Ποιες δυνάμεις δρουν στο εκκρεμές κατά μήκος της χορδής; Τα μυστικά του εκκρεμούς

Ένα μαθηματικό εκκρεμές είναι ένα μοντέλο ενός συνηθισμένου εκκρεμούς. Ένα μαθηματικό εκκρεμές είναι ένα υλικό σημείο που αιωρείται σε ένα μακρύ αβαρές και μη εκτατό νήμα.

Ας μετακινήσουμε την μπάλα από τη θέση ισορροπίας της και ας την αφήσουμε. Δύο δυνάμεις θα δράσουν στην μπάλα: η βαρύτητα και η τάση του νήματος. Όταν το εκκρεμές κινείται, η δύναμη της τριβής του αέρα θα εξακολουθεί να ενεργεί πάνω του. Θα το θεωρήσουμε όμως πολύ μικρό.

Ας αποσυνθέσουμε τη δύναμη της βαρύτητας σε δύο συνιστώσες: μια δύναμη που κατευθύνεται κατά μήκος του νήματος και μια δύναμη που κατευθύνεται κάθετα στην εφαπτομένη στην τροχιά της μπάλας.

Αυτές οι δύο δυνάμεις αθροίζονται στη δύναμη της βαρύτητας. Οι ελαστικές δυνάμεις του νήματος και η συνιστώσα της βαρύτητας Fn προσδίδουν κεντρομόλο επιτάχυνση στη σφαίρα. Το έργο που γίνεται από αυτές τις δυνάμεις θα είναι μηδέν, και επομένως θα αλλάξουν μόνο την κατεύθυνση του διανύσματος της ταχύτητας. Σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή, θα κατευθύνεται εφαπτομενικά στο τόξο του κύκλου.

Υπό την επίδραση της συνιστώσας της βαρύτητας Fτ, η μπάλα θα κινηθεί κατά μήκος ενός κυκλικού τόξου με ταχύτητα που αυξάνεται σε μέγεθος. Η τιμή αυτής της δύναμης αλλάζει πάντα σε μέγεθος όταν διέρχεται από τη θέση ισορροπίας, είναι ίση με το μηδέν.

Δυναμική ταλαντωτικής κίνησης

Εξίσωση κίνησης σώματος που ταλαντώνεται υπό την επίδραση ελαστικής δύναμης.

Γενική εξίσωση κίνησης:

Οι κραδασμοί στο σύστημα συμβαίνουν υπό την επίδραση ελαστικής δύναμης, η οποία, σύμφωνα με το νόμο του Hooke, είναι ευθέως ανάλογη με τη μετατόπιση του φορτίου

Τότε η εξίσωση κίνησης της μπάλας θα έχει την εξής μορφή:

Διαιρέστε αυτήν την εξίσωση με m, παίρνουμε τον ακόλουθο τύπο:

Και δεδομένου ότι ο συντελεστής μάζας και ελαστικότητας είναι σταθερές ποσότητες, ο λόγος (-k/m) θα είναι επίσης σταθερός. Λάβαμε μια εξίσωση που περιγράφει τις δονήσεις ενός σώματος υπό την επίδραση ελαστικής δύναμης.

Η προβολή της επιτάχυνσης του σώματος θα είναι ευθέως ανάλογη με τη συντεταγμένη του, λαμβανόμενη με το αντίθετο πρόσημο.

Εξίσωση κίνησης μαθηματικού εκκρεμούς

Η εξίσωση κίνησης ενός μαθηματικού εκκρεμούς περιγράφεται από τον ακόλουθο τύπο:

Αυτή η εξίσωση έχει την ίδια μορφή με την εξίσωση κίνησης μιας μάζας σε ένα ελατήριο. Κατά συνέπεια, οι ταλαντώσεις του εκκρεμούς και οι κινήσεις της μπάλας στο ελατήριο συμβαίνουν με τον ίδιο τρόπο.

Η μετατόπιση της μπάλας στο ελατήριο και η μετατόπιση του σώματος του εκκρεμούς από τη θέση ισορροπίας αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου σύμφωνα με τους ίδιους νόμους.

Εκκρεμές Φουκώ- ένα εκκρεμές που χρησιμοποιείται για να δείξει πειραματικά την καθημερινή περιστροφή της Γης.

Ένα εκκρεμές Foucault είναι ένα τεράστιο φορτίο που αιωρείται σε ένα σύρμα ή νήμα, το άνω άκρο του οποίου ενισχύεται (για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας μια γενική άρθρωση) έτσι ώστε το εκκρεμές να μπορεί να ταλαντεύεται σε οποιοδήποτε κατακόρυφο επίπεδο. Εάν το εκκρεμές Foucault εκτραπεί από την κατακόρυφο και απελευθερωθεί χωρίς αρχική ταχύτητα, τότε οι δυνάμεις της βαρύτητας και η τάση του νήματος που επενεργούν στο φορτίο του εκκρεμούς θα βρίσκονται όλη την ώρα στο επίπεδο της αιώρησης του εκκρεμούς και δεν θα μπορούν να προκαλέσουν την περιστροφή του σε σχέση με τα αστέρια (στο αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς που σχετίζεται με τα αστέρια) . Ένας παρατηρητής που βρίσκεται στη Γη και περιστρέφεται μαζί της (δηλαδή βρίσκεται σε ένα μη αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς) θα δει ότι το επίπεδο αιώρησης του εκκρεμούς του Φουκώ περιστρέφεται αργά σε σχέση με την επιφάνεια της γης προς την αντίθετη κατεύθυνση από την περιστροφή της γης. Αυτό επιβεβαιώνει το γεγονός της καθημερινής περιστροφής της Γης.

Στο Βόρειο ή στο Νότιο Πόλο, το επίπεδο αιώρησης του εκκρεμούς Foucault θα περιστρέφεται 360° ανά αστρική ημέρα (κατά 15 o ανά αστρική ώρα). Σε ένα σημείο της επιφάνειας της γης, του οποίου το γεωγραφικό πλάτος είναι ίσο με φ, το επίπεδο του ορίζοντα περιστρέφεται γύρω από την κατακόρυφο με γωνιακή ταχύτητα ω 1 = ω sinφ (ω είναι το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της Γης) και το επίπεδο αιώρησης του εκκρεμούς περιστρέφεται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα. Επομένως, η φαινομενική γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του επιπέδου αιώρησης του εκκρεμούς Φουκώ στο γεωγραφικό πλάτος φ, εκφρασμένη σε μοίρες ανά αστρική ώρα, έχει την τιμή ω m =15 o sinφ, δηλαδή όσο μικρότερο φ, τόσο μικρότερο φ, και στο στον ισημερινό γίνεται μηδέν (το επίπεδο δεν περιστρέφεται). Στο νότιο ημισφαίριο, η περιστροφή του επιπέδου αιώρησης θα παρατηρηθεί προς την αντίθετη κατεύθυνση από αυτή που παρατηρείται στο βόρειο ημισφαίριο. Ένας εκλεπτυσμένος υπολογισμός δίνει την τιμή

ω m = 15 o sinφ

Οπου ΕΝΑ-πλάτος ταλαντώσεων του βάρους του εκκρεμούς, μεγάλο- μήκος νήματος. Ο πρόσθετος όρος που μειώνει τη γωνιακή ταχύτητα είναι μικρότερος, τόσο μεγαλύτερος μεγάλο. Επομένως, για να δείξουμε το πείραμα, είναι σκόπιμο να χρησιμοποιήσετε ένα εκκρεμές Foucault με το μεγαλύτερο δυνατό μήκος νήματος (αρκετές δεκάδες m).

Ιστορία

Αυτή η συσκευή σχεδιάστηκε για πρώτη φορά από τον Γάλλο επιστήμονα Jean Bernard Leon Foucault.

Αυτή η συσκευή ήταν μια ορειχάλκινη μπάλα πέντε κιλών αναρτημένη από την οροφή σε ένα ατσάλινο σύρμα δύο μέτρων.

Ο Φουκώ πραγματοποίησε το πρώτο του πείραμα στο υπόγειο του σπιτιού του. 8 Ιανουαρίου 1851. Έγινε μια καταχώρηση σχετικά με αυτό στο επιστημονικό ημερολόγιο του επιστήμονα.

3 Φεβρουαρίου 1851 Ο Ζαν Φουκώ έδειξε το εκκρεμές του στο Αστεροσκοπείο του Παρισιού σε ακαδημαϊκούς που έλαβαν επιστολές με το ακόλουθο περιεχόμενο: «Σας προσκαλώ να παρακολουθήσετε την περιστροφή της Γης».

Η πρώτη δημόσια επίδειξη του πειράματος έγινε με πρωτοβουλία του Λουδοβίκου Βοναπάρτη στο Πάνθεον του Παρισιού τον Απρίλιο του ίδιου έτους. Μια μεταλλική μπάλα κρεμόταν κάτω από τον τρούλο του Πάνθεον βάρους 28 κιλών με μύτη στερεωμένη πάνω σε ατσάλινο σύρμαδιάμετρος 1,4 mm και Μήκος 67 μ. Τοποθέτησητο εκκρεμές του επέτρεψε να αιωρείται ελεύθερα σε όλα κατευθύνσεις. Κάτω απόΈνας κυκλικός φράκτης με διάμετρο 6 μέτρων κατασκευάστηκε ως σημείο προσάρτησης ένα μονοπάτι άμμου κατά μήκος της άκρης του φράχτη, έτσι ώστε το εκκρεμές, κατά την κίνησή του, να τραβήξει σημάδια στην άμμο όταν το διασχίζει. Για να αποφευχθεί μια πλάγια ώθηση κατά την εκκίνηση του εκκρεμούς, το πήραν στο πλάι και το έδεσαν με ένα σχοινί, μετά το οποίο το σχοινί κάηκε. Η περίοδος ταλάντωσης ήταν 16 δευτερόλεπτα.

Το πείραμα είχε μεγάλη επιτυχία και προκάλεσε μεγάλη απήχηση στους επιστημονικούς και δημόσιους κύκλους της Γαλλίας και άλλων χωρών του κόσμου. Μόνο το 1851 δημιουργήθηκαν άλλα εκκρεμή με βάση το μοντέλο του πρώτου και τα πειράματα του Φουκώ πραγματοποιήθηκαν στο Αστεροσκοπείο του Παρισιού, στον Καθεδρικό Ναό της Ρεμς, στην Εκκλησία του Αγίου Ιγνατίου στη Ρώμη, στο Λίβερπουλ, στην Οξφόρδη του Δουβλίνου, στο Ρίο ντε Τζανέιρο, στην πόλη του Κολόμπο στην Κεϋλάνη της Νέας Υόρκης.

Σε όλα αυτά τα πειράματα, οι διαστάσεις της μπάλας και το μήκος του εκκρεμούς ήταν διαφορετικές, αλλά όλα επιβεβαίωσαν τα συμπεράσματαJean Bernard Leon Foucault.

Στοιχεία του εκκρεμούς, που παρουσιάστηκε στο Πάνθεον, φυλάσσονται τώρα στο Μουσείο Τεχνών και Χειροτεχνίας του Παρισιού. Και τα εκκρεμή του Φουκώ βρίσκονται πλέον σε πολλά μέρη του κόσμου: σε πολυτεχνικά και επιστημονικά μουσεία φυσικής ιστορίας, επιστημονικά παρατηρητήρια, πλανητάρια, πανεπιστημιακά εργαστήρια και βιβλιοθήκες.

Υπάρχουν τρία εκκρεμή Foucault στην Ουκρανία. Το ένα είναι αποθηκευμένο στο Εθνικό Τεχνικό Πανεπιστήμιο της Ουκρανίας «KPI με το όνομά του. Igor Sikorsky», το δεύτερο - στο Εθνικό Πανεπιστήμιο του Kharkov. V.N. Karazin, τρίτος - στο Πλανητάριο του Χάρκοβο.

Μαθηματικό εκκρεμέςείναι ένα υλικό σημείο που αιωρείται σε ένα αβαρές και μη εκτατό νήμα που βρίσκεται στο βαρυτικό πεδίο της Γης. Ένα μαθηματικό εκκρεμές είναι ένα εξιδανικευμένο μοντέλο που περιγράφει σωστά ένα πραγματικό εκκρεμές μόνο υπό ορισμένες συνθήκες. Ένα πραγματικό εκκρεμές μπορεί να θεωρηθεί μαθηματικό εάν το μήκος του νήματος είναι πολύ μεγαλύτερο από το μέγεθος του σώματος που κρέμεται σε αυτό, η μάζα του νήματος είναι αμελητέα σε σύγκριση με τη μάζα του σώματος και οι παραμορφώσεις του νήματος είναι τόσο μικρές ότι μπορούν να παραμεληθούν εντελώς.

Το ταλαντευτικό σύστημα σε αυτή την περίπτωση σχηματίζεται από ένα νήμα, ένα σώμα συνδεδεμένο με αυτό και τη Γη, χωρίς την οποία αυτό το σύστημα δεν θα μπορούσε να χρησιμεύσει ως εκκρεμές.

Οπου ΕΝΑ Χ – επιτάχυνση, σολ - επιτάχυνση της βαρύτητας, Χ- μετατόπιση, μεγάλο– μήκος του νήματος του εκκρεμούς.

Αυτή η εξίσωση ονομάζεται εξίσωση ελεύθερων ταλαντώσεων μαθηματικού εκκρεμούς.Περιγράφει σωστά τους εν λόγω κραδασμούς μόνο όταν πληρούνται οι ακόλουθες παραδοχές:

2) λαμβάνονται υπόψη μόνο μικρές ταλαντώσεις του εκκρεμούς με μικρή γωνία αιώρησης.

Οι ελεύθερες δονήσεις οποιωνδήποτε συστημάτων περιγράφονται σε όλες τις περιπτώσεις με παρόμοιες εξισώσεις.

Οι αιτίες των ελεύθερων ταλαντώσεων ενός μαθηματικού εκκρεμούς είναι:

1. Η δράση της τάσης και της βαρύτητας στο εκκρεμές, εμποδίζοντάς το να μετακινηθεί από τη θέση ισορροπίας και αναγκάζοντας το να πέσει ξανά.

2. Η αδράνεια του εκκρεμούς, λόγω της οποίας, διατηρώντας την ταχύτητά του, δεν σταματά στη θέση ισορροπίας, αλλά διέρχεται από αυτό περαιτέρω.

Περίοδος ελεύθερων ταλαντώσεων μαθηματικού εκκρεμούς

Η περίοδος ελεύθερης ταλάντωσης ενός μαθηματικού εκκρεμούς δεν εξαρτάται από τη μάζα του, αλλά καθορίζεται μόνο από το μήκος του νήματος και την επιτάχυνση της βαρύτητας στο σημείο όπου βρίσκεται το εκκρεμές.

Μετατροπή ενέργειας κατά τις αρμονικές ταλαντώσεις

Κατά τις αρμονικές ταλαντώσεις ενός εκκρεμούς ελατηρίου, η δυναμική ενέργεια ενός ελαστικά παραμορφωμένου σώματος μετατρέπεται στην κινητική του ενέργεια, όπου κ – συντελεστής ελαστικότητας, Χ -μέτρο μετατόπισης του εκκρεμούς από τη θέση ισορροπίας, Μ- μάζα του εκκρεμούς, v- η ταχύτητά του. Σύμφωνα με την αρμονική εξίσωση δόνησης:

, .

Συνολική ενέργεια ενός εκκρεμούς ελατηρίου:

.

Συνολική ενέργεια για ένα μαθηματικό εκκρεμές:

Στην περίπτωση μαθηματικού εκκρεμούς

Οι μετασχηματισμοί ενέργειας κατά τη διάρκεια ταλαντώσεων ενός εκκρεμούς ελατηρίου συμβαίνουν σύμφωνα με το νόμο της διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ( ). Όταν ένα εκκρεμές κινείται προς τα κάτω ή προς τα πάνω από τη θέση ισορροπίας του, η δυναμική του ενέργεια αυξάνεται και η κινητική του ενέργεια μειώνεται. Όταν το εκκρεμές περάσει τη θέση ισορροπίας ( Χ= 0), η δυναμική του ενέργεια είναι μηδέν και η κινητική ενέργεια του εκκρεμούς έχει τη μεγαλύτερη τιμή, ίση με τη συνολική του ενέργεια.

Έτσι, στη διαδικασία των ελεύθερων ταλαντώσεων του εκκρεμούς, η δυναμική του ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική, η κινητική σε δυναμικό, το δυναμικό στη συνέχεια σε κινητική, κ.λπ. Αλλά η συνολική μηχανική ενέργεια παραμένει αμετάβλητη.

Αναγκαστικοί κραδασμοί. Αντήχηση.

Οι ταλαντώσεις που συμβαίνουν υπό την επίδραση μιας εξωτερικής περιοδικής δύναμης ονομάζονται εξαναγκασμένες ταλαντώσεις. Μια εξωτερική περιοδική δύναμη, που ονομάζεται κινητήρια δύναμη, μεταδίδει πρόσθετη ενέργεια στο ταλαντευόμενο σύστημα, η οποία πηγαίνει για να αναπληρώσει τις απώλειες ενέργειας που προκύπτουν λόγω της τριβής. Εάν η κινητήρια δύναμη αλλάξει με την πάροδο του χρόνου σύμφωνα με το νόμο του ημιτονοειδούς ή συνημιτονοειδούς, τότε οι εξαναγκασμένες ταλαντώσεις θα είναι αρμονικές και χωρίς απόσβεση.

Σε αντίθεση με τις ελεύθερες ταλαντώσεις, όταν το σύστημα λαμβάνει ενέργεια μόνο μία φορά (όταν το σύστημα βγαίνει από την ισορροπία), στην περίπτωση εξαναγκασμένων ταλαντώσεων το σύστημα απορροφά αυτή την ενέργεια από μια πηγή εξωτερικής περιοδικής δύναμης συνεχώς. Αυτή η ενέργεια αναπληρώνει τις απώλειες που δαπανώνται για την υπέρβαση της τριβής, και επομένως η συνολική ενέργεια του ταλαντωτικού συστήματος παραμένει αμετάβλητη.

Η συχνότητα των εξαναγκασμένων ταλαντώσεων είναι ίση με τη συχνότητα της κινητήριας δύναμης. Στην περίπτωση που η συχνότητα κινητήριας δύναμης υ συμπίπτει με τη φυσική συχνότητα του ταλαντωτικού συστήματος υ 0 , υπάρχει μια απότομη αύξηση στο πλάτος των εξαναγκασμένων ταλαντώσεων - αντήχηση. Ο συντονισμός εμφανίζεται λόγω του γεγονότος ότι όταν υ = υ 0 η εξωτερική δύναμη, που ενεργεί έγκαιρα με ελεύθερες δονήσεις, ευθυγραμμίζεται πάντα με την ταχύτητα του ταλαντούμενου σώματος και κάνει θετική δουλειά: η ενέργεια του ταλαντούμενου σώματος αυξάνεται και το πλάτος των ταλαντώσεων του γίνεται μεγάλο. Γράφημα του πλάτους των εξαναγκασμένων ταλαντώσεων ΕΝΑ Τ στη συχνότητα κινητήριας δύναμης υ που παρουσιάζεται στο σχήμα, αυτό το γράφημα ονομάζεται καμπύλη συντονισμού:

Το φαινόμενο του συντονισμού παίζει σημαντικό ρόλο σε μια σειρά από φυσικές, επιστημονικές και βιομηχανικές διαδικασίες. Για παράδειγμα, είναι απαραίτητο να λαμβάνεται υπόψη το φαινόμενο του συντονισμού κατά το σχεδιασμό γεφυρών, κτιρίων και άλλων κατασκευών που δονούνται υπό φορτίο, διαφορετικά υπό ορισμένες συνθήκες αυτές οι κατασκευές μπορεί να καταστραφούν.

Τα εκκρεμή που φαίνονται στο Σχ. 2, είναι εκτεταμένα σώματα διαφόρων σχημάτων και μεγεθών που ταλαντώνονται γύρω από ένα σημείο ανάρτησης ή στήριξης. Τέτοια συστήματα ονομάζονται φυσικά εκκρεμή. Σε κατάσταση ισορροπίας, όταν το κέντρο βάρους βρίσκεται στην κατακόρυφο κάτω από το σημείο ανάρτησης (ή στήριξης), η δύναμη της βαρύτητας εξισορροπείται (μέσω των ελαστικών δυνάμεων ενός παραμορφωμένου εκκρεμούς) από την αντίδραση του στηρίγματος. Κατά την απόκλιση από τη θέση ισορροπίας, η βαρύτητα και οι ελαστικές δυνάμεις καθορίζουν τη γωνιακή επιτάχυνση του εκκρεμούς σε κάθε χρονική στιγμή, δηλ. καθορίζουν τη φύση της κίνησής του (ταλάντωση). Θα εξετάσουμε τώρα τη δυναμική των ταλαντώσεων με περισσότερες λεπτομέρειες χρησιμοποιώντας το απλούστερο παράδειγμα ενός λεγόμενου μαθηματικού εκκρεμούς, το οποίο είναι ένα μικρό βάρος που αιωρείται σε ένα μακρύ λεπτό νήμα.

Σε ένα μαθηματικό εκκρεμές, μπορούμε να παραβλέψουμε τη μάζα του νήματος και την παραμόρφωση του βάρους, δηλαδή μπορούμε να υποθέσουμε ότι η μάζα του εκκρεμούς συγκεντρώνεται στο βάρος και οι ελαστικές δυνάμεις συγκεντρώνονται στο νήμα, το οποίο θεωρείται μη εκτατό . Ας δούμε τώρα υπό ποιες δυνάμεις ταλαντώνεται το εκκρεμές μας αφού αφαιρεθεί από τη θέση ισορροπίας του με κάποιο τρόπο (ώθηση, εκτροπή).

Όταν το εκκρεμές βρίσκεται σε ηρεμία στη θέση ισορροπίας, η δύναμη της βαρύτητας που ασκεί το βάρος του και κατευθύνεται κάθετα προς τα κάτω εξισορροπείται από τη δύναμη τάνυσης του νήματος. Στη θέση εκτροπής (Εικ. 15), η δύναμη της βαρύτητας δρα υπό γωνία ως προς τη δύναμη τάσης που κατευθύνεται κατά μήκος του νήματος. Ας αναλύσουμε τη δύναμη της βαρύτητας σε δύο συνιστώσες: προς την κατεύθυνση του νήματος () και κάθετα σε αυτό (). Όταν το εκκρεμές ταλαντώνεται, η δύναμη τάνυσης του νήματος υπερβαίνει ελαφρώς τη συνιστώσα - κατά την ποσότητα της κεντρομόλου δύναμης, η οποία αναγκάζει το φορτίο να κινηθεί σε ένα τόξο. Το εξάρτημα κατευθύνεται πάντα προς τη θέση ισορροπίας. φαίνεται να προσπαθεί να αποκαταστήσει αυτή την κατάσταση. Ως εκ τούτου, συχνά ονομάζεται δύναμη αποκατάστασης. Όσο περισσότερο εκτρέπεται το εκκρεμές, τόσο μεγαλύτερο είναι το μέγεθος.

Ρύζι. 15. Επαναφορά δύναμης όταν το εκκρεμές αποκλίνει από τη θέση ισορροπίας

Έτσι, μόλις το εκκρεμές, κατά τις ταλαντώσεις του, αρχίσει να αποκλίνει από τη θέση ισορροπίας, ας πούμε, προς τα δεξιά, εμφανίζεται μια δύναμη που επιβραδύνει την κίνησή του τόσο περισσότερο, τόσο περισσότερο αποκλίνει. Τελικά, αυτή η δύναμη θα τον σταματήσει και θα τον τραβήξει πίσω στη θέση ισορροπίας. Ωστόσο, όσο πλησιάζουμε σε αυτή τη θέση, η δύναμη θα γίνεται όλο και λιγότερη και στη θέση ισορροπίας η ίδια θα μηδενίζεται. Έτσι, το εκκρεμές διέρχεται από τη θέση ισορροπίας με αδράνεια. Μόλις αρχίσει να αποκλίνει προς τα αριστερά, θα εμφανιστεί ξανά μια δύναμη, που αυξάνεται με αυξανόμενη απόκλιση, αλλά τώρα κατευθύνεται προς τα δεξιά. Η κίνηση προς τα αριστερά θα επιβραδυνθεί ξανά, στη συνέχεια το εκκρεμές θα σταματήσει για μια στιγμή, μετά την οποία θα ξεκινήσει η επιταχυνόμενη κίνηση προς τα δεξιά κ.λπ.

Τι συμβαίνει με την ενέργεια ενός εκκρεμούς καθώς ταλαντώνεται;

Δύο φορές κατά τη διάρκεια της περιόδου - στις μεγαλύτερες αποκλίσεις προς τα αριστερά και προς τα δεξιά - το εκκρεμές σταματά, δηλαδή σε αυτές τις στιγμές η ταχύτητα είναι μηδέν, που σημαίνει ότι η κινητική ενέργεια είναι μηδέν. Αλλά είναι ακριβώς αυτές τις στιγμές που το κέντρο βάρους του εκκρεμούς ανυψώνεται στο μέγιστο ύψος του και, επομένως, η δυναμική ενέργεια είναι μεγαλύτερη. Αντίθετα, τις στιγμές διέλευσης από τη θέση ισορροπίας, η δυναμική ενέργεια είναι η χαμηλότερη και η ταχύτητα και η κινητική ενέργεια φτάνουν τις μεγαλύτερες τιμές τους.

Θα υποθέσουμε ότι οι δυνάμεις τριβής του εκκρεμούς στον αέρα και η τριβή στο σημείο ανάρτησης μπορούν να αγνοηθούν. Τότε, σύμφωνα με το νόμο της διατήρησης της ενέργειας, αυτή η μέγιστη κινητική ενέργεια είναι ακριβώς ίση με την περίσσεια δυναμικής ενέργειας στη θέση της μεγαλύτερης απόκλισης έναντι της δυναμικής ενέργειας στη θέση ισορροπίας.

Έτσι, όταν το εκκρεμές ταλαντώνεται, συμβαίνει μια περιοδική μετάβαση της κινητικής ενέργειας σε δυναμική ενέργεια και αντίστροφα, και η περίοδος αυτής της διαδικασίας είναι η μισή από την περίοδο ταλάντωσης του ίδιου του εκκρεμούς. Ωστόσο, η συνολική ενέργεια του εκκρεμούς (το άθροισμα του δυναμικού και της κινητικής ενέργειας) είναι σταθερή όλη την ώρα. Είναι ίση με την ενέργεια που μεταδόθηκε στο εκκρεμές κατά την εκτόξευση, ανεξάρτητα από το αν είναι με τη μορφή δυναμικής ενέργειας (αρχική εκτροπή) ή με τη μορφή κινητικής ενέργειας (αρχική ώθηση).

Αυτό συμβαίνει με οποιεσδήποτε ταλαντώσεις απουσία τριβής ή οποιωνδήποτε άλλων διεργασιών που αφαιρούν ενέργεια από το σύστημα ταλάντωσης ή μεταδίδουν ενέργεια σε αυτό. Γι' αυτό το πλάτος παραμένει αμετάβλητο και καθορίζεται από την αρχική εκτροπή ή δύναμη της ώθησης.

Θα έχουμε τις ίδιες αλλαγές στη δύναμη επαναφοράς και την ίδια μεταφορά ενέργειας αν, αντί να κρεμάσουμε την μπάλα σε μια κλωστή, την κάνουμε να κυλήσει σε κάθετο επίπεδο σε ένα σφαιρικό κύπελλο ή σε μια αυλάκωση κυρτή κατά μήκος της περιφέρειας. Σε αυτή την περίπτωση, τον ρόλο της τάσης του νήματος θα αναλάβει η πίεση των τοιχωμάτων του κυπέλλου ή της γούρνας (παραμελούμε και πάλι την τριβή της μπάλας στα τοιχώματα και τον αέρα).

Ένα μηχανικό σύστημα που αποτελείται από ένα υλικό σημείο (σώμα) που κρέμεται σε ένα μη εκτατό αβαρές νήμα (η μάζα του είναι αμελητέα σε σύγκριση με το βάρος του σώματος) σε ένα ομοιόμορφο βαρυτικό πεδίο ονομάζεται μαθηματικό εκκρεμές (άλλο όνομα είναι ταλαντωτής). Υπάρχουν και άλλοι τύποι αυτής της συσκευής. Αντί για κλωστή, μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια ράβδος χωρίς βάρος. Ένα μαθηματικό εκκρεμές μπορεί ξεκάθαρα να αποκαλύψει την ουσία πολλών ενδιαφέροντων φαινομένων. Όταν το πλάτος της δόνησης είναι μικρό, η κίνησή του ονομάζεται αρμονική.

Επισκόπηση Μηχανικού Συστήματος

Ο τύπος για την περίοδο ταλάντωσης αυτού του εκκρεμούς προήλθε από τον Ολλανδό επιστήμονα Huygens (1629-1695). Αυτός ο σύγχρονος του Ι. Νεύτωνα ενδιαφέρθηκε πολύ για αυτό το μηχανικό σύστημα. Το 1656 δημιούργησε το πρώτο ρολόι με μηχανισμό εκκρεμούς. Μετρούσαν τον χρόνο με εξαιρετική ακρίβεια για εκείνες τις εποχές. Αυτή η εφεύρεση έγινε ένα σημαντικό στάδιο στην ανάπτυξη φυσικών πειραμάτων και πρακτικών δραστηριοτήτων.

Εάν το εκκρεμές βρίσκεται σε θέση ισορροπίας (κρέμεται κάθετα), θα εξισορροπηθεί από τη δύναμη τάνυσης του νήματος. Ένα επίπεδο εκκρεμές σε ένα μη εκτατό νήμα είναι ένα σύστημα με δύο βαθμούς ελευθερίας με σύζευξη. Όταν αλλάζετε μόνο ένα εξάρτημα, αλλάζουν τα χαρακτηριστικά όλων των εξαρτημάτων του. Έτσι, εάν το νήμα αντικατασταθεί από μια ράβδο, τότε αυτό το μηχανικό σύστημα θα έχει μόνο 1 βαθμό ελευθερίας. Ποιες ιδιότητες έχει ένα μαθηματικό εκκρεμές; Σε αυτό το απλούστερο σύστημα, υπό την επίδραση περιοδικών διαταραχών, δημιουργείται χάος. Στην περίπτωση που το σημείο ανάρτησης δεν κινείται, αλλά ταλαντώνεται, το εκκρεμές έχει νέα θέση ισορροπίας. Με γρήγορες ταλαντώσεις πάνω και κάτω, αυτό το μηχανικό σύστημα αποκτά μια σταθερή θέση «ανάποδα». Έχει και το δικό του όνομα. Ονομάζεται εκκρεμές Kapitza.

Ιδιότητες εκκρεμούς

Το μαθηματικό εκκρεμές έχει πολύ ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Όλα αυτά επιβεβαιώνονται από γνωστούς φυσικούς νόμους. Η περίοδος ταλάντωσης οποιουδήποτε άλλου εκκρεμούς εξαρτάται από διάφορες περιστάσεις, όπως το μέγεθος και το σχήμα του σώματος, η απόσταση μεταξύ του σημείου ανάρτησης και του κέντρου βάρους και η κατανομή της μάζας σε σχέση με αυτό το σημείο. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο ο καθορισμός της περιόδου ανάρτησης ενός σώματος είναι αρκετά δύσκολο έργο. Είναι πολύ πιο εύκολο να υπολογιστεί η περίοδος ενός μαθηματικού εκκρεμούς, ο τύπος του οποίου θα δοθεί παρακάτω. Ως αποτέλεσμα των παρατηρήσεων παρόμοιων μηχανικών συστημάτων, μπορούν να καθοριστούν τα ακόλουθα μοτίβα:

Εάν, διατηρώντας το ίδιο μήκος του εκκρεμούς, αναρτήσουμε διαφορετικά βάρη, τότε η περίοδος των ταλαντώσεων τους θα είναι η ίδια, αν και οι μάζες τους θα ποικίλλουν πολύ. Κατά συνέπεια, η περίοδος ενός τέτοιου εκκρεμούς δεν εξαρτάται από τη μάζα του φορτίου.

Εάν, κατά την εκκίνηση του συστήματος, το εκκρεμές εκτρέπεται σε όχι πολύ μεγάλες, αλλά διαφορετικές γωνίες, τότε θα αρχίσει να ταλαντώνεται με την ίδια περίοδο, αλλά με διαφορετικά πλάτη. Εφόσον οι αποκλίσεις από το κέντρο ισορροπίας δεν είναι πολύ μεγάλες, οι δονήσεις στη μορφή τους θα είναι αρκετά κοντά στις αρμονικές. Η περίοδος ενός τέτοιου εκκρεμούς δεν εξαρτάται σε καμία περίπτωση από το πλάτος της ταλάντωσης. Αυτή η ιδιότητα ενός δεδομένου μηχανικού συστήματος ονομάζεται ισοχρονισμός (μετάφραση από τα ελληνικά "χρόνος" - χρόνος, "ίσος" - ίσος).

Περίοδος μαθηματικού εκκρεμούς

Αυτός ο δείκτης αντιπροσωπεύει την περίοδο Παρά τη σύνθετη διατύπωση, η ίδια η διαδικασία είναι πολύ απλή. Εάν το μήκος του νήματος ενός μαθηματικού εκκρεμούς είναι L και η επιτάχυνση της ελεύθερης πτώσης είναι g, τότε αυτή η τιμή είναι ίση με:

Η περίοδος των μικρών φυσικών ταλαντώσεων δεν εξαρτάται σε καμία περίπτωση από τη μάζα του εκκρεμούς και το πλάτος των ταλαντώσεων. Σε αυτή την περίπτωση, το εκκρεμές κινείται ως μαθηματικό με μειωμένο μήκος.

Ταλαντώσεις μαθηματικού εκκρεμούς

Ένα μαθηματικό εκκρεμές ταλαντώνεται, το οποίο μπορεί να περιγραφεί με μια απλή διαφορική εξίσωση:

x + ω2 sin x = 0,

όπου x (t) είναι μια άγνωστη συνάρτηση (αυτή είναι η γωνία απόκλισης από την κατώτερη θέση ισορροπίας τη στιγμή t, εκφρασμένη σε ακτίνια). Το ω είναι μια θετική σταθερά, η οποία προσδιορίζεται από τις παραμέτρους του εκκρεμούς (ω = √g/L, όπου g είναι η επιτάχυνση της ελεύθερης πτώσης και L το μήκος του μαθηματικού εκκρεμούς (αιώρηση).

Η εξίσωση για μικρές δονήσεις κοντά στη θέση ισορροπίας (αρμονική εξίσωση) μοιάζει με αυτό:

x + ω2 sin x = 0

Ταλαντωτικές κινήσεις εκκρεμούς

Ένα μαθηματικό εκκρεμές, που κάνει μικρές ταλαντώσεις, κινείται κατά μήκος ενός ημιτονοειδούς. Η διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης πληροί όλες τις απαιτήσεις και τις παραμέτρους μιας τέτοιας κίνησης. Για τον προσδιορισμό της τροχιάς, είναι απαραίτητο να ρυθμίσετε την ταχύτητα και τις συντεταγμένες, από τις οποίες στη συνέχεια προσδιορίζονται ανεξάρτητες σταθερές:

x = A αμαρτία (θ 0 + ωt),

όπου θ 0 είναι η αρχική φάση, Α είναι το πλάτος ταλάντωσης, ω η κυκλική συχνότητα που προσδιορίζεται από την εξίσωση κίνησης.

Μαθηματικό εκκρεμές (τύποι για μεγάλα πλάτη)

Αυτό το μηχανικό σύστημα, που ταλαντώνεται με σημαντικό πλάτος, υπόκειται σε πιο περίπλοκους νόμους κίνησης. Για ένα τέτοιο εκκρεμές υπολογίζονται σύμφωνα με τον τύπο:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

όπου sn είναι το ημίτονο Jacobi, το οποίο για το u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

όπου ε = E/mL2 (mL2 είναι η ενέργεια του εκκρεμούς).

Η περίοδος ταλάντωσης ενός μη γραμμικού εκκρεμούς προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:

όπου Ω = π/2 * ω/2K(u), Κ είναι το ελλειπτικό ολοκλήρωμα, π - 3,14.

Κίνηση εκκρεμούς κατά μήκος διαχωριστικού

Ένα separatrix είναι η τροχιά ενός δυναμικού συστήματος που έχει έναν δισδιάστατο χώρο φάσης. Ένα μαθηματικό εκκρεμές κινείται κατά μήκος του μη περιοδικά. Σε μια απείρως μακρινή χρονική στιγμή, πέφτει από την υψηλότερη θέση του στο πλάι με μηδενική ταχύτητα και στη συνέχεια την κερδίζει σταδιακά. Τελικά σταματά, επιστρέφοντας στην αρχική του θέση.

Αν το πλάτος των ταλαντώσεων του εκκρεμούς πλησιάζει τον αριθμό π , αυτό δείχνει ότι η κίνηση στο επίπεδο φάσης πλησιάζει το separatrix. Σε αυτή την περίπτωση, υπό την επίδραση μιας μικρής κινητήριας περιοδικής δύναμης, το μηχανικό σύστημα παρουσιάζει χαοτική συμπεριφορά.

Όταν ένα μαθηματικό εκκρεμές αποκλίνει από τη θέση ισορροπίας με μια ορισμένη γωνία φ, προκύπτει μια εφαπτομενική δύναμη βαρύτητας Fτ = -mg sin φ. Το σύμβολο μείον σημαίνει ότι αυτή η εφαπτομενική συνιστώσα κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από την εκτροπή του εκκρεμούς. Όταν συμβολίζουμε με x τη μετατόπιση του εκκρεμούς κατά μήκος ενός κυκλικού τόξου με ακτίνα L, η γωνιακή του μετατόπιση είναι ίση με φ = x/L. Ο δεύτερος νόμος, που προορίζεται για προβολές και δύναμη, θα δώσει την επιθυμητή τιμή:

mg τ = Fτ = -mg sin x/L

Με βάση αυτή τη σχέση, είναι σαφές ότι αυτό το εκκρεμές είναι ένα μη γραμμικό σύστημα, αφού η δύναμη που τείνει να το επαναφέρει στη θέση ισορροπίας είναι πάντα ανάλογη όχι της μετατόπισης x, αλλά του sin x/L.

Μόνο όταν ένα μαθηματικό εκκρεμές εκτελεί μικρές ταλαντώσεις είναι αρμονικός ταλαντωτής. Με άλλα λόγια, γίνεται ένα μηχανικό σύστημα ικανό να εκτελεί αρμονικές ταλαντώσεις. Αυτή η προσέγγιση ισχύει πρακτικά για γωνίες 15-20°. Οι ταλαντώσεις ενός εκκρεμούς με μεγάλα πλάτη δεν είναι αρμονικές.

Νόμος του Νεύτωνα για μικρές ταλαντώσεις εκκρεμούς

Εάν ένα δεδομένο μηχανικό σύστημα εκτελεί μικρές ταλαντώσεις, ο 2ος νόμος του Νεύτωνα θα μοιάζει με αυτό:

mg τ = Fτ = -m* g/L* x.

Με βάση αυτό, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ένα μαθηματικό εκκρεμές είναι ανάλογο της μετατόπισής του με πρόσημο μείον. Αυτή είναι η συνθήκη λόγω της οποίας το σύστημα γίνεται αρμονικός ταλαντωτής. Το μέτρο του συντελεστή αναλογικότητας μεταξύ μετατόπισης και επιτάχυνσης είναι ίσο με το τετράγωνο της κυκλικής συχνότητας:

ω02 = g/L; ω0 = √ g/L.

Αυτός ο τύπος αντανακλά τη φυσική συχνότητα των μικρών ταλαντώσεων αυτού του τύπου εκκρεμούς. Βασισμένο σε αυτό,

T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.

Υπολογισμοί με βάση το νόμο διατήρησης της ενέργειας

Οι ιδιότητες ενός εκκρεμούς μπορούν επίσης να περιγραφούν χρησιμοποιώντας το νόμο της διατήρησης της ενέργειας. Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι το εκκρεμές στο βαρυτικό πεδίο είναι ίσο με:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

Σύνολο ισούται με κινητικό ή μέγιστο δυναμικό: Epmax = Ekmsx = E

Αφού γραφτεί ο νόμος της διατήρησης της ενέργειας, πάρτε την παράγωγο της δεξιάς και της αριστερής πλευράς της εξίσωσης:

Εφόσον η παράγωγος σταθερών μεγεθών ισούται με 0, τότε (Ep + Ek)" = 0. Η παράγωγος του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x"‎ = mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,

ως εκ τούτου:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.

Με βάση τον τελευταίο τύπο, βρίσκουμε: α = - g/L*x.

Πρακτική εφαρμογή μαθηματικού εκκρεμούς

Η επιτάχυνση ποικίλλει ανάλογα με το γεωγραφικό πλάτος επειδή η πυκνότητα του φλοιού της Γης δεν είναι η ίδια σε ολόκληρο τον πλανήτη. Όπου εμφανίζονται πετρώματα με μεγαλύτερη πυκνότητα, θα είναι ελαφρώς υψηλότερη. Η επιτάχυνση ενός μαθηματικού εκκρεμούς χρησιμοποιείται συχνά για γεωλογική εξερεύνηση. Χρησιμοποιείται για την αναζήτηση διαφόρων ορυκτών. Απλώς μετρώντας τον αριθμό των ταλαντώσεων ενός εκκρεμούς, μπορεί κανείς να ανιχνεύσει άνθρακα ή μετάλλευμα στα έγκατα της Γης. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι τέτοια απολιθώματα έχουν πυκνότητα και μάζα μεγαλύτερη από τα υποκείμενα χαλαρά πετρώματα.

Το μαθηματικό εκκρεμές χρησιμοποιήθηκε από εξαιρετικούς επιστήμονες όπως ο Σωκράτης, ο Αριστοτέλης, ο Πλάτωνας, ο Πλούταρχος, ο Αρχιμήδης. Πολλοί από αυτούς πίστευαν ότι αυτό το μηχανικό σύστημα θα μπορούσε να επηρεάσει τη μοίρα και τη ζωή ενός ατόμου. Ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησε ένα μαθηματικό εκκρεμές στους υπολογισμούς του. Σήμερα, πολλοί αποκρυφιστές και μέντιουμ χρησιμοποιούν αυτό το μηχανικό σύστημα για να εκπληρώσουν τις προφητείες τους ή να αναζητήσουν αγνοούμενους.

Ο διάσημος Γάλλος αστρονόμος και φυσιοδίφης K. Flammarion χρησιμοποίησε επίσης ένα μαθηματικό εκκρεμές για την έρευνά του. Ισχυρίστηκε ότι με τη βοήθειά του ήταν σε θέση να προβλέψει την ανακάλυψη ενός νέου πλανήτη, την εμφάνιση του μετεωρίτη Tunguska και άλλα σημαντικά γεγονότα. Κατά τη διάρκεια του Β' Παγκοσμίου Πολέμου λειτούργησε στη Γερμανία (Βερολίνο) ένα εξειδικευμένο Ινστιτούτο Εκκρεμούς. Στις μέρες μας, το Ινστιτούτο Παραψυχολογίας του Μονάχου ασχολείται με παρόμοια έρευνα. Οι εργαζόμενοι σε αυτό το ίδρυμα αποκαλούν την εργασία τους με το εκκρεμές "radiesthesia".