व्यावहारिक पाठ 9 डेरिवेटिव की गणना। व्यावहारिक पाठ "डेरिवेटिव की गणना"

व्यावहारिक पाठ

विषय:डेरिवेटिव ढूँढना। फ़ंक्शन और प्लॉटिंग के अध्ययन के लिए व्युत्पन्न का अनुप्रयोग।

लक्ष्य: डेरिवेटिव की गणना में महारत हासिल करें, व्युत्पन्न का उपयोग करके फ़ंक्शन का पता लगाना सीखें

शिक्षा के साधन:व्यावहारिक अभ्यास के लिए नोटबुक, विषय पर प्रस्तुतियाँ, इंटरनेट संसाधन।

1. विषयों पर सैद्धांतिक सामग्री पर विचार करें: "डेरिवेटिव की गणना के लिए नियम", "एक फ़ंक्शन का चरम", "उत्तलता, अवतलता। मोड़ का बिंदु।

2. नमूना कार्यों पर विचार करें।

3. पूर्ण परीक्षण कार्य संख्या 1।

टेस्ट प्रश्न:

1. किसी बिंदु पर किसी फलन के अधिकतम (न्यूनतम) को परिभाषित करें। अधिकतम (न्यूनतम) बिंदु के पर्याप्त छोटे पड़ोस में फ़ंक्शन वृद्धि के संकेत के बारे में क्या कहा जा सकता है?

2. किसी फलन के चरम के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्तें क्या हैं? उनका ज्यामितीय अर्थ क्या है?

3. किसी खंड पर किसी फलन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करने का नियम क्या है?

4. अंतराल पर वक्र की उत्तलता (अवतलता) को परिभाषित कीजिए।

5. वक्र की उत्तलता और अवतलता के अंतरालों को ज्ञात करने का नियम क्या है?

6. वक्र विभक्ति बिंदु। इसे कैसे खोजें?

7. किसी फंक्शन के ग्राफ को प्लॉट करने के लिए एल्गोरिथम क्या है?

डेरिवेटिव की गणना के नियम

एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न।

अगर पर=ƒ( और), आप =(एक्स), फिर पर¢ ( एक्स)=ƒ¢ (यू)¢ (एक्स).

योग का व्युत्पन्न.

अगर पर(एक्स)=और(एक्स)+वी (एक्स), फिर पर¢ (एक्स)=और¢ (एक्स)+वी ¢ (एक्स)

उत्पाद का व्युत्पन्न।

अगर वाई (एक्स) = यू(एक्स)· वी (एक्स), फिर पर¢ = और¢ · वी + तुम · वी ¢ .

विशेष रूप से, ( से· और)¢ =सी· और, यानी, व्युत्पन्न के चिह्न के नीचे से स्थिर कारक निकाला जाता है। यह सत्यापित करना आसान है कि

(तुम 2 ) ¢ = 2 तुम तुम ¢ , (यू 3 ) ¢ =3u 2 तुम ¢ , ..., (यू .) एन ) ¢ =एन यू एन-1 तुम ¢ .

भागफल का व्युत्पन्न.

तो अगर
.

व्युत्पन्न तालिका

1. (से)¢ =0

एक जटिल कार्य के लिए: if यू = यू (एक्स), फिर:

2. (एक्स)¢ =1

3. (एक्स α )¢ = α · एक्सα-1 , लेकिनकोई वास्तविक संख्या है।

.

3.

4. (लेकिन एक्स ) ¢ =ए एक्स · एलएन लेकिन

4.

5. (लॉग ए एक्स) ¢ =

.

5.

6. (सिनएक्स)¢ =कॉस एक्स

6.

7. (क्योंकि एक्स)¢ = -सिन x

7.

8. (टीजी एक्स)¢ =

8.

9. (सीटीजीएक्स)¢ =

9.

10.

10.

11.

11.

12.

12.

13.

13.

उदाहरणों पर विचार करें

उदाहरण 1

y=(3–2 पाप 5x ) 4 | हम व्युत्पन्न सूत्र लागू करते हैं और α पाप तुम |

आप ¢ =4 (3-2 sin5x) 3 (3-2sin5x) ¢ =4 (3-2 sin5x) 3 (0-2 cos5x 5) = -40 (3-2 sin5x) 3 .

उदाहरण 2

.

उदाहरण 3

.

उदाहरण 4

उदाहरण 5

.

फंक्शन एक्सट्रीमम

किसी फ़ंक्शन का चरम तक अध्ययन डेरिवेटिव के सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में से एक है। मिनिमा और मैक्सिमा की परिभाषा पर विचार करें, और उन्हें कैसे खोजें।

चलो समारोह ƒ( एक्स) कुछ सेट और बिंदु पर परिभाषित और अवकलनीय है एक्स 0 इसके अंदर एक बिंदु है।

परिभाषा।समारोह ƒ (एक्स) बिंदु पर एक्स 0 है ज्यादा से ज्यादा(न्यूनतम) यदि बिंदु का ऐसा पड़ोस है एक्स 0 , जो सभी के लिए है एक्सइस क्षेत्र से ƒ (एक्स) < ƒ (एक्स 0 ) (ƒ (एक्स) > ƒ (एक्स 0 )).

दूरसंचार विभाग एक्स 0 को तब एक बिंदु कहा जाता है ज्यादा से ज्यादा(न्यूनतम)।

चावल। एक।

एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाया गया है जिसमें दो अधिकतम बिंदु हैं ( एक्स 1 और एक्स 3) और दो न्यूनतम अंक ( एक्स 2 और एक्स 4), और अधिकतम मान न्यूनतम से कम हो सकता है ( ƒ (एक्स 1 ) < ƒ (एक्स 4))। यह इस तथ्य पर जोर देता है कि हम केवल किसी बिंदु के पास फ़ंक्शन की विलक्षणता की विशेषता रखते हैं।

अधिकतम और न्यूनतम के बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान को चरम मान कहा जाता है या चरम सीमाओं. उपरोक्त ग्राफ से पता चलता है कि चरम बिंदु ( एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 , एक्स 4) फ़ंक्शन की एकरसता के अंतराल को निर्धारित करें, जिनमें से प्रत्येक में व्युत्पन्न एक निश्चित संकेत रखता है। चरम बिंदुओं पर, निश्चित रूप से, व्युत्पन्न गायब हो जाता है। आइए हम पर एक प्रमेय तैयार करें आवश्यक शर्त एक चरम का अस्तित्व.

प्रमेय।यदि समारोह ƒ (एक्स) बिंदु पर एक्स 0 में एक चरम है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, अर्थात ( एक्स 0)=0.

हम तुरंत ध्यान दें कि यह शर्त पर्याप्त नहीं है, अर्थात, विलोम कथन हमेशा सत्य नहीं होता है। समानता से ƒ ¢ ( एक्स 0)= 0 आवश्यक रूप से उस बिंदु पर अनुसरण नहीं करता है एक्स 0 एक चरम है।

फ़ंक्शन के साथ एक उदाहरण द्वारा इसकी पुष्टि की जाती है ƒ (एक्स)=x 3 .

पता लगाते हैं ƒ ¢ ( एक्स)= 3एक्स 2 . बिंदु पर एक्स=0 ƒ ¢(0)=0 . लेकिन मनमाने ढंग से बिंदु के करीब एक्स=0 खोजें एक्स> 0, जहां ƒ (एक्स)=x 3 > 0, पाना एक्स< 0, где ¦ (एक्स)=एक्स 3 < 0. Т. е. не существует какая-либо малая окрестность точки एक्स= 0, जहां सभी के लिए एक्सबिंदु पर फ़ंक्शन मान एक्स=0 सबसे बड़ा या सबसे छोटा होगा। इसलिए, बिंदु एक्स=0 चरम बिंदु नहीं है।

आप अन्यथा बहस कर सकते हैं। व्युत्पन्न के बाद से ƒ ¢ (एक्स) = 3x 2 , फिर समारोह (एक्स)=एक्स 3 किसी भी वास्तविक x के लिए बढ़ता है और इसकी कोई चरम सीमा नहीं होती है।

वे बिंदु जहाँ आवश्यक शर्तचरम (ƒ ¢ (एक्स) = 0)बुलाया नाजुक .

जाहिर है, उन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा जहां ¢ (एक्स) = 0,भुज अक्ष के समानांतर ऑक्स .

पर्याप्त स्थितिचरम निम्नलिखित प्रमेयों में दिया गया है।

प्रमेय 1.अगर एक्स 0 फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु है, और इसके माध्यम से गुजरने पर, व्युत्पन्न संकेत बदलता है, फिर एक्स 0 - चरम बिंदु, अर्थात्, यदि व्युत्पन्न परिवर्तन प्लस से माइनस में बदलता है - अधिकतम बिंदु, यदि - माइनस से प्लस तक - न्यूनतम बिंदु।

ध्यान दें कि एक बिंदु पर कोई चरम नहीं है यदि व्युत्पन्न संकेत नहीं बदलता है। पहले व्युत्पन्न का उपयोग करके चरम सीमा का अध्ययन करने का नियम स्कूल के पाठ्यक्रम से जाना जाता है। कभी-कभी दूसरे व्युत्पन्न का उपयोग करके एक चरम सीमा के लिए पर्याप्त स्थिति तैयार करना अधिक सुविधाजनक होता है।

चलो समारोह ƒ( एक्स) कुछ डोमेन में दो बार अवकलनीय है (अर्थात, ( एक्स) है ( एक्स) और ƒ ¢¢ ( एक्स)).

प्रमेय 2।अगर एक्स 0 - फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु (एक्स)और ¢¢ (एक्स 0 ) > 0 , फिर एक्स 0 न्यूनतम बिंदु है, यदि ƒ ¢¢ (एक्स 0 ) < 0, то एक्स 0 अधिकतम बिंदु है।

दूसरे अवकलज की सहायता से फलन के ग्राफ की उत्तलता या अवतलता ज्ञात की जाती है।

उत्तलता, उत्तलता। संक्रमण का बिन्दु।

वक्र वाई = ƒ(एक्स) कहा जाता है उत्तलवां नीचेउसका कोई भी स्पर्शरेखा

ƒ ¢¢ ( एक्स) < 0.

वक्र वाई = ƒ(एक्स) कहा जाता है नतोदर एक अंतराल पर यदि वक्र के सभी बिंदु स्थित हों के ऊपर उसका कोई भी स्पर्शरेखा इस अंतराल पर। फिर इस अंतराल पर

ƒ (एक्स) > 0

परिभाषा। संक्रमण का बिन्दु वक्र एक ऐसा बिंदु है जिस पर वक्र एक तरफ उत्तल होता है और दूसरी तरफ अवतल होता है।

विभक्ति के बिंदु पर ƒ ¢¢ ( एक्स)=0.

तो, दूसरे व्युत्पन्न का संकेत (साथ ही फ़ंक्शन का संकेत और इसका पहला व्युत्पन्न) फ़ंक्शन के ग्राफ़ की विशेषताओं को इंगित करता है। आइए उन्हें फिर से देखें।

अगर सभी के लिए एक्सअंतराल पर ( लेकिन, बी) ƒ (एक्स) > 0 (ƒ (एक्स) < 0) है, तो ग्राफ x-अक्ष के ऊपर (नीचे) स्थित है।

अगर सभी के लिए एक्सअंतराल पर ( लेकिन, बी) ƒ ¢ ( एक्स) > 0 (ƒ ¢ ( एक्स) < 0), то функция на (लेकिन, बी) बढ़ता है (घटता है)।

अगर सभी के लिए एक्सअंतराल पर ( लेकिन, बी) ƒ ¢¢ ( एक्स) > 0 (ƒ ¢¢ ( एक्स) < 0), то график на (लेकिन, बी) अवतल (उत्तल) है।

समीकरण ( एक्स)=0 फ़ंक्शन के "शून्य" को परिभाषित करता है, अर्थात, ऑक्स अक्ष के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन के बिंदु।

समीकरण ƒ ¢ ( एक्स)=0 महत्वपूर्ण बिंदुओं को परिभाषित करता है।

समीकरण ƒ ¢¢ ( एक्स)=0 संभावित विभक्ति बिंदुओं को परिभाषित करता है।

कार्य अध्ययन योजना

समारोह का अध्ययन करने के लिए ƒ (एक्स) और प्लॉटिंग वाई = ƒ(एक्स) पाया जाना चाहिए:

1) फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र और समन्वय अक्षों के साथ ग्राफ के चौराहे के बिंदु;

2) एकरसता के अंतराल;

3) इन बिंदुओं पर चरम बिंदु और कार्य मान;

4) ग्राफ की उत्तलता और अवतलता के अंतराल;

5) ग्राफ विभक्ति बिंदु;

6) कार्तीय समन्वय प्रणाली में सभी प्राप्त बिंदुओं का निर्माण करें (कभी-कभी, ग्राफ को स्पष्ट करने के लिए, अतिरिक्त अंक प्राप्त करें) और स्वयं ग्राफ।

किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान

अनुकूलन पद्धति की कुछ समस्याओं को हल करते समय, एक निश्चित अंतराल पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे या सबसे बड़े मूल्यों को खोजने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है। फ़ंक्शन इन मानों तक या तो महत्वपूर्ण बिंदुओं पर या खंड के सिरों पर पहुंचता है।

खोज योजनाफ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ƒ (एक्स) खंड पर [ लेकिन, बी].

1. किसी फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए ƒ ¢ ( एक्स).

2. समीकरण से महत्वपूर्ण बिंदु खोजें ƒ ¢ ( एक्स)=0.

3. उन महत्वपूर्ण बिंदुओं का चयन करें जो दिए गए खंड से संबंधित हैं [ लेकिन, बी] और फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें ƒ (एक्स) ऐसे प्रत्येक बिंदु पर।

4. फ़ंक्शन मानों की गणना करें ƒ (एक्स) खंड के सिरों पर: ( लेकिन) और ( बी).

5. फ़ंक्शन के प्राप्त मूल्यों में से, सबसे बड़ा (सबसे बड़ा) और सबसे छोटा (सबसे छोटा) चुनें।

उदाहरण 2

किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करें (एक्स)=एक्स 3 -9x 2 +24х–10खंड पर।

1. ƒ ¢ ( एक्स)= 3एक्स 2 – 9 2 एक्स 2 + 24.

2. ¢ ( एक्स)=0, 3(एक्स 2 –6एक्स+8)=0, एक्स 1 =2, एक्स 2 =4.

3. बिंदु x 2 \u003d 4 खंड से संबंधित नहीं है। इसलिए, हम केवल बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करते हैं एक्स 1 =2

(2)=2 3 -9 2 2 +24 2–10=10.

4. खंड के सिरों पर कार्य मान: ƒ(0)= -10, ƒ(3)=3 3 -9 3 2 +24 3–10, (3)=8.

5. प्राप्त मूल्य:

(2)=10, (0)= -10, (3)=8.

उच्चतम मूल्य 10 के बराबर होता है और बिंदु पर पहुंच जाता है एक्स= 2. सबसे छोटा -10 है और बिंदु पर पहुंचा है एक्स=0.

उदाहरण 3

उत्तलता और अवतलता के अंतराल और वक्र के विभक्ति बिंदुओं का पता लगाएं वाई = एक्स+36एक्स 2 –2एक्स 3 –एक्स 4 .

इस फलन का प्रांत सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, अर्थात्। एक्सЄ(–∞, +∞).

आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें।

पर¢=1+72 एक्स–6एक्स 2 –4एक्स 3 .

पर=72-12 एक्स–12एक्स 2 = –12(एक्स 2 +एक्स–6).

समीकरण से पर¢¢ =0 हमें विभक्ति बिंदु का भुज प्राप्त होता है:

–12(एक्स 2 +एक्स–6)=0 एक्स 1 = –3; एक्स 2 =2.

आइए संकेत को परिभाषित करें परअंतराल पर

(–∞; –3), (–3; 2), (2, +∞).

एक्स

(–∞, –3)

(–3; 2)

(2; +∞)

पर¢¢

वक्र आकार

उत्तल

मोड़

नतोदर

मोड़

उत्तल

विभक्ति बिंदुओं के निर्देशांक खोजें:

पर(–3)=726; एम 1 (-3; 726) - विभक्ति बिंदु

पर(2)=114; एम 2 (2; 114) - विभक्ति बिंदु।

अंतराल (-3; 2) पर, वक्र अवतल होता है। अंतराल (-∞; -3) और (2; +∞) पर, यह उत्तल है।

कार्य

टास्क नंबर 1.

किसी फ़ंक्शन के ब्रेकप्वाइंट ढूंढें और ग्राफ़ बनाएं

समारोह ƒ (एक्स) सभी वास्तविक . के लिए परिभाषित है एक्सऔर प्रत्येक संकेतित अंतराल पर निरंतर है: (-∞; -1), [-1; 0], (0, +∞). समारोह की खोज ƒ (एक्स) बिंदुओं पर निरंतरता के लिए एक्स= -1 और एक्स=0.

ऐसा करने के लिए, इनमें से प्रत्येक बिंदु पर हम एकतरफा सीमाएं पाते हैं।

चूंकि एकतरफा सीमाएं अलग हैं, तो एक्स = -1 - पहली तरह का असंततता बिंदु.

एकतरफा सीमाएं बराबर होती हैं, यानी बिंदु x = 0 पर फलन की सीमा होती है और

आइए इस सीमा की तुलना बिंदु पर फ़ंक्शन के मान से करें:

इसलिये
में फिर बिंदु x=0, फलन (x) सतत है।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें (एक्स), मान लीजिये

1)
- एक सीधी रेखा का समीकरण,

2)
- ऊपरी अर्धवृत्त का समीकरण
मूल और त्रिज्या पर केंद्रित, एक के बराबर, और शर्त के तहत -1 £ एक्स£0 समीकरण
एक वृत्त के एक चौथाई को परिभाषित करता है।

3) के लिए एक्स > 0 ग्राफ समीकरण द्वारा दिया गया है
. हम समीकरण से इस वक्र के ऑक्स अक्ष के साथ चौराहे के बिंदु पाते हैं
एक्स> 0 के लिए। एक्स = π एन, कहाँ पे एन =1, 2, 3, 4,

चावल। 2.

टास्क नंबर 2.

एक रेखा की स्पर्श रेखाओं के समीकरण लिखिए
उन बिंदुओं पर जहां एक्स=0 और एक्स= 4। स्पर्शरेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु और उनके बीच के कोण का पता लगाएं। एक चित्र बनाओ।

रेखा स्पर्शरेखा समीकरण वाई = ƒ (एक्स)रूप है

कहाँ पे पर 0 =ƒ( एक्स 0).

बिंदु पर एक्स=0 पर(0)=ƒ(0)=5.

पर¢ =ƒ ¢ (एक्स)=एक्स-3 (0)= -3।

एम 1 (0, 5) का रूप है y- 5= –3(एक्स-0) या

वाई = –3एक्स+5.

बिंदु पर एक्स=4 पर(4)=ƒ(4)=1. (4)=4–3=1.

एक बिंदु पर स्पर्शरेखा समीकरण एम 2 (4, 1) का रूप है y- 1=एक्स-4 या

वाई = एक्स–3.

हम सिस्टम को हल करके स्पर्शरेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त करते हैं

चौराहे की जगह एम 3 (2, –1).

इंजेक्शन φ स्पर्शरेखा के बीच हम सूत्र से पाते हैं:

,

कहाँ पे क 1 = –3; क 2 = 1 - स्पर्शरेखाओं के ढलान गुणांक।

.

इंजेक्शन φ = आर्कटिक 2.

आइए इस लाइन का निर्माण करें
एक परवलय है जिसके शीर्ष बिंदु पर है एक्स=3, क्योंकि पर¢ =0 पर एक्स=3. पता लगाते हैं
. दूरसंचार विभाग एम 4 (3; ) परवलय का शीर्ष है।

आर

है। 3.

टास्क नंबर 3.

समारोह का अन्वेषण करें
और इसे प्लॉट करें।

1. यह फ़ंक्शन एक बहुपद है (आप कोष्ठक खोल सकते हैं, हमें तीसरी डिग्री का बहुपद मिलता है), इसलिए इसे परिभाषित, निरंतर और किसी के लिए अलग किया जा सकता है एक्स.

2. व्युत्पन्न खोजें।

.

समीकरण से पर¢ =0 महत्वपूर्ण बिंदु खोजें: 3 एक्स·( एक्स–2)=0, एक्स 1 =0, एक्स 2 =2.

आइए उन्हें एक्सप्लोर करें।

एक्स

(–∞, 0)

(0; 2)

(2; +∞)

पर ¢

पर

3. तो, अंतराल (-∞, 0) और (2, +∞) पर फलन बढ़ता है, अंतराल (0; 2) पर घटता है, अधिकतम x = 0 और न्यूनतम x = 2 पर होता है:

पर अधिकतम = पर(0)=4; परमिनट = पर(2)=0.

4. दूसरा अवकलज ज्ञात कीजिए।

पर¢¢ = 6 ( एक्स-1).

वक्र उत्तल है जहाँ पर¢¢ < 0, т. е. 6·(एक्स–1) < 0, एक्स < 1.

वक्र अवतल है जहाँ पर¢¢ > 0, यानी। एक्स > 1.

अत: अंतराल (-∞, 1) पर वक्र उत्तल होता है; और अंतराल (1, +∞) पर यह अवतल है।

5. समीकरण से विभक्ति बिंदु ज्ञात कीजिए पर¢¢ = 0। इस प्रकार से, एक्स=1 विभक्ति बिंदु का भुज है, क्योंकि यह बिंदु वक्र की उत्तलता और अवतलता के अंतराल को अलग करता है। विभक्ति बिंदु निर्देशांक: पर(1)=2.

फंक्शन ग्राफ पर=(एक्स+1)( एक्स-2) 2 x-अक्ष को पर काटता है पर= 0, यानी at एक्स= -1 और एक्स=2;

y-अक्ष को पार करता है एक्स= 0, यानी at पर= 4। हमें तीन अंक मिले: (-1; 0), (2; 0), (0; 4)। सभी प्राप्त अंक पड़ोसी को जोड़कर तालिका में दर्ज किए जाएंगे।

–2

–1

–16

आर

है। 4 वक्र y=(x+1)(x–2) 2 ।

टास्क नंबर 1

आपका ध्यान ऐसे कार्यों की पेशकश करता है जिनमें एक, दो, तीन या अधिक सही उत्तर हो सकते हैं। सभी सही उत्तरों की संख्याओं पर गोला लगाएँ

1. अगर
फिर समारोह

1) बढ़ रहा है

2) घटते

3) स्थिरांक

2. अगर

1)बढ़ना

2) अवरोही

3. अगर
, फिर समारोह

1)बढ़ना

2) अवरोही

4. अगर
, फिर समारोह

1)बढ़ना 3) अवरोही

2) लगातार 4) मोनोटोनिक

5. समारोह
है एक

1) सम

2) सम नहीं

3) न तो सम और न ही विषम

4) आवधिक

5) आवधिक नहीं

6) त्रिकोणमितीय

7) प्राथमिक

6. समारोह
है एक

1) सम

2) विषम

3) न तो सम और न ही विषम

4) आवधिक

5) आवधिक नहीं

6) त्रिकोणमितीय

7) प्राथमिक

2) वीयरस्ट्रैस 4) डिरिचलेट 6) लाइबनिज़

8) निर्णय
समीकरण

1) 0 3) 0 और 3 5) 2 7) 3

2) 2 और 3 4) 2 6) 5 और 1 8) 5 और 1

9) असमानता का समाधान

1) (; 1) 3) (; 1) 5) (-;1)

2) (1; 5) 4) (2; ) 6)

10) विधि
योग है

1) वैक्टर

2) प्रत्यक्ष

3) कट ऑफ

11) अगर
, फिर समारोह

1) अवतल 3) उत्तल 5) अवरोही

2) मोनोटोनिक 4) इंक्रीजिंग 6) कॉन्स्टेंट

12) फ़ंक्शन का दायरा है

1) (;0)

2) (0; )

3) (-;)

4) (0;1)

5)

6)

7) (-1;1)

8)

9)

13) समारोह
है एक

1) सांकेतिक

2) त्रिकोणमितीय

3) शक्ति

4) लघुगणक

14) यदि फलन y= एक्स तो वह है

1) सम

2) विषम

3) न तो सम और न ही विषम

15) समारोह
पर
है एक

व्यावहारिक कार्य

गणित

1. किसी फलन की सीमा ज्ञात करना। पहली और दूसरी अद्भुत सीमाएँ।

2. एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न। एक चर और प्लॉटिंग के कार्य की जांच।

3. परीक्षा"कार्यों के अध्ययन के लिए विभेदक कलन का अनुप्रयोग"।

4. अनिश्चित समाकल ज्ञात करना। निश्चित समाकलों की गणना।

5. निर्धारकों की गणना।

6. क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों को हल करना। परीक्षा।

7. "सेट्स" विषय पर समस्याओं को हल करना। तर्क के बीजगणित के सूत्र।

8. यादृच्छिक घटनाओं की संभावनाओं की गणना। कुल संभावना सूत्र।

9. संख्यात्मक विशेषताओं की गणना।

10. परीक्षण कार्य "संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी के मूल सिद्धांत"

11. एक सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप।

12. विभिन्न रूपों में सम्मिश्र संख्याओं के साथ संक्रियाएँ।

गणित में व्यावहारिक कार्यों के लिए पद्धति संबंधी निर्देश

2 कोर्स

एक व्यावहारिक पाठ शैक्षिक प्रक्रिया के संगठन का एक रूप है, जिसमें छात्रों द्वारा असाइनमेंट पर और एक या अधिक व्यावहारिक कार्य के शिक्षक के मार्गदर्शन में निष्पादन शामिल है।

इसलिए, गणित में व्यावहारिक कक्षाओं में, छात्र समस्याओं को हल करने की क्षमता विकसित करते हैं, जिसका उपयोग भविष्य में विशेष विषयों में पेशेवर समस्याओं को हल करने के लिए किया जाना चाहिए।

व्यावहारिक कार्य के दौरान, छात्र सूचना स्रोतों का उपयोग करने की क्षमता में महारत हासिल करते हैं, साथ काम करते हैं नियामक दस्तावेजऔर निर्देशात्मक सामग्री, संदर्भ पुस्तकें, चित्र बनाना, आरेख, टेबल, हल करना कुछ अलग किस्म काकार्य, गणना करें।

गणित में व्यावहारिक कक्षाओं के दौरान हल किए जाने वाले कार्य:

1) व्याख्यान के दौरान प्राप्त गणित में सैद्धांतिक ज्ञान का विस्तार और समेकन;

2) गणित में समस्याओं के सफल समाधान के लिए आवश्यक छात्रों के व्यावहारिक कौशल और क्षमताओं का निर्माण;

3) छात्रों में स्व-शिक्षा की आवश्यकता का विकास और गणित के अध्ययन की प्रक्रिया में ज्ञान और कौशल में सुधार;

4) गणित के अध्ययन की प्रक्रिया में एक रचनात्मक दृष्टिकोण और अनुसंधान दृष्टिकोण का गठन;

5) भविष्य के विशेषज्ञ के पेशेवर रूप से महत्वपूर्ण गुणों और पेशेवर क्षेत्र में अर्जित ज्ञान को लागू करने के कौशल का गठन।

व्यावहारिक पाठ संख्या 1।कार्यों की सीमा की गणना। पहली और दूसरी अद्भुत सीमाएँ।

विषय : कार्यों की सीमा की गणना।

लक्ष्य: गणित के मौलिक वर्गों के क्षेत्र में बुनियादी ज्ञान का अधिग्रहण . कार्यों की सीमा की गणना पर ज्ञान के आत्मसात की जाँच करना। इस विषय पर ज्ञान को दोहराएं और व्यवस्थित करें।

कार्य:

रचनात्मक पेशेवर सोच का विकास;

विज्ञान की भाषा में महारत हासिल करना, अवधारणाओं के साथ संचालन में कौशल;

समस्याओं को स्थापित करने और हल करने के कौशल और क्षमताओं में महारत हासिल करना;

सैद्धांतिक और व्यावहारिक प्रशिक्षण को गहरा करना;

पहल का विकास और छात्रों की स्वतंत्रता।

कंप्यूटिंग कौशल का समेकन;

गणित भाषण पर काम करना जारी रखें।

स्वतंत्र कार्य कौशल का गठन, पाठ्यपुस्तक के साथ काम करना, ज्ञान के स्वतंत्र अधिग्रहण के कौशल;

पाठ के साथ काम करते समय मुख्य बात को उजागर करने की क्षमता का विकास;

सोच, मानसिक संचालन की स्वतंत्रता का गठन: तुलना, विश्लेषण, संश्लेषण, सामान्यीकरण, सादृश्य;

छात्रों को ज्ञान की ताकत, कार्यों को पूरा करने की संस्कृति को गहरा और बेहतर बनाने के लिए व्यवस्थित कार्य की भूमिका दिखाएं;

विकास रचनात्मकताछात्र।

व्यावहारिक कार्य प्रदान करना:

व्यावहारिक कार्य के लिए पद्धति संबंधी सिफारिशों की सैद्धांतिक सामग्री।

गणित, - श्रृंखला: माध्यमिक व्यावसायिक शिक्षा। - रोस्तोव-ऑन-डॉन "फीनिक्स", पी।

व्यावहारिक सत्र के दौरान।

1. पाठ के विषय का निरूपण, शैक्षिक अनुशासन के अन्य विषयों के साथ विषय के संबंध की व्याख्या;

2. पाठ के लिए छात्रों की तैयारी की जाँच करना;

3. विषय के अनुसार और अनुशासन के कार्य कार्यक्रम के अनुसार सीधे पाठ का संचालन करना:

"कार्यों की सीमा की गणना" विषय पर सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन करना।

विशिष्ट कार्यों को हल करने के उदाहरणों पर विचार करें।

पहली और दूसरी उल्लेखनीय सीमाओं का उपयोग करके कार्यों की सीमाओं की गणना करने पर स्वतंत्र कार्य करें।

सुरक्षा प्रश्नों का उत्तर दें।

सैद्धांतिक जानकारी और पद्धति संबंधी सिफारिशें

समस्या समाधान पर।

1. सैद्धांतिक सामग्री की प्रस्तुति।

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की सीमा की गणना करने के लिए, आपको चाहिए:

1) वेरिएबल x के स्थान पर प्रतिस्थापित करें कि x किस ओर जाता है।

2) यदि बिंदु 1 को पूरा करने के बाद हमें प्रपत्र की अनिश्चितता प्राप्त होती है https://pandia.ru/text/78/405/images/image003_6.png" width="19" height="22 src=">और प्रतिस्थापित करें एक ऋण के साथ तीर: (एक्स-ए)।

3) यदि, बिंदु 1 को पूरा करने के बाद, हमें प्रपत्र की अनिश्चितता प्राप्त होती है https://pandia.ru/text/78/405/images/image002_13.png" width="18" height="31 src="> त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों से जुड़े, हमें पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करना चाहिए।

परिभाषा।पहली उल्लेखनीय सीमा को सीमा कहा जाता है

https://pandia.ru/text/78/405/images/image007_4.png" alt="(!LANG:$\displaystyle \lim_(x\to0)\dfrac(\sin x)(x)=1. $" width="102" height="52">!}

5) परिभाषा:दूसरी उल्लेखनीय सीमासीमा कहा जाता है

इस सीमा द्वारा दी गई संख्या गणितीय विश्लेषण और गणित की अन्य शाखाओं दोनों में बहुत महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। नंबर कहा जाता है प्राकृतिक लघुगणक का आधार ( https://pandia.ru/text/78/405/images/image009_4.png" alt="(!LANG:$ e$" width="11" height="14">показывает, что -- иррациональное число, несколько первых десятичных знаков которого таковы:!}

2. अध्ययन सामग्री का समेकन।

उदाहरण 1

https://pandia.ru/text/78/405/images/image015_1.png" width="28" height="30 src=">= -4

हमने नियम 1 का उपयोग किया और x के लिए प्रतिस्थापित किया जो x के लिए प्रयास करता है, अर्थात x=2।

उदाहरण 2

https://pandia.ru/text/78/405/images/image017_1.png" width="154" height="32 src=">.png" width="21" height="30 src=">= पांच

उदाहरण 3

https://pandia.ru/text/78/405/images/image021_1.png" width="199" height="37 src=">.png" width="137" height="35 src=">. png" चौड़ाई = "138" ऊंचाई = "24 src=">=3+3=6

उदाहरण 4

https://pandia.ru/text/78/405/images/image004_7.png" width="22" height="31 src=">.png" width="104" height="46 src=">. png" ऊंचाई = "30 src=">

उदाहरण 5

https://pandia.ru/text/78/405/images/image032_0.png" width="61" height="46 src=">.png" height="30 src=">=2

उदाहरण 6

https://pandia.ru/text/78/405/images/image036_0.png" width="18" height="28 src=">

बी)

में)

3. ज्ञान, कौशल और क्षमताओं का समेकन।

कार्यों की सीमा की गणना पर स्वतंत्र कार्य करें।

व्यावहारिक कार्य №1. विकल्प 1 फ़ंक्शन सीमा की गणना करें: 1. . 2. . 3. . 10. .

व्यावहारिक कार्य 1। विकल्प 2 फ़ंक्शन सीमा की गणना करें: 1. . 2. . 3. . 10.

व्यावहारिक कार्य संख्या 2।

विषय : किसी फलन का अवकलज ज्ञात करना। एक चर और प्लॉटिंग के कार्य की जांच।

लक्ष्य : व्यवहार में एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की अवधारणा के ज्ञान का परीक्षण करने के लिए, प्राथमिक कार्यों के डेरिवेटिव खोजने की क्षमता, जटिल फ़ंक्शन, व्युत्क्रम फ़ंक्शन, डेरिवेटिव और भेदभाव नियमों की एक तालिका का उपयोग करके, एक जटिल और व्युत्क्रम फ़ंक्शन की अवधारणा, कार्यों का अध्ययन करने के लिए व्युत्पन्न लागू करने की क्षमता।

व्यावहारिक कार्य प्रदान करना:

पाठ्यपुस्तक। "गणित"। - एम .: बस्टर्ड, 2010।

गणित। एम: फोरम-इन्फा 2008।

व्यावहारिक कार्य के विकल्प के साथ व्यक्तिगत कार्ड।

1. सैद्धांतिक सामग्री और किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के उदाहरण।

परिभाषा:बिंदु x पर फ़ंक्शन f (x) (f "(x)) का व्युत्पन्न तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा है जब तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है:

https://pandia.ru/text/78/405/images/image061_0.png" width="209 height=235" height="235">

विभेदन नियम।

यदि फलन f(x) और g(x) के अवकलज हैं, तो

2. (यू+वी)′=u′+v′

3. (यूवी)′=u′v+v′u

4. (С u)′=С u′, जहां =const

5..png" चौड़ाई = "49" ऊंचाई = "54 src=">

6. एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न:

f′(g(x))=f′(g) g′(x)

2. उदाहरण।

1..png"चौड़ाई="61" ऊंचाई = "41 src=">.png" चौड़ाई = "20" ऊंचाई = "41 src=">.png" चौड़ाई = "20" ऊंचाई = "41 src="> .png" चौड़ाई = "69" ऊंचाई = "41 src = "> +4)।

फ़ंक्शन दो कारकों का एक उत्पाद है: u=https://pandia.ru/text/78/405/images/image071_0.png" width="72" height="41 src=">.png" width=" 64" ऊंचाई = "41 src=">.png" चौड़ाई = "19" ऊंचाई = "41 src=">.png" चौड़ाई = "45" ऊंचाई = "51 src=">।

फ़ंक्शन दो भावों का एक भागफल है: u=https://pandia.ru/text/78/405/images/image079.png" width="52" height="41 src=">..png" width= "215 "ऊंचाई =" 57 src =">.png" चौड़ाई = "197 ऊंचाई = 36" ऊंचाई = "36">

समाधान। आइए इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को एक जटिल फ़ंक्शन (सूत्र 6) के भेदभाव के नियम के अनुसार खोजें:

5. यदि , तो

6. आप = एक्स 3 – 3एक्स 2 + 5एक्स+ 2. खोजें आप "(–1).

आप " = 3एक्स 2 – 6एक्स+ 5. इसलिए, आप "(–1) = 14.

7. अगर आप= एलएन एक्सक्योंकि एक्स, फिर आप"= (ln एक्स) "कोस एक्स+ln एक्स(कोस एक्स) " =1/एक्सक्योंकि एक्स-एलएन एक्सपाप एक्स।

एक फंक्शन दिया जाए। इसका अध्ययन करने के लिए आपको चाहिए:

1) इसकी परिभाषा का क्षेत्र ज्ञात कीजिए। यदि यह बहुत कठिन नहीं है, तो सीमा को भी खोजना उपयोगी है। (हालांकि, कई मामलों में, खोज का सवाल तब तक के लिए स्थगित कर दिया जाता है जब तक कि फ़ंक्शन का चरम नहीं मिल जाता।)

2) फ़ंक्शन के सामान्य गुणों का पता लगाएं जो इसके व्यवहार को निर्धारित करने में मदद करेंगे: क्या फ़ंक्शन सम या विषम है, चाहे वह आवधिक हो।

3) पता लगाएँ कि जब तर्क परिभाषा के क्षेत्र के सीमा बिंदुओं तक पहुँचता है, तो फ़ंक्शन कैसे व्यवहार करता है, यदि ऐसे सीमा बिंदु हैं। यदि फ़ंक्शन में असंततता बिंदु हैं, तो इन बिंदुओं को फ़ंक्शन के ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख की उपस्थिति के लिए भी जांचा जाता है। तिरछे स्पर्शोन्मुख खोजें।

4) निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन के बिंदु खोजें, जिसमें फ़ंक्शन के मूल्य की एक सरल गणना शामिल है, बशर्ते:

OX अक्ष के साथ: y=0;

ओए अक्ष के साथ: एक्स = 0।

अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदुओं को खोजने से एक जटिल बीजीय समीकरण को हल करने की आवश्यकता हो सकती है, जो शायद, केवल लगभग ही किया जा सकता है। फलन के मूल और असंततता बिंदुओं का पता लगाने के बाद, हम इन बिंदुओं के बीच के प्रत्येक अंतराल पर फलन का चिह्न निर्धारित कर सकते हैं। यह या तो कुछ अंतराल बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करके या अंतराल विधि को लागू करके किया जा सकता है।

5) एकरसता के अंतराल खोजें। ऐसा करने के लिए, व्युत्पन्न खोजें और असमानता को हल करें:

https://pandia.ru/text/78/405/images/image089.png" width="49" height="19 src=">, फ़ंक्शन कम हो रहा है।

एकरसता के अंतराल को खोजने के बाद, हम तुरंत एक स्थानीय चरम सीमा के बिंदुओं को निर्धारित कर सकते हैं: जहां वृद्धि को कमी से बदल दिया जाता है, वहां स्थानीय मैक्सिमा होती है, और जहां कमी को वृद्धि से बदल दिया जाता है, स्थानीय न्यूनतम।

6) दूसरे अवकलज..png" width="39" height="19 src="> अंतरालों पर उपयोग करके उत्तलता और अवतलता के अंतरालों का पता लगाया जाता है:

अगर https://pandia.ru/text/78/405/images/image090.png" width="39" height="19 src=">‹0, तो फ़ंक्शन का ग्राफ़ वक्र उत्तल है।

उसी समय, हम विभक्ति बिंदुओं को उन बिंदुओं के रूप में परिभाषित करते हैं जिन पर फ़ंक्शन उत्तलता की दिशा बदलता है (और निरंतर है)।

7) स्पर्शोन्मुख और अतिरिक्त बिंदुओं के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का पता लगाना। यह आइटम अनिवार्य नहीं है, लेकिन ऐसे बिंदुओं को खोजने से फ़ंक्शन का अध्ययन और उसके ग्राफ का निर्माण पूर्णता और पूर्णता मिलती है।

ध्यान दें कि निर्देशांक अक्षों पर और फ़ंक्शन का अध्ययन करने की प्रक्रिया में प्राप्त ग्राफ़ पर बिंदुओं को तुरंत लागू करना उपयोगी होता है। यह रास्ते में ग्राफ के रूप को समझने में मदद करता है।

3. इसे स्वयं करें:

विकल्प	फ़ंक्शन y का व्युत्पन्न खोजें:	विकल्प	फ़ंक्शन y का व्युत्पन्न खोजें:
	1.y=6-		1.y=-6- 5.y=
	1.y=-7-1		1.y=-7-1
	1.y=4x-3tgx+6x-8		1.y=-5x+2ctgx+3x-2

पाठ मकसद:

शिक्षात्मक- विभेदीकरण के सूत्रों को जानें; भेदभाव नियम;
एक जटिल कार्य का भेदभाव; व्युत्पन्न का भौतिक और ज्यामितीय अर्थ;
फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण।

शैक्षिक -व्युत्पन्न कार्यों को खोजने में सक्षम हो; भौतिक अर्थ, ज्यामितीय अर्थ का उपयोग करके समस्याओं को हल करना; किसी बिंदु पर किसी फलन के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए; गणितीय रूप से सक्षम रूप से किए गए कार्यों की व्याख्या और औचित्य।

शैक्षिक -स्वतंत्रता, जिम्मेदारी, प्रतिबिंब को शिक्षित करें।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण।

द्वितीय. होमवर्क की जाँच करना
(ब्रेक के दौरान, सलाहकार (छात्र) ग्रेडिंग के साथ जांच करते हैं)।

III. लक्ष्य निर्धारण और प्रेरणा

शिक्षक छात्रों को सूचित करता है कि यह पाठ "व्युत्पन्न की गणना" विषय पर अंतिम पाठ है और उन्हें स्वयं लक्ष्य तैयार करने के लिए आमंत्रित करता है।

शिक्षक: - "महान दार्शनिक कन्फ्यूशियस ने एक बार कहा था: "तीन मार्ग ज्ञान की ओर ले जाते हैं: प्रतिबिंब का मार्ग सबसे महान मार्ग है, अनुकरण का मार्ग सबसे आसान मार्ग है और अनुभव का मार्ग सबसे कड़वा मार्ग है।" तो आज के पाठ में, आप में से प्रत्येक यह निर्धारित करेगा कि वह इस विषय के ज्ञान के किस पथ पर है।

छात्रों को डेरिवेटिव की गणना में अपना ज्ञान और कौशल दिखाने का काम सौंपा जाता है और पाठ योजना की सूचना दी जाती है।

चरण I:"याद रखें" कार्ड पर कार्य पूरा करें।
(सूत्रों और विभेदीकरण के नियमों के ज्ञान का परीक्षण)।

चरण II:ज्ञान के दोहराव और सामान्यीकरण पर मौखिक ललाट कार्य।

चरण III:"परीक्षण पूर्वानुमान" (प्रदर्शन करते समय दिया गया कार्यसलाहकारों की अनुमति है)।

मैंस्टेज वी:एक व्यावहारिक समस्या का समाधान।

स्टेज वी:स्वतंत्र काम

कार्य के I, III, V चरणों का मूल्यांकन किया जाता है और घर का पाठ. सलाहकार मूल्यांकन तालिका में परिणामों की जांच करते हैं और उन्हें दर्ज करते हैं।

मूल्यांकन पैमाना: "पांच"- 19-20 अंक;
"4"- 15-18 अंक;
"3"- 10-14 अंक।

ज्ञान के पथ

1. बुनियादी ज्ञान का पुनरुत्पादन और सुधार

मैं मंच।

लक्ष्य:नियंत्रण, सूत्रों के ज्ञान का आत्म-नियंत्रण और भेदभाव के नियम

याद रखना! एफ.आई. ____________________________________________________
	यौगिक
सी, सी - विपक्ष टी
	एफ"(एक्स)+ जी"(एक्स)
एफ(एक्स)* जी(एक्स)

इस कार्य के अंत में, "व्युत्पन्न तालिका" का उपयोग करके एक स्व-परीक्षण किया जाता है। सत्यापन के लिए कार्ड सलाहकारों को सौंप दिए जाते हैं (कार्ड में सुधार की अनुमति नहीं है)।

V. ज्ञान का सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण
द्वितीय चरण।

1. मौखिक ललाट कार्य।

लेकिन।इस स्थिति के लिए एक कार्य तैयार करें और इसे हल करें।

1. बिंदु t = 3 पर फलन के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए। (उत्तर : 21.)

2. बिंदु t \u003d 3 पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण लिखें। (उत्तर: y \u003d 21x-45।)।

3. यदि गति का नियम सूत्र द्वारा दिया गया है, तो समय t=3c पर पिंड की गति और त्वरण ज्ञात कीजिए। (उत्तर: 21m/s, 16m/s²)।

4. बिंदु t = 3 पर फलन के आलेख पर खींची गई स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए। (उत्तर : 21.)।

5. बिंदु t = 3 पर फलन के ग्राफ की स्पर्श रेखा की स्पर्श रेखा ज्ञात कीजिए और ऑक्‍स-अक्ष की स्पर्शरेखा और धनात्मक दिशा के बीच के कोण का प्रकार ज्ञात कीजिए। (उत्तर: tgα, कोण α न्यून है)

बी। कार्यों के डेरिवेटिव खोजें

2. चरण III"परीक्षण पूर्वानुमान"

इस कार्य के अंत में, अंतिम उत्तरों के आधार पर एक स्व-परीक्षण किया जाता है और परीक्षण सलाहकारों को सौंपे जाते हैं। (कार्ड में सुधार की अनुमति नहीं है)।
उत्तर:

1 विकल्प
विकल्प 2

1. समस्या का समाधान

मैंस्टेज वी
बढ़े हुए स्तर की समस्या का ललाट समाधान (समाधान सलाहकारों द्वारा कक्षा के साथ मिलकर किया जाता है)।

एक कार्य

पैरामीटर के किस मान पर एफ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा

X-अक्ष के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर खींचा गया 60° का कोण बनाता है?

ग्राफ एक परवलय है जिसमें ऊपर की ओर शाखाएं x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटती हैं (मामला ए= 0 समस्या के अर्थ को संतुष्ट नहीं करता है):

IX. सारांश और ग्रेडिंग

1. प्रश्न: क) क्या पाठ का लक्ष्य प्राप्त कर लिया गया है?
बी) कौन सा चरण सबसे कठिन लग रहा था?
ग) सबसे दिलचस्प क्या था?

2. सलाहकार परिणाम घोषित करते हैं (रास्ते में छात्रों की संख्या और उपनाम
अनुकरण, प्रतिबिंब के तरीके और अनुभव के तरीके)।