Розрахунок металевої стійки на міцність та стійкість. Розрахунок металевої балки онлайн (калькулятор)
Обчислення зусиль у стійках виробляють з урахуванням прикладених до стійки навантажень.
Середні стійки
Середні стійки каркасу будівлі працюють і розраховуються як центрально стислі елементи на дію найбільшого стискаючого зусилля N від власної ваги всіх конструкцій покриття (G) та снігового навантаження та снігового навантаження (Р сн).
Рисунок 8 – Навантаження на середню стійку
Розрахунок центрально стислих середніх стійок виробляють:
а) на міцність
де - розрахунковий опір деревини стиску уздовж волокон;
Площа нетто поперечного перерізуелемента;
б) на стійкість
де - Коефіцієнт поздовжнього вигину;
- Розрахункова площа поперечного перерізу елемента;
Навантаження збираються з площі покриття за планом, що припадає однією середню стійку ().
Рисунок 9 – Вантажні площі середньої та крайньої колон
Крайні стійки
Крайня стійка знаходиться під дією поздовжніх до осі стійки навантажень (G і Р сн), які збираються з площі та поперечних , та Х.Крім цього від дії вітру виникає поздовжня сила.
Рисунок 10 – Навантаження на крайню стійку
G – навантаження від власної ваги конструкцій покриття;
Х – горизонтальна зосереджена сила, прикладена у точці примикання ригеля до стійки.
У разі жорсткого закладення стійок для однопрогонової рами:
Рисунок 11 – Схема навантажень при жорсткому затисканні стійок у фундаменті
де - горизонтальні вітрові навантаження відповідно від вітру ліворуч і праворуч, прикладені до стійки у місці примикання до неї ригеля.
де - Висота опорного перерізу ригеля або балки.
Вплив сил буде суттєвим, якщо ригель на опорі має значну висоту.
У разі шарнірного спирання стійки на фундамент для однопрогонової рами:
Рисунок 12 – Схема навантажень при шарнірному спиранні стійок на фундаменті
Для багатопрогонових рамних конструкцій при вітрі зліва p 2 і w 2 , а при вітрі справа p 1 і w 2 дорівнюватимуть нулю.
Крайні стійки розраховуються як стисло-згинальні елементи. Значення поздовжньої сили N і згинального моменту M приймаються для такого поєднання навантажень, при якому виникають найбільші напруги, що стискають.
1) 0.9 (G + P c + вітер ліворуч)
2) 0.9 (G + P c + вітер праворуч)
Для стійки, що входить до складу рами, максимальний момент, що згинає, беруть як max з обчислених для випадку вітру зліва М л і справа М пр:
де е – ексцентриситет додатку поздовжньої сили N, що включає найбільш несприятливе поєднання навантажень G, P c , P b – кожна зі своїм знаком.
Ексцентриситет для стійок з постійною висотою перерізу дорівнює нулю (е = 0), а для стійок зі змінною висотою перерізу береться як різниця між геометричною віссю опорного перерізу та віссю додатка поздовжньої сили.
Розрахунок стисло - вигнутих крайніх стійок проводиться:
а) на міцність:
б) на стійкість плоскої форми згину за відсутності закріплення або при розрахунковій довжині між точками закріплення l p > 70b 2 /n за формулою:
Геометричні характеристики, що входять до формули, обчислюються в опорному перерізі. З площини рами стійки розраховують як центрально стислий елемент.
Розрахунок стислих і стисло-вигнутих складових перерізівпроводиться за наведеними вище формулами, проте при обчисленні коефіцієнтів φ і ξ у цих формулах враховується збільшення гнучкості стійки за рахунок податливості зв'язків, що з'єднують гілки. Ця збільшена гнучкість названа наведеною гнучкістю n .
Розрахунок решітчастих стійокможна звести до розрахунку ферм. При цьому вітрове рівномірно розподілене навантаження зводиться до зосереджених вантажів у вузлах ферми. Вважається, що вертикальні сили G, P c, P b сприймаються лише поясами стійки.
Висота стійки і довжина плеча сили P вибирається конструктивно, згідно креслення. Візьмемо перетин стійки як 2Ш. Виходячи із співвідношення h 0 /l=10 і h/b=1,5-2 вибираємо переріз не більше h=450мм та b=300мм.
Рисунок 1 – Схема навантаження стійки та поперечний переріз.
Загальна масаконструкції складає:
m = 20,1 +5 +0,43 +3 +3,2 +3 = 34,73 тонн
Вага, що приходить на одну з 8 стійок, становить:
P = 34,73/8 = 4,34 тонн = 43400Н - тиск на одну стійку.
Сила діє над центрі перерізу, тому вона викликає момент, рівний:
Мх = P * L; Мх = 43400 * 5000 = 217000000 (Н * мм)
Розглянемо стійку коробчатого перерізу, зварену із двох пластин
Визначення ексцентриситетів:
Якщо ексцентриситет т хмає значення від 0,1 до 5 - позацентрово стиснутою (розтягнутою) стійкою; якщо твід 5 до 20, то розтяг або стиснення балки необхідно враховувати в розрахунку.
т х= 2,5 - позацентрово стиснута (розтягнута) стійка.
Визначення розміру перерізу стійки:
Основним навантаженням для стійки є поздовжня сила. Тому для вибору перерізу використовують розрахунок на міцність при розтягуванні (стисненні):
З цього рівняння знаходять потрібну площу поперечного перерізу
,мм 2 (10)
Допустима напруга [σ] при роботі на витривалість залежить від марки сталі, концентрації напруг у перерізі, числа циклів навантаження та асиметрії циклу. У СНиП допустиме напруження під час роботи на витривалість визначають за такою формулою
(11)
Розрахунковий опір R Uзалежить від концентрації напруги та від межі плинності матеріалу. Концентрація напрузі у зварних з'єднаннях найчастіше зумовлена зварними швами. Значення коефіцієнта концентрації залежить від форми, розмірів та розташування швів. Чим вище концентрація напруг, тим нижче допустима напруга.
Найбільш навантажений переріз стрижневої конструкції, що проектується в роботі, розташовано поблизу місця її прикріплення до стінки. Прикріплення лобовими кутовими швами відповідає 6-й групі, отже, R U = 45МПа.
Для 6-ї групи, при п = 10 -6 , = 1,63;
Коефіцієнт увідображає залежність допустимих напруг від показника асиметрії циклу р, що дорівнює відношенню мінімальної напруги за цикл до максимального, тобто.
-1≤ρ<1,
а також від знаку напруги. Розтягування сприяє, а стиск перешкоджає виникненню тріщин, тому значення γ за однакових ρ залежить від знака σ мах. У разі пульсуючого навантаження, коли σ min= 0, ρ=0 при стиску γ=2 при розтягуванні γ = 1,67.
При ρ→ ∞ γ→∞. При цьому допустима напруга [σ] стає дуже великою. Це означає, що небезпека втомного руйнування зменшується, але не означає, що міцність забезпечена, оскільки можливе руйнування при першому навантаженні. Тому при визначенні [σ] необхідно врахувати умови статичної міцності та стійкості.
При статичному розтягуванні (без вигину)
[σ] = R у. (12)
Значення розрахункового опору R у за межами плинності визначають за формулою
(13)
де м - коефіцієнт надійності за матеріалом.
Для 09Г2С σ Т = 325 МПа, γ т = 1,25
При статичному стиску напругу, що допускається, знижують у зв'язку з небезпекою втрати стійкості:
де 0< φ < 1. Коэффициент φ зависит от гибкости и относительного эксцентриситета. Его точное значение может быть найдено только после определения размеров сечения. Для ориентировочного выбора Атрпо формуле следует задаться значением φ. При невеликому ексцентриситеті програми навантаження можна прийняти φ = 0,6. Такий коефіцієнт означає, що міцність стрижня при стиску через втрату стійкості знижується до 60% від міцності при розтягуванні.
Підставляємо дані у формулу:
З двох значень [σ] вибираємо найменше. І надалі по ньому вестиметься розрахунок.
Допустима напруга 
Поставляємо дані у формулу:
Так як 295,8мм 2 вкрай мала площа перерізу, виходячи з конструктивних розмірів та величини моменту збільшуємо до 
Номер швелера підберемо за площею.
Мінімальна площа швелера повинна становити – 60 см 2
Номер швелера – 40П. Має параметри:
h=400 мм; b=115мм; s=8мм; t=13,5мм; F = 18,1 см 2;
Отримуємо площу перерізу стійки, що складається з 2 швелерів – 61,5 см 2 .
Підставимо дані у формулу 12 і розрахуємо напруги ще раз:
=146,7 МПа
Діюча напруга в перерізі менше граничної напруги для металу. Це означає, що матеріал конструкції витримує додане навантаження.
Перевірочний розрахунок загальної стійкості стояків.
Така перевірка потрібна лише при дії стискаючих поздовжніх сил. Якщо сили прикладені до центру перерізу (Мх = Му = 0), то зниження статичної міцності стійки за рахунок втрати стійкості оцінюють коефіцієнтом φ, що залежать від гнучкості стійки.
Гнучкість стійки щодо матеріальної осі (тобто осі, що перетинає елементи перерізу) визначають за формулою:
(15)
де 
- Довжина напівхвилі вигнутої осі стійки,
μ - коефіцієнт залежить від умови закріплення; при консолі = 2;
i min - радіус інерції, що знаходиться за формулою:
(16)
Підставляємо дані у формулу 20 та 21:
Розрахунок стійкості проводять за формулою:
(17)
Коефіцієнт у визначають так само як при центральному стиску, по табл. 6 залежно від гнучкості стійки λ у (λ уо) при згині навколо осі у. Коефіцієнт звраховує yзменшення стійкості від дії моменту Мх.
1. Одержання відомостей про матеріал стрижня для визначення граничної гнучкості стрижня розрахунковим шляхом або за таблицею:
2. Отримання відомостей про геометричні розміри поперечного перерізу, довжину та способи закріплення кінців для визначення категорії стрижня в залежності від гнучкості:
де А – площа перерізу; J m i n - Мінімальний момент інерції (з осьових);
μ - Коефіцієнт наведеної довжини.
3. Вибір розрахункових формул для визначення критичної сили та критичної напруги.
4. Перевірка та забезпечення стійкості.
При розрахунку за формулою Ейлера умова стійкості:
F- діюча стискаюча сила; - Допустимий коефіцієнт запасу стійкості.
При розрахунку за формулою Ясинського
де a, b- розрахункові коефіцієнти, залежні від матеріалу (величини коефіцієнтів наводяться у таблиці 36.1)
У разі невиконання умов стійкості необхідно збільшити площу поперечного перерізу.
Іноді необхідно визначити запас стійкості при заданому навантаженні:
При перевірці стійкості порівнюють розрахунковий запас витривалості з:
Приклади розв'язання задач
Рішення
1. Гнучкість стрижня визначається за формулою
2. Визначаємо мінімальний радіус інерції для кола. 
Підставивши вирази для J minі А(перетин коло)
- Коефіцієнт приведення довжини для даної схеми кріплення μ = 0,5.
- Гнучкість стрижня дорівнюватиме
приклад 2.Як зміниться критична сила для стрижня, якщо змінити спосіб закріплення кінців? Порівняти представлені схеми (рис. 37.2)
Рішення
Критична сила збільшиться вчетверо. 
Приклад 3.Як зміниться критична сила при розрахунку на стійкість, якщо стрижень двотаврового перерізу (рис. 37.3а, двотавр № 12) замінити на стрижень прямокутного перетину тієї ж площі (рис. 37.3 б )
? Інші параметри конструкції не змінюються. Розрахунок виконати за такою формулою Ейлера.
Рішення
1. Визначимо ширину перерізу прямокутника, висота перерізу дорівнює висоті перерізу двотавра. Геометричні параметри двотавра № 12 за ГОСТ 8239-89:
площа перерізу А 1 = 14,7см 2;
мінімальний із осьових моментів інерції.
За умовою площа прямокутного перерізу дорівнює площі перерізу двотавра. Визначаємо ширину смуги за висотою 12 см.
2. Визначимо мінімальний із осьових моментів інерції.
3. Критична сила визначається за формулою Ейлера:
4. За інших рівних умов відношення критичних сил дорівнює відношенню мінімальних моментів інерції:
5. Таким чином, стійкість стрижня з перетином двотавр № 12 у 15 разів вища, ніж стійкість стрижня вибраного прямокутного перерізу.
Приклад 4.Перевірити стійкість стрижня. Стрижень довжиною 1 м защемлений одним кінцем, перетин - швелер № 16, матеріал - СТЗ, запас стійкості триразовий. Стрижень навантажений стискаючою силою 82 кН (рис. 37.4).
Рішення
1. Визначаємо основні геометричні параметри перерізу стрижня за ГОСТ 8240-89. Швелер № 16: площа перерізу 18,1 см 2; мінімальний осьовий момент перерізу 63,3 см 4; мінімальний радіус інерції перерізу г т; п = 1,87 див.
Гранична гнучкість для матеріалу СтЗ λ до = 100.
Розрахункова гнучкість стрижня при довжині l = 1м = 1000мм
Розрахований стрижень - стрижень великої гнучкості, розрахунок ведемо за такою формулою Ейлера.
4. Умова стійкості
82кН< 105,5кН. Устойчивость стержня обеспечена.
Приклад 5.На рис. 2.83 показано розрахункову схему трубчастої стійки літакової конструкції. Перевірити стійку на [ nу ] = 2,5, якщо вона виготовлена з хромонікелевої сталі, для якої Е = 2,1 * 10 5 і пц = 450 Н/мм 2 .
Рішення
Для розрахунку стійкість має бути відома критична сила для заданої стійки. Необхідно встановити, за якою формулою слід обчислювати критичну силу, тобто треба порівняти гнучкість стійки із граничною гнучкістю для її матеріалу.
Обчислюємо величину граничної гнучкості, так як табличних даних про λ, для матеріалу стійки немає:
Для визначення гнучкості стійки, що розраховується, обчислюємо геометричні характеристики її поперечного перерізу:
Визначаємо гнучкість стійки:
і переконуємось, що λ< λ пред, т. е. критическую силу можно определить ею формуле Эйлера:
Обчислюємо розрахунковий (дійсний) коефіцієнт запасу стійкості:
Таким чином, nу > [ nу] на 5,2%.
Приклад 2.87. Перевірити на міцність та стійкість задану стрижневу систему(Рис. 2.86), Матеріал стрижнів - сталь Ст5 (σ т = 280 Н/мм 2). Необхідні коефіцієнти запасу: міцності [n]= 1,8; стійкості = 2.2. Стрижні мають круглий поперечний переріз d 1 = d 2= 20 мм, d 3 = 28 мм.
Рішення
Вирізаючи вузол, в якому сходяться стрижні, і складаючи рівняння рівноваги для сил, що діють на нього (рис. 2.86)
встановлюємо, що задана система статично невизначена (три невідомі зусилля та два рівняння статики). Ясно, що для розрахунку стрижнів на міцність та стійкість необхідно знати величини поздовжніх сил, що у їх поперечних перерізах, т. е. необхідно розкрити статичну невизначеність.
Складаємо рівняння переміщень на основі діаграми переміщень (рис. 2.87):
або, підставляючи значення змін довжин стрижнів, отримуємо
Розв'язавши це рівняння спільно з рівняннями статики, знайдемо:
Напруги в поперечних перерізах стрижнів 1 і 2 (див. рис. 2.86):
Їхній коефіцієнт запасу міцності
Для визначення коефіцієнта запасу стійкості стрижня 3 треба вирахувати критичну силу, а це вимагає визначення гнучкості стрижня, щоб вирішити, якою формулою для знаходження N Kpслід скористатися.
Отже, λ 0< λ < λ пред и критическую силу следует определять по эмпирической формуле:
Коефіцієнт запасу стійкості
Таким чином, розрахунок показує, що коефіцієнт запасу стійкості близький до необхідного, а коефіцієнт запасу міцності значно вищий за необхідний, тобто при збільшенні навантаження системи втрата стійкості стрижнем 3 ймовірніше, ніж виникнення плинності у стрижнях 1 і 2.
На практиці часто виникає необхідність розрахунку стійки або колони на максимальне осьове (поздовжнє) навантаження. Зусилля, при якому стійка втрачає стійкий стан ( несучу здатність) є критичним. На стійкість стійки впливає спосіб закріплення кінців стійки. У будівельній механіці розглядають сім способів закріплення кінців стійки. Ми розглянемо три основні способи:
Для забезпечення певного запасу стійкості необхідно, щоб дотримувалася умова:
Де: Р – діюче зусилля;
Встановлюється певний коефіцієнт запасу стійкості
Отже, під час розрахунку пружних систем необхідно вміти визначати величину критичної сили Ркр. Якщо мати на увазі що зусилля Р прикладено до стійки викликає тільки малі відхилення від прямолінійної форми стійки довжиною ι то його можна визначити з рівняння
де: E – модуль пружності;
J_min - мінімальний момент інерції перерізу;
M(z) - згинальний момент, рівний M(z) = -P ω;
ω – величина відхилення від прямолінійної форми стійки;
Вирішуючи це диференціальне рівняння 
А і постійні інтегрування, визначаються за граничними умовами.
Зробивши певні дії та підстановки отримаємо кінцевий вираз для критичної сили Р 
Найменше значення критичної сили буде за n = 1 (ціле число) і
Рівняння пружної лінії стійки матиме вигляд:
де: z - Текуча ордината, при максимальному значенні z = l;
Допустиме вираз для критичної сили називається формулою Л. Ейлера. Видно, що величина критичної сили залежить від жорсткості стійки EJ min прямо пропорційно і від довжини стійки l назад пропорційно.
Як було зазначено, стійкість пружної стійки залежить від способу її закріплення.
Рекомендована величина запасу міцності для сталевих стійок рівна
n y =1,5÷3,0; для дерев'яних n y =2,5÷3,5; для чавунних n y =4,5÷5,5
Для обліку способу закріплення кінців стійки вводиться коефіцієнт кінців наведеної гнучкості стійки.
де: μ - коефіцієнт наведеної довжини (Таблиця);
i min – найменший радіус інерції поперечного перерізу стійки (таблиця);
- довжина стійки;
Вводитиметься коефіцієнт критичного навантаження:
, (Таблиця);
Таким чином, при розрахунку поперечного перерізу стійки необхідно враховувати коефіцієнти μ і ϑ величина яких залежить від способу закріплення кінців стійки та наведена в таблицях довідника по сопромату (Г.С. Писаренко та С.П.Фесік)
Наведемо приклад розрахунку критичної сили для стрижня суцільного перерізу прямокутної форми - 6×1 см, довжина стрижня ι = 2м. Закріплення кінців за схемою ІІІ.
Розрахунок:
По таблиці знаходимо коефіцієнт ϑ = 9,97, μ = 1. Момент інерції перерізу буде:
а критичне напруження буде:
Очевидно, що критична сила Р кр =247 кгс викличе у стрижні напругу всього 41 кгс/см 2 , що значно менше межіпроточності (1600кгс/см 2 ), проте ця сила викличе викривлення стрижня, а отже, втрату стійкості.
Розглянемо інший приклад розрахунку дерев'яної стійки круглого перерізузащемленою в нижньому кінці та шарнірно закріпленою на верхньому (С.П. Фесік). Довжина стійки 4м, сила стиснення N = 6тс. Допустима напруга [σ]=100кгс/см 2 . Приймаємо коефіцієнт зниження напруги, що допускається, на стиск φ=0.5. Обчислюємо площу перерізу стійки:
Визначаємо діаметр стійки: 
Момент інерції перерізу 
Обчислюємо гнучкість стійки: 
де: μ=0.7, виходячи із способу защемлення кінців стійки;
Визначаємо напругу у стійці: 
Очевидно, що напруга у стійці становить 100кгс/см 2 і вона дорівнює допустимій напрузі [σ]=100кгс/см 2
Розглянемо третій приклад розрахунку сталевої стійки з двотаврового профілю, довжиною 1.5м, сила стиснення 50тс, напруга, що допускається [σ]=1600кгс/см 2 . Нижній кінець стійки защемлений, а верхній вільний (І спосіб).
Для підбору перерізу використовуємо формулу і задаємося коефіцієнтом =0.5, тоді:
Підбираємо із сортаменту двотавр №36 та його дані: F=61.9см 2 , i min =2.89см.
Визначаємо гнучкість стійки:
де: з таблиці, рівне 2, враховуючи спосіб защемлення стійки;
Розрахункова напруга у стійці буде: 
5кгс, що приблизно рівно допустимому напрузі, і на 0.97% більше, що допустимо в інженерних розрахунках.
Поперечний переріз стрижнів, що працюють на стиснення, буде раціональним при найбільшому радіусі інерції. При розрахунку питомого радіусу інерції
найбільш оптимальним є трубчасті перерізи, тонкостінні; для яких величина ξ=1÷2.25, а для суцільних або прокатних профілів ξ=0.204÷0.5
Висновки
При розрахунку на міцність і стійкість стійок колон необхідно враховувати спосіб закріплення кінців стійок, застосовувати рекомендований запас міцності.
Значення критичної сили одержано з диференціального рівняння вигнутої осьової лінії стійки (Л. Ейлера).
Для обліку всіх факторів, що характеризують навантажену стійку, введено поняття гнучкості стійки - λ, коефіцієнт провиденої довжини - μ, коефіцієнт зниження напруги - ϕ, коефіцієнт критичного навантаження - ϑ. Їх значення беруть із таблиць довідників (Г.С.Писарентко та С.П.Фесік).
Наведено приблизні розрахункистійок, визначення критичної сили - Ркр, критичного напруги - σкр, діаметра стійок - d, гнучкості стійок - λ та інші характеристики.
Оптимальним перетином для стійок і колон є трубчасті тонкостінні профілю з однаковими головними моментами інерції.
Використовувана література:
Г.С Писаренко «Довідник із опору матеріалів».
С.П.Фесік «Довідник з опору матеріалів».
В.І. Анур'єв «Довідник конструктора-машинобудівника».
СНиП II-6-74 «Навантаження та впливи, норми проектування».
1. Збір навантажень
Перед початком розрахунку сталевої балки необхідно зібрати навантаження, що діє на металеву балку. Залежно від тривалості дії навантаження поділяють на постійні та тимчасові.
- власна вага металевої балки;
- власна вага перекриття тощо;
- тривале навантаження (корисне навантаження, приймається залежно від призначення будівлі);
- короткочасне навантаження (снігове навантаження, приймається залежно від географічного розташування будівлі);
- особливе навантаження (сейсмічна, вибухова і т.д. В рамках даного калькулятора не враховується);
Навантаження на балку поділяють на два типи: розрахункові та нормативні. Розрахункові навантаження застосовуються для розрахунку балки на міцність та стійкість (1 граничний стан). Нормативні навантаження встановлюються нормами та застосовується для розрахунку балки на прогин (2 граничний стан). Розрахункові навантаження визначають множенням нормативного навантаження коефіцієнт навантаження за надійністю. У межах даного калькулятора розрахункове навантаження застосовується щодо прогину балки в запас.
Після того як зібрали поверхневе навантаження на перекриття, що вимірюється в кг/м2, необхідно порахувати скільки з цього поверхневого навантаження на себе бере балка. Для цього треба поверхневе навантаження помножити на крок балок (так звана вантажна смуга).
Наприклад: Ми порахували, що сумарне навантаження вийшло Qповерхн. = 500кг/м2, а крок балок 2,5м. Тоді розподілене навантаження на металеву балку буде: Qраспр.= 500кг/м2 * 2,5м = 1250кг/м. Це навантаження вноситься до калькулятора
2. Побудова епюрДалі проводиться побудова епюри моментів, поперечної сили. Епюра залежить від схеми навантаження балки, виду спирання балки. Будується епюра за правилами будівельної механіки. Для найчастіше використовуваних схем навантаження та спирання існують готові таблиці з виведеними формулами епюр та прогинів.
3. Розрахунок по міцності та прогинуПісля побудови епюр проводиться розрахунок по міцності (1 граничний стан) та прогину (2 граничний стан). Для того, щоб підібрати балку за міцністю, необхідно знайти необхідний момент інерції Wтр та з таблиці сортаменту вибрати відповідний металопрофіль. Вертикальний граничний прогин fult приймається за таблицею 19 зі СНиП 2.01.07-85* (Навантаження та дії). Пункт2.а в залежності від прольоту. Наприклад, граничний прогин fult=L/200 при прольоті L=6м. означає, що калькулятор підбере перетин прокатного профілю (двутавра, швелера або двох швелерів у коробку), граничний прогин якого не перевищуватиме fult=6м/200=0,03м=30мм. Для підбору металопрофілю по прогину знаходять необхідний момент інерції Iтр, отриманий з формули знаходження граничного прогину. І також з таблиці сортаменту підбирають відповідний металопрофіль.
4. Підбір металевої балки з таблиці сортаментуЗ двох результатів підбору (1 та 2 граничний стан) вибирається металопрофіль з великим номером перерізу.
