В інженерних та інженерно-будівельних науках (опір матеріалів, будівельна механіка, теорія міцності), під балкою розуміється елемент несучої конструкції, що сприймається переважно на згинальні навантаження, і має різні форми поперечного перерізу.

Звичайно, в реальному будівництві, балкові конструкції піддаються й іншим видам навантаження (вітровому навантаженню, вібрації, знакозмінному навантаженню), проте основний розрахунок горизонтальних, багатоопертих і жорстко закріплених балок проводиться на дію або поперечного, або приведеного до неї еквівалентного навантаження.

Розрахункова схема розглядає балку як жорстко закріплений стрижень або як стрижень, встановлений на двох опорах. За наявності 3 і більше опор стрижнева система вважається статично невизначеною і розрахунок на прогин як всієї конструкції, так і її окремих елементів значно ускладнюється.

При цьому основне навантаження розглядається як сума сил, що діє в напрямку перпендикулярного перерізу. Метою розрахунку на прогин є визначення максимального прогину (деформації) який не повинен перевищувати граничних значень та характеризує жорсткість як окремого елемента (так і всієї пов'язаної з нею) будівельної конструкції.

Основні положення розрахункових методик

Сучасні будівельні методики розрахунку стрижневих (балкових) конструкцій на міцність і жорсткість, дають можливість вже на стадії проектування визначити значення прогину та зробити висновок про можливість експлуатації будівельної конструкції.

Розрахунок на жорсткість дозволяє вирішити питання про найбільші деформації, які можуть виникнути у будівельній конструкції при комплексній дії різного видунавантажень.

Сучасні методи розрахунку, які проводяться з використанням спеціалізованих розрахунків на електронно-обчислювальних машинах, або виконуються за допомогою калькулятора, дозволяють визначити жорсткість та міцність об'єкта досліджень.

Незважаючи на формалізацію розрахункових методик, що передбачають використання емпіричних формул, а дія реальних навантажень враховується запровадженням поправочних коефіцієнтів (коефіцієнти запасу міцності), комплексний розрахунок досить повно та адекватно оцінює експлуатаційну надійність зведеної споруди або виготовленого елемента будь-якої машини.

Незважаючи на окремість міцності розрахунків та визначення жорсткості конструкції, обидві методики взаємопов'язані, а поняття «жорсткість» та «міцність» нероздільні. Однак, у деталях машин, основна руйнація об'єкта відбувається через втрату міцності, в той час як об'єкти будівельної механіки часто непридатні для подальшої експлуатації із значних пластичних деформацій, які свідчать про низьку жорсткість елементів конструкції або об'єкта в цілому.

Сьогодні, в дисциплінах «Опір матеріалів», «Будівельна механіка» та «Деталі машин», прийнято два методи розрахунку на міцність та жорсткість:

1. Спрощений(формальний), під час проведення якого у розрахунках застосовуються укрупнені коефіцієнти.
2. Уточнений, де використовуються як коефіцієнти запасу міцності, а й виробляється розрахунок контракції по граничним станам.

Алгоритм розрахунку жорсткість

Формула визначення міцності балки на вигин

• M- максимальний момент, що виникає в балці (перебуває по епюрі моментів);
• W n , min- момент опору перерізу (перебуває по таблиці або обчислюється для даного профілю), у перерізу зазвичай 2-а моменту опору перерізу, у розрахунках використовується Wx, якщо навантаження перпендикулярне осі х-хпрофілю або Wy, якщо навантаження перпендикулярне до осі y-y;
• R y- Розрахунковий опір сталі при вигині (задається відповідно до вибору сталі);
• γ c- Коефіцієнт умов роботи (даний коефіцієнт можна знайти в таблиці 1 СП 16.13330.2011;

Алгоритм розрахунку жорсткість (визначення величини прогину) досить формалізований і не становить труднощів для оволодіння.

Для того, щоб визначити прогин балки, необхідно в наведеній нижче послідовності виконати наступні дії:

1. Скласти розрахункову схемуоб'єкти досліджень.
2. Визначити розмірні характеристикибалки та розрахункових перерізів.
3. Розрахувати максимальне навантаження, що діє на балку, визначивши точку її застосування.
4. За потреби, балка (у розрахунковій схемі вона заміняться невагомим стрижнем) додатково перевіряється на міцність за максимальним згинальним моментом.
5. Визначається значення максимального прогинущо характеризує жорсткість балки.

Для складання розрахункової схеми балки необхідно знати:

1. Геометричні розміри балки, включаючи проліт між опорами, а за наявності консолей – їхню довжину.
2. Геометричну формута розміри поперечного перерізу.
3. Характер навантаженнята точки їх застосування.
4. Матеріал балкита його фізико-механічні характеристики.

При найпростішому розрахунку двоопорних балок одна опора вважається жорсткою, а друга закріплена шарнірно.

Визначення моментів інерції та опору перерізу

До геометричних характеристик, які необхідні при виконанні розрахунків на міцність та жорсткість, відноситься момент інерції перерізу (J) та момент опору (W). Для обчислення їхньої величини існують спеціальні розрахункові формули.

Формула моменту опору перерізу

При визначенні моментів інерції та опору необхідно звертати увагу на орієнтацію перерізу в площині розрізу. Зі збільшенням моменту інерції жорсткість балки збільшується, а прогин зменшується. Це легко перевірити на практиці, намагаючись зігнути дошку у звичайному, «лежачому» положенні та поставивши її на ребро.

Визначення максимального навантаження та прогину

Формула визначення прогину

• q- рівномірно-розподілене навантаження, виражене в кг/м (Н/м);
• l- Довжина балки в метрах;
• E- модуль пружності (для сталі дорівнює 200-210 гПа);
• I- Момент інерції перерізу.

При визначенні максимального навантаження необхідно враховувати досить значну кількість факторів, що діють як постійно (статичні навантаження), так і періодично (вітрове, вібраційне ударне навантаження).

У одноповерховому будинку, на дерев'яний брусстельового перекриття діятимуть постійні вагові зусилля від власної ваги, розташованих на другому поверсі простінків, меблів, мешканців і так далі.

Особливості розрахунку на прогин

Звичайно, розрахунок елементів перекриттів на прогин проводиться для всіх випадків і є обов'язковим за наявності значного рівня зовнішніх навантажень.

Сьогодні всі обчислення величини прогину досить формалізовані і всі складні реальні навантаження зведені до наступних простих розрахункових схем:

1. Стрижень, що спирається на нерухому та шарнірно закріплену опори, що сприймає зосереджену навантаження (випадок розглянуто вище).
2. Стрижень, що спирається на нерухому та шарнірно закріплену на який діє розподілене навантаження.
3. Різні варіанти навантаженняжорстко закріпаченого консольного стрижня.
4. Дія на розрахунковий об'єкт складного навантаження– розподіленої, зосередженої, згинального моменту.

При цьому, методика та алгоритм розрахунку не залежать від матеріалу виготовлення, характеристики міцності якого враховані різними значеннями модуля пружності.

Найбільш поширеною помилкою зазвичай є недооблік одиниць виміру. Наприклад, силові чинники в розрахункові формули підставляються в кілограмах, а величина модуля пружності приймається системою «СІ», де немає поняття «кілограм сили», проте зусилля вимірюються в ньютонах чи килоньютонах.

Різновиди балок, що застосовуються у будівництві

Сучасна будіндустрія при зведенні споруд промислового та житлового призначення, практикує використання стрижневих системрізного перерізу, форми та довжини, виготовлених з різних матеріалів.

Найбільшого поширення набули сталеві та дерев'яні вироби. Залежно від використовуваного матеріалу визначення значення прогину має свої нюанси, пов'язані зі структурою і однорідністю матеріалу.

Дерев'яні

Сучасне малоповерхове будівництво індивідуальних будинків та заміських котеджів практикує широке використання лаг, виготовлених із хвойних та твердих порід деревини.

В основному, дерев'яні вироби, що працюють на вигин, застосовуються для облаштування підлогових та стельових перекриттів. Саме ці елементи конструкції зазнають найбільшої дії поперечних навантажень, що волають найбільший прогин.

Стріла прогину дерев'яної лаги залежить:

1. Від матеріалу(Породи деревини), який використовувався при виготовленні балки.
2. Від геометричних характеристик та форми опікуваного перерізу розрахункового об'єкта
3. Від сукупної діїрізного виду навантажень.

Критерій допустимості прогину балки враховує два фактори:

1. Відповідність реального прогинугранично допустимим значенням.
2. Можливість експлуатації конструкціїза наявності розрахункового прогину.

Сталеві

Мають складніший переріз, який може бути складовим, виконаним з декількох видів металевого прокату. При розрахунку металоконструкцій, крім визначення жорсткості самого об'єкта його елементів, часто виникає необхідність визначення характеристик міцності сполук.

Зазвичай з'єднання окремих елементів сталевої металоконструкції проводиться:

1. Шляхом застосування різьбових(шпилькових, болтових та гвинтових) з'єднань.
2. З'єднання заклепками.

Вигином називається деформація, пов'язана з викривленням осі бруса (або зміною його кривизни).Прямий брус, що сприймає в основному згинальне навантаження, називається балкою.У загальному випадку при згинанні в поперечних перерізах балки мають місце два внутрішніх силових фактори: сила, що перерізує Qі згинальний момент. Якщо в поперечних перерізах балки діє лише один силовий фактор, а, то вигин називається чистим.Якщо в поперечному перерізі балки діють згинальний момент та поперечна сила, то вигин називається поперечним.

Згинальний моменти поперечна сила Qвизначаються методом перерізів. У довільному поперечному перерізі бруса величина Qчисельно дорівнює сумі алгебри проекцій на вертикальну вісь всіх зовнішніх (активних і реактивних) сил прикладених до відсіченої частини; згинальний момент у довільному поперечному перерізі бруса чисельно дорівнює алгебраїчній сумі моменто всіх зовнішніх сил і пар сил, розташованих по одну сторону від перерізу.

Для системи координат (наказано) на рис. 2.25, згинальний момент від навантажень, розташованих у площині хОу,діє щодо осі г,а сила, що перерізує, - у напрямку осі у.Тому позначимо силу, що перерізує , згинальний момент

Якщо поперечне навантаження діє так, що її площина збігається з площиною, що містить одну з головних центральних осей інерції перерізів, вигин називається прямим.

Для вигину характерні два види переміщень:

• викривлення поздовжньої осі бруса Ох,відповідне переміщення точок осі бруса в напрямку Оу,
• поворот у просторі одного поперечного перерізу щодо іншого, тобто. поворот перерізу щодо осі гу площині XОу.

Рис. 2.25

Диференціальні та інтегральні залежності при згинанні

Нехай на балку діє безперервне розподілене навантаження q(x)(Рис. 2.26, а).Двома поперечними перерізами т-ті п–пвиділимо ділянку балки завдовжки dx.Вважаємо, що на цій ділянці д(х) = const через небагато довжини ділянки.

Внутрішні силові фактори, що діють у перерізі п-п,отримують деяке приріст і дорівнюють. Розглянемо рівновагу елемента (рис. 2.26, б):

а) , звідси

Рис. 2.26

Член можна опустити, оскільки він має другий порядок дещиці в порівнянні з іншими. Тоді

Підставляючи рівність (2.69) у вираз (2.68), отримуємо

Вирази (2.68)-(2.70) називаються диференціальними залежностями при згинанні балки. Вони справедливі лише для балок із спочатку прямолінійною поздовжньою віссю.

Правило знаків для і має умовний характер:

Графічно зображуються у вигляді епюр. Позитивні значення відкладаються вгору від осі бруса, негативні вниз.

Рис. 2.27

Нормальна напруга при чистому згині балки

Розглянемо модель чистого вигину (рис. 2.28, а, б).Після закінчення процесу навантаження поздовжня вісь балки Xвикривиться, а її поперечні перерізи повернуться щодо свого первісного положення на кут/О. Для з'ясування закону розподілу нормальних напруг по поперечному перерізу балки приймемо такі припущення:

• при чистому прямому вигині сиру ведлива гіпотеза плоских перерізів: поперечні перерізи бруса, плоскі та нормальні до його осі до деформації, залишаються плоскими та нормальними до його осі під час та після деформації;
• волокна бруса при його деформації не натискають один на одного;
• матеріал працює у межах пружності.

Внаслідок деформації вигину вісь хвикривиться і перетин повернеться щодо умовно защемленого перетину на кут. Визначимо поздовжню деформаціюдовільного волокна АВ,розташованого на відстані увід поздовжньої осі (див. рис. 2.28, а).

Нехай – радіус кривизни осі бруса (див. мал. 2.28, б).Абсолютне подовження волокна АВодно. Відносне подовження цього волокна

Так як згідно з припущенням волокна один на одного не натискають, то вони знаходяться в стані одновісного розтягування або стиснення. Використовуючи закон Гука, отримаємо залежність зміни напруги по поперечному перерізу батки:

Величинапостійна для даного перерізу, тому змінюється по висоті перерізу залежно від координа-

Рис. 2.28

Рис. 2.29

ти у.При згинанні частина волокон бруса розтягується, частина – стискається. Кордоном між областями розтягування та стиснення є шар волокон, який лише викривляється, не змінюючи своєї довжини. Цей шар називається нейтральним.

Напруги σ* в нейтральному шарі повинні дорівнювати нулю, відповідно Цей результат випливає з виразу (2.71) при. Розглянемо висловлювання дляОскільки при чистому вигині поздовжня силадорівнює нулю, то запишемо: (рис. 2.29), а оскільки ", то, тобто. Звідси випливає, що вісь Οζ є центральною. Ця вісь у поперечному перерізі називається нейтральною лінією. Для чистого прямого вигину Тоді

Оскільки , то

Звідси випливає, що осі Οζ і Оуперерізи не лише центральними, а й головними осями інерції. Це припущення робилося вище щодо поняття " прямий вигин " . Підставивши у вираз для згинального моменту значення з виразу (2.71), отримаємо

Або , (2.72)

де - момент інерції щодо головної центральної осі перерізу Οζ.

Підставляючи рівність (2.72) у вираз (2.71), отримуємо

Вираз (2.73) визначає закон зміни напруги за перерізом. Видно, що змінюється не за координатою 2 (тобто по ширині перерізу нормальні напруги постійні), а по висоті перерізу залежно від координати у

Рис. 2. 30

(Рис. 2.30). Значення виникають у волокнах, найвіддаленіших від нейтральної лінії, тобто. при . Тоді. Позначивши , отримаємо

де - момент опору перерізу вигину.

Скориставшись формулами для основних центральних моментів інерції основних геометричних форм перерізів, отримаємо такі вирази для:

Прямокутний переріз: , де - сторона, паралельна осі г; h –висота прямокутника. Так як вісь г проходить по середині висоти прямокутника, то

Тоді момент опору прямокутника

При побудові епюри згинальних моментівМ у будівельниківприйнято: ординати, які виражають у певному масштабі позитивнізначення згинальних моментів, відкладати з боку розтягнутихволокон, тобто. - вниз, а негативні - вгорувід осі балки. Тому кажуть, що будівельники будують епюри на розтягнутих волокнах. У механіківпозитивні значення і поперечної сили та згинального моменту відкладаються вгору.Механіки будують епюри на стислихволокнах.

Головні напруження при згинанні. Еквівалентна напруга.

У випадку прямого вигину в поперечних перерізах балки виникають нормальніі дотичнінапруги. Ці напруги змінюються як у довжині, і по висоті балки.

Таким чином, у разі вигину має місце плоский напружений стан.

Розглянемо схему, де балка навантажена силою Р

Найбільші нормальнінапруги виникають у крайніх,найбільш віддалених від нейтральної лінії точках, а дотичні напруги у них відсутні.Таким чином, для крайніхволокон ненульовими головними напругами є нормальні напругиу поперечному перерізі.

На рівні нейтральної лініїу поперечному перерізі балки виникають найбільші дотичні напруги,а нормальні напруги дорівнюють нулю. отже, у волокнах нейтральногошару Основні напруги визначаються значеннями дотичних напруг.

У цій розрахунковій схемі верхні волокна балки будуть розтягнуті, а нижні – стиснуті. Для визначення головної напруги використовуємо відомий вираз:

Повний аналіз напруженого станупредставимо на малюнку.

Аналіз напруженого стану при згинанні

Найбільша напруга σ 1знаходиться на верхніхкрайніх волокнах та одно нулю на нижніх крайніх волокнах. Головна напруга σ 3має найбільше за абсолютною величиною значення нижніх волокнах.

Траєкторія головних напругзалежить від типу навантаженняі способу закріплення балки.

При вирішенні завдань достатньо окремоперевірити нормальніі окремо дотичні напруги.Однак іноді найбільш напруженимивиявляються проміжніволокна, в яких є і нормальні, і дотичні напруги. Це відбувається у перерізах, де одночасно і згинальний момент, і поперечна сила досягають великих значень - це може бути в закладенні консольної балки, на опорі балки з консоллю, в перерізах під зосередженою силою або в перерізах з різко мінливою шириною. Наприклад, у двотавровому перерізі найбільш небезпечні місця примикання стінки до полиці- там є значні та нормальні, і дотичні напруження.

Матеріал знаходиться в умовах плоского напруженого стану і потрібний перевірка за еквівалентною напругою.

Умови міцності балок із пластичних матеріалівпо третьою(Теорії найбільших дотичних напруг) і четвертою(Теорія енергії формозмін) теоріям міцності.

Як правило, в прокатних балках еквівалентна напруга не перевищує нормальних напруг у крайніх волокнах і спеціальної перевірки не потрібно. Інша справа - складові металеві балки, в яких стінка тонша, ніж у прокатних профілів за тієї ж висоти. Найчастіше застосовуються зварні складові балки із сталевих листів. Розрахунок подібних балок на міцність: а) підбір перерізу - висоти, товщини, ширини та товщини поясів балки; б) перевірка міцності за нормальними і дотичними напругами; в) перевірка міцності за еквівалентними напругами.

Визначення дотичних напруг у двотавровому перерізі. Розглянемо перетин двотавра. S x = 96,9 см 3; Yх = 2030 см 4; Q=200 кН

Для визначення дотичної напруги застосовується формуладе Q - поперечна сила в перерізі, S x 0 - статичний момент частини поперечного перерізу, розташованої по один бік від шару, в якому визначаються дотичні напруги, I x - момент інерції всього поперечного перерізу, b - ширина перерізу в тому місці, де визначається дотична напруга

Обчислимо максимальнедотична напруга:

Обчислимо статичний момент для верхньої полиці:

Тепер обчислимо дотичні напруги:

Будуємо епюру дотичних напруг:

Розглянемо переріз стандартного профілю у вигляді двотавраі визначимо дотичні напруги, що діють паралельно поперечній силі:

Розрахуємо статичні моментипростих фігур:

Цю величину можна обчислити та інакше, Використовуючи ту обставину, що для двотаврового та коритного перерізу в даний статичний момент половини перерізу. Для цього необхідно відняти від відомої величини статичного моменту величину статичного моменту до лінії А 1 В 1:

Дотичні напруги в місці примикання полиці до стінки змінюються стрибкоподібно, так як різкозмінюється товщина стінки від t стдо b.

Епюри дотичних напруг у стінках коритного, порожнистого прямокутного та інших перерізів мають той самий вигляд, що й у разі двотаврового перерізу. У формулу входить статичний момент заштрихованої частини перерізу щодо осі Х, а в знаменнику ширина перерізу (нетто) у тому шарі, де визначається дотична напруга.

Визначимо дотичні напруги для круглого перерізу.

Так як у контуру перерізу дотичні напруги повинні бути спрямовані по дотичній до контуру,то в точках Аі Ув кінці якої-небудь паралельної діаметру хорді АВ,дотичні напруги спрямовані перпендикулярно радіусам ОАі ВВ.Отже, напрямкидотичних напруг у точках А, В, Ксходяться в деякій точці Нна осі Y.

Статичний момент відсіченої частини:

Тобто дотичні напруження змінюються по параболічномузакону і будуть максимальні на рівні нейтральної лінії, коли у 0 = 0

Формула для визначення дотичних напруг (формула)

Розглянемо прямокутний перетин

На відстані у 0від центральної осі проведемо перетин 1-1і визначимо дотичні напруги. Статичний момент площівідсіченої частини:

Слід пам'ятати, що важливо байдужебрати статичний момент площі заштрихованої чи решти частинипоперечного перерізу. Обидва статичні моменти рівні та протилежні за знакомтому їх сума,яка представляє статичний момент площі всього перерізущодо нейтральної лінії, а саме центральної осі х, дорівнюватиме нулю.

Момент інерції прямокутного перерізу:

Тоді дотичні напругиза формулою

Змінна у 0 входить у формулу другийступеня, тобто. дотичні напруги в прямокутному перерізі змінюються по закону квадратної параболи.

Дотичні напруги досягнуто максимумулише на рівні нейтральної лінії, тобто. коли у 0 = 0:

, де А-площа всього перерізу.

Умова міцності за дотичною напругоюмає вигляд:

, де S x 0- Статичний момент частини поперечного перерізу, розташованої по один бік від шару, в якому визначаються дотичні напруги, I x- момент інерції всього поперечного перерізу, b- Ширина перерізу в тому місці, де визначається дотична напруга, Q-поперечна сила, τ - дотична напруга, [τ] - Допускна дотична напруга.

Ця умова міцності дозволяє виробляти тривиду розрахунку (три типи завдань при розрахунку на міцність):

1. Перевірочний розрахунок або перевірка міцності щодо дотичних напруг:

2. Підбір ширини перерізу (для прямокутного перерізу):

3.Визначення допустимої поперечної сили (для прямокутного перерізу):

Для визначення дотичнихнапруг розглянемо балку, навантажену силами.

Завдання визначення напруг завжди статично невизначената вимагає залучення геометричнихі фізичнихрівнянь. Однак можна прийняти такі гіпотези про характер розподілу напруг, що завдання стане статично визначимою.

Двома нескінченно близькими поперечними перерізами 1-1 та 2-2 виділимо елемент dz,зобразимо його у великому масштабі, потім проведемо поздовжній переріз 3-3.

У перерізах 1–1 та 2–2 виникають нормальні σ 1 , σ 2 напруги, Які визначаються за відомими формулами:

де М - згинальний моменту поперечному перерізі, dМ - збільшеннязгинального моменту на довжині dz

Поперечна силау перерізах 1–1 та 2–2 спрямована вздовж головної центральної осі Y і, очевидно, представляє суму вертикальних складових внутрішніх дотичних напруг, розподілених за перерізом. У опорі матеріалів зазвичай приймається припущення про рівномірне їх розподіл за шириною перерізу.

Для визначення величини дотичних напруг у будь-якій точці поперечного перерізу, розташованого на відстані у 0від нейтральної осі Х, проведемо через цю точку площину, паралельну до нейтрального шару (3-3), і винесемо відсічений елемент. Визначатимемо напругу, що діє по майданчику АВСД.

Спроектуємо всі сили на вісь Z

Рівнодія внутрішніх поздовжніх сил по правій грані дорівнюватиме:

де А 0 – площа фасадної грані, S x 0 – статичний момент відсіченої частини щодо осі Х. Аналогічно на лівій грані:

Обидві рівнодіючі спрямовані назустріч один одному, оскільки елемент знаходиться в стиснутоюзоні балки. Їхня різниця врівноважується дотичними силами на нижній грані 3-3.

Припустимо, що дотичні напруги τрозподілені за шириною поперечного перерізу балки b рівномірно. Таке припущення тим ймовірніше, що менше ширина проти висотою перерізу. Тоді рівнодіюча дотичних сил dTдорівнює значенню напруг, помноженому на площу грані:

Складемо тепер рівняння рівноваги Σz=0:

або, звідки

Згадаймо диференціальні залежностізгідно з якими Тоді отримуємо формулу:

Ця формула отримала назву формули. Ця формула отримана 1855 р. Тут S x 0 - статичний момент частини поперечного перерізу,розташованої по одну сторону від шару, в якому визначаються дотичні напруги, I x – момент інерціївсього поперечного перерізу, b – ширина перерізутам, де визначається дотична напруга, Q-поперечна силау перерізі.

- Умова міцності при вигині,де

- максимальний момент (по модулю) з епюри згинальних моментів; - осьовий момент опору перерізу, геометрична характеристика; - допустима напруга (σ adm)

- максимальна нормальна напруга.

Якщо розрахунок ведеться за методом граничних станів,то в розрахунок замість напруги, що допускається, вводиться розрахунковий опір матеріалу R.

Типи розрахунків на міцність при згинанні

1. Перевірочнийрозрахунок або перевірка міцності за нормальними напругами

2. Проектнийрозрахунок або підбір перерізу

3. Визначення допустимоїнавантаження (визначення вантажопідйомністьта або експлуатаційної несучоюможливості)

При виведенні формули для обчислення нормальних напруг розглянемо такий випадок вигину, коли внутрішні сили в перерізах балки наводяться лише до згинальний момент, а поперечна сила виявляється рівною нулю. Цей випадок вигину зветься чистого вигину. Розглянемо середню ділянку балки, що піддається чистому вигину.

У навантаженому стані балка прогинається так, що її нижні волокна подовжуються, а верхні коротшають.

Оскільки частина волокон балки розтягується, частина стискається, причому перехід від розтягнення до стиску відбувається плавно, без стрибків, в середньоїчастини балки знаходиться шар, волокна якого тільки викривляються, але не відчувають ні розтягування, ні стискування.Такий шар називають нейтральнимшаром. Лінія, якою нейтральний шар перетинається з поперечним перерізом балки, називається нейтральною лінієюабо нейтральною віссюперерізу. Нейтральні лінії нанизані на вісь балки. Нейтральна лінія- це лінія, в якій нормальні напруги дорівнюють нулю.

Лінії, проведені на бічній поверхні балки перпендикулярно до осі, залишаються плоскимипри згинанні. Ці дослідні дані дозволяють покласти в основу висновків формул гіпотезу плоских перерізів (гіпотеза). Згідно з цією гіпотезою перерізу балки плоскі та перпендикулярні до її осі до вигину, залишаються плоскими і виявляються перпендикулярними до вигнутої осі балки при її вигині.

Допущення для виведення формул нормальної напруги: 1) Виконується гіпотеза плоских перерізів. 2) Поздовжні волокна один на одного не тиснуть (гіпотеза про ненатискання) і, отже, кожне з волокон знаходиться в стані одновісного розтягування або стиснення. 3) Деформації волокон не залежить від їх положення за шириною перерізу. Отже, і нормальні напруження, змінюючись по висоті перерізу, залишаються по ширині однаковими. 4) Балка має хоча б одну площину симетрії, і всі зовнішні сили лежать у цій площині. 5) Матеріал балки підпорядковується закону Гука, причому модуль пружності при розтягуванні та стисканні однаковий. 6) Співвідношення між розмірами балки такі, що вона працює в умовах плоского вигинубез жолоблення або скручування.

Розглянемо балку довільного перерізу, але має вісь симетрії. Згинальний моментявляє собою результуючий момент внутрішніх нормальних сил, що виникають на нескінченно малих майданчиках і можуть бути виражені в інтегральномувигляді: (1), де y - плече елементарної сили щодо осі х

Формула (1) висловлює статичнубік задачі про згин прямого бруса, але по ній за відомим згинальним моментом не можна визначити нормальні напруги, доки встановлено закон їх розподілу.

Виділимо на середній ділянці балки та розглянемо ділянку довжиною dz,що піддається вигину. Зобразимо його у укрупненому масштабі.

Перерізи, що обмежують ділянку dz, паралельні один одному до деформації, а після застосування навантаження обернуться навколо своїх нейтральних ліній на кут . Довжина відрізка волокон нейтрального шару при цьому не змінитьсяі дорівнюватиме: , де це радіус кривизнивигнутої осі балки. А ось будь-яке інше волокно, що лежить нижче або вищенейтрального шару, змінить свою довжину. Обчислимо відносне подовження волокон, що від нейтрального шару з відривом у.Відносне подовження - це відношення абсолютної деформації до початкової довжини, тоді:

Скоротимо на і наведемо подібні члени, тоді отримаємо: (2) Ця формула висловлює геометричнубік завдання про чистий вигин: деформації волокон прямо пропорційні їх відстані до нейтрального шару.

Тепер перейдемо до напруженням, тобто. будемо розглядати фізичнубік завдання. відповідно до припущенням про ненатисканняволокон використовуємо при осьовому розтягуванні-стисканні:, тоді з урахуванням формули (2) маємо (3), тобто. нормальні напруженняпри вигині за висотою перерізу розподіляються за лінійним законом. На крайніх волокнах нормальні напруги досягають максимального значення, а центрі тяжкості перерізу дорівнюють нулю. Підставимо (3) у рівняння (1) і винесемо за знак інтеграла дріб як постійну величину, тоді маємо . Але вираз – це осьовий момент інерції перерізу щодо осі х - I х. Його розмірність см 4 , м 4

Тоді звідки (4) ,де - це кривизна вигнутої осі балки, а - жорсткість перерізу балки при згинанні.

Підставимо отриманий вираз кривизни (4)на вираз (3) і отримаємо формулу для обчислення нормальних напруг у будь-якій точці поперечного перерізу: (5)

Т.о. максимальнінапруги виникають у точках, найбільш віддалених від нейтральної лінії.Ставлення (6) називають осьовим моментом опору перерізу. Його розмірність см 3 , м 3. Момент опору характеризує вплив форми та розмірів поперечного перерізу на величину напруги.

Тоді максимальна напруга: (7)

Умова міцності при згинанні: (8)

При поперечному згині діють не тільки нормальні, а й дотичні напруги,т.к. є поперечна сила. Дотичні напруження ускладнюють картину деформування, вони призводять до викривленняпоперечних перерізів балки, внаслідок чого порушується гіпотеза плоских перерізів. Однак дослідження показують, що спотворення, які привносять дотичні напруги, незначновпливають на нормальні напруги, підраховані за формулою (5) . Таким чином, при визначенні нормальних напруг у разі поперечного вигину теорія чистого вигину цілком застосовна.

нейтральна лінія. Питання про становище нейтральної лінії.

При згинанні відсутня поздовжня сила, тому можна записати Підставимо сюди формулу нормальних напруг (3) і отримаємо Так як модуль поздовжньої пружності матеріалу балки не дорівнює нулю і вигнута вісь балки має кінцевий радіус кривизни, залишається покласти, що цей інтеграл є статичний момент площіпоперечного перерізу балки щодо нейтральної лінії-осі х , і, оскільки він дорівнює нулю, то нейтральна лінія проходить через центр тяжкості перерізу.

Умова (відсутність моменту внутрішніх сил щодо силової лінії) дасть або з урахуванням (3) . З тих самих міркувань (див. вище) . У підінтегральному вираженні - відцентровий момент інерції перерізу щодо осей х і у дорівнює нулю, отже, ці осі є головними та центральнимиі становлять прямийкут. Отже, силова і нейтральна лінії при прямому згині взаємно перпендикулярні.

Встановивши положення нейтральної лінії, нескладно збудувати епюру нормальних напругза висотою перерізу. Її лінійнийхарактер визначається рівнянням першого ступеня.

Характер епюри для симетричних перерізів щодо нейтральної лінії, М<0

При прямому чистому згинанні бруса в його поперечних перерізах виникають тільки нормальні напруги. Коли величина згинального моменту М у перерізі стрижня менша за деяке значення, епюра, що характеризує розподіл нормальних напруг уздовж осі у поперечного перерізу, перпендикулярної нейтральної осі (рис. 11.17, а), має вигляд, показаний на рис. 11.17, б. Найбільші напруги при цьому рівні У міру збільшення згинального моменту М нормальні напруги зростають, поки найбільші їх значення (у волокнах, найбільш віддалених від нейтральної осі) стають рівними межі плинності (рис. 11.17, в); при цьому згинальний момент дорівнює небезпечному значенню:

При збільшенні згинального моменту понад небезпечне значення напруги, рівні межі плинності виникають у волокнах, найбільш віддалених від нейтральної осі, а й у певній зоні поперечного перерізу (рис. 11.17, р); у цій зоні матеріал знаходиться у пластичному стані. У середній частині перерізу напруги менше межі плинності, т. е. матеріал у цій частині перебуває ще пружному стані.

При подальшому збільшенні згинального моменту пластична зона поширюється у бік нейтральної осі, а розміри пружної зони зменшуються.

При деякому граничному значенні згинального моменту, що відповідає повному вичерпанню несучої здатностіперерізу стрижня на вигин, пружна зона зникає, а зона пластичного стану займає всю площу поперечного перерізу (рис. 11.17, д). При цьому у перерізі утворюється так званий пластичний шарнір (або шарнір плинності).

На відміну від ідеального шарніра, який не сприймає моменту, у пластичному шарнірі діє постійний момент. Пластичний шарнір є одностороннім: він зникає при дії на стрижень моментів зворотного (по відношенню до) знака або при розвантаженні балки.

Для визначення величини граничного згинального моменту виділимо в частині поперечного перерізу балки, розташованої над нейтральною віссю, елементарну площа віддалену на відстані від нейтральної осі, а в частині, розташованій під нейтральною віссю, - майданчик віддалений на відстані від нейтральної осі (рис. 11.1). ).

Елементарна нормальна сила, що діє на майданчик у граничному стані, дорівнює а її момент щодо нейтральної осі дорівнює аналогічно момент нормальної сили, що діє на майданчик дорівнює Обидва ці моменти мають однакові знаки. Величина граничного моменту дорівнює моменту всіх елементарних сил щодо нейтральної осі:

де - статичні моменти відповідно верхньої та нижньої частин поперечного перерізу щодо нейтральної осі.

Суму називають осьовим пластичним моментом опору та позначають

(10.17)

Отже,

(11.17)

Поздовжня сила в поперечному перерізі при згині дорівнює нулю, тому площа стиснутої зони перерізу дорівнює площі розтягнутої зони. Таким чином, нейтральна вісь у перерізі, що збігається з пластичним шарніром, ділить цей поперечний переріз на дві рівновеликі частини. Отже, при несиметричному поперечному перерізі нейтральна вісь не проходить у граничному стані через центр тяжкості перерізу.

Визначимо за формулою (11.17) величину граничного моменту для стрижня прямокутного перерізу заввишки h і шириною b:

Небезпечне значення моменту у якому епюра нормальних напруг має вигляд, зображений на рис. 11.17 в для прямокутного перерізу визначається за формулою

Ставлення

Для круглого перерізу відношення а для двотаврового

Якщо брус, що згинається, є статично визначальним, то після зняття навантаження, що викликало в ньому момент згинальний момент в його поперечному перерізі дорівнює нулю. Незважаючи на це, нормальні напруження у поперечному перерізі не зникають. На епюру нормальних напруг у пластичній стадії (рис. 11.17, е) накладається епюра напруг у пружній стадії (рис. 11.17, е), аналогічна епюрі, зображеній на рис. 11.17,б, так як при розвантаженні (яку можна розглядати як навантаження моментом зворотного знака) матеріал поводиться як пружний.

Згинальний момент М, що відповідає епюрі напруги, показаний на рис. 11.17, е, по абсолютній величині дорівнює так як тільки при цій умові в поперечному перерізі бруса від дії моменту М сумарний момент дорівнює нулю. Найбільша напруга на епюрі (рис. 11.17, е) визначається з виразу

Підсумовуючи епюри напруги, показані на рис. 11.17, д,е, отримуємо епюру, зображену на рис. 11.17, ж. Ця епюра характеризує розподіл напруг після зняття навантаження, що викликало момент При такій епюрі згинальний момент у перерізі (а також поздовжня сила) дорівнює нулю.

Викладена теорія вигину за межею пружності використовується не тільки у разі чистого вигину, але і у разі поперечного вигину, коли в поперечному перерізі балки крім згинального моменту діє також поперечна сила.

Визначимо тепер граничне значення сили Р для статично визначуваної балки, зображеної на рис. 12.17, а. Епюра згинальних моментів цієї балки показано на рис. 12.17,б. Найбільший згинальний момент виникає під вантажем, де він дорівнює.

При цьому згинальний момент у перерізі під вантажем дорівнює

З умови знаходимо [див. формулу (11.17)]

Тепер обчислимо граничне навантаження для статично невизначеної балки. Розглянемо як приклад двічі статично невизначену балку постійного перерізу, зображену на рис. 13.17, а. Лівий кінець А балки жорстко защемлений, а правий кінець закріплений проти повороту і вертикального зміщення.

Якщо напруги в балці не перевищують межі пропорційності, то епюра згинальних моментів має вигляд, показаний на рис. 13.17, б. Вона побудована за результатами розрахунку балки звичайними методами, наприклад, за допомогою рівнянь трьох моментів. Найбільший згинальний момент рівний виникає в лівому опорному перерізі балки, що розглядається. При значенні навантаження згинальний момент у цьому перерізі досягає небезпечного значення, що викликає появу напруг, рівних межі плинності, у волокнах балки, найбільш віддалених від нейтральної осі.

Збільшення навантаження понад зазначену величину призводить до того, що в лівому опорному перерізі А згинальний момент стає рівним граничному значенню і в цьому перерізі з'являється пластичний шарнір. Однак здатність балки, що несе, повністю ще не вичерпується.

При подальшому зростанні навантаження до деякого значення пластичні шарніри з'являються також у перерізах В і С. В результаті появи трьох шарнірів балка, спочатку двічі статично невизначена, стає геометрично змінюється (перетворюється на механізм). Такий стан балки, що розглядається (коли в ній виникають три пластичні шарніри) є граничним і відповідає повному вичерпанню її несучої здатності; подальше збільшення навантаження Р стає неможливим.

Величину граничного навантаження можна встановити без дослідження роботи балки в пружній стадії та з'ясування послідовності утворення пластичних шарнірів.

Значення згинальних моментів у перерізах. А, В і С (у яких виникають пластичні шарніри) у граничному стані рівні відповідно і, отже, епюра згинальних моментів при граничному стані балки має вигляд, зображений на рис. 13.17, ст. Цю епюру можна уявити, що складається з двох епюр: перша з них (рис. 13.17, г) є прямокутником з ординатами і викликана моментами прикладеними по кінцях простої балки, що лежить на двох опорах (рис. 13.17, д); друга епюра (рис. 13.17, е) є трикутником з найбільшою ординатою і викликана вантажем, що діє на просту балку (рис. 13.17, ж.

Відомо, що сила Р, що діє на просту балку, викликає в перерізі під вантажем згинальний момент де а - відстані від вантажу до кінців балки. У цьому випадку (рис.

І, отже, момент під вантажем

Але цей момент, як показано (рис. 13.17, е), дорівнює

Аналогічним чином встановлюються граничні навантаження для кожного прольоту багатопрогонової статично невизначеної балки. Як приклад розглянемо чотири рази статично невизначену балку постійного перерізу, зображену на рис. 14.17, а.

У граничному стані, що відповідає повному вичерпанню несучої здатності балки в кожному її прольоті, епюра згинальних моментів має вигляд, показаний на рис. 14.17, б. Цю епюру можна розглядати що складається з двох епюр, побудованих у припущенні, що кожен проліт є простою балкою, що лежить на двох опорах: однієї епюри (рис. 14.17, в), викликаної моментами діють в опорних пластичних шарнірах, і другий (рис. 14.17 г), викликаної граничними навантаженнями, прикладеними в прольотах.

З рис. 14.17, г встановлюємо:

У цих виразах

Отримане значення граничного навантаження кожного прольоту балки залежить від характеру і величин навантажень у інших прольотах.

З розібраного прикладу видно, що розрахунок статично невизначеної балки по здатності, що несе, виявляється простіше, ніж розрахунок по пружній стадії.

Дещо по-іншому проводиться розрахунок нерозрізної балки по несучій здатності в тих випадках, коли крім характеру навантаження в кожному прольоті задаються також співвідношення між величинами навантажень у різних прольотах. У цих випадках граничним навантаженням вважається така, при якій відбувається вичерпання здатності балки, що несе, не у всіх прольотах, а в одному з її прольотів.

Як приклад визначимо граничне навантаження для вже розглянутої чотирипрогонової балки (рис. 14.17 а) при наступному заданому співвідношенні між навантаженнями: З цього співвідношення випливає, що в граничному стані

Використовуючи отримані вирази граничних навантажень кожного прольоту, знаходимо:

Розраховувати балку на вигинможна кількома варіантами:
1. Розрахунок максимального навантаження, яке вона витримає
2. Підбір перерізу цієї балки
3. Розрахунок за максимальною допустимою напругою (для перевірки)
Давайте розглянемо загальний принцип підбору перерізу балки на двох опорах завантаженим рівномірно розподіленим навантаженням або зосередженою силою.
Для початку вам необхідно буде знайти точку (перетин), в якій буде максимальний момент. Це залежить від спирання балки або її загортання. Знизу наведені епюри згинальних моментів для схем, які найчастіше зустрічаються.

Після знаходження згинального моменту ми повинні знайти момент опору Wx цього перерізу за формулою, наведеною в таблиці:

Далі, при розподілі максимального згинального моменту на момент опору в даному перерізі, ми отримуємо максимальна напруга в балціі цю напругу ми маємо порівняти з напругою, яку взагалі зможе витримати наша балка із заданого матеріалу.

Для пластичних матеріалів(сталь, алюміній і т.п.) максимальна напруга дорівнюватиме межі плинності матеріалу, а для тендітних(чавун) – межі міцності. Межу плинності та межу міцності ми можемо знайти за таблицями нижче.

Давайте розглянемо кілька прикладів:
1. Ви хочете перевірити, чи витримає вас двотавр №10 (сталь Ст3сп5) довжиною 2 метри жорстко замурованого в стіну, якщо ви на ньому повисніть. Ваша маса нехай буде 90 кг.
Для початку нам потрібно вибрати розрахункову схему.

На цій схемі видно, що максимальний момент буде в закладенні, а оскільки наш двотавр має однаковий переріз по всій довжині, то й максимальна напруга буде у закладенні. Давайте знайдемо його:

P = m * g = 90 * 10 = 900 Н = 0.9 кН

М = P * l = 0.9 кН * 2 м = 1.8 кН * м

За таблицею сортаменту двотаврів знаходимо момент опору двотавра №10.

Він дорівнюватиме 39.7 см3. Переведемо в кубічні метри та отримаємо 0.0000397 м3.
Далі за формулою знаходимо максимальну напругу, яка у нас виникає в балці.

б = М/W = 1.8 кН/м/0.0000397 м3 = 45340 кН/м2 = 45.34 МПа

Після того, як ми знайшли максимальну напругу, яка виникає в балці, то ми її може порівняти з максимально допустимою напругою, що дорівнює межі плинності сталі Ст3сп5 – 245 МПа.

45.34 МПа - вірно, значить цей двотавр витримає масу 90 кг.

2. [i] Оскільки в нас вийшов досить великий запас, то вирішимо друге завдання, в якому знайдемо максимально можливу масу, яку витримає все той же двотавр №10 довжиною 2 метри.
Якщо хочемо знайти максимальну масу, то значення межі плинності і напруги, що виникатиме в балці, ми маємо прирівняти (б=245 Мпа = 245 000 кН*м2).