Дээд талгүй пирамид. Пирамид
Видео хичээл 2: Пирамидын сорилт. Пирамидын эзлэхүүн
Видео хичээл 3: Пирамидын сорилт. Зөв пирамид
Лекц: Пирамид, түүний суурь, хажуугийн ирмэг, өндөр, хажуугийн гадаргуу; гурвалжин пирамид; баруун пирамид
Пирамид, түүний шинж чанаруудПирамид- Энэ бол гурван хэмжээст бие бөгөөд суурь нь олон өнцөгт хэлбэртэй, бүх нүүр нь гурвалжингаас бүрддэг.
Пирамидын онцгой тохиолдол бол конус бөгөөд түүний ёроолд тойрог байрладаг.
Пирамидын үндсэн элементүүдийг авч үзье.
Апотемнь пирамидын дээд хэсгийг хажуугийн нүүрний доод ирмэгийн дунд хэсэгтэй холбосон сегмент юм. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь пирамидын нүүрний өндөр юм.
Зураг дээр та ADS, ABS, BCS, CDS гурвалжнуудыг харж болно. Хэрэв та нэрсийг анхааралтай ажиглавал гурвалжин бүрийн нэрэнд нэг нийтлэг үсэг байгааг харж болно - S. Энэ нь бүх хажуугийн нүүр (гурвалжин) нэг цэг дээр нийлдэг гэсэн үг бөгөөд үүнийг пирамидын орой гэж нэрлэдэг.
Оройг суурийн диагональуудын огтлолцлын цэгтэй (гурвалжингийн хувьд, өндрийн огтлолцлын цэг) холбосон сегментийг OS гэж нэрлэдэг. пирамидын өндөр.
Диагональ хэсэг нь пирамидын оройг, мөн суурийн диагональуудын нэгийг дайран өнгөрдөг хавтгай юм.
Пирамидын хажуугийн гадаргуу нь гурвалжингаас бүрддэг тул олох нийт талбайхажуугийн гадаргуугийн хувьд та нүүрний тал бүрийн хэсгийг олж, тэдгээрийг нэмэх хэрэгтэй. Нүүрний тоо, хэлбэр нь суурь дээр байрлах олон өнцөгтийн талуудын хэлбэр, хэмжээнээс хамаарна.
Пирамидын оройгүй цорын ганц хавтгайг гэнэ суурьпирамидууд.
Зураг дээр бид суурь нь параллелограмм гэдгийг харж байна, гэхдээ дурын олон өнцөгт байж болно.
Үл хөдлөх хөрөнгө:
Пирамидын эхний тохиолдлыг авч үзье, түүний ирмэг нь ижил урттай байдаг.
- Ийм пирамидын суурийн эргэн тойронд тойрог дүрсэлж болно. Хэрэв та ийм пирамидын оройг төсөөлвөл түүний проекц нь тойргийн төвд байх болно.
- Пирамидын суурийн өнцөг нь нүүр бүрийн хувьд ижил байна.
- Үүний зэрэгцээ, пирамидын суурийн эргэн тойронд тойрог дүрслэх, мөн бүх ирмэгүүд нь өөр өөр урттай байх хангалттай нөхцөл нь суурь ба нүүрний ирмэг бүрийн хоорондох ижил өнцөг гэж үзэж болно. .
Хэрэв та хажуугийн нүүр ба суурийн хоорондох өнцөг нь тэнцүү пирамидтай таарвал дараахь шинж чанарууд үнэн болно.
- Та пирамидын суурийн эргэн тойронд байгаа тойргийг дүрслэх боломжтой бөгөөд түүний орой нь яг төв рүү чиглэсэн байна.
- Хэрэв та хажуугийн нүүрийг суурийн өндрөөр зурвал тэдгээр нь ижил урттай байх болно.
- Ийм пирамидын хажуугийн гадаргууг олохын тулд суурийн периметрийг олж, өндрийн уртын хагасаар үржүүлэхэд хангалттай.
- Sbp \u003d 0.5P oc H.
- Пирамидын төрлүүд.
- Пирамидын ёроолд аль олон өнцөгт байрлаж байгаагаас хамааран гурвалжин, дөрвөлжин гэх мэт байж болно. Хэрэв пирамидын ёроолд ердийн олон өнцөгт (тэнцүү талуудтай) байвал ийм пирамидыг ердийн гэж нэрлэнэ.
Ердийн гурвалжин пирамид
Тодорхойлолт
Пирамиднь нийтлэг оройтой \(P\) (олон өнцөгтийн хавтгайд хэвтэхгүй) олон өнцөгт \(A_1A_2...A_n\) ба \(n\) гурвалжнуудаас бүрдэх, эсрэг талууд нь талуудтай давхцах олон өнцөгт юм. олон өнцөгт.
Тэмдэглэл: \(PA_1A_2...A_n\) .
Жишээ нь: таван өнцөгт пирамид \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Гурвалжин \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) гэх мэт. дуудсан хажуугийн нүүрнүүдпирамид, сегмент \(PA_1, PA_2\) гэх мэт. - хажуугийн хавирга, олон өнцөгт \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – суурь, цэг \(P\) – дээд хэмжээний уулзалт.
ӨндөрПирамидууд нь пирамидын оройноос суурийн хавтгайд унасан перпендикуляр юм.
Суурь нь гурвалжинтай пирамид гэж нэрлэгддэг тетраэдр.
Пирамид гэж нэрлэдэг зөв, хэрэв түүний суурь нь ердийн олон өнцөгт бөгөөд дараах нөхцлүүдийн аль нэгийг хангасан бол:
\((a)\) пирамидын хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү;
\((b)\) пирамидын өндөр нь суурийн ойролцоох хүрээлэгдсэн тойргийн төвөөр дамжин өнгөрдөг;
\(c)\) хажуугийн хавирга нь үндсэн хавтгайд ижил өнцгөөр налуу байна.
\(d)\) хажуугийн нүүрүүд нь үндсэн хавтгайд ижил өнцгөөр налуу байна.
ердийн тетраэдрнь гурвалжин пирамид бөгөөд бүх нүүр нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм.
Теорем
\((a), (b), (c), (d)\) нөхцөлүүд тэнцүү байна.
Баталгаа
Пирамидын өндрийг зурна уу \(PH\) . Пирамидын суурийн хавтгайг \(\альфа\) гэж үзье.
1) \((a)\) нь \((b)\) гэсэн утгатай болохыг баталцгаая. \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) байг.
Учир нь \(PH\perp \alpha\) , тэгвэл \(PH\) нь энэ хавтгайд байрлах дурын шулуунд перпендикуляр байх тул гурвалжингууд тэгш өнцөгт байна. Тэгэхээр эдгээр гурвалжин нь нийтлэг хөл \(PH\) ба гипотенуз \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) тэнцүү байна. Тэгэхээр \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Энэ нь \(A_1, A_2, ..., A_n\) цэгүүд нь \(H\) цэгээс ижил зайд байгаа тул \(A_1H\) радиустай нэг тойрог дээр байрладаг гэсэн үг юм. Тодорхойлолтоор энэ тойрог \(A_1A_2...A_n\) олон өнцөгтийг тойрон хүрээлэгдсэн байна.
2) \((b)\) нь \((c)\) гэсэн утгатай болохыг баталцгаая.
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)тэгш өнцөгт, хоёр хөлтэй тэнцүү. Тиймээс тэдгээрийн өнцөг нь тэнцүү тул \(\ өнцөг PA_1H=\ өнцөг PA_2H=...=\ өнцөг PA_nH\).
3) \((c)\) нь \((a)\) гэсэн утгатай болохыг баталцгаая.
Эхний цэгтэй төстэй гурвалжин \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)тэгш өнцөгт ба хөлний дагуу болон хурц өнцөг. Энэ нь тэдний гипотенузууд мөн тэнцүү байна гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) \((b)\) нь \((d)\) гэсэн утгатай болохыг баталцгаая.
Учир нь жирийн олон өнцөгт дотор хүрээлэгдсэн ба бичээстэй тойргийн төвүүд давхцдаг (ерөнхийдөө энэ цэгийг ердийн олон өнцөгтийн төв гэж нэрлэдэг), тэгвэл \(H\) нь бичээстэй тойргийн төв болно. \(H\) цэгээс суурийн талууд руу перпендикуляр зуръя: \(HK_1, HK_2\) гэх мэт. Эдгээр нь бичээстэй тойргийн радиус юм (тодорхойлолтоор). Дараа нь TTP-ийн дагуу (\(PH\) нь хавтгайд перпендикуляр, \(HK_1, HK_2\) гэх мэт. талуудын перпендикуляр проекцууд) ташуу \(PK_1, PK_2\) гэх мэт. талуудтай перпендикуляр \(A_1A_2, A_2A_3\) гэх мэт. тус тус. Тиймээс, тодорхойлолтоор \(\ өнцөг PK_1H, \ өнцөг PK_2H\)хажуугийн нүүр ба суурийн хоорондох өнцөгтэй тэнцүү байна. Учир нь гурвалжин \(PK_1H, PK_2H, ...\) тэнцүү (хоёр хөл дээр тэгш өнцөгт хэлбэртэй), дараа нь өнцөг \(\ өнцөг PK_1H, \өнцөг PK_2H, ...\)тэнцүү байна.
5) \((d)\) нь \((b)\) гэсэн утгатай болохыг баталцгаая.
Дөрөв дэх цэгийн нэгэн адил гурвалжин \(PK_1H, PK_2H, ...\) тэнцүү байна (хөлний дагуу тэгш өнцөгт ба хурц өнцөг) нь сегментүүд \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) гэсэн үг юм. тэнцүү байна. Тиймээс, тодорхойлолтоор \(H\) нь сууринд сийлсэн тойргийн төв юм. Гэхдээ түүнээс хойш энгийн олон өнцөгтүүдийн хувьд бичээстэй ба хүрээлэгдсэн тойргийн төвүүд давхцаж байвал \(H\) нь хүрээлэгдсэн тойргийн төв болно. Chtd.
Үр дагавар
Ердийн пирамидын хажуу талууд нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм.
Тодорхойлолт
Ердийн пирамидын хажуугийн нүүрний өндрийг дээд талаас нь зурсан гэж нэрлэдэг апотема.
Энгийн пирамидын бүх хажуугийн нүүрний тэмдэгтүүд нь хоорондоо тэнцүү бөгөөд мөн медиан ба биссектрис юм.
Чухал тэмдэглэл
1. Тогтмол гурвалжин пирамидын өндөр нь суурийн өндрийн (эсвэл биссектриса эсвэл медиануудын) огтлолцох цэгт унадаг (суурь нь ердийн гурвалжин).
2. Тогтмол дөрвөлжин пирамидын өндөр нь суурийн диагональуудын огтлолцох цэг хүртэл унадаг (суурь нь дөрвөлжин).
3. Тогтмол зургаан өнцөгт пирамидын өндөр нь суурийн диагональуудын огтлолцох цэг хүртэл унадаг (суурь нь ердийн зургаан өнцөгт).
4. Пирамидын өндөр нь сууринд байрлах аливаа шулуун шугамд перпендикуляр байна.
Тодорхойлолт
Пирамид гэж нэрлэдэг тэгш өнцөгтхэрэв түүний хажуугийн ирмэгүүдийн аль нэг нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байвал.
Чухал тэмдэглэл
1. Тэгш өнцөгт пирамидын хувьд суурьтай перпендикуляр ирмэг нь пирамидын өндөр юм. Энэ нь \(SR\) нь өндөр юм.
2. Учир нь \(SR\) суурийн аль ч шулуунд перпендикуляр, тэгвэл \(\гурвалжин SRM, \гурвалжин SRP\)тэгш өнцөгт гурвалжин юм.
3. Гурвалжин \(\гурвалжин SRN, \гурвалжин SRK\)мөн тэгш өнцөгт хэлбэртэй.
Өөрөөр хэлбэл, энэ ирмэгээс үүссэн аливаа гурвалжин ба уг ирмэгийн оройноос гарч буй диагональ нь тэгш өнцөгт байх болно.
\[(\Том(\текст(Пирамидын эзэлхүүн ба гадаргуугийн талбай)))\]
Теорем
Пирамидын эзэлхүүн нь суурийн талбай ба пирамидын өндрийн бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү байна. \
Үр дагавар
\(a\) нь суурийн тал, \(h\)-ийг пирамидын өндөр гэж үзье.
1. Энгийн гурвалжин пирамидын эзэлхүүн нь \(V_(\текст(зөв гурвалжин пир.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Энгийн дөрвөлжин пирамидын эзэлхүүн \(V_(\текст(баруун.дөрвөн.пир.))=\dfrac13a^2h\).
3. Энгийн зургаан өнцөгт пирамидын эзэлхүүн нь \(V_(\текст(баруун.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Энгийн тетраэдрийн эзэлхүүн нь \(V_(\текст(баруун тетра.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Теорем
Ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь суурийн периметр ба апотемийн бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна.
\[(\Том(\текст(Таслагдсан пирамид)))\]
Тодорхойлолт
Дурын пирамидыг авч үзье \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Пирамидын хажуугийн ирмэг дээр байрлах тодорхой цэгээр дамжуулан пирамидын суурьтай параллель хавтгай зурцгаая. Энэ хавтгай нь пирамидыг хоёр олон талт болгон хуваах бөгөөд тэдгээрийн нэг нь пирамид (\(PB_1B_2...B_n\) ), нөгөөг нь гэж нэрлэдэг. таслагдсан пирамид(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Таслагдсан пирамид нь хоорондоо төстэй олон өнцөгт \(A_1A_2...A_n\) ба \(B_1B_2...B_n\) гэсэн хоёр суурьтай.
Таслагдсан пирамидын өндөр нь дээд суурийн зарим цэгээс доод суурийн хавтгайд татсан перпендикуляр юм.
Чухал тэмдэглэл
1. Таслагдсан пирамидын бүх хажуугийн нүүр нь трапец хэлбэртэй байна.
2. Тогтмол таслагдсан пирамидын суурийн төвүүдийг холбосон сегмент (өөрөөр хэлбэл ердийн пирамидын зүсэлтээр олж авсан пирамид) нь өндөр юм.
Таамаглал:Пирамидын хэлбэр төгс төгөлдөр болсон нь түүний хэлбэрт шингэсэн математикийн хуулиудаас үүдэлтэй гэж бид үздэг.
Зорилтот:пирамидыг геометрийн биет байдлаар судалж, түүний хэлбэрийн төгс байдлыг тайлбарлах.
Даалгаварууд:
1. Өгөх математикийн тодорхойлолтпирамид.
2. Пирамидыг геометрийн биет байдлаар судал.
3. Египетчүүд ямар математикийн мэдлэгийг пирамиддаа суулгаж байсныг ойлгоорой.
Хувийн асуултууд:
1. Геометрийн биетийн хувьд пирамид гэж юу вэ?
2. Пирамидын өвөрмөц хэлбэрийг математикийн үүднээс хэрхэн тайлбарлах вэ?
3. Пирамидын геометрийн гайхамшгийг юу гэж тайлбарладаг вэ?
4. Пирамидын хэлбэрийн төгс байдлыг юу гэж тайлбарладаг вэ?
Пирамидын тодорхойлолт.
ПИРАМИД (Грек хэлнээс пирамид, төрөл n. пирамидос) - олон өнцөгт, суурь нь олон өнцөгт, үлдсэн нүүр нь нийтлэг оройтой гурвалжин (зураг). Суурийн булангийн тоогоор пирамидууд нь гурвалжин, дөрвөлжин гэх мэт хэлбэртэй байдаг.
ПИРАМИД - пирамид геометрийн хэлбэртэй (заримдаа шаталсан эсвэл цамхаг хэлбэртэй) дурсгалт байгууламж. МЭӨ 3-2-р мянганы эртний Египетийн фараонуудын аварга булшнуудыг пирамид гэж нэрлэдэг. д., түүнчлэн сансар судлалын шашинтай холбоотой эртний Америкийн сүм хийдүүд (Мексик, Гватемал, Гондурас, Перу).
"Пирамид" гэсэн Грек үг нь Египетийн per-em-us гэсэн үгнээс гаралтай, өөрөөр хэлбэл пирамидын өндөр гэсэн үгнээс гаралтай байж магадгүй юм. Оросын нэрт египет судлаач В.Струве Грекийн “пурам…ж” нь эртний Египетийн “p”-mr” гэсэн үгнээс гаралтай гэж үздэг.
Түүхээс. Атанасяны зохиолчдын "Геометр" сурах бичгийн материалыг судалсны дараа. Бутузова болон бусад хүмүүс бид мэдэж авсан: n-gon A1A2A3 ... An ба n гурвалжин RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1-ээс бүрдсэн олон өнцөгтийг пирамид гэж нэрлэдэг. A1A2A3 олон өнцөгт ... An нь пирамидын суурь ба RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 гурвалжин нь пирамидын хажуугийн нүүр, P нь пирамидын дээд хэсэг, RA1, RA2, .. сегментүүд юм. ., RAn нь хажуугийн ирмэгүүд юм.
Гэсэн хэдий ч пирамидын ийм тодорхойлолт үргэлж байдаггүй байв. Жишээлбэл, эртний Грекийн математикч, математикийн тухай онолын зохиолын зохиогч Евклид пирамидыг нэг хавтгайгаас нэг цэгт нийлдэг хавтгайгаар хязгаарлагдсан хатуу дүрс гэж тодорхойлсон байдаг.
Гэхдээ энэ тодорхойлолтыг эрт дээр үеэс шүүмжилсээр ирсэн. Тиймээс Херон пирамидын тухай дараахь тодорхойлолтыг санал болгов: "Энэ бол нэг цэгт нийлдэг гурвалжингаар хүрээлэгдсэн дүрс бөгөөд суурь нь олон өнцөгт юм."
Манай бүлэг эдгээр тодорхойлолтыг харьцуулж үзэхэд "суурь" гэсэн ойлголтын талаар тодорхой томъёолол байхгүй гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн.
Бид эдгээр тодорхойлолтуудыг судалж үзээд 1794 онд "Геометрийн элементүүд" бүтээлдээ пирамидыг дараах байдлаар тодорхойлсон Адриен Мари Лежендрегийн тодорхойлолтыг олсон: "Пирамид нь нэг цэгт нийлж, өөр өөр талуудаар төгсдөг гурвалжнуудаас бүрдсэн биет дүрс юм. хавтгай суурь.”
Сүүлчийн тодорхойлолт нь пирамидын талаар тодорхой ойлголт өгч байгаа юм шиг санагдаж байна, учир нь энэ нь суурь нь хавтгай байна гэсэн үг юм. 19-р зууны сурах бичигт пирамидын өөр нэг тодорхойлолт гарч ирэв: "Пирамид бол хавтгай огтлолцсон хатуу өнцөг юм."
Пирамид бол геометрийн бие юм.
Тэр. Пирамид нь олон өнцөгт хэлбэртэй, нэг нүүр нь (суурь) нь олон өнцөгт, бусад нүүр (хажуу тал) нь нэг нийтлэг оройтой (пирамидын дээд хэсэг) гурвалжин хэлбэртэй байдаг.
Пирамидын оройгоос суурийн хавтгайд татсан перпендикуляр гэж нэрлэдэг өндөрhпирамидууд.
Дурын пирамидаас гадна байдаг баруун пирамид,суурь нь ердийн олон өнцөгт ба таслагдсан пирамид.
Зураг дээр - пирамид PABCD, ABCD - түүний суурь, PO - өндөр.
Бүтэн гадаргуугийн талбай Пирамидыг түүний бүх нүүрний талбайн нийлбэр гэж нэрлэдэг.
Sfull = Sside + Sbase,хаана Сайдхажуугийн нүүрний талбайн нийлбэр юм.
пирамидын эзэлхүүн томъёоны дагуу олно:
V=1/3Sсуурь h, хаана Сосн. - суурь талбай h- өндөр.
 |
|
Apothem ST - ердийн пирамидын хажуугийн нүүрний өндөр.
Ердийн пирамидын хажуугийн нүүрний талбайг дараах байдлаар илэрхийлнэ: Хажуу тал. =1/2P h, энд P нь суурийн периметр, h- хажуугийн нүүрний өндөр (ердийн пирамидын үг хэллэг). Хэрэв пирамидыг суурьтай параллель A'B'C'D' хавтгай гаталж байвал:
1) хажуугийн ирмэг ба өндрийг энэ хавтгайгаар пропорциональ хэсгүүдэд хуваана;
2) хэсэгт суурьтай төстэй A'B'C'D' олон өнцөгтийг авсан;
https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" өргөн "287" өндөр "151">
Таслагдсан пирамидын суурьижил төстэй олон өнцөгтүүд ABCD ба A`B`C`D`, хажуугийн нүүр нь трапец хэлбэртэй байна.
Өндөртаслагдсан пирамид - суурийн хоорондох зай.
Тасалсан хэмжээпирамидыг дараах томъёогоор олно.
V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="зүүн" өргөн="91" өндөр="96"> Энгийн тайрсан пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ: Sside. = ½(P+P') h, энд P ба P’ нь суурийн периметр, h- хажуугийн нүүрний өндөр (найраар таслагдсан ердийн үгийн үг
Пирамидын хэсгүүд.
Пирамидын дээд хэсгийг дайран өнгөрч буй онгоцнуудын хэсгүүд нь гурвалжин юм.
Пирамидын хоёр зэргэлдээ бус хажуугийн ирмэгийг дайран өнгөрөх хэсгийг нэрлэнэ диагональ хэсэг.
Хэрэв хэсэг нь хажуугийн ирмэг ба суурийн хажуугийн цэгийг дайран өнгөрвөл энэ тал нь пирамидын суурийн хавтгай дээрх мөр болно.
Пирамидын нүүрэн талд байрлах цэгийг дайран өнгөрөх хэсэг ба суурийн хавтгай дээрх хэсгийн өгөгдсөн ул мөр, дараа нь угсралтын ажлыг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ.
өгөгдсөн нүүрний хавтгайн огтлолцлын цэг ба пирамидын огтлолын ул мөрийг олж, түүнийг тодорхойлох;
өгөгдсөн цэг болон үүссэн огтлолцлын цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам барих;
· Дараагийн нүүрэнд эдгээр алхмуудыг давт.
, энэ нь тэгш өнцөгт гурвалжны хөлүүдийн харьцаа 4:3-тай тохирч байна. Хөлний энэ харьцаа нь "төгс", "ариун" эсвэл "Египетийн" гурвалжин гэж нэрлэгддэг 3: 4: 5 талтай, сайн мэддэг тэгш өнцөгт гурвалжинтай тохирч байна. Түүхчдийн үзэж байгаагаар "Египет" гурвалжин нь ид шидийн утгыг өгсөн. Египетчүүд орчлон ертөнцийн мөн чанарыг "ариун" гурвалжинтай зүйрлэсэн гэж Плутарх бичсэн; Тэд босоо хөлийг нөхөртэй, суурийг эхнэртэй, гипотенузыг хоёуланг нь төрсөн зүйлтэй зүйрлэсэн.
3:4:5 гурвалжны хувьд тэгш байдал нь үнэн: 32 + 42 = 52, энэ нь Пифагорын теоремыг илэрхийлдэг. Египетийн тахилч нар 3:4:5 гурвалжны үндсэн дээр пирамид босгож, мөнхжүүлэхийг хүссэн энэ теорем биш гэж үү? Илүү ихийг олоход хэцүү сайн жишээПифагорын теоремыг Пифагор нээхээс өмнө египетчүүдэд мэддэг байсан.
Ийнхүү Египетийн пирамидуудыг овсгоотой бүтээгчид алс холын хойч үеийнхэнд мэдлэгийн гүн гүнзгий сэтгэгдэл төрүүлэхийг эрэлхийлсэн бөгөөд тэд Cheops пирамидын "гол геометрийн санаа" - "алтан" тэгш өнцөгт гурвалжинг сонгосноор амжилтанд хүрсэн. Хафрийн пирамидын хувьд - "ариун" эсвэл "Египетийн" гурвалжин.
Эрдэмтэд судалгаандаа Алтан хэсгийн харьцаатай пирамидын шинж чанарыг ихэвчлэн ашигладаг.
Математикийн нэвтэрхий толь бичигт Алтан хэсгийн дараахь тодорхойлолтыг өгсөн болно - энэ нь гармоник хуваагдал, туйлын ба дундаж харьцаагаар хуваагдах - AB сегментийг хоёр хэсэгт хувааснаар түүний АС-ийн ихэнх нь дундаж байна. бүхэлд нь AB сегмент ба түүний жижиг хэсэг CB хооронд пропорциональ байна.
Сегментийн алтан хэсгийн алгебрийн олдвор AB = a a: x = x: (a - x) тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд бууруулна, эндээс x нь ойролцоогоор 0.62a-тай тэнцүү байна. x харьцааг 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0.618 бутархайгаар илэрхийлж болох ба энд 2, 3, 5, 8, 13, 21 нь Фибоначчийн тоонууд юм.
AB сегментийн алтан хэсгийн геометрийн бүтцийг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ: B цэг дээр AB-ийн перпендикуляр сэргээгдэж, BE \u003d 1/2 AB сегментийг байрлуулж, A ба E нь холбогдсон, DE \ u003d BE-ийг хойшлуулж, эцэст нь AC \u003d AD, дараа нь AB тэгшитгэл биелнэ: CB = 2: 3.
алтан харьцааихэвчлэн байгальд байдаг урлаг, архитектурын бүтээлүүдэд ашиглагддаг. Үүний тод жишээ бол Парфенон Аполло Белведерийн баримал юм. Парфеноныг барих явцад барилгын өндрийг урттай харьцуулсан харьцааг ашигласан бөгөөд энэ харьцаа 0.618 байна. Бидний эргэн тойрон дахь объектууд Алтан харьцааны жишээг өгдөг, жишээлбэл, олон номын хавтаснууд нь 0.618-ийн өргөн ба уртын харьцаатай байдаг. Ургамлын нийтлэг ишний навчны байршлыг харгалзан үзвэл хоёр хос навч бүрийн хооронд гурав дахь нь Алтан харьцаа (слайд) -ын байранд байрладаг болохыг анзаарч болно. Бидний хүн нэг бүр "гартаа" Алтан харьцааг "өмсдөг" - энэ бол хурууны фалангуудын харьцаа юм.
Хэд хэдэн математикийн папирус олсны ачаар египет судлаачид эртний Египетийн тооцоо, хэмжүүрийн системийн талаар ямар нэг зүйлийг олж мэдсэн. Тэдэнд агуулагдах даалгавруудыг бичээч нар шийддэг байв. Хамгийн алдартай нь Райндын математикийн папирус юм. Эдгээр оньсогонуудыг судалснаар египет судлаачид эртний египетчүүд жин, урт, эзэлхүүний хэмжигдэхүүнийг тооцоолохдоо олон янзын хэмжигдэхүүнүүдтэй хэрхэн харьцдаг, ихэвчлэн бутархайг ашигладаг байсан, мөн өнцөгт хэрхэн ханддаг байсныг олж мэдсэн.
Эртний египетчүүд тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр ба суурийн харьцаанд үндэслэн өнцгийг тооцоолох аргыг ашигладаг байжээ. Тэд градиент хэлээр ямар ч өнцгийг илэрхийлсэн. Налуугийн налууг бүхэл тооны харьцаагаар илэрхийлсэн бөгөөд үүнийг "секед" гэж нэрлэдэг. Ричард Пиллинз "Фараонуудын үеийн математик" номондоо: "Ердийн пирамидын секед нь дөрвөн гурвалжин нүүрний аль нэгнийх нь суурийн хавтгайд налууг босоо нэгж өндрөөр хэмжигдэх n-ийн тооны хэвтээ нэгжээр хэмжигддэг. . Тиймээс энэ хэмжүүр нь бидний орчин үеийн налуу өнцгийн котангенстай тэнцүү юм. Тиймээс Египетийн "секед" гэдэг үг манайхтай холбоотой орчин үеийн үг"градиент"".
Пирамидын тоон түлхүүр нь тэдний өндрийг суурьтай харьцуулсан харьцаанд оршдог. Практикийн хувьд энэ нь пирамидын барилгын явцад налуугийн зөв өнцгийг байнга шалгахад шаардлагатай загваруудыг хийх хамгийн хялбар арга юм.
Египет судлаачид фараон бүр өөрийн хувийн шинж чанарыг илэрхийлэхийг эрмэлздэг, иймээс пирамид бүрийн хазайлтын өнцгийн ялгаа байдаг гэдэгт итгүүлэхдээ баяртай байх болно. Гэхдээ өөр шалтгаан байж болно. Магадгүй тэд бүгд өөр өөр харьцаагаар далдлагдсан өөр өөр бэлгэдлийн холбоог өөртөө шингээхийг хүссэн байх. Гэсэн хэдий ч Khafre-ийн пирамидын өнцөг (гурвалжин (3:4:5) дээр үндэслэсэн) нь Ринд математикийн папирус дахь пирамидын танилцуулсан гурван бодлогод харагдана. Тиймээс энэ хандлагыг эртний Египетчүүд сайн мэддэг байсан.
Эртний египетчүүд 3:4:5 гурвалжинг мэддэггүй байсан гэж үздэг египет судлаачдад шударга байхын тулд гипотенуз 5-ын уртыг огт дурдаагүй гэж үзье. Гэхдээ математикийн асуудлууд, пирамидуудын тухайд үргэлж секед өнцгийн үндсэн дээр шийдэгддэг - өндөр ба суурийн харьцаа. Гипотенузын уртыг хэзээ ч дурдаагүй тул египетчүүд гурав дахь талын уртыг хэзээ ч тооцоогүй гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн.
Гизагийн пирамидуудад ашигласан өндрийн суурийн харьцааг эртний Египетчүүд мэддэг байсан нь эргэлзээгүй. Пирамид бүрийн хувьд эдгээр харьцааг дур зоргоороо сонгосон байж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч энэ нь Египетийн дүрслэх урлагийн бүх төрлүүдэд тоон тэмдэгтийн ач холбогдлыг зөрчиж байна. Шашны тодорхой санааг илэрхийлсэн тул ийм харилцаа чухал ач холбогдолтой байсан байх. Өөрөөр хэлбэл, Гизагийн бүх цогцолбор нь ямар нэгэн бурханлаг сэдвийг тусгах зорилготой уялдаа холбоотой дизайнтай байсан. Энэ нь дизайнерууд яагаад гурван пирамидын өөр өнцгийг сонгосон болохыг тайлбарлах болно.
“Орионы нууц” номдоо Баувал, Гилберт нар Гизагийн пирамидууд Орионы одны ордтой, ялангуяа Орионы бүсний ододтой холбоотой болохыг баттай нотлох баримтуудыг харуулсан.Ижил одны орд Исис, Осирис хоёрын домогт байдаг ба тэнд. Энэ нь пирамид бүрийг Осирис, Исис, Хорус гэсэн гурван гол бурхдын нэгний дүрс гэж үзэх шалтгаан юм.
"ГЕОМЕТРИЙН" гайхамшиг.
Египетийн агуу пирамидуудын дунд онцгой байр эзэлдэг Фараон Хеопсийн агуу пирамид (Хуфу). Хеопс пирамидын хэлбэр, хэмжээг шинжлэхээс өмнө египетчүүд ямар хэмжүүрийн системийг ашиглаж байсныг санах хэрэгтэй. Египетчүүд уртын гурван нэгжтэй байсан: "тохой" (466 мм), долоон "алга" (66.5 мм) -тэй тэнцэх бөгөөд энэ нь эргээд дөрвөн "хуруу" (16.6 мм) -тэй тэнцүү байв.
Украины эрдэмтэн Николай Васютинскийн "Гайхамшигт номонд өгөгдсөн үндэслэлийн дагуу Хеопсийн пирамидын хэмжээг шинжилье (Зураг 2). алтан харьцаа"(1990).
Ихэнх судлаачид пирамидын суурийн хажуугийн уртыг жишээ нь: Г.Фтэнцүү байна Л\u003d 233.16 м. Энэ утга нь бараг 500 "тохой" -той тохирч байна. Хэрэв "тохой" уртыг 0.4663 м-тэй тэнцүү гэж үзвэл 500 "тохой" -ыг бүрэн дагаж мөрдөх болно.
Пирамидын өндөр ( Х)-ийг судлаачид 146.6-аас 148.2 м-ийн хооронд өөрөөр үнэлдэг бөгөөд пирамидын хүлээн зөвшөөрөгдсөн өндрөөс хамааран түүний геометрийн элементүүдийн бүх харьцаа өөрчлөгддөг. Пирамидын өндрийг тооцохдоо зөрүүтэй байгаагийн шалтгаан юу вэ? Үнэнийг хэлэхэд, Cheops-ийн пирамид нь таслагдсан байдаг. Өнөөдөр түүний дээд тавцан нь ойролцоогоор 10´ 10 м хэмжээтэй, зуун жилийн өмнө 6´ 6 м-тэй тэнцэж байсан.Пирамидын оройг буулгасан нь илт байгаа бөгөөд энэ нь анхныхтай тохирохгүй байна.
Пирамидын өндрийг тооцоолохдоо бүтцийн "ноорог" гэх мэт физик хүчин зүйлийг харгалзан үзэх шаардлагатай. Удаан хугацааны туршид асар их даралтын нөлөөн дор (доод гадаргуугийн 1 м2 тутамд 500 тонн хүрдэг) пирамидын өндөр нь анхны өндрөөсөө багассан.
Пирамидын анхны өндөр хэд байсан бэ? Хэрэв та пирамидын үндсэн "геометрийн санааг" олж чадвал энэ өндрийг дахин бүтээж болно.
Зураг 2.
1837 онд Английн хурандаа Г.Уайз пирамидын нүүрний налуу өнцгийг хэмжсэн: энэ нь тэнцүү болж хувирав. а= 51°51". Энэ утгыг өнөөг хүртэл ихэнх судлаачид хүлээн зөвшөөрсөн хэвээр байна. Өнцгийн заасан утга нь шүргэгчтэй (тг) тохирч байна. а), 1.27306-тай тэнцүү. Энэ утга нь пирамидын өндрийн харьцаатай тохирч байна АСтүүний суурийн тал хүртэл CB(Зураг 2), i.e. АС / CB = Х / (Л / 2) = 2Х / Л.
Энд судлаачдыг том гайхшрал хүлээж байна!.png" width="25" height="24">= 1.272. Энэ утгыг tg утгатай харьцуулбал а= 1.27306, эдгээр утгууд хоорондоо маш ойрхон байгааг бид харж байна. Хэрэв бид өнцгийг авбал а\u003d 51 ° 50", өөрөөр хэлбэл үүнийг зөвхөн нэг нуман минутаар багасгахын тулд утга а 1.272-той тэнцүү болж, өөрөөр хэлбэл -ийн утгатай давхцах болно. 1840 онд Г.Уайз хэмжилтээ давтан хийж, өнцгийн утгыг тодруулсныг дурдах хэрэгтэй. а=51°50".
Эдгээр хэмжилтүүд нь судлаачдыг дараах маш сонирхолтой таамаглалд хүргэв. Хеопсийн пирамидын ASV гурвалжин нь АС хамаарал дээр суурилагдсан / CB = = 1,272!
Одоо тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье ABC, үүнд хөлний харьцаа АС / CB= (Зураг 2). Хэрэв одоо тэгш өнцөгтийн талуудын урт ABC-ээр тэмдэглэнэ х, y, z, мөн түүнчлэн харьцааг харгалзан үзнэ y/х= , тэгвэл Пифагорын теоремын дагуу урт zтомъёогоор тооцоолж болно:
Хэрэв зөвшөөрвөл х = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" өргөн "143" өндөр "27">
Зураг 3"Алтан" тэгш өнцөгт гурвалжин.
Талууд нь хоорондоо холбогдсон тэгш өнцөгт гурвалжин т:алтан" тэгш өнцөгт гурвалжин.
Дараа нь бид Хеопс пирамидын гол "геометрийн санаа" нь "алтан" тэгш өнцөгт гурвалжин гэсэн таамаглалыг үндэс болгон авч үзвэл эндээс Хеопс пирамидын "дизайн" өндрийг тооцоолоход хялбар болно. Энэ нь тэнцүү байна:
H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148.28 м.
Одоо "алтан" таамаглалаас үүдэлтэй Хеопсийн пирамидын бусад хамаарлыг гаргаж авцгаая. Ялангуяа бид пирамидын гаднах талбайн суурийн талбайн харьцааг олдог. Үүнийг хийхийн тулд бид хөлний уртыг авдаг CBнэгж тутамд, өөрөөр хэлбэл: CB= 1. Харин дараа нь пирамидын суурийн хажуугийн урт Г.Ф= 2 ба суурийн талбай EFGHтэнцүү байх болно SEFGH = 4.
Одоо Cheops пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолъё SD. Учир нь өндөр ABгурвалжин AEFтэнцүү байна т, дараа нь хажуугийн нүүрний талбай тэнцүү байх болно SD = т. Дараа нь пирамидын дөрвөн хажуугийн нийт талбай 4-тэй тэнцүү болно т, мөн пирамидын нийт гадаад талбайн суурийн талбайн харьцаа нь алтан харьцаатай тэнцүү байх болно! Ийм л байна - Cheops пирамидын гол геометрийн нууц!
Cheops пирамидын "геометрийн гайхамшгуудын" бүлэгт эдгээрийн хоорондын харилцааны бодит болон хэтийн шинж чанарууд багтдаг. өөр өөр хэмжээсүүдпирамид.
Дүрмээр бол тэдгээр нь зарим "тогтмол", тухайлбал, "пи" (Людольфын тоо), 3.14159-тэй тэнцэх тоог хайхад олж авсан ...; натурал логарифмын суурь "e" (Напиерийн тоо) 2.71828...-тай тэнцүү; "F" тоо, "алтан хэсгийн тоо", жишээлбэл, 0.618 ... гэх мэт.
Та нэрлэж болно, жишээлбэл: 1) Геродотын өмч: (Өндөр) 2 \u003d 0.5 ст. гол x Апотем; 2) V.-ийн өмч Үнэ: Өндөр: 0.5 ст. osn \u003d "Ф"-ийн квадрат язгуур; 3) М.Эйстийн өмч: Суурийн периметр: 2 Өндөр = "Пи"; өөр тайлбараар - 2 tbsp. гол : Өндөр = "Pi"; 4) Г.Реберийн өмч: Бичсэн тойргийн радиус: 0.5 ст. гол = "F"; 5) К.Клеппишийн өмч: (Гэгээн гол.) 2: 2 (д. үндсэн. x Апотем) \u003d (гол. В. Апотем) \u003d 2 (st. үндсэн. x Апотем) : (( 2-р үндсэн X Apothem) + (st. Үндсэн) 2). гэх мэт. Ялангуяа хоёр зэргэлдээх пирамидыг холбосон тохиолдолд та ийм олон шинж чанарыг олж авах боломжтой. Тухайлбал, "А.Арефьевын шинж чанарууд"-ын хувьд Хеопс болон Хафрегийн пирамидуудын эзэлхүүний зөрүү нь Менкаурегийн пирамидын эзэлхүүний хоёр дахин их хэмжээтэй тэнцэж байгааг дурдаж болно...
Д.Хэмбижийн "Архитектур дахь динамик тэгш хэм", М.Гикийн "Байгаль ба урлаг дахь харьцааны гоо зүй" номуудад "алтан хэсэг"-ийн дагуу пирамид барих тухай олон сонирхолтой заалтуудыг тусгасан болно. "Алтан хэсэг" нь сегментийг ийм харьцаагаар хуваах явдал гэдгийг санаарай, А хэсэг нь В хэсгээс хэд дахин их, А нь бүхэлдээ A + B сегментээс хэдэн дахин бага байх үед A / B харьцаа нь "Ф" тоотой тэнцүү == 1.618 .. "Алтан зүсэлт"-ийн хэрэглээг зөвхөн пирамидуудад төдийгүй Гиза дахь пирамидын цогцолборт бүхэлд нь зааж өгсөн болно.
Гэсэн хэдий ч хамгийн сонин зүйл бол Cheops-ийн нэг пирамид нь маш олон гайхалтай шинж чанарыг агуулж чаддаггүй явдал юм. Тодорхой өмчийг нэг нэгээр нь авснаар та үүнийг "тохируулж" болно, гэхдээ бүгд нэг дор таарахгүй - тэд давхцдаггүй, хоорондоо зөрчилддөг. Тиймээс, жишээлбэл, бүх шинж чанарыг шалгахдаа пирамидын суурийн нэг талыг (233 м) анх авсан бол өөр өөр шинж чанартай пирамидын өндөр нь бас өөр байх болно. Өөрөөр хэлбэл, Cheops-ийнхтэй гаднаасаа төстэй боловч өөр өөр шинж чанартай тохирох пирамидуудын тодорхой "гэр бүл" байдаг. "Геометрийн" шинж чанарт онцгой гайхамшигтай зүйл байхгүй гэдгийг анхаарна уу - ихэнх нь тухайн зургийн шинж чанараас автоматаар үүсдэг. "Гайхамшиг" нь зөвхөн эртний Египетчүүдийн хувьд боломжгүй зүйл гэж үзэх ёстой. Үүнд, ялангуяа Хеопс пирамид эсвэл Гиза дахь пирамидын цогцолборын хэмжилтийг зарим одон орны хэмжилтүүдтэй харьцуулж, "тэгш" тоонуудыг зааж өгсөн "сансрын" гайхамшгууд багтана: сая дахин, тэрбум дахин бага, мөн гэх мэт. Зарим "сансрын" харилцааг авч үзье.
Эдгээр мэдэгдлүүдийн нэг нь: "Хэрэв бид пирамидын суурийн хажуу талыг яг жилийн уртаар хуваавал дэлхийн тэнхлэгийн яг 10 сая дахь хэсгийг авна." Тооцоол: 233-ыг 365-д хуваавал 0.638 болно. Дэлхийн радиус нь 6378 км.
Өөр нэг мэдэгдэл нь өмнөхөөсөө эсрэгээрээ юм. Хэрэв та түүний зохион бүтээсэн "Египетийн тохой"-г ашиглавал пирамидын тал нь "Нарны жилийн хамгийн үнэн зөв үргэлжлэх хугацаа, өдрийн тэрбум дахь тоо" - 365.540.903.777 -тэй тохирно гэж Ф.Ноэтлинг онцолсон. .
П.Смитийн хэлсэн үг: "Пирамидын өндөр нь дэлхийгээс нар хүртэлх зайны яг тэрбумын нэгтэй тэнцэнэ". Хэдийгээр ихэвчлэн 146.6 м-ийн өндрийг авдаг ч Смит үүнийг 148.2 м гэж авсан.Орчин үеийн радарын хэмжилтээр бол дэлхийн тойрог замын хагас том тэнхлэг нь 149.597.870 + 1.6 км юм. Энэ нь Дэлхийгээс Нар хүртэлх дундаж зай боловч перигелийн үед афелионоос 5,000,000 километрээр бага байна.
Сүүлийн сониуч мэдэгдэл:
"Хеопс, Хафре, Менкаурегийн пирамидын масс нь Дэлхий, Сугар, Ангараг гарагуудын масстай адил өөр хоорондоо холбоотой гэдгийг хэрхэн тайлбарлах вэ?" Тооцоод үзье. Гурван пирамидын масс нь дараах байдлаар хамааралтай: Khafre - 0.835; Хеопс - 1000; Микерин - 0.0915. Гурван гаригийн массын харьцаа: Сугар - 0.815; Газар - 1000; Ангараг - 0.108.
Тиймээс, эргэлзээтэй байгаа хэдий ч мэдэгдлийн барилгын сайн мэддэг зохицлыг тэмдэглэе: 1) пирамидын өндөр нь "сансарт гарах" шугамын хувьд - Дэлхийгээс Нар хүртэлх зайтай тохирч байна; 2) пирамидын суурийн тал нь "субстраттай", өөрөөр хэлбэл Дэлхийтэй хамгийн ойрхон, дэлхийн радиус, дэлхийн эргэлтийг хариуцдаг; 3) пирамидын эзэлхүүн (унших - масс) нь дэлхийд хамгийн ойр байгаа гаригуудын массын харьцаатай тохирч байна. Үүнтэй төстэй "шифр" -ийг жишээлбэл, Карл фон Фришийн дүн шинжилгээ хийсэн зөгий хэлээр олж болно. Гэсэн хэдий ч бид одоогоор энэ талаар тайлбар хийхээс татгалзаж байна.
ПИРАМИДЫН ХЭЛБЭР
Пирамидуудын алдартай тетраэдр хэлбэр нь тэр даруй гарч ирээгүй. Скифчүүд шороон толгод - толгод хэлбэрээр оршуулга хийдэг байв. Египетчүүд чулуун "толгод" - пирамидуудыг барьсан. Энэ нь Дээд ба Доод Египетийг нэгтгэсний дараа анх удаа МЭӨ 28-р зуунд III гүрнийг үндэслэгч Фараон Жосер (Зосер) улс орны эв нэгдлийг бэхжүүлэх үүрэг даалгавартай тулгарсан үед тохиолдсон юм.
Мөн энд, түүхчдийн үзэж байгаагаар, төв эрх мэдлийг бэхжүүлэхэд хааны "шинэ шашны үзэл баримтлал" чухал үүрэг гүйцэтгэсэн. Хааны оршуулга нь илүү сүр жавхлангаараа ялгардаг байсан ч ордны язгууртнуудын булшнаас зарчмын хувьд ялгаатай байсангүй, тэдгээр нь ижил бүтэцтэй - мастаба байв. Муми агуулсан саркофаг бүхий тасалгааны дээгүүр тэгш өнцөгт хэлбэртэй жижиг чулуун толгод цутгаж, дараа нь том чулуун блокоос бүрдсэн жижиг барилга - "мастаба" (арабаар - "вандан сандал") байрлуулсан байв. Фараон Жозер өмнөх Санахтын мастабагийн газарт анхны пирамидыг босгожээ. Энэ нь шаталсан бөгөөд нэг архитектурын хэлбэрээс нөгөөд, мастабагаас пирамид хүртэлх харагдах шилжилтийн үе шат байв.
Ийнхүү фараоныг гэгээнтэн, архитектор Имхотеп "өсгөж" өсгөсөн бөгөөд хожим түүнийг ид шидтэн гэж тооцож, Грекчүүд Асклепиус бурхантай адилтгаж байжээ. Зургаан мастаба дараалан босгосон юм шиг. Түүгээр ч барахгүй анхны пирамид нь 1125 х 115 метр талбайг эзэлсэн бөгөөд тооцоолсон өндөр нь 66 метр байв (Египетийн хэмжүүрээр - 1000 "алга"). Эхлээд архитектор мастаба барихаар төлөвлөж байсан ч гонзгой биш, харин дөрвөлжин төлөвлөгөөтэй байсан. Дараа нь өргөтгөсөн боловч өргөтгөл нь доогуур хийгдсэнээс хойш яг л хоёр шат үүссэн.
Энэ байдал архитекторын сэтгэлд нийцээгүй бөгөөд асар том хавтгай мастабагийн дээд тавцан дээр Имхотеп дахин гурвыг байрлуулж, орой руу аажмаар буурчээ. Булш нь пирамидын доор байв.
Өөр хэд хэдэн шаталсан пирамидууд мэдэгдэж байсан боловч дараа нь барилгачид илүү танил болсон тетраэдр пирамидуудыг барихаар шилжсэн. Гэхдээ яагаад гурвалжин эсвэл найман өнцөгт биш гэж? Бараг бүх пирамидууд нь үндсэн дөрвөн цэгт төгс чиглэгдсэн байдаг тул дөрвөн талтай байдаг нь шууд бус хариулт юм. Үүнээс гадна пирамид нь дөрвөлжин булшны тасалгааны бүрхүүл болох "байшин" байв.
Гэхдээ нүүрний хазайлтын өнцөг юунаас болсон бэ? "Пропорцын зарчим" номонд "Пирамидын өнцгийг юу тодорхойлж болох вэ" гэсэн бүхэл бүтэн бүлгийг багтаасан болно. Тодруулбал, "Хуучин хаант улсын агуу пирамидуудын таталцаж буй дүрс нь дээд талдаа тэгш өнцөгт гурвалжин юм.
Сансарт энэ нь хагас октаэдр: суурийн ирмэг ба талууд нь тэнцүү, нүүр нь тэгш талт гурвалжин хэлбэртэй пирамид юм.Хэмбиж, Гик болон бусад хүмүүсийн номонд энэ сэдвээр тодорхой анхаарал хандуулсан болно.
Хагас октаэдрийн өнцгийн давуу тал нь юу вэ? Археологичид, түүхчдийн тайлбараас үзэхэд зарим пирамидууд өөрсдийн жин дор нурсан. Шаардлагатай зүйл бол "бат бөх байдлын өнцөг" байсан бөгөөд энэ нь хамгийн эрчим хүчний найдвартай өнцөг байв. Цэвэр эмпирик байдлаар энэ өнцгийг овоолж буй хуурай элсний оройн өнцгөөс авч болно. Гэхдээ үнэн зөв мэдээлэл авахын тулд та загварыг ашиглах хэрэгтэй. Дөрвөн хатуу бэхлэгдсэн бөмбөгийг авсны дараа та тав дахь бөмбөгийг тавьж, налуу өнцгийг хэмжих хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч энд та алдаа гаргаж болно, тиймээс онолын тооцоолол нь тусалдаг: та бөмбөгний төвүүдийг шугамаар (сэтгэцийн хувьд) холбох хэрэгтэй. Суурь дээр та радиусаас хоёр дахин их талтай квадратыг авна. Квадрат нь зөвхөн пирамидын суурь байх бөгөөд ирмэгийн урт нь радиусаас хоёр дахин их байх болно.
Тиймээс 1: 4 харьцаатай бөмбөгний нягт савлагаа нь бидэнд ердийн хагас октаэдрийг өгөх болно.
Гэсэн хэдий ч, яагаад ижил төстэй хэлбэр рүү татагддаг олон пирамидууд үүнийг хадгалдаггүй вэ? Магадгүй пирамидууд хуучирч байгаа байх. Алдарт үгийн эсрэгээр:
"Дэлхий дээрх бүх зүйл цаг хугацаанаас айдаг, цаг хугацаа пирамидуудаас айдаг" пирамидын барилгууд нь хөгширч, зөвхөн гадны өгөршлийн үйл явц төдийгүй дотоод "агшилт" үйл явцыг хийж чадна, хийх ёстой. , үүнээс пирамидууд доошилж болно. Д.Дэвидовицын бүтээлээс олж мэдсэнээр эртний египетчүүд шохойн чипс, өөрөөр хэлбэл "бетон" -аас блок хийх технологийг ашигласан тул агшилт нь бас боломжтой юм. Каираас өмнө зүгт 50 км-ийн зайд орших Медум пирамид сүйрсэн шалтгааныг тайлбарлаж болохуйц эдгээр үйл явц юм. Энэ нь 4600 жилийн настай, суурийн хэмжээ нь 146 х 146 м, өндөр нь 118 м. В.Замаровский “Яагаад ингэж зэрэмдэглэсэн юм бэ?” гэж асуухад “Цаг хугацааны сүйрлийн нөлөө, “бусад барилгад чулуу ашиглах” тухай ердийн ишлэлүүд энд тохирохгүй байна.
Эцсийн эцэст, түүний ихэнх блокууд, нүүрэн талын хавтангууд нь түүний хөлд туурь, туурвисан хэвээр байсаар байна. "Бидний харж байгаачлан, хэд хэдэн заалтууд нь алдарт Хеопс пирамид ч мөн "хумссан" гэж бодоход хүргэдэг. Ямар ч байсан. , бүх эртний зургууд дээр пирамидууд үзүүртэй байдаг ...
Пирамидын хэлбэрийг дуурайлган хийж болно: зарим байгалийн хэв маяг, "гайхамшигт төгс байдал", октаэдрон хэлбэртэй зарим талстууд.
Ийм талстууд нь алмааз, алтны талст байж болно. Фараон, Нар, Алт, Алмаз гэх мэт ойлголтуудын хувьд олон тооны "холбох" тэмдгүүд нь онцлог шинж чанартай байдаг. Хаа сайгүй - эрхэмсэг, гялалзсан (гялалзсан), агуу, өөгүй гэх мэт. Ижил төстэй байдал нь санамсаргүй биш юм.
Нарны шүтлэг нь эртний Египетийн шашны чухал хэсэг байсныг та мэднэ. "Хамгийн агуу пирамидуудын нэрийг бид яаж орчуулсан ч хамаагүй" гэж нэг нь тэмдэглэжээ орчин үеийн туслах хэрэгслүүд-"Хуфугийн огторгуй" буюу "Тэнгэрийн Хуфу" гэдэг нь хаан бол нар гэсэн үг юм."Хэрвээ Хуфу хүч чадлынхаа сүр жавхлангаар өөрийгөө хоёр дахь нар гэж төсөөлж байсан бол түүний хүү Жедеф-Ра нар бол анхных нь болсон юм. Өөрийгөө "Рагийн хүү", өөрөөр хэлбэл Нарны хүү гэж нэрлэж эхэлсэн Египетийн хаад. Нарыг бараг бүх үндэстэнд "нарны метал" алтаар бэлгэддэг байв. "Тод алтны том диск" - египетчүүд бидний өдрийн гэрлийг ингэж нэрлэдэг байсан.Египетчүүд алтыг маш сайн мэддэг, алтны талстууд октаэдрон хэлбэрээр гарч ирдэг уугуул хэлбэрийг нь мэддэг байсан.
"Хэлбэрийн дээж" -ийн хувьд "нарны чулуу" - алмаз нь энд бас сонирхолтой юм. Алмазны нэр нь зөвхөн Арабын ертөнцөөс гаралтай, "алмас" - хамгийн хатуу, хамгийн хатуу, эвдэшгүй. Эртний Египетчүүд алмазыг мэддэг байсан бөгөөд түүний шинж чанар нь маш сайн байдаг. Зарим зохиогчдын үзэж байгаагаар тэд өрөмдлөгийн ажилд алмазан зүсэгч бүхий хүрэл хоолойг ч ашигладаг байжээ.
Өдгөө Өмнөд Африк очир эрдэнийн гол нийлүүлэгч болсон ч Баруун Африк ч мөн алмаазаар баялаг. Бүгд Найрамдах Мали улсын нутаг дэвсгэрийг тэнд "Очир эрдэнийн газар" гэж хүртэл нэрлэдэг. Энэ хооронд Мали улсын нутаг дэвсгэр дээр Догон амьдардаг бөгөөд палеовизитын таамаглалыг дэмжигчид олон найдвар төрүүлдэг (доороос үзнэ үү). Эртний египетчүүдийн энэ бүс нутагтай харилцах шалтгаан нь алмаз байж чадахгүй байв. Гэсэн хэдий ч эртний египетчүүд алмааз, алтны талстуудын октаэдрийг хуулбарласнаар алмаз шиг "усгаршгүй", алт шиг "гялалзсан" нарны хөвгүүдийг харьцуулах боломжтой фараонуудыг бурхан болгосон байж магадгүй юм. зөвхөн байгалийн хамгийн гайхамшигтай бүтээлүүдээр.
Дүгнэлт:
Пирамидыг геометрийн бие гэж судалж, түүний элементүүд, шинж чанаруудтай танилцсаны дараа бид пирамидын хэлбэрийн гоо үзэсгэлэнгийн талаархи үзэл бодлын үнэн зөв гэдэгт итгэлтэй байсан.
Судалгааны үр дүнд бид Египетчүүд математикийн хамгийн үнэ цэнэтэй мэдлэгийг цуглуулж, түүнийг пирамид хэлбэрээр шингээсэн гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Тиймээс пирамид бол үнэхээр байгаль, хүний хамгийн төгс бүтээл юм.
НОМ ЗҮЙ
"Геометр: Proc. 7-9 эсийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд \ гэх мэт - 9-р хэвлэл - М .: Боловсрол, 1999
Сургуулийн математикийн түүх, М: "Гэгээрэл", 1982 он
Геометрийн 10-11-р анги, М: "Гэгээрэл", 2000 он
Питер Томпкинс "Хеопсийн агуу пирамидын нууц", М: "Центрополиграф", 2005 он.
Интернет нөөц
http://veka-i-mig. *****/
http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm
http://www. *****/enc/54373.html
Тодорхойлолт. Хажуугийн нүүр- энэ бол нэг өнцөг нь пирамидын дээд хэсэгт байрлах гурвалжин бөгөөд түүний эсрэг тал нь суурийн талтай (олон өнцөгт) давхцдаг.
Тодорхойлолт. Хажуугийн хавиргахажуугийн нүүрний нийтлэг талууд юм. Пирамид нь олон өнцөгт булантай адил олон ирмэгтэй байдаг.
Тодорхойлолт. пирамидын өндөрЭнэ нь пирамидын дээд хэсгээс суурь руу унасан перпендикуляр юм.
Тодорхойлолт. Апотем- энэ нь пирамидын дээд талаас суурийн хажуу руу доошлуулсан пирамидын хажуугийн перпендикуляр юм.
Тодорхойлолт. Диагональ хэсэг- энэ нь пирамидын дээд ба суурийн диагональ дундуур дайран өнгөрч буй онгоцоор пирамидын хэсэг юм.
Тодорхойлолт. Зөв пирамид- Энэ бол пирамид бөгөөд түүний суурь нь ердийн олон өнцөгт хэлбэртэй бөгөөд өндөр нь суурийн төв хүртэл доошоо буудаг.
Пирамидын эзэлхүүн ба гадаргуугийн талбай
Томъёо. пирамидын эзэлхүүнсуурь талбай ба өндрөөр:
пирамидын шинж чанарууд
Хэрэв бүх хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү бол пирамидын суурийн эргэн тойронд тойрог зурж, суурийн төв нь тойргийн төвтэй давхцаж болно. Мөн дээрээс унасан перпендикуляр нь суурийн төв (тойрог) дамжин өнгөрдөг.
Хэрэв бүх хажуугийн хавирга тэнцүү байвал тэдгээр нь ижил өнцгөөр суурь хавтгайд налуу байна.
Хажуугийн хавирга нь суурийн хавтгайтай тэнцүү өнцөг үүсгэх эсвэл пирамидын суурийн эргэн тойронд тойрог дүрслэх боломжтой бол тэнцүү байна.
Хэрэв хажуугийн нүүр нь суурийн хавтгайд нэг өнцгөөр налуу байвал пирамидын сууринд тойрог зурж, пирамидын дээд хэсгийг төв рүү чиглүүлж болно.
Хажуугийн нүүр нь нэг өнцгөөр суурийн хавтгайд налуу байвал хажуугийн нүүрний тэмдэгтүүд тэнцүү байна.
Ердийн пирамидын шинж чанарууд
1. Пирамидын орой нь суурийн бүх булангаас ижил зайд байрладаг.
2. Хажуугийн бүх ирмэгүүд тэнцүү байна.
3. Хажуугийн бүх хавирга нь суурьтай ижил өнцгөөр налуу байна.
4. Хажуугийн бүх нүүрний нэрсүүд тэнцүү байна.
5. Бүх талын нүүрний талбайнууд тэнцүү байна.
6. Бүх нүүр нь хоёр талт (хавтгай) өнцөгтэй.
7. Пирамидын эргэн тойронд бөмбөрцөг дүрсэлж болно. Тайлбарласан бөмбөрцгийн төв нь ирмэгийн дундуур дамждаг перпендикуляруудын огтлолцох цэг байх болно.
8. Пирамид дотор бөмбөрцөг дүрсэлж болно. Бичсэн бөмбөрцгийн төв нь ирмэг ба суурийн хоорондох өнцгөөс гарч буй биссектрисын огтлолцох цэг болно.
9. Хэрэв бичээстэй бөмбөрцгийн төв нь хүрээлэгдсэн бөмбөрцгийн төвтэй давхцаж байвал орой дээрх хавтгай өнцгүүдийн нийлбэр нь π-тэй тэнцүү эсвэл эсрэгээр, нэг өнцөг нь π / n-тэй тэнцүү, энд n нь тоо юм. пирамидын суурь дахь өнцгүүдийн .
Пирамидын бөмбөрцөгтэй холболт
Пирамидын ёроолд тойрог дүрслэх боломжтой олон өнцөгт байрладаг бол пирамидын эргэн тойронд бөмбөрцөг дүрсэлж болно (шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл). Бөмбөрцгийн төв нь пирамидын хажуугийн ирмэгийн дунд цэгүүдээр перпендикуляр өнгөрч буй хавтгайн огтлолцох цэг байх болно.
Бөмбөрцгийг ямар ч гурвалжин эсвэл ердийн пирамидын эргэн тойронд дүрсэлж болно.
Хэрэв пирамидын дотоод хоёр талт өнцгүүдийн биссектрисын хавтгайнууд нэг цэгт огтлолцож байвал бөмбөрцгийг пирамид дотор бичиж болно (шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл). Энэ цэг нь бөмбөрцгийн төв байх болно.
Пирамидын конустай холболт
Конусын оройнууд нь давхцаж, конусын суурь нь пирамидын сууринд бичээстэй байвал конусыг пирамид дотор бичээстэй гэж нэрлэдэг.
Пирамидын үг үсэг тэнцүү байвал конусыг пирамид дотор бичиж болно.
Конусын оройнууд нь давхцаж, конусын суурь нь пирамидын суурийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн байвал конусыг тойрон хүрээлэгдсэн гэж нэрлэдэг.
Пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд хоорондоо тэнцүү бол конусыг пирамидын эргэн тойронд дүрсэлж болно.
Пирамидыг цилиндртэй холбох
Пирамидын дээд хэсэг нь цилиндрийн нэг суурин дээр, харин пирамидын суурь нь цилиндрийн өөр сууринд бичээстэй бол пирамид нь цилиндрт бичээстэй гэж нэрлэгддэг.
Пирамидын суурийн эргэн тойронд тойрог зурж чадвал цилиндрийг пирамидын эргэн тойронд дүрсэлж болно.
Тетраэдр нь дөрвөн нүүр, дөрвөн орой, зургаан ирмэгтэй бөгөөд аль ч хоёр ирмэг нь нийтлэг оройгүй боловч хүрч болохгүй.
Орой бүр нь гурван нүүр ба ирмэгээс бүрдэнэ гурвалсан өнцөг.
Тетраэдрийн оройг эсрэг талын нүүрний төвтэй холбосон сегментийг нэрлэдэг тетраэдрийн медиан(GM).
Бимедианхүрэлцдэггүй эсрэг талын ирмэгүүдийн дунд цэгүүдийг холбосон сегмент гэж нэрлэдэг (KL).
Тетраэдрийн бүх бимедиан ба медианууд нэг цэгт (S) огтлолцдог. Энэ тохиолдолд хоёр медианыг хагасаар хувааж, дээд талаас нь 3: 1 харьцаатай медианыг хуваана.
Тодорхойлолт. Хурц өнцөгт пирамиднь апотем нь суурийн хажуугийн хагасаас илүү урттай пирамид юм.
Тодорхойлолт. мохоо пирамиднь апотем нь суурийн хажуугийн хагасаас бага урттай пирамид юм.
Тодорхойлолт. ердийн тетраэдрДөрвөн нүүр нь тэгш талт гурвалжин хэлбэртэй тетраэдр. Энэ нь ердийн таван олон өнцөгтийн нэг юм. Ердийн тетраэдрт бүх хоёр өнцөгт өнцөг (нүүрний хоорондох) ба гурвалсан өнцөг (орой дээр) тэнцүү байна.
Тодорхойлолт. Тэгш өнцөгт тетраэдрОрой дээрх гурван ирмэгийн хооронд тэгш өнцөгтэй (ирмэгүүд нь перпендикуляр) тетраэдр гэж нэрлэгддэг. Гурван нүүр үүсдэг тэгш өнцөгт гурвалсан өнцөгба нүүрнүүд нь тэгш өнцөгт гурвалжин, суурь нь дурын гурвалжин юм. Ямар ч нүүрний өргөмжлөл нь апотем унасан суурийн талтай тэнцүү байна.
Тодорхойлолт. Изохедр тетраэдрХажуугийн нүүр нь хоорондоо тэнцүү, суурь нь ердийн гурвалжин хэлбэртэй тетраэдр гэж нэрлэгддэг. Ийм тетраэдрийн нүүрнүүд нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм.
Тодорхойлолт. Ортоцентрик тетраэдрДээд талаас эсрэг талын нүүр рүү буулгасан бүх өндөр (перпендикуляр) нэг цэг дээр огтлолцдог тетраэдр гэж нэрлэдэг.
Тодорхойлолт. од пирамидСуурь нь од болсон олон өнцөгтийг нэрлэдэг.
Пирамид. Таслагдсан пирамид
Пирамиднэг нүүр нь олон өнцөгт хэлбэртэй олон өнцөгт гэж нэрлэгддэг ( суурь ), бусад бүх нүүр нь нийтлэг оройтой гурвалжин ( хажуугийн нүүрнүүд ) (Зураг 15). Пирамид гэж нэрлэдэг зөв , хэрэв түүний суурь нь ердийн олон өнцөгт бөгөөд пирамидын орой нь суурийн төв рүү чиглэсэн байвал (Зураг 16). Бүх ирмэгүүд нь тэнцүү гурвалжин пирамид гэж нэрлэгддэг тетраэдр .
Хажуугийн хавиргапирамид нь сууринд хамаарахгүй хажуугийн нүүрний тал гэж нэрлэгддэг Өндөр пирамид нь түүний оройноос суурийн хавтгай хүртэлх зай юм. Ердийн пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд нь хоорондоо тэнцүү, бүх хажуугийн нүүр нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Оройноос зурсан ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн өндрийг гэнэ апотема . диагональ хэсэг Пирамидын зүсэлтийг нэг нүүрэнд хамаарахгүй хоёр хажуугийн ирмэгээр дамжин өнгөрөх хавтгай гэж нэрлэдэг.
Хажуугийн гадаргуугийн талбайПирамидыг бүх талын нүүрний талбайн нийлбэр гэж нэрлэдэг. Бүтэн гадаргуугийн талбай бүх хажуугийн нүүр ба суурийн талбайн нийлбэр юм.
Теоремууд
1. Хэрэв пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд нь суурийн хавтгайд тэгш налуу байвал пирамидын дээд хэсэг нь суурийн ойролцоох хүрээлэгдсэн тойргийн төв рүү чиглэсэн байна.
2. Хэрэв пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд ижил урттай бол пирамидын дээд хэсэг нь суурийн ойролцоох хүрээлэгдсэн тойргийн төв рүү чиглэнэ.
3. Хэрэв пирамидын бүх нүүр нь суурийн хавтгайд тэгш налуу байвал пирамидын дээд хэсэг нь сууринд сийлсэн тойргийн төв рүү чиглэсэн байна.
Дурын пирамидын эзэлхүүнийг тооцоолохын тулд томъёо зөв байна.
хаана В- эзлэхүүн;
S гол- суурь талбай;
Хпирамидын өндөр.
Энгийн пирамидын хувьд дараах томъёонууд үнэн байна.
хаана х- суурийн периметр;
h a- апотем;
Х- өндөр;
S дүүрэн
S тал
S гол- суурь талбай;
Внь ердийн пирамидын эзэлхүүн юм.
таслагдсан пирамидпирамидын суурьтай зэрэгцээ огтлох хавтгай ба суурийн хооронд хаалттай пирамидын хэсгийг гэж нэрлэдэг (Зураг 17). Зөв зүсэгдсэн пирамид пирамидын суурьтай параллель суурь ба огтлох хавтгайн хооронд бэхлэгдсэн ердийн пирамидын хэсгийг гэж нэрлэдэг.
Суурьтаслагдсан пирамид - ижил төстэй олон өнцөгтүүд. Хажуугийн нүүр царай - трапец. Өндөр Таслагдсан пирамидыг суурийн хоорондох зай гэж нэрлэдэг. Диагональ Таслагдсан пирамид нь нэг нүүрэн дээр байрладаггүй оройнуудыг холбосон сегмент юм. диагональ хэсэг Таслагдсан пирамидын хэсгийг нэг нүүрэнд хамаарахгүй хоёр хажуугийн ирмэгээр дамжин өнгөрөх хавтгай гэж нэрлэдэг.
Таслагдсан пирамидын хувьд дараах томъёонууд хүчинтэй байна.
(4)
хаана С 1 , С 2 - дээд ба доод суурийн хэсгүүд;
S дүүрэннийт гадаргуугийн талбай;
S талхажуугийн гадаргуугийн талбай;
Х- өндөр;
Внь таслагдсан пирамидын эзэлхүүн юм.
Энгийн тайрсан пирамидын хувьд дараах томьёо үнэн байна.
хаана х 1 , х 2 - суурийн периметрүүд;
h a- ердийн тайрсан пирамидын үг.
Жишээ 1Ердийн гурвалжин пирамидын суурь дахь хоёр талт өнцөг нь 60º байна. Суурийн хавтгайд хажуугийн ирмэгийн налуу өнцгийн тангенсыг ол.
Шийдвэр.Зураг зурцгаая (Зураг 18).
 |
Пирамид нь тогтмол бөгөөд энэ нь суурь нь тэгш талт гурвалжин бөгөөд бүх хажуугийн гадаргуу нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин гэсэн үг юм. Суурийн хоёр өнцөгт өнцөг нь пирамидын хажуугийн гадаргуугийн суурийн хавтгайд налуугийн өнцөг юм. Шугаман өнцөг нь өнцөг байх болно ахоёр перпендикулярын хооронд: i.e. Пирамидын дээд хэсэг нь гурвалжны төвд (хүрээлэгдсэн тойргийн төв ба гурвалжин дахь бичээстэй тойргийн төв) төсөөлөгддөг. ABC). Хажуугийн хавирганы налуу өнцөг (жишээлбэл С.Б) нь ирмэг ба түүний суурийн хавтгай дээрх проекцын хоорондох өнцөг юм. Хавирганы хувьд С.Бэнэ өнцөг нь өнцөг болно SBD. Шүргэгчийг олохын тулд та хөлийг мэдэх хэрэгтэй SOболон ОБ. Сегментийн уртыг үзье Б.Д 3 байна а. цэг Ошугамын сегмент Б.Дгэсэн хэсгүүдэд хуваагдана: мөн From we find SO: 
Бидний олж мэдсэнээр: 
Хариулт:
Жишээ 2Энгийн таслагдсан дөрвөлжин пирамидын суурийн диагональ нь см ба см, өндөр нь 4 см бол эзлэхүүнийг ол.
Шийдвэр.Таслагдсан пирамидын эзэлхүүнийг олохын тулд (4) томъёог ашиглана. Суурийн талбайг олохын тулд тэдгээрийн диагональуудыг мэдэхийн тулд суурийн квадратуудын талыг олох хэрэгтэй. Суурийн талууд нь тус тус 2 см ба 8 см байна. Энэ нь суурийн талбайг хэлнэ гэсэн үг бөгөөд бүх өгөгдлийг томьёонд орлуулснаар бид таслагдсан пирамидын эзэлхүүнийг тооцоолно.
Хариулт: 112 см3.
Жишээ 3Суурийн талууд нь 10 см ба 4 см, пирамидын өндөр нь 2 см хэмжээтэй энгийн гурвалжин зүсэгдсэн пирамидын хажуугийн нүүрний талбайг ол.
Шийдвэр.Зураг зурцгаая (Зураг 19).
Энэхүү пирамидын хажуугийн нүүр нь хоёр талт трапец юм. Трапецын талбайг тооцоолохын тулд та суурь ба өндрийг мэдэх хэрэгтэй. Суурь нь нөхцөлөөр өгөгдсөн бөгөөд зөвхөн өндөр нь тодорхойгүй хэвээр байна. Хаанаас нь олоорой ГЭХДЭЭ 1 Эцэгээс перпендикуляр ГЭХДЭЭ 1 доод суурийн хавтгай дээр, А 1 Д-аас перпендикуляр ГЭХДЭЭ 1 дээр АС. ГЭХДЭЭ 1 Э\u003d 2 см, учир нь энэ нь пирамидын өндөр юм. олохын тулд Д.Эбид нэмэлт зураг зурах бөгөөд үүнд дээд талын үзэмжийг дүрслэх болно (Зураг 20). Цэг О- дээд ба доод суурийн төвүүдийн проекц. оноос хойш (20-р зургийг үз) болон Нөгөө талаас БОЛЖ БАЙНА УУнь бичээстэй тойргийн радиус ба 
ОМнь бичээстэй тойргийн радиус юм:
MK=DE.
-аас Пифагорын теоремын дагуу
Хажуугийн нүүрний хэсэг: 
Хариулт:
Жишээ 4Пирамидын ёроолд суурь нь ижил тэгш өнцөгт трапец хэлбэртэй байдаг аболон б (а> б). Хажуугийн нүүр бүр нь пирамидын суурийн хавтгайтай тэнцүү өнцөг үүсгэдэг ж. Пирамидын нийт гадаргуугийн талбайг ол.
Шийдвэр.Зураг зурцгаая (Зураг 21). Пирамидын нийт гадаргуугийн талбай SABCDЭнэ нь трапецын талбай ба талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна A B C D.
Хэрэв пирамидын бүх нүүр нь суурийн хавтгайд тэгш налуу байвал орой нь сууринд сийлсэн тойргийн төв рүү чиглэнэ гэсэн мэдэгдлийг бид ашигладаг. Цэг О- оройн проекц Спирамидын ёроолд. Гурвалжин SODгурвалжны ортогональ проекц юм CSDсуурь хавтгайд. Хавтгай дүрсийн ортогональ проекцын талбайн тухай теоремын дагуу бид дараахь зүйлийг авна.
Үүнтэй адилаар гэсэн үг 
Тиймээс трапецын талбайг олоход асуудал багассан A B C D. Трапец зур A B C Dтусад нь (Зураг 22). Цэг Отрапец хэлбэрээр бичээстэй тойргийн төв юм.
Пифагорын теоремоор тойрог нь трапец хэлбэрээр бичигдсэн байж болох тул бид
