वीडियो पाठ 2: पिरामिड चुनौती। पिरामिड वॉल्यूम

वीडियो पाठ 3: पिरामिड चुनौती। सही पिरामिड

भाषण: पिरामिड, उसका आधार, पार्श्व किनारे, ऊँचाई, पार्श्व सतह; त्रिकोणीय पिरामिड; दायां पिरामिड

पिरामिड, इसके गुण

पिरामिड- यह एक त्रि-आयामी निकाय है जिसके आधार पर एक बहुभुज होता है, और इसके सभी फलक त्रिभुजों से बने होते हैं।

पिरामिड का एक विशेष मामला एक शंकु है, जिसके आधार पर एक वृत्त होता है।

पिरामिड के मुख्य तत्वों पर विचार करें:

एपोथेमएक खंड है जो पिरामिड के शीर्ष को पार्श्व चेहरे के निचले किनारे के मध्य से जोड़ता है। दूसरे शब्दों में, यह पिरामिड के चेहरे की ऊंचाई है।

आकृति में आप त्रिभुज ADS, ABS, BCS, CDS देख सकते हैं। यदि आप नामों को करीब से देखें, तो आप देख सकते हैं कि प्रत्येक त्रिभुज के नाम में एक समान अक्षर होता है - S। अर्थात, इसका अर्थ है कि सभी भुजाएँ (त्रिकोण) एक बिंदु पर अभिसरण करती हैं, जिसे पिरामिड का शीर्ष कहा जाता है।

खंड OS, जो शीर्ष को आधार के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से जोड़ता है (त्रिकोणों के मामले में, ऊँचाई के प्रतिच्छेदन बिंदु पर) कहलाता है पिरामिड ऊंचाई.

एक विकर्ण खंड एक विमान है जो पिरामिड के शीर्ष के साथ-साथ आधार के विकर्णों में से एक के माध्यम से गुजरता है।

चूंकि पिरामिड की पार्श्व सतह में त्रिभुज होते हैं, खोजने के लिए कुल क्षेत्रफलपार्श्व सतह, आपको प्रत्येक चेहरे का क्षेत्र खोजने और उन्हें जोड़ने की आवश्यकता है। फलकों की संख्या और आकार आधार पर स्थित बहुभुज की भुजाओं के आकार और आकार पर निर्भर करता है।

पिरामिड का एकमात्र तल जिसमें शीर्ष नहीं होता है, कहलाता है आधारपिरामिड।

आकृति में, हम देखते हैं कि आधार एक समांतर चतुर्भुज है, हालांकि, कोई भी मनमाना बहुभुज हो सकता है।

गुण:

पिरामिड के पहले मामले पर विचार करें, जिसमें इसके किनारे समान लंबाई के हैं:

• ऐसे पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है। यदि आप ऐसे पिरामिड के शीर्ष को प्रक्षेपित करते हैं, तो इसका प्रक्षेपण वृत्त के केंद्र में स्थित होगा।
• पिरामिड के आधार पर कोण प्रत्येक फलक के लिए समान होते हैं।
• उसी समय, इस तथ्य के लिए पर्याप्त शर्त कि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, और यह भी कि सभी किनारे अलग-अलग लंबाई के हैं, को आधार और चेहरों के प्रत्येक किनारे के बीच समान कोण माना जा सकता है .

यदि आप एक ऐसे पिरामिड के सामने आते हैं जिसमें भुजाओं के फलक और आधार के बीच के कोण बराबर हैं, तो निम्नलिखित गुण सत्य हैं:

• आप पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करने में सक्षम होंगे, जिसका शीर्ष बिल्कुल केंद्र की ओर प्रक्षेपित होता है।
• यदि आप ऊंचाई के प्रत्येक पक्ष पर आधार की ओर आकर्षित करते हैं, तो वे समान लंबाई के होंगे।
• इस तरह के पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र को खोजने के लिए, आधार की परिधि को खोजने के लिए पर्याप्त है और इसे ऊंचाई की आधी लंबाई से गुणा करें।
• एसबीपी \u003d 0.5 पी ओसी एच।
• पिरामिड के प्रकार।
• पिरामिड के आधार पर कौन सा बहुभुज स्थित है, इसके आधार पर वे त्रिकोणीय, चतुर्भुज आदि हो सकते हैं। यदि एक नियमित बहुभुज (बराबर भुजाओं वाला) पिरामिड के आधार पर स्थित है, तो ऐसे पिरामिड को नियमित कहा जाएगा।

नियमित त्रिकोणीय पिरामिड

परिभाषा

पिरामिडएक बहुभुज से बना एक बहुभुज है \(A_1A_2...A_n\) और \(n\) एक सामान्य शीर्ष के साथ त्रिभुज बहुभुज।
पद: \(PA_1A_2...A_n\) ।
उदाहरण: पंचकोणीय पिरामिड \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) ।

त्रिभुज \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) आदि। बुलाया साइड फेसपिरामिड, खंड \(PA_1, PA_2\), आदि। - पार्श्व पसलियां, बहुभुज \(A_1A_2A_3A_4A_5\) - आधार, बिंदु \(P\) - बैठक.

कदपिरामिड पिरामिड के शीर्ष से आधार के तल तक गिराए गए लंबवत हैं।

एक पिरामिड जिसके आधार पर एक त्रिभुज होता है, कहलाता है चतुर्पाश्वीय.

पिरामिड कहा जाता है सही, यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और निम्नलिखित में से कोई एक शर्त पूरी होती है:

\((a)\) पिरामिड के किनारे बराबर हैं;

\((b)\) पिरामिड की ऊंचाई आधार के पास परिबद्ध वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है;

\((c)\) पार्श्व पसलियां एक ही कोण पर आधार तल की ओर झुकी होती हैं।

\((d)\) पार्श्व फलक एक ही कोण पर आधार तल की ओर झुके होते हैं।

नियमित चतुष्फलकएक त्रिभुजाकार पिरामिड है, जिसके सभी फलक समान समबाहु त्रिभुज हैं।

प्रमेय

शर्तें \((a), (b), (c), (d)\) समतुल्य हैं।

सबूत

पिरामिड \(PH\) की ऊंचाई बनाएं। मान लीजिए \(\alpha\) पिरामिड के आधार का तल है।

1) आइए हम सिद्ध करें कि \((a)\) का अर्थ \((b)\) है। चलो \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) ।

इसलिये \(PH\perp \alpha\) , तो \(PH\) इस तल में पड़ी किसी भी रेखा के लंबवत है, इसलिए त्रिभुज समकोण हैं। तो ये त्रिभुज उभयनिष्ठ पैर \(PH\) और कर्ण \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) में बराबर हैं। तो \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) । इसका अर्थ है कि बिंदु \(A_1, A_2, ..., A_n\) बिंदु \(H\) से समान दूरी पर हैं, इसलिए, वे त्रिज्या \(A_1H\) के साथ एक ही वृत्त पर स्थित हैं। यह वृत्त, परिभाषा के अनुसार, बहुभुज \(A_1A_2...A_n\) के चारों ओर परिबद्ध है।

2) आइए हम सिद्ध करें कि \((b)\) का तात्पर्य \((c)\) से है।

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)आयताकार और दो पैरों में बराबर। अत: उनके कोण भी बराबर होते हैं, इसलिए, \(\कोण PA_1H=\कोण PA_2H=...=\कोण PA_nH\).

3) आइए हम सिद्ध करें कि \((c)\) का अर्थ है \((a)\) ।

पहले बिंदु के समान, त्रिभुज \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)आयताकार और पैर और तीव्र कोण के साथ। इसका मतलब है कि उनके कर्ण भी बराबर हैं, यानी \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) ।

4) आइए हम सिद्ध करें कि \((b)\) का अर्थ \((d)\) है।

इसलिये एक नियमित बहुभुज में, परिबद्ध और खुदे हुए वृत्तों के केंद्र मेल खाते हैं (आमतौर पर, इस बिंदु को एक नियमित बहुभुज का केंद्र कहा जाता है), तो \(H\) खुदा हुआ वृत्त का केंद्र होता है। आइए बिंदु \(H\) से आधार की भुजाओं पर लंब बनाएं: \(HK_1, HK_2\), आदि। ये उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्याएँ हैं (परिभाषा के अनुसार)। फिर, टीटीपी के अनुसार, (\(PH\) विमान के लिए लंबवत है, \(HK_1, HK_2\), आदि पक्षों के लंबवत अनुमान हैं) तिरछा \(PK_1, PK_2\), आदि। पक्षों के लंबवत \(A_1A_2, A_2A_3\), आदि। क्रमश। तो, परिभाषा के अनुसार \(\कोण PK_1H, \कोण PK_2H\)भुजाओं के फलकों और आधार के बीच के कोणों के बराबर। इसलिये त्रिभुज \(PK_1H, PK_2H, ...\) बराबर हैं (जैसा कि दो पैरों पर समकोण है), फिर कोण \(\कोण PK_1H, \कोण PK_2H, ...\)बराबर हैं।

5) आइए हम सिद्ध करें कि \((d)\) का तात्पर्य \((b)\) से है।

इसी तरह चौथे बिंदु के लिए, त्रिभुज \(PK_1H, PK_2H, ...\) बराबर हैं (पैर और न्यून कोण के साथ आयताकार), जिसका अर्थ है कि खंड \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) बराबर हैं। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, \(H\) आधार में अंकित एक वृत्त का केंद्र है। लेकिन जबसे नियमित बहुभुजों के लिए, उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों के केंद्र मेल खाते हैं, तो \(H\) परिबद्ध वृत्त का केंद्र है। छत्तीसगढ़

परिणाम

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।

परिभाषा

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊंचाई, जो इसके शीर्ष से खींची जाती है, कहलाती है एपोथेमा.
एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व चेहरों के एपोथेम एक दूसरे के बराबर होते हैं और माध्यिका और द्विभाजक भी होते हैं।

महत्वपूर्ण लेख

1. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड की ऊँचाई आधार की ऊँचाइयों (या समद्विभाजक, या माध्यिका) के प्रतिच्छेदन बिंदु तक गिरती है (आधार एक नियमित त्रिभुज है)।

2. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड की ऊंचाई आधार के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु तक गिरती है (आधार एक वर्ग है)।

3. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड की ऊंचाई आधार के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु तक गिरती है (आधार एक नियमित षट्भुज है)।

4. पिरामिड की ऊंचाई आधार पर पड़ी किसी भी सीधी रेखा के लंबवत होती है।

परिभाषा

पिरामिड कहा जाता है आयताकारयदि इसका एक पार्श्व किनारा आधार के तल के लंबवत है।

महत्वपूर्ण लेख

1. एक आयताकार पिरामिड के लिए, आधार से लंबवत किनारा पिरामिड की ऊंचाई है। अर्थात्, \(SR\) ऊँचाई है।

2. क्योंकि \(SR\) आधार से किसी भी रेखा पर लंबवत, तब \(\त्रिकोण एसआरएम, \त्रिकोण एसआरपी\)सही त्रिकोण हैं।

3. त्रिभुज \(\triangle SRN, \triangle SRK\)आयताकार भी हैं।
यानी इस किनारे से बनने वाला कोई भी त्रिभुज और इस किनारे के शीर्ष से निकलने वाला विकर्ण, जो आधार पर स्थित है, समकोण होगा।

\[(\बड़ा(\पाठ(पिरामिड का आयतन और सतह क्षेत्र)))\]

प्रमेय

पिरामिड का आयतन आधार के क्षेत्रफल और पिरामिड की ऊंचाई के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर होता है: \

परिणाम

मान लीजिए \(a\) आधार की भुजा है, \(h\) पिरामिड की ऊंचाई है।

1. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का आयतन है \(V_(\text(दायां त्रिभुज pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का आयतन है \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड का आयतन है \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. एक नियमित चतुष्फलक का आयतन है \(V_(\text(दाएं टेट्रा.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

प्रमेय

एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और एपोथेम के आधे उत्पाद के बराबर होता है।

\[(\बड़ा(\पाठ(छोटा पिरामिड)))\]

परिभाषा

एक मनमाना पिरामिड \(PA_1A_2A_3...A_n\) पर विचार करें। आइए हम पिरामिड के किनारे के किनारे पर स्थित एक निश्चित बिंदु के माध्यम से पिरामिड के आधार के समानांतर एक विमान बनाएं। यह तल पिरामिड को दो पॉलीहेड्रा में विभाजित करेगा, जिनमें से एक पिरामिड है (\(PB_1B_2...B_n\) ), और दूसरे को कहा जाता है छोटा पिरामिड(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\))।

काटे गए पिरामिड के दो आधार हैं - बहुभुज \(A_1A_2...A_n\) और \(B_1B_2...B_n\) , जो एक दूसरे के समान हैं।

एक काटे गए पिरामिड की ऊंचाई ऊपरी आधार के किसी बिंदु से निचले आधार के तल तक खींचा गया लंबवत है।

महत्वपूर्ण लेख

1. एक काटे गए पिरामिड के सभी पार्श्व फलक समलम्बाकार होते हैं।

2. एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड (अर्थात, एक नियमित पिरामिड के एक खंड द्वारा प्राप्त पिरामिड) के आधारों के केंद्रों को जोड़ने वाला खंड ऊंचाई है।

परिकल्पना:हम मानते हैं कि पिरामिड के आकार की पूर्णता उसके आकार में निहित गणितीय नियमों के कारण है।

लक्ष्य:पिरामिड का एक ज्यामितीय निकाय के रूप में अध्ययन करने के बाद, अपने रूप की पूर्णता की व्याख्या करने के लिए।

कार्य:

1. देना गणितीय परिभाषापिरामिड।

2. पिरामिड का एक ज्यामितीय निकाय के रूप में अध्ययन करें।

3. समझें कि मिस्रवासियों ने अपने पिरामिडों में क्या गणितीय ज्ञान रखा था।

निजी प्रश्न:

1. ज्यामितीय पिंड के रूप में पिरामिड क्या है?

2. पिरामिड के अद्वितीय आकार को गणितीय रूप से कैसे समझाया जा सकता है?

3. पिरामिड के ज्यामितीय अजूबे क्या बताते हैं?

4. पिरामिड के आकार की पूर्णता की व्याख्या क्या करती है?

पिरामिड की परिभाषा।

पिरामिड (ग्रीक पिरामिड से, जीनस एन। पिरामिडोस) - एक पॉलीहेड्रॉन, जिसका आधार एक बहुभुज है, और शेष चेहरे एक सामान्य शीर्ष (आकृति) के साथ त्रिकोण हैं। आधार के कोनों की संख्या के अनुसार पिरामिड त्रिभुजाकार, चतुष्कोणीय आदि होते हैं।

पिरामिड - एक स्मारकीय संरचना जिसमें पिरामिड का ज्यामितीय आकार होता है (कभी-कभी चरणबद्ध या टॉवर के आकार का भी)। तीसरी-दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व के प्राचीन मिस्र के फिरौन के विशालकाय मकबरों को पिरामिड कहा जाता है। ई।, साथ ही मंदिरों के प्राचीन अमेरिकी पेडस्टल (मेक्सिको, ग्वाटेमाला, होंडुरास, पेरू में) ब्रह्मांड संबंधी पंथों से जुड़े हैं।

यह संभव है कि ग्रीक शब्द "पिरामिड" मिस्र की अभिव्यक्ति प्रति-एम-यू से आया है, अर्थात, उस शब्द से जिसका अर्थ पिरामिड की ऊंचाई है। प्रमुख रूसी इजिप्टोलॉजिस्ट वी. स्ट्रुवे का मानना ​​था कि ग्रीक "पुरम...जे" प्राचीन मिस्र के "पी" -एमआर से आया है।

इतिहास से. Atanasyan के लेखकों द्वारा पाठ्यपुस्तक "ज्यामिति" में सामग्री का अध्ययन करने के बाद। बुटुज़ोवा और अन्य, हमने सीखा कि: n-gon A1A2A3 ... An और n त्रिभुज RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 से बना एक पॉलीहेड्रॉन पिरामिड कहलाता है। बहुभुज A1A2A3 ... An पिरामिड का आधार है, और त्रिभुज RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 पिरामिड के पार्श्व फलक हैं, P पिरामिड का शीर्ष है, खंड RA1, RA2, .. ।, RAn पार्श्व किनारे हैं।

हालांकि, पिरामिड की ऐसी परिभाषा हमेशा मौजूद नहीं थी। उदाहरण के लिए, प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ, गणित पर सैद्धांतिक ग्रंथों के लेखक, जो हमारे पास आए हैं, यूक्लिड, एक पिरामिड को एक समतल से एक बिंदु तक अभिसरण करने वाले विमानों से घिरे एक ठोस आकृति के रूप में परिभाषित करते हैं।

लेकिन प्राचीन काल में इस परिभाषा की आलोचना की जा चुकी है। तो हेरॉन ने पिरामिड की निम्नलिखित परिभाषा का प्रस्ताव दिया: "यह एक बिंदु पर अभिसरण करने वाले त्रिभुजों से घिरा हुआ एक आकृति है और जिसका आधार बहुभुज है।"

हमारा समूह, इन परिभाषाओं की तुलना करते हुए, इस निष्कर्ष पर पहुंचा कि उनके पास "नींव" की अवधारणा का स्पष्ट सूत्रीकरण नहीं है।

हमने इन परिभाषाओं का अध्ययन किया और एड्रियन मैरी लीजेंड्रे की परिभाषा पाई, जिन्होंने 1794 में अपने काम "एलिमेंट्स ऑफ ज्योमेट्री" में पिरामिड को इस प्रकार परिभाषित किया: "पिरामिड एक शारीरिक आकृति है जो एक बिंदु पर परिवर्तित होने वाले त्रिकोणों द्वारा बनाई गई है और एक के विभिन्न पक्षों पर समाप्त होती है। सपाट आधार। ”

हमें ऐसा लगता है कि अंतिम परिभाषा पिरामिड का एक स्पष्ट विचार देती है, क्योंकि यह इस तथ्य को संदर्भित करता है कि आधार सपाट है। 19वीं सदी की पाठ्यपुस्तक में पिरामिड की एक और परिभाषा सामने आई: "पिरामिड एक समतल द्वारा प्रतिच्छेदित एक ठोस कोण है।"

एक ज्यामितीय शरीर के रूप में पिरामिड।

उस। एक पिरामिड एक बहुफलक है, जिसका एक फलक (आधार) एक बहुभुज है, शेष फलक (भुजाएँ) त्रिभुज होते हैं जिनमें एक उभयनिष्ठ शीर्ष (पिरामिड का शीर्ष) होता है।

पिरामिड के शीर्ष से आधार के तल तक खींचे गए लंबवत को कहा जाता है लंबाएचपिरामिड।

एक मनमाना पिरामिड के अलावा, वहाँ हैं सही पिरामिड,जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज है और कटा हुआ पिरामिड।

आकृति में - पिरामिड PABCD, ABCD - इसका आधार, PO - ऊँचाई।

पूर्ण सतह क्षेत्र पिरामिड को उसके सभी फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहते हैं।

सफुल = साइड + सबबेस,कहाँ पे साइडपार्श्व फलकों के क्षेत्रों का योग है।

पिरामिड मात्रा सूत्र के अनुसार पाया जाता है:

वी = 1/3 एसबेस एच, जहां सोसन। - आधार क्षेत्र एच- कद।

एक नियमित पिरामिड की धुरी एक सीधी रेखा होती है जिसमें इसकी ऊंचाई होती है।
एपोथेम एसटी - एक नियमित पिरामिड के पार्श्व चेहरे की ऊंचाई।

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व चेहरे का क्षेत्र निम्नानुसार व्यक्त किया गया है: साइड। = 1/2पी एच, जहाँ P आधार का परिमाप है, एच- साइड फेस की ऊंचाई (एक नियमित पिरामिड का एपोटेम)। यदि पिरामिड को आधार के समानांतर समतल A'B'C'D' द्वारा पार किया जाता है, तो:

1) पार्श्व किनारों और ऊंचाई को इस विमान द्वारा आनुपातिक भागों में विभाजित किया गया है;

2) अनुभाग में, आधार के समान एक बहुभुज A'B'C'D' प्राप्त होता है;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

काटे गए पिरामिड के आधारसमरूप बहुभुज ABCD तथा A`B`C`D हैं, पार्श्व फलक समलम्बाकार हैं।

कदकाटे गए पिरामिड - ठिकानों के बीच की दूरी।

छोटा वॉल्यूमपिरामिड सूत्र द्वारा पाया जाता है:

वी = 1/3 एच(एस + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र इस प्रकार व्यक्त किया गया है: साइड। = ½ (पी + पी') एच, जहाँ P और P' आधारों के परिमाप हैं, एच- साइड फेस की ऊंचाई (एक नियमित रूप से दावतों द्वारा काटे गए एपोथेम)

पिरामिड के खंड।

इसके शीर्ष से गुजरने वाले विमानों द्वारा पिरामिड के खंड त्रिभुज हैं।

पिरामिड के दो गैर-आसन्न पार्श्व किनारों से गुजरने वाले खंड को कहा जाता है विकर्ण खंड।

यदि खंड किनारे के किनारे और आधार की तरफ एक बिंदु से गुजरता है, तो यह पक्ष पिरामिड के आधार के तल पर इसका निशान होगा।

पिरामिड के चेहरे पर स्थित एक बिंदु से गुजरने वाला एक खंड, और आधार के तल पर अनुभाग का एक दिया हुआ निशान, फिर निर्माण निम्नानुसार किया जाना चाहिए:

दिए गए फलक के तल के प्रतिच्छेदन बिंदु और पिरामिड खंड के निशान का पता लगाएं और इसे नामित करें;

किसी दिए गए बिंदु और परिणामी प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का निर्माण करें;

अगले चेहरों के लिए इन चरणों को दोहराएं।

, जो एक समकोण त्रिभुज की टांगों के अनुपात 4:3 से मेल खाती है। पैरों का यह अनुपात 3:4:5 भुजाओं वाले सुप्रसिद्ध समकोण त्रिभुज से मेल खाता है, जिसे "पूर्ण", "पवित्र" या "मिस्र" त्रिभुज कहा जाता है। इतिहासकारों के अनुसार, "मिस्र" त्रिभुज को एक जादुई अर्थ दिया गया था। प्लूटार्क ने लिखा है कि मिस्रवासियों ने ब्रह्मांड की प्रकृति की तुलना एक "पवित्र" त्रिभुज से की; उन्होंने प्रतीकात्मक रूप से ऊर्ध्वाधर पैर की तुलना पति से, आधार की पत्नी से, और कर्ण की तुलना दोनों से की है।

त्रिभुज 3:4:5 के लिए, समानता सत्य है: 32 + 42 = 52, जो पाइथागोरस प्रमेय को व्यक्त करता है। क्या यह वह प्रमेय नहीं है जिसे मिस्र के पुजारी त्रिभुज 3:4:5 के आधार पर एक पिरामिड बनाकर कायम रखना चाहते थे? अधिक खोजना मुश्किल है अच्छा उदाहरणपाइथागोरस प्रमेय को चित्रित करने के लिए, जो पाइथागोरस द्वारा इसकी खोज से बहुत पहले मिस्रवासियों को ज्ञात था।

इस प्रकार, मिस्र के पिरामिडों के सरल रचनाकारों ने अपने ज्ञान की गहराई के साथ दूर के वंशजों को प्रभावित करने की मांग की, और उन्होंने इसे चेप्स के पिरामिड के लिए "मुख्य ज्यामितीय विचार" के रूप में चुनकर हासिल किया - "सुनहरा" समकोण त्रिभुज, और खफरे के पिरामिड के लिए - "पवित्र" या "मिस्र" त्रिकोण।

बहुत बार, वैज्ञानिक अपने शोध में गोल्डन सेक्शन के अनुपात के साथ पिरामिड के गुणों का उपयोग करते हैं।

गणितीय विश्वकोश शब्दकोश में गोल्डन सेक्शन की निम्नलिखित परिभाषा दी गई है - यह एक हार्मोनिक विभाजन है, चरम और औसत अनुपात में विभाजन - खंड एबी को दो भागों में इस तरह से विभाजित किया जाता है कि इसका अधिकांश एसी औसत हो पूरे खंड AB और उसके छोटे भाग CB के बीच आनुपातिक।

एक खंड के स्वर्ण खंड की बीजगणितीय खोज एबी = एसमीकरण को हल करने के लिए कम कर देता है a: x = x: (a - x), जहां x लगभग 0.62a के बराबर है। x अनुपात को भिन्न 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0.618 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां 2, 3, 5, 8, 13, 21 फाइबोनैचि संख्याएं हैं।

खंड AB के स्वर्ण खंड का ज्यामितीय निर्माण निम्नानुसार किया जाता है: बिंदु B पर, AB के लंबवत को बहाल किया जाता है, खंड BE \u003d 1/2 AB उस पर रखा जाता है, A और E जुड़े होते हैं, DE \ u003d BE को स्थगित कर दिया गया है, और अंत में, AC \u003d AD, फिर समानता AB पूरी हो गई है: CB = 2: 3।

सुनहरा अनुपातअक्सर प्रकृति में पाए जाने वाले कला, वास्तुकला के कार्यों में उपयोग किया जाता है। इसका ज्वलंत उदाहरण अपोलो बेल्वेडियर, पार्थेनन की मूर्ति है। पार्थेनन के निर्माण के दौरान इमारत की ऊंचाई और उसकी लंबाई के अनुपात का इस्तेमाल किया गया था और यह अनुपात 0.618 है। हमारे आस-पास की वस्तुएं भी स्वर्ण अनुपात के उदाहरण प्रदान करती हैं, उदाहरण के लिए, कई पुस्तकों की बाइंडिंग की चौड़ाई से लंबाई का अनुपात 0.618 के करीब होता है। पौधों के एक सामान्य तने पर पत्तियों की व्यवस्था को ध्यान में रखते हुए, कोई यह देख सकता है कि पत्तियों के प्रत्येक दो जोड़े के बीच, तीसरा स्वर्ण अनुपात (स्लाइड) के स्थान पर स्थित है। हम में से प्रत्येक हमारे साथ "अपने हाथों में" सुनहरा अनुपात "पहनता है" - यह उंगलियों के फालेंजों का अनुपात है।

कई गणितीय पपीरी की खोज के लिए धन्यवाद, मिस्र के वैज्ञानिकों ने कलन और माप की प्राचीन मिस्र की प्रणालियों के बारे में कुछ सीखा है। उनमें निहित कार्यों को शास्त्रियों द्वारा हल किया गया था। सबसे प्रसिद्ध में से एक रिंद गणितीय पेपिरस है। इन पहेलियों का अध्ययन करके, मिस्र के वैज्ञानिकों ने सीखा कि प्राचीन मिस्रवासी विभिन्न मात्राओं से कैसे निपटते थे, जो वजन, लंबाई और आयतन के उपायों की गणना करते समय उत्पन्न होते थे, जो अक्सर अंशों का उपयोग करते थे, साथ ही साथ वे कोणों से कैसे निपटते थे।

प्राचीन मिस्रवासियों ने एक समकोण त्रिभुज के आधार से ऊंचाई के अनुपात के आधार पर कोणों की गणना करने की एक विधि का उपयोग किया। उन्होंने ढाल की भाषा में किसी भी कोण को व्यक्त किया। ढलान ढाल को "सेकेड" नामक एक पूर्णांक के अनुपात के रूप में व्यक्त किया गया था। फिरौन के समय में गणित में, रिचर्ड पिलिन्स बताते हैं: "एक नियमित पिरामिड का अनुक्रम आधार के तल पर चार त्रिकोणीय चेहरों में से किसी का झुकाव है, जिसे ऊंचाई की ऊर्ध्वाधर इकाई प्रति क्षैतिज इकाइयों की nth संख्या द्वारा मापा जाता है। . इस प्रकार, माप की यह इकाई झुकाव के कोण के हमारे आधुनिक कोटेंजेंट के बराबर है। इसलिए, मिस्र का शब्द "सेकेड" हमारे से संबंधित है आधुनिक शब्द"ढाल""।

पिरामिड की संख्यात्मक कुंजी उनकी ऊंचाई और आधार के अनुपात में निहित है। व्यावहारिक रूप से, पिरामिड के निर्माण के दौरान झुकाव के सही कोण की लगातार जांच करने के लिए आवश्यक टेम्प्लेट बनाने का यह सबसे आसान तरीका है।

मिस्र के वैज्ञानिक हमें यह समझाने में प्रसन्न होंगे कि प्रत्येक फिरौन अपने व्यक्तित्व को व्यक्त करने के लिए उत्सुक था, इसलिए प्रत्येक पिरामिड के झुकाव के कोणों में अंतर है। लेकिन एक और कारण हो सकता है। शायद वे सभी अलग-अलग अनुपात में छिपे अलग-अलग प्रतीकात्मक संघों को मूर्त रूप देना चाहते थे। हालांकि, खफरे के पिरामिड का कोण (त्रिभुज पर आधारित (3:4:5) पिरामिडों द्वारा रिहिंड गणितीय पेपिरस में प्रस्तुत तीन समस्याओं में प्रकट होता है)। इसलिए यह रवैया प्राचीन मिस्रवासियों को अच्छी तरह से पता था।

मिस्र के वैज्ञानिकों के प्रति निष्पक्ष होने के लिए जो दावा करते हैं कि प्राचीन मिस्रवासी 3:4:5 त्रिकोण को नहीं जानते थे, मान लें कि कर्ण 5 की लंबाई का कभी उल्लेख नहीं किया गया था। परंतु गणित की समस्याये, पिरामिड के विषय में, हमेशा सेकेड कोण के आधार पर हल किए जाते हैं - ऊंचाई और आधार का अनुपात। चूंकि कर्ण की लंबाई का कभी उल्लेख नहीं किया गया था, इसलिए यह निष्कर्ष निकाला गया कि मिस्रियों ने कभी भी तीसरी भुजा की लंबाई की गणना नहीं की।

गीज़ा के पिरामिडों में उपयोग किए जाने वाले ऊंचाई-से-आधार अनुपात निस्संदेह प्राचीन मिस्रवासियों को ज्ञात थे। यह संभव है कि प्रत्येक पिरामिड के लिए इन अनुपातों को मनमाने ढंग से चुना गया हो। हालांकि, यह सभी प्रकार की मिस्र की ललित कला में संख्यात्मक प्रतीकवाद से जुड़े महत्व का खंडन करता है। यह बहुत संभव है कि ऐसे संबंध महत्वपूर्ण महत्व के थे, क्योंकि वे विशिष्ट धार्मिक विचारों को व्यक्त करते थे। दूसरे शब्दों में, गीज़ा का पूरा परिसर एक सुसंगत डिजाइन के अधीन था, जिसे किसी प्रकार के दैवीय विषय को प्रतिबिंबित करने के लिए डिज़ाइन किया गया था। यह समझाएगा कि डिजाइनरों ने तीन पिरामिडों के लिए अलग-अलग कोण क्यों चुने।

द सीक्रेट ऑफ ओरियन में, बाउवल और गिल्बर्ट ने गीज़ा के पिरामिडों के ओरियन के नक्षत्र के साथ संबंध के पुख्ता सबूत प्रस्तुत किए, विशेष रूप से ओरियन के बेल्ट के सितारों के साथ। वही नक्षत्र आइसिस और ओसिरिस के मिथक में मौजूद है, और वहाँ प्रत्येक पिरामिड को तीन मुख्य देवताओं - ओसिरिस, आइसिस और होरस में से एक की छवि के रूप में मानने का कारण है।

चमत्कार "ज्यामितीय"।

मिस्र के भव्य पिरामिडों में, एक विशेष स्थान पर कब्जा है फिरौन चेप्स का महान पिरामिड (खुफू). चेप्स के पिरामिड के आकार और आकार के विश्लेषण के लिए आगे बढ़ने से पहले, हमें याद रखना चाहिए कि मिस्र के लोग किस प्रणाली का इस्तेमाल करते थे। मिस्रवासियों की लंबाई की तीन इकाइयाँ थीं: "क्यूबिट" (466 मिमी), सात "हथेलियों" (66.5 मिमी) के बराबर, जो बदले में, चार "उंगलियों" (16.6 मिमी) के बराबर थी।

आइए चेप्स के पिरामिड के आकार का विश्लेषण करें (चित्र 2), यूक्रेनी वैज्ञानिक निकोलाई वासुटिंस्की की अद्भुत पुस्तक में दिए गए तर्क के बाद " सुनहरा अनुपात"(1990)।

अधिकांश शोधकर्ता इस बात से सहमत हैं कि पिरामिड के आधार के किनारे की लंबाई, उदाहरण के लिए, जीएफके बराबर है ली\u003d 233.16 मीटर। यह मान लगभग 500 "क्यूबिट" से मेल खाता है। 500 "क्यूबिट्स" का पूर्ण अनुपालन होगा यदि "क्यूबिट" की लंबाई 0.4663 मीटर के बराबर मानी जाए।

पिरामिड ऊँचाई ( एच) शोधकर्ताओं द्वारा 146.6 से 148.2 मीटर तक अलग-अलग अनुमान लगाया गया है और पिरामिड की स्वीकृत ऊंचाई के आधार पर, इसके ज्यामितीय तत्वों के सभी अनुपात बदल जाते हैं। पिरामिड की ऊंचाई के अनुमान में अंतर का कारण क्या है? तथ्य यह है कि, कड़ाई से बोलते हुए, चेप्स के पिरामिड को काट दिया जाता है। इसके ऊपरी मंच का आकार आज लगभग 10 10 मीटर है, और एक सदी पहले यह 6 6 मीटर था। यह स्पष्ट है कि पिरामिड का शीर्ष ध्वस्त हो गया था, और यह मूल के अनुरूप नहीं है।

पिरामिड की ऊंचाई का अनुमान लगाते हुए, इस तरह के भौतिक कारक को संरचना के "मसौदे" के रूप में ध्यान में रखना आवश्यक है। लंबे समय तक, भारी दबाव (निचली सतह के 500 टन प्रति 1 एम 2 तक पहुंचने) के प्रभाव में, पिरामिड की ऊंचाई इसकी मूल ऊंचाई की तुलना में कम हो गई।

पिरामिड की मूल ऊंचाई कितनी थी? यदि आप पिरामिड का मूल "ज्यामितीय विचार" पाते हैं तो इस ऊंचाई को फिर से बनाया जा सकता है।

चित्र 2।

1837 में, अंग्रेजी कर्नल जी। वाइज ने पिरामिड के चेहरों के झुकाव के कोण को मापा: यह बराबर निकला एक= 51°51"। यह मान आज भी अधिकांश शोधकर्ताओं द्वारा पहचाना जाता है। कोण का संकेतित मान स्पर्शरेखा (tg) से मेल खाता है एक), 1.27306 के बराबर। यह मान पिरामिड की ऊंचाई के अनुपात से मेल खाता है एसीइसके आधार के आधे हिस्से तक सीबी(चित्र। 2), अर्थात्। एसी / सीबी = एच / (ली / 2) = 2एच / ली.

और यहाँ शोधकर्ता एक बड़े आश्चर्य में थे!.png" width="25" height="24">= 1.272. इस मान की tg मान से तुलना करना एक= 1.27306, हम देखते हैं कि ये मान एक दूसरे के बहुत करीब हैं। अगर हम कोण लेते हैं एक\u003d 51 ° 50", यानी इसे केवल एक चाप मिनट से कम करने के लिए, फिर मान एक 1.272 के बराबर हो जाएगा, यानी यह के मूल्य के साथ मेल खाएगा। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि 1840 में जी। वार ने अपने माप को दोहराया और स्पष्ट किया कि कोण का मूल्य एक=51°50"।

इन मापों ने शोधकर्ताओं को निम्नलिखित बहुत ही रोचक परिकल्पना के लिए प्रेरित किया: चेप्स के पिरामिड का त्रिभुज ASV AC . के संबंध पर आधारित था / सीबी = = 1,272!

अब एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें एबीसी, जिसमें पैरों का अनुपात एसी / सीबी= (चित्र। 2)। यदि अब आयत की भुजाओं की लंबाई एबीसीद्वारा निरूपित करें एक्स, आप, जेड, और यह भी ध्यान रखें कि अनुपात आप/एक्स= , फिर, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, लंबाई जेडसूत्र द्वारा गणना की जा सकती है:

अगर स्वीकार करें एक्स = 1, आप= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" चौड़ाई = "143" ऊंचाई = "27">

चित्र तीन"गोल्डन" सही त्रिकोण।

एक समकोण त्रिभुज जिसमें भुजाएँ संबंधित हैं: टी: सुनहरा" दायां त्रिकोण।

फिर, यदि हम इस परिकल्पना को आधार के रूप में लेते हैं कि चेप्स पिरामिड का मुख्य "ज्यामितीय विचार" "सुनहरा" समकोण त्रिभुज है, तो यहां से चेप्स पिरामिड की "डिज़ाइन" ऊंचाई की गणना करना आसान है। यह इसके बराबर है:

एच \u003d (एल / 2) \u003d 148.28 मीटर।

आइए अब चेप्स के पिरामिड के लिए कुछ अन्य संबंध प्राप्त करें, जो "सुनहरी" परिकल्पना से अनुसरण करते हैं। विशेष रूप से, हम पिरामिड के बाहरी क्षेत्र और उसके आधार के क्षेत्रफल का अनुपात पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम पैर की लंबाई लेते हैं सीबीप्रति इकाई, अर्थात्: सीबी= 1. लेकिन फिर पिरामिड के आधार की भुजा की लंबाई जीएफ= 2, और आधार का क्षेत्रफल EFGHके बराबर होगा SEFGH = 4.

आइए अब चेप्स पिरामिड के पार्श्व फलक के क्षेत्रफल की गणना करें एसडी. क्योंकि ऊंचाई अबत्रिकोण एईएफके बराबर है टी, तो पार्श्व फलक का क्षेत्रफल बराबर होगा एसडी = टी. तब पिरामिड के चारों भुजाओं का कुल क्षेत्रफल 4 . के बराबर होगा टी, और पिरामिड के कुल बाह्य क्षेत्रफल का आधार क्षेत्रफल से अनुपात स्वर्णिम अनुपात के बराबर होगा! यह वही है - चेप्स के पिरामिड का मुख्य ज्यामितीय रहस्य!

चेप्स पिरामिड के "ज्यामितीय चमत्कार" के समूह में बीच के संबंधों के वास्तविक और दूरगामी गुण शामिल हैं विभिन्न आयामपिरामिड में।

एक नियम के रूप में, वे कुछ "स्थिर" की तलाश में प्राप्त होते हैं, विशेष रूप से, संख्या "पी" (लुडोल्फ संख्या), 3.14159 के बराबर ...; प्राकृतिक लघुगणक के आधार "ई" (नेपियर की संख्या) 2.71828 के बराबर...; संख्या "एफ", "गोल्डन सेक्शन" की संख्या, बराबर, उदाहरण के लिए, 0.618 ... आदि।

आप नाम दे सकते हैं, उदाहरण के लिए: 1) हेरोडोटस की संपत्ति: (ऊंचाई) 2 \u003d 0.5 सेंट। मुख्य एक्स एपोथेम; 2) वी की संपत्ति मूल्य: ऊंचाई: 0.5 सेंट। ओएसएन \u003d "Ф" का वर्गमूल; 3) एम. ईस्ट की संपत्ति: आधार की परिधि: 2 ऊंचाई = "पाई"; एक अलग व्याख्या में - 2 बड़े चम्मच। मुख्य : ऊँचाई = "पाई"; 4) जी। रेबर की संपत्ति: खुदा हुआ सर्कल का त्रिज्या: 0.5 सेंट। मुख्य = "एफ"; 5) के। क्लेपिश की संपत्ति: (सेंट। मुख्य।) 2: 2 (सेंट। मुख्य। एक्स एपोथेम) \u003d (सेंट। मुख्य। डब्ल्यू। एपोथेम) \u003d 2 (सेंट। मुख्य। एक्स एपोथेम) : (( 2 सेंट मुख्य एक्स एपोथेम) + (सेंट मुख्य) 2)। आदि। आप ऐसी बहुत सी संपत्तियों के साथ आ सकते हैं, खासकर यदि आप दो पड़ोसी पिरामिडों को जोड़ते हैं। उदाहरण के लिए, "ए। अरेफिव के गुण" के रूप में यह उल्लेख किया जा सकता है कि चेप्स के पिरामिड और खफरे के पिरामिड के वॉल्यूम के बीच का अंतर मेनक्योर के पिरामिड की मात्रा के दोगुने के बराबर है ...

कई दिलचस्प प्रावधान, विशेष रूप से, "गोल्डन सेक्शन" के अनुसार पिरामिडों के निर्माण पर, डी। हैम्बिज "आर्किटेक्चर में डायनेमिक सिमेट्री" और एम। गीक "प्रकृति और कला में अनुपात के सौंदर्यशास्त्र" की पुस्तकों में निर्धारित किए गए हैं। याद रखें कि "गोल्डन सेक्शन" इस तरह के अनुपात में खंड का विभाजन है, जब भाग ए भाग बी से कई गुना बड़ा है, तो ए पूरे खंड ए + बी से कितनी गुना कम है। अनुपात ए / बी है संख्या "Ф" == 1.618 के बराबर। .. "गोल्डन सेक्शन" का उपयोग न केवल व्यक्तिगत पिरामिडों में, बल्कि गीज़ा में पूरे पिरामिड परिसर में इंगित किया गया है।

हालाँकि, सबसे उत्सुक बात यह है कि चेप्स के एक ही पिरामिड में इतने सारे अद्भुत गुण "नहीं" हो सकते हैं। एक निश्चित संपत्ति को एक-एक करके लेना, आप इसे "समायोजित" कर सकते हैं, लेकिन एक बार में वे फिट नहीं होते हैं - वे मेल नहीं खाते हैं, वे एक-दूसरे का खंडन करते हैं। इसलिए, यदि, उदाहरण के लिए, सभी गुणों की जांच करते समय, पिरामिड के आधार (233 मीटर) के एक और एक ही पक्ष को शुरू में लिया जाता है, तो विभिन्न गुणों वाले पिरामिडों की ऊंचाई भी अलग-अलग होगी। दूसरे शब्दों में, पिरामिड का एक निश्चित "परिवार" है, जो बाहरी रूप से चेप्स के समान है, लेकिन विभिन्न गुणों के अनुरूप है। ध्यान दें कि "ज्यामितीय" गुणों में कुछ भी विशेष रूप से चमत्कारी नहीं है - बहुत कुछ विशुद्ध रूप से स्वचालित रूप से, आकृति के गुणों से ही उत्पन्न होता है। प्राचीन मिस्रवासियों के लिए एक "चमत्कार" को केवल स्पष्ट रूप से असंभव माना जाना चाहिए। इसमें, विशेष रूप से, "ब्रह्मांडीय" चमत्कार शामिल हैं, जिसमें चेप्स के पिरामिड या गीज़ा में पिरामिड परिसर के माप की तुलना कुछ खगोलीय मापों से की जाती है और "सम" संख्याएं इंगित की जाती हैं: एक लाख गुना, एक अरब गुना कम, और जल्द ही। आइए कुछ "ब्रह्मांडीय" संबंधों पर विचार करें।

इनमें से एक कथन इस प्रकार है: "यदि हम पिरामिड के आधार के किनारे को वर्ष की सटीक लंबाई से विभाजित करते हैं, तो हमें पृथ्वी की धुरी का ठीक 10 मिलियनवां भाग मिलता है।" गणना करें: 233 को 365 से विभाजित करें, हमें 0.638 मिलता है। पृथ्वी की त्रिज्या 6378 किमी है।

एक अन्य कथन वास्तव में पिछले एक के विपरीत है। एफ। नोएटलिंग ने बताया कि यदि आप उनके द्वारा आविष्कृत "मिस्र की कोहनी" का उपयोग करते हैं, तो पिरामिड का किनारा "सौर वर्ष की सबसे सटीक अवधि, एक दिन के निकटतम अरबवें हिस्से में व्यक्त" के अनुरूप होगा - 365.540.903.777 .

पी. स्मिथ का कथन: "पिरामिड की ऊँचाई पृथ्वी से सूर्य की दूरी का ठीक एक अरबवाँ भाग है।" हालांकि आमतौर पर 146.6 मीटर की ऊंचाई ली जाती है, स्मिथ ने इसे 148.2 मीटर के रूप में लिया। आधुनिक रडार माप के अनुसार, पृथ्वी की कक्षा का अर्ध-प्रमुख अक्ष 149.597.870 + 1.6 किमी है। यह पृथ्वी से सूर्य की औसत दूरी है, लेकिन पेरिहेलियन में यह अप्सरा से 5,000,000 किलोमीटर कम है।

अंतिम जिज्ञासु कथन:

"कैसे समझा जाए कि चेप्स, खफरे और मेनकौर के पिरामिडों का द्रव्यमान पृथ्वी, शुक्र, मंगल ग्रह के द्रव्यमान की तरह एक-दूसरे से संबंधित है?" आइए गणना करें। तीन पिरामिडों के द्रव्यमान इस प्रकार संबंधित हैं: खफरे - 0.835; चॉप्स - 1,000; मिकेरिन - 0.0915। तीन ग्रहों के द्रव्यमान का अनुपात: शुक्र - 0.815; भूमि - 1,000; मंगल - 0.108।

तो, संदेह के बावजूद, आइए बयानों के निर्माण के प्रसिद्ध सद्भाव पर ध्यान दें: 1) पिरामिड की ऊंचाई, "अंतरिक्ष में जाने" की रेखा के रूप में - पृथ्वी से सूर्य की दूरी से मेल खाती है; 2) पिरामिड के आधार का पक्ष "सब्सट्रेट के सबसे करीब", यानी पृथ्वी के लिए, पृथ्वी की त्रिज्या और पृथ्वी के संचलन के लिए जिम्मेदार है; 3) पिरामिड के आयतन (पढ़ें - द्रव्यमान) पृथ्वी के निकटतम ग्रहों के द्रव्यमान के अनुपात के अनुरूप हैं। एक समान "सिफर" का पता लगाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, मधुमक्खी भाषा में, कार्ल वॉन फ्रिस्क द्वारा विश्लेषण किया गया। हालाँकि, हम अभी इस पर टिप्पणी करने से बचते हैं।

पिरामिड का आकार

पिरामिडों की प्रसिद्ध चतुष्फलकीय आकृति तुरंत प्रकट नहीं हुई। सीथियन ने मिट्टी की पहाड़ियों - बैरो के रूप में दफन किया। मिस्रवासियों ने पत्थर की "पहाड़ियों" का निर्माण किया - पिरामिड। यह 28वीं शताब्दी ईसा पूर्व में ऊपरी और निचले मिस्र के एकीकरण के बाद पहली बार हुआ था, जब तृतीय राजवंश के संस्थापक, फिरौन जोसर (जोसर) को देश की एकता को मजबूत करने के कार्य का सामना करना पड़ा था।

और यहाँ, इतिहासकारों के अनुसार, tsar की "नई अवधारणा" ने केंद्रीय शक्ति को मजबूत करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। यद्यपि शाही दफनियों को अधिक भव्यता से प्रतिष्ठित किया गया था, वे सिद्धांत रूप से दरबारी रईसों की कब्रों से भिन्न नहीं थे, वे समान संरचनाएं थीं - मस्तबा। ममी युक्त व्यंग्य के साथ कक्ष के ऊपर, छोटे पत्थरों की एक आयताकार पहाड़ी डाली गई थी, जहाँ बड़े पत्थर के ब्लॉकों की एक छोटी इमारत रखी गई थी - "मस्तबा" (अरबी में - "बेंच")। अपने पूर्ववर्ती सनाख्त के मस्तबा की साइट पर, फिरौन जोसर ने पहला पिरामिड बनाया। यह कदम रखा गया था और एक मस्तबा से पिरामिड तक एक वास्तुशिल्प रूप से दूसरे में एक दृश्य संक्रमणकालीन चरण था।

इस तरह, फिरौन को ऋषि और वास्तुकार इम्होटेप द्वारा "उन्नत" किया गया था, जिसे बाद में एक जादूगर माना जाता था और यूनानियों द्वारा भगवान एस्क्लेपियस के साथ पहचाना जाता था। यह ऐसा था जैसे छह मस्तबा एक पंक्ति में खड़े हो गए हों। इसके अलावा, पहले पिरामिड ने 1125 x 115 मीटर के क्षेत्र पर कब्जा कर लिया, जिसकी अनुमानित ऊंचाई 66 मीटर (मिस्र के उपायों के अनुसार - 1000 "हथेलियां") थी। सबसे पहले, वास्तुकार ने एक मस्तबा बनाने की योजना बनाई, लेकिन आयताकार नहीं, बल्कि योजना में वर्गाकार। बाद में इसका विस्तार किया गया, लेकिन चूंकि विस्तार को कम किया गया था, दो चरणों का गठन किया गया था, जैसा कि यह था।

इस स्थिति ने वास्तुकार को संतुष्ट नहीं किया, और एक विशाल फ्लैट मस्तबा के शीर्ष मंच पर इम्होटेप ने तीन और रखे, धीरे-धीरे शीर्ष की ओर घटते हुए। मकबरा पिरामिड के नीचे था।

कई और चरणबद्ध पिरामिड ज्ञात हैं, लेकिन बाद में बिल्डरों ने अधिक परिचित टेट्राहेड्रल पिरामिड बनाने के लिए आगे बढ़े। हालांकि, त्रिकोणीय या अष्टकोणीय क्यों नहीं? एक अप्रत्यक्ष उत्तर इस तथ्य से दिया जाता है कि लगभग सभी पिरामिड चार कार्डिनल बिंदुओं पर पूरी तरह से उन्मुख हैं, और इसलिए चार पक्ष हैं। इसके अलावा, पिरामिड एक "घर" था, जो एक चतुर्भुज दफन कक्ष का एक खोल था।

लेकिन चेहरों के झुकाव के कोण का क्या कारण है? "अनुपात का सिद्धांत" पुस्तक में एक पूरा अध्याय इसके लिए समर्पित है: "पिरामिड के कोण क्या निर्धारित कर सकते हैं।" विशेष रूप से, यह संकेत दिया गया है कि "पुराने साम्राज्य के महान पिरामिडों की छवि शीर्ष पर एक समकोण के साथ एक त्रिभुज है।

अंतरिक्ष में, यह एक अर्ध-ऑक्टाहेड्रोन है: एक पिरामिड जिसमें आधार के किनारे और किनारे समान होते हैं, चेहरे समबाहु त्रिभुज होते हैं। इस विषय पर हैम्बिज, गीक और अन्य की पुस्तकों में कुछ विचार दिए गए हैं।

सेमीऑक्टाहेड्रोन के कोण का क्या लाभ है? पुरातत्वविदों और इतिहासकारों के विवरण के अनुसार, कुछ पिरामिड अपने ही वजन के नीचे ढह गए। एक "स्थायित्व कोण" की आवश्यकता थी, एक ऐसा कोण जो सबसे ऊर्जावान रूप से विश्वसनीय था। विशुद्ध रूप से अनुभवजन्य रूप से, इस कोण को शीर्ष कोण से ढहती सूखी रेत के ढेर में लिया जा सकता है। लेकिन सटीक डेटा प्राप्त करने के लिए, आपको मॉडल का उपयोग करने की आवश्यकता है। चार दृढ़ता से स्थिर गेंदों को लेते हुए, आपको उन पर पांचवीं गेंद डालनी होगी और झुकाव के कोणों को मापना होगा। हालांकि, यहां आप एक गलती कर सकते हैं, इसलिए सैद्धांतिक गणना मदद करती है: आपको गेंदों के केंद्रों को लाइनों (मानसिक रूप से) से जोड़ना चाहिए। आधार पर, आपको एक वर्ग मिलता है जिसकी भुजा दुगुनी त्रिज्या के बराबर होती है। वर्ग केवल पिरामिड का आधार होगा, जिसके किनारों की लंबाई भी त्रिज्या के दोगुने के बराबर होगी।

इस प्रकार 1:4 प्रकार की गेंदों की सघन पैकिंग हमें एक नियमित अर्ध-ऑक्टाहेड्रोन देगी।

हालाँकि, कई पिरामिड, एक समान रूप की ओर बढ़ते हुए, फिर भी इसे बरकरार क्यों नहीं रखते हैं? शायद पिरामिड पुराने हो रहे हैं। प्रसिद्ध कहावत के विपरीत:

"दुनिया में सब कुछ समय से डरता है, और समय पिरामिड से डरता है", पिरामिड की इमारतों की उम्र होनी चाहिए, वे न केवल बाहरी अपक्षय की प्रक्रियाओं को कर सकते हैं, बल्कि आंतरिक "संकुचन" की प्रक्रियाएं भी कर सकते हैं। , जिससे पिरामिड कम हो सकते हैं। संकोचन इसलिए भी संभव है क्योंकि, जैसा कि डी. डेविडोविट्स के कार्यों से पता चला है, प्राचीन मिस्रवासियों ने "कंक्रीट" से, दूसरे शब्दों में, चूने के चिप्स से ब्लॉक बनाने की तकनीक का उपयोग किया था। यह ऐसी प्रक्रियाएं हैं जो काहिरा से 50 किमी दक्षिण में स्थित मेडम पिरामिड के विनाश का कारण बता सकती हैं। यह 4600 साल पुराना है, आधार का आयाम 146 x 146 मीटर है, ऊंचाई 118 मीटर है। वी. ज़मारोव्स्की पूछते हैं, "इसे इतना विकृत क्यों किया गया है। "समय के विनाशकारी प्रभावों और "अन्य इमारतों के लिए पत्थर का उपयोग" के सामान्य संदर्भ यहां फिट नहीं होते हैं।

आखिरकार, इसके अधिकांश ब्लॉक और सामना करने वाले स्लैब अभी भी इसके पैर के खंडहर में बने हुए हैं। "जैसा कि हम देखेंगे, कई प्रावधान किसी को भी यह सोचने पर मजबूर कर देते हैं कि चेप्स का प्रसिद्ध पिरामिड भी" सिकुड़ा हुआ "है। किसी भी मामले में , सभी प्राचीन छवियों पर, पिरामिड नुकीले हैं ...

पिरामिड का आकार भी नकल द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है: कुछ प्राकृतिक पैटर्न, "चमत्कारी पूर्णता", कहते हैं, कुछ क्रिस्टल एक अष्टफलक के रूप में।

ऐसे क्रिस्टल हीरे और सोने के क्रिस्टल हो सकते हैं। फिरौन, सूर्य, सोना, हीरा जैसी अवधारणाओं के लिए बड़ी संख्या में "प्रतिच्छेदन" संकेत हैं। हर जगह - महान, शानदार (शानदार), महान, निर्दोष और इसी तरह। समानताएं आकस्मिक नहीं हैं।

जैसा कि आप जानते हैं, सौर पंथ प्राचीन मिस्र के धर्म का एक महत्वपूर्ण अंग था। "इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम सबसे बड़े पिरामिडों के नाम का अनुवाद कैसे करते हैं," इनमें से एक नोट करता है आधुनिक सहायता- "खुफू का आकाश" या "आकाश खुफू", इसका मतलब था कि राजा सूर्य है। "यदि खुफू, अपनी शक्ति के वैभव में, खुद को दूसरे सूर्य की कल्पना करता है, तो उसका बेटा जेडेफ-रा सबसे पहले बन गया मिस्र के राजा जिन्होंने खुद को "रा का बेटा" कहना शुरू किया, यानी सूर्य का पुत्र। लगभग सभी देशों में सूर्य को "सौर धातु", सोने का प्रतीक माना जाता था। "चमकीले सोने की एक बड़ी डिस्क" - इस तरह मिस्रियों ने हमारे दिन के उजाले को बुलाया। मिस्रवासी सोने को पूरी तरह से जानते थे, वे इसके मूल रूपों को जानते थे, जहां सोने के क्रिस्टल ऑक्टाहेड्रोन के रूप में प्रकट हो सकते हैं।

"रूपों के नमूने" के रूप में "सन स्टोन" - एक हीरा - भी यहाँ दिलचस्प है। हीरे का नाम अरब दुनिया से आया है, "अलमास" - सबसे कठिन, सबसे कठिन, अविनाशी। प्राचीन मिस्रवासी हीरा जानते थे और इसके गुण काफी अच्छे हैं। कुछ लेखकों के अनुसार, उन्होंने ड्रिलिंग के लिए हीरे के कटर के साथ कांस्य पाइप का भी इस्तेमाल किया।

दक्षिण अफ्रीका अब हीरे का मुख्य आपूर्तिकर्ता है, लेकिन पश्चिम अफ्रीका भी हीरे में समृद्ध है। माली गणराज्य के क्षेत्र को वहां "डायमंड लैंड" भी कहा जाता है। इस बीच, यह माली के क्षेत्र में है कि डोगन रहते हैं, जिनके साथ पेलियोविसिट परिकल्पना के समर्थक कई उम्मीदें रखते हैं (नीचे देखें)। इस क्षेत्र के साथ प्राचीन मिस्रवासियों के संपर्क का कारण हीरे नहीं हो सकते थे। हालांकि, एक तरह से या किसी अन्य, यह संभव है कि हीरे और सोने के क्रिस्टल के ऑक्टाहेड्रोन की नकल करके प्राचीन मिस्रियों ने फिरौन को, हीरे की तरह "अविनाशी" और सोने की तरह "शानदार", सूर्य के पुत्रों की तुलना की। केवल प्रकृति की सबसे अद्भुत कृतियों के साथ।

निष्कर्ष:

पिरामिड को एक ज्यामितीय निकाय के रूप में अध्ययन करने, उसके तत्वों और गुणों से परिचित होने के बाद, हम पिरामिड के आकार की सुंदरता के बारे में राय की वैधता के बारे में आश्वस्त थे।

अपने शोध के परिणामस्वरूप, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि मिस्रवासियों ने सबसे मूल्यवान गणितीय ज्ञान एकत्र किया, इसे एक पिरामिड में शामिल किया। इसलिए पिरामिड वास्तव में प्रकृति और मनुष्य की सबसे उत्तम रचना है।

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परिभाषा। बगल का चहेरा- यह एक त्रिभुज है जिसमें एक कोण पिरामिड के शीर्ष पर स्थित होता है, और इसका विपरीत भाग आधार (बहुभुज) के किनारे से मेल खाता है।

परिभाषा। पार्श्व पसलियांपार्श्व चेहरों के सामान्य पक्ष हैं। एक पिरामिड में उतने ही किनारे होते हैं जितने एक बहुभुज में कोने होते हैं।

परिभाषा। पिरामिड ऊंचाईपिरामिड के शीर्ष से आधार तक गिराया गया एक लंबवत है।

परिभाषा। एपोथेम- यह पिरामिड के पार्श्व चेहरे का लंबवत है, जो पिरामिड के शीर्ष से आधार के किनारे तक उतारा जाता है।

परिभाषा। विकर्ण खंड- यह पिरामिड के शीर्ष और आधार के विकर्ण से गुजरने वाले विमान द्वारा पिरामिड का एक खंड है।

परिभाषा। सही पिरामिड- यह एक पिरामिड है जिसमें आधार एक नियमित बहुभुज है, और ऊंचाई आधार के केंद्र तक उतरती है।

पिरामिड का आयतन और सतह क्षेत्र

सूत्र। पिरामिड मात्राआधार क्षेत्र और ऊंचाई के माध्यम से:

पिरामिड गुण

यदि सभी पार्श्व किनारे समान हैं, तो पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है, और आधार का केंद्र वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है। साथ ही, ऊपर से गिरा हुआ लम्ब आधार (वृत्त) के केंद्र से होकर गुजरता है।

यदि सभी पार्श्व पसलियां समान हैं, तो वे समान कोणों पर आधार तल की ओर झुकी हुई हैं।

पार्श्व पसलियाँ तब समान होती हैं जब वे आधार तल के साथ समान कोण बनाती हैं, या यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।

यदि पार्श्व चेहरे एक कोण पर आधार के तल पर झुके हुए हैं, तो पिरामिड के आधार में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, और पिरामिड के शीर्ष को इसके केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

यदि पार्श्व फलक एक कोण पर आधार तल की ओर झुके हों, तो पार्श्व फलकों के एपोथेम बराबर होते हैं।

एक नियमित पिरामिड के गुण

1. पिरामिड का शीर्ष आधार के सभी कोनों से समान दूरी पर है।

2. सभी किनारे बराबर हैं।

3. सभी पार्श्व पसलियां आधार से समान कोण पर झुकी हुई हैं।

4. सभी पक्षों के एपोथेम समान हैं।

5. सभी भुजाओं के फलकों का क्षेत्रफल बराबर होता है।

6. सभी फलकों में एक ही द्विफलक (सपाट) कोण होते हैं।

7. पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है। वर्णित गोले का केंद्र किनारों के बीच से गुजरने वाले लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

8. एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है। उत्कीर्ण गोले का केंद्र किनारे और आधार के बीच के कोण से निकलने वाले द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

9. यदि खुदा हुआ गोले का केंद्र परिचालित गोले के केंद्र के साथ मेल खाता है, तो शीर्ष पर समतल कोणों का योग π या इसके विपरीत होता है, एक कोण π / n के बराबर होता है, जहाँ n संख्या होती है पिरामिड के आधार पर कोणों का।

गोले के साथ पिरामिड का संबंध

पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है जब पिरामिड के आधार पर एक पॉलीहेड्रॉन होता है जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति)। गोले का केंद्र पिरामिड के पार्श्व किनारों के मध्य बिंदुओं से लंबवत गुजरने वाले विमानों के प्रतिच्छेदन का बिंदु होगा।

किसी भी त्रिकोणीय या नियमित पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन हमेशा किया जा सकता है।

एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक विमान एक बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु गोले का केंद्र होगा।

शंकु के साथ पिरामिड का संबंध

एक शंकु को पिरामिड में अंकित कहा जाता है यदि उसके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार में अंकित हो।

एक शंकु को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के एपोथेम्स समान हों।

एक शंकु को पिरामिड के चारों ओर परिबद्ध कहा जाता है यदि उसके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार के चारों ओर परिबद्ध हो।

पिरामिड के चारों ओर एक शंकु का वर्णन किया जा सकता है यदि पिरामिड के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर हों।

एक सिलेंडर के साथ एक पिरामिड का कनेक्शन

एक पिरामिड को एक सिलेंडर में खुदा हुआ कहा जाता है यदि पिरामिड का शीर्ष सिलेंडर के एक आधार पर होता है, और पिरामिड का आधार सिलेंडर के दूसरे आधार में खुदा होता है।

यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है, तो एक सिलेंडर को पिरामिड के चारों ओर परिचालित किया जा सकता है।

परिभाषा। काटे गए पिरामिड (पिरामिडल प्रिज्म)- यह एक पॉलीहेड्रॉन है जो पिरामिड के आधार और आधार के समानांतर एक सेक्शन प्लेन के बीच स्थित होता है। इस प्रकार पिरामिड का एक बड़ा आधार और एक छोटा आधार होता है जो बड़े के समान होता है। पार्श्व चेहरे ट्रेपेज़ॉइड हैं।

परिभाषा। त्रिकोणीय पिरामिड (टेट्राहेड्रॉन)- यह एक पिरामिड है जिसमें तीन फलक और आधार मनमाना त्रिभुज हैं।

एक चतुष्फलक के चार फलक और चार शीर्ष और छह किनारे होते हैं, जहां किन्हीं दो किनारों का कोई उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होता है लेकिन स्पर्श नहीं करते हैं।

प्रत्येक शीर्ष में तीन फलक और किनारे होते हैं जो बनते हैं त्रिफलक कोण.

चतुष्फलक के शीर्ष को विपरीत फलक के केंद्र से जोड़ने वाले खंड को कहते हैं चतुष्फलक की माध्यिका(जीएम)।

बिमीडियनविपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड कहलाता है जो स्पर्श नहीं करते (KL)।

एक चतुष्फलक के सभी द्विमाध्यक और माध्यिकाएँ एक बिंदु (S) पर प्रतिच्छेद करती हैं। इस मामले में, बिमीडियन आधे में विभाजित होते हैं, और मध्य ऊपर से शुरू होने वाले 3: 1 के अनुपात में होते हैं।

परिभाषा। झुका हुआ पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें किनारों में से एक आधार के साथ एक अधिक कोण (β) बनाता है।

परिभाषा। आयताकार पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें एक पक्ष का फलक आधार के लंबवत होता है।

परिभाषा। एक्यूट एंगल्ड पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई के आधे से अधिक है।

परिभाषा। अधिक पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई से आधे से भी कम है।

परिभाषा। नियमित चतुष्फलकएक चतुष्फलक जिसके चार फलक समबाहु त्रिभुज हैं। यह पांच नियमित बहुभुजों में से एक है। एक नियमित चतुष्फलक में, सभी द्विफलकीय कोण (फलकों के बीच) और त्रिफलक कोण (एक शीर्ष पर) बराबर होते हैं।

परिभाषा। आयताकार चतुष्फलकएक चतुष्फलक कहलाता है जिसके शीर्ष पर तीन किनारों के बीच एक समकोण होता है (किनारे लंबवत होते हैं)। तीन चेहरे बनते हैं आयताकार त्रिभुज कोणऔर फलक समकोण त्रिभुज हैं, और आधार एक मनमाना त्रिभुज है। किसी भी चेहरे का एपोटेम उस आधार के आधे हिस्से के बराबर होता है जिस पर एपोथेम गिरता है।

परिभाषा। आइसोहेड्रल टेट्राहेड्रोनएक चतुष्फलक कहलाता है जिसमें भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं, और आधार एक नियमित त्रिभुज होता है। ऐसे चतुष्फलक के फलक समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।

परिभाषा। ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रोनएक चतुष्फलक कहलाता है जिसमें ऊपर से विपरीत फलक तक कम की गई सभी ऊंचाईयां (लंबवत) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

परिभाषा। तारा पिरामिडएक बहुफलक जिसका आधार एक तारा होता है, कहलाता है।

परिभाषा। bipyramid- एक पॉलीहेड्रॉन जिसमें दो अलग-अलग पिरामिड होते हैं (पिरामिड को भी काटा जा सकता है), जिसमें एक सामान्य आधार होता है, और कोने बेस प्लेन के विपरीत किनारों पर स्थित होते हैं।

पिरामिड। छोटा पिरामिड

पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है, जिसका एक फलक बहुभुज होता है ( आधार ), और अन्य सभी फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज हैं ( साइड फेस ) (चित्र 15)। पिरामिड कहा जाता है सही , यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित है (चित्र 16)। एक त्रिभुजाकार पिरामिड जिसके सभी किनारे बराबर होते हैं, कहलाता है चतुर्पाश्वीय .

साइड रिबपिरामिड को पार्श्व फलक का वह भाग कहा जाता है जो आधार से संबंधित नहीं होता है कद पिरामिड इसके शीर्ष से आधार के तल तक की दूरी है। एक नियमित पिरामिड के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर होते हैं, सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं। शीर्ष से खींचे गए एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊंचाई कहलाती है एपोथेमा . विकर्ण खंड पिरामिड के एक खंड को दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाला समतल कहा जाता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं होते हैं।

पार्श्व सतह क्षेत्रपिरामिड को सभी पक्षों के फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहा जाता है। पूर्ण सतह क्षेत्र सभी भुजाओं के फलकों और आधार के क्षेत्रफलों का योग है।

प्रमेयों

1. यदि किसी पिरामिड के सभी किनारे आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार के निकट परिबद्ध वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

2. यदि किसी पिरामिड में सभी पार्श्व किनारों की लंबाई समान है, तो पिरामिड का शीर्ष आधार के निकट परिबद्ध वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

3. यदि पिरामिड में सभी फलक आधार के तल की ओर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

एक मनमाना पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, सूत्र सही है:

कहाँ पे वी- मात्रा;

एस मुख्य- आधार क्षेत्र;

एचपिरामिड की ऊंचाई है।

एक नियमित पिरामिड के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

कहाँ पे पी- आधार की परिधि;

एच ए- एपोथेम;

एच- कद;

एस पूर्ण

एस साइड

एस मुख्य- आधार क्षेत्र;

वीएक नियमित पिरामिड का आयतन है।

छोटा पिरामिडपिरामिड के आधार के समानांतर और काटने वाले विमान के बीच संलग्न पिरामिड के हिस्से को कहा जाता है (चित्र 17)। सही काटे गए पिरामिड एक नियमित पिरामिड का हिस्सा कहा जाता है, जो आधार और पिरामिड के आधार के समानांतर एक काटने वाले विमान के बीच संलग्न होता है।

नींवकाटे गए पिरामिड - समान बहुभुज। साइड फेस - ट्रेपोजॉइड। कद काटे गए पिरामिड को इसके आधारों के बीच की दूरी कहा जाता है। विकर्ण एक छोटा पिरामिड अपने शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड है जो एक ही चेहरे पर नहीं होता है। विकर्ण खंड काटे गए पिरामिड के एक खंड को दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाला समतल कहा जाता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं होते हैं।

काटे गए पिरामिड के लिए, सूत्र मान्य हैं:

(4)

कहाँ पे एस 1 , एस 2 - ऊपरी और निचले ठिकानों के क्षेत्र;

एस पूर्णकुल सतह क्षेत्र है;

एस साइडपार्श्व सतह क्षेत्र है;

एच- कद;

वीकाटे गए पिरामिड का आयतन है।

नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के लिए, निम्न सूत्र सत्य है:

कहाँ पे पी 1 , पी 2 - आधार परिधि;

एच ए- एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का एपोथेम।

उदाहरण 1एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड में, आधार पर विकर्ण कोण 60º है। आधार के तल के किनारे के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा का पता लगाएं।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 18)।

पिरामिड नियमित है, जिसका अर्थ है कि आधार एक समबाहु त्रिभुज है और सभी भुजाएँ समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं। आधार पर डायहेड्रल कोण पिरामिड के पार्श्व चेहरे के आधार के तल के झुकाव का कोण है। रैखिक कोण कोण होगा एकदो लंबवत के बीच: यानी। पिरामिड के शीर्ष को त्रिभुज के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है (परिचालित वृत्त का केंद्र और त्रिभुज में खुदा हुआ वृत्त) एबीसी) पार्श्व पसली के झुकाव का कोण (उदाहरण के लिए एसबी) आधार तल पर किनारे और उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण है। रिब के लिए एसबीयह कोण कोण होगा एसबीडी. स्पर्शरेखा को खोजने के लिए आपको पैरों को जानना होगा इसलिएतथा ओबी. माना खंड की लंबाई बीडी 3 . है एक. दूरसंचार विभाग हेरेखा खंड बीडीभागों में विभाजित है: और से हम पाते हैं इसलिए: से हम पाते हैं:

उत्तर:

उदाहरण 2एक नियमित रूप से काटे गए चतुर्भुज पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए यदि इसके आधारों के विकर्ण सेमी और सेमी हैं और ऊंचाई 4 सेमी है।

समाधान।काटे गए पिरामिड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं। आधारों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उनके विकर्णों को जानकर, आधार वर्गों की भुजाएँ ज्ञात करनी होंगी। आधारों की भुजाएँ क्रमशः 2 सेमी और 8 सेमी हैं। इसका मतलब है कि आधारों के क्षेत्र और सभी डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम काटे गए पिरामिड की मात्रा की गणना करते हैं:

उत्तर: 112 सेमी3.

उदाहरण 3एक नियमित त्रिभुजाकार काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी आधार भुजाएँ 10 सेमी और 4 सेमी हैं, और पिरामिड की ऊँचाई 2 सेमी है।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 19)।

इस पिरामिड का पार्श्व फलक एक समद्विबाहु समलंब है। एक ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको आधारों और ऊंचाई को जानना होगा। आधार शर्त द्वारा दिए गए हैं, केवल ऊंचाई अज्ञात रहती है। इसे कहां से खोजें लेकिन 1 इएक बिंदु से लंबवत लेकिन 1 निचले आधार के तल पर, ए 1 डी- से लंबवत लेकिन 1 पर एसी. लेकिन 1 इ\u003d 2 सेमी, क्योंकि यह पिरामिड की ऊंचाई है। खोजने के लिए डेहम एक अतिरिक्त चित्र बनाएंगे, जिसमें हम एक शीर्ष दृश्य (चित्र 20) को चित्रित करेंगे। दूरसंचार विभाग हे- ऊपरी और निचले आधारों के केंद्रों का प्रक्षेपण। चूंकि (चित्र 20 देखें) और दूसरी ओर ठीक हैखुदा हुआ वृत्त की त्रिज्या है और ओएमउत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या है:

एमके = डीई.

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

पार्श्व चेहरा क्षेत्र:

उत्तर:

उदाहरण 4पिरामिड के आधार पर एक समद्विबाहु समलम्बाकार होता है, जिसके आधार होते हैं एकतथा बी (एक> बी) प्रत्येक भुजा का फलक पिरामिड के आधार के तल के बराबर कोण बनाता है जे. पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 21)। पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल एसएबीसीडीसमलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल और क्षेत्रफल के योग के बराबर है ए बी सी डी.

आइए हम इस कथन का उपयोग करें कि यदि पिरामिड के सभी फलक आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो शीर्ष को आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है। दूरसंचार विभाग हे- शीर्ष प्रक्षेपण एसपिरामिड के आधार पर। त्रिकोण एसओडीत्रिभुज का लंबकोणीय प्रक्षेपण है क्रिस्टोफ़र स्ट्रीट डेबेस प्लेन को। एक सपाट आकृति के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:

इसी प्रकार, इसका अर्थ है इस प्रकार, समलम्बाकार क्षेत्र का पता लगाने में समस्या कम हो गई ए बी सी डी. एक ट्रेपोजॉइड ड्रा करें ए बी सी डीअलग से (चित्र 22)। दूरसंचार विभाग हेएक समलम्ब चतुर्भुज में उत्कीर्ण एक वृत्त का केंद्र है।

चूँकि एक वृत्त को एक समलम्ब में अंकित किया जा सकता है, तो या From, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, हमारे पास है