Практик хичээл 9 Деривативын тооцоо. "Үүсмэл хэрэгслийн тооцоо" практик хичээл

Практик хичээл

Сэдэв:Дериватив олох. Деривативыг функц, графикийг судлахад ашиглах.

Зорилтот: Деривативын тооцоог эзэмшинэ, дериватив ашиглан функцийг судалж сур

Боловсролын хэрэгсэл:практик дасгал хийх дэвтэр, сэдвийн талаархи танилцуулга, интернетийн эх сурвалж.

1. Сэдвийн онолын материалыг авч үзэх: "Дээривативыг тооцоолох дүрэм", "Функцийн экстремум", "Гүдгэр, хонхорхой. Гулзайлтын цэг.

2. Жишээ даалгавруудыг авч үзье.

3. Тест No1 даалгаврыг гүйцэтгэнэ.

Туршилтын асуултууд:

1. Нэг цэг дэх функцын хамгийн их (хамгийн бага)-ийг тодорхойлно. Хамгийн их (хамгийн бага) цэгийн хангалттай жижиг хөрш дэх функцийн өсөлтийн тэмдгийн талаар юу хэлж болох вэ?

2. Функцийн экстремум оршин байх зайлшгүй нөхцөл юу вэ? Тэдний геометрийн утга нь юу вэ?

3. Хэсэг дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох дүрэм юу вэ?

4. Интервал дээрх муруйн гүдгэр (гүдгэр)-ийг тодорхойл.

5. Муруйн гүдгэр ба хотгорын интервалыг олох дүрэм юу вэ?

6. Муруй нугалах цэг. Хэрхэн олох вэ?

7. Функцийн график зурах алгоритм нь юу вэ?

Деривативыг тооцоолох дүрэм

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.

Хэрэв цагт=ƒ( Тэгээд), u=φ(х), тэгвэл цагт¢ ( X)=ƒ¢ (у) φ¢ (X).

нийлбэрийн дериватив.

Хэрэв цагт(X)=Тэгээд(X)+v (X), дараа нь цагт¢ (X)=Тэгээд¢ (X)+v ¢ (X)

Бүтээгдэхүүний дериватив.

Хэрэв y(x)=u(X)· v (X), дараа нь цагт¢ = Тэгээд¢ · v + у · v ¢ .

Тухайлбал, ( -аас· Тэгээд)¢ = хамт· Тэгээд¢ , өөрөөр хэлбэл, тогтмол хүчин зүйлийг деривативын тэмдгийн доороос гаргаж авдаг. Үүнийг шалгах нь амархан

(у 2 ) ¢ = 2 чи у ¢ , (у 3 ) ¢ =3u 2 у ¢ , … , (у n ) ¢ =n u n–1 у ¢ .

хэсгийн дериватив.

Хэрэв бол
.

Дериватив хүснэгт

1. (-аас)¢ =0

Нарийн төвөгтэй функцийн хувьд: хэрэв u=u(x), дараа нь:

2. (X)¢ =1

3. (X α )¢ = α · Xα–1, гэхдээямар ч бодит тоо байна.

.

3.

4. (гэхдээ X ) ¢ =а X · ln гэхдээ

4.

5. (бүртгэл а x) ¢ =

.

5.

6. (синкс)¢ = cos x

6.

7. (х)¢ = -sin x

7.

8. (tgx)¢ =

8.

9. (ctg x)¢ =

9.

10.

10.

11.

11.

12.

12.

13.

13.

Жишээнүүдийг авч үзье

Жишээ 1

y=(3–2 гэм 5х ) 4 | Бид дериватив томъёог ашигладаг Тэгээд α , нүгэл у |

y ¢ =4 (3–2 sin5x) 3 (3–2sin5x) ¢ =4 (3–2 sin5x) 3 (0–2 cos5x 5) = –40 (3–2 sin5x) 3 .

Жишээ 2

.

Жишээ 3

.

Жишээ 4

Жишээ 5

.

Экстремум функц

Функцийг экстремум хүртэл судлах нь деривативын хамгийн чухал хэрэглээний нэг юм. Минимум ба максимумын тодорхойлолт, тэдгээрийг хэрхэн олох талаар авч үзье.

Функцийг ƒ( X) зарим олонлог болон цэг дээр тодорхойлогдож, ялгагдах боломжтой X 0 нь түүний доторх цэг юм.

Тодорхойлолт.Чиг үүрэг ƒ (X) цэг дээр X 0 байна дээд тал нь(хамгийн бага) хэрэв цэгийн ийм хөрш байгаа бол X 0, энэ нь хүн бүрт зориулагдсан Xэнэ бүсээс ƒ (X) < ƒ (X 0 ) (ƒ (X) > ƒ (X 0 )).

Цэг XДараа нь 0-ийг цэг гэж нэрлэдэг дээд тал нь(хамгийн бага).

Цагаан будаа. нэг.

Хамгийн их хоёр цэгтэй функцийн графикийг үзүүлэв ( X 1 ба X 3) ба хамгийн бага хоёр оноо ( X 2 ба X 4) ба хамгийн их утга нь доод хэмжээнээс бага байж болно ( ƒ (X 1 ) < ƒ (X 4)). Энэ нь бид зөвхөн тодорхой цэгийн ойролцоо функцийн өвөрмөц байдлыг тодорхойлдог гэдгийг онцолж байна.

Хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүд дэх функцийн утгыг туйлын утга гэж нэрлэдэг туйлшрал. Дээрх графикаас харахад экстремум цэгүүд ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4) үүсмэл функц нь тодорхой тэмдгийг хадгалдаг функцийн монотон байдлын интервалыг тодорхойлно. Хэт их цэгүүдэд мэдээжийн хэрэг дериватив алга болно. Теоремыг томъёолъё шаардлагатай нөхцөл экстремум оршихуй.

Теорем.Хэрэв функц ƒ (X) цэг дээр X 0 нь экстремумтай бол энэ цэг дэх функцийн дериватив нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл ƒ¢ ( X 0)=0.

Энэ нөхцөл хангалттай биш, өөрөөр хэлбэл эсрэг заалт нь үргэлж үнэн байдаггүй гэдгийг бид даруй тэмдэглэж байна. Тэгш эрхээс ƒ ¢ ( X 0)= 0 нь үүнийг заавал дагаж мөрдөх албагүй X 0 бол экстремум байна.

Үүнийг функцтэй жишээгээр баталж байна ƒ (X)=x 3 .

Олъё ƒ ¢ ( X)= 3X 2 . Яг цэг дээр X=0 ƒ ¢(0)=0 . Гэхдээ дур зоргоороо зорилгодоо ойртсон X=0 олох X> 0, хаана ƒ (X)=x 3 > 0, олох X< 0, где ¦ (X)=X 3 < 0. Т. е. не существует какая-либо малая окрестность точки X=0, хаана нь бүгдэд нь Xцэг дээрх функцийн утга X=0 нь хамгийн том эсвэл хамгийн бага байх болно. Тиймээс, цэг X=0 нь экстремум цэг биш юм.

Та өөрөөр маргаж болно. Деривативаас хойш ƒ ¢ (x)=3x 2 , дараа нь функц ƒ(x)=x 3 ямар ч бодит х-ийн хувьд өсөх ба экстремумгүй.

Хаана байгаа цэгүүд шаардлагатай нөхцөлэкстремум (ƒ ¢ (x)=0)дуудсан шүүмжлэлтэй .

ƒ цэгүүд дэх функцын графикт шүргэгч нь тодорхой байна ¢ (x)=0,абсцисса тэнхлэгтэй параллель Ox .

Хангалттай нөхцөлэкстремумыг дараах теоремуудад өгөв.

Теорем 1.Хэрэв X 0 нь функцийн эгзэгтэй цэг бөгөөд түүгээр дамжин өнгөрөхөд дериватив тэмдэг өөрчлөгдөнө X 0 - экстремум цэг, тухайлбал, хэрэв дериватив тэмдэг нэмэхээс хасах хүртэл өөрчлөгдвөл - хамгийн дээд цэг, хэрэв - хасахаас нэмэх хүртэл - хамгийн бага цэг.

Хэрэв дериватив тэмдэг өөрчлөгдөхгүй бол тухайн цэгт экстремум байхгүй гэдгийг анхаарна уу. Эхний дериватив ашиглан экстремумыг судлах дүрмийг сургуулийн курсээс мэддэг. Хоёрдахь деривативыг ашиглан экстремумын хангалттай нөхцөлийг томъёолох нь заримдаа илүү тохиромжтой байдаг.

Функцийг ƒ( X) нь зарим домэйнд хоёр дахин ялгагдах боломжтой (өөрөөр хэлбэл, ƒ( X) ƒ¢ байна ( X) Мөн ƒ ¢¢ ( X)).

Теорем 2.Хэрэв X 0 - функцийн чухал цэг ƒ(x)болон ƒ ¢¢ (X 0 ) > 0 , дараа нь X 0 бол хамгийн бага цэг, хэрэв ƒ ¢¢ (X 0 ) < 0, то X 0 бол хамгийн дээд цэг юм.

Хоёрдахь деривативын тусламжтайгаар функцийн графикийн гүдгэр эсвэл хотгорыг тодорхойлно.

гүдгэр, гүдгэр. Гулзайлтын цэг.

Муруй y=ƒ(X) гэж нэрлэдэг гүдгэрth доортүүний аль нэг нь шүргэгч

ƒ ¢¢ ( X) < 0.

Муруй y=ƒ(X) гэж нэрлэдэг хотгор муруйн бүх цэгүүд хэвтэж байвал интервал дээр дээрх түүний аль нэг нь шүргэгч энэ интервал дээр. Дараа нь энэ интервал дээр

ƒ ¢¢(x) > 0

Тодорхойлолт. гулзайлтын цэг Муруй гэдэг нь муруй нь нэг талдаа гүдгэр, нөгөө талдаа хонхойсон цэг юм.

Гулзайлтын цэг дээр ƒ ¢¢ ( X)=0.

Тиймээс, хоёр дахь деривативын тэмдэг (мөн функцын өөрөө болон түүний анхны деривативын тэмдэг) нь функцийн графикийн онцлог шинжийг илтгэнэ. Тэднийг дахин харцгаая.

Хэрэв хүн бүрт Xинтервал дээр ( гэхдээ, б) ƒ (X) > 0 (ƒ (X) < 0), тэгвэл график нь x тэнхлэгийн дээр (доор) байрлана.

Хэрэв хүн бүрт Xинтервал дээр ( гэхдээ, б) ƒ ¢ ( X) > 0 (ƒ ¢ ( X) < 0), то функция на (гэхдээ, б) нэмэгддэг (буурдаг).

Хэрэв хүн бүрт Xинтервал дээр ( гэхдээ, б) ƒ ¢¢ ( X) > 0 (ƒ ¢¢ ( X) < 0), то график на (гэхдээ, б) хотгор (гүдгэр) байна.

Тэгшитгэл ƒ( X)=0 нь функцийн "тэг"-ийг, өөрөөр хэлбэл, графикийн Ox тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг тодорхойлно.

тэгшитгэл ƒ ¢ ( X)=0 нь чухал цэгүүдийг тодорхойлдог.

тэгшитгэл ƒ ¢¢ ( X)=0 нь гулзайлтын боломжит цэгүүдийг тодорхойлдог.

Функцийг судлах схем

Функцийг судлах ƒ (X) ба хуйвалдаан y=ƒ(X) олох ёстой:

1) функцийг тодорхойлох талбар ба графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд;

2) монотон байдлын интервал;

3) эдгээр цэгүүдийн экстремум цэгүүд ба функцын утгууд;

4) графикийн гүдгэр ба хотгорын интервал;

5) графикийн гулзайлтын цэгүүд;

6) Картезийн координатын системд олж авсан бүх цэгүүдийг (заримдаа графикийг тодруулах, нэмэлт оноо авах) болон графикийг өөрөө байгуулна.

Сегмент дээрх функцийн хамгийн бага ба хамгийн том утгууд

Оновчлолын аргын зарим асуудлыг шийдвэрлэхдээ тодорхой интервал дээр функцийн хамгийн бага эсвэл хамгийн том утгыг олох боломжтой байх нь чухал юм. Функц нь чухал цэгүүд эсвэл сегментийн төгсгөлд эдгээр утгуудад хүрдэг.

Хайлтын схемфункцийн хамгийн бага ба хамгийн том утгууд ƒ (X) сегмент дээр [ гэхдээ, б].

1. Функцийн деривативыг ол ƒ ¢ ( X).

2. Тэгшитгэлээс эгзэгтэй цэгүүдийг ол ƒ ¢ ( X)=0.

3. Өгөгдсөн [ сегментэд хамаарах чухал цэгүүдийг сонгоно уу. гэхдээ, б] ба функцийн утгыг ол ƒ (X) ийм цэг бүрт.

4. Функцийн утгыг тооцоолох ƒ (X) сегментийн төгсгөлд: ƒ( гэхдээ) ба ƒ( б).

5. Функцийн олж авсан утгуудаас хамгийн том (хамгийн том) ба хамгийн бага (хамгийн бага) утгыг сонгоно уу.

Жишээ 2

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол ƒ(x)=X 3 -9x 2 +24х–10сегмент дээр.

1. ƒ ¢ ( X)= 3X 2 – 9 2 X 2 + 24.

2. ƒ ¢ ( X)=0, 3(X 2 –6X+8)=0, X 1 =2, X 2 =4.

3. x 2 \u003d 4 цэг нь сегментэд хамаарахгүй. Тиймээс бид функцийн утгыг зөвхөн цэг дээр тооцдог X 1 =2

ƒ(2)=2 3 –9 2 2 +24 2–10=10.

4. Сегментийн төгсгөлд байрлах функцын утгууд: ƒ(0)= –10, ƒ(3)=3 3 –9 3 2 +24 3–10, ƒ(3)=8.

5. Хүлээн авсан үнэ цэнэ:

ƒ(2)=10, ƒ(0)= –10, ƒ(3)=8.

Хамгийн өндөр үнэ цэнэ 10-тай тэнцүү бөгөөд цэг дээр хүрнэ X=2. Хамгийн бага нь -10 бөгөөд цэг дээр хүрдэг X=0.

Жишээ 3

Гүдгэр ба хотгорын интервал ба муруйн гулзайлтын цэгүүдийг ол y=x+36X 2 –2X 3 –X 4 .

Энэ функцийн домэйн нь бүх бодит тоонуудын багц юм, i.e. XЄ(–∞, +∞).

Хоёрдахь деривативыг олъё.

цагт¢=1+72 X–6X 2 –4X 3 .

цагт¢¢=72–12 X–12X 2 = –12(X 2 +X–6).

Тэгшитгэлээс цагт¢¢ =0 нь гулзайлтын цэгийн абсциссыг авна.

–12(X 2 +X–6)=0 X 1 = –3; X 2 =2.

Тэмдгийг тодорхойлъё цагт¢¢ интервалаар

(–∞; –3), (–3; 2), (2, +∞).

X

(–∞, –3)

(–3; 2)

(2; +∞)

цагт¢¢

муруй хэлбэр

гүдгэр

нугалах

хотгор

нугалах

гүдгэр

Гулзайлтын цэгүүдийн ординатуудыг ол:

цагт(–3)=726; М 1 (–3; 726) – гулзайлтын цэг

цагт(2)=114; М 2 (2; 114) - гулзайлтын цэг.

Интервал дээр (–3; 2) муруй нь хотгор байна. (–∞; –3) ба (2; +∞) интервал дээр гүдгэр байна.

Даалгаврууд

Даалгаврын дугаар 1.

Функцийн таслах цэгийг олж, график байгуул

Чиг үүрэг ƒ (X) нь бүх бодитойгоор тодорхойлогддог Xба заасан интервал бүр дээр тасралтгүй байна: (–∞; –1), [–1; 0], (0, +∞). Функцийг судалж байна ƒ (X) цэгүүдэд тасралтгүй байх X= –1 ба X=0.

Үүнийг хийхийн тулд эдгээр цэг бүрт бид нэг талын хязгаарлалтыг олдог.

Нэг талын хязгаар нь өөр учраас X = –1 – эхний төрлийн тасархай цэг.

Нэг талт хязгаарууд тэнцүү, өөрөөр хэлбэл x = 0 цэг дээр функцийн хязгаар байдаг ба

Энэ хязгаарыг тухайн цэг дээрх функцийн утгатай харьцуулж үзье.

Учир нь
дараа нь цэг x=0, ƒ(x) функц тасралтгүй байна.

ƒ функцийн графикийг зуръя (X), үүнийг өгсөн

1)
- шулуун шугамын тэгшитгэл,

2)
- дээд хагас тойргийн тэгшитгэл
гарал үүсэл ба радиус дээр төвлөрсөн, нэгтэй тэнцүү, мөн нөхцөлөөр -1 £ X£ 0 тэгшитгэл
тойргийн дөрөвний нэгийг тодорхойлдог.

3) төлөө X > 0 бол график нь тэгшитгэлээр өгөгдсөн
. Энэ муруйн Ox тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг тэгшитгэлээс олно
хувьд x > 0. x= π n, хаана n =1, 2, 3, 4,

Цагаан будаа. 2.

Даалгаврын дугаар 2.

Шугамын шүргэгчийн тэгшитгэл зохио
хаана байгаа цэгүүдэд X=0 ба X=4. Шүргэгчийн огтлолцлын цэг ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг ол. Зураг зурах.

Шугамын шүргэгч тэгшитгэл y=ƒ(x)хэлбэртэй байна

хаана цагт 0 =ƒ( X 0).

Яг цэг дээр X=0 цагт(0)=ƒ(0)=5.

цагт¢ =ƒ ¢ (X)=X–3 ƒ¢ (0)= –3.

М 1 (0, 5) хэлбэр байна y– 5= –3(X-0) эсвэл

у= –3X+5.

Яг цэг дээр X=4 цагт(4)=ƒ(4)=1. ƒ¢ (4)=4–3=1.

Нэг цэг дээрх тангенсийн тэгшитгэл М 2 (4, 1) хэлбэртэй байна y– 1=X-4 эсвэл

y=x–3.

Системийг шийдэх замаар шүргэгчийн огтлолцлын цэгийг олж авна

Уулзвар цэг М 3 (2, –1).

Тарилга φ Шүргэгчийн хооронд бид томъёоноос олно:

,

хаана к 1 = –3; к 2 =1 – шүргэгчийн налуугийн коэффициентүүд.

.

Тарилга φ = arctg 2.

Энэ шугамыг байгуулъя
цэг нь оройтой парабол юм X=3, учир нь цагт¢ =0 цагт X=3. Олъё
. Цэг М 4 (3; ) нь параболын орой юм.

Р

байна. 3.

Даалгаврын дугаар 3.

Функцийг судлах
мөн үүнийг төлөвлө.

1. Энэ функц нь олон гишүүнт (хаалтуудыг нээж болно, бид 3-р зэргийн олон гишүүнтийг авна) тул энэ нь тодорхойлогдсон, үргэлжилсэн, аль ч үед ялгагдах боломжтой. X.

2. Деривативыг ол.

.

Тэгшитгэлээс цагт¢ =0 чухал цэгүүдийг ол: 3 X·( X–2)=0, X 1 =0, X 2 =2.

Тэднийг судалж үзье.

X

(–∞, 0)

(0; 2)

(2; +∞)

цагт ¢

цагт

3. Тэгэхээр функц (–∞, 0) ба (2, +∞) интервалд нэмэгдэж, (0; 2) интервал дээр буурч, x=0 үед хамгийн их, x=2 үед хамгийн бага нь байна:

цагт хамгийн их = цагт(0)=4; цагтмин = цагт(2)=0.

4. Хоёр дахь деривативыг ол.

цагт¢¢ = 6 ( X-1).

Энд муруй нь гүдгэр байна цагт¢¢ < 0, т. е. 6·(X–1) < 0, X < 1.

Хаана нь муруй хонхор байна цагт¢¢ > 0, өөрөөр хэлбэл. X > 1.

Тэгэхээр (–∞, 1) интервал дээр муруй нь гүдгэр байна; ба интервал дээр (1, +∞) хотгор байна.

5. Тэгшитгэлээс гулзайлтын цэгийг ол цагт¢¢ =0. Энэ замаар, X=1 нь гулзайлтын цэгийн абсцисса, учир нь энэ цэг нь муруйн гүдгэр ба хотгорын интервалыг тусгаарлана. Гулзайлтын цэгийн ординат: цагт(1)=2.

Функцийн график цагт=(X+1)( X–2) 2 нь x тэнхлэгийг at цагт=0, өөрөөр хэлбэл цагт X= –1 ба X=2;

у тэнхлэгийг гаталж байна X=0, өөрөөр хэлбэл цагт цагт=4. Бид гурван оноо авсан: (-1; 0), (2; 0), (0; 4). Хүлээн авсан бүх оноог хөрш зэргэлдээх оноогоо нэмж хүснэгтэд оруулна.

–2

–1

–16

Р

байна. 4 Муруй y=(x+1)(x–2) 2 .

Даалгаврын дугаар 1

Таны анхааралд нэг, хоёр, гурав ба түүнээс дээш зөв хариулт байж болох ажлуудыг санал болгож байна. Бүх зөв хариултын тоог дугуйл

1. Хэрэв
дараа нь функц

1) нэмэгдэж байна

2) буурах

3) тогтмол

2. Хэрэв

1) нэмэгдэж байна

2) уруудах

3. Хэрэв
, дараа нь функц

1) нэмэгдэж байна

2) уруудах

4. Хэрэв
, дараа нь функц

1) Өсөх 3) Буурах

2) Тогтмол 4) Монотоник

5. Үйл ажиллагаа
нь

1) Тэр ч байтугай

2) бүр биш

3) тэгш, сондгой ч биш

4) Үе үе

5) Тогтмол биш

6) Тригонометр

7) Бага анги

6. Үйл ажиллагаа
нь

1) жигд

2) сондгой

3) тэгш, сондгой ч биш

4) үе үе

5) үе үе биш

6) тригонометр

7) анхан шатны

2) Вейерштрасс 4) Дирихлет 6) Лейбниц

8) Шийдвэр
Тэгшитгэл

1) 0 3) 0 ба 3 5) 2 7) 3

2) 2 ба 3 4) 2 6) -5 ба 1 8) 5 ба 1

9) тэгш бус байдлын шийдэл

1) (; 1) 3) (; 1) 5) (-;1)

2) (1; 5) 4) (2; ) 6)

10) арга
нийлбэр юм

1) векторууд

2) шууд

3) таслах

11) Хэрэв
, дараа нь функц

1) хотгор 3) гүдгэр 5) уруудах

2) Монотоник 4) Өсөх 6) Тогтмол

12) функцийн хамрах хүрээ нь

1) (;0)

2) (0; )

3) (-;)

4) (0;1)

5)

6)

7) (-1;1)

8)

9)

13) функц
нь

1) заалт

2) тригонометр

3) хүч

4) логарифм

14) хэрэв функц y= бол х тэгвэл тэр

1) жигд

2) сондгой

3) тэгш, сондгой ч биш

15) функц
цагт
нь

Практик ажил

математик

1. Функцийн хязгаарыг олох. Эхний болон хоёр дахь гайхалтай хязгаарууд.

2. Комплекс функцийн дериватив. Нэг хувьсагчийн функцийг судлах, график зурах.

3. Туршилт"Функцуудыг судлахад дифференциал тооцооллын хэрэглээ".

4. Тодорхойгүй интегралыг олох. Тодорхой интегралын тооцоо.

5. Тодорхойлогчдын тооцоо.

6. Шугаман тэгшитгэлийн системийг Крамерын аргаар шийдвэрлэх. Туршилт.

7. "Багц" сэдвээр бодлого шийдвэрлэх. Логикийн алгебрийн томьёо.

8. Санамсаргүй тохиолдлын магадлалын тооцоо. Нийт магадлалын томъёо.

9. Тоон шинж чанарын тооцоо.

10. "Магадлалын онол ба математикийн статистикийн үндэс" сорилтын ажил

11. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр.

12. Төрөл бүрийн хэлбэрийн нийлмэл тоо бүхий үйлдлүүд.

МАТЕМАТИКИЙН ПРАКТИК АЖЛЫН АРГА ЗҮЙН ЗААВАР

2 ХИЧЭЭЛ

Практик хичээл гэдэг нь оюутнуудын даалгавар, багшийн удирдлаган дор нэг буюу хэд хэдэн практик ажлыг гүйцэтгэхийг багтаасан боловсролын үйл явцыг зохион байгуулах хэлбэр юм.

Тиймээс математикийн практик хичээл дээр оюутнууд асуудлыг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлдэг бөгөөд үүнийг ирээдүйд тусгай чиглэлээр мэргэжлийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах ёстой.

Практик ажлын явцад оюутнууд мэдээллийн эх сурвалжийг ашиглах, ажиллах чадварыг эзэмшдэг норматив баримт бичигболон сургалтын материал, лавлах ном, зураг, диаграмм, хүснэгт хийх, шийдвэрлэх өөр төрлийндаалгавар, тооцоо хийх.

Математикийн практик хичээлийн үеэр шийддэг даалгаварууд:

1) лекцийн үеэр олж авсан математикийн онолын мэдлэгийг өргөжүүлэх, нэгтгэх;

2) математикийн асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхэд шаардлагатай оюутнуудын практик ур чадвар, чадварыг бий болгох;

3) математикийн хичээлийн явцад оюутнуудад бие даан суралцах, мэдлэг, ур чадвараа дээшлүүлэх хэрэгцээг хөгжүүлэх;

4) математикийг судлах явцад бүтээлч хандлага, судалгааны хандлагыг төлөвшүүлэх;

5) ирээдүйн мэргэжилтний мэргэжлийн чухал чанарыг төлөвшүүлэх, олж авсан мэдлэгээ мэргэжлийн чиглэлээр хэрэгжүүлэх ур чадварыг бий болгох.

Практик хичээлийн дугаар 1.Функцийн хязгаарын тооцоо. Эхний болон хоёр дахь гайхалтай хязгаарууд.

Сэдэв : Функцийн хязгаарын тооцоо.

Зорилтот: математикийн үндсэн хэсгүүдийн чиглэлээр суурь мэдлэг олж авах . Функцийн хязгаарыг тооцоолох талаархи мэдлэгийг нэгтгэхийг шалгах. Энэ сэдвээр мэдлэгээ давтаж, системчлэх.

Даалгаварууд:

Мэргэжлийн бүтээлч сэтгэлгээг хөгжүүлэх;

Шинжлэх ухааны хэлийг эзэмших, үзэл баримтлалтай ажиллах чадвар;

Асуудлыг тодорхойлох, шийдвэрлэх ур чадвар, чадварыг эзэмших;

Онол практикийн сургалтыг гүнзгийрүүлэх;

Оюутны санаачлага, бие даасан байдлыг хөгжүүлэх.

Тооцоолох чадварыг нэгтгэх;

Математикийн яриан дээр үргэлжлүүлэн ажилла.

Бие даан ажиллах ур чадвар, сурах бичигтэй ажиллах, бие даан мэдлэг эзэмших чадварыг бий болгох;

Тексттэй ажиллахдаа гол зүйлийг тодруулах чадварыг хөгжүүлэх;

Сэтгэцийн бие даасан байдлыг бий болгох, сэтгэцийн үйл ажиллагаа: харьцуулах, дүн шинжилгээ хийх, нэгтгэх, нэгтгэх, аналоги хийх;

Оюутнуудад мэдлэгийн бат бөх байдал, даалгавраа биелүүлэх соёлыг гүнзгийрүүлэх, сайжруулахын тулд системтэй ажлын үүргийг харуулах;

Хөгжил бүтээлч байдалоюутнууд.

Практик ажлыг хангах:

Практик ажилд зориулсан арга зүйн зөвлөмжийн онолын материал.

Математик, - Цуврал: Мэргэжлийн дунд боловсрол. - Ростов-на-Дону "Феникс", х.

Практик хичээлийн явц.

1. Хичээлийн сэдвийг томъёолох, тухайн сэдвийг эрдмийн хичээлийн бусад сэдэвтэй холбох тайлбар;

2. Сурагчдын хичээлд бэлэн байдлыг шалгах;

3. Хичээлийг тухайн сэдвийн дагуу, тухайн хичээлийн ажлын хөтөлбөрийн дагуу шууд явуулах:

"Функцийн хязгаарыг тооцоолох" сэдвээр онолын материалыг судлах.

Ердийн даалгавруудыг шийдвэрлэх жишээг авч үзье.

Эхний болон хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг ашиглан функцүүдийн хязгаарыг тооцоолох бие даасан ажлыг гүйцэтгэх.

Аюулгүй байдлын асуултад хариулна уу.

Онолын мэдээлэл, арга зүйн зөвлөмж

асуудлыг шийдвэрлэх талаар.

1. Онолын материалын танилцуулга.

Нэг цэг дээрх функцийн хязгаарыг тооцоолохын тулд танд дараах зүйлс хэрэгтэй:

1) х хувьсагчийн оронд х ямар хандлагатай байгааг орлуулна.

2) Хэрэв 1) цэгийг бөглөсний дараа https://pandia.ru/text/78/405/images/image003_6.png" width="19" height="22 src=">хэлбэрийн тодорхойгүй байдал гарч ирвэл солино уу. хасах тэмдэгтэй сум: (x-a).

3) Хэрэв 1-р цэгийг бөглөсний дараа бид https://pandia.ru/text/78/405/images/image002_13.png" width="18" height="31 src="> маягтын тодорхой бус байдлыг олж авна. , тригонометрийн функцүүдийн утгуудтай холбоотой бид эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглах ёстой.

Тодорхойлолт.Эхний гайхалтай хязгаарыг хязгаар гэж нэрлэдэг

https://pandia.ru/text/78/405/images/image007_4.png" alt="(!LANG:$\displaystyle \lim_(x\to0)\dfrac(\sin x)(x)=1. доллар" width="102" height="52">!}

5) Тодорхойлолт:Хоёр дахь гайхалтай хязгаархязгаар гэж нэрлэдэг

Энэ хязгаараар өгөгдсөн тоо нь математик анализ болон математикийн бусад салбаруудад маш чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. дугаарыг дуудаж байна натурал логарифмын суурь ( https://pandia.ru/text/78/405/images/image009_4.png" alt="(!LANG:$ e$" width="11" height="14">показывает, что -- иррациональное число, несколько первых десятичных знаков которого таковы:!}

2. Судалсан материалыг нэгтгэх.

Жишээ 1

https://pandia.ru/text/78/405/images/image015_1.png" өргөн "28" өндөр "30 src=">= -4

Бид 1-р дүрмийг ашиглаж, x-ийн зорьж буй х-г орлуулсан, өөрөөр хэлбэл x=2.

Жишээ 2

https://pandia.ru/text/78/405/images/image017_1.png" width="154" height="32 src=">.png" width="21" height="30 src=">= тав

Жишээ 3

https://pandia.ru/text/78/405/images/image021_1.png" width="199" height="37 src=">.png" width="137" height="35 src=">. png" өргөн "138" өндөр "24 src=">=3+3=6

Жишээ 4

https://pandia.ru/text/78/405/images/image004_7.png" width="22" height="31 src=">.png" width="104" height="46 src=">. png" өндөр "30 src=">

Жишээ 5

https://pandia.ru/text/78/405/images/image032_0.png" width="61" height="46 src=">.png" height="30 src=">=2"

Жишээ 6

https://pandia.ru/text/78/405/images/image036_0.png" өргөн "18" өндөр "28 src=">

б)

онд)

3. Мэдлэг, ур чадвар, чадварыг нэгтгэх.

Функцийн хязгаарыг тооцоолох бие даасан ажил хийх.

Практик ажил №1. Сонголт 1 Функцийн хязгаарыг тооцоолох: 1. . 2. . 3. . 10. .

Практик ажил №1. Сонголт 2 Функцийн хязгаарыг тооцоолох: 1. . 2. . 3. . 10.

Практик ажил №2.

Сэдэв : Функцийн деривативыг олох. Нэг хувьсагчийн функцийг судлах, график зурах.

Зорилтот : Функцийн деривативын тухай ойлголт, анхан шатны функцийн дериватив, комплекс функц, урвуу функцийг олох, уламжлалын хүснэгт ба ялгах дүрэм, комплекс ба урвуу функцийн тухай ойлголтыг практикт шалгах, функцийг судлахын тулд дериватив ашиглах чадвар.

Практик ажлыг хангах:

Сурах бичиг. "Математик". - М .: Тодог, 2010.

Математик. М: Форум-Инфа 2008.

Практик ажилд зориулсан сонголт бүхий бие даасан картууд.

1. Функцийн деривативыг олох онолын материал, жишээ.

Тодорхойлолт: X цэг дэх f (x) (f "(x)) функцийн дериватив нь аргументийн өсөлт тэг болох хандлагатай үед функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар юм.

https://pandia.ru/text/78/405/images/image061_0.png" width="209 height=235" height="235">

Ялгах дүрэм.

Хэрэв f(x) ба g(x) функцууд деривативтай бол

2. (u+v)′=u′+v′

3. (uv)′=u′v+v′u

4. (С u)′=С u′, энд С=const

5..png" өргөн "49" өндөр "54 src=">

6. Комплекс функцийн дериватив:

f′(g(x))=f′(g) g′(x)

2. Жишээ.

1..png" width="61" height="41 src=">.png" width="20" height="41 src=">.png" өргөн="20" өндөр="41 src="> .png" өргөн "69" өндөр "41 src=">+4).

Уг функц нь хоёр хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн юм: u=https://pandia.ru/text/78/405/images/image071_0.png" width="72" height="41 src=">.png" width="" 64" өндөр = "41 src=">.png" өргөн = "19" өндөр = "41 src = ">.png" өргөн = "45" өндөр = 51 src = ">.

Функц нь хоёр илэрхийлэлийн коэффициент юм: u=https://pandia.ru/text/78/405/images/image079.png" width="52" height="41 src=">..png" width= "215 "өндөр="57 src=">.png" өргөн="197 өндөр=36" өндөр="36">

Шийдэл. Комплекс функцийг ялгах дүрмийн дагуу (томъёо 6) энэ функцийн деривативыг олцгооё.

5. Хэрэв , тэгвэл

6. y = х 3 – 3х 2 + 5х+ 2. Хай y "(–1).

y " = 3х 2 – 6х+ 5. Тиймээс, y "(–1) = 14.

7. Хэрэв y=ln х cos х, дараа нь y" = (Ln х) " cos х+ln х(cos х) " =1/х cos х–ln хнүгэл х.

Функцийг өгье. Үүнийг судлахын тулд танд хэрэгтэй:

1) Түүний тодорхойлолтын хүрээг ол. Хэрэв энэ нь тийм ч хэцүү биш бол хүрээг олох нь ашигтай байх болно. (Гэсэн хэдий ч ихэнх тохиолдолд функцын экстремумыг олох хүртэл олох асуултыг хойшлуулдаг.)

2) Функцын зан төлөвийг тодорхойлоход туслах ерөнхий шинж чанарыг олж мэдээрэй: функц нь тэгш эсвэл сондгой эсэх, үечилсэн эсэх.

3) Хэрэв ийм хилийн цэгүүд байгаа бол аргумент нь тодорхойлолтын хүрээний хилийн цэгүүдэд ойртох үед функц хэрхэн ажиллахыг олж мэд. Хэрэв функц нь тасалдалтай цэгүүдтэй бол эдгээр цэгүүдийг функцийн босоо асимптот байгаа эсэхийг шалгана. Ташуу асимптотуудыг ол.

4) Графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг олоорой, үүнд функцийн утгын энгийн тооцоололд багтсан болно.

OX тэнхлэгтэй: y=0;

OY тэнхлэгтэй: x=0.

Тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг олох нь нарийн төвөгтэй алгебрийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгцээнд хүргэж болзошгүй бөгөөд үүнийг зөвхөн ойролцоогоор л хийж болно. Функцийн үндэс ба тасалдлын цэгүүдийг олсны дараа бид эдгээр цэгүүдийн хоорондох интервал тус бүр дээр функцийн тэмдгийг тодорхойлж болно. Үүнийг интервалын зарим цэг дээрх функцийн утгыг тооцоолох эсвэл интервалын аргыг хэрэглэх замаар хийж болно.

5) Нэг хэвийн байдлын интервалыг ол. Үүнийг хийхийн тулд деривативыг олоод тэгш бус байдлыг шийд.

https://pandia.ru/text/78/405/images/image089.png" width="49" height="19 src=">, функц буурч байна.

Монотоник байдлын интервалыг олсны дараа бид орон нутгийн экстремумын цэгүүдийг нэн даруй тодорхойлж чадна: өсөлт бууралтаар солигдвол орон нутгийн максимум, бууралт нь өсөлтөөр солигддог бол орон нутгийн минимум байдаг.

6) Гүдгэр ба хотгорын интервалыг олохдоо хоёр дахь деривативыг ашиглан гүйцэтгэнэ..png" width="39" height="19 src="> интервалууд дээр:

хэрэв https://pandia.ru/text/78/405/images/image090.png" width="39" height="19 src=">‹0 бол функцийн график муруй нь гүдгэр байна.

Үүний зэрэгцээ бид гулзайлтын цэгийг функц нь гүдгэрийн чиглэлийг өөрчилдөг (мөн тасралтгүй) цэгүүд гэж тодорхойлдог.

7) Графикийн асимптот ба нэмэлт цэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг олох. Энэ зүйл нь заавал байх албагүй, гэхдээ ийм цэгүүдийг олох нь функц, түүний байгуулсан графикийн бүрэн бүтэн байдал, бүрэн байдлыг судлах боломжийг олгодог.

Функцийг судлах явцад олж авсан координатын тэнхлэгүүд болон график дээрх цэгүүдийг зураг дээр нэн даруй хэрэглэх нь ашигтай гэдгийг анхаарна уу. Энэ нь зам дээрх графикийн харагдах байдлыг ойлгоход тусална.

3. Үүнийг өөрөө хий:

сонголт	y функцийн деривативыг ол:	сонголт	y функцийн деривативыг ол:
	1.y=6-		1.y=-6- 5.у=
	1.y=-7-1		1.y=-7-1
	1.y=4x-3tgx+6x-8		1.y=-5x+2ctgx+3x-2

Хичээлийн зорилго:

боловсролын- ялгах томъёог мэддэг; ялгах дүрэм;
нарийн төвөгтэй функцийг ялгах; деривативын физик ба геометрийн утга;
функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэл.

Боловсролын -дериватив функцийг олох чадвартай байх; физик утга, геометрийн утгыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх; цэг дээрх функцийн деривативын утгыг олох; гүйцэтгэсэн үйлдлийг математикийн хувьд чадварлаг тайлбарлаж, зөвтгөх.

Боловсролын -бие даасан байдал, хариуцлага, тусгалыг төлөвшүүлэх.

Хичээлийн үеэр

I. Зохион байгуулалтын мөч.

II. Гэрийн даалгавраа шалгаж байна
(завсарлагааны үеэр зөвлөхүүд (оюутнууд) үнэлгээг шалгана).

III. Зорилгоо тодорхойлох, урам зориг

Багш оюутнуудад энэ хичээл нь "Үүсмэлийн тооцоо" сэдвийн эцсийн хичээл гэдгийг мэдэгдэж, зорилгоо бие даан боловсруулахыг урьж байна.

Багш: -"Агуу гүн ухаантан Күнз нэгэнтээ: "Мэдлэгт хөтөлдөг гурван зам: эргэцүүлэн бодох зам бол хамгийн эрхэм зам, дууриамал зам бол хамгийн хялбар зам, туршлагын зам бол хамгийн гашуун зам" гэж хэлсэн байдаг. Тиймээс өнөөдөр хичээл дээр та бүхэн энэ сэдвийг мэдэхийн тулд ямар замаар явж байгаагаа тодорхойлох болно.

Оюутнуудад деривативыг тооцоолох мэдлэг, ур чадвараа харуулах даалгавар өгч, хичээлийн төлөвлөгөөг тайлагнана.

I шат:"Санах" карт дээрх даалгаврыг гүйцэтгээрэй.
(томьёо, ялгах дүрмийн талаархи мэдлэгийг шалгах).

II шат:Мэдлэгийг давтах, нэгтгэх аман урд талын ажил.

III шат:"Туршилтын урьдчилсан мэдээ" (гүйцэтгэх үед даалгавар өгсөнзөвлөхүүдийг зөвшөөрдөг).

IV шат:Практик асуудлын шийдэл.

V шат:Бие даасан ажил

Ажлын I, III, V үе шатуудыг үнэлдэг ба гэрийн даалгавар. Зөвлөхүүд шалгаж үр дүнг үнэлгээний хүснэгтэд оруулна.

Үнэлгээний шалгуур: "таван"- 19-20 оноо;
"4"- 15-18 оноо;
"3"- 10-14 оноо.

Мэдлэгт хүрэх замууд

1. Үндсэн мэдлэгийг хуулбарлах, засах

Би шат.

Зорилтот:томъёо, ялгах дүрмийн талаархи мэдлэгийг хянах, өөрийгөө хянах

Санаж байна уу! Ф.И. ______________________________________________________
	Дериватив
c,c - сул тал т
	е"(x)+ g"(x)
е(x)* g(x)

Энэ даалгаврын төгсгөлд "Үүсмэл хүснэгт" ашиглан өөрийгөө шалгах ажлыг гүйцэтгэдэг. Картуудыг баталгаажуулахын тулд зөвлөхүүдэд хүлээлгэж өгдөг (картуудад засвар оруулахыг хориглоно).

V. Мэдлэгийг нэгтгэх, системчлэх
II шат.

1. Амны урд талын ажил.

ГЭХДЭЭ.Энэ нөхцлийн даалгавар гаргаж, түүнийгээ шийд.

1. t = 3 цэг дээрх функцийн деривативын утгыг ол.(Хариулт: 21.)

2. t \u003d 3 цэг дээрх функцийн графиктай шүргэгчийн тэгшитгэлийг бичнэ үү. (Хариулт: y \u003d 21x-45.).

3. Хөдөлгөөний хуулийг томъёогоор өгөгдсөн бол t=3c хугацааны биеийн хурд ба хурдатгалыг ол. (Хариулт: 21м/с, 16м/с²).

4. t = 3 цэг дээрх функцийн графикт татсан шүргэгчийн налууг ол (Хариулт: 21.).

5. t = 3 цэг дээрх функцийн графиктай шүргэгчийн налуугийн шүргэгчийг олоод Ox тэнхлэгийн шүргэгч ба эерэг чиглэлийн хоорондох өнцгийн төрлийг тодорхойл. (Хариулт: tgα, α өнцөг нь хурц)

B. Функцийн деривативыг ол

2. III шат"Туршилтын урьдчилсан мэдээ"

Энэ даалгаврын төгсгөлд эцсийн хариулт дээр үндэслэн өөрийгөө шалгах шалгалтыг хийж, шалгалтыг зөвлөхүүдэд хүлээлгэн өгдөг. (картыг засахыг зөвшөөрөхгүй).
Хариултууд:

1 сонголт
Сонголт 2

1. Асуудлын шийдэл

IV шат
Өндөр түвшний асуудлын нүүрэн талын шийдэл (шийдвэрийг зөвлөхүүд ангийн хамт гүйцэтгэдэг).

Даалгавар

Параметрийн ямар утгатай байна афункцийн графиктай шүргэгч

түүний X тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдэд зурсан нь 60 ° өнцгийг үүсгэдэг үү?

График нь х тэнхлэгийг хоёр цэгээр огтолж буй дээшээ салбарласан парабол юм (тохиолдолд). а=0 нь асуудлын утгыг хангахгүй байна):

IX. Дүгнэж, дүгнэж байна

1. Асуулт: a) Хичээлийн зорилго биелсэн үү?
б) Аль үе шат хамгийн хэцүү санагдсан бэ?
в) Хамгийн сонирхолтой нь юу байсан бэ?

2. Зөвлөхүүд үр дүнгээ (замд явж буй оюутнуудын тоо, овог нэр) зарлана
дуураймал, эргэцүүлэн бодох арга зам, туршлагын арга зам).