साप्ताहिक अपेक्षा के दिन। गणितीय अपेक्षा (जनसंख्या माध्य) है

प्रायिकता सिद्धांत गणित की एक विशेष शाखा है जिसका अध्ययन केवल उच्च शिक्षण संस्थानों के छात्र ही करते हैं। क्या आपको गणना और सूत्र पसंद हैं? क्या आप सामान्य वितरण, पहनावा की एन्ट्रापी, गणितीय अपेक्षा और असतत यादृच्छिक चर के विचरण के साथ परिचित होने की संभावनाओं से डरते नहीं हैं? तब यह विषय आपके लिए बहुत रुचिकर होगा। आइए विज्ञान के इस खंड की कुछ सबसे महत्वपूर्ण बुनियादी अवधारणाओं से परिचित हों।

आइए मूल बातें याद रखें

यहां तक ​​कि अगर आपको संभाव्यता सिद्धांत की सबसे सरल अवधारणाएं याद हैं, तो लेख के पहले पैराग्राफ की उपेक्षा न करें। तथ्य यह है कि बुनियादी बातों की स्पष्ट समझ के बिना, आप नीचे चर्चा किए गए सूत्रों के साथ काम करने में सक्षम नहीं होंगे।

तो, कुछ यादृच्छिक घटना है, कुछ प्रयोग है। किए गए कार्यों के परिणामस्वरूप, हम कई परिणाम प्राप्त कर सकते हैं - उनमें से कुछ अधिक सामान्य हैं, अन्य कम सामान्य हैं। किसी घटना की प्रायिकता एक प्रकार के वास्तव में प्राप्त परिणामों की संख्या और संभावित परिणामों की कुल संख्या का अनुपात है। केवल इस अवधारणा की शास्त्रीय परिभाषा को जानने के बाद, आप निरंतर यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और फैलाव का अध्ययन करना शुरू कर सकते हैं।

औसत

स्कूल में वापस, गणित के पाठों में, आपने अंकगणितीय माध्य के साथ काम करना शुरू किया। इस अवधारणा का व्यापक रूप से संभाव्यता सिद्धांत में उपयोग किया जाता है, और इसलिए इसे अनदेखा नहीं किया जा सकता है। इस समय हमारे लिए मुख्य बात यह है कि हम गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर के विचरण के सूत्रों में इसका सामना करेंगे।

हमारे पास संख्याओं का एक क्रम है और हम अंकगणितीय माध्य ज्ञात करना चाहते हैं। हमें जो कुछ भी आवश्यक है वह सब कुछ उपलब्ध है और अनुक्रम में तत्वों की संख्या से विभाजित करना है। मान लीजिए हमारे पास 1 से 9 तक की संख्याएँ हैं। तत्वों का योग 45 होगा, और हम इस मान को 9 से विभाजित करेंगे। उत्तर: - 5।

फैलाव

वैज्ञानिक शब्दों में, विचरण अंकगणित माध्य से प्राप्त विशेषता मानों के विचलन का औसत वर्ग है। एक को बड़े लैटिन अक्षर D से दर्शाया जाता है। इसकी गणना करने के लिए क्या आवश्यक है? अनुक्रम के प्रत्येक तत्व के लिए, हम उपलब्ध संख्या और अंकगणितीय माध्य के बीच अंतर की गणना करते हैं और इसे वर्ग करते हैं। जिस घटना पर हम विचार कर रहे हैं, उसके लिए उतने ही मूल्य होंगे जितने परिणाम हो सकते हैं। अगला, हम प्राप्त सभी चीजों को सारांशित करते हैं और अनुक्रम में तत्वों की संख्या से विभाजित करते हैं। यदि हमारे पास पांच संभावित परिणाम हैं, तो पांच से विभाजित करें।

विचरण में ऐसे गुण भी होते हैं जिन्हें समस्याओं को हल करते समय इसे लागू करने के लिए आपको याद रखने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, यदि यादृच्छिक चर को X गुना बढ़ा दिया जाता है, तो विचरण वर्ग के X गुना बढ़ जाता है (अर्थात, X*X)। यह कभी भी शून्य से कम नहीं होता है और मूल्यों को एक समान मान ऊपर या नीचे स्थानांतरित करने पर निर्भर नहीं करता है। साथ ही, स्वतंत्र परीक्षणों के लिए, योग का प्रसरण, प्रसरणों के योग के बराबर होता है।

अब हमें निश्चित रूप से एक असतत यादृच्छिक चर के प्रसरण और गणितीय अपेक्षा के उदाहरणों पर विचार करने की आवश्यकता है।

मान लीजिए कि हम 21 प्रयोग चलाते हैं और 7 अलग-अलग परिणाम प्राप्त करते हैं। हमने उनमें से प्रत्येक को क्रमशः 1,2,2,3,4,4 और 5 बार देखा। भिन्नता क्या होगी?

सबसे पहले, हम अंकगणितीय माध्य की गणना करते हैं: तत्वों का योग, निश्चित रूप से, 21 है। हम इसे 7 से विभाजित करते हैं। 3 प्राप्त करते हैं। अब हम मूल क्रम में प्रत्येक संख्या से 3 घटाते हैं, प्रत्येक मान को वर्ग करते हैं, और परिणाम एक साथ जोड़ते हैं . यह 12 निकला। अब हमारे लिए संख्या को तत्वों की संख्या से विभाजित करना बाकी है, और, ऐसा प्रतीत होता है, बस। लेकिन वहां एक जाल है! आइए इसकी चर्चा करते हैं।

प्रयोगों की संख्या पर निर्भरता

यह पता चला है कि विचरण की गणना करते समय, हर दो संख्याओं में से एक हो सकता है: या तो एन या एन -1। यहां एन अनुक्रम में किए गए प्रयोगों की संख्या या तत्वों की संख्या है (जो अनिवार्य रूप से वही बात है)। यह किस पर निर्भर करता है?

यदि परीक्षणों की संख्या सैकड़ों में मापी जाती है, तो हमें N को हर में रखना चाहिए। यदि इकाइयों में, तो N-1। वैज्ञानिकों ने सीमा को काफी प्रतीकात्मक रूप से खींचने का फैसला किया: आज यह संख्या 30 के साथ चलती है। यदि हमने 30 से कम प्रयोग किए हैं, तो हम राशि को एन -1 से विभाजित करेंगे, और यदि अधिक है, तो एन द्वारा।

एक कार्य

आइए विचरण और अपेक्षा की समस्या को हल करने के अपने उदाहरण पर वापस जाएं। हमें 12 की एक मध्यवर्ती संख्या मिली, जिसे N या N-1 से विभाजित करना था। चूंकि हमने 21 प्रयोग किए, जो कि 30 से कम हैं, हम दूसरा विकल्प चुनेंगे। तो उत्तर है: विचरण 12/2 = 2 है।

अपेक्षित मूल्य

आइए दूसरी अवधारणा पर चलते हैं, जिस पर हमें इस लेख में विचार करना चाहिए। गणितीय अपेक्षा संगत संभावनाओं से गुणा किए गए सभी संभावित परिणामों को जोड़ने का परिणाम है। यह समझना महत्वपूर्ण है कि परिणामी मूल्य, साथ ही विचरण की गणना का परिणाम, पूरे कार्य के लिए केवल एक बार प्राप्त होता है, चाहे वह कितने भी परिणाम मानता हो।

गणितीय अपेक्षा सूत्र काफी सरल है: हम परिणाम लेते हैं, इसे इसकी संभावना से गुणा करते हैं, इसे दूसरे, तीसरे परिणाम आदि के लिए जोड़ते हैं। इस अवधारणा से संबंधित हर चीज की गणना करना आसान है। उदाहरण के लिए, गणितीय अपेक्षाओं का योग योग की गणितीय अपेक्षा के बराबर होता है। काम के लिए भी यही सच है। संभाव्यता सिद्धांत में प्रत्येक मात्रा ऐसे सरल कार्यों को करने की अनुमति नहीं देती है। आइए एक कार्य लें और उन दो अवधारणाओं के मूल्य की गणना करें जिनका हमने एक साथ अध्ययन किया है। इसके अलावा, हम सिद्धांत से विचलित थे - यह अभ्यास करने का समय है।

एक और उदाहरण

हमने 50 परीक्षण चलाए और 10 प्रकार के परिणाम प्राप्त किए - संख्या 0 से 9 - अलग-अलग प्रतिशत में दिखाई दे रहे हैं। ये क्रमशः हैं: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%। याद रखें कि संभावनाएं प्राप्त करने के लिए, आपको प्रतिशत मानों को 100 से विभाजित करने की आवश्यकता है। इस प्रकार, हमें 0.02 मिलता है; 0.1 आदि आइए हम एक यादृच्छिक चर के प्रसरण और गणितीय अपेक्षा के लिए समस्या को हल करने का एक उदाहरण प्रस्तुत करते हैं।

हम प्राथमिक विद्यालय से याद किए गए सूत्र का उपयोग करके अंकगणितीय माध्य की गणना करते हैं: 50/10 = 5।

आइए अब संभावनाओं को "टुकड़ों में" परिणामों की संख्या में अनुवाद करें ताकि इसे गिनना अधिक सुविधाजनक हो सके। हमें 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 और 9 मिलते हैं। प्राप्त प्रत्येक मान से अंकगणितीय माध्य घटाएं, जिसके बाद हम प्राप्त परिणामों में से प्रत्येक का वर्ग करते हैं। उदाहरण के रूप में पहले तत्व के साथ इसे कैसे करें देखें: 1 - 5 = (-4)। आगे: (-4) * (-4) = 16. अन्य मूल्यों के लिए, ये ऑपरेशन स्वयं करें। अगर आपने सब कुछ ठीक किया, तो सब कुछ जोड़ने के बाद आपको 90 मिलते हैं।

आइए 90 को N से विभाजित करके विचरण और माध्य की गणना जारी रखें। हम N को क्यों चुनते हैं और N-1 को नहीं? यह सही है, क्योंकि किए गए प्रयोगों की संख्या 30 से अधिक है। तो: 90/10 = 9। हमें फैलाव मिला। अगर आपको कोई दूसरा नंबर मिलता है, तो निराश न हों। सबसे अधिक संभावना है, आपने गणना में एक सामान्य त्रुटि की है। आपने जो लिखा है उसे दोबारा जांचें, और निश्चित रूप से सब कुछ ठीक हो जाएगा।

अंत में, आइए गणितीय अपेक्षा सूत्र को याद करें। हम सभी गणना नहीं देंगे, हम केवल वही उत्तर लिखेंगे जिसके साथ आप सभी आवश्यक प्रक्रियाओं को पूरा करने के बाद जांच कर सकते हैं। अपेक्षित मान 5.48 होगा। हम केवल याद करते हैं कि पहले तत्वों के उदाहरण का उपयोग करके संचालन कैसे किया जाता है: 0 * 0.02 + 1 * 0.1 ... और इसी तरह। जैसा कि आप देख सकते हैं, हम परिणाम के मूल्य को इसकी संभावना से गुणा करते हैं।

विचलन

फैलाव और गणितीय अपेक्षा से संबंधित एक अन्य अवधारणा मानक विचलन है। इसे या तो लैटिन अक्षरों sd द्वारा, या ग्रीक लोअरकेस "सिग्मा" द्वारा दर्शाया जाता है। यह अवधारणा दिखाती है कि कैसे, औसतन, मूल्य केंद्रीय विशेषता से विचलित होते हैं। इसका मान ज्ञात करने के लिए, आपको विचरण के वर्गमूल की गणना करनी होगी।

यदि आप एक सामान्य वितरण की साजिश रचते हैं और उस पर सीधे वर्ग विचलन देखना चाहते हैं, तो यह कई चरणों में किया जा सकता है। छवि के आधे हिस्से को मोड (केंद्रीय मान) के बाईं या दाईं ओर ले जाएं, क्षैतिज अक्ष पर एक लंबवत खींचें ताकि परिणामी आंकड़ों के क्षेत्र समान हों। वितरण के मध्य और क्षैतिज अक्ष पर परिणामी प्रक्षेपण के बीच के खंड का मान मानक विचलन होगा।

सॉफ़्टवेयर

जैसा कि सूत्रों के विवरण और प्रस्तुत उदाहरणों से देखा जा सकता है, विचरण और गणितीय अपेक्षा की गणना अंकगणित की दृष्टि से सबसे आसान प्रक्रिया नहीं है। समय बर्बाद न करने के लिए, उच्च शिक्षा में उपयोग किए जाने वाले कार्यक्रम का उपयोग करना समझ में आता है - इसे "आर" कहा जाता है। इसमें ऐसे कार्य हैं जो आपको सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत से कई अवधारणाओं के मूल्यों की गणना करने की अनुमति देते हैं।

उदाहरण के लिए, आप मानों के वेक्टर को परिभाषित करते हैं। यह निम्नानुसार किया जाता है: वेक्टर<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

आखिरकार

फैलाव और गणितीय अपेक्षाएं हैं जिनके बिना भविष्य में कुछ भी गणना करना मुश्किल है। विश्वविद्यालयों में व्याख्यान के मुख्य पाठ्यक्रम में, उन्हें विषय के अध्ययन के पहले महीनों में ही माना जाता है। इन सरल अवधारणाओं की समझ की कमी और उनकी गणना करने में असमर्थता के कारण ही कई छात्र तुरंत कार्यक्रम में पिछड़ने लगते हैं और बाद में सत्र में खराब अंक प्राप्त करते हैं, जो उन्हें छात्रवृत्ति से वंचित करता है।

इस लेख में प्रस्तुत किए गए समान कार्यों को हल करते हुए, दिन में कम से कम एक सप्ताह में आधे घंटे का अभ्यास करें। फिर, किसी भी संभाव्यता सिद्धांत परीक्षण पर, आप बिना बाहरी युक्तियों और चीट शीट के उदाहरणों का सामना करेंगे।

अपेक्षित मूल्य

फैलावनिरंतर यादृच्छिक चर X, जिसके संभावित मान संपूर्ण अक्ष ऑक्स से संबंधित हैं, समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है:

सेवा असाइनमेंट. ऑनलाइन कैलकुलेटर उन समस्याओं को हल करने के लिए डिज़ाइन किया गया है जिनमें या तो वितरण घनत्व f(x) , या वितरण फलन F(x) (उदाहरण देखें)। आमतौर पर ऐसे कार्यों में खोजने की आवश्यकता होती है गणितीय अपेक्षा, मानक विचलन, फलन f(x) और F(x) को आलेखित करें.

निर्देश। इनपुट डेटा के प्रकार का चयन करें: वितरण घनत्व f(x) या वितरण फ़ंक्शन F(x) ।

वितरण घनत्व f(x) दिया गया है:

वितरण फलन F(x) दिया गया है:

एक सतत यादृच्छिक चर एक संभाव्यता घनत्व द्वारा परिभाषित किया गया है
(रेले वितरण कानून - रेडियो इंजीनियरिंग में प्रयुक्त)। एम (एक्स) , डी (एक्स) खोजें।

यादृच्छिक चर X कहलाता है निरंतर , यदि इसका वितरण फलन F(X)=P(X .)< x) непрерывна и имеет производную.
एक सतत यादृच्छिक चर के वितरण फ़ंक्शन का उपयोग किसी दिए गए अंतराल में आने वाले यादृच्छिक चर की संभावनाओं की गणना करने के लिए किया जाता है:
पी(α< X < β)=F(β) - F(α)
इसके अलावा, एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि इसकी सीमाएं इस अंतराल में शामिल हैं या नहीं:
पी(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
वितरण घनत्व निरंतर यादृच्छिक चर को फ़ंक्शन कहा जाता है
f(x)=F'(x) , वितरण फलन का अवकलज।

वितरण घनत्व गुण

1. एक यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व x के सभी मानों के लिए गैर-ऋणात्मक (f(x) 0) है।
2. सामान्यीकरण की स्थिति:

सामान्यीकरण की स्थिति का ज्यामितीय अर्थ: वितरण घनत्व वक्र के तहत क्षेत्र एक के बराबर है।
3. α से β के अंतराल में एक यादृच्छिक चर X से टकराने की संभावना की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

ज्यामितीय रूप से, एक सतत यादृच्छिक चर X के अंतराल (α, β) में गिरने की प्रायिकता इस अंतराल के आधार पर वितरण घनत्व वक्र के अंतर्गत वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र के बराबर होती है।
4. वितरण फलन को घनत्व के रूप में निम्नानुसार व्यक्त किया जाता है:

बिंदु x पर वितरण घनत्व मान इस मान को लेने की संभावना के बराबर नहीं है; एक निरंतर यादृच्छिक चर के लिए, हम केवल दिए गए अंतराल में गिरने की संभावना के बारे में बात कर सकते हैं। होने देना )