Παροχές του δρόμου

Λογάριθμος στη βάση 10. Λογαριθμικές εκφράσεις

Λογαριθμικές εκφράσεις, επίλυση παραδειγμάτων. Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε προβλήματα που σχετίζονται με την επίλυση λογαρίθμων. Οι εργασίες θέτουν το ερώτημα της εύρεσης της σημασίας μιας έκφρασης. Πρέπει να σημειωθεί ότι η έννοια του λογάριθμου χρησιμοποιείται σε πολλές εργασίες και η κατανόηση της σημασίας της είναι εξαιρετικά σημαντική. Όσον αφορά την Ενιαία Κρατική Εξέταση, ο λογάριθμος χρησιμοποιείται κατά την επίλυση εξισώσεων, σε εφαρμοσμένα προβλήματα, καθώς και σε εργασίες που σχετίζονται με τη μελέτη συναρτήσεων.

Ας δώσουμε παραδείγματα για να κατανοήσουμε την ίδια την έννοια του λογάριθμου:

Βασική λογαριθμική ταυτότητα:

Ιδιότητες λογαρίθμων που πρέπει πάντα να θυμόμαστε:

*Ο λογάριθμος του γινομένου είναι ίσος με το άθροισμα των λογαρίθμων των παραγόντων.

* * *

*Ο λογάριθμος ενός πηλίκου (κλάσματος) ισούται με τη διαφορά μεταξύ των λογαρίθμων των παραγόντων.

* * *

*Ο λογάριθμος ενός εκθέτη είναι ίσος με το γινόμενο του εκθέτη και του λογάριθμου της βάσης του.

* * *

*Μετάβαση σε νέα βάση

* * *

Περισσότερες ιδιότητες:

* * *

Ο υπολογισμός των λογαρίθμων σχετίζεται στενά με τη χρήση των ιδιοτήτων των εκθετών.

Ας παραθέσουμε μερικά από αυτά:

Η ουσία αυτής της ιδιότητας είναι ότι όταν ο αριθμητής μεταφέρεται στον παρονομαστή και αντίστροφα, το πρόσημο του εκθέτη αλλάζει στο αντίθετο. Για παράδειγμα:

Συμπέρασμα από αυτό το ακίνητο:

* * *

Όταν αυξάνεται μια ισχύς σε μια ισχύ, η βάση παραμένει η ίδια, αλλά οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται.

* * *

Όπως είδατε, η ίδια η έννοια του λογάριθμου είναι απλή. Το κύριο πράγμα είναι ότι χρειάζεστε καλή πρακτική, η οποία σας δίνει μια συγκεκριμένη ικανότητα. Φυσικά απαιτείται γνώση τύπων. Εάν η ικανότητα μετατροπής στοιχειωδών λογαρίθμων δεν έχει αναπτυχθεί, τότε κατά την επίλυση απλών εργασιών μπορείτε εύκολα να κάνετε ένα λάθος.

Εξασκηθείτε, λύστε πρώτα τα πιο απλά παραδείγματα από το μάθημα των μαθηματικών και μετά προχωρήστε σε πιο σύνθετα. Στο μέλλον, σίγουρα θα δείξω πόσο «άσχημοι» λογάριθμοι λύνονται· αυτοί δεν θα εμφανίζονται στην Ενιαία Κρατική Εξέταση, αλλά έχουν ενδιαφέρον, μην τους χάσετε!

Αυτό είναι όλο! Καλή σου τύχη!

Με εκτίμηση, Alexander Krutitskikh

P.S: Θα σας ήμουν ευγνώμων αν μου πείτε για τον ιστότοπο στα κοινωνικά δίκτυα.

Άρα, έχουμε δυνάμεις δύο. Εάν πάρετε τον αριθμό από την κάτω γραμμή, μπορείτε εύκολα να βρείτε τη δύναμη στην οποία θα πρέπει να αυξήσετε δύο για να λάβετε αυτόν τον αριθμό. Για παράδειγμα, για να πάρετε 16, πρέπει να αυξήσετε δύο στην τέταρτη δύναμη. Και για να πάρετε 64, πρέπει να αυξήσετε δύο στην έκτη δύναμη. Αυτό φαίνεται από τον πίνακα.

Και τώρα, στην πραγματικότητα, ο ορισμός του λογάριθμου:

Η βάση ενός λογάριθμου του x είναι η ισχύς στην οποία πρέπει να αυξηθεί το a για να ληφθεί x.

Σημείωση: log a x = b, όπου a είναι η βάση, x είναι το όρισμα, b είναι αυτό με το οποίο είναι πραγματικά ίσος ο λογάριθμος.

Για παράδειγμα, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (ο λογάριθμος βάσης 2 του 8 είναι τρεις επειδή 2 3 = 8). Με την ίδια επιτυχία, log 2 64 = 6, αφού 2 6 = 64.

Η πράξη εύρεσης του λογάριθμου ενός αριθμού σε μια δεδομένη βάση ονομάζεται λογάριθμος. Λοιπόν, ας προσθέσουμε μια νέα γραμμή στον πίνακα μας:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
ημερολόγιο 2 2 = 1	ημερολόγιο 2 4 = 2	ημερολόγιο 2 8 = 3	ημερολόγιο 2 16 = 4	ημερολόγιο 2 32 = 5	ημερολόγιο 2 64 = 6

Δυστυχώς, δεν υπολογίζονται όλοι οι λογάριθμοι τόσο εύκολα. Για παράδειγμα, προσπαθήστε να βρείτε το αρχείο καταγραφής 2 5. Ο αριθμός 5 δεν βρίσκεται στον πίνακα, αλλά η λογική υπαγορεύει ότι ο λογάριθμος θα βρίσκεται κάπου στο διάστημα. Επειδή 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται παράλογοι: οι αριθμοί μετά την υποδιαστολή μπορούν να γραφτούν επ' άπειρον και δεν επαναλαμβάνονται ποτέ. Εάν ο λογάριθμος αποδειχθεί παράλογος, είναι καλύτερα να τον αφήσετε έτσι: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι ένας λογάριθμος είναι μια έκφραση με δύο μεταβλητές (τη βάση και το όρισμα). Πολλοί άνθρωποι στην αρχή μπερδεύουν πού είναι η βάση και πού είναι το επιχείρημα. Για να αποφύγετε ενοχλητικές παρεξηγήσεις, απλά δείτε την εικόνα:

[Λεζάντα για την εικόνα]

Μπροστά μας δεν υπάρχει τίποτα άλλο από τον ορισμό του λογάριθμου. Θυμάμαι: ο λογάριθμος είναι δύναμη, στην οποία πρέπει να ενσωματωθεί η βάση για να ληφθεί ένα όρισμα. Είναι η βάση που ανυψώνεται σε δύναμη - επισημαίνεται με κόκκινο χρώμα στην εικόνα. Αποδεικνύεται ότι η βάση είναι πάντα στο κάτω μέρος! Λέω στους μαθητές μου αυτόν τον υπέροχο κανόνα στο πρώτο μάθημα - και δεν δημιουργείται σύγχυση.

Καταλάβαμε τον ορισμό - το μόνο που μένει είναι να μάθουμε πώς να μετράμε λογάριθμους, π.χ. απαλλαγείτε από το σημάδι "κούτσουρο". Αρχικά, σημειώνουμε ότι δύο σημαντικά στοιχεία προκύπτουν από τον ορισμό:

Το όρισμα και η βάση πρέπει πάντα να είναι μεγαλύτερα από το μηδέν. Αυτό προκύπτει από τον ορισμό ενός βαθμού από έναν ορθολογικό εκθέτη, στον οποίο ανάγεται ο ορισμός ενός λογάριθμου.
Η βάση πρέπει να είναι διαφορετική από τη μία, αφού η μία σε οποιοδήποτε βαθμό παραμένει μία. Εξαιτίας αυτού, το ερώτημα «σε ποια δύναμη πρέπει να υψωθεί κανείς για να πάρει δύο» είναι άνευ σημασίας. Δεν υπάρχει τέτοιο πτυχίο!

Τέτοιοι περιορισμοί ονομάζονται εύρος αποδεκτών τιμών(ODZ). Αποδεικνύεται ότι το ODZ του λογαρίθμου μοιάζει με αυτό: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Σημειώστε ότι δεν υπάρχουν περιορισμοί στον αριθμό b (την τιμή του λογάριθμου). Για παράδειγμα, ο λογάριθμος μπορεί κάλλιστα να είναι αρνητικός: log 2 0,5 = −1, επειδή 0,5 = 2 −1.

Ωστόσο, τώρα εξετάζουμε μόνο αριθμητικές εκφράσεις, όπου δεν απαιτείται να γνωρίζουμε το VA του λογαρίθμου. Όλοι οι περιορισμοί έχουν ήδη ληφθεί υπόψη από τους συντάκτες των εργασιών. Αλλά όταν οι λογαριθμικές εξισώσεις και οι ανισότητες μπουν στο παιχνίδι, οι απαιτήσεις DL θα γίνουν υποχρεωτικές. Άλλωστε, η βάση και το επιχείρημα μπορεί να περιέχουν πολύ ισχυρές κατασκευές που δεν ανταποκρίνονται απαραίτητα στους παραπάνω περιορισμούς.

Τώρα ας δούμε το γενικό σχήμα για τον υπολογισμό των λογαρίθμων. Αποτελείται από τρία βήματα:

Να εκφράσετε τη βάση α και το όρισμα x ως δύναμη με την ελάχιστη δυνατή βάση μεγαλύτερη από το ένα. Στην πορεία, είναι καλύτερα να απαλλαγείτε από τα δεκαδικά.
Λύστε την εξίσωση για τη μεταβλητή b: x = a b ;
Ο αριθμός β που προκύπτει θα είναι η απάντηση.

Αυτό είναι όλο! Εάν ο λογάριθμος αποδειχθεί παράλογος, αυτό θα είναι ορατό ήδη στο πρώτο βήμα. Η απαίτηση να είναι η βάση μεγαλύτερη από μία είναι πολύ σημαντική: αυτό μειώνει την πιθανότητα λάθους και απλοποιεί σημαντικά τους υπολογισμούς. Είναι το ίδιο με τα δεκαδικά κλάσματα: αν τα μετατρέψετε αμέσως σε συνηθισμένα, θα υπάρξουν πολύ λιγότερα σφάλματα.

Ας δούμε πώς λειτουργεί αυτό το σχήμα χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα:

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 5 25

Ας φανταστούμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη του πέντε: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
Ας δημιουργήσουμε και λύνουμε την εξίσωση:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Λάβαμε την απάντηση: 2.

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο:
[Λεζάντα για την εικόνα]

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 4 64

Ας φανταστούμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη δύο: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
Ας δημιουργήσουμε και λύνουμε την εξίσωση:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
Λάβαμε την απάντηση: 3.

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 16 1

Ας φανταστούμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη δύο: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
Ας δημιουργήσουμε και λύνουμε την εξίσωση:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
Λάβαμε την απάντηση: 0.

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 7 14

Ας φανταστούμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη του επτά: 7 = 7 1 ; Το 14 δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύναμη του επτά, αφού το 7 1< 14 < 7 2 ;
Από την προηγούμενη παράγραφο προκύπτει ότι ο λογάριθμος δεν μετράει.
Η απάντηση είναι καμία αλλαγή: ημερολόγιο 7 14.

Μια μικρή σημείωση για το τελευταίο παράδειγμα. Πώς μπορείτε να είστε σίγουροι ότι ένας αριθμός δεν είναι ακριβής δύναμη ενός άλλου αριθμού; Είναι πολύ απλό - απλώς συνυπολογίστε το σε πρωταρχικούς παράγοντες. Και αν τέτοιοι παράγοντες δεν μπορούν να συγκεντρωθούν σε δυνάμεις με τους ίδιους εκθέτες, τότε ο αρχικός αριθμός δεν είναι ακριβής δύναμη.

Εργο. Μάθετε αν οι αριθμοί είναι ακριβείς δυνάμεις: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - ακριβής βαθμός, επειδή υπάρχει μόνο ένας πολλαπλασιαστής.
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - δεν είναι ακριβής δύναμη, αφού υπάρχουν δύο παράγοντες: 3 και 2.
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - ακριβής βαθμός.
35 = 7 · 5 - και πάλι δεν είναι ακριβής ισχύς.
14 = 7 · 2 - και πάλι όχι ακριβής βαθμός.

Σημειώστε επίσης ότι οι ίδιοι οι πρώτοι αριθμοί είναι πάντα ακριβείς δυνάμεις του εαυτού τους.

Δεκαδικός λογάριθμος

Μερικοί λογάριθμοι είναι τόσο συνηθισμένοι που έχουν ειδικό όνομα και σύμβολο.

Ο δεκαδικός λογάριθμος του x είναι ο λογάριθμος στη βάση του 10, δηλ. Η ισχύς στην οποία πρέπει να αυξηθεί ο αριθμός 10 για να ληφθεί ο αριθμός x. Ονομασία: lg x.

Για παράδειγμα, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - κ.λπ.

Από εδώ και στο εξής, όταν εμφανίζεται μια φράση όπως «Βρείτε το lg 0.01» σε ένα σχολικό βιβλίο, να ξέρετε ότι δεν πρόκειται για τυπογραφικό λάθος. Αυτός είναι ένας δεκαδικός λογάριθμος. Ωστόσο, εάν δεν είστε εξοικειωμένοι με αυτόν τον συμβολισμό, μπορείτε πάντα να τον ξαναγράψετε:
log x = log 10 x

Ό,τι ισχύει για τους συνηθισμένους λογάριθμους ισχύει και για τους δεκαδικούς λογάριθμους.

Φυσικός λογάριθμος

Υπάρχει ένας άλλος λογάριθμος που έχει τη δική του ονομασία. Κατά κάποιο τρόπο, είναι ακόμη πιο σημαντικό από το δεκαδικό. Μιλάμε για τον φυσικό λογάριθμο.

Ο φυσικός λογάριθμος του x είναι ο λογάριθμος στη βάση του e, δηλ. η δύναμη στην οποία πρέπει να αυξηθεί ο αριθμός e για να ληφθεί ο αριθμός x. Ονομασία: ln x .

Πολλοί θα ρωτήσουν: ποιος είναι ο αριθμός e; Αυτός είναι ένας παράλογος αριθμός· η ακριβής τιμή του δεν μπορεί να βρεθεί και να γραφτεί. Θα δώσω μόνο τα πρώτα στοιχεία:
e = 2,718281828459...

Δεν θα αναφερθούμε σε λεπτομέρειες σχετικά με το τι είναι αυτός ο αριθμός και γιατί χρειάζεται. Απλώς θυμηθείτε ότι το e είναι η βάση του φυσικού λογάριθμου:
ln x = log e x

Έτσι ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - κ.λπ. Από την άλλη πλευρά, το ln 2 είναι ένας παράλογος αριθμός. Γενικά, ο φυσικός λογάριθμος οποιουδήποτε ρητού αριθμού είναι παράλογος. Εκτός, φυσικά, από την ενότητα: ln 1 = 0.

Για τους φυσικούς λογάριθμους, ισχύουν όλοι οι κανόνες που ισχύουν για τους συνηθισμένους λογάριθμους.

Ένα από τα στοιχεία της άλγεβρας αρχέγονου επιπέδου είναι ο λογάριθμος. Το όνομα προέρχεται από την ελληνική γλώσσα από τη λέξη «αριθμός» ή «δύναμη» και σημαίνει τη δύναμη στην οποία πρέπει να αυξηθεί ο αριθμός στη βάση για να βρεθεί ο τελικός αριθμός.

Τύποι λογαρίθμων

log a b – λογάριθμος του αριθμού b στη βάση του a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
log b – δεκαδικός λογάριθμος (λογάριθμος στη βάση 10, a = 10);
ln b – φυσικός λογάριθμος (λογάριθμος στη βάση e, a = e).

Πώς να λύσετε λογάριθμους;

Ο λογάριθμος του b στη βάση a είναι ένας εκθέτης που απαιτεί το b να αυξηθεί στη βάση a. Το αποτέλεσμα που προκύπτει προφέρεται ως εξής: «λογάριθμος του b στη βάση του a». Η λύση στα λογαριθμικά προβλήματα είναι ότι πρέπει να προσδιορίσετε τη δεδομένη ισχύ σε αριθμούς από τους καθορισμένους αριθμούς. Υπάρχουν ορισμένοι βασικοί κανόνες για τον προσδιορισμό ή την επίλυση του λογάριθμου, καθώς και τη μετατροπή της ίδιας της σημειογραφίας. Με τη χρήση τους λύνονται λογαριθμικές εξισώσεις, βρίσκονται παράγωγοι, λύνονται ολοκληρώματα και εκτελούνται πολλές άλλες πράξεις. Βασικά, η λύση στον ίδιο τον λογάριθμο είναι η απλοποιημένη σημειογραφία του. Παρακάτω είναι οι βασικοί τύποι και ιδιότητες:

Για οποιαδήποτε ? a > 0; a ≠ 1 και για οποιοδήποτε x ; y > 0.

a log a b = b – βασική λογαριθμική ταυτότητα
καταγράψτε a 1 = 0
loga a = 1
log a (x y) = log a x + log a y
log a x/ y = log a x – log a y
log a 1/x = -log a x
log a x p = p log a x
log a k x = 1/k log a x, για k ≠ 0
log a x = log a c x c
log a x = log b x/ log b a – τύπος για μετάβαση σε νέα βάση
log a x = 1/log x a

Πώς να λύσετε λογάριθμους - οδηγίες βήμα προς βήμα για την επίλυση

Αρχικά, γράψτε την απαιτούμενη εξίσωση.

Παρακαλώ σημειώστε: εάν ο βασικός λογάριθμος είναι 10, τότε η καταχώρηση συντομεύεται, με αποτέλεσμα έναν δεκαδικό λογάριθμο. Αν υπάρχει φυσικός αριθμός e, τότε τον γράφουμε, ανάγοντας τον σε φυσικό λογάριθμο. Αυτό σημαίνει ότι το αποτέλεσμα όλων των λογαρίθμων είναι η ισχύς στην οποία αυξάνεται ο βασικός αριθμός για να ληφθεί ο αριθμός b.

Άμεσα, η λύση βρίσκεται στον υπολογισμό αυτού του βαθμού. Πριν λύσετε μια παράσταση με λογάριθμο, πρέπει να απλοποιηθεί σύμφωνα με τον κανόνα, δηλαδή χρησιμοποιώντας τύπους. Μπορείτε να βρείτε τις κύριες ταυτότητες ανατρέχοντας λίγο πίσω στο άρθρο.

Όταν προσθέτουμε και αφαιρούμε λογάριθμους με δύο διαφορετικούς αριθμούς αλλά με ίδιες βάσεις, αντικαθιστούμε με έναν λογάριθμο με το γινόμενο ή τη διαίρεση των αριθμών b και c, αντίστοιχα. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να εφαρμόσετε τον τύπο για τη μετάβαση σε άλλη βάση (βλ. παραπάνω).

Εάν χρησιμοποιείτε εκφράσεις για να απλοποιήσετε έναν λογάριθμο, υπάρχουν ορισμένοι περιορισμοί που πρέπει να λάβετε υπόψη. Και αυτό είναι: η βάση του λογάριθμου α είναι μόνο ένας θετικός αριθμός, αλλά όχι ίσος με ένα. Ο αριθμός b, όπως και το a, πρέπει να είναι μεγαλύτερος από το μηδέν.

Υπάρχουν περιπτώσεις όπου, απλοποιώντας μια έκφραση, δεν θα μπορείτε να υπολογίσετε τον λογάριθμο αριθμητικά. Συμβαίνει ότι μια τέτοια έκφραση δεν έχει νόημα, επειδή πολλές δυνάμεις είναι παράλογοι αριθμοί. Υπό αυτήν την προϋπόθεση, αφήστε την ισχύ του αριθμού ως λογάριθμο.

Καθώς η κοινωνία αναπτύχθηκε και η παραγωγή γινόταν πιο περίπλοκη, αναπτύχθηκαν και τα μαθηματικά. Κίνηση από απλό σε σύνθετο. Από τη συνηθισμένη λογιστική με τη μέθοδο της πρόσθεσης και της αφαίρεσης, με την επαναλαμβανόμενη επανάληψή τους, καταλήξαμε στην έννοια του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης. Η μείωση της επαναλαμβανόμενης λειτουργίας του πολλαπλασιασμού έγινε η έννοια της εκθέσεως. Οι πρώτοι πίνακες της εξάρτησης των αριθμών από τη βάση και τον αριθμό της εκθέσεως συντάχθηκαν τον 8ο αιώνα από τον Ινδό μαθηματικό Varasena. Από αυτά μπορείτε να μετρήσετε το χρόνο εμφάνισης των λογαρίθμων.

Ιστορικό σκίτσο

Η αναβίωση της Ευρώπης τον 16ο αιώνα τόνωσε επίσης την ανάπτυξη της μηχανικής. Τ απαιτούσε μεγάλο όγκο υπολογισμώνπου σχετίζονται με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση πολυψήφιων αριθμών. Τα αρχαία τραπέζια ήταν πολύ εξυπηρετικά. Κατέστησαν δυνατή την αντικατάσταση σύνθετων πράξεων με απλούστερες - πρόσθεση και αφαίρεση. Ένα μεγάλο βήμα προόδου ήταν το έργο του μαθηματικού Michael Stiefel, που δημοσιεύτηκε το 1544, στο οποίο πραγματοποίησε την ιδέα πολλών μαθηματικών. Αυτό κατέστησε δυνατή τη χρήση πινάκων όχι μόνο για δυνάμεις με τη μορφή πρώτων αριθμών, αλλά και για αυθαίρετους ορθολογικούς.

Το 1614, ο Σκωτσέζος Τζον Νάπιερ, αναπτύσσοντας αυτές τις ιδέες, εισήγαγε για πρώτη φορά τον νέο όρο «λογάριθμος ενός αριθμού». Συντάχθηκαν νέοι σύνθετοι πίνακες για τον υπολογισμό των λογαρίθμων των ημιτόνων και των συνημιτόνων, καθώς και των εφαπτομένων. Αυτό μείωσε πολύ το έργο των αστρονόμων.

Άρχισαν να εμφανίζονται νέοι πίνακες, οι οποίοι χρησιμοποιήθηκαν με επιτυχία από τους επιστήμονες για τρεις αιώνες. Πέρασε πολύς χρόνος πριν η νέα πράξη στην άλγεβρα αποκτήσει την τελική της μορφή. Δόθηκε ο ορισμός του λογάριθμου και μελετήθηκαν οι ιδιότητές του.

Μόνο τον 20ο αιώνα, με την εμφάνιση της αριθμομηχανής και του υπολογιστή, η ανθρωπότητα εγκατέλειψε τα αρχαία τραπέζια που είχαν λειτουργήσει με επιτυχία σε όλη τη διάρκεια του 13ου αιώνα.

Σήμερα ονομάζουμε λογάριθμο του b για να βασίσουμε τον αριθμό x που είναι η δύναμη του a να κάνει το b. Αυτό γράφεται ως τύπος: x = log a(b).

Για παράδειγμα, το log 3(9) θα ήταν ίσο με 2. Αυτό είναι προφανές αν ακολουθήσετε τον ορισμό. Αν αυξήσουμε το 3 στη δύναμη του 2, θα έχουμε 9.

Έτσι, ο διατυπωμένος ορισμός θέτει μόνο έναν περιορισμό: οι αριθμοί a και b πρέπει να είναι πραγματικοί.

Τύποι λογαρίθμων

Ο κλασικός ορισμός ονομάζεται πραγματικός λογάριθμος και είναι στην πραγματικότητα η λύση της εξίσωσης a x = b. Η επιλογή a = 1 είναι οριακή και δεν ενδιαφέρει. Προσοχή: 1 σε οποιαδήποτε δύναμη ισούται με 1.

Πραγματική τιμή λογάριθμουορίζεται μόνο όταν η βάση και το όρισμα είναι μεγαλύτερα από 0 και η βάση δεν πρέπει να είναι ίση με 1.

Ξεχωριστή θέση στον τομέα των μαθηματικώνπαίζουν λογάριθμοι, οι οποίοι θα ονομάζονται ανάλογα με το μέγεθος της βάσης τους:

Κανόνες και περιορισμοί

Η θεμελιώδης ιδιότητα των λογαρίθμων είναι ο κανόνας: ο λογάριθμος ενός γινομένου είναι ίσος με το λογαριθμικό άθροισμα. log abp = log a(b) + log a(p).

Ως παραλλαγή αυτής της δήλωσης θα υπάρχει: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), η συνάρτηση πηλίκου είναι ίση με τη διαφορά των συναρτήσεων.

Από τους δύο προηγούμενους κανόνες είναι εύκολο να δούμε ότι: log a(b p) = p * log a(b).

Άλλες ιδιότητες περιλαμβάνουν:

Σχόλιο. Δεν χρειάζεται να κάνουμε ένα κοινό λάθος - ο λογάριθμος ενός αθροίσματος δεν είναι ίσος με το άθροισμα των λογαρίθμων.

Για πολλούς αιώνες, η λειτουργία εύρεσης ενός λογαρίθμου ήταν μια μάλλον χρονοβόρα εργασία. Οι μαθηματικοί χρησιμοποίησαν τον γνωστό τύπο της λογαριθμικής θεωρίας της πολυωνυμικής διαστολής:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), όπου n είναι ένας φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από 1, ο οποίος καθορίζει την ακρίβεια του υπολογισμού.

Οι λογάριθμοι με άλλες βάσεις υπολογίστηκαν χρησιμοποιώντας το θεώρημα για τη μετάβαση από τη μια βάση στην άλλη και την ιδιότητα του λογαρίθμου του γινομένου.

Δεδομένου ότι αυτή η μέθοδος είναι πολύ εντάσεως εργασίας και κατά την επίλυση πρακτικών προβλημάτωνδύσκολο να εφαρμοστεί, χρησιμοποιήσαμε προκαταρτισμένους πίνακες λογαρίθμων, οι οποίοι επιτάχυναν σημαντικά όλη την εργασία.

Σε ορισμένες περιπτώσεις χρησιμοποιήθηκαν ειδικά σχεδιασμένα γραφήματα λογαρίθμων, τα οποία έδιναν μικρότερη ακρίβεια, αλλά επιτάχυναν σημαντικά την αναζήτηση της επιθυμητής τιμής. Η καμπύλη της συνάρτησης y = log a(x), κατασκευασμένη σε πολλά σημεία, σας επιτρέπει να χρησιμοποιήσετε έναν κανονικό χάρακα για να βρείτε την τιμή της συνάρτησης σε οποιοδήποτε άλλο σημείο. Για μεγάλο χρονικό διάστημα, οι μηχανικοί χρησιμοποιούσαν το λεγόμενο γραφικό χαρτί για αυτούς τους σκοπούς.

Τον 17ο αιώνα εμφανίστηκαν οι πρώτες βοηθητικές αναλογικές υπολογιστικές συνθήκες, οι οποίες τον 19ο αιώνα απέκτησαν πλήρη μορφή. Η πιο επιτυχημένη συσκευή ονομάστηκε κανόνας διαφάνειας. Παρά την απλότητα της συσκευής, η εμφάνισή της επιτάχυνε σημαντικά τη διαδικασία όλων των μηχανικών υπολογισμών και αυτό είναι δύσκολο να υπερεκτιμηθεί. Επί του παρόντος, λίγοι άνθρωποι είναι εξοικειωμένοι με αυτήν τη συσκευή.

Η εμφάνιση των αριθμομηχανών και των υπολογιστών έκανε άσκοπη τη χρήση οποιασδήποτε άλλης συσκευής.

Εξισώσεις και ανισώσεις

Για την επίλυση διαφόρων εξισώσεων και ανισώσεων με χρήση λογαρίθμων, χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι τύποι:

Μετάβαση από τη μια βάση στην άλλη: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Ως συνέπεια της προηγούμενης επιλογής: log a(b) = 1 / log b(a).

Για την επίλυση των ανισοτήτων είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε:

Η τιμή του λογάριθμου θα είναι θετική μόνο εάν η βάση και το όρισμα είναι και τα δύο μεγαλύτερα ή μικρότερα από ένα. Εάν παραβιαστεί τουλάχιστον μία συνθήκη, η τιμή του λογαρίθμου θα είναι αρνητική.
Εάν η λογαριθμική συνάρτηση εφαρμόζεται στη δεξιά και την αριστερή πλευρά μιας ανισότητας και η βάση του λογάριθμου είναι μεγαλύτερη από μία, τότε το πρόσημο της ανισότητας διατηρείται. αλλιώς αλλάζει.

Δείγματα προβλημάτων

Ας εξετάσουμε διάφορες επιλογές για τη χρήση λογαρίθμων και των ιδιοτήτων τους. Παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων:

Εξετάστε την επιλογή να τοποθετήσετε τον λογάριθμο σε δύναμη:

Πρόβλημα 3. Υπολογίστε το 25^log 5(3). Λύση: στις συνθήκες του προβλήματος, η καταχώρηση είναι παρόμοια με την ακόλουθη (5^2)^log5(3) ή 5^(2 * log 5(3)). Ας το γράψουμε διαφορετικά: 5^log 5(3*2), ή το τετράγωνο ενός αριθμού ως όρισμα συνάρτησης μπορεί να γραφτεί ως το τετράγωνο της ίδιας της συνάρτησης (5^log 5(3))^2. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των λογαρίθμων, αυτή η έκφραση είναι ίση με 3^2. Απάντηση: ως αποτέλεσμα του υπολογισμού παίρνουμε 9.

Πρακτική χρήση

Όντας ένα καθαρά μαθηματικό εργαλείο, φαίνεται μακριά από την πραγματική ζωή ότι ο λογάριθμος απέκτησε ξαφνικά μεγάλη σημασία για την περιγραφή αντικειμένων στον πραγματικό κόσμο. Είναι δύσκολο να βρεις μια επιστήμη όπου δεν χρησιμοποιείται. Αυτό ισχύει πλήρως όχι μόνο για φυσικά, αλλά και για ανθρωπιστικά πεδία γνώσης.

Λογαριθμικές εξαρτήσεις

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα αριθμητικών εξαρτήσεων:

Μηχανική και φυσική

Ιστορικά, η μηχανική και η φυσική αναπτύχθηκαν πάντα χρησιμοποιώντας μαθηματικές μεθόδους έρευνας και ταυτόχρονα χρησίμευαν ως κίνητρο για την ανάπτυξη των μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένων των λογαρίθμων. Η θεωρία των περισσότερων νόμων της φυσικής είναι γραμμένη στη γλώσσα των μαθηματικών. Ας δώσουμε μόνο δύο παραδείγματα περιγραφής φυσικών νόμων χρησιμοποιώντας τον λογάριθμο.

Το πρόβλημα του υπολογισμού μιας τόσο πολύπλοκης ποσότητας όπως η ταχύτητα ενός πυραύλου μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο Tsiolkovsky, ο οποίος έθεσε τα θεμέλια για τη θεωρία της εξερεύνησης του διαστήματος:

V = I * ln (M1/M2), όπου

V είναι η τελική ταχύτητα του αεροσκάφους.
I – ειδική ώθηση του κινητήρα.
M 1 – αρχική μάζα του πυραύλου.
M 2 – τελική μάζα.

Άλλο ένα σημαντικό παράδειγμα- αυτό χρησιμοποιείται στον τύπο ενός άλλου μεγάλου επιστήμονα Max Planck, ο οποίος χρησιμεύει για την αξιολόγηση της κατάστασης ισορροπίας στη θερμοδυναμική.

S = k * ln (Ω), όπου

S – θερμοδυναμική ιδιότητα.
k – Σταθερά Boltzmann.
Το Ω είναι το στατιστικό βάρος διαφορετικών καταστάσεων.

Χημεία

Λιγότερο προφανής είναι η χρήση τύπων στη χημεία που περιέχουν την αναλογία των λογαρίθμων. Ας δώσουμε μόνο δύο παραδείγματα:

Εξίσωση Nernst, η συνθήκη του δυναμικού οξειδοαναγωγής του μέσου σε σχέση με τη δραστηριότητα των ουσιών και τη σταθερά ισορροπίας.
Ο υπολογισμός τέτοιων σταθερών όπως ο δείκτης αυτόλυσης και η οξύτητα του διαλύματος επίσης δεν μπορεί να γίνει χωρίς τη συνάρτησή μας.

Ψυχολογία και βιολογία

Και δεν είναι καθόλου ξεκάθαρο τι σχέση έχει η ψυχολογία. Αποδεικνύεται ότι η δύναμη της αίσθησης περιγράφεται καλά από αυτή τη συνάρτηση ως η αντίστροφη αναλογία της τιμής της έντασης του ερεθίσματος προς τη χαμηλότερη τιμή έντασης.

Μετά τα παραπάνω παραδείγματα, δεν αποτελεί πλέον έκπληξη το γεγονός ότι το θέμα των λογαρίθμων χρησιμοποιείται ευρέως στη βιολογία. Θα μπορούσαν να γραφτούν ολόκληροι τόμοι για βιολογικές μορφές που αντιστοιχούν σε λογαριθμικές σπείρες.

Αλλα μέρη

Φαίνεται ότι η ύπαρξη του κόσμου είναι αδύνατη χωρίς σύνδεση με αυτή τη λειτουργία, και κυβερνά όλους τους νόμους. Ειδικά όταν οι νόμοι της φύσης συνδέονται με γεωμετρική πρόοδο. Αξίζει να απευθυνθείτε στον ιστότοπο MatProfi και υπάρχουν πολλά τέτοια παραδείγματα στους ακόλουθους τομείς δραστηριότητας:

Η λίστα μπορεί να είναι ατελείωτη. Έχοντας κατακτήσει τις βασικές αρχές αυτής της λειτουργίας, μπορείτε να βουτήξετε στον κόσμο της άπειρης σοφίας.

Με βάση τον αριθμό e: ln x = log e x.

Ο φυσικός λογάριθμος χρησιμοποιείται ευρέως στα μαθηματικά επειδή η παράγωγός του έχει την απλούστερη μορφή: (ln x)′ = 1/ x.

Με βάση ορισμοί, η βάση του φυσικού λογάριθμου είναι ο αριθμός μι:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Γράφημα της συνάρτησης y = Στο x.

Γράφημα φυσικού λογάριθμου (συναρτήσεις y = Στο x) προκύπτει από την εκθετική γραφική παράσταση με ανάκλαση καθρέφτη σε σχέση με την ευθεία y = x.

Ο φυσικός λογάριθμος ορίζεται για θετικές τιμές της μεταβλητής x. Αυξάνεται μονότονα στο πεδίο ορισμού του.

Στο x → 0 το όριο του φυσικού λογάριθμου είναι μείον το άπειρο (-∞).

Ως x → + ∞, το όριο του φυσικού λογάριθμου είναι συν άπειρο (+ ∞). Για μεγάλο x, ο λογάριθμος αυξάνεται αρκετά αργά. Οποιαδήποτε συνάρτηση ισχύος x a με θετικό εκθέτη a αυξάνεται ταχύτερα από τον λογάριθμο.

Ιδιότητες του φυσικού λογάριθμου

Τομέας ορισμού, σύνολο τιμών, άκρα, αύξηση, μείωση

Ο φυσικός λογάριθμος είναι μια μονότονα αυξανόμενη συνάρτηση, επομένως δεν έχει ακρότατα. Οι κύριες ιδιότητες του φυσικού λογάριθμου παρουσιάζονται στον πίνακα.

ln x τιμές

ln 1 = 0

Βασικοί τύποι για φυσικούς λογάριθμους

Τύποι που προκύπτουν από τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης:

Η κύρια ιδιότητα των λογαρίθμων και οι συνέπειές της

Φόρμουλα αντικατάστασης βάσης

Οποιοσδήποτε λογάριθμος μπορεί να εκφραστεί με όρους φυσικών λογαρίθμων χρησιμοποιώντας τον τύπο αντικατάστασης βάσης:

Οι αποδείξεις αυτών των τύπων παρουσιάζονται στην ενότητα "Λογάριθμος".

Αντίστροφη συνάρτηση

Το αντίστροφο του φυσικού λογάριθμου είναι ο εκθέτης.

Αν τότε

Αν τότε.

Παράγωγο ln x

Παράγωγο του φυσικού λογάριθμου:
.
Παράγωγος του φυσικού λογάριθμου του συντελεστή x:
.
Παράγωγο νης τάξης:
.
Εξαγωγή τύπων > > >

Αναπόσπαστο

Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται με ολοκλήρωση ανά μέρη:
.
Ετσι,

Εκφράσεις με χρήση μιγαδικών αριθμών

Εξετάστε τη συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής z:
.
Ας εκφράσουμε τη σύνθετη μεταβλητή zμέσω ενότητας rκαι επιχείρημα φ :
.
Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του λογάριθμου, έχουμε:
.
Ή
.
Το όρισμα φ δεν ορίζεται μοναδικά. Αν βάλεις
, όπου n είναι ακέραιος,
θα είναι ο ίδιος αριθμός για διαφορετικά n.

Επομένως, ο φυσικός λογάριθμος, ως συνάρτηση μιας μιγαδικής μεταβλητής, δεν είναι συνάρτηση μίας τιμής.

Επέκταση σειράς ισχύος

Όταν πραγματοποιείται η επέκταση:

Βιβλιογραφικές αναφορές:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο μαθηματικών για μηχανικούς και φοιτητές, "Lan", 2009.