Нэмэлтийн ассоциатив шинж чанарыг хэрхэн томъёолох вэ. Үржүүлэхийн ассоциатив ба түгээлтийн шинж чанарууд

Энэ хичээлийн сэдэв нь "Нэмэх шинж чанарууд" бөгөөд үүнд та нэмэхийн шилжих ба ассоциатив шинж чанаруудтай танилцаж, тэдгээрийг тодорхой жишээн дээр авч үзэх болно. Тооцооллын процессыг хөнгөвчлөхийн тулд тэдгээрийг хэзээ ашиглаж болохыг олж мэдээрэй. Туршилтын тохиолдлууд нь таны материалыг хэр сайн сурсныг тодорхойлоход тусална.

Хичээл: Нэмэх шинж чанарууд

Илэрхийлэлийг анхааралтай ажиглана уу:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

Бид түүний үнэ цэнийг олох хэрэгтэй. Энийг хийцгээе.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40 илэрхийллийн үр дүн.
Надад хэлээч, тооцоолоход тохиромжтой байсан уу? Тооцоолох нь тийм ч тохиромжтой биш байсан. Энэ илэрхийлэл дэх тоонуудыг дахин хар. Тооцоолол нь илүү тохиромжтой байхын тулд тэдгээрийг солих боломжтой юу?

Хэрэв бид тоонуудыг өөрөөр өөрчлөвөл:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

Илэрхийллийн эцсийн үр дүн нь 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40 байна.
Илэрхийллийн үр дүн ижил байгааг бид харж байна.

Тооцоолоход тохиромжтой бол нэр томъёог сольж болох бөгөөд нийлбэрийн утга үүнээс өөрчлөгдөхгүй.

Математикт хууль байдаг: Нэмэлтийн солилцооны хууль. Нөхцөлүүдийн зохицуулалтаас нийлбэр өөрчлөгдөхгүй гэж хэлсэн.

Авга ах Федор Шарик хоёр маргалдав. Шарик илэрхийллийн үнэ цэнийг бичсэнээр нь олсон бөгөөд Федор авга ах өөр, илүү тохиромжтой тооцоолох аргыг мэддэг гэж хэлэв. Тооцоолох илүү тохиромжтой аргыг та харж байна уу?

Бөмбөг илэрхийллийг бичсэнээр нь шийдэв. Тэгээд Федор авга 25, 3-ын тоог сольж, нөхцөлийг өөрчлөхийг зөвшөөрдөг хуулийг мэддэг гэж хэлэв.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

Үр дүн нь хэвээр байгаа боловч тооцоолол нь илүү хялбар болсон гэдгийг бид харж байна.

Дараах хэллэгүүдийг хараад уншина уу.

6 + (24 + 51) = 81 (6-д 24 ба 51-ийн нийлбэрийг нэмнэ)
Тооцоолох тохиромжтой арга бий юу?
6 ба 24-ийг нэмбэл дугуй тоо гарч байгааг бид харж байна. Дугуй тоонд ямар нэгэн зүйл нэмэх нь үргэлж хялбар байдаг. 6 ба 24 тоонуудын нийлбэрийг хаалтанд бич.
(6 + 24) + 51 = …
(6 ба 24 тоонуудын нийлбэр дээр 51-ийг нэмнэ)

Илэрхийллийн утгыг тооцоод илэрхийллийн утга өөрчлөгдсөн эсэхийг харцгаая?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

Илэрхийллийн утга ижил хэвээр байгааг бид харж байна.

Өөр нэг жишээгээр дадлага хийцгээе.

(27 + 19) + 1 = 47 (27 ба 19 тоонуудын нийлбэр дээр 1-ийг нэмнэ)
Тохиромжтой аргыг олж авахын тулд ямар тоонуудыг эвтэйхэн бүлэглэж болох вэ?
Эдгээр нь 19 ба 1 гэсэн тоонууд гэж та тааварлав. Хаалтанд байгаа 19 ба 1 гэсэн тоонуудын нийлбэрийг авч үзье.
27 + (19 + 1) = …
(27 дээр 19 ба 1 тоонуудын нийлбэрийг нэмнэ)
Энэ илэрхийллийн утгыг олъё. Хаалтанд байгаа үйлдлийг эхлээд гүйцэтгэдэг гэдгийг бид санаж байна.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

Бидний илэрхийллийн утга ижил хэвээр байна.

Нэмэлтийн ассоциатив хууль: зэргэлдээ хоёр гишүүнийг тэдгээрийн нийлбэрээр сольж болно.

Одоо хоёр хуулийг хоёуланг нь ашиглан дадлага хийцгээе. Бид илэрхийллийн утгыг тооцоолох хэрэгтэй:

38 + 14 + 2 + 6 = …

Нэгдүгээрт, бид нэмэлтийн шилжих шинж чанарыг ашигладаг бөгөөд энэ нь бидэнд нэр томъёог солих боломжийг олгодог. 14 ба 2-р нөхцлүүдийг сольж үзье.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

Одоо бид хоёр хөрш нэр томъёог нийлбэрээр нь солих боломжийг олгодог ассоциатив өмчийг ашигладаг.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

Эхлээд бид 38 ба 2-ын нийлбэрийн утгыг олно.

Одоо нийлбэр нь 14 ба 6 байна.

3. Сурган хүмүүжүүлэх санааны баяр Олон нийтийн хичээл» ().

гэртээ хийх

1. Нэр томъёоны нийлбэрийг янз бүрийн аргаар тооцоол.

a) 5 + 3 + 5 b) 7 + 8 + 13 c) 24 + 9 + 16

2. Илэрхийллийн үр дүнг тооцоол.

a) 19 + 4 + 16 + 1 b) 8 + 15 + 12 + 5 c) 20 + 9 + 30 + 1

3. Хэмжээг тооцоол тохиромжтой арга:

a) 10 + 12 + 8 + 20 b) 17 + 4 + 3 + 16 c) 9 + 7 + 21 + 13

5 см ба 3 см талтай торонд цаасан дээр тэгш өнцөгт зурж, 1 см талтай дөрвөлжин болгон хувацгаая (зураг 143). Тэгш өнцөгт дотор байрлах нүднүүдийн тоог тоолъё. Үүнийг жишээлбэл, иймэрхүү байдлаар хийж болно.

1 см талтай квадратуудын тоо 5 * 3 байна. Ийм дөрвөлжин бүр дөрвөн нүднээс бүрдэнэ. Тиймээс нийт эсийн тоо (5 * 3) * 4 байна.

Ижил асуудлыг өөрөөр шийдэж болно. Тэгш өнцөгтийн таван багана тус бүр нь 1 см талтай гурван квадратаас бүрдэх тул нэг баганад 3 * 4 нүд байна. Тиймээс нийт 5 * (3 * 4) нүд байх болно.

143-р зурагт байгаа эсийн тоог хоёр янзаар харуулав үржүүлэхийн ассоциатив шинж чанар 5, 3, 4 тоонуудын хувьд. Бидэнд: (5 * 3 ) * 4 = 5 * (3 * 4 ).

Хоёр тооны үржвэрийг гурав дахь тоогоор үржүүлэхийн тулд та эхний тоог хоёр, гурав дахь тооны үржвэрээр үржүүлж болно.

(ab)c = a(bc)

Үржүүлэх үйл явцын солилцооны болон ассоциатив шинж чанаруудаас үзэхэд хэд хэдэн тоог үржүүлэх үед хүчин зүйлсийг хооронд нь сольж, хаалтанд хийж, улмаар тооцооллын дарааллыг тодорхойлж болно.

Жишээлбэл, тэгш байдал нь үнэн юм:

abc=cba

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

144-р зурагт AB сегмент дээр авч үзсэн тэгш өнцөгтийг тэгш өнцөгт ба дөрвөлжин болгон хуваана.

Бид 1 см талтай квадратуудын тоог хоёр аргаар тоолдог.

Нэг талаас, үүссэн квадратад тэдгээрийн 3 * 3, тэгш өнцөгт нь 3 * 2 байна. Нийтдээ бид 3 * 3 + 3 * 2 квадратыг авдаг. Нөгөө талаас, энэ тэгш өнцөгтийн гурван эгнээ тус бүр нь 3 + 2 квадратыг агуулна. Дараа нь тэдний нийт тоо 3 * (3 + 2) байна.

Тэнцүү 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 зурагтай нэмэхтэй холбоотойгоор үржүүлэхийн хуваарилах шинж чанар.

Хоёр тооны нийлбэрээр тоог үржүүлэхийн тулд та энэ тоог гишүүн бүрээр үржүүлж, үр дүнг нэмж болно.

Шууд утгаараа энэ өмчийг дараах байдлаар бичнэ.

a(b + c) = ab + ac

Энэ нь нэмэхтэй холбоотойгоор үржүүлэхийн хуваарилах шинж чанараас гардаг

ab + ac = a(b + c).

Энэ тэгшитгэл нь тэгш өнцөгтийн периметрийг олохын тулд P = 2 a + 2 b томъёог дараах байдлаар бичих боломжийг олгоно.

P = 2 (a + b).

Хуваарилалтын өмч нь гурав ба түүнээс дээш хугацаагаар хүчинтэй гэдгийг анхаарна уу. Жишээлбэл:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

Хасах үйлдэлтэй холбоотой үржүүлэхийн хуваарилах шинж чанар нь мөн адил байна: хэрэв b > c эсвэл b = c бол дараа нь

a(b − c) = ab − ac

Жишээ 1 . Тохиромжтой аргаар тооцоолно уу:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) Бид үржүүлгийн солилцоо, дараа нь ассоциатив шинж чанарыг ашигладаг.

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) Бидэнд:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Жишээ 2 . Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

1) 4 a * 3 b;

2 ) 18м - 13м.

1) Үржүүлэхийн солилцоо ба ассоциатив шинж чанарыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

4 a * 3 b \u003d (4 * 3) * ab \u003d 12 ab.

2) Хасахтай холбоотойгоор үржүүлэхийн хуваарилах шинж чанарыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

18м - 13м = м(18 - 13 ) = м * 5 = 5м.

Жишээ 3 . 5 (2 м + 7) илэрхийллийг хаалт агуулаагүйн тулд бич.

Нэмэлттэй холбоотой үржүүлэхийн тархалтын шинж чанарын дагуу бид дараах байдалтай байна.

5 (2 м + 7) = 5 * 2 м + 5 * 7 = 10 м + 35.

Ийм хувирал гэж нэрлэдэг нээх хаалт.

Жишээ 4 . 125 * 24 * 283 илэрхийллийн утгыг тохиромжтой аргаар тооцоол.

Шийдэл. Бидэнд байгаа:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Жишээ 5 . Үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэнэ: 3 өдөр 18 цаг * 6.

Шийдэл. Бидэнд байгаа:

3 өдөр 18 цаг * 6 = 18 өдөр 108 цаг = 22 өдөр 12 цаг

Жишээг шийдвэрлэхдээ нэмэхтэй холбоотой үржүүлэх хуваарилах шинж чанарыг ашигласан.

3 өдөр 18 цаг * 6 = (3 өдөр + 18 цаг) * 6 = 3 өдөр * 6 + 18 цаг * 6 = 18 хоног + 108 цаг = 18 өдөр + 96 цаг + 12 цаг = 18 хоног + 4 өдөр + 12 цаг = 22 хоног 12 цаг

Нэг дугаарыг нөгөөд нэмэх нь маш амархан. 4+3=7 гэсэн жишээг авч үзье. Энэ илэрхийлэл нь гурван нэгжийг дөрвөн нэгж дээр нэмсэн бөгөөд үр дүнд нь долоон нэгжийг авсан гэсэн үг юм.
Бидний нэмсэн 3 ба 4 тоог дуудна нөхцөл. Мөн 7 тоог нэмсний үр дүнг дуудна нийлбэр.

нийлбэртоонуудын нэмэгдэл юм. "+" нэмэх тэмдэг.
Шууд утгаараа энэ жишээ дараах байдлаар харагдах болно.

a+b=в

Нэмэлт бүрэлдэхүүн хэсгүүд:
а- хугацаа, б- нөхцөл, в- нийлбэр.
Хэрэв бид 4 нэгжийг 3 нэгжид нэмбэл нэмэхийн үр дүнд бид ижил үр дүнг авах болно, энэ нь 7-той тэнцүү болно.

Энэ жишээнээс харахад бид нэр томъёог хэрхэн сольсон ч хариулт өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна гэж бид дүгнэж байна.

Нэр томъёоны энэ шинж чанарыг гэж нэрлэдэг нэмэх солих хууль.

Нэмэлтийн солилцооны хууль.

Нэр томъёоны байрлалыг өөрчлөхөд нийлбэр өөрчлөгдөхгүй.

Шууд тэмдэглэгээгээр солих хууль дараах байдалтай байна.

a+b=б+а

Хэрэв бид гурван нэр томьёог авч үзвэл, жишээ нь 1, 2, 4-ийн тоог авна. Мөн бид энэ дарааллаар нэмэхийг хийж, эхлээд 1 + 2-ыг нэмээд, үр дүнд нь 4-ийн нийлбэрийг нэмбэл бид дараах илэрхийллийг авна.

(1+2)+4=7

Бид эсрэгээр нь хийж болно, эхлээд 2 + 4-ийг нэмээд дараа нь гарсан дүн дээр 1 нэмнэ. Бидний жишээ иймэрхүү харагдах болно.

1+(2+4)=7

Хариулт нь хэвээр байна. Нэг жишээг нэмэх хоёр төрлийн хувьд хариулт нь ижил байна. Бид дүгнэж байна:

(1+2)+4=1+(2+4)

Энэ нэмэлт өмчийг нэрлэдэг нэмэлтийн ассоциатив хууль.

Нэмэх солих ба ассоциатив хууль нь бүх сөрөг бус тоонуудад ажиллана.

Нэмэлтийн ассоциатив хууль.

Хоёр тооны нийлбэр дээр гурав дахь тоог нэмэхийн тулд эхний тоон дээр хоёр, гурав дахь тооны нийлбэрийг нэмж болно.

(a+б)+c=a+(б+в)

Холбооны хууль нь хэдэн ч хугацааны туршид ажилладаг. Тохиромжтой дарааллаар тоо нэмэх шаардлагатай үед бид энэ хуулийг ашигладаг. Жишээлбэл, 12, 6, 8, 4 гэсэн гурван тоог нэмье. Эхлээд 12, 8-ыг нэмээд дараа нь гарсан нийлбэр дээр 6 ба 4 гэсэн хоёр тооны нийлбэрийг нэмэх нь илүү тохиромжтой байх болно.
(12+8)+(6+4)=30

Тэгтэй нэмэх шинж чанар.

Хэрэв та тоог тэг дээр нэмэхэд үр дүн нь ижил тоо болно.

3+0=3
0+3=3
3+0=0+3

Шууд утгаараа тэгээр нэмэх нь дараах байдалтай харагдана.

a+0=а
0+ a=а

Натурал тоог нэмэхтэй холбоотой асуултууд:
Нэмэлтийн хүснэгт, хөрвүүлэх хуулийн өмч хэрхэн ажилладагийг харна уу?
1-ээс 10 хүртэлх нэмэлт хүснэгт дараах байдлаар харагдаж болно.

Нэмэлт хүснэгтийн хоёр дахь хувилбар.

Хэрэв бид нэмэлт хүснэгтүүдийг харвал солилцооны хууль хэрхэн ажилладагийг харж болно.

a + b \u003d c илэрхийлэлд нийлбэр хэд байх вэ?
Хариулт: Нөхцөлүүдийн нийлбэр нь нийлбэр юм. a+b ба в.

a + b \u003d c илэрхийлэлд юу байх вэ?
Хариулт: a ба b. Нөхцөлүүд нь бидний нэмдэг тоонууд юм.

Хэрэв та 0-ийг нэмбэл тоонд юу тохиолдох вэ?
Хариулт: юу ч биш, тоо өөрчлөгдөхгүй. Тэг дээр нэмэхэд тоо нь хэвээр үлдэнэ, учир нь тэг нь нэг байхгүй байна.

Нэмэлтийн ассоциатив хуулийг хэрэгжүүлэхийн тулд жишээнд хэдэн нэр томъёо байх ёстой вэ?
Хариулт: гурван ба түүнээс дээш нэр томъёоноос.

Хувьцааны хуулийг шууд утгаар нь бичнэ үү?
Хариулт: a+b=b+a

Даалгаврын жишээ.
Жишээ №1:
Танилцуулсан илэрхийллийн хариултыг бичнэ үү: a) 15+7 b) 7+15
Хариулт: a) 22 b) 22

Жишээ №2:
Хослолын хуулийг 1+3+5+2+9 нэр томъёонд хэрэглэнэ
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
Хариулт: 20.

Жишээ №3:
Илэрхийллийг шийд:
a) 5921+0 b) 0+5921
Шийдэл:
a) 5921+0 =5921
б) 0+5921=5921

a, b - нэмэх хийгдэж буй тоонууд, c - нэмэлтийн үр дүн.

Олон оронтой тоог бага багаар хийнэ.

• Жишээ: 9067542 + 34981 = 9102523

Нэмэх хуулиуд.

• 1) нүүлгэн шилжүүлэх боломжтой: a + b = b + a;

Жишээ. 310 + 1454 = 1454 + 310. Хэрхэн нийлсэн ч үр дүн нь 1764 болно.

• 2) ассоциатив: (a + b) + c = a + (b + c);

Жишээ нь: (329 + 85) + 120 = 329 + (85 + 120) = 329 + 205 = 534;

• 3) тоог тэг рүү нэмэх хууль: a + 0 = a.

Хасах

a (багасгасан) - b (хасах) = в (ялгаа)

• Жишээ нь: 42397 - 17963 = 24434

Үйлдлийн шинж чанарыг хасах:

• 1) тооны нийлбэрээс хасах хууль:

(a + b) - c = (a - c) + b хэрэв a > c эсвэл a = c;

• 2) нийлбэрийн тооноос хасах хууль:

a - (b + c) = (a - b) - c;

• 3) тооноос хасах хууль:

• 4) тэгээс хасах хууль:

• 5) нийлбэрийн нийлбэрээс хасах хууль:

(a + b) - (c + d) = ;

Нэмэх, хасах үйлдлийн жишээ болгон бодлого

Тохиромжтой аргаар тооцоолно уу:

• 1) (4981 - 2992) - 808;
• 2) (3975 + 5729) - (5729 + 975).

Бид хасах 2 ба 5-р хуулийг хэрэглэнэ.

• 1) (4981- 2992) - 808 = 4981 - (2992 + 808) = 4981 - 3800 = 1181;
• 2) (3975 + 5729) - (5729 + 975) = (3975 - 975) + (5729 - 5720)= 3000 + 0 = 3000

Үржүүлэх

a тоог b тоогоор (b>1) үржүүлнэ гэдэг нь b гишүүний нийлбэрийг олох гэсэн үг юм (хэрэгсэл бүр нь а-тай тэнцүү).

a x b= a + a + ... + a

Хэрэв b = 1 бол a x 1 = a.

a (эхний хүчин зүйл) x b (хоёр дахь хүчин зүйл) = c (бүтээгдэхүүн)

Жишээлбэл: 57 + 57 + 57 + 34 + 34 = 57 x 3 + 34 x 2 = 171 + 68 + 239

Үржүүлэх хуулиуд

• 1) нүүлгэн шилжүүлэх боломжтой: a x b \u003d b x a;

Жишээ. 15 x 110 = 110 x 15.

• 2) ассоциатив: (a x b) x c \u003d a x (b x c);

Жишээ нь: (9 x 30) x 10 = 9 x (30 x 10) = 9 x 300 = 2700;

(65 x 25) x 44 = (25 x 65) x 44 = 25 x (65 x 44) = 25 x 2860 = 71500.

• 3) тэгээр үржүүлэх: 0 x a = 0;

Жишээ нь: 0 x 10 = 0.

• 4) нэмэх (хасах) үйлдлийн талаархи үржүүлгийн тархалтын хууль:

a x (b + c) = a x b + a x c;

Үржүүлэх үйлдлийн жишээ болгон даалгаврууд

Даалгавар 1.Тохиромжтой аргаар тооцоолно уу:

• 1) (37 x 125) x 8;
• 2) 49 x 84 + 49 x 83 - 49 x 67.

1) (37 x 125) x 8 = 37 x (125 x 8) = 37 x 1000 = 37000;

2) 49 x 84 + 49 x 83 - 49 x 67 = 49 x (84 + 83 - 67) = 49 x 100 = 4900.

Даалгавар 2. 1 кВт.ц нь 12 рубль байна. Цахилгаан индүү нь 1 цаг ажиллахад 2 кВт / цаг зарцуулдаг. Төмөрийг хоёр өдрийн турш индүүдсэн: эхний өдөр - 3 цаг, хоёр дахь өдөр - 2 цаг. Хоёр хоногт хэрэглэсэн цахилгааны өртөг хэд вэ? Асуудлыг өөрөө шийдээрэй, бид зөвхөн хариулт өгөх болно: 3 цагийн турш - 72 рубль; 2 цагийн турш - 48 рубль.

Хэлтэс

a (ногдол ашиг) : b (хуваагч) = в (хэсэг)

Хэсгийн хууль:

• 1) a: 1 \u003d a, учир нь a x 1 \u003d a;
• 2) 0: a \u003d 0, учир нь 0 x a \u003d 0;
• 3) та 0-д хувааж болохгүй!

2224222: 2222 = 1001

Нийлбэрийг (ялгааг) тоонд хуваах хууль:

• 1) (a + b): c \u003d a: c + b: c, c нь 0-тэй тэнцүү биш;
• 2) (a - b): c \u003d a: c -b: c, c нь 0-тэй тэнцүү биш;

Жишээ нь: (4800 + 9300) : 300 = 4800: 300 + 9300: 300 = 16 + 31 + 47.

Бүтээгдэхүүнийг тоонд хуваах хууль:

(a x b) :c = (a: c) x b = (b: c) x a, c нь 0-тэй тэнцүү биш.

Бид бүхэл тоог нэмэх, үржүүлэх, хасах, хуваахыг тодорхойлсон. Эдгээр үйлдэл (үйл ажиллагаа) нь шинж чанар гэж нэрлэгддэг хэд хэдэн шинж чанартай үр дүнтэй байдаг. Энэ нийтлэлд бид бүхэл тоог нэмэх, үржүүлэх үндсэн шинж чанаруудыг авч үзэх бөгөөд эдгээр үйлдлүүдийн бусад бүх шинж чанаруудаас гадна бүхэл тоог хасах, хуваах шинж чанаруудыг авч үзэх болно.

Хуудасны навигаци.

Бүхэл тоог нэмэх нь өөр хэд хэдэн чухал шинж чанартай байдаг.

Тэдний нэг нь тэг байхтай холбоотой. Бүхэл тоог нэмэхийн энэ шинж чанар нь Дурын бүхэл тоонд тэг нэмэхэд энэ тоо өөрчлөгдөхгүй. Нэмэлтийн энэ шинж чанарыг үсгүүдийг ашиглан бичье: a+0=a ба 0+a=a (энэ тэгшитгэл нь нэмэхийн солих шинж чанарын улмаас хүчинтэй), a нь дурын бүхэл тоо юм. Бүхэл тоо нь тэгийг нэмэлтээр саармаг элемент гэж нэрлэдэг гэдгийг та сонсож магадгүй. Хэд хэдэн жишээ хэлье. −78 ба тэг бүхэл тооны нийлбэр нь −78; Хэрэв бид 999-ийн эерэг бүхэл тоог тэг дээр нэмбэл үр дүнд нь 999 гэсэн тоо гарна.

Одоо бид бүхэл тоонд эсрэг тоо байгаатай холбоотой бүхэл тоог нэмэх өөр нэг шинж чанарыг томъёолох болно. Эсрэг тоотой аливаа бүхэл тооны нийлбэр нь тэг байна. Энэ өмчийн шууд утгыг энд харуулав: a+(−a)=0 , энд a ба −a нь эсрэг бүхэл тоо юм. Жишээлбэл, нийлбэр 901+(−901) тэг; Үүний нэгэн адил −97 ба 97 эсрэг бүхэл тоонуудын нийлбэр нь тэг байна.

Бүхэл тоог үржүүлэх үндсэн шинж чанарууд

Бүхэл тоог үржүүлэх нь натурал тоог үржүүлэх бүх шинж чанартай байдаг. Бид эдгээр шинж чанаруудын гол зүйлийг жагсаав.

Тэг нь нэмэхийн хувьд саармаг бүхэл тоо байдаг шиг нэг нь бүхэл тоог үржүүлэхэд саармаг бүхэл тоо юм. өөрөөр хэлбэл, Аливаа бүхэл тоог нэгээр үржүүлэхэд үржүүлж буй тоо өөрчлөгдөхгүй. Тэгэхээр 1·a=a, энд a нь дурын бүхэл тоо юм. Сүүлчийн тэгшитгэлийг 1=a гэж дахин бичиж болно, энэ нь үржүүлэхийн хувирах шинж чанарыг бий болгох боломжийг бидэнд олгоно. Хоёр жишээ хэлье. 556-аас 1-ийн бүхэл тооны үржвэр нь 556; −78 нэг ба сөрөг бүхэл тооны үржвэр нь −78 болно.

Бүхэл тоог үржүүлэх дараагийн шинж чанар нь тэгээр үржүүлэхтэй холбоотой. Аливаа бүхэл тоог тэгээр үржүүлсний үр дүн тэг болно, өөрөөр хэлбэл 0=0 байна. 0·a=0 тэгшитгэл нь бүхэл тоог үржүүлэх солих шинж чанараас шалтгаалан мөн үнэн юм. Тодорхой тохиолдолд, a=0 үед тэг ба тэгийн үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна.

Бүхэл тоог үржүүлэхийн тулд өмнөхийн эсрэг шинж чанар нь бас үнэн юм. Үүнийг баталж байна Хэрэв хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү бол хоёр бүхэл тооны үржвэр тэгтэй тэнцүү байна. Шууд утгаараа энэ шинж чанарыг дараах байдлаар бичиж болно: a·b=0 , хэрэв a=0 , эсвэл b=0 , эсвэл a ба b хоёулаа нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү бол.

Бүхэл тоог нэмэхтэй холбоотойгоор үржүүлэхийн хуваарилах шинж чанар

Бүхэл тоог нэгэн зэрэг нэмэх, үржүүлэх нь заасан хоёр үйлдлийг холбосон нэмэхтэй холбоотойгоор үржүүлэхийн хуваарилах шинж чанарыг авч үзэх боломжийг олгодог. Нэмэх болон үржүүлэх үйлдлийг хамтад нь ашиглах нь хэрэв бид нэмэхийг үржүүлэхээс тусад нь авч үзэх юм бол бидэнд байхгүй байх нэмэлт боломжуудыг нээж өгдөг.

Тиймээс, нэмэхтэй холбоотой үржүүлэхийн хуваарилах шинж чанар нь бүхэл тоо ба a ба b хоёр бүхэл тоонуудын нийлбэр нь a b ба a c -ийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл, a (b+c)=a b+a c. Ижил өмчийг өөр хэлбэрээр бичиж болно: (a+b) c=a c+b c .

Нэмэхтэй холбоотой бүхэл тоог үржүүлэх тархалтын шинж чанар нь нэмэхийн ассоциатив шинж чанарын хамт бүхэл тоог гурав ба түүнээс дээш тооны бүхэл тоогоор үржүүлэх, дараа нь бүхэл тоон нийлбэрийг үржүүлэхийг тодорхойлох боломжийг олгодог. нийлбэр.

Бүхэл тоог нэмэх, үржүүлэх бусад бүх шинж чанаруудыг бидний заасан шинж чанаруудаас олж авч болно, өөрөөр хэлбэл эдгээр шинж чанаруудын үр дагавар гэдгийг анхаарна уу.

Бүхэл тоо хасах шинж чанарууд

Олж авсан тэгшитгэл, түүнчлэн бүхэл тоог нэмэх, үржүүлэх шинж чанаруудаас бүхэл тоог хасах дараах шинж чанарууд дагалддаг (a, b ба c дурын бүхэл тоонууд):

• Бүхэл тоог хасах нь ерөнхийдөө солих шинж чанартай байдаггүй: a−b≠b−a.
• Тэнцүү бүхэл тоонуудын зөрүү нь тэгтэй тэнцүү: a−a=0 .
• Өгөгдсөн бүхэл тооноос хоёр бүхэл тооны нийлбэрийг хасах шинж чанар: a−(b+c)=(a−b)−c .
• Хоёр бүхэл тооны нийлбэрээс бүхэл тоог хасах шинж чанар: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• Хасахтай холбоотойгоор үржүүлэхийн хуваарилах шинж чанар: a (b−c)=a b−a c ба (a−b) c=a c−b c.
• Мөн бүхэл тоо хасах бусад бүх шинж чанарууд.

Бүхэл тоо хуваах шинж чанарууд

Бүхэл тоог хуваах гэдэг утгын талаар маргаж байхдаа бид бүхэл тоог хуваах нь үржүүлэхийн урвуу гэдгийг олж мэдсэн. Бид дараах тодорхойлолтыг өгсөн: бүхэл тоог хуваах нь мэдэгдэж буй бүтээгдэхүүн болон мэдэгдэж буй хүчин зүйлээр үл мэдэгдэх хүчин зүйлийг олох явдал юм. Өөрөөр хэлбэл, c·b үржвэр нь a -тэй тэнцүү байх үед бүхэл тоог b бүхэл тоонд хуваасан c бүхэл тоо гэж нэрлэдэг.

Энэхүү тодорхойлолт, дээр дурдсан бүхэл тоон дээрх үйлдлүүдийн бүх шинж чанарууд нь бүхэл тоог хуваах дараах шинж чанаруудын үнэн зөвийг тогтоох боломжийг бидэнд олгоно.

• Бүхэл тоог тэгээр хувааж болохгүй.
• Тэгийг дурын тэг биш бүхэл тоонд хуваах шинж чанар a : 0:a=0 .
• Тэнцүү бүхэл тоог хуваах шинж чанар: a:a=1 , энд a нь тэгээс бусад бүхэл тоо юм.
• Дурын бүхэл тоог нэгд хуваах шинж чанар: a:1=a .
• Ерөнхийдөө бүхэл тоог хуваах нь солих шинж чанартай БАЙХГҮЙ: a:b≠b:a.
• Хоёр бүхэл тооны нийлбэр ба зөрүүг бүхэл тоонд хуваах шинж чанарууд нь: (a+b):c=a:c+b:c ба (a−b):c=a:c−b:c , энд a , b , ба c нь бүхэл тоо бөгөөд a ба b хоёулаа c -д хуваагдах ба c нь тэгээс ялгаатай.
• a ба b хоёр бүхэл тооны үржвэрийг тэгээс өөр бүхэл тоонд хуваах шинж чанар c : (a b):c=(a:c) b бол a нь c-д хуваагддаг бол; (a b):c=a (b:c) хэрэв b нь c-д хуваагддаг бол; (a b):c=(a:c) b=a (b:c) хэрэв a ба b хоёулаа c-д хуваагддаг бол.
• a бүхэл тоог b ба c хоёр бүхэл тооны үржвэрт хуваах шинж чанар (a, b, c тоонууд нь b c-д хуваагдах боломжтой): a:(b c)=(a:b) c=(a :c ) б .
• Бүхэл тоонд хуваах бусад шинж чанарууд.