράγωγα. Είναι όλα παρόμοια με τους κανόνες διαφοροποίησης.

Κανόνας 1. Το αντιπαράγωγο ενός αθροίσματος είναι ίσο με το άθροισμα των αντιπαραγώγων. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.

Παράδειγμα.
Βρείτε την αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση $y=4x^3+cos(x)$.
Λύση.
Το αντιπαράγωγο του αθροίσματος είναι ίσο με το άθροισμα των αντιπαραγώγων, τότε πρέπει να βρούμε το αντιπαράγωγο για κάθε μία από τις συναρτήσεις που παρουσιάζονται.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
Τότε το αντιπαράγωγο της αρχικής συνάρτησης θα είναι: $y=x^4+sin(x)$ ή οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής $y=x^4+sin(x)+C$.

Κανόνας 2. Εάν το $F(x)$ είναι αντιπαράγωγο για το $f(x)$, τότε το $k*F(x)$ είναι ένα αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση $k*f(x)$.(Μπορούμε εύκολα να πάρουμε τον συντελεστή ως συνάρτηση).

Παράδειγμα.
Βρείτε αντιπαράγωγα συναρτήσεων:
α) $y=8sin(x)$.
β) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
γ) $y=(3x)^2+4x+5$.
Λύση.
α) Το αντιπαράγωγο του $sin(x)$ είναι μείον $cos(x)$. Τότε η αντιπαράγωγος της αρχικής συνάρτησης θα πάρει τη μορφή: $y=-8cos(x)$.

Β) Το αντιπαράγωγο του $cos(x)$ είναι $sin(x)$. Τότε το αντιπαράγωγο της αρχικής συνάρτησης θα πάρει τη μορφή: $y=-\frac(2)(3)sin(x)$.

Γ) Το αντιπαράγωγο για $x^2$ είναι $\frac(x^3)(3)$. Το αντιπαράγωγο για το x είναι $\frac(x^2)(2)$. Το αντιπαράγωγο του 1 είναι το x. Τότε το αντιπαράγωγο της αρχικής συνάρτησης θα πάρει τη μορφή: $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$.

Κανόνας 3. Αν το $у=F(x)$ είναι αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση $y=f(x)$, τότε το αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση $y=f(kx+m)$ είναι η συνάρτηση $y=\frac(1 )(k)* F(kx+m)$.

Παράδειγμα.
Βρείτε αντιπαράγωγα των παρακάτω συναρτήσεων:
α) $y=cos(7x)$.
β) $y=sin(\frac(x)(2))$.
γ) $y=(-2x+3)^3$.
δ) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
Λύση.
α) Το αντιπαράγωγο του $cos(x)$ είναι $sin(x)$. Τότε το αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση $y=cos(7x)$ θα είναι η συνάρτηση $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$.

Β) Το αντιπαράγωγο του $sin(x)$ είναι μείον $cos(x)$. Τότε το αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση $y=sin(\frac(x)(2))$ θα είναι η συνάρτηση $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x )(2) )=-2cos(\frac(x)(2))$.

Γ) Το αντιπαράγωγο για $x^3$ είναι $\frac(x^4)(4)$, στη συνέχεια το αντιπαράγωγο της αρχικής συνάρτησης $y=-\frac(1)(2)*\frac(((- 2x+3) ^4)(4)=-\frac((-2x+3))^4)(8)$.

Δ) Απλοποιήστε ελαφρώς την έκφραση στην ισχύ $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$.
Το αντιπαράγωγο μιας εκθετικής συνάρτησης είναι η ίδια η εκθετική συνάρτηση. Το αντιπαράγωγο της αρχικής συνάρτησης θα είναι $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac (5)( 2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.

Θεώρημα. Αν το $y=F(x)$ είναι αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση $y=f(x)$ στο διάστημα X, τότε η συνάρτηση $y=f(x)$ έχει άπειρα πολλά αντιπαράγωγα και όλα έχουν το μορφή $y=F( x)+С$.

Εάν σε όλα τα παραδείγματα που εξετάστηκαν παραπάνω ήταν απαραίτητο να βρεθεί το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων, τότε η σταθερά C θα πρέπει να προστεθεί παντού.
Για τη συνάρτηση $y=cos(7x)$ όλα τα αντιπαράγωγα έχουν τη μορφή: $y=\frac(sin(7x))(7)+C$.
Για τη συνάρτηση $y=(-2x+3)^3$ όλα τα αντιπαράγωγα έχουν τη μορφή: $y=-\frac(((-2x+3))^4)(8)+C$.

Παράδειγμα.
Δεδομένου του νόμου της μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος με την πάροδο του χρόνου $v=-3sin(4t)$, βρείτε τον νόμο της κίνησης $S=S(t)$ αν την αρχική χρονική στιγμή το σώμα είχε συντεταγμένη ίση με 1,75.
Λύση.
Εφόσον $v=S’(t)$, πρέπει να βρούμε την αντιπαράγωγο για μια δεδομένη ταχύτητα.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
Σε αυτό το πρόβλημα, δίνεται μια πρόσθετη συνθήκη - η αρχική χρονική στιγμή. Αυτό σημαίνει ότι $t=0$.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
Τότε ο νόμος της κίνησης περιγράφεται από τον τύπο: $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$.

Προβλήματα προς επίλυση ανεξάρτητα

1. Βρείτε αντιπαράγωγα συναρτήσεων:
α) $y=-10sin(x)$.
β) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
γ) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$.
2. Βρείτε αντιπαράγωγα των παρακάτω συναρτήσεων:
α) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
β) $y=sin(8x)$.
γ) $y=((7x+4))^4$.
δ) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$.
3. Σύμφωνα με τον δεδομένο νόμο της μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος με την πάροδο του χρόνου $v=4cos(6t)$, βρείτε τον νόμο της κίνησης $S=S(t)$ αν την αρχική χρονική στιγμή το σώμα είχε συντεταγμένη ίση με 2.

Περίληψη μαθήματος για την άλγεβρα και τις αρχές της ανάλυσης για μαθητές της 11ης τάξης δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης

Με θέμα: «Κανόνες εύρεσης αντιπαραγώγων»

Σκοπός του μαθήματος:

Εκπαιδευτικός: εισαγάγετε κανόνες για την εύρεση αντιπαραγώγων χρησιμοποιώντας τις τιμές του πίνακα τους και χρησιμοποιήστε τους κατά την επίλυση προβλημάτων.

Καθήκοντα:

εισαγάγετε τον ορισμό της λειτουργίας ολοκλήρωσης·

εισάγουν τους μαθητές στον πίνακα των αντιπαραγώγων.

εισάγει τους μαθητές στους κανόνες ένταξης·

διδάξτε τους μαθητές να χρησιμοποιούν τον πίνακα των αντιπαραγώγων και τους κανόνες ολοκλήρωσης κατά την επίλυση προβλημάτων.

Αναπτυξιακή: συμβάλλουν στην ανάπτυξη της ικανότητας των μαθητών να αναλύουν, να συγκρίνουν δεδομένα και να εξάγουν συμπεράσματα.

Εκπαιδευτικός: προάγουν το σχηματισμό δεξιοτήτων σε συλλογική και ανεξάρτητη εργασία, αναπτύσσουν την ικανότητα να εκτελούν με ακρίβεια και ικανά μαθηματικές σημειώσεις.

ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: επαγωγικός-αναπαραγωγικός, απαγωγικός-αναπαραγωγικός

tive.

Τύπος μαθήματος: κατακτώντας νέες γνώσεις.

Απαιτήσεις για το ZUN:

Οι μαθητές πρέπει να γνωρίζουν:

- ορισμός της πράξης ολοκλήρωσης·

Πίνακας αντιπαραγώγων;

οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση:

Εφαρμόστε τον πίνακα των αντιπαραγώγων κατά την επίλυση προβλημάτων.

Επίλυση προβλημάτων στα οποία είναι απαραίτητο να βρεθούν αντιπαράγωγα.

Εξοπλισμός: υπολογιστής, οθόνη, προβολέας πολυμέσων, παρουσίαση.

Βιβλιογραφία:

1. Α.Γ. Mordkovich et al. «Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης. Βιβλίο προβλημάτων για τις τάξεις 10-11" Μ.: Μνημοσύνη, 2001.

2. Σ.Α. Alimov «Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης. 10-11 τάξη. Σχολικό βιβλίο» Μ.: Εκπαίδευση, 2004. - 384 σελ.

3. Μέθοδοι και τεχνολογία διδασκαλίας των μαθηματικών. Μ.: Bustard, 2005. – 416 σελ.

Δομή μαθήματος:

Εγώ. Οργανωτική στιγμή (2 λεπτά)

II. Ενημέρωση γνώσεων (7 λεπτά)

III. Εκμάθηση νέου υλικού (15 λεπτά)

VI. Ενίσχυση διδαγμένου υλικού (17 λεπτά)

V. Σύνοψη και D/Z (4 λεπτά)

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

Εγώ . Οργάνωση χρόνου

Χαιρετισμός μαθητών, έλεγχος απουσιών και ετοιμότητας της αίθουσας για το μάθημα.

II . Ενημέρωση γνώσεων

Γράψιμο στον πίνακα (σε σημειωματάρια)

Ημερομηνία της.

Εργασία στην τάξη

Κανόνες εύρεσης αντιπαραγώγων.

Δάσκαλος: Το θέμα του σημερινού μαθήματος: «Κανόνες εύρεσης αντιπαραγώγων» (διαφάνεια 1). Αλλά προτού προχωρήσουμε στη μελέτη ενός νέου θέματος, ας θυμηθούμε το υλικό που καλύψαμε.

Δύο μαθητές καλούνται στον πίνακα, ο καθένας έχει μια ατομική εργασία (αν ο μαθητής ολοκλήρωσε την εργασία χωρίς σφάλματα, λαμβάνει βαθμό "5").

Κάρτες εργασιών

№ 1

y = 6x – 2x 3 .

φά ( Χ )=3 Χ 2 +4 Χ –1 στο σημείο Χ =3.

№ 2

2) Να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησηςφά ( Χ )=5 Χ 2 +5 Χ – 5 στο σημείο Χ =1.

Λύση

Κάρτα Νο 1

1) Να βρείτε τα διαστήματα της αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησηςy = 6x – 2x 3 .

; Ας είναι, λοιπόν, σίγουρα. Χ 1 Και Χ 2 στάσιμα σημεία?

2. Τα ακίνητα σημεία χωρίζουν τη γραμμή συντεταγμένων σε τρία διαστήματα. Σε αυτά τα διαστήματα όπου η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι θετική, η ίδια η συνάρτηση αυξάνεται και όπου είναι αρνητική, μειώνεται.

- + -

στο -1 1

Ως εκ τούτου στομειώνεται σε Χ (- ;-1) (1; ) και αυξάνεται μεΧ (-1;1).

2) φά ( Χ )=3 Χ 2 +4 Χ –1 ; ; .

Κάρτα Νο 2

1) Βρείτε τα ακραία σημεία της συνάρτησης .

1. Ας βρούμε ακίνητα σημεία, για αυτό θα βρούμε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης, μετά θα την εξισώσουμε με το μηδέν και θα λύσουμε την εξίσωση που προκύπτει, οι ρίζες της οποίας θα είναι τα ακίνητα σημεία.

; Ας , λοιπόν, λοιπόν, , και .

2. Τα ακίνητα σημεία χωρίζουν τη γραμμή συντεταγμένων σε τέσσερα διαστήματα. Τα σημεία εκείνα μέσω των οποίων η παράγωγος της συνάρτησης αλλάζει πρόσημο είναι ακραία σημεία.

+ - - +

στο -3 0 3

Που σημαίνει - ακραία σημεία και είναι το μέγιστο σημείο, και - ελάχιστος βαθμός.

2) φά ( Χ )=5 Χ 2 +5 Χ – 5; ; .

Ενώ οι μαθητές που καλούνται στον πίνακα λύνουν παραδείγματα, στην υπόλοιπη τάξη τίθενται θεωρητικές ερωτήσεις. Κατά τη διαδικασία της ερώτησης, ο δάσκαλος παρακολουθεί εάν οι μαθητές ολοκλήρωσαν την εργασία ή όχι.

Δάσκαλος: Ας απαντήσουμε λοιπόν σε μερικές ερωτήσεις. Ας θυμηθούμε ποια συνάρτηση ονομάζεται αντιπαράγωγο; (διαφάνεια 2)

Μαθητης σχολειου: Λειτουργία φά ( Χ ) που ονομάζεται αντιπαράγωγο της συνάρτησηςφά ( Χ ) σε κάποιο διάστημα, αν για όλαΧ από αυτό το κενό .

(διαφάνεια 2).

Δάσκαλος: Σωστά. Πώς ονομάζεται η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου μιας συνάρτησης; (διαφάνεια 3)

Μαθητης σχολειου: ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση.

Αφού απαντήσει ο μαθητής, η σωστή απάντηση διπλασιάζεται στη διαφάνεια (διαφάνεια 3).

Δάσκαλος: Πώς να δείξετε ότι μια συνάρτησηφά ( Χ ) είναι ένα αντιπαράγωγο της συνάρτησηςφά ( Χ ) ? (διαφάνεια 4).

Μαθητης σχολειου: Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησηςφά ( Χ ) .

Αφού απαντήσει ο μαθητής, η σωστή απάντηση διπλασιάζεται στη διαφάνεια (διαφάνεια 4).

Δάσκαλος: Πρόστιμο. Τότε πείτε μου αν η συνάρτηση είναιφά ( Χ )=3 Χ 2 +11 Χ αντιπαράγωγο της συνάρτησηςφά ( Χ )=6x+10? (διαφάνεια 5)

Μαθητης σχολειου: Οχι επειδή παράγωγο συνάρτησηςφά ( Χ )=3 Χ 2 +11 Χ ίσο με 6x+11, αλλά όχι 6x+10 .

Αφού απαντήσει ο μαθητής, η σωστή απάντηση διπλασιάζεται στη διαφάνεια (διαφάνεια 5).

Δάσκαλος: Πόσα αντιπαράγωγα μπορούν να βρεθούν για μια συγκεκριμένη συνάρτηση;φά ( Χ ) ? Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (διαφάνεια 6)

Μαθητης σχολειου: Άπειρα πολλά, γιατί Προσθέτουμε πάντα μια σταθερά στη συνάρτηση που προκύπτει, η οποία μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.

Αφού απαντήσει ο μαθητής, η σωστή απάντηση διπλασιάζεται στη διαφάνεια (διαφάνεια 6).

Δάσκαλος: Σωστά. Τώρα ας ελέγξουμε μαζί τις λύσεις των μαθητών που εργάζονται στον πίνακα.

Οι μαθητές ελέγχουν τη λύση μαζί με τον δάσκαλο.

III . Εκμάθηση νέου υλικού

Δάσκαλος: Η αντίστροφη πράξη της εύρεσης του αντιπαραγώγου για μια δεδομένη συνάρτηση ονομάζεται ολοκλήρωση (από τη λατινική λέξηintegrare – επαναφορά). Ένας πίνακας αντιπαραγώγων για ορισμένες συναρτήσεις μπορεί να καταρτιστεί χρησιμοποιώντας έναν πίνακα παραγώγων. Για παράδειγμα, γνωρίζοντας αυτό, παίρνουμε , από το οποίο προκύπτει ότι όλες οι αντιπαράγωγες συναρτήσεις γράφονται στη μορφή, Οπου ντο – αυθαίρετη σταθερά.

Γράψιμο στον πίνακα (σε σημειωματάρια)

παίρνουμε,

απ' όπου προκύπτει ότι όλες οι αντιπαράγωγες συναρτήσεις γράφονται στη μορφή, Οπου ντο – αυθαίρετη σταθερά.

Δάσκαλος: Ανοίξτε τα σχολικά σας βιβλία στη σελίδα 290. Εδώ είναι ένας πίνακας με αντιπαράγωγα. Παρουσιάζεται επίσης στη διαφάνεια. (διαφάνεια 7)

Δάσκαλος: Οι κανόνες ολοκλήρωσης μπορούν να ληφθούν χρησιμοποιώντας τους κανόνες διαφοροποίησης. Εξετάστε τους ακόλουθους κανόνες ολοκλήρωσης: letφά ( Χ ) Και σολ ( Χ ) – αντιπαράγωγα συναρτήσεων αντίστοιχαφά ( Χ ) Και σολ ( Χ ) σε κάποιο διάστημα. Επειτα:

1) Λειτουργία ;

2) Λειτουργία είναι το αντιπαράγωγο της συνάρτησης. (διαφάνεια 8)

Γράψιμο στον πίνακα (σε σημειωματάρια)

1) Λειτουργία είναι το αντιπαράγωγο της συνάρτησης ;

2) Λειτουργία είναι το αντιπαράγωγο της συνάρτησης .

VI . Ενίσχυση της ύλης που έμαθε

Δάσκαλος: Ας περάσουμε στο πρακτικό μέρος του μαθήματος. Βρείτε ένα από τα αντιπαράγωγα της συνάρτησηςΑποφασίζουμε στο διοικητικό συμβούλιο.

Μαθητης σχολειου: Για να βρείτε το αντιπαράγωγο αυτής της συνάρτησης, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα ολοκλήρωσης: συνάρτηση είναι το αντιπαράγωγο της συνάρτησης .

Δάσκαλος: Σωστά, τι άλλο πρέπει να γνωρίζετε για να βρείτε το αντιπαράγωγο μιας δεδομένης συνάρτησης;

Μαθητης σχολειου: Θα χρησιμοποιήσουμε επίσης τον πίνακα των αντιπαραγώγων για συναρτήσεις, στο Π =2 και for είναι η συνάρτηση ;

2) Λειτουργία είναι το αντιπαράγωγο της συνάρτησης .

Δάσκαλος: Ολα είναι σωστά.

Εργασία για το σπίτι

§55, Νο. 988 (2, 4, 6), Νο. 989 (2, 4, 6, 8), Νο. 990 (2, 4, 6), Νο. 991 (2, 4, 6, 8) . (διαφάνεια 9)

Κάνοντας σημάδια.

Δάσκαλος: Το μάθημα τελείωσε. Μπορείς να είσαι ελεύθερος.

Αντιπαράγωγη λειτουργία f(x)ανάμεσα (α; β)αυτή η συνάρτηση καλείται F(x), ότι η ισότητα ισχύει για οποιονδήποτε Χαπό ένα δεδομένο διάστημα.

Αν λάβουμε υπόψη το γεγονός ότι η παράγωγος μιας σταθεράς ΜΕισούται με μηδέν, τότε η ισότητα είναι αληθής. Η συνάρτηση λοιπόν f(x)έχει πολλά πρωτόγονα F(x)+C, για μια αυθαίρετη σταθερά ΜΕ, και αυτά τα αντιπαράγωγα διαφέρουν μεταξύ τους κατά μια αυθαίρετη σταθερή τιμή.

Ορισμός αόριστου ολοκληρώματος.

Ολόκληρο το σύνολο των αντιπαράγωγων συναρτήσεων f(x)ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα αυτής της συνάρτησης και συμβολίζεται .

Η έκφραση ονομάζεται ολοκληρωτέου, ΕΝΑ f(x) – συνάρτηση ολοκλήρωσης. Το ολοκλήρωμα αντιπροσωπεύει το διαφορικό της συνάρτησης f(x).

Η ενέργεια εύρεσης μιας άγνωστης συνάρτησης με δεδομένο το διαφορικό της ονομάζεται αβέβαιοςολοκλήρωση, επειδή το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης είναι περισσότερες από μία συναρτήσεις F(x), και το σύνολο των πρωτόγονων του F(x)+C.

Γεωμετρική σημασία του αορίστου ολοκληρώματος. Η γραφική παράσταση της αντιπαραγώγου D(x) ονομάζεται ολοκληρωτική καμπύλη. Στο σύστημα συντεταγμένων x0y, τα γραφήματα όλων των αντιπαραγώγων μιας δεδομένης συνάρτησης αντιπροσωπεύουν μια οικογένεια καμπυλών που εξαρτώνται από την τιμή της σταθεράς C και λαμβάνονται μεταξύ τους με παράλληλη μετατόπιση κατά μήκος του άξονα 0y. Για το παράδειγμα που συζητήθηκε παραπάνω, έχουμε:

J 2 x^x = x2 + C.

Η οικογένεια των αντιπαραγώγων (x + C) ερμηνεύεται γεωμετρικά από ένα σύνολο παραβολών.

Εάν πρέπει να βρείτε ένα από μια οικογένεια αντιπαραγώγων, τότε ορίζονται πρόσθετες συνθήκες που σας επιτρέπουν να προσδιορίσετε τη σταθερά C. Συνήθως, για το σκοπό αυτό, ορίζονται αρχικές συνθήκες: όταν το όρισμα x = x0, η συνάρτηση έχει την τιμή D (x0) = y0.

Παράδειγμα. Απαιτείται να βρεθεί ότι μία από τις αντιπαράγωγες της συνάρτησης y = 2 x που παίρνει την τιμή 3 στο x0 = 1.

Το απαιτούμενο αντιπαράγωγο: D(x) = x2 + 2.

Λύση. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3; C = 2.

2. Βασικές ιδιότητες του αορίστου ολοκληρώματος

1. Η παράγωγος του αόριστου ολοκληρώματος είναι ίση με τη συνάρτηση ολοκληρώματος:

2. Το διαφορικό του αόριστου ολοκληρώματος ισούται με την έκφραση του ολοκληρώματος:

3. Το αόριστο ολοκλήρωμα του διαφορικού μιας ορισμένης συνάρτησης είναι ίσο με το άθροισμα αυτής της ίδιας της συνάρτησης και μιας αυθαίρετης σταθεράς:

4. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το ολοκλήρωμα:

5. Το ολοκλήρωμα του αθροίσματος (διαφορά) ισούται με το άθροισμα (διαφορά) των ολοκληρωμάτων:

6. Η ιδιοκτησία είναι ένας συνδυασμός των ιδιοτήτων 4 και 5:

7. Αμετάβλητη ιδιότητα του αορίστου ολοκληρώματος:

Αν , Οτι

8. Ιδιότητα:

Αν , Οτι

Στην πραγματικότητα, αυτή η ιδιότητα είναι μια ειδική περίπτωση ολοκλήρωσης με τη χρήση της μεθόδου μεταβλητής αλλαγής, η οποία αναλύεται λεπτομερέστερα στην επόμενη ενότητα.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

3. Μέθοδος ολοκλήρωσηςστην οποία ένα δεδομένο ολοκλήρωμα ανάγεται σε ένα ή περισσότερα ολοκληρώματα πίνακα μέσω πανομοιότυπων μετασχηματισμών του ολοκληρώματος (ή της έκφρασης) και την εφαρμογή των ιδιοτήτων του αόριστου ολοκληρώματος, λέγεται άμεση ενσωμάτωση. Όταν ανάγεται αυτό το ολοκλήρωμα σε πίνακα, χρησιμοποιούνται συχνά οι ακόλουθοι διαφορικοί μετασχηματισμοί (λειτουργία " προσυπογράφοντας το διαφορικό πρόσημο»):

Καθόλου, f’(u)du = d(f(u)).Αυτός (ο τύπος χρησιμοποιείται πολύ συχνά κατά τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων.

Βρείτε το ολοκλήρωμα

Λύση.Ας χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες του ολοκληρώματος και ας μειώσουμε αυτό το ολοκλήρωμα σε αρκετές πινακοποιημένες.

4. Ενσωμάτωση με μέθοδο αντικατάστασης.

Η ουσία της μεθόδου είναι ότι εισάγουμε μια νέα μεταβλητή, εκφράζουμε το ολοκλήρωμα μέσω αυτής της μεταβλητής και ως αποτέλεσμα φτάνουμε σε μια πινακοποιημένη (ή απλούστερη) μορφή του ολοκληρώματος.

Πολύ συχνά, η μέθοδος αντικατάστασης έρχεται στη διάσωση κατά την ενσωμάτωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων και συναρτήσεων με ρίζες.

Παράδειγμα.

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα .

Λύση.

Ας εισάγουμε μια νέα μεταβλητή. Ας εκφραστούμε Χδιά μέσου z:

Αντικαθιστούμε τις παραστάσεις που προκύπτουν στο αρχικό ολοκλήρωμα:

Από τον πίνακα των αντιπαραγώγων έχουμε .

Απομένει να επιστρέψουμε στην αρχική μεταβλητή Χ:

Απάντηση:

Αυτό το μάθημα είναι το πρώτο σε μια σειρά βίντεο για την ενσωμάτωση. Σε αυτό θα αναλύσουμε τι είναι ένα αντιπαράγωγο μιας συνάρτησης και επίσης θα μελετήσουμε τις στοιχειώδεις μεθόδους υπολογισμού αυτών των ίδιων των αντιπαραγώγων.

Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο εδώ: ουσιαστικά όλα καταλήγουν στην έννοια του παραγώγου, με την οποία θα πρέπει να είστε ήδη εξοικειωμένοι.

Θα σημειώσω αμέσως ότι επειδή αυτό είναι το πρώτο μάθημα στο νέο μας θέμα, σήμερα δεν θα υπάρχουν σύνθετοι υπολογισμοί και τύποι, αλλά αυτά που θα μάθουμε σήμερα θα αποτελέσουν τη βάση για πολύ πιο σύνθετους υπολογισμούς και κατασκευές κατά τον υπολογισμό σύνθετων ολοκληρωμάτων και περιοχών .

Επιπλέον, όταν ξεκινάμε να μελετάμε την ολοκλήρωση και τα ολοκληρώματα ειδικότερα, υποθέτουμε σιωπηρά ότι ο μαθητής είναι ήδη τουλάχιστον εξοικειωμένος με τις έννοιες των παραγώγων και έχει τουλάχιστον βασικές δεξιότητες στον υπολογισμό τους. Χωρίς σαφή κατανόηση αυτού, δεν υπάρχει απολύτως τίποτα να κάνουμε στην ενσωμάτωση.

Ωστόσο, εδώ βρίσκεται ένα από τα πιο κοινά και ύπουλα προβλήματα. Το γεγονός είναι ότι, όταν αρχίζουν να υπολογίζουν τα πρώτα τους αντιπαράγωγα, πολλοί μαθητές τα μπερδεύουν με τα παράγωγα. Ως αποτέλεσμα, γίνονται ανόητα και προσβλητικά λάθη κατά τη διάρκεια των εξετάσεων και της ανεξάρτητης εργασίας.

Επομένως, τώρα δεν θα δώσω έναν σαφή ορισμό του αντιπαραγώγου. Σε αντάλλαγμα, σας προτείνω να δείτε πώς υπολογίζεται χρησιμοποιώντας ένα απλό συγκεκριμένο παράδειγμα.

Τι είναι ένα αντιπαράγωγο και πώς υπολογίζεται;

Γνωρίζουμε αυτόν τον τύπο:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Αυτή η παράγωγος υπολογίζεται απλά:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Ας δούμε προσεκτικά την έκφραση που προκύπτει και ας εκφράσουμε $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\αριστερά(((x)^(3)) \δεξιά))^(\prime )))(3)\]

Αλλά μπορούμε να το γράψουμε ως εξής, σύμφωνα με τον ορισμό μιας παραγώγου:

\[((x)^(2))=((\αριστερά(\frac(((x)^(3)))(3) \δεξιά))^(\prime ))\]

Και τώρα προσοχή: αυτό που μόλις καταγράψαμε είναι ο ορισμός του αντιπαραγώγου. Αλλά για να το γράψετε σωστά, πρέπει να γράψετε τα εξής:

Ας γράψουμε την παρακάτω έκφραση με τον ίδιο τρόπο:

Αν γενικεύσουμε αυτόν τον κανόνα, μπορούμε να εξαγάγουμε τον ακόλουθο τύπο:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Τώρα μπορούμε να διατυπώσουμε έναν σαφή ορισμό.

Αντιπαράγωγο μιας συνάρτησης είναι μια συνάρτηση της οποίας η παράγωγος είναι ίση με την αρχική συνάρτηση.

Ερωτήσεις σχετικά με την αντιπαράγωγη συνάρτηση

Θα φαινόταν ένας αρκετά απλός και κατανοητός ορισμός. Ωστόσο, μόλις το ακούσει, ο προσεκτικός μαθητής θα έχει αμέσως πολλές ερωτήσεις:

1. Ας πούμε, εντάξει, αυτός ο τύπος είναι σωστός. Ωστόσο, σε αυτήν την περίπτωση, με $n=1$, έχουμε προβλήματα: το "μηδέν" εμφανίζεται στον παρονομαστή και δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το "μηδέν".
2. Ο τύπος περιορίζεται μόνο σε βαθμούς. Πώς να υπολογίσετε την αντιπαράγωγο, για παράδειγμα, του ημιτόνου, του συνημιτόνου και οποιασδήποτε άλλης τριγωνομετρίας, καθώς και των σταθερών.
3. Υπαρξιακό ερώτημα: είναι πάντα δυνατό να βρεθεί αντιπαράγωγο; Αν ναι, τότε τι γίνεται με το αντιπαράγωγο του αθροίσματος, της διαφοράς, του προϊόντος κ.λπ.;

Θα απαντήσω αμέσως στην τελευταία ερώτηση. Δυστυχώς, το αντιπαράγωγο, σε αντίθεση με το παράγωγο, δεν λαμβάνεται πάντα υπόψη. Δεν υπάρχει καθολικός τύπος με τον οποίο από οποιαδήποτε αρχική κατασκευή θα λάβουμε μια συνάρτηση που θα είναι ίση με αυτήν την παρόμοια κατασκευή. Όσο για τις δυνάμεις και τις σταθερές, θα μιλήσουμε για αυτό τώρα.

Επίλυση προβλημάτων με συναρτήσεις ισχύος

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Όπως μπορείτε να δείτε, αυτός ο τύπος για $((x)^(-1))$ δεν λειτουργεί. Τίθεται το ερώτημα: τι λειτουργεί τότε; Δεν μπορούμε να μετρήσουμε $((x)^(-1))$; Φυσικά μπορούμε. Ας θυμηθούμε πρώτα αυτό:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Τώρα ας σκεφτούμε: η παράγωγος της οποίας συνάρτηση είναι ίση με $\frac(1)(x)$. Προφανώς, κάθε μαθητής που έχει μελετήσει τουλάχιστον λίγο αυτό το θέμα θα θυμάται ότι αυτή η έκφραση είναι ίση με την παράγωγο του φυσικού λογάριθμου:

\[((\αριστερά(\ln x \δεξιά))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Επομένως, μπορούμε να γράψουμε με σιγουριά τα εξής:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]

Πρέπει να γνωρίζετε αυτόν τον τύπο, όπως ακριβώς και την παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύος.

Λοιπόν τι γνωρίζουμε μέχρι τώρα:

• Για μια συνάρτηση ισχύος - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• Για μια σταθερά - $=const\to \cdot x$
• Μια ειδική περίπτωση μιας συνάρτησης ισχύος είναι $\frac(1)(x)\to \ln x$

Και αν αρχίσουμε να πολλαπλασιάζουμε και να διαιρούμε τις απλούστερες συναρτήσεις, πώς μπορούμε τότε να υπολογίσουμε την αντιπαράγωγο ενός γινομένου ή ενός πηλίκου. Δυστυχώς, οι αναλογίες με το παράγωγο ενός προϊόντος ή ενός πηλίκου δεν λειτουργούν εδώ. Δεν υπάρχει τυπική φόρμουλα. Για ορισμένες περιπτώσεις, υπάρχουν δύσκολες ειδικές φόρμουλες - θα τις γνωρίσουμε σε μελλοντικά μαθήματα βίντεο.

Ωστόσο, να θυμάστε: δεν υπάρχει γενικός τύπος παρόμοιος με τον τύπο για τον υπολογισμό της παραγώγου ενός πηλίκου και ενός προϊόντος.

Επίλυση πραγματικών προβλημάτων

Εργασία Νο. 1

Ας υπολογίσουμε κάθε μία από τις συναρτήσεις ισχύος ξεχωριστά:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Επιστρέφοντας στην έκφρασή μας, γράφουμε τη γενική κατασκευή:

Πρόβλημα Νο 2

Όπως είπα ήδη, πρωτότυπα έργα και στοιχεία «to the point» δεν λαμβάνονται υπόψη. Ωστόσο, εδώ μπορείτε να κάνετε τα εξής:

Αναλύσαμε το κλάσμα στο άθροισμα δύο κλασμάτων.

Ας κάνουμε τα μαθηματικά:

Τα καλά νέα είναι ότι γνωρίζοντας τους τύπους για τον υπολογισμό των αντιπαραγώγων, μπορείτε ήδη να υπολογίσετε πιο πολύπλοκες δομές. Ωστόσο, ας πάμε παρακάτω και ας διευρύνουμε λίγο περισσότερο τις γνώσεις μας. Το γεγονός είναι ότι πολλές κατασκευές και εκφράσεις, οι οποίες, εκ πρώτης όψεως, δεν έχουν καμία σχέση με το $((x)^(n))$, μπορούν να αναπαρασταθούν ως δύναμη με λογικό εκθέτη, δηλαδή:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Όλες αυτές οι τεχνικές μπορούν και πρέπει να συνδυαστούν. Οι εκφράσεις δύναμης μπορούν να είναι

• πολλαπλασιάζω (προσθήκη βαθμών).
• διαίρεση (αφαιρούνται οι μοίρες).
• πολλαπλασιάζω με μια σταθερά.
• και τα λοιπά.

Επίλυση εκφράσεων δύναμης με ορθολογικό εκθέτη

Παράδειγμα #1

Ας υπολογίσουμε κάθε ρίζα ξεχωριστά:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4)))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Συνολικά, ολόκληρη η κατασκευή μας μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Παράδειγμα Νο. 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \δεξιά))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Επομένως παίρνουμε:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

Συνολικά, συλλέγοντας τα πάντα σε μια έκφραση, μπορούμε να γράψουμε:

Παράδειγμα Νο. 3

Αρχικά, σημειώνουμε ότι έχουμε ήδη υπολογίσει το $\sqrt(x)$:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Ας ξαναγράψουμε:

Ελπίζω να μην εκπλήξω κανέναν αν πω ότι αυτό που μόλις μελετήσαμε είναι μόνο οι απλούστεροι υπολογισμοί των αντιπαραγώγων, οι πιο στοιχειώδεις κατασκευές. Ας δούμε τώρα ελαφρώς πιο περίπλοκα παραδείγματα, στα οποία, εκτός από τα αντιπαράγωγα του πίνακα, θα πρέπει επίσης να θυμάστε το σχολικό πρόγραμμα σπουδών, δηλαδή, συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού.

Επίλυση πιο σύνθετων παραδειγμάτων

Εργασία Νο. 1

Ας θυμηθούμε τον τύπο για την τετραγωνική διαφορά:

\[((\αριστερά(a-b \δεξιά))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Ας ξαναγράψουμε τη συνάρτησή μας:

Τώρα πρέπει να βρούμε το πρωτότυπο μιας τέτοιας συνάρτησης:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3)))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3)))(4)\]

Ας τα βάλουμε όλα μαζί σε ένα κοινό σχέδιο:

Πρόβλημα Νο 2

Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να επεκτείνουμε τον κύβο διαφοράς. Ας θυμηθούμε:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((β)^(3))\]

Λαμβάνοντας υπόψη αυτό το γεγονός, μπορούμε να το γράψουμε ως εξής:

Ας μεταμορφώσουμε λίγο τη λειτουργία μας:

Μετράμε όπως πάντα - για κάθε όρο ξεχωριστά:

\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\ έως \ln x\]

Ας γράψουμε την κατασκευή που προκύπτει:

Πρόβλημα Νο. 3

Στην κορυφή έχουμε το τετράγωνο του αθροίσματος, ας το επεκτείνουμε:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\αριστερά(\sqrt(x) \δεξιά))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2)))(3)\]

Ας γράψουμε την τελική λύση:

Τώρα προσοχή! Κάτι πολύ σημαντικό, που συνδέεται με τη μερίδα του λέοντος στα λάθη και τις παρεξηγήσεις. Γεγονός είναι ότι μέχρι τώρα, μετρώντας αντιπαράγωγα χρησιμοποιώντας παραγώγους και φέρνοντας μετασχηματισμούς, δεν σκεφτήκαμε με τι ισούται η παράγωγος μιας σταθεράς. Αλλά η παράγωγος μιας σταθεράς είναι ίση με «μηδέν». Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να γράψετε τις ακόλουθες επιλογές:

1. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Αυτό είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε: αν η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι πάντα η ίδια, τότε η ίδια συνάρτηση έχει άπειρο αριθμό αντιπαραγώγων. Μπορούμε απλά να προσθέσουμε οποιουσδήποτε σταθερούς αριθμούς στα αντιπαράγωγά μας και να πάρουμε νέους.

Δεν είναι τυχαίο ότι στην εξήγηση των προβλημάτων που μόλις λύσαμε, γράφτηκε «Γράψτε τη γενική μορφή των αντιπαραγώγων». Εκείνοι. Υποτίθεται ήδη εκ των προτέρων ότι δεν υπάρχει ένας από αυτούς, αλλά ένα ολόκληρο πλήθος. Αλλά, στην πραγματικότητα, διαφέρουν μόνο στη σταθερή $C$ στο τέλος. Επομένως, στα καθήκοντά μας θα διορθώσουμε αυτά που δεν ολοκληρώσαμε.

Για άλλη μια φορά ξαναγράφουμε τις κατασκευές μας:

Σε τέτοιες περιπτώσεις, θα πρέπει να προσθέσετε ότι το $C$ είναι μια σταθερά - $C=const$.

Στη δεύτερη συνάρτησή μας έχουμε την ακόλουθη κατασκευή:

Και το τελευταίο:

Και τώρα πήραμε πραγματικά αυτό που απαιτούνταν από εμάς στην αρχική κατάσταση του προβλήματος.

Επίλυση προβλημάτων εύρεσης αντιπαραγώγων με δεδομένο σημείο

Τώρα που γνωρίζουμε για τις σταθερές και τις ιδιαιτερότητες της γραφής αντιπαραγώγων, είναι πολύ λογικό να προκύπτει ο επόμενος τύπος προβλήματος όταν, από το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων, απαιτείται να βρεθεί το ένα και μοναδικό που θα περνούσε από ένα δεδομένο σημείο . Τι είναι αυτό το καθήκον;

Το γεγονός είναι ότι όλα τα αντιπαράγωγα μιας δεδομένης συνάρτησης διαφέρουν μόνο στο ότι μετατοπίζονται κατακόρυφα κατά έναν ορισμένο αριθμό. Και αυτό σημαίνει ότι ανεξάρτητα από το σημείο στο επίπεδο συντεταγμένων που πάρουμε, σίγουρα θα περάσει ένα αντιπαράγωγο και, επιπλέον, μόνο ένα.

Έτσι, τα προβλήματα που θα λύσουμε τώρα διατυπώνονται ως εξής: όχι απλώς βρείτε την αντιπαράγωγο, γνωρίζοντας τον τύπο της αρχικής συνάρτησης, αλλά επιλέξτε ακριβώς αυτό που διέρχεται από το δεδομένο σημείο, οι συντεταγμένες του οποίου θα δοθούν στο πρόβλημα δήλωση.

Παράδειγμα #1

Αρχικά, ας μετρήσουμε απλώς κάθε όρο:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]

Τώρα αντικαθιστούμε αυτές τις εκφράσεις στην κατασκευή μας:

Αυτή η συνάρτηση πρέπει να περάσει από το σημείο $M\left(-1;4 \right)$. Τι σημαίνει ότι περνά από ένα σημείο; Αυτό σημαίνει ότι αν αντί για $x$ βάλουμε $-1$ παντού και αντί για $F\left(x \right)$ - $-4$, τότε θα πρέπει να έχουμε τη σωστή αριθμητική ισότητα. Ας το κάνουμε:

Βλέπουμε ότι έχουμε μια εξίσωση για $C$, οπότε ας προσπαθήσουμε να τη λύσουμε:

Ας γράψουμε τη λύση που αναζητούσαμε:

Παράδειγμα Νο. 2

Πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να αποκαλύψουμε το τετράγωνο της διαφοράς χρησιμοποιώντας τον συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Η αρχική κατασκευή θα γραφτεί ως εξής:

Τώρα ας βρούμε το $C$: αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του σημείου $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Εκφράζουμε $C$:

Απομένει να εμφανιστεί η τελική έκφραση:

Επίλυση τριγωνομετρικών προβλημάτων

Ως τελευταία πινελιά σε αυτό που μόλις συζητήσαμε, προτείνω να εξετάσουμε δύο πιο σύνθετα προβλήματα που περιλαμβάνουν την τριγωνομετρία. Σε αυτές, με τον ίδιο τρόπο, θα χρειαστεί να βρείτε αντιπαράγωγα για όλες τις συναρτήσεις και, στη συνέχεια, να επιλέξετε από αυτό το σύνολο τη μοναδική που διέρχεται από το σημείο $M$ στο επίπεδο συντεταγμένων.

Κοιτάζοντας μπροστά, θα ήθελα να σημειώσω ότι η τεχνική που θα χρησιμοποιήσουμε τώρα για να βρούμε αντιπαράγωγα τριγωνομετρικών συναρτήσεων είναι, στην πραγματικότητα, μια καθολική τεχνική για αυτοέλεγχο.

Εργασία Νο. 1

Ας θυμηθούμε τον ακόλουθο τύπο:

\[((\αριστερά(\κείμενο(tg)x \δεξιά))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Με βάση αυτό, μπορούμε να γράψουμε:

Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου $M$ στην έκφρασή μας:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Ας ξαναγράψουμε την έκφραση λαμβάνοντας υπόψη αυτό το γεγονός:

Πρόβλημα Νο 2

Αυτό θα είναι λίγο πιο δύσκολο. Τώρα θα δείτε γιατί.

Ας θυμηθούμε αυτόν τον τύπο:

\[((\αριστερά(\κείμενο(ctg)x \δεξιά))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Για να απαλλαγείτε από το "μείον", πρέπει να κάνετε τα εξής:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Εδώ είναι το σχέδιό μας

Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου $M$:

Συνολικά, σημειώνουμε την τελική κατασκευή:

Μόνο αυτό ήθελα να σας πω σήμερα. Μελετήσαμε τον ίδιο τον όρο αντιπαράγωγα, πώς να τα υπολογίσουμε από στοιχειώδεις συναρτήσεις και επίσης πώς να βρούμε μια αντιπαράγωγο που διέρχεται από ένα συγκεκριμένο σημείο στο επίπεδο συντεταγμένων.

Ελπίζω ότι αυτό το μάθημα θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε τουλάχιστον λίγο αυτό το περίπλοκο θέμα. Σε κάθε περίπτωση, πάνω σε αντιπαράγωγα κατασκευάζονται αόριστα και αόριστα ολοκληρώματα, επομένως είναι απολύτως απαραίτητος ο υπολογισμός τους. Αυτό είναι όλο για μένα. Τα λέμε!

Ορισμός.Μια συνάρτηση F (x) ονομάζεται αντιπαράγωγος για μια συνάρτηση f (x) σε ένα δεδομένο διάστημα εάν για οποιοδήποτε x από ένα δεδομένο διάστημα F"(x)= f (x).

Η κύρια ιδιότητα των αντιπαραγώγων.

Αν το F (x) είναι αντιπαράγωγο της συνάρτησης f (x), τότε η συνάρτηση F (x)+ C, όπου το C είναι αυθαίρετη σταθερά, είναι επίσης αντιπαράγωγο της συνάρτησης f (x) (δηλαδή, όλες οι αντιπαράγωγοι του η συνάρτηση f(x) γράφονται με τη μορφή F(x) + C).

Γεωμετρική ερμηνεία.

Οι γραφικές παραστάσεις όλων των αντιπαραγώγων μιας δεδομένης συνάρτησης f (x) λαμβάνονται από τη γραφική παράσταση οποιουδήποτε αντιπαραγώγου με παράλληλες μεταφράσεις κατά μήκος του άξονα Oy.

Πίνακας αντιπαραγώγων.

Κανόνες εύρεσης αντιπαραγώγων .

Έστω F(x) και G(x) αντιπαράγωγα των συναρτήσεων f(x) και g(x), αντίστοιχα. Επειτα:

1. F ( Χ) ± G ( Χ) – αντιπαράγωγο για φά(Χ) ± σολ(Χ);

2. ΕΝΑ F ( Χ) – αντιπαράγωγο για ΕΝΑφά(Χ);

3. – αντιπαράγωγο για ΕΝΑφά(kx +σι).

Εργασίες και δοκιμές με θέμα "Antiderivoid"

• Αντιπαράγωγο

  Μαθήματα: 1 Εργασίες: 11 Τεστ: 1

• Παράγωγο και αντιπαράγωγο - Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα Μαθηματικά Ενιαία Κρατική Εξέταση στα Μαθηματικά

  Καθήκοντα: 3

• Αναπόσπαστο - Αντιπαράγωγο και ολοκληρωμένο βαθμό 11

  Μαθήματα: 4 Εργασίες: 13 Τεστ: 1

• Υπολογισμός εμβαδών με ολοκληρώματα - Αντιπαράγωγο και ολοκληρωμένο βαθμό 11

  Μαθήματα: 1 Εργασίες: 10 Τεστ: 1

Έχοντας μελετήσει αυτό το θέμα, θα πρέπει να γνωρίζετε τι ονομάζεται αντιπαράγωγο, την κύρια ιδιότητά του, τη γεωμετρική ερμηνεία, τους κανόνες για την εύρεση αντιπαραγώγων. να μπορεί να βρει όλα τα αντιπαράγωγα συναρτήσεων χρησιμοποιώντας έναν πίνακα και κανόνες για την εύρεση αντιπαραγώγων, καθώς και ένα αντιπαράγωγο που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο. Ας δούμε την επίλυση προβλημάτων σε αυτό το θέμα χρησιμοποιώντας παραδείγματα. Δώστε προσοχή στη μορφοποίηση των αποφάσεων.

Παραδείγματα.

1. Μάθετε εάν η συνάρτηση F ( Χ) = Χ 3 – 3Χ+ 1 αντιπαράγωγο για συνάρτηση φά(Χ) = 3(Χ 2 – 1).

Λύση:ΦΑ"( Χ) = (Χ 3 – 3Χ+ 1)′ = 3 Χ 2 – 3 = 3(Χ 2 – 1) = φά(Χ), δηλ. ΦΑ"( Χ) = φά(Χ), επομένως, το F(x) είναι αντιπαράγωγο της συνάρτησης f(x).

2. Βρείτε όλες τις αντιπαράγωγες της συνάρτησης f(x) :

ΕΝΑ) φά(Χ) = Χ 4 + 3Χ 2 + 5

Λύση:Χρησιμοποιώντας τον πίνακα και τους κανόνες για την εύρεση αντιπαραγώγων, παίρνουμε:

Απάντηση:

σι) φά(Χ) = αμαρτία (3 Χ – 2)

Λύση: