त्रिभुजों के मूल प्रकार. अधिक त्रिभुज: भुजाओं की लंबाई, कोणों का योग

ज्यामिति का विज्ञान हमें बताता है कि त्रिभुज, वर्ग और घन क्या होते हैं। में आधुनिक दुनियाबिना किसी अपवाद के सभी लोग स्कूलों में इसका अध्ययन करते हैं। साथ ही, वह विज्ञान जो सीधे अध्ययन करता है कि त्रिभुज क्या है और उसमें क्या गुण हैं, त्रिकोणमिति है। वह डेटा से संबंधित सभी घटनाओं का विस्तार से पता लगाती है। हम आज अपने लेख में बात करेंगे कि त्रिकोण क्या है। उनके प्रकारों का वर्णन नीचे किया जाएगा, साथ ही उनसे जुड़े कुछ प्रमेयों का भी।

त्रिभुज क्या है? परिभाषा

यह एक समतल बहुभुज है. जैसा कि इसके नाम से स्पष्ट है, इसके तीन कोने हैं। इसकी भी तीन भुजाएँ और तीन शीर्ष हैं, इनमें से पहला खंड है, दूसरा बिंदु है। यह जानते हुए कि दो कोण किसके बराबर हैं, आप संख्या 180 में से पहले दो का योग घटाकर तीसरा ज्ञात कर सकते हैं।

त्रिभुज कितने प्रकार के होते हैं?

इन्हें विभिन्न मानदंडों के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है।

सबसे पहले, उन्हें न्यून कोण, अधिक कोण और आयताकार में विभाजित किया गया है। पूर्व में न्यूनकोण होते हैं, अर्थात् वे जो 90 डिग्री से कम के बराबर होते हैं। अधिक कोणों में, एक कोण अधिक कोण होता है, अर्थात एक जो 90 डिग्री से अधिक के बराबर होता है, अन्य दो न्यून कोण होते हैं। न्यूनकोण त्रिभुजों में समबाहु त्रिभुज भी शामिल होते हैं। ऐसे त्रिभुजों की सभी भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं। वे सभी 60 डिग्री के बराबर हैं, इसकी गणना सभी कोणों के योग (180) को तीन से विभाजित करके आसानी से की जा सकती है।

सही त्रिकोण

समकोण त्रिभुज क्या है इसके बारे में बात न करना असंभव है।

ऐसी आकृति का एक कोण 90 डिग्री (सीधा) के बराबर होता है, अर्थात इसकी दो भुजाएँ लंबवत होती हैं। शेष दो कोण न्यूनकोण हैं। वे बराबर हो सकते हैं, फिर यह समद्विबाहु होगा। पाइथागोरस प्रमेय समकोण त्रिभुज से संबंधित है। इसका उपयोग करके, आप पहले दो को जानकर, तीसरा पक्ष पा सकते हैं। इस प्रमेय के अनुसार, यदि आप एक पैर के वर्ग को दूसरे पैर के वर्ग में जोड़ते हैं, तो आप कर्ण का वर्ग प्राप्त कर सकते हैं। पैर के वर्ग की गणना ज्ञात पैर के वर्ग को कर्ण के वर्ग से घटाकर की जा सकती है। त्रिभुज क्या है इसके बारे में बोलते हुए, हम समद्विबाहु त्रिभुज को भी याद कर सकते हैं। यह वह है जिसमें दो भुजाएँ बराबर होती हैं और दो कोण भी बराबर होते हैं।

पैर और कर्ण क्या हैं?

पैर त्रिभुज की एक भुजा है जो 90 डिग्री का कोण बनाती है। कर्ण शेष भुजा है जो समकोण के विपरीत है। आप इसमें से एक लंब को पैर पर नीचे कर सकते हैं। कर्ण से आसन्न भुजा के अनुपात को कोसाइन कहा जाता है, और विपरीत भुजा को ज्या कहा जाता है।

- इसकी विशेषताएं क्या हैं?

यह आयताकार है. इसके पैर तीन और चार हैं और कर्ण पांच है। यदि आप देखते हैं कि किसी दिए गए त्रिभुज के पैर तीन और चार के बराबर हैं, तो आप निश्चिंत हो सकते हैं कि कर्ण पाँच के बराबर होगा। इसके अलावा, इस सिद्धांत का उपयोग करके, आप आसानी से यह निर्धारित कर सकते हैं कि पैर तीन के बराबर होगा यदि दूसरा चार के बराबर है, और कर्ण पांच के बराबर है। इस कथन को सिद्ध करने के लिए, आप पाइथागोरस प्रमेय को लागू कर सकते हैं। यदि दो पैर 3 और 4 के बराबर हैं, तो 9 + 16 = 25, 25 का मूल 5 है, अर्थात कर्ण 5 के बराबर है। मिस्र का त्रिभुज भी एक समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ 6, 8 के बराबर हैं और 10; 9, 12 और 15 और अन्य संख्याएँ जिनका अनुपात 3:4:5 है।

त्रिभुज और क्या हो सकता है?

त्रिभुजों को अंकित या परिचालित भी किया जा सकता है। जिस आकृति के चारों ओर वृत्त का वर्णन किया गया है उसे उत्कीर्ण कहा जाता है; इसके सभी शीर्ष वृत्त पर स्थित बिंदु हैं। परिबद्ध त्रिभुज वह है जिसमें एक वृत्त अंकित होता है। इसके सभी पक्ष कुछ बिंदुओं पर इसके संपर्क में आते हैं।

यह कैसे स्थित है?

किसी भी आकृति का क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों (वर्ग मीटर, वर्ग मिलीमीटर, वर्ग सेंटीमीटर, वर्ग डेसीमीटर, आदि) में मापा जाता है। इस मान की गणना त्रिभुज के प्रकार के आधार पर विभिन्न तरीकों से की जा सकती है। कोणों वाली किसी भी आकृति का क्षेत्रफल उसकी भुजा को विपरीत कोण से उस पर डाले गए लंब से गुणा करके और इस आकृति को दो से विभाजित करके पाया जा सकता है। आप दोनों पक्षों को गुणा करके भी यह मान ज्ञात कर सकते हैं। फिर इस संख्या को इन भुजाओं के बीच के कोण की ज्या से गुणा करें और इसे दो से विभाजित करें। किसी त्रिभुज की सभी भुजाओं को जानते हुए, लेकिन उसके कोणों को न जानते हुए, आप दूसरे तरीके से क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए आपको आधी परिधि ढूंढनी होगी। फिर इस संख्या में से बारी-बारी से अलग-अलग पक्षों को घटाएं और प्राप्त चार मानों को गुणा करें। आगे जो नंबर निकला है उससे पता लगाएं. एक उत्कीर्ण त्रिभुज का क्षेत्रफल सभी भुजाओं को गुणा करके और परिणामी संख्या को जिसके चारों ओर परिचालित है, चार गुना से विभाजित करके पाया जा सकता है।

एक परिबद्ध त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार ज्ञात किया जाता है: हम परिधि के आधे भाग को उसमें अंकित वृत्त की त्रिज्या से गुणा करते हैं। यदि तब इसका क्षेत्रफल इस प्रकार ज्ञात किया जा सकता है: भुजा का वर्ग करें, परिणामी आकृति को तीन के मूल से गुणा करें, फिर इस संख्या को चार से विभाजित करें। इसी प्रकार, आप एक त्रिभुज की ऊँचाई की गणना कर सकते हैं जिसमें सभी भुजाएँ समान हैं; ऐसा करने के लिए, आपको उनमें से एक को तीन के मूल से गुणा करना होगा, और फिर इस संख्या को दो से विभाजित करना होगा।

त्रिभुज से संबंधित प्रमेय

इस आकृति से जुड़े मुख्य प्रमेय ऊपर वर्णित पाइथागोरस प्रमेय और कोसाइन हैं। दूसरा (साइन का) यह है कि यदि आप किसी भी भुजा को उसके विपरीत कोण की साइन से विभाजित करते हैं, तो आप उसके चारों ओर वर्णित वृत्त की त्रिज्या को दो से गुणा कर सकते हैं। तीसरा (कोसाइन) यह है कि यदि हम दोनों पक्षों के वर्गों के योग से उनके गुणनफल, दो से गुणा और उनके बीच स्थित कोण के कोसाइन को घटा दें, तो हमें तीसरी तरफ का वर्ग प्राप्त होता है।

डाली त्रिकोण - यह क्या है?

कई लोग, जब इस अवधारणा का सामना करते हैं, तो पहले सोचते हैं कि यह ज्यामिति में किसी प्रकार की परिभाषा है, लेकिन ऐसा बिल्कुल नहीं है। डाली ट्राएंगल तीन स्थानों का सामान्य नाम है जो प्रसिद्ध कलाकार के जीवन से निकटता से जुड़े हुए हैं। इसकी "चोटियाँ" वह घर है जिसमें साल्वाडोर डाली रहता था, वह महल जो उसने अपनी पत्नी को दिया था, साथ ही अतियथार्थवादी चित्रों का संग्रहालय भी। इन जगहों पर भ्रमण के दौरान आप बहुत कुछ सीख सकते हैं। रोचक तथ्यदुनिया भर में मशहूर इस अनोखे रचनात्मक कलाकार के बारे में।

आज हम जा रहे हैं ज्यामिति के देश में, जहां हम विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों से परिचित होंगे।

ज्यामितीय आकृतियों पर विचार करें और उनमें से "अतिरिक्त" को ढूंढें (चित्र 1)।

चावल। 1. उदाहरण के लिए चित्रण

हम देखते हैं कि आकृतियाँ संख्या 1, 2, 3, 5 चतुर्भुज हैं। उनमें से प्रत्येक का अपना नाम है (चित्र 2)।

चावल। 2. चतुर्भुज

इसका मतलब है कि "अतिरिक्त" आकृति एक त्रिभुज है (चित्र 3)।

चावल। 3. उदाहरण के लिए चित्रण

त्रिभुज एक आकृति है जिसमें तीन बिंदु होते हैं जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, और इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ने वाले तीन खंड होते हैं।

बिन्दु कहलाते हैं त्रिकोण शीर्ष, खंड - उसका दलों. त्रिभुज की भुजाएँ बनती हैं त्रिभुज के शीर्षों पर तीन कोण होते हैं।

त्रिभुज की मुख्य विशेषताएं हैं तीन भुजाएँ और तीन कोने।त्रिभुजों को कोण के अनुसार वर्गीकृत किया गया है तीव्र, आयताकार और कुंठित.

एक त्रिभुज को न्यूनकोण कहा जाता है यदि उसके तीनों कोण न्यूनकोण हों, अर्थात 90° से कम हों (चित्र 4)।

चावल। 4. न्यूनकोण त्रिभुज

एक त्रिभुज समकोण कहलाता है यदि उसका एक कोण 90° का हो (चित्र 5)।

चावल। 5. समकोण त्रिभुज

एक त्रिभुज को अधिक कोण कहा जाता है यदि उसका एक कोण अधिक कोण हो, अर्थात 90° से अधिक हो (चित्र 6)।

चावल। 6. अधिक त्रिभुज

समान भुजाओं की संख्या के अनुसार त्रिभुज समबाहु, समद्विबाहु, विषमबाहु होते हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज है जिसमें दो भुजाएँ बराबर होती हैं (चित्र 7)।

चावल। 7. समद्विबाहु त्रिभुज

इन पक्षों को कहा जाता है पार्श्व, तीसरा पक्ष - आधार. समद्विबाहु त्रिभुज में आधार कोण बराबर होते हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं तीव्र और कुंठित(चित्र 8) .

चावल। 8. न्यून एवं अधिक समद्विबाहु त्रिभुज

समबाहु त्रिभुज उसे कहते हैं, जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं (चित्र 9)।

चावल। 9. समबाहु त्रिभुज

एक समबाहु त्रिभुज में सभी कोण बराबर हैं. समबाहु त्रिभुजहमेशा न्यूनकोण.

बहुमुखी त्रिभुज उस त्रिभुज को कहा जाता है, जिसकी तीनों भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है (चित्र 10)।

चावल। 10. विषमकोण त्रिभुज

कार्य पूरा करें। इन त्रिभुजों को तीन समूहों में बाँटिए (चित्र 11)।

चावल। 11. कार्य के लिए चित्रण

सबसे पहले, आइए कोणों के आकार के अनुसार वितरित करें।

न्यूनकोण त्रिभुज: क्रमांक 1, क्रमांक 3.

समकोण त्रिभुज: क्रमांक 2, क्रमांक 6।

अधिक त्रिभुज: क्रमांक 4, क्रमांक 5।

हम समान त्रिभुजों को समान भुजाओं की संख्या के अनुसार समूहों में वितरित करेंगे।

स्केलीन त्रिकोण: संख्या 4, संख्या 6।

समद्विबाहु त्रिभुज: क्रमांक 2, क्रमांक 3, क्रमांक 5।

समबाहु त्रिभुज: क्रमांक 1.

चित्रों को देखो।

इस बारे में सोचें कि प्रत्येक त्रिभुज किस तार के टुकड़े से बना है (चित्र 12)।

चावल। 12. कार्य के लिए चित्रण

आप ऐसा सोच सकते हैं.

तार के पहले टुकड़े को तीन बराबर भागों में विभाजित किया गया है, ताकि आप इससे एक समबाहु त्रिभुज बना सकें। तस्वीर में उन्हें तीसरे नंबर पर दिखाया गया है.

तार के दूसरे टुकड़े को तीन अलग-अलग भागों में विभाजित किया गया है, ताकि इसका उपयोग स्केलीन त्रिकोण बनाने के लिए किया जा सके। इसे चित्र में सबसे पहले दिखाया गया है।

तार के तीसरे टुकड़े को तीन भागों में विभाजित किया गया है, जहां दो भागों की लंबाई समान है, जिसका अर्थ है कि इससे एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाया जा सकता है। तस्वीर में उन्हें दूसरे नंबर पर दिखाया गया है.

आज कक्षा में हमने विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों के बारे में सीखा।

ग्रन्थसूची

1. एम.आई. मोरो, एम.ए. बंटोवा और अन्य। गणित: पाठ्यपुस्तक। तीसरी कक्षा: 2 भागों में, भाग 1. - एम.: "ज्ञानोदय", 2012।
2. एम.आई. मोरो, एम.ए. बंटोवा और अन्य। गणित: पाठ्यपुस्तक। तीसरी कक्षा: 2 भागों में, भाग 2. - एम.: "ज्ञानोदय", 2012।
3. एम.आई. मोरो. गणित पाठ: दिशा-निर्देशशिक्षक के लिए. तीसरा ग्रेड। - एम.: शिक्षा, 2012।
4. विनियामक दस्तावेज़. सीखने के परिणामों की निगरानी और मूल्यांकन। - एम.: "ज्ञानोदय", 2011।
5. "रूस का स्कूल": के लिए कार्यक्रम प्राथमिक स्कूल. - एम.: "ज्ञानोदय", 2011।
6. एस.आई. वोल्कोवा। गणित: परीक्षण कार्य. तीसरा ग्रेड। - एम.: शिक्षा, 2012।
7. वी.एन. रुडनिट्स्काया। परीक्षण. - एम.: "परीक्षा", 2012।

1. Nsportal.ru ()।
2. Prosv.ru ()।
3. Do.gendocs.ru ()।

गृहकार्य

1. वाक्यांशों को पूरा करें.

a) त्रिभुज एक आकृति है जिसमें ... जो एक ही रेखा पर नहीं होते हैं, और ... जो इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं।

ख) अंक कहलाते हैं … , खंड - उसका … . त्रिभुज की भुजाएँ त्रिभुज के शीर्षों पर बनती हैं ….

ग) कोण के आकार के अनुसार, त्रिभुज हैं ... , ... , ... .

घ) समान भुजाओं की संख्या के आधार पर, त्रिभुज हैं ... , ... , ... .

2. ड्रा

ए) समकोण त्रिभुज;

बी) तीव्र त्रिकोण;

ग) कुंठित त्रिभुज;

घ) समबाहु त्रिभुज;

ई) स्केलीन त्रिकोण;

ई) समद्विबाहु त्रिभुज।

3. अपने दोस्तों के लिए पाठ के विषय पर एक असाइनमेंट बनाएं।

आज हम जा रहे हैं ज्यामिति के देश में, जहां हम विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों से परिचित होंगे।

ज्यामितीय आकृतियों पर विचार करें और उनमें से "अतिरिक्त" को ढूंढें (चित्र 1)।

चावल। 1. उदाहरण के लिए चित्रण

हम देखते हैं कि आकृतियाँ संख्या 1, 2, 3, 5 चतुर्भुज हैं। उनमें से प्रत्येक का अपना नाम है (चित्र 2)।

चावल। 2. चतुर्भुज

इसका मतलब है कि "अतिरिक्त" आकृति एक त्रिभुज है (चित्र 3)।

चावल। 3. उदाहरण के लिए चित्रण

त्रिभुज एक आकृति है जिसमें तीन बिंदु होते हैं जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, और इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ने वाले तीन खंड होते हैं।

बिन्दु कहलाते हैं त्रिकोण शीर्ष, खंड - उसका दलों. त्रिभुज की भुजाएँ बनती हैं त्रिभुज के शीर्षों पर तीन कोण होते हैं।

त्रिभुज की मुख्य विशेषताएं हैं तीन भुजाएँ और तीन कोने।त्रिभुजों को कोण के अनुसार वर्गीकृत किया गया है तीव्र, आयताकार और कुंठित.

एक त्रिभुज को न्यूनकोण कहा जाता है यदि उसके तीनों कोण न्यूनकोण हों, अर्थात 90° से कम हों (चित्र 4)।

चावल। 4. न्यूनकोण त्रिभुज

एक त्रिभुज समकोण कहलाता है यदि उसका एक कोण 90° का हो (चित्र 5)।

चावल। 5. समकोण त्रिभुज

एक त्रिभुज को अधिक कोण कहा जाता है यदि उसका एक कोण अधिक कोण हो, अर्थात 90° से अधिक हो (चित्र 6)।

चावल। 6. अधिक त्रिभुज

समान भुजाओं की संख्या के अनुसार त्रिभुज समबाहु, समद्विबाहु, विषमबाहु होते हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज है जिसमें दो भुजाएँ बराबर होती हैं (चित्र 7)।

चावल। 7. समद्विबाहु त्रिभुज

इन पक्षों को कहा जाता है पार्श्व, तीसरा पक्ष - आधार. समद्विबाहु त्रिभुज में आधार कोण बराबर होते हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं तीव्र और कुंठित(चित्र 8) .

चावल। 8. न्यून एवं अधिक समद्विबाहु त्रिभुज

समबाहु त्रिभुज उसे कहते हैं, जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं (चित्र 9)।

चावल। 9. समबाहु त्रिभुज

एक समबाहु त्रिभुज में सभी कोण बराबर हैं. समबाहु त्रिभुजहमेशा न्यूनकोण.

बहुमुखी त्रिभुज उस त्रिभुज को कहा जाता है, जिसकी तीनों भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है (चित्र 10)।

चावल। 10. विषमकोण त्रिभुज

कार्य पूरा करें। इन त्रिभुजों को तीन समूहों में बाँटिए (चित्र 11)।

चावल। 11. कार्य के लिए चित्रण

सबसे पहले, आइए कोणों के आकार के अनुसार वितरित करें।

न्यूनकोण त्रिभुज: क्रमांक 1, क्रमांक 3.

समकोण त्रिभुज: क्रमांक 2, क्रमांक 6।

अधिक त्रिभुज: क्रमांक 4, क्रमांक 5।

हम समान त्रिभुजों को समान भुजाओं की संख्या के अनुसार समूहों में वितरित करेंगे।

स्केलीन त्रिकोण: संख्या 4, संख्या 6।

समद्विबाहु त्रिभुज: क्रमांक 2, क्रमांक 3, क्रमांक 5।

समबाहु त्रिभुज: क्रमांक 1.

चित्रों को देखो।

इस बारे में सोचें कि प्रत्येक त्रिभुज किस तार के टुकड़े से बना है (चित्र 12)।

चावल। 12. कार्य के लिए चित्रण

आप ऐसा सोच सकते हैं.

तार के पहले टुकड़े को तीन बराबर भागों में विभाजित किया गया है, ताकि आप इससे एक समबाहु त्रिभुज बना सकें। तस्वीर में उन्हें तीसरे नंबर पर दिखाया गया है.

तार के दूसरे टुकड़े को तीन अलग-अलग भागों में विभाजित किया गया है, ताकि इसका उपयोग स्केलीन त्रिकोण बनाने के लिए किया जा सके। इसे चित्र में सबसे पहले दिखाया गया है।

तार के तीसरे टुकड़े को तीन भागों में विभाजित किया गया है, जहां दो भागों की लंबाई समान है, जिसका अर्थ है कि इससे एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाया जा सकता है। तस्वीर में उन्हें दूसरे नंबर पर दिखाया गया है.

आज कक्षा में हमने विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों के बारे में सीखा।

ग्रन्थसूची

1. एम.आई. मोरो, एम.ए. बंटोवा और अन्य। गणित: पाठ्यपुस्तक। तीसरी कक्षा: 2 भागों में, भाग 1. - एम.: "ज्ञानोदय", 2012।
2. एम.आई. मोरो, एम.ए. बंटोवा और अन्य। गणित: पाठ्यपुस्तक। तीसरी कक्षा: 2 भागों में, भाग 2. - एम.: "ज्ञानोदय", 2012।
3. एम.आई. मोरो. गणित पाठ: शिक्षकों के लिए पद्धति संबंधी सिफारिशें। तीसरा ग्रेड। - एम.: शिक्षा, 2012।
4. विनियामक दस्तावेज़. सीखने के परिणामों की निगरानी और मूल्यांकन। - एम.: "ज्ञानोदय", 2011।
5. "रूस का स्कूल": प्राथमिक विद्यालय के लिए कार्यक्रम। - एम.: "ज्ञानोदय", 2011।
6. एस.आई. वोल्कोवा। गणित: परीक्षण कार्य. तीसरा ग्रेड। - एम.: शिक्षा, 2012।
7. वी.एन. रुडनिट्स्काया। परीक्षण. - एम.: "परीक्षा", 2012।

1. Nsportal.ru ()।
2. Prosv.ru ()।
3. Do.gendocs.ru ()।

गृहकार्य

1. वाक्यांशों को पूरा करें.

a) त्रिभुज एक आकृति है जिसमें ... जो एक ही रेखा पर नहीं होते हैं, और ... जो इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं।

ख) अंक कहलाते हैं … , खंड - उसका … . त्रिभुज की भुजाएँ त्रिभुज के शीर्षों पर बनती हैं ….

ग) कोण के आकार के अनुसार, त्रिभुज हैं ... , ... , ... .

घ) समान भुजाओं की संख्या के आधार पर, त्रिभुज हैं ... , ... , ... .

2. ड्रा

ए) समकोण त्रिभुज;

बी) तीव्र त्रिकोण;

ग) कुंठित त्रिभुज;

घ) समबाहु त्रिभुज;

ई) स्केलीन त्रिकोण;

ई) समद्विबाहु त्रिभुज।

3. अपने दोस्तों के लिए पाठ के विषय पर एक असाइनमेंट बनाएं।

स्कूल में पढ़ा जाने वाला सबसे सरल बहुभुज एक त्रिभुज है। यह छात्रों के लिए अधिक समझने योग्य है और कम कठिनाइयों का सामना करता है। इस तथ्य के बावजूद कि वहाँ हैं विभिन्न प्रकारत्रिभुज जिनमें विशेष गुण होते हैं।

किस आकृति को त्रिभुज कहते हैं?

तीन बिंदुओं और खंडों से निर्मित। पहले वाले को शीर्ष कहा जाता है, दूसरे को भुजाएँ कहा जाता है। इसके अलावा, सभी तीन खंडों को जोड़ा जाना चाहिए ताकि उनके बीच कोने बन जाएं। इसलिए "त्रिकोण" आकृति का नाम।

हर कोने में नामों में अंतर

चूँकि वे नुकीले, टेढ़े और सीधे हो सकते हैं, इसलिए त्रिभुजों के प्रकार इन नामों से निर्धारित होते हैं। तदनुसार, ऐसे आंकड़ों के तीन समूह हैं।

• पहला। यदि किसी त्रिभुज के सभी कोण न्यूनकोण हों तो वह न्यूनकोण कहलाएगा। सब कुछ तार्किक है.

• दूसरा। इनमें से एक कोण अधिक कोण है, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज अधिक कोण है। यह इससे अधिक सरल नहीं हो सकता.

• तीसरा। 90 डिग्री के बराबर एक कोण होता है, जिसे समकोण कहते हैं। त्रिभुज आयताकार हो जाता है.

किनारों पर नामों में अंतर

भुजाओं की विशेषताओं के आधार पर, निम्न प्रकार के त्रिभुजों को प्रतिष्ठित किया जाता है:

सामान्य मामला बहुमुखी है, जिसमें सभी पक्षों की लंबाई मनमानी होती है;

समद्विबाहु, जिसकी दो भुजाओं का संख्यात्मक मान समान हो;

समबाहु, इसकी सभी भुजाओं की लंबाई समान है।

यदि कार्य किसी विशिष्ट प्रकार के त्रिभुज को निर्दिष्ट नहीं करता है, तो आपको एक मनमाना त्रिभुज बनाने की आवश्यकता है। जिसके सभी कोने नुकीले हैं और किनारों की लंबाई अलग-अलग है।

सभी त्रिभुजों में समान गुण

1. यदि आप किसी त्रिभुज के सभी कोणों को जोड़ते हैं, तो आपको 180º के बराबर संख्या प्राप्त होती है। और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह किस प्रकार का है। यह नियम हमेशा लागू रहता है.
2. त्रिभुज की किसी भी भुजा का संख्यात्मक मान अन्य दो को जोड़ने पर प्राप्त संख्या से कम होता है। इसके अलावा, यह उनके अंतर से भी बड़ा है।
3. प्रत्येक बाहरी कोने का एक मान होता है जो दो आंतरिक कोनों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है जो इसके निकट नहीं हैं। इसके अलावा, यह हमेशा अपने बगल वाले आंतरिक हिस्से से बड़ा होता है।
4. सबसे छोटा कोण हमेशा त्रिभुज की छोटी भुजा के विपरीत होता है। और इसके विपरीत, यदि भुजा बड़ी है, तो कोण सबसे बड़ा होगा।

ये गुण हमेशा मान्य होते हैं, चाहे समस्याओं में किसी भी प्रकार के त्रिभुज पर विचार किया जाए। बाकी सभी विशिष्ट विशेषताओं से अनुसरण करते हैं।

एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुण

• आधार से सटे हुए कोण बराबर होते हैं।
• ऊँचाई, जो आधार की ओर खींची गई है, मध्यिका और समद्विभाजक भी है।
• त्रिभुज की भुजाओं पर बनी ऊँचाईयाँ, माध्यिकाएँ और समद्विभाजक क्रमशः एक दूसरे के बराबर होते हैं।

एक समबाहु त्रिभुज के गुण

यदि ऐसा कोई आंकड़ा है, तो थोड़ा ऊपर वर्णित सभी गुण सत्य होंगे। क्योंकि एक समबाहु सदैव समद्विबाहु होगा। लेकिन इसके विपरीत नहीं, एक समद्विबाहु त्रिभुज आवश्यक रूप से समबाहु नहीं होगा।

• इसके सभी कोण एक दूसरे के बराबर हैं और इनका मान 60º है।
• समबाहु त्रिभुज की कोई भी माध्यिका उसकी ऊंचाई और समद्विभाजक होती है। इसके अलावा, वे सभी एक दूसरे के बराबर हैं। उनके मूल्यों को निर्धारित करने के लिए, एक सूत्र है जिसमें पक्ष के गुणनफल और 3 के वर्गमूल को 2 से विभाजित किया जाता है।

समकोण त्रिभुज के गुण

• दो न्यून कोणों का योग 90º होता है।
• कर्ण की लंबाई हमेशा किसी भी पैर की लंबाई से अधिक होती है।
• कर्ण पर खींची गई माध्यिका का संख्यात्मक मान उसके आधे के बराबर होता है।
• यदि पैर 30º के कोण के विपरीत स्थित है तो पैर समान मान के बराबर है।
• ऊँचाई, जो 90º के मान के साथ ऊपर से खींची जाती है, की पैरों पर एक निश्चित गणितीय निर्भरता होती है: 1 / n 2 \u003d 1 / a 2 + 1 / in 2। यहां: ए, बी - पैर, एन - ऊंचाई।

विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों के साथ समस्याएँ

नंबर 1. एक समद्विबाहु त्रिभुज दिया गया है। इसका परिमाप ज्ञात है और 90 सेमी के बराबर है। हमें इसकी भुजाएँ ज्ञात करनी हैं। जैसा अतिरिक्त शर्त: पार्श्व भाग आधार से 1.2 गुना छोटा है।

परिधि का मान सीधे तौर पर उन मात्राओं पर निर्भर करता है जिन्हें खोजने की आवश्यकता है। तीनों भुजाओं का योग 90 सेमी होगा। अब आपको त्रिभुज का चिन्ह याद रखना होगा, जिसके अनुसार यह समद्विबाहु है। यानी दोनों पक्ष बराबर हैं. आप दो अज्ञात के साथ एक समीकरण बना सकते हैं: 2a + b = 90. यहां a भुजा है, b आधार है।

अब एक अतिरिक्त शर्त का समय आ गया है. इसके बाद, दूसरा समीकरण प्राप्त होता है: b = 1.2a। आप इस अभिव्यक्ति को पहले वाले में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। यह पता चला: 2ए + 1.2ए = 90। परिवर्तनों के बाद: 3.2ए = 90। इसलिए ए = 28.125 (सेमी)। अब आधार का पता लगाना आसान हो गया है. यह दूसरी स्थिति से सबसे अच्छा किया जाता है: b = 1.2 * 28.125 = 33.75 (सेमी)।

जाँच करने के लिए, आप तीन मान जोड़ सकते हैं: 28.125 * 2 + 33.75 = 90 (सेमी)। यह सही है।

उत्तर: त्रिभुज की भुजाएँ 28.125 सेमी, 28.125 सेमी, 33.75 सेमी हैं।

नंबर 2. एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 12 सेमी है। आपको इसकी ऊंचाई की गणना करने की आवश्यकता है।

समाधान। उत्तर खोजने के लिए, उस क्षण पर लौटना पर्याप्त है जहां त्रिभुज के गुणों का वर्णन किया गया था। यह एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई, माध्यिका और समद्विभाजक ज्ञात करने का सूत्र है।

n = a * √3 / 2, जहां n ऊंचाई है और a भुजा है।

प्रतिस्थापन और गणना निम्नलिखित परिणाम देते हैं: n = 6 √3 (सेमी)।

इस फॉर्मूले को याद रखने की जरूरत नहीं है. यह याद रखना पर्याप्त है कि ऊँचाई त्रिभुज को दो आयताकार भागों में विभाजित करती है। इसके अलावा, यह एक पैर निकला, और इसमें कर्ण मूल पक्ष का पक्ष है, दूसरा पैर ज्ञात पक्ष का आधा है। अब आपको पाइथागोरस प्रमेय को लिखने और ऊंचाई के लिए एक सूत्र प्राप्त करने की आवश्यकता है।

उत्तर: ऊँचाई 6 √3 सेमी है।

नंबर 3। दिया गया है कि MKR एक त्रिभुज है, जिसमें कोण K 90 डिग्री बनाता है। MR और KR भुजाएँ ज्ञात हैं, वे क्रमशः 30 और 15 सेमी के बराबर हैं। हमें कोण P का मान ज्ञात करना होगा।

समाधान। यदि आप चित्र बनाते हैं, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि MR कर्ण है। इसके अलावा, यह केआर के किनारे से दोगुना बड़ा है। फिर से आपको संपत्तियों की ओर मुड़ने की जरूरत है। उनमें से एक का संबंध कोणों से है। इससे स्पष्ट है कि KMR कोण 30º है। इसका मतलब है कि वांछित कोण P 60º के बराबर होगा। यह एक अन्य गुण से अनुसरण करता है, जो बताता है कि दो न्यून कोणों का योग 90º के बराबर होना चाहिए।

उत्तर: कोण P 60º है।

नंबर 4. हमें एक समद्विबाहु त्रिभुज के सभी कोण ज्ञात करने होंगे। इसके बारे में ज्ञात है कि आधार पर बने कोण से बाह्य कोण 110º होता है।

समाधान। चूँकि केवल बाहरी कोण दिया गया है, इसलिए आपको इसका उपयोग करने की आवश्यकता है। यह आंतरिक कोण के साथ एक खुला कोण बनाता है। इसका मतलब है कि कुल मिलाकर वे 180º देंगे। अर्थात् त्रिभुज के आधार पर कोण 70º के बराबर होगा। चूँकि यह समद्विबाहु है, दूसरे कोण का मान समान है। तीसरे कोण की गणना करना बाकी है। सभी त्रिभुजों में समान गुण के अनुसार, कोणों का योग 180º होता है। इसका मतलब है कि तीसरे को 180º - 70º - 70º = 40º के रूप में परिभाषित किया जाएगा।

उत्तर: कोण 70º, 70º, 40º हैं।

पाँच नंबर। यह ज्ञात है कि एक समद्विबाहु त्रिभुज में आधार के विपरीत कोण 90º होता है। आधार पर एक बिंदु अंकित है. इसे समकोण से जोड़ने वाला खंड इसे 1 से 4 के अनुपात में विभाजित करता है। आपको छोटे त्रिभुज के सभी कोण ज्ञात करने होंगे।

समाधान। कोणों में से एक को तुरंत निर्धारित किया जा सकता है। चूँकि त्रिभुज समकोण और समद्विबाहु है, इसलिए जो इसके आधार पर स्थित हैं उनमें से प्रत्येक का माप 45º होगा, अर्थात 90º/2।

उनमें से दूसरा आपको स्थिति में ज्ञात संबंध ढूंढने में मदद करेगा। चूँकि यह 1 से 4 के बराबर है, जिन भागों में इसे विभाजित किया गया है वे केवल 5 हैं। इसका मतलब है कि त्रिभुज का छोटा कोण ज्ञात करने के लिए आपको 90º/5 = 18º की आवश्यकता है। तीसरे का पता लगाना बाकी है. ऐसा करने के लिए, आपको 180º (त्रिभुज के सभी कोणों का योग) से 45º और 18º घटाना होगा। गणनाएँ सरल हैं, और आपको मिलता है: 117º।

एक त्रिभुज (यूक्लिडियन अंतरिक्ष के दृष्टिकोण से) ऐसा है ज्यामितीय आकृति, जो तीन बिंदुओं को जोड़ने वाले तीन खंडों से बनता है जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं। त्रिभुज को बनाने वाले तीन बिंदु इसके शीर्ष कहलाते हैं, और शीर्षों को जोड़ने वाले खंड त्रिभुज की भुजाएँ कहलाते हैं। त्रिभुज कितने प्रकार के होते हैं?

समान त्रिकोण

तीन संकेत हैं कि त्रिभुज बराबर हैं। कौन से त्रिभुज समान कहलाते हैं? ये वे हैं जो:

• दो भुजाएँ और इन भुजाओं के बीच का कोण बराबर है;
• एक भुजा और दो आसन्न कोण बराबर हैं;
• तीनों भुजाएँ बराबर हैं।

समकोण त्रिभुजों में समानता के निम्नलिखित चिह्न होते हैं:

• न्यून कोण और कर्ण के अनुदिश;
• एक तीव्र कोण और पैर के साथ;
• दो पैरों पर;
• कर्ण और पैर के साथ.

त्रिभुज कितने प्रकार के होते हैं?

समान भुजाओं की संख्या के आधार पर, एक त्रिभुज हो सकता है:

• समबाहु. यह तीन बराबर भुजाओं वाला एक त्रिभुज है। एक समबाहु त्रिभुज में सभी कोण 60 डिग्री के बराबर होते हैं। इसके अलावा, परिचालित और अंकित वृत्तों के केंद्र मेल खाते हैं।
• असमान. एक त्रिभुज जिसकी कोई भी भुजा बराबर न हो।
• समद्विबाहु। यह दो समान भुजाओं वाला एक त्रिभुज है। दो समान भुजाएँ भुजाएँ हैं, और तीसरी भुजा आधार है। ऐसे त्रिभुज में, यदि समद्विभाजक, माध्यिका और ऊँचाई को आधार से नीचे कर दिया जाए तो वे संपाती हो जाते हैं।

कोणों के आकार के अनुसार, एक त्रिभुज हो सकता है:

1. अधिककोण - जब कोई एक कोण 90 डिग्री से अधिक हो, अर्थात जब वह अधिककोण हो।
2. न्यूनकोण - यदि त्रिभुज में तीनों कोण न्यूनकोण हों अर्थात् उनका माप 90 डिग्री से कम हो।
3. किस त्रिभुज को समकोण त्रिभुज कहा जाता है? यह वह है जिसका एक समकोण 90 डिग्री के बराबर होता है। इस कोण को बनाने वाली दो भुजाएँ पैर कहलाएँगी, और कर्ण समकोण के विपरीत भुजा होगी।

त्रिभुजों के मूल गुण

1. छोटा कोण हमेशा छोटी भुजा के विपरीत होता है, और बड़ा कोण हमेशा बड़ी भुजा के विपरीत होता है।
2. समान कोण हमेशा समान भुजाओं के विपरीत होते हैं, और विभिन्न कोण हमेशा अलग-अलग भुजाओं के विपरीत होते हैं। विशेष रूप से, एक समबाहु त्रिभुज में, सभी कोणों का मान समान होता है।
3. किसी भी त्रिभुज में कोणों का योग 180 डिग्री होता है।
4. किसी त्रिभुज की किसी एक भुजा को फैलाकर एक बाह्य कोण प्राप्त किया जा सकता है। बाहरी कोण का आकार उसके निकटवर्ती आंतरिक कोणों के योग के बराबर होगा।
5. किसी त्रिभुज की एक भुजा उसकी अन्य दो भुजाओं के अंतर से अधिक होती है, लेकिन उनके योग से कम होती है।

लोबचेव्स्की की स्थानिक ज्यामिति में, त्रिभुज के कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री से कम होगा। एक गोले पर, यह मान 180 डिग्री से अधिक है। किसी त्रिभुज के कोणों के योग और 180 डिग्री के अंतर को दोष कहा जाता है।