मल

अद्भुत त्रिकोण अंक। त्रिभुज के चार अद्भुत बिंदु त्रिभुज परिभाषाओं के 4 अद्भुत बिंदु

8वीं कक्षा में ज्यामिति का पाठ स्थितीय शिक्षण मॉडल के आधार पर विकसित किया गया है।

पाठ मकसद:

"त्रिकोण के चार अद्भुत बिंदु" विषय पर सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन;
सोच, तर्क, भाषण, छात्रों की कल्पना, काम का विश्लेषण और मूल्यांकन करने की क्षमता का विकास;
समूह कार्य कौशल का विकास;
प्रदर्शन किए गए कार्य की गुणवत्ता और परिणाम के लिए जिम्मेदारी की भावना बढ़ाना।

उपकरण:

समूह के नाम वाले कार्ड;
प्रत्येक समूह के लिए कार्य कार्ड;
समूहों के काम के परिणामों को रिकॉर्ड करने के लिए ए -4 पेपर;
बोर्ड पर लिखा हुआ एपिग्राफ।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण।

2. पाठ के लक्ष्य और विषय का निर्धारण।

ऐतिहासिक रूप से, ज्यामिति की शुरुआत एक त्रिभुज से हुई थी, इसलिए ढाई सहस्राब्दियों से त्रिभुज ज्यामिति का प्रतीक रहा है। विद्यालय ज्यामिति तभी रोचक और सार्थक बन सकती है, तभी वह उचित ज्यामिति बन सकती है, जब उसमें त्रिभुज का गहन और व्यापक अध्ययन प्रकट होता है। आश्चर्यजनक रूप से, त्रिभुज, अपनी स्पष्ट सादगी के बावजूद, अध्ययन की एक अटूट वस्तु है - कोई भी, हमारे समय में भी, यह कहने की हिम्मत नहीं करता कि उसने त्रिभुज के सभी गुणों का अध्ययन और ज्ञान किया है।

बरमूडा ट्रायंगल के बारे में किसने नहीं सुना है, जहां जहाज और विमान बिना किसी निशान के गायब हो जाते हैं? लेकिन त्रिभुज अपने आप में बहुत सारी रोचक और रहस्यमयी बातों से भरा हुआ है।

त्रिभुज के केंद्रीय स्थान पर तथाकथित उल्लेखनीय बिंदु हैं।

मुझे लगता है कि पाठ के अंत में आप यह कहने में सक्षम होंगे कि बिंदुओं को अद्भुत क्यों कहा जाता है और क्या वे ऐसा हैं।

हमारे पाठ का विषय क्या है? "त्रिकोण के चार उल्लेखनीय बिंदु"। के. वीयरस्ट्रास के शब्द पाठ के लिए एक एपिग्राफ के रूप में काम कर सकते हैं: "एक गणितज्ञ जो आंशिक रूप से कवि नहीं है, वह कभी भी गणित में पूर्णता प्राप्त नहीं करेगा" (एपिग्राफ ब्लैकबोर्ड पर लिखा गया है)।

पाठ के विषय के शब्दों को पुरालेख पर देखें और पाठ में अपने काम के लक्ष्यों को निर्धारित करने का प्रयास करें। पाठ के अंत में, हम जाँच करेंगे कि आपने उन्हें कैसे पूरा किया।

3. छात्रों का स्वतंत्र कार्य।

स्वतंत्र कार्य की तैयारी

पाठ में काम करने के लिए, आपको छह समूहों में से एक को चुनना होगा: "सिद्धांतवादी", "रचनात्मकता", "तर्क-निर्माता", "व्यवसायी", "इतिहासकार", "विशेषज्ञ"।

वार्ता

प्रत्येक समूह को कार्य कार्ड प्राप्त होते हैं। यदि कार्य स्पष्ट नहीं है, तो शिक्षक स्पष्टीकरण भी देता है।

"सिद्धांतवादी"

कार्य: "एक त्रिभुज के चार उल्लेखनीय बिंदु" विषय का अध्ययन करते समय आवश्यक बुनियादी अवधारणाओं को परिभाषित करें (एक त्रिभुज की ऊंचाई, एक त्रिभुज की माध्यिका, एक त्रिभुज का द्विभाजक, लंबवत द्विभाजक, उत्कीर्ण वृत्त, परिचालित वृत्त), आप पाठ्यपुस्तक का उपयोग कर सकते हैं ; कागज के एक टुकड़े पर मुख्य अवधारणाओं को लिखें।

"इतिहासकार"

समद्विभाजक खुदा वृत्त का केंद्र लंबवत परिचालित वृत्त का केंद्र. तत्व यह नहीं कहते हैं कि तीन ऊंचाइयोंत्रिभुज एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं जिसे . कहा जाता है ऑर्थोसेंटर माध्यिकाओं ग्रैविटी केंद्र

XIX सदी के 20 के दशक में। फ्रांसीसी गणितज्ञ जे. पोंसलेट, च. ब्रायनचॉन और अन्य ने स्वतंत्र रूप से निम्नलिखित प्रमेय की स्थापना की: माध्यिका के आधार, ऊँचाई के आधार और ऊँचाई के खंडों के मध्य बिंदु जो त्रिभुज के शीर्षों के साथ ऑर्थोसेंटर को जोड़ते हैं, एक ही पर स्थित होते हैं। वृत्त।

इस वृत्त को "नौ बिंदुओं का वृत्त", या "फ्यूअरबाक का वृत्त", या "यूलर का वृत्त" कहा जाता है। के. फ्यूरबैक ने पाया कि इस वृत्त का केंद्र "यूलर रेखा" पर स्थित है।

कार्य: लेख का विश्लेषण करें और अध्ययन की गई सामग्री को दर्शाने वाली तालिका भरें।

	बिंदु का नाम		क्या प्रतिच्छेद करता है

"निर्माण"

कार्य: "एक त्रिभुज के चार अद्भुत बिंदु" (उदाहरण के लिए, एक त्रिकोण, एक बिंदु, एक माध्यिका, आदि) विषय पर एक सिंकैन (ओं) के साथ आएं।

सिनक्वैन लिखने का नियम:

पहली पंक्ति में, विषय को एक शब्द (आमतौर पर एक संज्ञा) द्वारा बुलाया जाता है।

दूसरी पंक्ति संक्षेप में विषय का विवरण है (2 विशेषण)।

तीसरी पंक्ति इस विषय के ढांचे के भीतर तीन शब्दों (क्रिया, कृदंत) में कार्रवाई का विवरण है।

चौथी पंक्ति एक 4-शब्द का वाक्यांश है जो विषय के प्रति दृष्टिकोण को दर्शाता है।

अंतिम पंक्ति एक शब्द का पर्यायवाची (रूपक) है जो विषय के सार को दोहराती है।

"तर्क निर्माता"

त्रिभुज की माध्यिका एक ऐसा खंड है जो त्रिभुज के किसी भी शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्य बिंदु से जोड़ता है। किसी भी त्रिभुज की तीन माध्यिकाएँ होती हैं।

एक द्विभाजक शीर्ष से विपरीत दिशा के साथ चौराहे तक किसी भी कोण के द्विभाजक का एक खंड है। किसी भी त्रिभुज में तीन समद्विभाजक होते हैं।

त्रिभुज की ऊँचाई त्रिभुज के किसी भी शीर्ष से विपरीत दिशा में गिराया गया लम्ब या उसके विस्तार को कहते हैं। किसी भी त्रिभुज की तीन ऊँचाइयाँ होती हैं।

एक खंड के लिए लंबवत एक सीधी रेखा है जो दिए गए खंड के मध्य बिंदु से होकर गुजरती है और उस पर लंबवत होती है। किसी भी त्रिभुज में तीन लंब समद्विभाजक होते हैं।

कार्य: कागज की त्रिकोणीय शीटों का उपयोग करके, मध्य-लंबवत, ऊंचाई, द्विभाजक, मध्य-लंबवत के चौराहे बिंदुओं को झुकाकर निर्माण करें। इसे पूरी कक्षा को समझाएं।

"अभ्यास"

"बिगिनिंग्स" की चौथी पुस्तक में, यूक्लिड "किसी दिए गए त्रिभुज में एक वृत्त अंकित करें" समस्या को हल करता है। यह समाधान से निम्नानुसार है कि तीन समद्विभाजकत्रिभुज के आंतरिक कोण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं खुदा वृत्त का केंद्र. एक अन्य यूक्लिड समस्या के समाधान से, यह इस प्रकार है: लंबवत, त्रिभुज की भुजाओं को उनके मध्य बिंदुओं पर पुनर्स्थापित किया जाता है, एक बिंदु पर भी प्रतिच्छेद किया जाता है - परिचालित वृत्त का केंद्र. तत्व यह नहीं कहते हैं कि त्रिभुज की तीन ऊँचाइयाँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिसे कहा जाता है ऑर्थोसेंटर(ग्रीक शब्द "ऑर्थोस" का अर्थ है सीधा, दायां)। हालाँकि, यह प्रस्ताव आर्किमिडीज़, पप्पस, प्रोक्लस के लिए जाना जाता था। त्रिभुज का चौथा एकवचन बिंदु प्रतिच्छेदन बिंदु है माध्यिकाओं. आर्किमिडीज ने साबित कर दिया कि वह है ग्रैविटी केंद्र(बैरीसेंटर) त्रिभुज का। 18वीं शताब्दी से उपरोक्त चार बिंदुओं पर विशेष ध्यान दिया गया है। उन्हें "उल्लेखनीय" या "त्रिकोण के एकवचन बिंदु" कहा गया है।

इन और अन्य बिंदुओं से जुड़े त्रिभुज के गुणों का अध्ययन प्रारंभिक गणित की एक नई शाखा के निर्माण की शुरुआत के रूप में कार्य करता है - "एक त्रिभुज की ज्यामिति", या "त्रिभुज की नई ज्यामिति", इनमें से एक जिसके संस्थापक लियोनहार्ड यूलर थे।

कार्य: प्रस्तावित सामग्री का विश्लेषण करें और एक आरेख के साथ आएं जो इकाइयों के बीच शब्दार्थ संबंधों को दर्शाता है, इसे समझाएं, इसे कागज के एक टुकड़े पर बनाएं और इसे बोर्ड पर बनाएं।

त्रिभुज के उल्लेखनीय बिंदु

1.____________ 2.___________ 3.______________ 4.____________

आरेखण 1 आरेखण 2 आरेखण 3 आरेखण 4

____________ ___________ ______________ ____________

(व्याख्या)

"विशेषज्ञ"

कार्य: एक तालिका बनाएं जिसमें आप प्रत्येक समूह के काम का मूल्यांकन करते हैं, उन मापदंडों का चयन करें जिनके द्वारा आप समूहों के काम का मूल्यांकन करेंगे, अंक निर्धारित करेंगे।

पैरामीटर निम्नानुसार हो सकते हैं: प्रत्येक छात्र की अपने समूह के काम में भागीदारी, रक्षा में भागीदारी, सामग्री की एक दिलचस्प प्रस्तुति, दृश्य प्रस्तुत किया जाता है, आदि।

अपनी प्रस्तुति में, आपको प्रत्येक समूह की गतिविधियों में सकारात्मक और नकारात्मक बिंदुओं को नोट करना चाहिए।

4. समूहों का प्रदर्शन।(2-3 मिनट के लिए)

कार्य के परिणाम बोर्ड पर पोस्ट किए जाते हैं

5. पाठ को सारांशित करना।

उन लक्ष्यों को देखें जिन्हें आपने पाठ की शुरुआत में तैयार किया था। क्या आपने सब कुछ पूरा करने का प्रबंधन किया?

क्या आप उस पुरालेख से सहमत हैं जिसे आज के पाठ के लिए चुना गया था?

6. गृहकार्य।

1) सुनिश्चित करें कि त्रिभुज, जो एक निश्चित बिंदु पर सुई की नोक पर टिका है, आज के पाठ की सामग्री का उपयोग करके संतुलन में है।

2) विभिन्न त्रिभुजों में सभी 4 अद्भुत बिंदु बनाएं।

आइए पहले कोण समद्विभाजक प्रमेय को सिद्ध करें।

प्रमेय

प्रमाण

1) कोण BAC के समद्विभाजक पर एक मनमाना बिंदु M लीजिए, सीधी रेखाओं AB और AC पर लंबवत MK और ML खींचिए और सिद्ध कीजिए कि MK = ML (चित्र 224)। समकोण त्रिभुज AM K और AML पर विचार करें। वे कर्ण और न्यून कोण में बराबर होते हैं (AM - उभयनिष्ठ कर्ण, 1 = ∠2 शर्त के अनुसार)। इसलिए, एमके = एमएल।

2) मान लीजिए कि बिंदु M कोण BAC के अंदर है और इसकी भुजा AB और AC से समान दूरी पर है। आइए हम सिद्ध करें कि किरण AM कोण BAC की समद्विभाजक है (देखिए आकृति 224)। सीधी रेखा AB और AC पर लम्ब MK और ML खींचिए। समकोण त्रिभुज AMK और AML कर्ण और पैर में बराबर हैं (AM - सामान्य कर्ण, MK = ML स्थिति के अनुसार)। इसलिए, 1 = 2। लेकिन इसका मतलब है कि किरण AM कोण BAC का समद्विभाजक है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

चावल। 224

कोरोलरी 1

परिणाम 2

वास्तव में, आइए अक्षर O द्वारा त्रिभुज ABC के समद्विभाजक AA 1 और BB 1 के प्रतिच्छेदन बिंदु को निरूपित करें और इस बिंदु से क्रमशः AB, BC और CA (चित्र। 225)। सिद्ध प्रमेय द्वारा OK = OM और OK = OL। इसलिए, OM \u003d OL, यानी, बिंदु O कोण ACB की भुजाओं से समान दूरी पर है और इसलिए, इस कोण के समद्विभाजक CC 1 पर स्थित है। परिणामस्वरूप, त्रिभुज ABC के तीनों समद्विभाजक बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे सिद्ध करना था।

चावल। 225

रेखाखंड के लम्ब समद्विभाजक के गुण

एक खंड का लंबवत द्विभाजक एक सीधी रेखा है जो दिए गए खंड के मध्य बिंदु से होकर गुजरती है और उस पर लंबवत होती है।

चावल। 226

आइए हम एक खंड के लंब समद्विभाजक पर प्रमेय को सिद्ध करें।

प्रमेय

प्रमाण

मान लीजिए कि रेखा m खंड AB का लंबवत समद्विभाजक है, बिंदु O इस खंड का मध्यबिंदु है (चित्र 227, a)।

चावल। 227

1) रेखा m के एक स्वेच्छ बिन्दु M पर विचार कीजिए और सिद्ध कीजिए कि AM = VM है। यदि बिंदु M, बिंदु O से मेल खाता है, तो यह समानता सत्य है, क्योंकि O खंड AB का मध्यबिंदु है। मान लीजिए M और O अलग-अलग बिंदु हैं। समकोण त्रिभुज OAM और OBM दो पैरों में बराबर हैं (OA = OB, OM - उभयनिष्ठ पैर), इसलिए AM = VM।

2) खंड AB के सिरों से समान दूरी पर स्थित एक मनमाना बिंदु N पर विचार करें और सिद्ध करें कि बिंदु N रेखा m पर स्थित है। यदि N, रेखा AB का एक बिंदु है, तो यह खंड AB के मध्य बिंदु O से संपाती है और इसलिए रेखा m पर स्थित है। यदि बिंदु N रेखा AB पर स्थित नहीं है, तो त्रिभुज ANB समद्विबाहु है, क्योंकि AN \u003d BN (चित्र 227, b)। खंड NO इस त्रिभुज की माध्यिका है, और इसलिए ऊँचाई है। इस प्रकार, NO AB; इसलिए, रेखाएँ ON और m संपाती होती हैं, अर्थात N, रेखा m का एक बिंदु है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

कोरोलरी 1

परिणाम 2

इस कथन को सिद्ध करने के लिए त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और BC पर लम्ब समद्विभाजक m और n पर विचार कीजिए (आकृति 228)। ये रेखाएँ किसी बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। वास्तव में, यदि हम इसका विपरीत मान लें, अर्थात m || n, तो रेखा BA, रेखा m के लंबवत होने के कारण, इसके समानांतर रेखा n पर भी लंबवत होगी, और फिर दो रेखाएँ BA और BC, बिंदु B से होकर गुज़रेंगी, जो रेखा n के लंबवत है, जो असंभव है।

चावल। 228

सिद्ध प्रमेय के अनुसार, OB = OA और OB = OS। इसलिए, OA \u003d OC, अर्थात्, बिंदु O खंड AC के सिरों से समान दूरी पर है और इसलिए, इस खंड के लंबवत द्विभाजक p पर स्थित है। अत: त्रिभुज ABC की भुजाओं पर सभी तीन लंब समद्विभाजक m, n और p बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।

त्रिभुज प्रतिच्छेदन प्रमेय

हमने सिद्ध किया है कि त्रिभुज के समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, त्रिभुज की भुजाओं के लंब समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। पहले यह सिद्ध हो चुका था कि त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं (खंड 64)। यह पता चला है कि त्रिभुज की ऊंचाई में समान गुण होते हैं।

प्रमेय

प्रमाण

एक मनमाना त्रिभुज ABC पर विचार करें और सिद्ध करें कि AA 1 BB 1 और CC 1 की ऊँचाई वाली रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं (चित्र 229)।

चावल। 229

त्रिभुज ABC के प्रत्येक शीर्ष से सम्मुख भुजा के समांतर एक रेखा खींचिए। हमें एक त्रिभुज A 2 B 2 C 2 प्राप्त होता है। बिंदु A, B और C इस त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदु हैं। दरअसल, एबी \u003d ए 2 सी और एबी \u003d सीबी 2 समांतर चतुर्भुज एबीए 2 सी और एबीसीबी 2 के विपरीत पक्षों के रूप में, इसलिए ए 2 सी \u003d सीबी 2। इसी तरह, सी 2 ए \u003d एबी 2 और सी 2 बी \u003d बीए 2। इसके अलावा, निर्माण से निम्नानुसार, सीसी 1 ए 2 बी 2, एए 1 ⊥ बी 2 सी 2 और बीबी 1 ए 2 सी 2। इस प्रकार, रेखाएँ AA 1, BB 1 और CC 1 त्रिभुज A 2 B 2 C 2 की भुजाओं पर लंबवत समद्विभाजक हैं। इसलिए, वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

तो, प्रत्येक त्रिभुज के साथ चार बिंदु जुड़े होते हैं: माध्यिका का प्रतिच्छेदन बिंदु, द्विभाजक के प्रतिच्छेदन का बिंदु, पक्षों के लंबवत द्विभाजक के प्रतिच्छेदन का बिंदु, और ऊंचाइयों के प्रतिच्छेदन का बिंदु (या उनके विस्तार) ) इन चार बिंदुओं को कहा जाता है त्रिभुज के अद्भुत बिंदु.

कार्य

674. गैर-विस्तारित कोण O के द्विभाजक के बिंदु M से, इस कोण के पक्षों पर लंबवत MA और MB खींचे जाते हैं। सिद्ध कीजिए कि AB OM.

675. कोण O की भुजाएँ बिंदु A पर उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा वाले दो वृत्तों में से प्रत्येक को स्पर्श करती हैं। सिद्ध कीजिए कि इन वृत्तों के केंद्र रेखा O A पर स्थित हैं।

676. कोण A की भुजाएँ r त्रिज्या के केंद्र O वाले वृत्त को स्पर्श करती हैं। खोजें: a) OA, यदि r = 5 सेमी, A = 60°; बी) डी, अगर = 14 डीएम, ∠ए = 90 डिग्री।

677. त्रिभुज ABC के शीर्ष B और C पर बाह्य कोणों के समद्विभाजक बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध करें कि बिंदु O, AB, BC, AC की रेखाओं के स्पर्शरेखा का केंद्र है।

678. त्रिभुज ABC के समद्विभाजक AA 1 और BB 1 बिंदु M पर प्रतिच्छेद करते हैं। कोण ACM और BCM ज्ञात कीजिए यदि: a) AMB = 136°; ख) AMB = 111°।

679. त्रिभुज ABC की भुजा BC पर लम्ब समद्विभाजक भुजा AC को बिंदु D पर प्रतिच्छेद करता है। ज्ञात कीजिए: a) AD और CD यदि BD = 5 सेमी, Ac = 8.5 सेमी; बी) एसी, अगर बीडी = 11.4 सेमी, एडी = 3.2 सेमी।

680. त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और AC के लंब समद्विभाजक भुजा BC के बिंदु D पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि: a) बिंदु D भुजा BC का मध्यबिंदु है; बी) A - ∠B + C।

681. एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की भुजा AB पर लम्ब समद्विभाजक भुजा BC को बिंदु E पर प्रतिच्छेद करता है। यदि त्रिभुज AEC का परिमाप 27 सेमी और AB = 18 सेमी है, तो आधार AC ज्ञात कीजिए।

682. समद्विबाहु त्रिभुज ABC और ABD में सार्वजनिक भूक्षेत्रएबी. सिद्ध कीजिए कि रेखा CD खण्ड AB के मध्य बिन्दु से होकर गुजरती है।

683. सिद्ध कीजिए कि यदि त्रिभुज ABC में भुजाएँ AB और AC बराबर नहीं हैं, तो त्रिभुज की माध्यिका AM कोई शीर्षलंब नहीं है।

684. एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC के आधार AB पर कोण समद्विभाजक बिंदु M पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि रेखा CM रेखा AB पर लंबवत है।

685. एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की भुजाओं की ओर खींची गई ऊँचाई AA 1 और BB 1 बिंदु M पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि रेखा MC खंड AB का लम्ब समद्विभाजक है।

686. दिए गए खण्ड के लम्ब समद्विभाजक की रचना कीजिए।

समाधान

माना AB दिया गया खंड है। आइए त्रिज्या AB के बिंदुओं A और B पर केंद्रों के साथ दो वृत्त बनाएं (चित्र 230)। ये वृत्त दो बिंदुओं M 1 और M 2 पर प्रतिच्छेद करते हैं। खंड AM 1, AM 2, VM 1, VM 2 इन वृत्तों की त्रिज्या के बराबर एक दूसरे के बराबर हैं।

चावल। 230

आइए एक सीधी रेखा M 1 M 2 खींचते हैं। यह खंड AB का अभीष्ट लंब समद्विभाजक है। वास्तव में, बिंदु M 1 और M 2 खंड AB के सिरों से समान दूरी पर हैं, इसलिए वे इस खंड के लंबवत द्विभाजक पर स्थित हैं। अत: रेखा M 1 M 2 खंड AB का लम्ब समद्विभाजक है।

687. इस रेखा के एक ही तरफ स्थित एक रेखा a और दो बिंदु A और B दिए गए हैं। रेखा a पर, बिंदु A से B के समान दूरी पर एक बिंदु M की रचना कीजिए।

688. एक कोण और एक खंड दिया गया है। दिए गए कोण के अंदर एक बिंदु की रचना कीजिए, जो इसके पक्षों से समान दूरी पर और दिए गए खंड के सिरों से समान दूरी पर हो।

कार्यों के उत्तर

674. निर्देश। पहले सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज AOB समद्विबाहु है।

676. ए) 10 सेमी; बी) 7√2 डीएम।

678. क) 46° और 46°; बी) 21 डिग्री और 21 डिग्री।

679. ए) एबी = 3.5 सेमी, सीडी = 5 सेमी; बी) एसी = 14.6 सेमी।

683. निर्देश। विरोधाभास द्वारा प्रमाण की विधि का प्रयोग करें।

687. निर्देश। आइटम 75 के प्रमेय का प्रयोग करें।

688. निर्देश। ध्यान दें कि वांछित बिंदु दिए गए कोण के समद्विभाजक पर स्थित है।

1 अर्थात् यह कोणों की भुजाओं वाली रेखाओं से समान दूरी पर है।

एक त्रिभुज में तथाकथित चार उल्लेखनीय बिंदु होते हैं: माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु। समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु, ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु और लंब समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु। आइए उनमें से प्रत्येक पर विचार करें।

त्रिभुज की माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रमेय 1

एक त्रिभुज की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन पर: त्रिभुज की माध्यिकाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और शीर्ष से प्रारंभ करते हुए प्रतिच्छेदन बिंदु को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करती हैं।

प्रमाण।

त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें, जहाँ $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ इसकी माध्यिका है। चूँकि माध्यिकाएँ भुजाओं को आधे में विभाजित करती हैं। मध्य रेखा $A_1B_1$ पर विचार करें (चित्र 1)।

चित्र 1. त्रिभुज की माध्यिकाएँ

प्रमेय 1 से, $AB||A_1B_1$ और $AB=2A_1B_1$, इसलिए $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$। इसलिए त्रिभुज $ABM$ और $A_1B_1M$ पहले त्रिभुज समानता मानदंड के अनुसार समान हैं। फिर

इसी प्रकार, यह सिद्ध होता है कि

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

त्रिभुज के समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रमेय 2

त्रिभुज के समद्विभाजक के प्रतिच्छेदन पर: त्रिभुज के समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

प्रमाण।

त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें, जहाँ $AM,\ BP,\ CK$ इसके समद्विभाजक हैं। बिंदु $O$ को द्विभाजक $AM\ और\ BP$ का प्रतिच्छेदन बिंदु होने दें। इस बिंदु से त्रिभुज की भुजाओं पर लंब खींचिए (चित्र 2)।

चित्र 2. त्रिभुज के समद्विभाजक

प्रमेय 3

एक गैर-विस्तारित कोण के द्विभाजक का प्रत्येक बिंदु इसके पक्षों से समान दूरी पर है।

प्रमेय 3 से, हमारे पास है: $OX=OZ,\ OX=OY$। इसलिए $OY=OZ$। इसलिए बिंदु $O$ कोण $ACB$ के किनारों से समान दूरी पर है और इसलिए इसके द्विभाजक $CK$ पर स्थित है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

किसी त्रिभुज के लम्ब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रमेय 4

त्रिभुज की भुजाओं के लम्ब समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

प्रमाण।

मान लीजिए एक त्रिभुज $ABC$ दिया गया है, $n,\ m,\ p$ इसके लंब समद्विभाजक। बिंदु $O$ को लंबवत द्विभाजक $n\ और\ m$ का प्रतिच्छेदन बिंदु होने दें (चित्र 3)।

चित्र 3. त्रिभुज के लम्ब समद्विभाजक

प्रमाण के लिए हमें निम्नलिखित प्रमेय की आवश्यकता है।

प्रमेय 5

किसी खंड के लंबवत द्विभाजक का प्रत्येक बिंदु दिए गए खंड के सिरों से समान दूरी पर होता है।

प्रमेय 3 से, हमारे पास है: $OB=OC,\ OB=OA$। इसलिए $OA=OC$। इसका मतलब यह है कि बिंदु $O$ खंड $AC$ के सिरों से समान दूरी पर है और इसलिए, इसके लंबवत द्विभाजक $p$ पर स्थित है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

त्रिभुज की ऊंचाईयों का प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रमेय 6

किसी त्रिभुज की ऊँचाइयाँ या उनके विस्तार एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

प्रमाण।

त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें, जहां $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ इसकी ऊंचाई है। त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष से शीर्ष के सम्मुख भुजा के समांतर एक रेखा खींचिए। हमें एक नया त्रिभुज $A_2B_2C_2$ मिलता है (चित्र 4)।

चित्र 4. त्रिभुज की ऊँचाई

चूँकि $AC_2BC$ और $B_2ABC$ एक उभयनिष्ठ भुजा वाले समांतर चतुर्भुज हैं, तो $AC_2=AB_2$, अर्थात बिंदु $A$ भुजा $C_2B_2$ का मध्यबिंदु है। इसी तरह, हम पाते हैं कि बिंदु $B$ पक्ष $C_2A_2$ का मध्यबिंदु है, और बिंदु $C$ पक्ष $A_2B_2$ का मध्यबिंदु है। निर्माण से हमारे पास $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$ है। अत: $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ त्रिभुज $A_2B_2C_2$ के लम्ब समद्विभाजक हैं। फिर, प्रमेय 4 से, हमारे पास यह है कि ऊँचाई $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।

किसी त्रिभुज की माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु त्रिभुज के समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु त्रिभुज के शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु त्रिभुज के लंब समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु

किसी त्रिभुज की माध्यिका (BD) वह रेखाखंड है जो त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्य बिंदु से जोड़ता है। ए बी सी डी मेडियन

एक त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु (त्रिभुज के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र) पर प्रतिच्छेद करती हैं और ऊपर से गिनती करते हुए 2:1 के अनुपात में इस बिंदु से विभाजित होती हैं। AM:MA 1 = VM:MV 1 = SM:MS 1 = 2:1। ए ए 1 बी बी 1 एम सी सी 1

किसी त्रिभुज का समद्विभाजक (A D) त्रिभुज के आंतरिक कोण के समद्विभाजक का खंड होता है।

एक खुले कोण के समद्विभाजक का प्रत्येक बिंदु इसके पक्षों से समान दूरी पर होता है। इसके विपरीत, कोण के अंदर और कोण की भुजाओं से समदूरस्थ प्रत्येक बिंदु उसके समद्विभाजक पर स्थित होता है। ए एम बी सी

त्रिभुज के सभी समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं - त्रिभुज में उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र। सी बी 1 एम ए बी ए 1 सी 1 ओ सर्कल की त्रिज्या (ओएम) केंद्र (टी.ओ) से त्रिभुज की तरफ गिराए गए लंबवत है

ऊँचाई त्रिभुज की ऊँचाई (C D) त्रिभुज के शीर्ष से विपरीत भुजा वाली रेखा पर गिराए गए लम्ब का खंड है। ऐ बी सी डी

एक त्रिभुज (या उनके विस्तार) की ऊँचाइयाँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। ए ए 1 बी बी 1 सी सी 1

MIDDLE PERPENDICULAR लंब समद्विभाजक (DF) एक त्रिभुज की एक भुजा के लंबवत् और इसे आधे में विभाजित करने वाली रेखा है। ए डी एफ बी सी

ए एम बी एम ओ एक खंड के लंबवत द्विभाजक (एम) का प्रत्येक बिंदु इस खंड के सिरों से समान दूरी पर है। इसके विपरीत, खंड के सिरों से समदूरस्थ प्रत्येक बिंदु इसके लंब समद्विभाजक पर स्थित होता है।

त्रिभुज की भुजाओं के सभी लंबवत द्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं - वृत्त का केंद्र त्रिभुज के चारों ओर परिचालित होता है। A B C O परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या वृत्त के केंद्र से त्रिभुज (OA) के किसी भी शीर्ष तक की दूरी है। एम एन पी

विद्यार्थी कार्य एक अधिक त्रिभुज में खुदा हुआ एक वृत्त बनाने के लिए एक कम्पास और सीधा किनारे का उपयोग करें। ऐसा करने के लिए: एक कंपास और सीधा किनारे का उपयोग करके एक अधिक त्रिभुज के समद्विभाजक बनाएं। समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का केंद्र है। वृत्त की त्रिज्या की रचना करें: वृत्त के केंद्र से त्रिभुज की भुजा तक लंबवत। एक त्रिभुज में अंकित एक वृत्त की रचना कीजिए।

2. एक वृत्त का निर्माण करने के लिए एक कंपास और स्ट्रेटेज का उपयोग करें अधिक त्रिभुज. ऐसा करने के लिए: एक अधिक त्रिभुज की भुजाओं के लम्ब समद्विभाजकों की रचना कीजिए। इन लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु परिबद्ध वृत्त का केंद्र है। एक वृत्त की त्रिज्या केंद्र से त्रिभुज के किसी भी शीर्ष की दूरी है। एक त्रिभुज के परिगत एक वृत्त की रचना कीजिए।

विषय

परिचय………………………………………………………………………………3

अध्याय 1।

1.1 त्रिभुज………………………………………………………………………………………..4

1.2. त्रिभुज माध्यिका

1.4. त्रिभुज में ऊँचाई

निष्कर्ष

प्रयुक्त साहित्य की सूची

पुस्तिका

परिचय

ज्यामिति गणित की एक शाखा है जो विभिन्न आकृतियों और उनके गुणों से संबंधित है। ज्यामिति एक त्रिभुज से शुरू होती है। ढाई सहस्राब्दियों से, त्रिभुज ज्यामिति का प्रतीक रहा है; लेकिन यह केवल एक प्रतीक नहीं है, त्रिभुज ज्यामिति का एक परमाणु है।

अपने काम में, मैं एक त्रिभुज के समद्विभाजक, माध्यिका और ऊँचाई के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के गुणों पर विचार करूँगा, उनके उल्लेखनीय गुणों और त्रिभुज की रेखाओं के बारे में बात करूँगा।

स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में अध्ययन किए गए इन बिंदुओं में शामिल हैं:

ए) द्विभाजक के चौराहे का बिंदु (अंकित वृत्त का केंद्र);

बी) औसत दर्जे का लंब (परिक्रमा वृत्त का केंद्र) के प्रतिच्छेदन का बिंदु;

सी) ऊंचाइयों के चौराहे का बिंदु (ऑर्थोसेंटर);

d) माध्यिका (केन्द्रक) के प्रतिच्छेदन बिंदु।

प्रासंगिकता: त्रिभुज के बारे में अपने ज्ञान का विस्तार करें,इसके गुणअद्भुत अंक।

लक्ष्य: त्रिभुज का उसके उल्लेखनीय बिन्दुओं पर अध्ययन,उनका अध्ययनवर्गीकरण और गुण।

कार्य:

1. आवश्यक साहित्य का अध्ययन करें

2. त्रिभुज के उल्लेखनीय बिंदुओं के वर्गीकरण का अध्ययन करें

3. एक त्रिभुज के अद्भुत बिंदु बनाने में सक्षम हो।

4. पुस्तिका के डिजाइन के लिए अध्ययन की गई सामग्री को सारांशित करें।

परियोजना परिकल्पना:

किसी भी त्रिभुज में उल्लेखनीय बिंदु खोजने की क्षमता आपको ज्यामितीय निर्माण समस्याओं को हल करने की अनुमति देती है।

अध्याय 1। त्रिभुज के उल्लेखनीय बिंदुओं के बारे में ऐतिहासिक जानकारी

"बिगिनिंग्स" की चौथी पुस्तक में यूक्लिड इस समस्या को हल करता है: "किसी दिए गए त्रिभुज में एक वृत्त अंकित करें।" समाधान से यह निष्कर्ष निकलता है कि त्रिभुज के आंतरिक कोणों के तीन समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं - उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र। यूक्लिड की एक अन्य समस्या के समाधान से, यह इस प्रकार है कि त्रिभुज के किनारों पर उनके मध्य बिंदुओं पर लम्बवत भी एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं - परिचालित वृत्त का केंद्र। "सिद्धांत" यह नहीं कहते हैं कि त्रिभुज की तीन ऊँचाइयाँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिसे ऑर्थोसेंटर कहा जाता है (ग्रीक शब्द "ऑर्थोस" का अर्थ "सीधा", "सही") है। हालाँकि, यह प्रस्ताव आर्किमिडीज़, पप्पस, प्रोक्लस के लिए जाना जाता था।

त्रिभुज का चौथा एकवचन बिंदु माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है। आर्किमिडीज ने सिद्ध किया कि यह त्रिभुज का गुरुत्व केंद्र (बैरीसेंटर) है। उपरोक्त चार बिंदुओं पर विशेष ध्यान दिया गया और 18वीं शताब्दी से उन्हें त्रिभुज के "उल्लेखनीय" या "विशेष" बिंदु कहा जाने लगा।

इन और अन्य बिंदुओं से जुड़े त्रिभुज के गुणों के अध्ययन ने प्रारंभिक गणित की एक नई शाखा के निर्माण की शुरुआत के रूप में कार्य किया - "त्रिकोण ज्यामिति" या "नया त्रिकोण ज्यामिति", जिसके संस्थापकों में से एक लियोनहार्ड यूलर थे। 1765 में, यूलर ने साबित किया कि किसी भी त्रिभुज में, लंबकेन्द्र, बेरीसेंटर और परिबद्ध वृत्त का केंद्र एक ही रेखा पर स्थित होता है, जिसे बाद में "यूलर की रेखा" कहा जाता है।

त्रिकोण - ज्यामितीय आकृति, तीन बिंदुओं से मिलकर बनता है जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, और तीन खंड इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं। अंक -चोटियों त्रिकोण, रेखा खंडपक्षों त्रिकोण।

में ए, बी, सी - चोटियाँ

एबी, बीसी, एसए - पक्ष

एसी

प्रत्येक त्रिभुज से चार बिंदु जुड़े होते हैं:

मध्यस्थों का प्रतिच्छेदन बिंदु;

द्विभाजक चौराहा बिंदु;

ऊंचाई क्रॉसिंग पॉइंट।

लंबवत द्विभाजक के प्रतिच्छेदन बिंदु;

1.2. त्रिभुज माध्यिका

त्रिभुज मदीना - , शीर्ष को जोड़ना विपरीत पक्ष के मध्य के साथ (चित्र 1)। त्रिभुज की भुजा के साथ माध्यिका का प्रतिच्छेदन बिंदु माध्यिका का आधार कहलाता है।

चित्र 1. त्रिभुज की माध्यिकाएँ

आइए त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं का निर्माण करें और प्रत्येक कोने को विपरीत भुजा के मध्य बिंदु से जोड़ने वाला एक रेखाखंड बनाएं। ऐसे खंडों को माध्यिका कहा जाता है।

और फिर से हम देखते हैं कि ये खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि हम माध्यिकाओं के परिणामी खंडों की लंबाई को मापते हैं, तो हम एक और गुण की जांच कर सकते हैं: माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु सभी माध्यिकाओं को 2: 1 के अनुपात में विभाजित करता है, जो शीर्षों से गिना जाता है। और फिर भी, त्रिभुज, जो मध्यिका के प्रतिच्छेदन बिंदु पर सुई की नोक पर टिका होता है, संतुलन में होता है! इस गुण वाला एक बिंदु गुरुत्वाकर्षण का केंद्र (बैरीसेंटर) कहलाता है। समान द्रव्यमान के केंद्र को कभी-कभी केन्द्रक कहा जाता है। इसलिए, एक त्रिभुज की माध्यिकाओं के गुणों को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: एक त्रिभुज की माध्यिकाएँ गुरुत्व के केंद्र पर प्रतिच्छेद करती हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु को शीर्ष से गिनते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित किया जाता है।

1.3. त्रिभुज द्विभाजक

द्विभाजक बुलाया कोण का समद्विभाजक कोण के शीर्ष से विपरीत भुजा के साथ उसके प्रतिच्छेदन तक खींचे गए कोण का समद्विभाजक। त्रिभुज के तीन शीर्षों के अनुरूप तीन समद्विभाजक हैं (चित्र 2)।

चित्र 2. त्रिभुज का समद्विभाजक

एक मनमाना त्रिभुज ABC में, हम इसके कोणों के समद्विभाजक खींचते हैं। और फिर, सटीक निर्माण के साथ, तीनों द्विभाजक एक बिंदु D पर प्रतिच्छेद करेंगे। बिंदु D भी असामान्य है: यह त्रिभुज के तीनों पक्षों से समान दूरी पर है। इसे त्रिभुज की भुजाओं पर लंब DA 1, DB 1 और DC1 को गिराकर सत्यापित किया जा सकता है। वे सभी बराबर हैं: DA1=DB1=DC1.

यदि आप बिंदु D और त्रिज्या DA 1 पर केन्द्रित एक वृत्त खींचते हैं, तो वह त्रिभुज की तीनों भुजाओं को स्पर्श करेगा (अर्थात उनमें से प्रत्येक के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होगा)। ऐसे वृत्त को त्रिभुज में अंकित कहा जाता है। अत: त्रिभुज के कोणों के समद्विभाजक उत्कीर्ण वृत्त के केंद्र पर प्रतिच्छेद करते हैं।

1.4. त्रिभुज में ऊँचाई

त्रिभुज की ऊँचाई - , ऊपर से गिरा विपरीत दिशा में या विपरीत दिशा से मेल खाने वाली एक सीधी रेखा। त्रिभुज के प्रकार के आधार पर, ऊँचाई त्रिभुज के भीतर समाहित हो सकती है (के लिए त्रिभुज), इसकी भुजा के साथ मेल खाता है (be .) त्रिभुज) या त्रिभुज के बाहर एक अधिक त्रिभुज पर गुजरें (चित्र 3)।

चित्र 3. त्रिभुजों में ऊँचाई

यदि आप एक त्रिभुज में तीन ऊँचाइयाँ बनाते हैं, तो वे सभी एक बिंदु H पर प्रतिच्छेद करती हैं। इस बिंदु को लंबकेन्द्र कहा जाता है। (चित्र 4)।

निर्माणों का उपयोग करके, आप जांच सकते हैं कि त्रिभुज के प्रकार के आधार पर, ऑर्थोसेंटर अलग तरह से स्थित है:

एक तीव्र त्रिभुज में - अंदर;

एक आयताकार में - कर्ण पर;

कुंठित - बाहर।

चित्र 4. त्रिभुज का लंबकेन्द्र

इस प्रकार, हम त्रिभुज के एक और उल्लेखनीय बिंदु से परिचित हुए और हम कह सकते हैं कि: त्रिभुज की ऊँचाई लंबकेन्द्र पर प्रतिच्छेद करती है।

1.5. एक त्रिभुज की भुजाओं का मध्यलंब

किसी खंड का लंब समद्विभाजक एक रेखा है जो दिए गए खंड के लंबवत होती है और उसके मध्य बिंदु से गुजरती है।

आइए हम एक मनमाना त्रिभुज ABC खींचते हैं और उसकी भुजाओं पर लंब समद्विभाजक खींचते हैं। यदि रचना ठीक-ठीक की जाती है, तो सभी लंब एक बिंदु - बिंदु O पर प्रतिच्छेद करेंगे। यह बिंदु त्रिभुज के सभी शीर्षों से समान दूरी पर है। दूसरे शब्दों में, यदि आप त्रिभुज के किसी एक शीर्ष से गुजरते हुए बिंदु O पर केन्द्रित एक वृत्त खींचते हैं, तो वह अपने अन्य दो शीर्षों से होकर जाएगा।

त्रिभुज के सभी शीर्षों से गुजरने वाले वृत्त को परिवृत्त कहते हैं। इसलिए, एक त्रिभुज का स्थापित गुण निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: त्रिभुज की भुजाओं के लंबवत द्विभाजक परिबद्ध वृत्त के केंद्र में प्रतिच्छेद करते हैं (चित्र 5)।

चित्र 5. एक वृत्त में उत्कीर्ण त्रिभुज

अध्याय 2

त्रिभुजों में ऊँचाई की खोज

त्रिभुज की तीनों ऊँचाइयाँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। इस बिंदु को त्रिभुज का लंबकेन्द्र कहा जाता है।

एक न्यूनकोण त्रिभुज की ऊँचाइयाँ त्रिभुज के भीतर कड़ाई से स्थित होती हैं।

तदनुसार, ऊंचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु भी त्रिभुज के अंदर होता है।

एक समकोण त्रिभुज में, दो ऊँचाई भुजाओं के समान होती है। (ये न्यून कोणों के शीर्षों से टांगों तक खींची गई ऊँचाइयाँ हैं)।

कर्ण तक खींची गई ऊँचाई त्रिभुज के अंदर होती है।

AC शीर्ष C से भुजा AB तक खींची गई ऊँचाई है।

AB, शीर्ष B से भुजा AC तक खींची गई ऊँचाई है।

AK समकोण A के शीर्ष से कर्ण BC तक खींची गई ऊँचाई है।

एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाइयाँ समकोण के शीर्ष पर प्रतिच्छेद करती हैं (A लंबकेन्द्र है)।

एक अधिक त्रिभुज में, त्रिभुज के अंदर केवल एक ऊँचाई होती है - वह ऊँचाई जो अधिक कोण के शीर्ष से खींची जाती है।

अन्य दो ऊँचाइयाँ त्रिभुज के बाहर स्थित हैं और त्रिभुज की भुजाओं के विस्तार तक कम हैं।

AK भुजा BC की ओर खींची गई ऊँचाई है।

BF भुजा AC के विस्तार के लिए खींची गई ऊंचाई है।

CD भुजा AB के विस्तार तक खींची गई ऊँचाई है।

एक अधिक त्रिभुज की ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु भी त्रिभुज के बाहर होता है:

H त्रिभुज ABC का लम्बकेन्द्र है।

त्रिभुज में समद्विभाजक का अध्ययन

त्रिभुज का समद्विभाजक त्रिभुज (एक किरण) के कोण के द्विभाजक का वह भाग होता है जो त्रिभुज के अंदर होता है।

त्रिभुज के तीनों समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

न्यून, अधिक और समकोण त्रिभुजों में द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु त्रिभुज में उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र होता है और अंदर स्थित होता है।

एक त्रिभुज में अनुसंधान माध्यिका

चूँकि एक त्रिभुज में तीन शीर्ष और तीन भुजाएँ होती हैं, इसलिए तीन खंड भी होते हैं जो शीर्ष और विपरीत भुजा के मध्य बिंदु को जोड़ते हैं।

इन त्रिभुजों की जाँच करने के बाद, मैंने महसूस किया कि किसी भी त्रिभुज में माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। इस बिंदु को कहा जाता है त्रिभुज के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र।

एक त्रिभुज की भुजा के लम्ब समद्विभाजकों का अन्वेषण

मध्य लंबवत एक त्रिभुज एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिंदु पर एक लंब होता है।

त्रिभुज के तीन लंबवत समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और परिबद्ध वृत्त के केंद्र होते हैं।

एक न्यून त्रिभुज में लंब समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु त्रिभुज के अंदर होता है; कुंठित में - त्रिभुज के बाहर; एक आयताकार में - कर्ण के बीच में।

निष्कर्ष

किए गए कार्य के क्रम में, हम निम्नलिखित निष्कर्ष पर आते हैं:

लक्ष्य प्राप्ति:त्रिभुज की खोज की और इसके उल्लेखनीय बिंदुओं को पाया।

निर्धारित कार्यों को हल किया गया है:

एक)। हमने आवश्यक साहित्य का अध्ययन किया;

2))। त्रिभुज के उल्लेखनीय बिंदुओं के वर्गीकरण का अध्ययन किया;

3))। एक त्रिभुज के अद्भुत बिंदुओं का निर्माण करना सीखा;

4))। पुस्तिका के डिजाइन के लिए अध्ययन की गई सामग्री को संक्षेप में प्रस्तुत किया।

इस परिकल्पना की पुष्टि की गई है कि त्रिभुज के उल्लेखनीय बिंदुओं को खोजने की क्षमता निर्माण समस्याओं को हल करने में मदद करती है।

कागज लगातार एक त्रिभुज के उल्लेखनीय बिंदुओं के निर्माण की तकनीकों की रूपरेखा तैयार करता है, ज्यामितीय निर्माणों के बारे में ऐतिहासिक जानकारी प्रदान करता है।

इस कार्य की जानकारी कक्षा 7 में ज्यामिति के पाठों में उपयोगी हो सकती है। यह पुस्तिका प्रस्तुत विषय पर ज्यामिति पर एक संदर्भ पुस्तक बन सकती है।

ग्रन्थसूची

पाठयपुस्तक. एल.एस. अतानासन "ज्यामिति 7-9 ग्रेडनिमोसिन, 2015।

विकिपीडियाhttps://ru.wikipedia.org/wiki/Geometry#/media/File:Euclid%27s_postulates.png

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