Хэрхэн хамгийн оновчтой аргаар шийдэх вэ. Рационал тоо, тодорхойлолт, жишээ

Ангийн шинж чанар

5 "А" анги нь найрлагаараа ялгаатай, зарим хүүхдүүд мэдлэгээрээ нэлээн хүчтэй, харин сул хүүхдүүд бас ялгардаг. Ерөнхийдөө анги нь эрч хүчтэй, сурагчид багшийн санаачилгыг сонирхолтой, хүсэл эрмэлзэлтэй байдаг.

Сэдэв: Тооцооллын оновчтой аргууд (хичээл нь II улиралд "илэрхийлэлийг хялбарчлах" сэдвийн дараа явагддаг эцсийн хичээл юм. 3)

Хичээлийн төрөл: материалыг нэгтгэн дүгнэх

а) боловсролын

• натурал тоог нэмэх, хасах, үржүүлэх шинж чанаруудыг давтах
• мэдлэгийн онолыг практикт нэгтгэх
• Даалгаврыг гүйцэтгэх оновчтой аргын давуу талыг харуулах, өөрөөр хэлбэл энэ төслийг бий болгох нь хүүхдүүдэд шаардлагатай бөгөөд ач холбогдолтой болохыг харуулах.
• аргуудыг практикт хэрэглэх ур чадварыг дээшлүүлэх;

б) хөгжиж байна

• Дүгнэлт гаргах, материалыг системчлэх, аргыг тодорхой барилга байгууламжтай харьцуулах, бодлоо тодорхой илэрхийлэх чадварыг хөгжүүлэх
• тэдний танин мэдэхүйн үйл ажиллагааг тусгах чадварыг хөгжүүлэх
• бүтээлч ухамсар, бизнесийн жинхэнэ хүсэл тэмүүллийг бий болгох;

в) боловсролын

• бие даасан байдал, нэгдэл, бие биенээ сонсох, бусдын санаа бодлыг хүндэтгэх, бас өөрийгөө батлах чадвартай байх.

Тоног төхөөрөмж: соронзон самбар ба соронз, эсгий үзэг, модны навч (цомгийн хуудас), Матроскин, Шарик муурны зураг, слайд дэлгэц.

Хичээлийн үе шат, цаг	Даалгаврууд	Багшийн үйл ажиллагаа	Оюутны үйл ажиллагаа	Анхаарна уу
I Org. Агшин	Харилцааны найрсаг байдлын тохиргоо	- Сайн уу залуусаа! Бүх зүйл хичээлд бэлэн байгаа эсэхийг шалгаарай. Бие бие рүүгээ инээмсэглэ, одоо над руу инээмсэглэ! Таны сэтгэл санаа сайхан байна, та хичээлээ эхлүүлж болно!	- инээмсэглэ ерөнхий сэргэлт	- дэлгэцэн дээр "Инээмсэглэл" гэсэн бичвэр бүхий 1 слайд
II Мэдлэгийн шинэчлэл	Хүүхдүүдийн сонирхлыг татдаг Хичээлийн сэдэв рүү саадгүйгээр хөтлөх Тайзыг нэгтгэн дүгнэ	- Залуус аа, Матроскин, Шарик муур өнөөдөр бидэнтэй хамт ажиллана. Хүүхдүүд ээ, та 2 жишээг шийдэх хэрэгтэй, Шарикийн хүсэлтээр бид бүх хичээлийг шийддэг! (Би эгнээ дундуур алхаж, шийдлийг хардаг) Та юу вэ? (гайхсан!) Сайн хийлээ! Ганцхан минут л боллоо! Матроскин, Шарик нар эдгээр жишээг хэрхэн шийдсэнийг харцгаая. Тиймээс Матроскин муур шийдсэн бөгөөд Шарик үүнийг хэцүү гэж үздэг. Та яаж шийдсэн бэ? Өөр хэн? Муур Матроскин энэ арга юунд сайн болохыг сонирхож байна, яг яагаад үүнийг ашигласан бэ? Энэ арга нь өмч юм! Энэ өмчийг хэрхэн уншдаг вэ! Юуг тодруулна уу? Энэ өмч нь бидэнд юу хийх боломжийг олгодог гэдгийг дахин хэлье.	- Ура! (суудлаасаа дуугарах) (хэн нэгэн багананд үрждэг!) Би аль хэдийн шийдсэн! Залуус хариулт Шийдвэрлэх боломжийг танд олгоно: Илүү хурдан, Илүү тохиромжтой, Илүү хялбар, хялбар Цаг хэмнэнэ тараасан хууль Нэмэлт, хасах Илэрхийлэлийг хялбарчлах Илүү хурдан шийд Илүү хялбар, хялбар	- Самбар дээр Матроскин, Шарик муурны зураг Самбар дээр 69*27+31*27=22*87-102*87= (багананд) 3) 27*(69+31) =2700 Дэлгэц дээр 2 слайд
III Шинэ үзэл баримтлалын танилцуулга	Шинэ үзэл баримтлалыг танилцуулах	- Эдгээр бүх үгсийг үгээр сольж болно: оновчтой, та энэ үгийг өдөр тутмын амьдралдаа хаана сонсож байсан бэ?	- зурагтаар, үйлдвэрт рационализаторууд, зохистой хооллолт	3 слайд
IV Сэдвийн тодорхойлолт	Сэдвийг тодорхойлох	- Залуус аа! Бөмбөлөг өөр нэг жишээг ижил аргаар шийдэхийг оролдож байна! Би түүнд туслахыг санал болгож байна. Энэ үл хөдлөх хөрөнгийг хэрхэн дуудах вэ? Энэ оновчтой арга мөн үү? Бид энэ хоёр аргыг л мэдэх үү? За, сэдвээ томьёолъё, тэгээд өөр ямар шинж чанаруудыг мэддэг болохыг жагсаацгаая. Хичээлийн сэдэв юу вэ? таны таамаглал. Сэдэв ямар үгтэй холбогдох вэ? Ерөнхий дүгнэлт хийцгээе! Юу болсон бэ?	- (оюутнууд шийднэ) (шийдлийн зураг байна) Үүнтэй адилаар шийдэж болохгүй Үржүүлэхийн ассоциатив шинж чанар Шийдвэр гаргахад хялбар, хурдан, хялбар болгодог. Бид яаж гэдгийг хараахан мэдэхгүй байна! "Арга" гэдэг үгэнд "юу" гэж нэмж болно. Тооцооллын аргууд! Рациональ Тооцооллын оновчтой аргууд.	Ширээн дээр Хичээлийн сэдэв
В Зорилго тавих	Хичээлийн зорилгоо тодорхойлох	- Залуус аа! Хэрэв бид "арга" гэсэн үгийг солих юм бол! "Арга", "аргууд" гэсэн ижил ойлголтуудыг "илүү хялбар, хурдан, илүү хялбар" болгон ашиглах боломжтой юу? Аргын талаар өөр юу хэлж болох вэ? Үүнийг слайд дээр үзүүлье Та схемээс юуг онцгой анзаарсан бэ? Тэгэхээр хичээл бүрийн зорилго юу вэ? Дүгнэж хэлье: Бид ямар аргуудыг мэддэгийг эргэн санаж, эдгээр аргуудыг цэгцэл Илэрхийллийг хялбарчлах аргуудыг эргэн сана Тэдгээрийн хэрэглээг практикт засах Тодорхой жишээтэй аргыг харьцуулж сур Эдгээр нь бидний хичээлийн зорилго эсвэл санаанууд юм.	- Тийм ээ! Мөн "юу"-г "юу" гэсэн үгээр солино уу! Тэдгээрийг хаана ашигладаг вэ? "Юу" гэдэг үг "?" Бид ямар аргуудыг мэддэг, ямар шинж чанарууд, дүрмийг санаарай Сурах шинэ арга замууд байж магадгүй. - (Оюутнуудтайгаа хамт)	6 слайд
VI Мэдлэгийг системчилсэн сэдэв a) 0-р үе шатанд зорилго тавих. 5 мин б) бие даасан ажил 1.5 мин в) хосоор ажиллах г) бүлгийн ажил	Төсөл үүсгэх Өөрийгөө гүйцэтгэх Тэмдэглэлээ ярь Ерөнхий шийдэл, дүгнэлт хайх	- Залуус аа! Өнөөдөр бид танд мэдэгдэж байгаа аргууд (дор хаяж 8) болон аргуудын талаар бидний мэддэг бүх зүйлийг бүртгэх төслийг бий болгох ёстой. Төсөл нь бид навчийг наах мод хэлбэртэй байх болно. Шарик 2 минутын турш бие даан бодох, илэрхийлэлийг хялбарчлах арга замыг санах санаатай байв. Санааг дэмжих үү? Хосоор ажиллах Одоо бид бүлгээрээ (4 хүн) сууж байна, Шарик Матроскин мууртай хосоороо ажиллах болно. Өөрийн бодол, шийдвэрээ ярилц. Таны ширээн дээр ухуулах хуудас байгаа, тус бүр дээр нь нэг аргыг бич, тэгвэл бид тэдгээрийг модонд хавсаргана. Мэдээжийн хэрэг, жишээнүүдийн тусламжтайгаар энэ нь илүү тодорхой болно. Хэн хариулахаа сонго	- Энэ төсөл ямар байх вэ? (Оюутнууд бие даан ажиллах, тэмдэглэл хийх) - (дуу хоолой) (Оюутан бүр өөрийн бодлоо хэлнэ) (бүлгийн төлөөлөгч аргуудыг бичнэ, бусад нь тайлбар өгнө) Энэ нь жишээн дээр боломжтой юу?	Бүлгүүд нь нутаг дэвсгэрийн хувьд тусгаарлагдсан байдаг
VII Биеийн тамирын аялал	Үлдсэн оюутнууд	“Нэгэн цэцэг унтаж байгаад гэнэт сэрлээ Дахиж унтахыг хүссэнгүй Хөдлөгдсөн, сунгасан Дээшээ хөөрөөд нисэв"	Хүүхдүүдийн нэг нь удирдаж байна	8 слайд: "инээдтэй зураг"
VIII Төслийн хамгаалалт	Бүх бүлгүүдийн ажлыг нэгтгэн дүгнэ	- бүлэг бүрийн төлөөлөгчдийг урьж байна. . . (багш ажлыг удирдан чиглүүлдэг) Ингэж бид модтой болсон бөгөөд одоо таны яриаг сонсоод Матроскин муур хийсэн диаграммыг харцгаая.	Оюутны хэллэг: Би Питтэй санал нэг байна ... Манай групп нэмэхийг хүсч байна ... Мөн шууд утгаараа байж болно	Ширээн дээр: Модны их бие, хүүхдүүд соронзон самбар дээр навчийг соронзоор бэхэлдэг (нэг соронзонд ижил хариултууд)

Хавсралт 1-д төслийн схемийг үзүүлэв.

IX Туршилт	Аргын хэрэглээг практикт шалгана уу	- Залуус аа! Бид онолыг санаж, одоо та мэдлэгээ практикт хэрхэн ашиглахыг шалгах болно Одоо хөрштэйгээ дэвтэр солилцож, ажлыг нь шалга. Үнэлгээний норм: Алдаа байхгүй: "5" 2 алдаа: "4" 3 алдаа: "3" 3-аас дээш бол та дасгал хийх хэрэгтэй Шалтгаан нь юу байж болох вэ?	(Оюутнууд шийднэ)	Самбар дээрх слайд 10
			Туршилт
			B-I	В-2
			1) гүйх тохиромжтой арга
			a) (30-4) *5= б) 85*137-75*137= G) 25*296*4= д) 633-(163+387) =	a) 7*(60-3) = б) 78*214-78*204= G) 4*268*25= д) (964+27) -464=
			2) Тэгшитгэлийг шийд
			x+3x+x=30	x+5x+x=98
			(бие биенээ үнэлэх) Би цагтаа амжаагүй Арга ашиглахгүйгээр, багануудыг гүйцэтгэхгүйгээр шийдсэн	Дэлгэц дээр уусмалын хамт 11-р слайд
X Дүгнэж байна 2мин (өөрөө) 2мин (дуу хоолой)	Ажилдаа тунгаан бод	- юу санаж байсан бэ? Та юу санаж байсан бэ? Та ямар шинэ зүйл сурсан бэ? Та юу зассан бэ? Та өөртөө ямар дүгнэлт хийсэн бэ? Сайн байна залуусаа! Матроскин муур олон арга замыг санаж байсан ч Шарикийн бодол холилдсон тул бүх аргыг дахин давтъя.	- Шийдвэрлэх үед шинж чанаруудын хэрэглээг тогтмолжуулсан Тодорхой жишээн дээр үл хөдлөх хөрөнгийг зураглаж сурсан Үл хөдлөх хөрөнгийг хувьсагч ашиглан бичдэг гэдгийг би санаж байна "Ухаалаг байдал" гэж юу болохыг олж мэд Жишээ болгон өөрийн гэсэн арга барилтай гэдгийг ойлгосон Хууль хоёр чиглэлээр ажилладаг юм байна гэдгийг ойлгосон Би тэр хөгийг ойлгосон. хамгийн тохиромжтой арга замууд Эдгээр аргууд нь танд цаг хугацаа хэмнэх, шийдвэр гаргах, амьдралаа хялбарчлах боломжийг олгодог. Аргууд нь амаар, баганагүйгээр шийдэх боломжийг олгодог гэдгийг би ойлгосон
XI	d / z-д зааварчилгаа өгөх	- Залуус аа! 1. Гэртээ хамаатан садан, найз нөхөдтэйгээ ярилцах, магадгүй тэд өөр арга мэддэг байх 2. төсөл хийх, өөрийн жишээн дээр, энэ нь үүл, цэцэг гэх мэт хэлбэртэй байж болно, та компьютер ашиглаж болно. 3. эгч, дүү нартаа математикийн хичээлийг сонирхон харуулах 4. санамж бичигт төслийн тайлан гаргах		- индэр дээр байрлах санамж бичиг
XII Дүгнэлт		- муур Матроскин, Шарик нар танд "баярлалаа" гэж хэлээд та нартай баяртай гэж хэлээрэй! Би бас танд "сайн байна - хичээлдээ" гэж хэлье, баяртай		слайд12 "Сайн байна" гэсэн бичвэр

Тооцооллын автоматжуулалтын хэрэгслийн хөгжлийн өнөөгийн түвшин нь олон хүнд тооцоолох чадварыг хөгжүүлэх шаардлагагүй гэсэн хуурмаг байдлыг бий болгож байна. Энэ нь сурагчдын бэлтгэлд нөлөөлсөн. Тооцоологч байхгүй үед энгийн тооцооллын ажил ч олон хүний ​​хувьд асуудал болдог.

Үүний зэрэгцээ шалгалтын даалгавар, шалгалтын материалууд нь олон даалгавруудыг агуулдаг бөгөөд тэдгээрийн шийдэл нь туршилтын субъектуудаас тооцооллыг оновчтой зохион байгуулах чадварыг шаарддаг.

Энэ нийтлэлд бид тооцооллыг оновчтой болгох зарим аргууд, тэдгээрийн өрсөлдөөнт даалгавруудад хэрэглэх талаар авч үзэх болно.

Ихэнхдээ тооцооллыг оновчтой болгох аргууд нь арифметик үйлдлийг гүйцэтгэх үндсэн хуулиудыг хэрэглэхтэй холбоотой байдаг.

Жишээлбэл:

125 24 = 125 8 3 = 1000 3 = 3000; эсвэл

98 16(100 - 2) 16 = 100 16 - 2 16 = 1600 - 32 = 1568 гэх мэт.

Өөр нэг чиглэл - үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглах.

96 104 \u003d (100 - 4) (100 + 4) \u003d 100 2 - 4 2 \u003d 10000 - 16 \u003d 9984; эсвэл

115 2 = (100 + 15) 2 = 10000 + 2 15 100 + 225 = 10525.

Дараах жишээ нь тооцооллын хувьд сонирхолтой юм.

Тооцоолох:

(197 · 203 + 298 · 302 + 13) / (1999 · 2001 + 2993 · 3007 + 50) =
= ((200 – 3) · (200 + 3) + (300 – 2) · (300 + 2) + 13) / ((2000 – 1) · (2000 + 1) + (3000 – 7) · (3000 + 7) + 50) =
= (200 2 – 3 2 + 300 2 – 2 2 + 13) / (2000 2 – 1 2 + 3000 2 – 7 2 – 50) =
= 130000 / 13000000 = 0,01

Эдгээр нь тооцооллыг оновчтой болгох бараг стандарт арга юм. Заримдаа илүү чамин зүйлсийг санал болгодог. Жишээ болгон нэгжийн нийлбэр нь 10 байх хоёр оронтой тоог үржүүлэх аргыг авч үзье.

54 26 \u003d 50 30 + 4 (26 - 50) \u003d 1500 - 96 \u003d 1404 эсвэл

43 87 = 40 90 + 3 (87 - 40) = 3600 + 141 = 3741.

Үржүүлэх схемийг зурагнаас ойлгож болно.

Ийм үржүүлэх схем хаанаас гардаг вэ?

Нөхцөлөөр бидний тоонууд дараах хэлбэртэй байна: M = 10m + n, K = 10k + (10 – n). Бүтээлийг бүтээцгээе:

M K = (10м + н)(10к + (10 – н)) =
= 100мк + 100м - 10мн + 10нк + 10н - n 2 =
= m(k + 1) 100 + n(10k + 10 – n) =
= (10м) (10 (k + 1)) + n (K – 10м) байх ба арга нь үндэслэлтэй.

Нарийн төвөгтэй тооцооллыг сэтгэцийн асуудал болгон хувиргах олон ухаалаг арга байдаг. Гэхдээ хүн бүр эдгээр болон тооцооллыг хялбарчлах бусад олон ухаалаг аргуудыг санаж байх ёстой гэж та бодож болохгүй. Зөвхөн зарим үндсэн зүйлийг сурах нь чухал юм. Бусдад дүн шинжилгээ хийх нь зөвхөн үндсэн аргуудыг ашиглах ур чадварыг хөгжүүлэхэд ач холбогдолтой юм. Энэ бол тооцооллын асуудлыг хурдан бөгөөд зөв шийдвэрлэх боломжийг олгодог тэдний бүтээлч хэрэглээ юм.

Заримдаа тооцооллын жишээг шийдвэрлэхдээ илэрхийлэлийг тоонуудын хувиргалтаас олон гишүүнтийн хувиргалт руу шилжүүлэх нь тохиромжтой байдаг. Дараах жишээг авч үзье.

Хамгийн оновчтой аргаар тооцоол:

3 1 / 117 4 1 / 110 -1 110 / 117 5 118 / 119 - 5 / 119

Шийдвэр.

a = 1/117, b = 1/119 гэж үзье. Дараа нь 3 1 / 117 = 3 + a, 4 1 / 119 = 4 + b, 1 116 / 117 = 2 - a, 5 118 / 119 = 6 - б.

Тиймээс өгөгдсөн илэрхийллийг (3 + a) (4 + b) - (2 - a) (6 - b) - 5b гэж бичиж болно.

Олон гишүүнтийн энгийн хувиргалтыг хийсний дараа бид 10a эсвэл 10/117-г авна.

Эндээс бид илэрхийллийн утга нь b-ээс хамаардаггүй болохыг олж мэдэв. Энэ нь бид зөвхөн энэ илэрхийллийн утгыг төдийгүй (3 + a) (4 + b) - (2 - a) (6 - b) - 5b-ээс олж авсан утгыг орлуулан тооцоолсон гэсэн үг юм. a ба b. Жишээлбэл, a = 5/329 бол хариултанд бид авна 50 / 329 , юу ч байсан b.

Өөр нэг жишээг авч үзье, үүнийг тооцоолуур ашиглан шийдэх нь бараг боломжгүй бөгөөд хэрэв та энэ төрлийн жишээг шийдвэрлэх арга барилыг мэддэг бол хариулт нь маш энгийн байх болно.

Тооцоол

1 / 6 7 1024 – (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ( 7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 + 1)

Шийдвэр.

Нөхцөл байдлыг өөрчилье

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 +1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) (7 8 + 1) ) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 + 1) (7 - 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 2 – 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 4 – 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 8 – 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 +1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) · (7 16) – 1) = … =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 512 - 1) = 1/6 7 1024 - 1/6 (7 1024 - 1) = 1/6

Аль хэдийн болсон жишээнүүдийн нэгийг авч үзье суурь сургуулийн хичээлийн шалгалтын материалд сурах бичиг.

Нийлбэрийг тооцоолох:

1/2 + 1 / (2 3) + 1 / (3 4) + 1 / (4 5) + ... + 1 / (120 121) =

= (1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + … + (1/120 – 1/121) =

= 1 – 1/121 = 120/121.

Өөрөөр хэлбэл, бутархай бүрийг хоёр бутархайн зөрүүгээр солих арга нь энэ асуудлыг шийдэх боломжийг бидэнд олгосон юм. Энэ нийлбэр нь эхний болон сүүлчийн тооноос бусад бүх тоонуудын эсрэг хосууд болж хувирав.

Гэхдээ энэ жишээг ерөнхийд нь хэлж болно. Нийлбэрийг авч үзье:

k/(n (n + k)) + k/((n + k) (n + 2k)) + k/((n + 2k) (n + 3k)) + … + k/(( n + () м – 1)k) (n + мк))

Үүний тулд өмнөх жишээнд дурдсан бүх үндэслэлүүд хүчинтэй байна. Үнэхээр:

1/н – 1/(n + k) = k/(n (n + k));

1/((n+k) – 1/(n + 2k) = k/((n + k) (n + 2k)) гэх мэт.

Дараа нь бид ижил схемийн дагуу хариултыг бүтээдэг: 1/n – 1/(n + мк) = мк/(n (n + мк))

Мөн "урт" дүнгийн талаар илүү ихийг хэлэх болно.

Дүн

X \u003d 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/1024

1/2 хуваагч, эхний гишүүн 1-тэй геометр прогрессийн 11 гишүүний нийлбэрээр тооцож болно.Гэхдээ мөн л нийлбэрийг прогрессийн талаар ямар ч ойлголтгүй 5-р ангийн сурагч тооцож болно. Үүнийг хийхийн тулд бид X нийлбэр дээр нэмэх тоог амжилттай сонгоход хангалттай. Энэ тоо энд 1/1024 болно.

Тооцоолох

X + 1/1024 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + (1/1024 + 1) /1024) =
= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/512 =
=1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/256 = … = 1 + 1/2 + 1/2 = 2.

Одоо X = 2 гэдэг нь тодорхой боллоо – 1/1024 = 1 1023 / 1024 .

Хоёрдахь арга нь багагүй ирээдүйтэй юм. Үүний тусламжтайгаар та нийлбэрийг тооцоолж болно:

S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 99 999 999 999.

Энд "азтай" тоо нь 11. Үүнийг S дээр нэмээд бүх 11 гишүүний дунд жигд хуваарил. Дараа нь тэд тус бүр 1-ийг авна. Дараа нь бидэнд:

S + 11 = 9 + 1 + 99 + 1 + 999 + 1 + 9999 + 1 + ... + 99 999 999 999 + 1 =
= 10 + 100 + 1000 + 10000 + ... + 100 000 000 000 = 111 111 111 110;

Тиймээс S = 111 111 111 110 – 11 = 111 111 111 099.

1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 1 111 111 111?

сайт, материалыг бүрэн буюу хэсэгчлэн хуулсан тохиолдолд эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Эрт дээр үед, тооцооллын системийг хараахан зохион бүтээж амжаагүй байхад хүмүүс бүх зүйлийг хуруугаараа тоолдог байв. Арифметик болон математикийн суурь мэдлэг бий болсноор бараа, бүтээгдэхүүн, гэр ахуйн эд зүйлсийн бүртгэл хөтлөх нь илүү хялбар, практик болсон. Гэсэн хэдий ч энэ нь ямар харагдаж байна орчин үеийн системТооцоолол: одоо байгаа тоонууд ямар төрөлд хуваагддаг бөгөөд "тоонуудын оновчтой хэлбэр" нь юу гэсэн үг вэ? Үүнийг олж мэдье.

Математикт хэдэн төрлийн тоо байдаг вэ?

"Тоо" гэсэн ойлголт нь аливаа объектын тодорхой нэгжийг илэрхийлдэг бөгөөд энэ нь түүний тоон, харьцуулсан эсвэл дарааллын үзүүлэлтийг тодорхойлдог. Тодорхой зүйлсийн тоог зөв тооцоолох эсвэл тоонуудтай зарим математикийн үйлдлүүдийг (нэмэх, үржүүлэх гэх мэт) хийхийн тулд та юуны түрүүнд эдгээр тоонуудын төрлүүдтэй танилцах хэрэгтэй.

Тиймээс одоо байгаа тоонуудыг дараахь ангилалд хувааж болно.

1. Натурал тоо гэдэг нь объектын тоог тоолох тоонууд юм (хамгийн бага натурал тоо нь 1, натурал тоонуудын цуваа хязгааргүй байх нь логик юм, өөрөөр хэлбэл хамгийн том натурал тоо байдаггүй). Натурал тоонуудын багцыг ихэвчлэн N үсгээр тэмдэглэдэг.
2. Бүхэл тоо. Энэ багцад бүх зүйл багтсан бөгөөд сөрөг утгууд, түүний дотор "тэг" тоо нэмэгддэг. Бүхэл тооны олонлогийн тэмдэглэгээг латин Z үсэг хэлбэрээр бичнэ.
3. Рационал тоонууд нь бидний оюун ухаанаараа бутархай болгон хувиргах боломжтой тоонууд бөгөөд тэдгээрийн хуваагч нь бүхэл тоон олонлогт, хуваагч нь натурал тоонд хамаарах болно. Доор бид "рационал тоо" гэж юу болохыг илүү нарийвчлан шинжилж, цөөн хэдэн жишээ өгөх болно.
4. - бүх рационалийг агуулсан олонлог ба Энэ олонлогийг R үсгээр тэмдэглэнэ.
5. Цогцолбор тоо нь бодит болон хувьсагчийн нэг хэсгийг агуулна. Тэдгээрийг янз бүрийн куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг бөгөөд энэ нь эргээд томъёонд сөрөг илэрхийлэлтэй байж болно (i 2 = -1).

"Ухаалаг" гэж юу гэсэн үг вэ: бид үүнийг жишээн дээр дүн шинжилгээ хийдэг

Хэрэв рационал тоонууд нь бидний энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжтой тоонууд бол бүх эерэг ба сөрөг бүхэл тоонууд нь оновчтой тоонуудын багцад багтдаг болох нь харагдаж байна. Эцсийн эцэст аливаа бүхэл тоог, жишээлбэл 3 эсвэл 15-ыг бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болох бөгөөд хуваагч нь нэг байх болно.

Бутархай: -9/3; 7/5, 6/55 нь рационал тооны жишээ юм.

"Ухаалаг илэрхийлэл" гэж юу гэсэн үг вэ?

Үргэлжлүүл. Тооны оновчтой хэлбэр нь ямар утгатай болохыг бид аль хэдийн хэлэлцсэн. Одоо нийлбэр, зөрүү, үржвэр эсвэл хуваалтаас бүрдэх математик илэрхийллийг төсөөлцгөөе. янз бүрийн тооболон хувьсагч. Энд жишээ байна: бутархай нь хоёр ба түүнээс дээш бүхэл тооны нийлбэр бөгөөд хуваагч нь бүхэл тоо болон зарим хувьсагчийг хоёуланг нь агуулна. Энэ илэрхийллийг оновчтой гэж нэрлэдэг. "Та тэгээр хувааж болохгүй" гэсэн дүрэмд үндэслэн энэ хувьсагчийн утга нь хуваагчийн утга тэг болж хувирах боломжгүй гэдгийг та таамаглаж болно. Тиймээс рационал илэрхийллийг шийдэхдээ эхлээд хувьсагчийн мужийг тодорхойлох хэрэгтэй. Жишээлбэл, хуваагч нь дараах илэрхийллийг агуулна: x+5-2, тэгвэл "x" нь -3-тай тэнцүү байж болохгүй. Үнэн хэрэгтээ, энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ тэг болж хувирдаг тул шийдвэрлэхдээ энэ хувьсагчийн бүхэл тоог -3 оруулахгүй байх шаардлагатай.

Рационал тэгшитгэлийг хэрхэн зөв шийдэх вэ?

Рационал илэрхийлэл нь маш олон тооны тоо, бүр 2 хувьсагчийг агуулж болох тул заримдаа тэдгээрийг шийдвэрлэхэд хэцүү байдаг. Ийм илэрхийллийн шийдлийг хөнгөвчлөхийн тулд тодорхой үйлдлүүдийг оновчтой байдлаар хийхийг зөвлөж байна. Тэгэхээр "ухаалаг байдлаар" гэдэг нь юу гэсэн үг вэ, шийдвэр гаргахдаа ямар дүрмийг баримтлах ёстой вэ?

1. Эхний төрөл нь илэрхийлэлийг хялбарчлахад хангалттай юм. Үүнийг хийхийн тулд та тоологч ба хуваагчийг бууруулж болшгүй утга болгон бууруулах үйлдлийг ашиглаж болно. Жишээлбэл, хэрэв тоологч нь 18x илэрхийлэл, хуваагч нь 9x илэрхийллийг агуулж байвал хоёр үзүүлэлтийг 9x-ээр бууруулснаар бид 2-той тэнцүү бүхэл тоо авна.
2. Хоёрдахь арга нь хуваарьт нэг гишүүн, хуваарьт олон гишүүнтэй үед практик юм. Нэг жишээг харцгаая: тоологч дээр бид 5х, хуваагч дээр - 5x + 20x 2 байна. Энэ тохиолдолд хуваагч дахь хувьсагчийг хаалтнаас гаргах нь хамгийн сайн арга бөгөөд бид хуваагчийн дараах хэлбэрийг авна: 5x(1+4x). Одоо та эхний дүрмийг ашиглаж, тоо болон хуваагчийг 5 дахин багасгаж илэрхийллийг хялбарчлах боломжтой. Үүний үр дүнд бид 1/1+4x хэлбэрийн бутархай хэсгийг авна.

Рационал тоогоор ямар үйлдлүүдийг хийж болох вэ?

Рационал тоонуудын багц нь өөрийн гэсэн хэд хэдэн онцлог шинж чанартай байдаг. Тэдгээрийн олонх нь бүхэл тоо болон натурал тоонуудын шинж чанаруудтай маш төстэй байдаг тул сүүлийнх нь оновчтой олонлогт багтдаг. Рационал тоонуудын цөөн хэдэн шинж чанаруудыг мэдэж авснаар та ямар ч оновчтой илэрхийллийг хялбархан шийдэж чадна.

1. Солих шинж чанар нь дарааллаас үл хамааран хоёр ба түүнээс дээш тооны тоог нэгтгэх боломжийг олгодог. Энгийнээр хэлэхэд, хэмжээ нь нөхцлийн байршлын өөрчлөлтөөс өөрчлөгддөггүй.
2. Түгээлтийн шинж чанар нь хуваарилалтын хуулийг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг олгодог.
3. Эцэст нь нэмэх, хасах үйлдлүүд.

Сургуулийн сурагчид хүртэл "тоонуудын оновчтой төрөл" гэж юу болохыг, ийм илэрхийлэлд үндэслэн асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэхийг мэддэг тул боловсролтой насанд хүрсэн хүн ядаж рационал тоонуудын үндсийг санах хэрэгтэй.

Энэ нийтлэлд бид судалж эхлэх болно рационал тоо. Энд бид рационал тоонуудын тодорхойлолтыг өгч, шаардлагатай тайлбаруудыг өгч, рационал тооны жишээг өгдөг. Үүний дараа бид өгөгдсөн тоо оновчтой эсэхийг хэрхэн тодорхойлох талаар анхаарлаа хандуулах болно.

Хуудасны навигаци.

Рационал тооны тодорхойлолт ба жишээ

Энэ дэд хэсэгт бид рационал тооны хэд хэдэн тодорхойлолтыг өгсөн. Үг хэллэгийн ялгааг үл харгалзан эдгээр бүх тодорхойлолтууд нь ижил утгатай: рационал тоо нь бүхэл тоо, бутархай тоог нэгтгэдэгтэй адил бүхэл тоо нь натурал тоо, тэдгээрийн эсрэг тоо, тэг тоог нэгтгэдэг. Өөрөөр хэлбэл рационал тоо нь бүхэл ба бутархай тоог ерөнхийд нь илэрхийлдэг.

-ээс эхэлье рационал тоонуудын тодорхойлолтЭнэ нь хамгийн байгалийн гэж ойлгогддог.

Тодорхойлолтоос харахад оновчтой тоо нь:

• Аливаа натурал тоо n . Үнэн хэрэгтээ аливаа натурал тоог энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно, жишээлбэл, 3=3/1.
• Аливаа бүхэл тоо, ялангуяа тэг тоо. Үнэн хэрэгтээ аливаа бүхэл тоог эерэг энгийн бутархай, сөрөг энгийн бутархай эсвэл тэг гэж бичиж болно. Жишээлбэл, 26=26/1 , .
• Аливаа энгийн бутархай (эерэг эсвэл сөрөг). Үүнийг рационал тооны өгөгдсөн тодорхойлолтоор шууд илэрхийлдэг.
• Аливаа холимог тоо. Үнэндээ холимог тоог буруу энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжтой байдаг. Жишээлбэл, болон .
• Аливаа төгсгөлтэй аравтын бутархай эсвэл хязгааргүй үечилсэн бутархай. Энэ нь заасан аравтын бутархайг энгийн бутархай болгон хувиргадагтай холбоотой юм. Жишээлбэл, , болон 0,(3)=1/3 .

Хязгааргүй давтагдахгүй аравтын бутархайг энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй тул рационал тоо БИШ гэдэг нь тодорхой байна.

Одоо бид амархан авчрах болно рационал тоонуудын жишээ. 4, 903, 100,321 тоо нь натурал тоо учраас рационал тоо юм. 58 , −72 , 0 , −833 333 333 бүхэл тоонууд нь рационал тооны жишээ юм. Энгийн бутархай 4/9, 99/3 нь рационал тооны жишээ юм. Рационал тоо нь бас тоо юм.

Дээрх жишээнүүдээс харахад эерэг ба сөрөг рационал тоонууд хоёулаа байдаг бөгөөд тэг рационал тоо нь эерэг ч биш, сөрөг ч биш юм.

Рационал тоонуудын дээрх тодорхойлолтыг богино хэлбэрээр томъёолж болно.

Тодорхойлолт.

Рационал тоо z/n бутархай хэлбэрээр бичиж болох тоонуудыг дуудах ба энд z нь бүхэл тоо, n нь натурал тоо юм.

Рационал тоонуудын энэхүү тодорхойлолт нь өмнөх тодорхойлолттой дүйцэхүйц гэдгийг баталъя. Бутархайн зураасыг хуваах тэмдэг гэж үзэж болно гэдгийг бид мэднэ, тэгвэл бүхэл тоог хуваах шинж чанар, бүхэл тоог хуваах дүрмээс дараах тэгшитгэлүүд ба . Тэгэхээр энэ нь нотлох баримт юм.

Үндэслэн рационал тоонуудын жишээг өгье энэ тодорхойлолт. −5 , 0 , 3 , гэсэн тоонууд нь рационал тоонууд бөгөөд тэдгээрийг бүхэл тоо болон натурал хуваагчтай бутархай хэлбэрээр бичиж болно.

Рационал тооны тодорхойлолтыг мөн дараах томъёогоор өгч болно.

Тодорхойлолт.

Рационал тоонь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархай хэлбэрээр бичиж болох тоонууд юм.

Аливаа энгийн бутархай нь хязгаарлагдмал эсвэл үечилсэн аравтын бутархайтай тохирч, мөн эсрэгээр, ямар ч бүхэл тоо нь аравтын бутархайн дараа тэгтэй аравтын бутархайтай холбогдож болох тул энэ тодорхойлолт нь эхний тодорхойлолттой адил юм.

Жишээлбэл, 5 , 0 , −13 тоонуудыг дараах аравтын бутархай 5.0 , 0.0 , −13.0 , 0.8 болон −7,(18) хэлбэрээр бичиж болох тул рационал тоонуудын жишээ юм.

Бид энэ хэсгийн онолыг дараах мэдэгдлээр дуусгаж байна.

• бүхэл ба бутархай тоо (эерэг ба сөрөг) нь оновчтой тооны багцыг бүрдүүлдэг;
• рационал тоо бүрийг бүхэл тоо болон натурал хуваагчтай бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болох ба ийм бутархай бүр нь ямар нэгэн рационал тоо;
• рационал тоо бүрийг төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болох ба ийм бутархай бүр зарим рационал тоог илэрхийлдэг.

Энэ тоо оновчтой юу?

Өмнөх догол мөрөнд дурын натурал тоо, бүхэл тоо, энгийн бутархай, холимог тоо, эцсийн аравтын бутархай, мөн үечилсэн аравтын бутархай нь рационал тоо болохыг олж мэдсэн. Энэхүү мэдлэг нь бичсэн тооны багцаас оновчтой тоог "таних" боломжийг бидэнд олгодог.

Харин тоог зарим , эсвэл гэх мэтээр өгвөл яах вэ, өгөгдсөн тоо оновчтой юу гэсэн асуултад хэрхэн хариулах вэ? Ихэнх тохиолдолд үүнд хариулах нь маш хэцүү байдаг. Сэтгэлгээний зарим чиглэлийг зааж өгье.

Хэрэв тоог зөвхөн рационал тоо, арифметик тэмдэг (+, −, · ба:) агуулсан тоон илэрхийлэл гэж заасан бол энэ илэрхийллийн утга нь рационал тоо байна. Энэ нь рационал тоон дээрх үйлдлүүдийг хэрхэн тодорхойлсоноос хамаарна. Жишээлбэл, илэрхийлэл дэх бүх үйлдлийг гүйцэтгэсний дараа бид 18 оновчтой тоог авна.

Заримдаа, илэрхийлэл болон бусад зүйлийг хялбаршуулсаны дараа нарийн төвөгтэй төрөл, өгөгдсөн тоо оновчтой эсэхийг тодорхойлох боломжтой болно.

Цаашаа явцгаая. Аливаа натурал тоо рационал байдаг тул 2-ын тоо нь оновчтой тоо юм. Тоогоор яах вэ? Энэ нь оновчтой юу? Үгүй ээ, энэ бол оновчтой тоо биш, иррационал тоо юм (энэ баримтыг зөрчилдөөнөөр нотлох баримтыг 8-р ангийн алгебрийн сурах бичигт доор дурдсан эх сурвалжийн жагсаалтад өгсөн болно). Энэ нь ч батлагдсан Квадрат язгуурязгуур нь зарим натурал тооны төгс квадрат тоо байх тохиолдолд л натурал тооноос рационал тоо болно. Жишээлбэл, 81=9 2 ба 1024=32 2 тул рационал тоо бөгөөд 7 ба 199 тоо нь натурал тоонуудын төгс квадрат биш тул ба тоонууд рационал биш байна.

Энэ тоо оновчтой юу, үгүй ​​юу? Энэ тохиолдолд энэ тоо оновчтой болохыг харахад хялбар байдаг. Тоо оновчтой юу? Эх тэмдгийн доорх тоо нь зарим бүхэл тооны k-р зэрэгтэй байвал бүхэл тооны язгуур нь рационал тоо болох нь батлагдсан. Тиймээс тав дахь зэрэг нь 121 байх бүхэл тоо байхгүй тул энэ нь оновчтой тоо биш юм.

Зөрчилдөөний арга нь зарим тооны логарифмууд нь ямар нэг шалтгаанаар оновчтой тоо биш гэдгийг батлах боломжийг бидэнд олгодог. Жишээлбэл, энэ нь оновчтой тоо биш гэдгийг баталъя.

Үүний эсрэгээр, өөрөөр хэлбэл рационал тоо бөгөөд энгийн бутархай m/n гэж бичиж болно гэж бодъё. Дараа нь дараах тэгшитгэлийг өгнө: . Сүүлийн тэгш байдал нь боломжгүй, учир нь түүний зүүн талд байдаг сондгой тоо 5 n , баруун талд нь тэгш тоо 2 м байна. Тиймээс бидний таамаг буруу, тиймээс оновчтой тоо биш юм.

Эцэст нь хэлэхэд, тоонуудын оновчтой эсвэл үндэслэлгүй байдлыг тодруулахдаа гэнэтийн дүгнэлт хийхээс зайлсхийх хэрэгтэй гэдгийг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй.

Жишээлбэл, π ба e иррационал тоонуудын үржвэр нь иррационал тоо гэж шууд хэлэх ёсгүй, энэ нь "илэрхий юм шиг" боловч нотлогдоогүй. Энэ нь "Яагаад бүтээгдэхүүн оновчтой тоо байх ёстой вэ" гэсэн асуулт гарч ирдэг. Яагаад болохгүй гэж, учир нь та үржвэр нь оновчтой тоог өгдөг иррационал тоонуудын жишээг өгч болно:.

Мөн энэ тоо болон бусад олон тоо оновчтой эсэх нь тодорхойгүй байна. Жишээлбэл, иррациональ хүчин чадал нь рационал тоо байдаг иррационал тоонууд байдаг. Үүнийг тайлбарлахын тулд хэлбэрийн зэрэг өгье, энэ зэргийн суурь ба илтгэгч нь рационал тоо биш харин , 3 нь рационал тоо юм.

Ном зүй.

• Математик. 6-р анги: сурах бичиг. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд / [Н. Я.Виленкин болон бусад]. - 22 дахь хэвлэл, Илч. - М.: Mnemosyne, 2008. - 288 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебр:сурах бичиг 8 эсийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; ed. С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага): Proc. тэтгэмж.- М.; Илүү өндөр сургууль, 1984.-351 х., өвчтэй.

Кожинова Анастасия

ХОТЫН ЕРИЙН БУС ТӨСӨВ

ЕРӨНХИЙ БОЛОВСРОЛЫН БАЙГУУЛЛАГА

"Лицей №76"

РАЦИОН ТООЛЛОГЫН НУУЦ ЮУ ВЭ?

Гүйцэтгэсэн:

5 "Б" ангийн сурагч

Кожинова Анастасия

Удирдагч:

Математикийн багш

Шиклина Татьяна

Николаевна

Новокузнецк 2013 он

Оршил……………………………………………………… 3

Үндсэн хэсэг……………………………………………….. 5-13

Дүгнэлт, дүгнэлт…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Ашигласан материал……………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………….

Хэрэглээ………………………………………………………… 16-31

I. Танилцуулга

Асуудал: тоон илэрхийллийн утгыг олох

Зорилго:оновчтой тоолох одоо байгаа арга, техникийг хайх, судлах, тэдгээрийг практикт ашиглах.

Даалгаварууд:

1. Зэрэгцээ ангиудын дунд асуулга хэлбэрээр мини судалгаа явуулах.

2. Судалгааны сэдвээр дүн шинжилгээ хийх: сургуулийн номын санд байгаа уран зохиол, 5-р ангийн математикийн сурах бичиг, интернет дэх мэдээлэл.

3. Хамгийн ихийг сонго үр дүнтэй аргуудболон оновчтой нягтлан бодох бүртгэлийн арга хэрэгсэл.

4. Амаар болон бичгээр хурдан тоолох одоо байгаа аргуудын ангилалыг явуулна.

5. Зэрэгцээ 5 ангид ашиглах оновчтой тоолох арга техникийг агуулсан санамж бичгийг бүтээ.

Судалгааны объект: оновчтой тооцоо.

Судалгааны сэдэв: оновчтой тоолох арга.

Үр ашгийн хувьд судалгааны ажилБи дараах аргуудыг ашигласан: янз бүрийн эх сурвалжаас олж авсан мэдээллийн дүн шинжилгээ, нэгтгэх, нэгтгэх; санал асуулгын хэлбэрээр санал асуулга. Санал асуулгын хуудсыг судалгааны зорилго, зорилт, судалгаанд оролцогчдын нас зэрэгт нийцүүлэн боловсруулсан бөгөөд ажлын үндсэн хэсэгт толилуулж байна.

Судалгааны ажлын явцад оновчтой тоолох арга, техниктэй холбоотой асуудлуудыг авч үзэж, тооцооллын ур чадварт тулгарч буй бэрхшээлийг арилгах, тооцоолох соёлыг төлөвшүүлэх талаар зөвлөмж өгсөн.

II. Гол хэсэг

Оюутнуудын компьютерийн соёлыг төлөвшүүлэх

5-6 анги.

Ухаалаг тоолох арга нь хүн бүрийн амьдралд тооцоолох соёлын зайлшгүй элемент бөгөөд юуны түрүүнд практик ач холбогдолтой тул оюутнуудад бараг бүх хичээлд шаардлагатай байдаг нь ойлгомжтой.

Тооцооллын соёл нь математик болон бусад эрдэм шинжилгээний хичээлүүдийг судлах үндэс суурь болдог, учир нь тооцоолол нь ой санамж, анхаарлыг идэвхжүүлж, үйл ажиллагааг оновчтой зохион байгуулахад тусалдаг бөгөөд хүний ​​​​хөгжилд ихээхэн нөлөөлдөг.

Өдөр тутмын амьдралд, минут бүрийг үнэлдэг сургалтын үеэр алдаа гаргахгүй, нэмэлт тооцооллын хэрэгсэл ашиглахгүйгээр аман болон бичгийн тооцоог хурдан, оновчтой хийх нь маш чухал юм.

Сургуулийн сурагчид бид анги, гэртээ, дэлгүүрт гэх мэт хаа сайгүй ийм асуудалтай тулгардаг. Түүнчлэн 9, 11-р ангийн дараа бид бичил тооцоолуур ашиглахыг хориглосон IGA болон Улсын нэгдсэн шалгалтын хэлбэрээр шалгалт өгөх шаардлагатай болно. Тиймээс хүн бүрт тооцоолох соёлыг төлөвшүүлэх асуудал, түүний нэг элемент нь оновчтой тоолох аргыг эзэмших нь маш чухал болж байна.

Ялангуяа оновчтой тоолох аргыг эзэмших шаардлагатай.

математик, түүх, технологи, компьютерийн шинжлэх ухаан гэх мэт хичээлүүдийг судлахад, өөрөөр хэлбэл оновчтой тоолох нь холбогдох сэдвүүдийг эзэмших, судалж буй материалыг амьдралын нөхцөл байдалд илүү сайн чиглүүлэхэд тусалдаг. Тэгэхээр бид юу хүлээж байна вэ? Тоолох рационал аргын нууцын ертөнцөд орцгооё!!!

Оюутнууд тооцоо хийхэд ямар бэрхшээл тулгардаг вэ?

Ихэнхдээ миний үе тэнгийнхэн тооцооллыг хурдан бөгөөд тохиромжтой аргаар хийх шаардлагатай янз бүрийн ажлыг гүйцэтгэхэд бэрхшээлтэй тулгардаг. . Яагаад???

Энд зарим таамаг байна:

1. Сурагч судалсан сэдвээ сайн эзэмшээгүй

2. Сурагч тухайн материалыг давтахгүй

3. Сурагчийн тоо бодох чадвар муу

4. Оюутан энэ сэдвийг судлахыг хүсэхгүй байна

5. Оюутан өөрт нь хэрэг болохгүй гэж итгэдэг.

Би эдгээр бүх таамаглалыг өөрийн туршлагаас болон ангийнхан, үе тэнгийнхнийхээ туршлагаас авсан. Гэсэн хэдий ч оновчтой тоолох чадвар нь тооцоолох дасгалд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг тул би зарим оновчтой тоолох аргуудыг судалж, хэрэгжүүлсэн бөгөөд танд танилцуулахыг хүсч байна.

Аман болон бичгийн тооцооны оновчтой аргууд.

Ажил дээрээ ч, гэртээ ч байнга хэрэгцээтэй байдаг өөр төрлийнтооцоолох. Сэтгэцийн тоолох хамгийн энгийн аргыг ашиглах нь ядаргаа бууруулж, анхаарал, ой санамжийг хөгжүүлдэг. Тооцооллын оновчтой аргуудыг ашиглах нь тооцооллын хөдөлмөр, нарийвчлал, хурдыг нэмэгдүүлэхэд зайлшгүй шаардлагатай. Тооцооллын хурд, нарийвчлалыг зөвхөн тусламжтайгаар л хийх боломжтой зохистой хэрэглээтооцоог механикжуулах арга, хэрэгсэл, түүнчлэн амаар тоолох аргыг зөв ашиглах.

I. Тоон нэмэх хялбаршуулсан техник

Тооцооллыг хурдасгах дөрвөн нэмэлт арга байдаг.

Дараалсан битийн нэмэх арга нэр томъёоны нийлбэрийг хялбаршуулж, хурдасгадаг тул оюуны тооцоололд ашигладаг. Энэ аргыг хэрэглэх үед нэмэх нь хамгийн өндөр цифрүүдээс эхэлдэг: эхний гишүүнд хоёр дахь гишүүний харгалзах цифрүүд нэмэгддэг.

Жишээ. 5287 ба 3564 тоонуудын нийлбэрийг битийн дараалсан нэмэх аргыг ашиглан олъё.

Шийдвэр. Бид дараах дарааллаар тооцоолно.

5 287 + 3 000 = 8 287;

8 287 + 500 = 8 787;

8 787 + 60 = 8 847;

8 847 + 4 = 8 851.

Хариулт: 8 851

Дараалсан битээр нэмэх өөр нэг арга Хоёр дахь гишүүний хамгийн дээд зэрэглэлийг эхний гишүүний хамгийн дээд цифр дээр нэмж, дараа нь хоёрдугаар гишүүний дараагийн цифрийг эхний гишүүний дараагийн цифр дээр нэмэх гэх мэтээс бүрдэнэ.

Энэ шийдлийг өгөгдсөн жишээн дээр авч үзье, бид дараахь зүйлийг олж авна.

5 000 + 3 000 = 8 000;

200 + 500 = 700;

Хариулт: 8851.

дугуй тооны арга . Нэг чухал оронтой, нэг буюу хэд хэдэн тэгээр төгссөн тоог дугуй тоо гэнэ. Энэ аргыг хоёр буюу түүнээс дээш тооны нэр томьёог сонгох боломжтой бөгөөд үүнийг дугуй тоогоор гүйцээж болно. Тооцооллын нөхцөлд заасан дугуй тоо ба тооны зөрүүг нөхөх тоо гэнэ. Жишээлбэл, 1000 - 978 = 22. Энэ тохиолдолд 22-ын тоо нь 978-аас 1000 хүртэлх арифметик нэмэгдэл юм.

Дугуй тооны аргаар нэмэхийн тулд дугуй тоотой ойролцоо нэг буюу хэд хэдэн гишүүнийг дугуйлж, дугуй тооны нэмэх үйлдлийг хийж, гарсан нийлбэрээс арифметик нэмэлтийг хасах шаардлагатай.

Жишээ. Дугуй тооны аргыг ашиглан 1238 ба 193 тоонуудын нийлбэрийг ол.

Шийдвэр. 193-ын тоог 200 болгон дугуйлж, дараах байдлаар нэмнэ үү: 1 238 + 193 \u003d (1 238 + 200) - 7 \u003d 1 431. (холбооны хууль)

Нэр томьёог бүлэглэх арга . Нэр томьёог хамтад нь бүлэглэхдээ дугуй тоо өгч, дараа нь нэгтгэсэн тохиолдолд энэ аргыг ашигладаг.

Жишээ. 74, 32, 67, 48, 33, 26 тоонуудын нийлбэрийг ол.

Шийдвэр. Дараах байдлаар бүлэглэсэн тоонуудыг нэгтгэж үзье: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

(ассоциатив-шилжилтийн хууль)

эсвэл тоонуудыг бүлэглэх үед ижил нийлбэрүүд гарна:

Жишээ нь: 1+2+3+4+5+…+97+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…=101x50=5050

(ассоциатив-шилжилтийн хууль)

II. Тоонуудыг хялбаршуулсан хасах арга техник

Дараалсан битийн хасах арга. Энэ арга нь бууруулсан тооноос хассан цифр бүрийг дараалан хасдаг. Энэ нь тоонуудыг дугуйлах боломжгүй үед ашиглагддаг.

Жишээ. 721 ба 398 тоонуудын ялгааг ол.

Шийдвэр. Өгөгдсөн тоонуудын зөрүүг олох үйлдлүүдийг дараах дарааллаар хийцгээе.

398 тоог нийлбэрээр илэрхийлнэ: 300 + 90 + 8 = 398;

битээр хасах үйлдэл хийх:

721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

дугуй тооны арга . Энэ аргыг хасалт нь дугуй тоотой ойролцоо байвал хэрэглэнэ. Тооцоолохын тулд дугуй тоогоор авсан хасалтыг бууруулсанаас хасч, үүссэн зөрүү дээр арифметик нэмэлтийг нэмэх шаардлагатай.

Жишээ. Дугуй тооны аргаар 235 ба 197 тоонуудын зөрүүг тооцоолъё.

Шийдвэр. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. Тоонуудыг хялбаршуулсан үржүүлэх арга техник

Нэгээр үржүүлж, дараа нь тэг. Нэгжийн араас тэг (10; 100; 1000 гэх мэт) орсон тоогоор тоог үржүүлэхэд тухайн нэгжийн дараа үржүүлэгчид байгаа тоогоор баруун талд нь олон тэг онооно.

Жишээ. 568 ба 100 тоонуудын үржвэрийг ол.

Шийдвэр. 568 x 100 = 56,800.

битээр үржүүлэх арга . Энэ аргыг аль нэг оронтой тоогоор тоог үржүүлэхэд ашигладаг. Хэрэв та хоёр оронтой (гурван, дөрвөн оронтой гэх мэт) тоог нэг оронтой тоогоор үржүүлэх шаардлагатай бол эхлээд нэг оронтой үржүүлэгчийг хэдэн арван өөр хүчин зүйлээр, дараа нь түүний нэгжээр үржүүлж үржүүлнэ. бүтээгдэхүүнийг нэгтгэн дүгнэв.

Жишээ. 39 ба 7 тоонуудын үржвэрийг ол.

Шийдвэр. 39 x 7 = (30+9) x 7 = (30 х 7) + (9 х 7) = 210 + 63 = 273. ( хуваарилалтын хуульнэмэхтэй холбоотойгоор үржүүлэх)

дугуй тооны арга . Энэ аргыг зөвхөн нэг хүчин зүйл нь дугуй тоотой ойролцоо байх үед л хэрэглэнэ. Үржүүлэгчийг дугуй тоогоор үржүүлж, дараа нь арифметик нэмэлтээр үржүүлж, эцэст нь эхний бүтээгдэхүүнээс хоёр дахь нь хасагдана.

Жишээ. 174 ба 69 тоонуудын үржвэрийг ол.

174 x 69 \u003d 174 x (70-1) \u003d 174 x 70 - 174 x 1 \u003d 12 180 - 174 \u003d 12 006. (хасахтай холбоотой үржүүлгийн тархалтын хууль)

Нэг хүчин зүйлийг өргөжүүлэх арга зам. Энэ аргын хувьд хүчин зүйлсийн аль нэгийг эхлээд хэсэг (нэр томьёо) болгон задалж, дараа нь хоёр дахь хүчин зүйлийг эхний хүчин зүйлийн хэсэг тус бүрээр үржүүлж, үр дүнд хүрсэн бүтээгдэхүүнийг нэгтгэн дүгнэнэ.

Жишээ. 13 ба 325 тоонуудын үржвэрийг ол.

13-ын тоог нөхцөл болгон задалъя: 13 \u003d 10 + 3. Олж авсан нэр томъёо бүрийг 325-аар үржүүлье: 10 x 325 \u003d 3 250; 3 x 325 = 975. Үр дүнг нэгтгэн дүгнэвэл: 3250 + 975 = 4225

Оюуны оновчтой тоолох чадварыг эзэмшсэнээр таны ажлыг илүү үр дүнтэй болгоно. Энэ нь дээрх бүх арифметик үйлдлүүдийг сайн эзэмшсэн тохиолдолд л боломжтой юм. Тооцооллын оновчтой аргыг ашиглах нь тооцооллыг хурдасгаж, шаардлагатай нарийвчлалыг хангадаг. Гэхдээ зөвхөн тооцоо хийх чадвартай байхаас гадна үржүүлэх хүснэгт, арифметик үйлдлийн хууль, анги, цифрийг мэддэг байх хэрэгтэй.

Амаар хурдан, оновчтой тоолох боломжийг олгодог оюуны тоолох системүүд байдаг. Бид хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг техникүүдийн заримыг авч үзэх болно.

1. Хоёр оронтой тоог 11-ээр үржүүлэх.

Бид энэ аргыг судалсан ч эцсээ хүртэл судлаагүй. Энэ аргын нууц нь үүнийг арифметик үйлдлийн хууль гэж үзэж болох юм.

Жишээ нь:

23x11 \u003d 23x (10 + 1) \u003d 23x10 + 23x1 \u003d 253 (нэмэлттэй холбоотой үржүүлэх тархалтын хууль)

23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (тархалтын хууль ба дугуй тооны арга)

Бид энэ аргыг судалж үзсэн боловч өөр аргыг мэдэхгүй байсан. Хоёр оронтой тоог 11-ээр үржүүлэх нууц.

Хоёр оронтой тоог 11-ээр үржүүлэхэд гарсан үр дүнг ажигласнаар та хариултыг илүү хялбар аргаар авах боломжтой гэдгийг би анзаарсан. : хоёр оронтой тоог 11-ээр үржүүлэхэд энэ тооны цифрүүдийг хооронд нь холдуулж, тэдгээрийн нийлбэрийг голд нь оруулна.

a) 2+3=5 тул 23 11=253;

б) 45 11=495, учир нь 4+5=9;

в) 57 11=627, учир нь 5+7=12, дундуур нь хоёрыг тавьж, зуутын оронд нэгийг нэмсэн;

г) 78 11=858, 7+8=15 тул аравтын тоо 5, зуутын тоо нэгээр нэмэгдэж 8-тай тэнцүү байна.

Би энэ аргын баталгааг интернетээс олсон.

2) Ижил тооны арав, нэгжийн нийлбэр нь 10, өөрөөр хэлбэл 23 27 гэсэн хоёр оронтой тоонуудын үржвэр; 34 36; 52 58 гэх мэт.

дүрэм: аравтын цифрийг натурал цувралын дараагийн цифрээр үржүүлж, үр дүнг бичиж, нэгжийн үржвэрийг түүнд хамааруулна.

a) 23 27 = 621. Та яаж 621 авсан бэ? Бид 2-ын тоог 3-аар үржүүлбэл ("хоёр"-ын араас "гурван" гэсэн тоо байдаг), энэ нь 6 болно, дараа нь бид нэгжийн үржвэрийг онооно: 3 7 \u003d 21, энэ нь 621 болж хувирна.

б) 34 36 = 1224, 3 4 = 12 тул бид 24-ийг 12 тоонд хамааруулж байгаа бөгөөд энэ нь эдгээр тоонуудын нэгжийн үржвэр юм: 4 6.

в) 52 58 \u003d 3016, бид 5-ын аравтын тоог 6-аар үржүүлснээр энэ нь 30 байх болно, бид 2 ба 8-ын үржвэрийг, өөрөөр хэлбэл 16 гэж тооцдог.

d) 61 69=4209. 6-г 7-оор үржүүлээд 42 болсон нь ойлгомжтой.Тэг нь хаанаас гардаг вэ? Бид нэгжүүдийг үржүүлээд: 1 9 \u003d 9 болсон, гэхдээ үр дүн нь хоёр оронтой байх ёстой тул бид 09-ийг авна.

3) Ижил цифрүүдтэй гурван оронтой тоог 37-д хуваа. Үр дүн нь гурван оронтой тооны ижил цифрүүдийн нийлбэр (эсвэл гурван оронтой тооны цифрийг гурав дахин үржүүлсэнтэй тэнцэх тоо) юм.

Жишээ нь: a) 222:37=6. Энэ нь 2+2+2=6-ийн нийлбэр; б) 333:37=9, учир нь 3+3+3=9.

в) 777:37=21, өөрөөр хэлбэл 7+7+7=21 хүртэл.

г) 888:37=24, учир нь 8+8+8=24.

Мөн бид 888:24=37 гэдгийг харгалзан үздэг.

III. Дүгнэлт

Ажлынхаа сэдвийн гол нууцыг тайлахын тулд би шаргуу ажиллах хэрэгтэй болсон - мэдээлэл хайх, дүн шинжилгээ хийх, ангийнхандаа асуулт тавих, эрт мэдэгдэж байсан аргуудыг давтах, оновчтой тоолох олон танил бус аргуудыг олох, эцэст нь ойлгох. түүний нууц юу вэ? Хамгийн гол нь мэдэгдэж байгаа зүйлээ мэдэж, хэрэглэж чаддаг байх, тоолох шинэ оновчтой аргууд, үржүүлэх хүснэгт, тооны бүтэц (анги, цифр), арифметик үйлдлийн хуулиудыг олох явдал гэдгийг би ойлгосон. Түүнээс гадна,

Үүнийг хийх шинэ арга зам хайх:

- Тоон нэмэх хялбаршуулсан техник: (дараалсан битийн нэмэх арга; дугуй тооны арга; аль нэг хүчин зүйлийг нэр томъёонд задлах арга);

-Тоонуудыг хялбаршуулсан хасах арга техник(дараалсан битийн хасах арга; дугуй тооны арга);

-Тоонуудыг хялбаршуулсан үржүүлэх арга техник(нэгээр дараа нь тэгээр үржүүлэх; битээр үржүүлэх арга; дугуй тооны арга; хүчин зүйлийн аль нэгийг өргөтгөх арга ;

- Оюуны хурдан тоолох нууцууд(хоёр оронтой тоог 11-ээр үржүүлэх: хоёр оронтой тоог 11-ээр үржүүлэхэд энэ тооны цифрүүдийг салгаж, эдгээр цифрүүдийн нийлбэрийг голд нь оруулна; хоёр оронтой тоонуудын үржвэр ижил тооны арав, нэгжийн нийлбэр нь 10; Ижил оронтой тооноос бүрдэх гурван оронтой тоог 37 тоон дээр хуваах. Ийм олон арга байгаа байх, тиймээс би дараа жил энэ сэдвээр үргэлжлүүлэн ажиллах болно.

IV. Ном зүй

1. Савин A. P. Математикийн бяцхан бүтээлүүд / A. P. Savin. - М .: Хүүхдийн уран зохиол, 1991 он

2. Зубарева I.I., Математик, 5-р анги: Боловсролын байгууллагын оюутнуудад зориулсан сурах бичиг / I.I. Zubareva, A.G. Мордкович. - М.: Мнемосине, 2011

4. http:/ / www. xreferat.ru

5. http:/ / www. biografia.ru

6. http:/ / www. Математик - давталт. en

В. Хэрэглээ

Бяцхан судалгаа (санал асуулгын хэлбэрээр хийсэн судалгаа)

Оюутнуудын оновчтой тоолох талаархи мэдлэгийг тодорхойлохын тулд би дараахь асуултын дагуу асуулга хэлбэрээр судалгаа явуулсан.

* Тооцооллын оновчтой аргууд гэж юу байдгийг та мэдэх үү?

* Хэрэв тийм бол хаана, үгүй ​​бол яагаад болохгүй гэж?

* Та оновчтой тоолох хэдэн аргыг мэддэг вэ?

* Та оюун ухаанаа тоолоход бэрхшээлтэй байна уу?

* Та математикийг хэрхэн сурдаг вэ? a) "5" дээр; б) "4" дээр; в) "3" дээр

* Та математикийн юунд хамгийн их дуртай вэ?

а) жишээ; б) даалгавар; в) бутархай

* Та юу гэж бодож байна, математикийн хичээлээс бусад тохиолдолд оюуны тоолол хаана хэрэгтэй вэ? * Та арифметик үйлдлийн хуулиудыг санаж байна уу, хэрэв тийм бол аль нь вэ?

Ангийнхан маань арифметик үйлдлийн хуулийг хангалттай мэддэггүй, ихэнх нь оновчтой тоолоход бэрхшээлтэй, олон сурагч удаан, алдаатай тоолдог, хүн бүр хурдан, зөв, эвтэйхэн тоолж сурахыг хүсдэг болохыг судалгаа явуулсны дараа ойлгосон. . Тиймээс миний судалгааны ажлын сэдэв нь зөвхөн төдийгүй бүх оюутнуудад маш чухал юм.

1. "Математик, 5-р анги" сурах бичгийн жишээн дээр бидний математикийн хичээл дээр судалсан аман болон бичгийн тооцооллын сонирхолтой аргууд:

Тэдгээрийн заримыг энд дурдъя:

тоог 5-аар хурдан үржүүлэх, 5=10:2 гэдгийг тэмдэглэхэд хангалттай.

Жишээлбэл, 43x5=(43x10):2=430:2=215;

48х5=(48:2)х10=24х10=240.

Тоог 50-аар үржүүлэх , та үүнийг 100-аар үржүүлж, 2-т хувааж болно.

Жишээ нь: 122x50=(122x100):2=12200:2=6100

Тоог 25-аар үржүүлэх , та үүнийг 100-аар үржүүлж, 4-т хувааж болно,

Жишээлбэл, 32x25=(32x100):4=3200:4=800

Тоог 125-аар үржүүлэх , та үүнийг 1000-аар үржүүлж, 8-д хувааж болно,

Жишээ нь: 192x125=(192x1000):8=192000:8=24000

Хоёр 0-ээр төгссөн дугуй тоог 25-д хуваана , та үүнийг 100-д ​​хувааж, 4-р үржүүлж болно.

Жишээ нь: 2400:25=(2400:100) x 4=24 x 4=96

Дугуй тоог 50-д хуваах , 100-д ​​хувааж, 2-оор үржүүлж болно

Жишээ нь: 4500:50=(4500:100) x 2 =45 x 2 =90

Гэхдээ та зөвхөн тооцоолох чадвартай байхаас гадна үржүүлэх хүснэгт, арифметик үйлдлийн хууль тогтоомж, тооны бүтэц (анги, цифр) зэргийг мэдэж, тэдгээрийг ашиглах чадвартай байх ёстой.

Арифметик үйлдлийн хуулиуд.

а + б = б + а

Нэмэлтийн солилцооны хууль

(а + б) + в = а + (б + в)

Нэмэлтийн ассоциатив хууль

а · б = б · а

Үржүүлэхийн солилцооны хууль

(а · б) · в = а · (б · в)

Үржүүлэхийн ассоциатив хууль

(а = б) · в = а · в = б · в

Үржүүлэхийн тархалтын хууль (нэмэлтийн хувьд)

Үржүүлэх хүснэгт.

Үржүүлэх гэж юу вэ?

Энэ бол ухаалаг нэмэлт юм.

Эцсийн эцэст, удаагаа үржүүлэх нь илүү ухаалаг байдаг.

Бүх зүйлийг нэг цагийн турш нэмэхээс илүү.

Үржүүлэх хүснэгт

Бид бүгд амьдралд хэрэгтэй.

Мөн шалтгаангүйгээр нэрлэсэнгүй

Үүнийг үржүүлээрэй!

Зэрэглэл, ангилал

Уншихад хялбар болгох, мөн тоонуудыг цээжлэхийн тулд том үнэ цэнэтэдгээрийг "анги" гэж нэрлэгдэх зүйлд хуваах ёстой: баруун талаас эхлэн тоог гурван оронтой "нэгдүгээр анги" болгон хувааж, дараа нь дахин гурван оронтой, "хоёрдугаар анги" гэх мэтийг сонгоно. Тооны утгаас хамааран сүүлийн анги нь гурав, хоёр, нэг оронтой тоогоор төгсдөг.

Жишээлбэл, 35461298 дугаарыг дараах байдлаар бичнэ.

Энэ тоог дараахь ангилалд хуваана.

482 - нэгдүгээр зэрэглэл (нэгжийн ангилал)

630 - хоёрдугаар анги (мянган анги)

35 - гуравдугаар зэрэглэл (саяуудын ангилал)

Цутгах

Ангийг бүрдүүлдэг цифр бүрийг ангилал гэж нэрлэдэг бөгөөд тоолол нь баруун тийшээ явагддаг.

Жишээлбэл, 35 630 482 тоог анги, цифр болгон задалж болно.

482 - нэгдүгээр зэрэг

2 - эхний орон (нэгж цифр)

8 - хоёр дахь орон (арван оронтой)

4 - гурав дахь орон (зуун оронтой)

630 - хоёрдугаар анги

0 - эхний орон (мянган оронтой)

3 - хоёр дахь орон (арван мянган оронтой)

6 - гурав дахь оронтой (зуун мянган оронтой)

35 - гуравдугаар анги

5 - эхний орон (сая нэгжийн цифр)

3 - хоёр дахь оронтой тоо (хэдэн арван сая)

35 630 482 дугаарт:

Гучин таван сая зургаан зуун гучин мянга дөрвөн зуун наян хоёр.

Оновчтой тоолохтой холбоотой асуудлууд, тэдгээрийг хэрхэн засах вэ

Цээжлэх оновчтой аргууд.

Хичээл дээр хийсэн судалгаа, ажиглалтын үр дүнд зарим сурагчид тооцоолох оновчтой аргуудыг сайн мэдэхгүйгээс янз бүрийн бодлого, дасгал сургуулилтыг муу шийддэг болохыг анзаарсан.

1. Нэг арга нь судалсан материалыг цээжлэх, санах ойд хадгалахад тохиромжтой системд оруулах явдал юм.

2. Санаж үлдэх материалыг санах ойд хадгалахын тулд тодорхой системагуулга дээр нь тодорхой ажил хийх хэрэгтэй.

3. Дараа нь та текстийн хэсэг бүрийг эзэмшиж, дахин уншиж, уншсан зүйлээ нэн даруй хуулбарлах (өөртөө давтан эсвэл чанга дуугаар) хийхийг оролдож болно.

4. Цээжлэхэд чухал ач холбогдолтой зүйл бол материалыг давтах явдал юм. Үүнийг "Дахин давтах нь суралцахын эх" гэсэн ардын зүйр цэцэн үгээр бас нотлогдож байна. Гэхдээ үүнийг бас үндэслэлтэй, зөв ​​давтах ёстой.

Дахин давтагдах ажлыг урьд өмнө байгаагүй эсвэл мартагдсан чимэглэл, жишээн дээр зурах замаар сэргээх ёстой.

Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн бид боловсролын материалыг амжилттай эзэмшихийн тулд дараах зөвлөмжийг товч гаргаж болно.

1. Даалгавар тавьж, сургалтын материалыг хурдан бөгөөд удаан хугацаанд санаж байх.

2. Сурах ёстой зүйлдээ анхаарлаа төвлөрүүл.

3. Сургалтын материалыг сайн ойлгох.

4. Цээжлэсэн текстийнхээ төлөвлөгөөг гаргаж, доторх гол санааг тодруулж, текстийг хэсэг болгон хуваах.

5. Хэрэв материал том бол нэг хэсгийг нь дараалан шингээж, дараа нь бүх зүйлийг бүхэлд нь хэлнэ.

6. Материалыг уншсаны дараа дахин хуулбарлах шаардлагатай (уншсан зүйлээ хэлэх).

7. Материалыг мартагдах хүртэл давтана.

8. Давталтыг илүү урт хугацаанд тараана.

9. Цээжлэхдээ ашиглах янз бүрийн төрөлсанах ой (үндсэндээ семантик) ба тэдгээрийн санах ойн зарим бие даасан шинж чанарууд (харааны, сонсголын эсвэл мотор).

10. Хэцүү материалыг унтахын өмнө давтаж, дараа нь өглөө нь "шинэхэн санах ойд зориулж" хийх хэрэгтэй.

11. Олж авсан мэдлэгээ практикт хэрэгжүүлэхийг хичээ. Энэ бол Хамгийн зөв замТэдний санах ойд хадгалагдах (тэд "Сургаалын жинхэнэ эх нь давталт биш, харин хэрэглээ" гэж хэлдэггүй.

12. Илүү их мэдлэг олж авах, шинэ зүйл сурах шаардлагатай.

Одоо та судалж буй материалыг хэрхэн хурдан, зөв ​​цээжлэхийг сурсан.

Зарим тоог 2-оос 10 хүртэлх дараалсан натурал тоог нэмэхтэй хослуулан 9-өөр үржүүлэх сонирхолтой арга.

12345х9+6=111111

123456x9+7=1111111

1234567х9+8=11111111

12345678х9+9=111111111

123456789х9+10=1111111111

"Тоогоо таах" сонирхолтой тоглоом

Та "Тоо таах" тоглоом тоглож байсан уу? Энэ бол маш энгийн тоглоом юм. Би 100-аас бага натурал тоо бодоод, цаасан дээр бичээд (хуурах арга байхгүй), та зөвхөн "тийм" эсвэл "үгүй" гэж хариулж болох асуултуудыг асууж, тааварлахыг оролддог гэж бодъё. . Дараа нь та тоог тааж, би таахыг оролддог. Хамгийн бага асуултыг таасан хүн ялна.

Миний дугаарыг таахад хэдэн асуулт хэрэгтэй вэ? Мэдэхгүй? Би ердөө долоон асуулт асууж таны дугаарыг таах үүрэгтэй. Хэрхэн? Гэхдээ, жишээ нь, яаж. Та тоог тааварлаарай. Би "64 хүрэхгүй байна уу?" - "Тийм". - "32-аас бага уу?" - "Тийм". - "16-аас бага уу?" - "Тийм". - "8-аас бага уу?" - "Үгүй". - "12-оос бага уу?" - "Үгүй". - "14-өөс бага уу?" - "Тийм". - "13-аас бага уу?" - "Үгүй". - "13-ын тоо төрсөн."

Ойлгомжтой юу? Би боломжит тооны олонлогийг хагасаар нь, дараа нь үлдсэн талыг нь дахин хагас болгон хувааж, үлдсэн хэсэг нь нэг тоо болтол үргэлжилнэ.

Хэрэв танд тоглоом таалагдсан эсвэл эсрэгээрээ илүү ихийг хүсч байвал номын санд очиж "А. П.Савин (Математикийн бяцхан бүтээлүүд). Энэ номноос та маш олон сонирхолтой, сэтгэл хөдөлгөм зүйлсийг олох болно. Номын зураг:

Анхаарал тавьсан та бүхэнд баярлалаа

Бас амжилт хүсье!!!

Татаж авах:

Урьдчилан үзэх:

Үзүүлэнг урьдчилан үзэхийг ашиглахын тулд Google бүртгэл (бүртгэл) үүсгээд https://accounts.google.com руу нэвтэрнэ үү.

Слайдын тайлбар:

Рационал тоолохын нууц юу вэ?

Ажлын зорилго: мэдээлэл хайх, оновчтой тоолох одоо байгаа арга, техникийг судлах, тэдгээрийг практикт ашиглах.

Даалгавар: 1. Зэрэгцээ ангиудын дунд асуулга хэлбэрээр мини судалгаа явуулна. 2. Судалгааны сэдвээр дүн шинжилгээ хийх: сургуулийн номын санд байгаа уран зохиол, 5-р ангийн математикийн сурах бичиг, мөн интернетэд байгаа мэдээлэл. 3. оновчтой тоолох хамгийн үр дүнтэй арга, хэрэгслийг сонгох. 4. Амаар болон бичгээр хурдан тоолох одоо байгаа аргуудын ангилалыг хийх. 5. Зэрэгцээ 5 ангид ашиглах оновчтой тоолох арга техникийг агуулсан санамж бичгийг бүтээ.

Би аль хэдийн хэлсэнчлэн оновчтой тоолох сэдэв нь зөвхөн оюутнуудад төдийгүй хүн бүрт хамаатай тул үүнийг баталгаажуулахын тулд би 5-р ангийн сурагчдын дунд санал асуулга явуулсан. Судалгааны асуулт, хариултыг өргөдөлд танд толилуулж байна.

Рационал данс гэж юу вэ? Рационал данс бол тохиромжтой данс (рациональ гэдэг үг нь тохиромжтой, зөв ​​гэсэн утгатай)

Оюутнууд яагаад бэрхшээлтэй байдаг вэ?

Үүнд: Оюутан: 1. судалсан сэдвээ сайн эзэмшээгүй; 2. материалыг давтахгүй байх; 3. тоолох чадвар муу; 4 . түүнд хэрэггүй гэж боддог.

Аман болон бичгийн тооцооны оновчтой аргууд. Ажил, амьдралд янз бүрийн тооцоолол хийх хэрэгцээ байнга гарч ирдэг. Сэтгэцийн тоолох хамгийн энгийн аргыг ашиглах нь ядаргаа бууруулж, анхаарал, ой санамжийг хөгжүүлдэг.

Тооцооллыг хурдасгах дөрвөн нэмэлт арга байдаг. I. Тоонуудыг хялбаршуулсан нэмэх арга техник

Нэр томъёоны нийлбэрийг хялбарчилж, хурдасгадаг тул оюун санааны тооцоололд дараалсан битээр нэмэх аргыг ашигладаг. Энэ аргыг хэрэглэх үед нэмэх нь хамгийн өндөр цифрүүдээс эхэлдэг: эхний гишүүнд хоёр дахь гишүүний харгалзах цифрүүд нэмэгддэг. Жишээ. Энэ аргыг ашиглан 5287 ба 3564 тоонуудын нийлбэрийг ол. Шийдвэр. Бид дараах дарааллаар тооцоолно: 5,287 + 3,000 = 8,287; 8287 + 500 = 8787; 8787 + 60 = 8847; 8847 + 4 = 8851. Хариулт: 8 851.

Дараалсан битээр нэмэх өөр нэг арга бол хоёр дахь гишүүний хамгийн дээд цифрийг эхний гишүүний хамгийн дээд цифр дээр нэмэх, дараа нь хоёрдугаар гишүүний дараагийн цифрийг эхний гишүүний дараагийн цифр дээр нэмэх гэх мэт. Энэ шийдлийг өгөгдсөн жишээн дээр авч үзье: 5,000 + 3,000 = 8,000; 200 + 500 = 700; 80 + 60 = 140; 7 + 4 = 11 Хариулт: 8851.

дугуй тооны арга. Нэг буюу хэд хэдэн тэгээр төгссөн тоог дугуй тоо гэнэ. Энэ аргыг хоёр буюу түүнээс дээш тооны нэр томьёог сонгох боломжтой бөгөөд үүнийг дугуй тоогоор гүйцээж болно. Тооцооллын нөхцөлд заасан дугуй тоо ба тооны зөрүүг нөхөх тоо гэнэ. Жишээ нь, 1000 - 978 = 22. Энэ тохиолдолд 22 тоо нь 978-аас 1000 хүртэлх тооны арифметик нэмэлт юм. Дугуй тооны аргаар нэмэхийн тулд дугуй тоотой ойролцоо нэг буюу хэд хэдэн гишүүнийг дугуйлж, дугуй тооны нэмэх үйлдлийг хийж, гарсан нийлбэрээс арифметик нэмэлтийг хасах шаардлагатай. Жишээ. Дугуй тооны аргыг ашиглан 1238 ба 193 тоонуудын нийлбэрийг ол. Шийдвэр. 193-ын тоог 200 хүртэл дугуйлж, дараах байдлаар нэмнэ: 1238 + 193 = (1238 + 200) - 7 = 1431.

Нэр томьёог бүлэглэх арга. Нэр томьёог хамтад нь бүлэглэхдээ дугуй тоо өгч, дараа нь нэгтгэсэн тохиолдолд энэ аргыг ашигладаг. Жишээ. 74, 32, 67, 48, 33, 26 тоонуудын нийлбэрийг ол. Шийдэл. Дараах байдлаар бүлэглэсэн тоонуудыг нэгтгэж үзье: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

Нэр томьёог бүлэглэх үндсэн дээр нэмэх арга. Жишээ: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…….+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)= 101х50=5050.

II. Тоонуудыг хялбаршуулсан хасах арга техник

Дараалсан битийн хасах арга. Энэ арга нь бууруулсан тооноос хассан цифр бүрийг дараалан хасдаг. Энэ нь тоонуудыг дугуйлах боломжгүй үед ашиглагддаг. Жишээ. 721 ба 398 тоонуудын ялгааг ол. Өгөгдсөн тоонуудын зөрүүг олох үйлдлийг дараах дарааллаар хийцгээе: 398 тоог нийлбэрээр илэрхийл: 300 + 90 + 8 = 398; битийн хасах үйлдлийг гүйцэтгэх: 721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

дугуй тооны арга. Энэ аргыг хасалт нь дугуй тоотой ойролцоо байвал хэрэглэнэ. Тооцоолохын тулд дугуй тоогоор авсан хасалтыг бууруулсанаас хасч, үүссэн зөрүү дээр арифметик нэмэлтийг нэмэх шаардлагатай. Жишээ. Дугуй тооны аргаар 235 ба 197 тоонуудын зөрүүг тооцоолъё. Шийдвэр. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. Тоонуудыг хялбаршуулсан үржүүлэх арга техник

Нэгээр үржүүлж, дараа нь тэг. Нэгжийн араас тэг (10; 100; 1000 гэх мэт) орсон тоогоор тоог үржүүлэхэд тухайн нэгжийн дараа үржүүлэгчид байгаа тоогоор баруун талд нь олон тэг онооно. Жишээ. 568 ба 100 тоонуудын үржвэрийг ол. Шийдэл. 568 x 100 = 56,800.

Дараалсан битээр үржүүлэх арга. Энэ аргыг аль нэг оронтой тоогоор тоог үржүүлэхэд ашигладаг. Хэрэв та хоёр оронтой (гурван, дөрвөн оронтой гэх мэт) тоог нэг оронтой тоогоор үржүүлэх шаардлагатай бол эхлээд хүчин зүйлүүдийн аль нэгийг нь нөгөө хүчин зүйлийн арав, дараа нь түүний нэгжээр үржүүлж үржүүлнэ. бүтээгдэхүүнийг нэгтгэн дүгнэв. Жишээ. 39 ба 7 тоонуудын үржвэрийг олъё. Шийдвэр. 39 x 7 = (30 x 7) + (9 х 7) = 210 + 63 = 273.

дугуй тооны арга. Энэ аргыг зөвхөн нэг хүчин зүйл нь дугуй тоотой ойролцоо байх үед л хэрэглэнэ. Үржүүлэгчийг дугуй тоогоор үржүүлж, дараа нь арифметик нэмэлтээр үржүүлж, эцэст нь эхний бүтээгдэхүүнээс хоёр дахь нь хасагдана. Жишээ. 174 ба 69 тоонуудын үржвэрийг олъё. Шийдвэр. 174 x 69 = (174 x 70) - (174 x 1) = 12,180 - 174 = 12,006.

Нэг хүчин зүйлийг өргөжүүлэх арга зам. Энэ аргын хувьд хүчин зүйлсийн аль нэгийг эхлээд хэсэг (нэр томьёо) болгон задалж, дараа нь хоёр дахь хүчин зүйлийг эхний хүчин зүйлийн хэсэг тус бүрээр үржүүлж, үр дүнд хүрсэн бүтээгдэхүүнийг нэгтгэн дүгнэнэ. Жишээ. 13 ба 325 тоонуудын үржвэрийг олъё. Шийдвэр. Тоогоо нөхцлөөр задалъя: 13 \u003d 10 + 3. Олж авсан нэр томъёо бүрийг 325-аар үржүүлье: 10 x 325 \u003d 3 250; 3 x 325 = 975 Бид олж авсан бүтээгдэхүүнийг нэгтгэн дүгнэж болно: 3,250 + 975 = 4,225.

Оюуны хурдан тоолох нууцууд. Амаар хурдан, оновчтой тоолох боломжийг олгодог оюуны тоолох системүүд байдаг. Бид хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг техникүүдийн заримыг авч үзэх болно.

Хоёр оронтой тоог 11-ээр үржүүлэх.

Жишээ: 23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253(нэмэлттэй холбоотой үржүүлэх тархалтын хууль) 23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (тархалтын хууль ба дугуй тооны арга) Бид Энэ аргыг судалж үзсэн боловч хоёр оронтой тоог 11-ээр үржүүлэх өөр нэг нууцыг бид мэдэхгүй байна.

Хоёр оронтой тоог 11-ээр үржүүлэхэд гарсан үр дүнг ажигласнаар та хариултыг илүү хялбар аргаар авах боломжтой гэдгийг би анзаарсан: хоёр оронтой тоог 11-ээр үржүүлэхэд энэ тооны цифрүүд салж, тэдгээрийн нийлбэр болно. цифрүүдийг дунд нь байрлуулна. Жишээ. a) 2+3=5 тул 23 11=253; б) 45 11=495, учир нь 4+5=9; в) 57 11=627, учир нь 5+7=12, дундуур нь хоёрыг тавьж, зуутын оронд нэгийг нэмсэн; Би энэ аргын баталгааг интернетээс олсон.

2) Аравтын тоо ижил, нэгжийн нийлбэр нь 10, өөрөөр хэлбэл 23 27 гэсэн хоёр оронтой тоонуудын үржвэр; 34 36; 52 58 гэх мэт Дүрэм: аравтын цифрийг натурал цувралын дараагийн цифрээр үржүүлж, үр дүнг бичиж, нэгжийн үржвэрийг түүнд хамааруулна. Жишээ. a) 23 27 = 621. Та яаж 621 авсан бэ? Бид 2-ын тоог 3-аар үржүүлбэл ("хоёр"-ын араас "гурван" гэсэн тоо байдаг), энэ нь 6 болно, дараа нь бид нэгжийн үржвэрийг онооно: 3 7 \u003d 21, энэ нь 621 болж хувирна. б) 34 36 = 1224, 3 4 = 12 тул бид 24-ийг 12 тоонд хамааруулж байгаа бөгөөд энэ нь эдгээр тоонуудын нэгжийн үржвэр юм: 4 6.

3) Ижил оронтой тооноос бүрдсэн гурван оронтой тоог 37 тоонд хуваах. Үр дүн нь гурван оронтой тооны ижил цифрүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна (эсвэл гурван оронтой тооны цифрийг гурав дахин үржүүлсэнтэй тэнцэх тоо). ). Жишээ. a) 222:37=6. Энэ нь 2+2+2=6-ийн нийлбэр юм. б) 333:37=9, учир нь 3+3+3=9. в) 777:37=21, учир нь 7+7+7=21. г) 888:37=24, учир нь 8+8+8=24. Мөн бид 888:24=37 гэдгийг харгалзан үздэг.

Оюуны оновчтой тоолох чадварыг эзэмшсэнээр таны ажлыг илүү үр дүнтэй болгоно. Энэ нь дээрх бүх арифметик үйлдлүүдийг сайн эзэмшсэн тохиолдолд л боломжтой юм. Тооцооллын оновчтой аргыг ашиглах нь тооцооллыг хурдасгаж, шаардлагатай нарийвчлалыг хангадаг.

Дүгнэлт Ажлынхаа сэдвийн гол нууцыг тайлахын тулд би шаргуу ажиллах хэрэгтэй болсон - мэдээлэл хайх, дүн шинжилгээ хийх, ангийнхандаа асуулт тавих, эрт мэдэгдэж байсан аргуудыг давтах, оновчтой тоолох олон танил бус аргуудыг олох, эцэст нь энэ нь юу болохыг ойлгох явдал байв. нууц уу? Хамгийн гол нь мэдэгдэж байгаа зүйлээ мэдэж, хэрэглэж чаддаг байх, тоолох шинэ оновчтой аргуудыг олох, үржүүлэх хүснэгт, тооны бүтэц (анги, цифр), арифметик үйлдлийн хууль тогтоомжийг мэдэх явдал гэдгийг би ойлгосон. Үүнээс гадна үүнийг хийх шинэ арга замуудыг хайж олоорой:

Тоонуудыг хялбаршуулсан нэмэх арга техник: (дараалсан битээр нэмэх арга; дугуй тооны арга; аль нэг хүчин зүйлийг нэр томъёонд задлах арга); - Тоонуудыг хялбаршуулсан хасах арга техник (дараалсан битийн хасах арга; дугуй тооны арга); - Тоонуудыг хялбаршуулсан үржүүлэх арга техник (нэг, дараа нь тэгээр үржүүлэх; дараалсан битээр үржүүлэх арга; дугуй тооны арга; хүчин зүйлийн аль нэгийг өргөжүүлэх арга; - оюун ухаанаар хурдан тоолох нууц (хоёр оронтой тоог дараах байдлаар үржүүлэх) 11: хоёр оронтой тоог 11-ээр үржүүлэхэд энэ тооны цифрүүдийг хооронд нь холдуулж, голд нь эдгээр цифрүүдийн нийлбэрийг оруулна; ижил тооны аравтай хоёр оронтой тоонуудын үржвэр ба нийлбэр. нэгжийн тоо 10;Ижил оронтой тооноос бүрдэх гурван оронтой тоог 37-д хуваах.Ийм арга зам зөндөө байгаа байх.Ирэх жил энэ сэдвээр үргэлжлүүлэн ажиллах болно.

Төгсгөлд нь би дараах үгсээр яриагаа дуусгамаар байна.

Анхаарал тавьсан та бүхэнд баярлалаа, амжилт хүсье!!!