Δίκτυο αποχέτευσης

Υπέροχα σημεία τριγώνου. Τέσσερα υπέροχα σημεία τριγώνου 4 υπέροχα σημεία τριγώνου ορισμοί

Το μάθημα της γεωμετρίας στην 8η τάξη αναπτύσσεται με βάση το μοντέλο μάθησης θέσης.

Στόχοι μαθήματος:

Η μελέτη του θεωρητικού υλικού με θέμα "Τέσσερα υπέροχα σημεία του τριγώνου"?
Ανάπτυξη της σκέψης, της λογικής, του λόγου, της φαντασίας των μαθητών, της ικανότητας ανάλυσης και αξιολόγησης της εργασίας.
Ανάπτυξη δεξιοτήτων ομαδικής εργασίας.
Αναπτύσσοντας το αίσθημα ευθύνης για την ποιότητα και το αποτέλεσμα της εργασίας που εκτελείται.

Εξοπλισμός:

κάρτες με ονόματα ομάδων.
κάρτες εργασιών για κάθε ομάδα.
Χαρτί Α-4 για την καταγραφή των αποτελεσμάτων της εργασίας των ομάδων.
επίγραφο γραμμένο στον πίνακα.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

1. Οργανωτική στιγμή.

2. Καθορισμός των στόχων και του θέματος του μαθήματος.

Ιστορικά, η γεωμετρία ξεκίνησε με ένα τρίγωνο, έτσι για δυόμισι χιλιετίες το τρίγωνο ήταν σύμβολο της γεωμετρίας. Η σχολική γεωμετρία μπορεί μόνο να γίνει ενδιαφέρουσα και ουσιαστική, μόνο τότε μπορεί να γίνει σωστή γεωμετρία, όταν εμφανιστεί σε αυτήν μια βαθιά και περιεκτική μελέτη του τριγώνου. Παραδόξως, το τρίγωνο, παρά τη φαινομενική του απλότητα, είναι ένα ανεξάντλητο αντικείμενο μελέτης - κανείς, ακόμη και στην εποχή μας, δεν τολμά να πει ότι έχει μελετήσει και γνωρίζει όλες τις ιδιότητες ενός τριγώνου.

Ποιος δεν έχει ακούσει για το Τρίγωνο των Βερμούδων, όπου πλοία και αεροπλάνα εξαφανίζονται χωρίς ίχνος; Αλλά το ίδιο το τρίγωνο είναι γεμάτο με πολλά ενδιαφέροντα και μυστηριώδη πράγματα.

Την κεντρική θέση του τριγώνου καταλαμβάνουν τα λεγόμενα αξιόλογα σημεία.

Νομίζω ότι στο τέλος του μαθήματος θα μπορείτε να πείτε γιατί τα σημεία λέγονται υπέροχα και αν είναι έτσι.

Ποιο είναι το θέμα του μαθήματός μας; «Τέσσερα αξιόλογα σημεία του τριγώνου». Τα λόγια του K. Weierstrass μπορούν να χρησιμεύσουν ως επίγραμμα στο μάθημα: «Ένας μαθηματικός που δεν είναι εν μέρει ποιητής δεν θα επιτύχει ποτέ την τελειότητα στα μαθηματικά» (η επίγραφη είναι γραμμένη στον πίνακα).

Κοιτάξτε τη διατύπωση του θέματος του μαθήματος, την επίγραμμα και προσπαθήστε να προσδιορίσετε τους στόχους της εργασίας σας στο μάθημα. Στο τέλος του μαθήματος, θα ελέγξουμε πώς τα ολοκληρώσατε.

3. Ανεξάρτητη εργασία των μαθητών.

Προετοιμασία για ανεξάρτητη εργασία

Για να εργαστείτε στο μάθημα, πρέπει να επιλέξετε μία από τις έξι ομάδες: "Θεωρητικοί", "Δημιουργικότητα", "Λογικοί-κατασκευαστές", "Εργαζόμενοι", "Ιστορικοί", "Εμπειρογνώμονες".

ενημέρωση

Κάθε ομάδα λαμβάνει κάρτες εργασιών. Εάν η εργασία δεν είναι ξεκάθαρη, ο δάσκαλος δίνει επιπλέον εξηγήσεις.

«Θεωρητικοί»

Εργασία: ορίστε τις βασικές έννοιες που είναι απαραίτητες κατά τη μελέτη του θέματος "Τέσσερα αξιόλογα σημεία ενός τριγώνου" (ύψος τριγώνου, διάμεσος τριγώνου, διχοτόμος τριγώνου, κάθετη διχοτόμος, εγγεγραμμένος κύκλος, περιγεγραμμένος κύκλος), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το σχολικό βιβλίο ; γράψτε τις κύριες έννοιες σε ένα κομμάτι χαρτί.

"ιστορικοί"

διχοτόμους κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου κάθετες το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. Τα Στοιχεία δεν λένε ότι τα τρία ύψητρίγωνα τέμνονται σε ένα σημείο που ονομάζεται ορθόκεντρο διάμεσοι κέντρο βαρύτητας

Στη δεκαετία του 20 του XIX αιώνα. Οι Γάλλοι μαθηματικοί J. Poncelet, Ch. Brianchon και άλλοι καθιέρωσαν ανεξάρτητα το ακόλουθο θεώρημα: οι βάσεις των διάμεσων, οι βάσεις των υψών και τα μέσα των τμημάτων των υψών που συνδέουν το ορθόκεντρο με τις κορυφές του τριγώνου βρίσκονται στο ίδιο κύκλος.

Αυτός ο κύκλος ονομάζεται «κύκλος των εννέα σημείων», ή «κύκλος του Φόιερμπαχ», ή «κύκλος του Όιλερ». Ο K. Feuerbach βρήκε ότι το κέντρο αυτού του κύκλου βρίσκεται στη «γραμμή Euler».

Εργασία: αναλύστε το άρθρο και συμπληρώστε τον πίνακα που αντικατοπτρίζει το υλικό που μελετήθηκε.

	Όνομα σημείου		Αυτό που διασταυρώνεται

"Δημιουργία"

Εργασία: βρείτε έναν σύντροφο με το θέμα "Τέσσερα υπέροχα σημεία ενός τριγώνου" (για παράδειγμα, ένα τρίγωνο, ένα σημείο, μια διάμεσος κ.λπ.)

Κανόνας για τη γραφή cinquain:

Στην πρώτη γραμμή, το θέμα ονομάζεται με μία λέξη (συνήθως ουσιαστικό).

Η δεύτερη γραμμή είναι μια περιγραφή του θέματος με λίγα λόγια (2 επίθετα).

Η τρίτη γραμμή είναι μια περιγραφή της δράσης στο πλαίσιο αυτού του θέματος με τρεις λέξεις (ρήματα, μετοχές).

Η τέταρτη γραμμή είναι μια φράση 4 λέξεων που δείχνει τη στάση απέναντι στο θέμα.

Η τελευταία γραμμή είναι ένα μονολεκτικό συνώνυμο (μεταφορά) που επαναλαμβάνει την ουσία του θέματος.

"κατασκευαστές λογικής"

Η διάμεσος ενός τριγώνου είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει οποιαδήποτε κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. Κάθε τρίγωνο έχει τρεις διάμεσους.

Διχοτόμος είναι ένα τμήμα της διχοτόμου οποιασδήποτε γωνίας από την κορυφή έως την τομή με την απέναντι πλευρά. Κάθε τρίγωνο έχει τρεις διχοτόμους.

Το ύψος ενός τριγώνου είναι η κάθετη που πέφτει από οποιαδήποτε κορυφή του τριγώνου προς την απέναντι πλευρά ή την προέκτασή του. Κάθε τρίγωνο έχει τρία υψόμετρα.

Η διάμεσος κάθετη σε ένα τμήμα είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από το μέσο του δεδομένου τμήματος και είναι κάθετη σε αυτό. Κάθε τρίγωνο έχει τρεις κάθετες διχοτόμους.

Εργασία: Χρησιμοποιώντας τριγωνικά φύλλα χαρτιού, κατασκευάστε λυγίζοντας τα σημεία τομής των διαμέσου, των υψών, των διχοτόμων, των μεσαίων καθέτων. Εξηγήστε το σε όλη την τάξη.

"Πρακτικές"

Στο τέταρτο βιβλίο των «Αρχών», ο Ευκλείδης λύνει το πρόβλημα «Εγγράψτε έναν κύκλο σε ένα δεδομένο τρίγωνο». Από τη λύση προκύπτει ότι τρεις διχοτόμουςοι εσωτερικές γωνίες ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου. Από τη λύση ενός άλλου προβλήματος του Ευκλείδη, προκύπτει ότι κάθετες, που έχουν αποκατασταθεί στις πλευρές του τριγώνου στα μέσα τους, τέμνονται επίσης σε ένα σημείο - το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. Τα Στοιχεία δεν λένε ότι τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο, καλούμενο ορθόκεντρο(Η ελληνική λέξη «όρθος» σημαίνει ευθεία, δεξιά). Η πρόταση αυτή ήταν όμως γνωστή στον Αρχιμήδη, τον Πάππο, τον Πρόκλο. Το τέταρτο ενικό σημείο του τριγώνου είναι το σημείο τομής διάμεσοι. Ο Αρχιμήδης απέδειξε ότι είναι κέντρο βαρύτητας(βαρύκεντρο) του τριγώνου. Τα παραπάνω τέσσερα σημεία έχουν λάβει ιδιαίτερη προσοχή από τον 18ο αιώνα. Έχουν ονομαστεί «αξιοσημείωτα» ή «ενικά σημεία του τριγώνου».

Η μελέτη των ιδιοτήτων ενός τριγώνου που σχετίζεται με αυτά και άλλα σημεία χρησίμευσε ως η αρχή για τη δημιουργία ενός νέου κλάδου των στοιχειωδών μαθηματικών - τη "γεωμετρία ενός τριγώνου" ή τη "νέα γεωμετρία ενός τριγώνου", ένα από τα ιδρυτής του οποίου ήταν ο Leonhard Euler.

Εργασία: αναλύστε το προτεινόμενο υλικό και δημιουργήστε ένα διάγραμμα που αντικατοπτρίζει τις σημασιολογικές σχέσεις μεταξύ των ενοτήτων, εξηγήστε το, σχεδιάστε το σε ένα κομμάτι χαρτί και σχεδιάστε το στον πίνακα.

Αξιοσημείωτα σημεία του τριγώνου

1.____________ 2.___________ 3.______________ 4.____________

Σχέδιο 1 Σχέδιο 2 Σχέδιο 3 Σχέδιο 4

____________ ___________ ______________ ____________

(εξήγηση)

"Ειδικοί"

Εργασία: φτιάξτε έναν πίνακα στον οποίο αξιολογείτε την εργασία κάθε ομάδας, επιλέξτε τις παραμέτρους με τις οποίες θα αξιολογήσετε την εργασία των ομάδων, καθορίστε τα σημεία.

Οι παράμετροι μπορεί να είναι οι εξής: η συμμετοχή κάθε μαθητή στις εργασίες της ομάδας του, συμμετοχή στην άμυνα, ενδιαφέρουσα παρουσίαση του υλικού, παρουσιάζεται οπτικοποίηση κ.λπ.

Στην παρουσίασή σας, θα πρέπει να σημειώσετε τα θετικά και αρνητικά σημεία στις δραστηριότητες κάθε ομάδας.

4. Απόδοση ομάδων.(για 2-3 λεπτά)

Τα αποτελέσματα της εργασίας αναρτώνται στον πίνακα

5. Συνοψίζοντας το μάθημα.

Δείτε τους στόχους που διατυπώσατε στην αρχή του μαθήματος. Κατάφερες να ολοκληρώσεις τα πάντα;

Συμφωνείτε με την επιγραφή που επιλέχθηκε για το σημερινό μάθημα;

6. Εργασία για το σπίτι.

1) Βεβαιωθείτε ότι το τρίγωνο, που στηρίζεται στην άκρη της βελόνας σε ένα συγκεκριμένο σημείο, είναι σε ισορροπία χρησιμοποιώντας το υλικό του σημερινού μαθήματος.

2) Σχεδιάστε σε διαφορετικά τρίγωνα και τα 4 υπέροχα σημεία.

Ας αποδείξουμε πρώτα το θεώρημα της διχοτόμου γωνίας.

Θεώρημα

Απόδειξη

1) Πάρτε ένα αυθαίρετο σημείο Μ στη διχοτόμο της γωνίας BAC, σχεδιάστε τις κάθετες MK και ML στις ευθείες AB και AC και αποδείξτε ότι MK = ML (Εικ. 224). Θεωρήστε τα ορθογώνια τρίγωνα AM K και AML. Είναι ίσα σε υπότεινουσα και οξεία γωνία (AM - κοινή υποτείνουσα, ∠1 = ∠2 κατά συνθήκη). Επομένως, MK = ML.

2) Έστω το σημείο Μ να βρίσκεται μέσα στη γωνία BAC και να έχει ίση απόσταση από τις πλευρές του AB και AC. Ας αποδείξουμε ότι η ακτίνα AM είναι η διχοτόμος της γωνίας BAC (βλ. Εικ. 224). Σχεδιάστε τις κάθετες MK και ML σε ευθείες γραμμές AB και AC. Τα ορθογώνια τρίγωνα AMK και AML είναι ίσα σε υπότενουσα και σκέλος (AM - κοινή υποτείνουσα, MK = ML κατά συνθήκη). Επομένως, ∠1 = ∠2. Αυτό όμως σημαίνει ότι η ακτίνα AM είναι η διχοτόμος της γωνίας BAC. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Ρύζι. 224

Συμπέρασμα 1

Συνέπεια 2

Πράγματι, ας υποδηλώσουμε με το γράμμα Ο το σημείο τομής των διχοτόμων AA 1 και BB 1 του τριγώνου ABC και ας σχεδιάσουμε από αυτό το σημείο τις κάθετες OK, OL και OM, αντίστοιχα, στις ευθείες AB, BC και CA (Εικ. . 225). Με το αποδεδειγμένο θεώρημα OK = OM και OK = OL. Επομένως, OM \u003d OL, δηλ., το σημείο O απέχει ίση από τις πλευρές της γωνίας ACB και, επομένως, βρίσκεται στη διχοτόμο CC 1 αυτής της γωνίας. Κατά συνέπεια, και οι τρεις διχοτόμοι του τριγώνου ABC τέμνονται στο σημείο Ο, το οποίο επρόκειτο να αποδειχθεί.

Ρύζι. 225

Ιδιότητες της κάθετης διχοτόμου σε ευθύγραμμο τμήμα

Η κάθετη διχοτόμος ενός τμήματος είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από το μέσο του δεδομένου τμήματος και είναι κάθετη σε αυτό.

Ρύζι. 226

Ας αποδείξουμε το θεώρημα για τη διχοτόμο σε ένα τμήμα.

Θεώρημα

Απόδειξη

Έστω η ευθεία m η μεσοκάθετος στο τμήμα ΑΒ, το σημείο Ο είναι το μέσο αυτού του τμήματος (Εικ. 227, α).

Ρύζι. 227

1) Θεωρήστε ένα αυθαίρετο σημείο Μ της ευθείας m και αποδείξτε ότι ΑΜ = VM. Αν το σημείο Μ συμπίπτει με το σημείο Ο, τότε αυτή η ισότητα είναι αληθής, αφού το Ο είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ. Έστω Μ και Ω διακριτά σημεία. Τα ορθογώνια τρίγωνα OAM και OBM είναι ίσα σε δύο σκέλη (OA = OB, OM - κοινό σκέλος), επομένως AM = VM.

2) Θεωρήστε ένα αυθαίρετο σημείο N, σε ίση απόσταση από τα άκρα του τμήματος ΑΒ, και να αποδείξετε ότι το σημείο N βρίσκεται στην ευθεία m. Αν το Ν είναι σημείο της ευθείας ΑΒ, τότε συμπίπτει με το μέσο Ο του τμήματος ΑΒ και επομένως βρίσκεται στην ευθεία m. Εάν το σημείο N δεν βρίσκεται στην ευθεία AB, τότε το τρίγωνο ANB είναι ισοσκελές, αφού AN \u003d BN (Εικ. 227, β). Το τμήμα ΝΟ είναι η διάμεσος αυτού του τριγώνου και επομένως το ύψος. Έτσι, NO ⊥ AB· επομένως, οι ευθείες ON και m συμπίπτουν, δηλ., το N είναι ένα σημείο της ευθείας m. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Συμπέρασμα 1

Συνέπεια 2

Για να αποδείξετε αυτή τη δήλωση, θεωρήστε τις μεσαίες κάθετες m και n στις πλευρές AB και BC του τριγώνου ABC (Εικ. 228). Αυτές οι ευθείες τέμνονται σε κάποιο σημείο Ο. Πράγματι, αν υποθέσουμε το αντίθετο, δηλαδή ότι m || n, τότε η ευθεία BA, που είναι κάθετη στην ευθεία m, θα ήταν επίσης κάθετη στην ευθεία n παράλληλη σε αυτήν, και στη συνέχεια δύο ευθείες BA και BC, κάθετες στην ευθεία n, θα διέρχονταν από το σημείο Β, κάτι που είναι αδύνατο .

Ρύζι. 228

Σύμφωνα με το αποδεδειγμένο θεώρημα, ΟΒ = ΟΑ και ΟΒ = ΟΣ. Επομένως, OA \u003d OC, δηλαδή, το σημείο O απέχει ίση από τα άκρα του τμήματος AC και, επομένως, βρίσκεται στην κάθετη διχοτόμο p σε αυτό το τμήμα. Επομένως, και οι τρεις κάθετες διχοτόμοι m, n και p στις πλευρές του τριγώνου ABC τέμνονται στο σημείο O.

Θεώρημα τομής τριγώνου

Αποδείξαμε ότι οι διχοτόμοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο, οι κάθετες με τις πλευρές του τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο. Νωρίτερα αποδείχθηκε ότι οι διάμεσοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο (ενότητα 64). Αποδεικνύεται ότι τα ύψη ενός τριγώνου έχουν παρόμοια ιδιότητα.

Θεώρημα

Απόδειξη

Θεωρήστε ένα αυθαίρετο τρίγωνο ABC και αποδείξτε ότι οι ευθείες AA 1 BB 1 και CC 1 που περιέχουν τα ύψη του τέμνονται σε ένα σημείο (Εικ. 229).

Ρύζι. 229

Σχεδιάστε μια ευθεία σε κάθε κορυφή του τριγώνου ABC παράλληλη στην απέναντι πλευρά. Παίρνουμε ένα τρίγωνο A 2 B 2 C 2. Τα σημεία Α, Β και Γ είναι τα μέσα των πλευρών αυτού του τριγώνου. Πράγματι, AB \u003d A 2 C και AB \u003d CB 2 ως απέναντι πλευρές των παραλληλογραμμών ABA 2 C και ABCB 2, επομένως A 2 C \u003d CB 2. Ομοίως, C 2 A \u003d AB 2 και C 2 B \u003d BA 2. Επιπλέον, όπως προκύπτει από την κατασκευή, CC 1 ⊥ A 2 B 2 , AA 1 ⊥ B 2 C 2 και BB 1 ⊥ A 2 C 2 . Έτσι, οι ευθείες AA 1, BB 1 και CC 1 είναι κάθετες διχοτόμοι στις πλευρές του τριγώνου A 2 B 2 C 2. Επομένως, τέμνονται σε ένα σημείο. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Έτσι, τέσσερα σημεία συνδέονται με κάθε τρίγωνο: το σημείο τομής των διαμέσου, το σημείο τομής των διχοτόμων, το σημείο τομής των κάθετων με τις πλευρές και το σημείο τομής των υψών (ή οι προεκτάσεις τους ). Αυτά τα τέσσερα σημεία λέγονται υπέροχα σημεία του τριγώνου.

Καθήκοντα

674. Από το σημείο Μ της διχοτόμου της μη διογκωμένης γωνίας Ο σύρονται οι κάθετοι ΜΑ και ΜΒ στις πλευρές αυτής της γωνίας. Αποδείξτε ότι AB ⊥ OM.

675. Οι πλευρές της γωνίας Ο αγγίζουν καθέναν από δύο κύκλους που έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο Α. Να αποδείξετε ότι τα κέντρα αυτών των κύκλων βρίσκονται στην ευθεία Ο Α.

676. Οι πλευρές της γωνίας Α εφάπτονται σε κύκλο με κέντρο Ο ακτίνας r. Βρείτε: α) ΟΑ, αν r = 5 cm, ∠A = 60°; β) d, αν ΟΑ = 14 dm, ∠A = 90°.

677. Διχοτόμοι εξωτερικών γωνιών στις κορυφές Β και Γ του τριγώνου ΑΒΓ τέμνονται στο σημείο Ο. Να αποδείξετε ότι το σημείο Ο είναι το κέντρο ενός κύκλου που εφάπτεται στις ευθείες AB, BC, AC.

678. Οι διχοτόμοι AA 1 και BB 1 του τριγώνου ABC τέμνονται στο σημείο M. Να βρείτε τις γωνίες ACM και BCM αν: α) ∠AMB = 136°; β) ∠AMB = 111°.

679. Η διχοτόμος προς την πλευρά BC του τριγώνου ABC τέμνει την πλευρά AC στο σημείο D. Βρείτε: α) AD και CD, αν BD = 5 cm, Ac = 8,5 cm; β) AC, εάν BD = 11,4 cm, AD = 3,2 cm.

680. Οι κάθετες διχοτόμοι στις πλευρές AB και AC του τριγώνου ABC τέμνονται στο σημείο D της πλευράς BC. Να αποδείξετε ότι: α) το σημείο D είναι το μέσο της πλευράς BC. β) ∠A - ∠B + ∠C.

681. Η διχοτόμος προς την πλευρά ΑΒ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ τέμνει την πλευρά ΒΓ στο σημείο Ε. Να βρείτε τη βάση AC αν η περίμετρος του τριγώνου ΑΕΚ είναι 27 cm και ΑΒ = 18 cm.

682. Ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒΔ έχουν κοινά σημείαΑΒ. Να αποδείξετε ότι η ευθεία CD διέρχεται από το μέσο του τμήματος ΑΒ.

683. Να αποδείξετε ότι αν οι πλευρές ΑΒ και AC σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ δεν είναι ίσες, τότε η διάμεσος ΑΜ του τριγώνου δεν είναι υψόμετρο.

684. Οι διχοτόμοι γωνίας στη βάση ΑΒ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ τέμνονται στο σημείο Μ. Να αποδείξετε ότι η ευθεία CM είναι κάθετη στην ευθεία ΑΒ.

685. Τα ύψη AA 1 και BB 1 ενός ισοσκελούς τριγώνου ABC που έχει τραβηχτεί στις πλευρές τέμνονται στο σημείο M. Να αποδείξετε ότι η ευθεία MC είναι η κάθετη διχοτόμος στο τμήμα ΑΒ.

686. Κατασκευάστε τη μεσοκάθετο στο δεδομένο τμήμα.

Λύση

Έστω ΑΒ το δεδομένο τμήμα. Ας φτιάξουμε δύο κύκλους με κέντρα στα σημεία Α και Β ακτίνας ΑΒ (Εικ. 230). Αυτοί οι κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία M 1 και M 2 . Τα τμήματα AM 1 , AM 2 , VM 1 , VM 2 είναι ίσα μεταξύ τους ως οι ακτίνες αυτών των κύκλων.

Ρύζι. 230

Ας τραβήξουμε μια ευθεία γραμμή M 1 M 2. Είναι η απαιτούμενη διχοτόμος στο τμήμα ΑΒ. Πράγματι, τα σημεία M 1 και M 2 απέχουν ίσα από τα άκρα του τμήματος ΑΒ, επομένως βρίσκονται στη μεσοκάθετο σε αυτό το τμήμα. Επομένως, η ευθεία M 1 M 2 είναι η μεσοκάθετος στο τμήμα AB.

687. Δίνεται ευθεία α και δύο σημεία Α και Β που βρίσκονται στην ίδια πλευρά αυτής της ευθείας. Στην ευθεία α, να κατασκευάσετε ένα σημείο Μ, σε ίση απόσταση από τα σημεία Α έως Β.

688. Δίνονται γωνία και τμήμα. Κατασκευάστε ένα σημείο μέσα στη δεδομένη γωνία, σε ίση απόσταση από τις πλευρές της και ίση απόσταση από τα άκρα του δεδομένου τμήματος.

Απαντήσεις σε εργασίες

674. Οδηγία. Πρώτα να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ισοσκελές.

676. α) 10 cm; β) 7√2 dm.

678. α) 46° και 46°; β) 21° και 21°.

679. α) AB = 3,5 cm, CD = 5 cm; β) AC = 14,6 cm.

683. Οδηγία. Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο της απόδειξης με αντίφαση.

687. Οδηγία. Χρησιμοποιήστε το θεώρημα του στοιχείου 75.

688. Οδηγία. Σημειώστε ότι το επιθυμητό σημείο βρίσκεται στη διχοτόμο της δεδομένης γωνίας.

1 Δηλαδή, έχει ίση απόσταση από τις γραμμές που περιέχουν τις πλευρές της γωνίας.

Υπάρχουν τα λεγόμενα τέσσερα αξιοσημείωτα σημεία σε ένα τρίγωνο: το σημείο τομής των διάμεσων. Το σημείο τομής των διχοτόμων, το σημείο τομής των υψών και το σημείο τομής των κάθετων διχοτόμων. Ας εξετάσουμε το καθένα από αυτά.

Σημείο τομής των διάμεσων τριγώνου

Θεώρημα 1

Στην τομή των διαμέτρων ενός τριγώνου: Οι διάμεσοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο και διαιρούν το σημείο τομής σε αναλογία $2:1$ ξεκινώντας από την κορυφή.

Απόδειξη.

Εξετάστε το τρίγωνο $ABC$, όπου $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ είναι η διάμεσος του. Δεδομένου ότι οι διάμεσοι χωρίζουν τις πλευρές στη μέση. Εξετάστε τη μεσαία γραμμή $A_1B_1$ (Εικ. 1).

Εικόνα 1. Μέσος τριγώνου

Από το Θεώρημα 1, $AB||A_1B_1$ και $AB=2A_1B_1$, επομένως $\γωνία ABB_1=\γωνία BB_1A_1,\ \γωνία BAA_1=\γωνία AA_1B_1$. Επομένως, τα τρίγωνα $ABM$ και $A_1B_1M$ είναι παρόμοια σύμφωνα με το πρώτο κριτήριο ομοιότητας τριγώνου. Επειτα

Ομοίως, αποδεικνύεται ότι

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Σημείο τομής των διχοτόμων τριγώνου

Θεώρημα 2

Στην τομή των διχοτόμων ενός τριγώνου: Οι διχοτόμοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο.

Απόδειξη.

Εξετάστε το τρίγωνο $ABC$, όπου $AM,\ BP,\ CK$ είναι οι διχοτόμοι του. Έστω το σημείο $O$ το σημείο τομής των διχοτόμων $AM\ και\ BP$. Σχεδιάστε από αυτό το σημείο κάθετα στις πλευρές του τριγώνου (Εικ. 2).

Εικόνα 2. Διχοτόμοι τριγώνου

Θεώρημα 3

Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας μη διογκωμένης γωνίας απέχει από τις πλευρές του ίση απόσταση.

Με το Θεώρημα 3, έχουμε: $OX=OZ,\ OX=OY$. Εξ ου και $OY=OZ$. Επομένως, το σημείο $O$ απέχει ίση από τις πλευρές της γωνίας $ACB$ και επομένως βρίσκεται στη διχοτόμο του $CK$.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Σημείο τομής των κάθετων διχοτόμων τριγώνου

Θεώρημα 4

Οι κάθετες διχοτόμοι των πλευρών ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο.

Απόδειξη.

Έστω ένα τρίγωνο $ABC$, $n,\ m,\ p$ οι κάθετες του. Έστω το σημείο $O$ το σημείο τομής των κάθετων διχοτόμων $n\ και\ m$ (Εικ. 3).

Σχήμα 3. Κάθετες διχοτόμοι τριγώνου

Για την απόδειξη χρειαζόμαστε το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα 5

Κάθε σημείο της διχοτόμου σε ένα τμήμα έχει ίση απόσταση από τα άκρα του δεδομένου τμήματος.

Με το Θεώρημα 3, έχουμε: $OB=OC,\ OB=OA$. Επομένως $OA=OC$. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο $O$ απέχει ίση από τα άκρα του τμήματος $AC$ και, επομένως, βρίσκεται στη μεσοκάθετο του $p$.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Το σημείο τομής των υψομέτρων του τριγώνου

Θεώρημα 6

Τα ύψη ενός τριγώνου ή οι προεκτάσεις τους τέμνονται σε ένα σημείο.

Απόδειξη.

Θεωρήστε το τρίγωνο $ABC$, όπου $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ είναι το ύψος του. Σχεδιάστε μια γραμμή σε κάθε κορυφή του τριγώνου παράλληλη προς την πλευρά απέναντι από την κορυφή. Παίρνουμε ένα νέο τρίγωνο $A_2B_2C_2$ (Εικ. 4).

Εικόνα 4. Ύψη τριγώνου

Εφόσον τα $AC_2BC$ και $B_2ABC$ είναι παραλληλόγραμμα με κοινή πλευρά, τότε το $AC_2=AB_2$, δηλαδή, το σημείο $A$ είναι το μέσο της πλευράς $C_2B_2$. Ομοίως, παίρνουμε ότι το σημείο $B$ είναι το μέσο της πλευράς $C_2A_2$ και το σημείο $C$ είναι το μέσο της πλευράς $A_2B_2$. Από την κατασκευή έχουμε ότι $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Επομένως $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ είναι οι κάθετες διχοτόμοι του τριγώνου $A_2B_2C_2$. Στη συνέχεια, με το Θεώρημα 4, έχουμε ότι τα ύψη $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ τέμνονται σε ένα σημείο.

Σημείο τομής των διαμέσων τριγώνου Σημείο τομής των διχοτόμων τριγώνου Σημείο τομής των υψομέτρων τριγώνου Σημείο τομής των διχοτόμων τριγώνου

Η διάμεσος (BD) ενός τριγώνου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει την κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. A B C D Διάμεσος

Οι διάμεσοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο (το κέντρο βάρους του τριγώνου) και διαιρούνται με αυτό το σημείο σε αναλογία 2: 1, μετρώντας από την κορυφή. AM:MA 1 = VM:MV 1 = SM:MS 1 = 2:1. A A 1 B B 1 M C C 1

Η διχοτόμος (A D) ενός τριγώνου είναι το τμήμα της διχοτόμου της εσωτερικής γωνίας του τριγώνου.

Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας ξεδιπλωμένης γωνίας έχει ίση απόσταση από τις πλευρές του. Αντίθετα, κάθε σημείο που βρίσκεται μέσα σε μια γωνία και ίση απόσταση από τις πλευρές της γωνίας βρίσκεται στη διχοτόμο του. Α Μ Β Γ

Όλες οι διχοτόμοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο - το κέντρο του κύκλου που εγγράφεται στο τρίγωνο. C B 1 M A B A 1 C 1 O Η ακτίνα του κύκλου (OM) είναι κάθετη που πέφτει από το κέντρο (t.O) προς την πλευρά του τριγώνου

ΥΨΟΣ Το ύψος (C D) ενός τριγώνου είναι το τμήμα της κάθετου που πέφτει από την κορυφή του τριγώνου στην ευθεία που περιέχει την απέναντι πλευρά. Α Β Γ Δ

Τα ύψη ενός τριγώνου (ή οι προεκτάσεις τους) τέμνονται σε ένα σημείο. A A 1 B B 1 C C 1

ΜΕΣΗ ΚΑΘΕΤΟΣ Η κάθετη διχοτόμος (DF) είναι μια ευθεία κάθετη σε μια πλευρά ενός τριγώνου και τη διαιρεί στο μισό. A D F B C

A M B m O Κάθε σημείο της κάθετης διχοτόμου (m) σε ένα τμήμα έχει ίση απόσταση από τα άκρα αυτού του τμήματος. Αντίστροφα, κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος βρίσκεται στη μεσοκάθετο σε αυτό.

Όλες οι κάθετες διχοτόμοι των πλευρών ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο - το κέντρο του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από το τρίγωνο. A B C O Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου είναι η απόσταση από το κέντρο του κύκλου σε οποιαδήποτε κορυφή του τριγώνου (ΟΑ). m n p

Εργασίες μαθητή Χρησιμοποιήστε μια πυξίδα και μια ευθεία για να κατασκευάσετε έναν κύκλο εγγεγραμμένο σε ένα αμβλύ τρίγωνο. Για να το κάνετε αυτό: Κατασκευάστε τις διχοτόμους ενός αμβλυγώνιου τριγώνου χρησιμοποιώντας μια πυξίδα και μια ευθεία. Το σημείο τομής των διχοτόμων είναι το κέντρο του κύκλου. Κατασκευάστε την ακτίνα του κύκλου: την κάθετη από το κέντρο του κύκλου στην πλευρά του τριγώνου. Κατασκευάστε έναν κύκλο εγγεγραμμένο σε τρίγωνο.

2. Χρησιμοποιήστε μια πυξίδα και μια ευθεία για να κατασκευάσετε έναν κύκλο που περιβάλλεται από αμβλύ τρίγωνο. Για να το κάνετε αυτό: Κατασκευάστε τις κάθετες διχοτόμους στις πλευρές ενός αμβλείας τριγώνου. Το σημείο τομής αυτών των καθέτων είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. Η ακτίνα ενός κύκλου είναι η απόσταση από το κέντρο σε οποιαδήποτε κορυφή του τριγώνου. Κατασκευάστε έναν κύκλο που να περιβάλλει ένα τρίγωνο.

Περιεχόμενο

Εισαγωγή…………………………………………………………………………………………… 3

Κεφάλαιο 1.

1.1 Τρίγωνο…………………………………………………………………………..4

1.2. Τρίγωνο διάμεσοι

1.4. Ύψη σε τρίγωνο

συμπέρασμα

Κατάλογος χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας

Βιβλιάριο

Εισαγωγή

Η γεωμετρία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με διάφορα σχήματα και τις ιδιότητές τους. Η γεωμετρία ξεκινά με ένα τρίγωνο. Για δυόμισι χιλιετίες, το τρίγωνο ήταν σύμβολο της γεωμετρίας. αλλά δεν είναι μόνο σύμβολο, το τρίγωνο είναι ένα άτομο γεωμετρίας.

Στην εργασία μου, θα εξετάσω τις ιδιότητες των σημείων τομής των διχοτόμων, των διάμεσων και των υψομέτρων ενός τριγώνου, θα μιλήσω για τις αξιοσημείωτες ιδιότητές τους και τις ευθείες του τριγώνου.

Αυτά τα σημεία που μελετήθηκαν στο μάθημα της σχολικής γεωμετρίας περιλαμβάνουν:

α) το σημείο τομής των διχοτόμων (το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου).

β) το σημείο τομής των μεσαίων καθέτων (το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου).

γ) σημείο τομής υψών (ορθόκεντρο).

δ) σημείο τομής διάμεσων (κεντροειδές).

Συνάφεια: επεκτείνετε τις γνώσεις σας για το τρίγωνο,τις ιδιότητές τουυπέροχα σημεία.

Στόχος: μελέτη ενός τριγώνου στα αξιόλογα σημεία του,μελετώντας ταταξινομήσεις και ιδιότητες.

Καθήκοντα:

1. Μελετήστε την απαραίτητη βιβλιογραφία

2. Μελετήστε την ταξινόμηση των αξιόλογων σημείων του τριγώνου

3. Να μπορείς να χτίζεις υπέροχα σημεία τριγώνου.

4. Να συνοψίσετε το υλικό που μελετήθηκε για το σχεδιασμό του φυλλαδίου.

Υπόθεση έργου:

η δυνατότητα εύρεσης αξιοσημείωτων σημείων σε οποιοδήποτε τρίγωνο σας επιτρέπει να λύσετε γεωμετρικά κατασκευαστικά προβλήματα.

Κεφάλαιο 1. Ιστορικές πληροφορίες για τα αξιόλογα σημεία του τριγώνου

Στο τέταρτο βιβλίο των «Αρχών» ο Ευκλείδης λύνει το πρόβλημα: «Εγγράψτε έναν κύκλο σε ένα δεδομένο τρίγωνο». Από τη λύση προκύπτει ότι οι τρεις διχοτόμοι των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο - το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου. Από τη λύση ενός άλλου προβλήματος του Ευκλείδη, προκύπτει ότι οι κάθετοι που έχουν αποκατασταθεί στις πλευρές του τριγώνου στα μεσαία τους σημεία τέμνονται επίσης σε ένα σημείο - το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. Οι «Αρχές» δεν λένε ότι τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο, που ονομάζεται ορθόκεντρο (η ελληνική λέξη «όρθος» σημαίνει «ίσιο», «σωστό»). Η πρόταση αυτή ήταν όμως γνωστή στον Αρχιμήδη, τον Πάππο, τον Πρόκλο.

Το τέταρτο ενικό σημείο του τριγώνου είναι το σημείο τομής των διάμεσων. Ο Αρχιμήδης απέδειξε ότι είναι το κέντρο βάρους (βαρύκεντρο) του τριγώνου. Στα παραπάνω τέσσερα σημεία δόθηκε ιδιαίτερη προσοχή, και από τον 18ο αιώνα ονομάστηκαν τα «αξιοπρόσεκτα» ή «ειδικά» σημεία του τριγώνου.

Η μελέτη των ιδιοτήτων ενός τριγώνου που σχετίζεται με αυτά και άλλα σημεία χρησίμευσε ως η αρχή για τη δημιουργία ενός νέου κλάδου στοιχειωδών μαθηματικών - "γεωμετρία τριγώνου" ή "γεωμετρία νέου τριγώνου", ένας από τους ιδρυτές του οποίου ήταν ο Leonhard Euler. Το 1765, ο Euler απέδειξε ότι σε οποιοδήποτε τρίγωνο το ορθόκεντρο, το βαρύκεντρο και το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου βρίσκονται στην ίδια ευθεία, που αργότερα ονομάστηκε «γραμμή του Euler».

Τρίγωνο - γεωμετρικό σχήμα, που αποτελείται από τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία και τρία τμήματα που συνδέουν αυτά τα σημεία σε ζεύγη. Πόντοι -κορυφές τρίγωνα, ευθύγραμμα τμήματαπλευρές τρίγωνο.

ΣΤΟ A, B, C - κορυφές

AB, BC, SA - πλευρές

ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ

Κάθε τρίγωνο έχει τέσσερα σημεία που συνδέονται με αυτό:

Σημείο τομής διαμέσου;

Σημείο τομής διχοτόμου.

Σημείο διέλευσης ύψους.

Το σημείο τομής των κάθετων διχοτόμων.

1.2. Τρίγωνο διάμεσοι

Τρίγωνο Medina - συνδέοντας την κορυφή με τη μέση της απέναντι πλευράς (Εικόνα 1). Το σημείο τομής της μέσης με την πλευρά του τριγώνου ονομάζεται βάση της μέσης.

Εικόνα 1. Μέσος τριγώνου

Ας φτιάξουμε τα μέσα των πλευρών του τριγώνου και ας σχεδιάσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει κάθε κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς. Τέτοια τμήματα ονομάζονται διάμεσος.

Και πάλι παρατηρούμε ότι αυτά τα τμήματα τέμνονται σε ένα σημείο. Εάν μετρήσουμε τα μήκη των διαμέσου τμημάτων που προκύπτουν, τότε μπορούμε να ελέγξουμε μια ακόμη ιδιότητα: το διάμεσο σημείο τομής διαιρεί όλες τις διάμεσους σε αναλογία 2:1, μετρώντας από τις κορυφές. Κι όμως, το τρίγωνο, που στηρίζεται στην άκρη της βελόνας στο σημείο τομής των διαμέσου, βρίσκεται σε ισορροπία! Ένα σημείο με αυτή την ιδιότητα ονομάζεται κέντρο βάρους (βαρύκεντρο). Το κέντρο ίσων μαζών ονομάζεται μερικές φορές κέντρο. Επομένως, οι ιδιότητες των διαμέσου ενός τριγώνου μπορούν να διατυπωθούν ως εξής: οι διάμεσοι ενός τριγώνου τέμνονται στο κέντρο βάρους και το σημείο τομής διαιρείται σε αναλογία 2:1, μετρώντας από την κορυφή.

1.3. Διχοτόμοι τριγώνων

διαχωριστική γραμμή που ονομάζεται η διχοτόμος μιας γωνίας που τραβιέται από την κορυφή της γωνίας μέχρι την τομή της με την απέναντι πλευρά. Το τρίγωνο έχει τρεις διχοτόμους που αντιστοιχούν στις τρεις κορυφές του (Εικόνα 2).

Εικόνα 2. Διχοτόμος τριγώνου

Σε ένα αυθαίρετο τρίγωνο ABC, σχεδιάζουμε τις διχοτόμους των γωνιών του. Και πάλι, με ακριβή κατασκευή, και οι τρεις διχοτόμοι θα τέμνονται σε ένα σημείο D. Το σημείο D είναι επίσης ασυνήθιστο: απέχει ίση απόσταση και από τις τρεις πλευρές του τριγώνου. Αυτό μπορεί να επαληθευτεί ρίχνοντας τις κάθετες DA 1, DB 1 και DC1 στις πλευρές του τριγώνου. Όλα είναι ίσα: DA1=DB1=DC1.

Εάν σχεδιάσετε έναν κύκλο με κέντρο το σημείο D και την ακτίνα DA 1, τότε θα αγγίξει και τις τρεις πλευρές του τριγώνου (δηλαδή θα έχει μόνο ένα κοινό σημείο με καθεμία από αυτές). Ένας τέτοιος κύκλος ονομάζεται εγγεγραμμένος σε τρίγωνο. Άρα, οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τριγώνου τέμνονται στο κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.

1.4. Ύψη σε τρίγωνο

Ύψος τριγώνου - , έπεσε από πάνω προς την αντίθετη πλευρά ή μια ευθεία γραμμή που συμπίπτει με την αντίθετη πλευρά. Ανάλογα με τον τύπο του τριγώνου, το ύψος μπορεί να περιλαμβάνεται εντός του τριγώνου (για τρίγωνο), συμπίπτουν με την πλευρά του (να τρίγωνο) ή περάστε έξω από το τρίγωνο σε αμβλύ τρίγωνο (Εικόνα 3).

Εικόνα 3. Ύψη σε τρίγωνα

Εάν χτίσετε τρία ύψη σε ένα τρίγωνο, τότε όλα τέμνονται σε ένα σημείο H. Αυτό το σημείο ονομάζεται ορθόκεντρο. (Εικόνα 4).

Χρησιμοποιώντας κατασκευές, μπορείτε να ελέγξετε ότι, ανάλογα με τον τύπο του τριγώνου, το ορθόκεντρο βρίσκεται διαφορετικά:

σε ένα οξύ τρίγωνο - μέσα.

σε ένα ορθογώνιο - στην υποτείνουσα.

αμβλύς - έξω.

Εικόνα 4. Ορθόκεντρο τριγώνου

Έτσι, γνωρίσαμε ένα άλλο αξιόλογο σημείο του τριγώνου και μπορούμε να πούμε ότι: τα ύψη του τριγώνου τέμνονται στο ορθόκεντρο.

1.5. Μέσες κάθετες στις πλευρές ενός τριγώνου

Η κάθετη διχοτόμος ενός τμήματος είναι μια ευθεία κάθετη στο δεδομένο τμήμα και διέρχεται από το μέσο του.

Ας σχεδιάσουμε ένα αυθαίρετο τρίγωνο ABC και ας σχεδιάσουμε τις κάθετες διχοτόμους στις πλευρές του. Αν η κατασκευή γίνει ακριβώς, τότε όλες οι κάθετοι θα τέμνονται σε ένα σημείο - σημείο Ο. Το σημείο αυτό ισαπέχει από όλες τις κορυφές του τριγώνου. Με άλλα λόγια, αν σχεδιάσετε έναν κύκλο με κέντρο στο σημείο Ο, που διέρχεται από μία από τις κορυφές του τριγώνου, τότε θα περάσει από τις άλλες δύο κορυφές του.

Ένας κύκλος που διέρχεται από όλες τις κορυφές ενός τριγώνου ονομάζεται κυκλικός κύκλος. Επομένως, η καθιερωμένη ιδιότητα ενός τριγώνου μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: οι κάθετες διχοτόμοι στις πλευρές του τριγώνου τέμνονται στο κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου (Εικόνα 5).

Εικόνα 5. Τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο

Κεφάλαιο 2

Εξερεύνηση ύψους σε τρίγωνα

Και τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο. Το σημείο αυτό ονομάζεται ορθόκεντρο του τριγώνου.

Τα ύψη ενός τριγώνου με οξεία γωνία βρίσκονται αυστηρά μέσα στο τρίγωνο.

Αντίστοιχα, το σημείο τομής των υψών βρίσκεται επίσης μέσα στο τρίγωνο.

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, τα δύο ύψη είναι ίδια με τις πλευρές. (Αυτά είναι τα ύψη που αντλούνται από τις κορυφές των οξειών γωνιών προς τα σκέλη).

Το υψόμετρο που τραβάει η υποτείνουσα βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο.

AC είναι το ύψος που τραβιέται από την κορυφή C στην πλευρά AB.

Το AB είναι το ύψος που τραβιέται από την κορυφή Β στην πλευρά AC.

ΑΚ είναι το ύψος που τραβιέται από την κορυφή της ορθής γωνίας Α στην υποτείνουσα BC.

Τα ύψη ενός ορθογωνίου τριγώνου τέμνονται στην κορυφή της ορθής γωνίας (το Α είναι το ορθόκεντρο).

Σε ένα αμβλύ τρίγωνο, υπάρχει μόνο ένα ύψος μέσα στο τρίγωνο - αυτό που τραβιέται από την κορυφή της αμβλείας γωνίας.

Τα άλλα δύο ύψη βρίσκονται έξω από το τρίγωνο και κατεβαίνουν στην προέκταση των πλευρών του τριγώνου.

AK είναι το ύψος που τραβιέται στην πλευρά BC.

BF είναι το ύψος που τραβιέται στην προέκταση της πλευράς AC.

CD είναι το ύψος που τραβιέται στην προέκταση της πλευράς ΑΒ.

Το σημείο τομής των υψών ενός αμβλυγώνιου τριγώνου είναι επίσης εκτός του τριγώνου:

H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC.

Μελέτη διχοτόμων σε τρίγωνο

Η διχοτόμος ενός τριγώνου είναι το τμήμα της διχοτόμου γωνίας ενός τριγώνου (ακτίνας) που βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο.

Και οι τρεις διχοτόμοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο.

Το σημείο τομής των διχοτόμων σε οξέα, αμβλεία και ορθογώνια τρίγωνα είναι το κέντρο του κύκλου που εγγράφεται στο τρίγωνο και βρίσκεται μέσα.

Η μέση διάμεσος της έρευνας σε ένα τρίγωνο

Εφόσον ένα τρίγωνο έχει τρεις κορυφές και τρεις πλευρές, υπάρχουν επίσης τρία ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν την κορυφή και το μέσο της απέναντι πλευράς.

Αφού εξέτασα αυτά τα τρίγωνα, συνειδητοποίησα ότι σε οποιοδήποτε τρίγωνο οι διάμεσοι τέμνονται σε ένα σημείο. Αυτό το σημείο ονομάζεται κέντρο βάρους του τριγώνου.

Διερεύνηση κάθετων διχοτόμων προς την πλευρά τριγώνου

Μεσακάθετος Ένα τρίγωνο είναι μια κάθετη στο μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου.

Οι τρεις κάθετες διχοτόμοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο και είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου.

Το σημείο τομής των κάθετων διχοτόμων σε ένα οξύ τρίγωνο βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο. σε αμβλεία - έξω από το τρίγωνο. σε ένα ορθογώνιο - στη μέση της υποτείνουσας.

συμπέρασμα

Κατά τη διάρκεια της εργασίας που έγινε, καταλήγουμε στα ακόλουθα συμπεράσματα:

Στόχος που επιτεύχθηκε:εξερεύνησε το τρίγωνο και βρήκε τα αξιόλογα σημεία του.

Οι εργασίες που έχουν τεθεί έχουν λυθεί:

ένας). Μελετήσαμε την απαραίτητη βιβλιογραφία.

2). Μελέτησε την ταξινόμηση των αξιόλογων σημείων του τριγώνου.

3). Έμαθε πώς να χτίζετε υπέροχα σημεία ενός τριγώνου.

τέσσερα). Συνόψισε το υλικό που μελετήθηκε για το σχεδιασμό του φυλλαδίου.

Η υπόθεση ότι η ικανότητα εύρεσης των αξιοσημείωτων σημείων ενός τριγώνου βοηθά στην επίλυση κατασκευαστικών προβλημάτων έχει επιβεβαιωθεί.

Η εργασία σκιαγραφεί με συνέπεια τις τεχνικές κατασκευής αξιόλογων σημείων τριγώνου, παρέχει ιστορικές πληροφορίες για γεωμετρικές κατασκευές.

Οι πληροφορίες από αυτήν την εργασία μπορούν να είναι χρήσιμες στα μαθήματα γεωμετρίας στην 7η τάξη. Το φυλλάδιο μπορεί να γίνει ένα βιβλίο αναφοράς για τη γεωμετρία για το θέμα που παρουσιάζεται.

Βιβλιογραφία

Σχολικό βιβλίο. L.S. Atanasyan "Γεωμετρία 7-9 τάξειςΜνημοσύνη, 2015.

Wikipediahttps://en.wikipedia.org/wiki/Geometry#/media/File:Euclid%27s_postulates.png

Πύλη Scarlet Sails

Κορυφαία εκπαιδευτική πύλη της Ρωσίας http://cendomzn.ucoz.ru/index/0-15157