Εβδομαδιαίες ημέρες προσδοκίας. Η μαθηματική προσδοκία (μέσος όρος πληθυσμού) είναι

Η θεωρία πιθανοτήτων είναι ένας ειδικός κλάδος των μαθηματικών που μελετάται μόνο από φοιτητές ανώτατων εκπαιδευτικών ιδρυμάτων. Σας αρέσουν οι υπολογισμοί και οι τύποι; Δεν φοβάστε τις προοπτικές γνωριμίας με την κανονική κατανομή, την εντροπία του συνόλου, τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής; Τότε αυτό το θέμα θα σας ενδιαφέρει πολύ. Ας εξοικειωθούμε με μερικές από τις πιο σημαντικές βασικές έννοιες αυτού του τμήματος της επιστήμης.

Ας θυμηθούμε τα βασικά

Ακόμα κι αν θυμάστε τις πιο απλές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων, μην παραμελήσετε τις πρώτες παραγράφους του άρθρου. Το γεγονός είναι ότι χωρίς σαφή κατανόηση των βασικών, δεν θα μπορείτε να εργαστείτε με τους τύπους που συζητούνται παρακάτω.

Άρα, υπάρχει κάποιο τυχαίο γεγονός, κάποιο πείραμα. Ως αποτέλεσμα των ενεργειών που εκτελούνται, μπορούμε να έχουμε πολλά αποτελέσματα - μερικά από αυτά είναι πιο κοινά, άλλα λιγότερο κοινά. Η πιθανότητα ενός γεγονότος είναι η αναλογία του αριθμού των πραγματικά ληφθέντων αποτελεσμάτων ενός τύπου προς τον συνολικό αριθμό των πιθανών. Μόνο γνωρίζοντας τον κλασικό ορισμό αυτής της έννοιας, μπορείτε να αρχίσετε να μελετάτε τη μαθηματική προσδοκία και τη διασπορά συνεχών τυχαίων μεταβλητών.

Μέση τιμή

Πίσω στο σχολείο, στα μαθήματα μαθηματικών, άρχισες να δουλεύεις με τον αριθμητικό μέσο όρο. Αυτή η έννοια χρησιμοποιείται ευρέως στη θεωρία πιθανοτήτων και επομένως δεν μπορεί να αγνοηθεί. Το κύριο πράγμα για εμάς αυτή τη στιγμή είναι ότι θα το συναντήσουμε στους τύπους για τη μαθηματική προσδοκία και διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής.

Έχουμε μια ακολουθία αριθμών και θέλουμε να βρούμε τον αριθμητικό μέσο όρο. Το μόνο που απαιτείται από εμάς είναι να αθροίσουμε όλα τα διαθέσιμα και να διαιρέσουμε με τον αριθμό των στοιχείων της ακολουθίας. Έστω ότι έχουμε αριθμούς από το 1 έως το 9. Το άθροισμα των στοιχείων θα είναι 45, και θα διαιρέσουμε αυτήν την τιμή με το 9. Απάντηση: - 5.

Διασπορά

Σε επιστημονικούς όρους, η διακύμανση είναι ο μέσος όρος του τετραγώνου των αποκλίσεων των τιμών που λαμβάνονται από τον αριθμητικό μέσο όρο. Το ένα συμβολίζεται με κεφαλαίο λατινικό γράμμα D. Τι χρειάζεται για τον υπολογισμό του; Για κάθε στοιχείο της ακολουθίας, υπολογίζουμε τη διαφορά μεταξύ του διαθέσιμου αριθμού και του αριθμητικού μέσου όρου και τον τετραγωνίζουμε. Θα υπάρξουν ακριβώς τόσες αξίες όσες μπορεί να υπάρξουν αποτελέσματα για το γεγονός που εξετάζουμε. Στη συνέχεια, συνοψίζουμε όλα όσα λάβαμε και διαιρούμε με τον αριθμό των στοιχείων της ακολουθίας. Αν έχουμε πέντε πιθανά αποτελέσματα, τότε διαιρέστε με πέντε.

Η διακύμανση έχει επίσης ιδιότητες που πρέπει να θυμάστε για να την εφαρμόσετε κατά την επίλυση προβλημάτων. Για παράδειγμα, εάν η τυχαία μεταβλητή αυξηθεί κατά Χ φορές, η διακύμανση αυξάνεται κατά Χ φορές το τετράγωνο (δηλαδή, X*X). Δεν είναι ποτέ μικρότερο από το μηδέν και δεν εξαρτάται από τη μετατόπιση τιμών κατά ίση τιμή προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Επίσης, για ανεξάρτητες δοκιμές, η διακύμανση του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων.

Τώρα πρέπει οπωσδήποτε να εξετάσουμε παραδείγματα της διακύμανσης μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής και της μαθηματικής προσδοκίας.

Ας υποθέσουμε ότι κάνουμε 21 πειράματα και έχουμε 7 διαφορετικά αποτελέσματα. Παρατηρήσαμε το καθένα από αυτά, αντίστοιχα, 1,2,2,3,4,4 και 5 φορές. Ποια θα είναι η διακύμανση;

Αρχικά, υπολογίζουμε τον αριθμητικό μέσο όρο: το άθροισμα των στοιχείων, φυσικά, είναι 21. Το διαιρούμε με το 7, παίρνοντας 3. Τώρα αφαιρούμε 3 από κάθε αριθμό της αρχικής ακολουθίας, τετραγωνίζουμε κάθε τιμή και προσθέτουμε τα αποτελέσματα μαζί . Αποδεικνύεται 12. Τώρα μένει να διαιρέσουμε τον αριθμό με τον αριθμό των στοιχείων και, όπως φαίνεται, αυτό είναι όλο. Υπάρχει όμως ένα πιάσιμο! Ας το συζητήσουμε.

Εξάρτηση από τον αριθμό των πειραμάτων

Αποδεικνύεται ότι κατά τον υπολογισμό της διακύμανσης, ο παρονομαστής μπορεί να είναι ένας από τους δύο αριθμούς: είτε N είτε N-1. Εδώ N είναι ο αριθμός των πειραμάτων που εκτελούνται ή ο αριθμός των στοιχείων στην ακολουθία (που είναι ουσιαστικά το ίδιο πράγμα). Από τι εξαρτάται;

Εάν ο αριθμός των δοκιμών μετρηθεί σε εκατοντάδες, τότε πρέπει να βάλουμε στον παρονομαστή το N. Αν σε μονάδες, τότε N-1. Οι επιστήμονες αποφάσισαν να σχεδιάσουν τα σύνορα αρκετά συμβολικά: σήμερα τρέχει κατά μήκος του αριθμού 30. Εάν πραγματοποιούσαμε λιγότερα από 30 πειράματα, τότε θα διαιρέσουμε το ποσό με το N-1 και αν περισσότερο, τότε με το N.

Εργο

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμά μας για την επίλυση του προβλήματος διακύμανσης και προσδοκιών. Πήραμε έναν ενδιάμεσο αριθμό 12, ο οποίος έπρεπε να διαιρεθεί με Ν ή Ν-1. Δεδομένου ότι πραγματοποιήσαμε 21 πειράματα, τα οποία είναι λιγότερα από 30, θα επιλέξουμε τη δεύτερη επιλογή. Άρα η απάντηση είναι: η διακύμανση είναι 12 / 2 = 2.

Αναμενόμενη αξία

Ας προχωρήσουμε στη δεύτερη έννοια, την οποία πρέπει να εξετάσουμε σε αυτό το άρθρο. Η μαθηματική προσδοκία είναι το αποτέλεσμα της πρόσθεσης όλων των πιθανών αποτελεσμάτων πολλαπλασιαζόμενη με τις αντίστοιχες πιθανότητες. Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι η τιμή που λαμβάνεται, καθώς και το αποτέλεσμα του υπολογισμού της διακύμανσης, λαμβάνεται μόνο μία φορά για ολόκληρη την εργασία, ανεξάρτητα από το πόσα αποτελέσματα λαμβάνονται υπόψη σε αυτήν.

Ο τύπος των μαθηματικών προσδοκιών είναι αρκετά απλός: παίρνουμε το αποτέλεσμα, το πολλαπλασιάζουμε με την πιθανότητα του, προσθέτουμε το ίδιο για το δεύτερο, το τρίτο αποτέλεσμα κ.λπ. Όλα όσα σχετίζονται με αυτήν την έννοια είναι εύκολο να υπολογιστούν. Για παράδειγμα, το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών είναι ίσο με τη μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος. Το ίδιο ισχύει και για το έργο. Δεν επιτρέπει κάθε ποσότητα στη θεωρία πιθανοτήτων να εκτελεστούν τέτοιες απλές πράξεις. Ας αναλάβουμε μια εργασία και ας υπολογίσουμε την αξία δύο εννοιών που μελετήσαμε ταυτόχρονα. Επιπλέον, μας αποσπούσε η θεωρία - ήρθε η ώρα να εξασκηθούμε.

Ένα ακόμη παράδειγμα

Πραγματοποιήσαμε 50 δοκιμές και πήραμε 10 είδη αποτελεσμάτων - αριθμούς 0 έως 9 - που εμφανίστηκαν σε διαφορετικά ποσοστά. Αυτά είναι, αντίστοιχα: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Θυμηθείτε ότι για να λάβετε τις πιθανότητες, πρέπει να διαιρέσετε τις ποσοστιαίες τιμές με το 100. Έτσι, παίρνουμε 0,02. 0,1 κ.λπ. Ας παρουσιάσουμε ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος της διακύμανσης μιας τυχαίας μεταβλητής και της μαθηματικής προσδοκίας.

Υπολογίζουμε τον αριθμητικό μέσο όρο χρησιμοποιώντας τον τύπο που θυμόμαστε από το δημοτικό: 50/10 = 5.

Τώρα ας μεταφράσουμε τις πιθανότητες στον αριθμό των αποτελεσμάτων "σε κομμάτια" για να είναι πιο βολικό να μετράμε. Παίρνουμε 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 και 9. Αφαιρούμε τον αριθμητικό μέσο όρο από κάθε τιμή που λαμβάνεται, μετά την οποία τετραγωνίζουμε καθένα από τα αποτελέσματα που προκύπτουν. Δείτε πώς να το κάνετε αυτό με το πρώτο στοιχείο ως παράδειγμα: 1 - 5 = (-4). Επιπλέον: (-4) * (-4) = 16. Για άλλες τιμές, κάντε αυτές τις πράξεις μόνοι σας. Εάν τα κάνατε όλα σωστά, τότε αφού τα προσθέσετε όλα θα έχετε 90.

Ας συνεχίσουμε τον υπολογισμό της διακύμανσης και του μέσου όρου διαιρώντας το 90 με το N. Γιατί επιλέγουμε N και όχι N-1; Σωστά, γιατί ο αριθμός των πειραμάτων που πραγματοποιήθηκαν ξεπερνά τα 30. Άρα: 90/10 = 9. Πήραμε τη διασπορά. Εάν λάβετε διαφορετικό αριθμό, μην απελπίζεστε. Πιθανότατα, κάνατε ένα κοινό λάθος στους υπολογισμούς. Ελέγξτε ξανά αυτό που γράψατε και σίγουρα όλα θα μπουν στη θέση τους.

Τέλος, ας θυμηθούμε τον τύπο της μαθηματικής προσδοκίας. Δεν θα δώσουμε όλους τους υπολογισμούς, θα γράψουμε μόνο την απάντηση με την οποία μπορείτε να ελέγξετε αφού ολοκληρώσετε όλες τις απαιτούμενες διαδικασίες. Η αναμενόμενη τιμή θα είναι 5,48. Θυμόμαστε μόνο πώς να πραγματοποιήσουμε λειτουργίες, χρησιμοποιώντας το παράδειγμα των πρώτων στοιχείων: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... και ούτω καθεξής. Όπως μπορείτε να δείτε, απλώς πολλαπλασιάζουμε την τιμή του αποτελέσματος με την πιθανότητα του.

Απόκλιση

Μια άλλη έννοια που σχετίζεται στενά με τη διασπορά και τη μαθηματική προσδοκία είναι η τυπική απόκλιση. Συμβολίζεται είτε με τα λατινικά γράμματα sd, είτε με το ελληνικό πεζό «σίγμα». Αυτή η ιδέα δείχνει πώς, κατά μέσο όρο, οι τιμές αποκλίνουν από το κεντρικό χαρακτηριστικό. Για να βρείτε την τιμή του, πρέπει να υπολογίσετε την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης.

Εάν σχεδιάσετε μια κανονική κατανομή και θέλετε να δείτε την τετραγωνική απόκλιση απευθείας πάνω της, αυτό μπορεί να γίνει σε πολλά βήματα. Πάρτε τη μισή εικόνα στα αριστερά ή στα δεξιά της λειτουργίας (κεντρική τιμή), σχεδιάστε μια κάθετη στον οριζόντιο άξονα έτσι ώστε οι περιοχές των σχημάτων που προκύπτουν να είναι ίσες. Η τιμή του τμήματος μεταξύ του μέσου της κατανομής και της προκύπτουσας προβολής στον οριζόντιο άξονα θα είναι η τυπική απόκλιση.

Λογισμικό

Όπως φαίνεται από τις περιγραφές των τύπων και τα παραδείγματα που παρουσιάζονται, ο υπολογισμός της διακύμανσης και των μαθηματικών προσδοκιών δεν είναι η ευκολότερη διαδικασία από αριθμητικής απόψεως. Για να μην χάνουμε χρόνο, είναι λογικό να χρησιμοποιήσετε το πρόγραμμα που χρησιμοποιείται στην τριτοβάθμια εκπαίδευση - ονομάζεται "R". Διαθέτει λειτουργίες που σας επιτρέπουν να υπολογίζετε τιμές για πολλές έννοιες από στατιστικές και θεωρία πιθανοτήτων.

Για παράδειγμα, ορίζετε ένα διάνυσμα τιμών. Αυτό γίνεται ως εξής: διάνυσμα<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Τελικά

Η διασπορά και η μαθηματική προσδοκία είναι χωρίς τις οποίες είναι δύσκολο να υπολογιστεί οτιδήποτε στο μέλλον. Στο κύριο μάθημα των διαλέξεων στα πανεπιστήμια, εξετάζονται ήδη από τους πρώτους μήνες της μελέτης του θέματος. Ακριβώς λόγω της έλλειψης κατανόησης αυτών των απλών εννοιών και της αδυναμίας υπολογισμού τους, πολλοί μαθητές αρχίζουν αμέσως να υστερούν στο πρόγραμμα και αργότερα να λαμβάνουν κακούς βαθμούς στη συνεδρία, γεγονός που τους στερεί υποτροφίες.

Εξασκηθείτε για τουλάχιστον μία εβδομάδα για μισή ώρα την ημέρα, λύνοντας εργασίες παρόμοιες με αυτές που παρουσιάζονται σε αυτό το άρθρο. Στη συνέχεια, σε οποιοδήποτε τεστ θεωρίας πιθανοτήτων, θα αντιμετωπίσετε παραδείγματα χωρίς ξένες συμβουλές και φύλλα εξαπάτησης.

Αναμενόμενη αξία

ΔιασποράΗ συνεχής τυχαία μεταβλητή X, οι πιθανές τιμές της οποίας ανήκουν σε ολόκληρο τον άξονα Ox, καθορίζεται από την ισότητα:

Ανάθεση υπηρεσίας. Η ηλεκτρονική αριθμομηχανή έχει σχεδιαστεί για να επιλύει προβλήματα στα οποία είτε πυκνότητα κατανομής f(x) , ή συνάρτηση κατανομής F(x) (βλ. παράδειγμα). Συνήθως σε τέτοιες εργασίες απαιτείται να βρεθεί μαθηματική προσδοκία, τυπική απόκλιση, σχεδιάστε τις συναρτήσεις f(x) και F(x).

Εντολή. Επιλέξτε τον τύπο των δεδομένων εισόδου: πυκνότητα κατανομής f(x) ή συνάρτηση κατανομής F(x) .

Η πυκνότητα κατανομής f(x) δίνεται:

Δίνεται η συνάρτηση κατανομής F(x):

Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή ορίζεται από μια πυκνότητα πιθανότητας
(Νόμος διανομής Rayleigh - χρησιμοποιείται στη ραδιομηχανική). Βρείτε M(x) , D(x) .

Καλείται η τυχαία μεταβλητή Χ συνεχής , αν η συνάρτηση κατανομής της F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Η συνάρτηση κατανομής μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων μιας τυχαίας μεταβλητής να εμπίπτει σε ένα δεδομένο διάστημα:
Ρ(α< X < β)=F(β) - F(α)
Επιπλέον, για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή, δεν έχει σημασία αν τα όριά της περιλαμβάνονται σε αυτό το διάστημα ή όχι:
Ρ(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Πυκνότητα κατανομής Η συνεχής τυχαία μεταβλητή ονομάζεται συνάρτηση
f(x)=F'(x) , παράγωγος της συνάρτησης κατανομής.

Ιδιότητες Πυκνότητας Κατανομής

1. Η πυκνότητα κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής είναι μη αρνητική (f(x) ≥ 0) για όλες τις τιμές του x.
2. Συνθήκη κανονικοποίησης:

Η γεωμετρική έννοια της συνθήκης κανονικοποίησης: η περιοχή κάτω από την καμπύλη πυκνότητας κατανομής είναι ίση με ένα.
3. Η πιθανότητα να χτυπηθεί μια τυχαία μεταβλητή Χ στο διάστημα από α έως β μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο

Γεωμετρικά, η πιθανότητα μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X να πέσει στο διάστημα (α, β) είναι ίση με την περιοχή του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς κάτω από την καμπύλη πυκνότητας κατανομής με βάση αυτό το διάστημα.
4. Η συνάρτηση κατανομής εκφράζεται ως προς την πυκνότητα ως εξής:

Η τιμή της πυκνότητας κατανομής στο σημείο x δεν είναι ίση με την πιθανότητα να ληφθεί αυτή η τιμή· για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή, μπορούμε να μιλήσουμε μόνο για την πιθανότητα πτώσης σε ένα δεδομένο διάστημα. Ας είναι )