1. प्रत्यक्ष शुद्ध झुकना अनुप्रस्थ झुकना - अक्ष (अनुप्रस्थ) के लंबवत बलों द्वारा छड़ का विरूपण और जोड़े द्वारा, जिनमें से क्रिया के विमान सामान्य वर्गों के लंबवत होते हैं। एक छड़ जो झुकती है उसे बीम कहा जाता है। प्रत्यक्ष शुद्ध झुकने के साथ, रॉड के क्रॉस सेक्शन में केवल एक बल कारक उत्पन्न होता है - झुकने का क्षण Mz। क्यू = डी के बाद से। Mz/dx=0, तब Mz=const और शुद्ध प्रत्यक्ष झुकने को महसूस किया जा सकता है जब बार के अंत खंडों में लागू बलों के जोड़े के साथ बार लोड किया जाता है। चूंकि झुकने का क्षण Mz, परिभाषा के अनुसार, सामान्य तनाव के साथ Oz अक्ष के बारे में आंतरिक बलों के क्षणों के योग के बराबर है, यह इस परिभाषा से अनुसरण करने वाले स्टैटिक्स समीकरण से जुड़ा है:

शुद्ध झुकने में तनाव की स्थिति का विश्लेषण आइए हम साइड सतह पर रॉड मॉडल के विकृतियों का विश्लेषण करें, जिसमें अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ खरोंच का एक ग्रिड लगाया जाता है: फ्लैट वर्गों की परिकल्पना, और इसलिए अनुदैर्ध्य के बीच की दूरी में परिवर्तन को मापकर जोखिम, हम इस निष्कर्ष पर आते हैं कि गैर-दबाने वाले अनुदैर्ध्य तंतुओं की परिकल्पना मान्य है, अर्थात, शुद्ध झुकने में तनाव टेंसर के सभी घटकों में, केवल तनाव σx=σ और प्रिज्मीय रॉड का शुद्ध सीधा झुकना है गैर-शून्य एक अक्षीय तनाव या तनाव द्वारा अनुदैर्ध्य तंतुओं के संपीड़न में कम हो जाता है। इस मामले में, तंतुओं का एक हिस्सा तनाव क्षेत्र में होता है (आकृति में, ये निचले तंतु हैं), और दूसरा भाग संपीड़न क्षेत्र (ऊपरी फाइबर) में है। इन क्षेत्रों को एक तटस्थ परत (एन-एन) द्वारा अलग किया जाता है, जो इसकी लंबाई नहीं बदलता है, जिसमें तनाव शून्य के बराबर होता है।

झुकने वाले क्षणों के संकेतों का नियम सैद्धांतिक यांत्रिकी और सामग्री की ताकत की समस्याओं में क्षणों के संकेतों के नियम मेल नहीं खाते। इसका कारण विचाराधीन प्रक्रियाओं में अंतर है। सैद्धांतिक यांत्रिकी में, विचाराधीन प्रक्रिया कठोर पिंडों की गति या संतुलन है, इसलिए, आकृति में दो क्षण Mz रॉड को अलग-अलग दिशाओं में घुमाते हैं (सही क्षण दक्षिणावर्त है, और बायां क्षण वामावर्त है) एक अलग है सैद्धांतिक यांत्रिकी की समस्याओं में साइन इन करें। सामग्री की ताकत की समस्याओं में, शरीर में उत्पन्न होने वाले तनाव और विकृति पर विचार किया जाता है। इस दृष्टिकोण से, दोनों क्षण ऊपरी तंतुओं में संकुचित तनाव और निचले तंतुओं में तन्यता तनाव का कारण बनते हैं, इसलिए क्षणों का एक ही संकेत होता है। झुकने वाले क्षणों के संकेतों के लिए नियम खंड सी-सीआरेख में प्रस्तुत किया गया है:

शुद्ध झुकने में तनाव मूल्यों की गणना आइए हम तटस्थ परत की वक्रता त्रिज्या और बार में सामान्य तनाव की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करें। आइए हम ऊर्ध्वाधर अक्ष ओए के बारे में सममित क्रॉस सेक्शन के साथ सीधे शुद्ध झुकने की शर्तों के तहत एक प्रिज्मीय रॉड पर विचार करें। हम ऑक्स अक्ष को एक तटस्थ परत पर रखते हैं, जिसकी स्थिति पहले से ज्ञात नहीं है। ध्यान दें कि दृढ़ता अनुप्रस्थ काटप्रिज्मीय छड़ और झुकने का क्षण (Mz=const), छड़ की लंबाई के साथ तटस्थ परत की वक्रता त्रिज्या की स्थिरता सुनिश्चित करता है। निरंतर वक्रता के साथ झुकते समय, छड़ की तटस्थ परत कोण से घिरे वृत्त का चाप बन जाती है। एक छड़ से काटे गए dx लंबाई के एक अतिसूक्ष्म तत्व पर विचार करें। जब मुड़ा हुआ होता है, तो यह एक असीम रूप से छोटे कोण dφ द्वारा सीमित चाप के एक असीम रूप से छोटे तत्व में बदल जाएगा। dφ सर्कल त्रिज्या, कोण और चाप लंबाई के बीच निर्भरता को ध्यान में रखते हुए:

चूंकि तत्व के विरूपण, उसके बिंदुओं के सापेक्ष विस्थापन द्वारा निर्धारित, रुचि के हैं, तत्व के अंतिम वर्गों में से एक को निश्चित माना जा सकता है। dφ की लघुता को देखते हुए, हम मानते हैं कि क्रॉस सेक्शन के बिंदु, जब इस कोण से घूमते हैं, चापों के साथ नहीं, बल्कि संबंधित स्पर्शरेखाओं के साथ चलते हैं। आइए हम अनुदैर्ध्य फाइबर AB के सापेक्ष विरूपण की गणना करें, जो तटस्थ परत से y द्वारा दूरी पर है: त्रिभुज COO 1 और O 1 BB 1 की समानता से, यह निम्नानुसार है: अनुदैर्ध्य विकृतितटस्थ परत से दूरी का एक रैखिक कार्य निकला, जो समतल वर्गों के नियम का प्रत्यक्ष परिणाम है। तब सामान्य तनाव, तन्यता फाइबर AB, हुक के नियम के आधार पर बराबर होगा:

परिणामी सूत्र व्यावहारिक उपयोग के लिए उपयुक्त नहीं है, क्योंकि इसमें दो अज्ञात शामिल हैं: तटस्थ परत की वक्रता 1/ρ और तटस्थ अक्ष ऑक्स की स्थिति, जिससे y समन्वय मापा जाता है। इन अज्ञातों को निर्धारित करने के लिए, हम स्टैटिक्स के संतुलन समीकरणों का उपयोग करते हैं। पहला इस आवश्यकता को व्यक्त करता है कि अनुदैर्ध्य बल शून्य के बराबर हो σ के लिए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करना: इस समीकरण में और इसे ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं: अक्ष (अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरने वाला अक्ष)। इसलिए, तटस्थ अक्ष ऑक्स क्रॉस सेक्शन के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से होकर गुजरता है। स्टैटिक्स का दूसरा संतुलन समीकरण यह है कि सामान्य तनावों को झुकने वाले क्षण से जोड़ा जाता है। इस समीकरण में प्रतिबलों के व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

परिणामी समीकरण में अभिन्न का पहले अध्ययन किया गया था: जेड ओज़ अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण है। निर्देशांक अक्षों की चुनी हुई स्थिति के अनुसार, यह खंड की जड़ता का मुख्य केंद्रीय क्षण भी है। हम तटस्थ परत की वक्रता के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं: तटस्थ परत की वक्रता 1/ρ प्रत्यक्ष शुद्ध झुकने में रॉड के विरूपण का एक उपाय है। वक्रता जितनी छोटी होती है, EJz का मान उतना ही बड़ा होता है, जिसे क्रॉस सेक्शन की झुकने की कठोरता कहा जाता है। के सूत्र में व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं नई बड़े मूल्यतटस्थ अक्ष से सबसे दूर के तंतुओं में। ज्यामितीय विशेषता, जिसका आयाम m 3 है, झुकने में प्रतिरोध का क्षण कहलाता है।

क्रॉस सेक्शन के प्रतिरोध Wz के क्षणों का निर्धारण - संदर्भ पुस्तक (व्याख्यान 4) में सबसे सरल आंकड़ों के लिए या इसे स्वयं गणना करें - GOST वर्गीकरण में मानक प्रोफाइल के लिए

शुद्ध झुकने में ताकत की गणना डिजाइन गणना शुद्ध झुकने की गणना में ताकत की स्थिति का रूप होगा: Wz इस स्थिति से निर्धारित होता है, और फिर या तो वांछित प्रोफ़ाइल को मानक लुढ़का उत्पादों के वर्गीकरण से चुना जाता है, या आयाम अनुभाग की गणना ज्यामितीय निर्भरता से की जाती है। भंगुर सामग्री से बीम की गणना करते समय, उच्चतम तन्यता और उच्चतम संपीड़न तनावों के बीच अंतर करना चाहिए, जिनकी तुलना क्रमशः स्वीकार्य तन्यता और संपीड़न तनाव के साथ की जाती है। इस मामले में तनाव और संपीड़न के लिए अलग-अलग दो ताकत की स्थिति होगी: यहां क्रमशः स्वीकार्य तन्यता और संपीड़न तनाव हैं।

2. प्रत्यक्ष अनुप्रस्थ झुकने xy xz अनुप्रस्थ मोड़छड़ के वर्गों में, झुकने का क्षण Mz उत्पन्न होता है और बहुत ताकत Qy, जो सामान्य और स्पर्शरेखा तनाव से संबंधित हैं, सीधे अनुप्रस्थ झुकने के मामले में सामान्य तनाव की गणना के लिए एक बार के शुद्ध झुकने के मामले में प्राप्त सूत्र लागू नहीं होता है, क्योंकि विरूपण (वक्रता) क्रॉस सेक्शन कतरनी तनाव के कारण कतरनी तनाव के कारण होता है, तो फ्लैट वर्गों की परिकल्पना का उल्लंघन होता है। हालांकि, खंड ऊंचाई वाले बीम के लिए h

शुद्ध झुकने के लिए ताकत की स्थिति प्राप्त करते समय, अनुदैर्ध्य तंतुओं के अनुप्रस्थ अंतःक्रिया की अनुपस्थिति की परिकल्पना का उपयोग किया गया था। अनुप्रस्थ झुकने के साथ, इस परिकल्पना से विचलन देखा जाता है: ए) उन जगहों पर जहां केंद्रित बल लागू होते हैं। एक केंद्रित बल के तहत, अनुप्रस्थ अंतःक्रिया के तनाव काफी बड़े और अनुदैर्ध्य तनाव से कई गुना अधिक हो सकते हैं, जबकि घटते हुए, सेंट-वेनेंट सिद्धांत के अनुसार, बल के आवेदन के बिंदु से दूरी के साथ; बी) वितरित भार के आवेदन के स्थानों में। तो, अंजीर में दिखाए गए मामले में, बीम के ऊपरी तंतुओं पर दबाव से तनाव होता है। उनकी तुलना अनुदैर्ध्य तनाव z के साथ की जाती है, जिसमें परिमाण का क्रम होता है, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि तनाव y

सीधे अनुप्रस्थ झुकने में कतरनी तनाव की गणना मान लें कि कतरनी तनाव क्रॉस सेक्शन की चौड़ाई पर समान रूप से वितरित किए जाते हैं। तनाव yx को सीधे निर्धारित करना मुश्किल है, इसलिए, हम कतरनी तनाव xy को उनके बराबर पाते हैं, जो लंबाई dx के तत्व के निर्देशांक y के साथ अनुदैर्ध्य क्षेत्र पर उत्पन्न होते हैं, बीम z x Mz से काटे जाते हैं।

हमने इस तत्व के ऊपरी हिस्से को एक अनुदैर्ध्य खंड के साथ काट दिया, जो तटस्थ परत से y द्वारा दूरी पर है, जो निचले हिस्से की क्रिया को स्पर्शरेखा तनाव के साथ बदल देता है। सामान्य तनाव σ तथा σ+dσ , तत्व के अंतिम क्षेत्रों पर कार्य करते हुए, उनके परिणाम y Mz Mz+d द्वारा भी प्रतिस्थापित किया जाएगा। Mz by y z Qy Qy +d. क्यू डीएक्स एनω+डी एनω डी। टी ओज़ अक्ष के बारे में क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र के कट-ऑफ भाग का स्थिर क्षण है। कट-ऑफ तत्व की संतुलन स्थिति पर विचार करें, इसके लिए स्थैतिक समीकरण Nω dx b . की रचना करके

जहां से, सरल परिवर्तनों के बाद, यह देखते हुए कि हम ज़ुराव्स्की का सूत्र प्राप्त करते हैं, कतरनी एक द्विघात परवलय के कानून के अनुसार खंड परिवर्तन की ऊंचाई के साथ तनाव, तटस्थ अक्ष पर अधिकतम तक पहुंचती है Mz z कई मामलों में तटस्थ परत में होता है, जहां सामान्य तनाव शून्य के बराबर होते हैं, इन मामलों में ताकत की स्थिति सामान्य और कतरनी तनाव के लिए अलग-अलग तैयार की जाती है

3. झुकने में समग्र बीम अनुदैर्ध्य खंडों में कतरनी तनाव अनुप्रस्थ झुकने में बार की परतों के बीच मौजूदा कनेक्शन की अभिव्यक्ति है। यदि यह संबंध कुछ परतों में टूट जाता है, तो छड़ के झुकने की प्रकृति बदल जाती है। चादरों से बनी एक छड़ में, प्रत्येक शीट घर्षण बलों की अनुपस्थिति में स्वतंत्र रूप से झुकती है। झुकने का क्षण समान रूप से मिश्रित चादरों के बीच वितरित किया जाता है। झुकने वाले क्षण का अधिकतम मान बीम के बीच में होगा और बराबर होगा। एमजेड = पी · एल। शीट के क्रॉस सेक्शन में सबसे बड़ा सामान्य तनाव है:

यदि चादरें पर्याप्त रूप से कठोर बोल्टों के साथ कसकर खींची जाती हैं, तो रॉड पूरी तरह से झुक जाएगी। इस मामले में, सबसे बड़ा सामान्य तनाव n गुना कम हो जाता है, अर्थात, रॉड के मुड़ने पर बोल्ट के क्रॉस सेक्शन में अनुप्रस्थ बल उत्पन्न होते हैं। सबसे बड़ा अनुप्रस्थ बल बेंट रॉड के न्यूट्रल प्लेन से मेल खाने वाले सेक्शन में होगा।

इस बल को बोल्ट के वर्गों में अनुप्रस्थ बलों के योग की समानता और पूरी छड़ के मामले में कतरनी तनाव के अनुदैर्ध्य परिणाम से निर्धारित किया जा सकता है: जहां एम बोल्ट की संख्या है। आइए हम बाउंड और अनबाउंड पैकेट के मामले में एम्बेड में रॉड की वक्रता में परिवर्तन की तुलना करें। एक बंडल बंडल के लिए: एक असंबद्ध बंडल के लिए: वक्रता में परिवर्तन के अनुपात में, विक्षेपण भी बदलते हैं। इस प्रकार, एक पूरी छड़ की तुलना में, स्वतंत्र रूप से मुड़ी हुई चादरों का एक सेट n 2 गुना अधिक लचीला और केवल n गुना कम मजबूत होता है। शीट पैकेज में संक्रमण में कठोरता और ताकत में कमी के गुणांक में यह अंतर लचीला वसंत निलंबन बनाते समय अभ्यास में उपयोग किया जाता है। चादरों के बीच घर्षण बल पैकेज की कठोरता को बढ़ाते हैं, क्योंकि वे रॉड की परतों के बीच स्पर्शरेखा बलों को आंशिक रूप से बहाल करते हैं, जो शीट पैकेज में संक्रमण के दौरान समाप्त हो गए थे। इसलिए स्प्रिंग्स को चादरों के स्नेहन की आवश्यकता होती है और उन्हें संदूषण से बचाया जाना चाहिए।

4. झुकने में क्रॉस-सेक्शन के तर्कसंगत रूप सबसे तर्कसंगत वह खंड है जिसमें बीम पर दिए गए भार के लिए न्यूनतम क्षेत्र होता है। इस मामले में, बीम के निर्माण के लिए सामग्री की खपत न्यूनतम होगी। न्यूनतम सामग्री खपत का एक बीम प्राप्त करने के लिए, यह सुनिश्चित करने का प्रयास करना आवश्यक है कि, यदि संभव हो तो, सामग्री की सबसे बड़ी मात्रा स्वीकार्य लोगों के बराबर या उसके करीब तनाव पर काम करती है। सबसे पहले, झुकने में बीम के तर्कसंगत खंड को बीम के फैले और संपीड़ित क्षेत्रों की समान शक्ति की स्थिति को पूरा करना चाहिए। इसके लिए आवश्यक है कि उच्चतम तन्यता प्रतिबल और उच्चतम संपीडन प्रतिबल एक साथ स्वीकार्य प्रतिबलों तक पहुँचें। हम एक ऐसे खंड में आते हैं जो एक सममित आई-बीम के रूप में प्लास्टिक सामग्री के लिए तर्कसंगत है, जिसमें शायद अधिकांश सामग्री दीवार से जुड़ी अलमारियों पर केंद्रित होती है, जिसकी मोटाई दीवार की ताकत की स्थितियों से निर्धारित होती है कतरनी तनाव के संदर्भ में। . तर्कसंगतता मानदंड के अनुसार, तथाकथित बॉक्स सेक्शन I-सेक्शन के करीब है

भंगुर सामग्री से बने बीम के लिए, सबसे तर्कसंगत एक असममित आई-बीम के रूप में एक खंड होगा जो तनाव और संपीड़न में समान ताकत की स्थिति को संतुष्ट करता है, जो आवश्यकता से होता है। स्टील्स, साथ ही एल्यूमीनियम और एल्यूमीनियम मिश्र धातु . ए-आई-बीम, बी-चैनल, सी - असमान कोना, कोल्ड-बेंट बंद डी-समबाहु कोना। वेल्डेड प्रोफाइल

निर्माण करते समय झुकने के क्षण आरेखएम पर बिल्डर्सस्वीकृत: एक निश्चित पैमाने में व्यक्त करने का निर्देश सकारात्मकझुकने वाले क्षणों के मूल्य, एक तरफ रख दें बढ़ायाफाइबर, यानी - नीचे, ए नकारात्मक - ऊपरकिरण की धुरी से। इसलिए, वे कहते हैं कि बिल्डर्स स्ट्रेच्ड फाइबर्स पर डायग्राम बनाते हैं। यांत्रिकीकतरनी बल और झुकने के क्षण दोनों के सकारात्मक मूल्यों को प्लॉट किया जाता है यूपी।यांत्रिकी आरेखों का निर्माण करते हैं दबा हुआफाइबर।

प्रधानाचार्य जोर देते हैं झुकते समय। समतुल्य वोल्टेज.

बीम के क्रॉस सेक्शन में सीधे झुकने के सामान्य मामले में, सामान्यऔर स्पर्शरेखावोल्टेज. ये वोल्टेज बीम की लंबाई और ऊंचाई दोनों में भिन्नता है।

इस प्रकार, झुकने के मामले में, विमान तनाव की स्थिति।

एक योजना पर विचार करें जहां बीम एक बल P . से भरी हुई है

सबसे बड़ा सामान्यतनाव होता है चरम,तटस्थ रेखा से सबसे दूर बिंदु, और उनमें अपरूपण प्रतिबल अनुपस्थित होते हैं।के लिए चरमफाइबर गैर-शून्य प्रमुख तनाव सामान्य तनाव हैंक्रॉस सेक्शन में।

तटस्थ रेखा के स्तर परबीम के क्रॉस सेक्शन में उत्पन्न होता है सबसे बड़ा कतरनी तनाव,ए सामान्य तनाव शून्य हैं. मतलब रेशों में तटस्थपरत प्रमुख प्रतिबल अपरूपण प्रतिबलों के मानों द्वारा निर्धारित होते हैं।

इस डिजाइन मॉडल में, बीम के ऊपरी तंतुओं को बढ़ाया जाएगा, और निचले वाले को संकुचित किया जाएगा। प्रमुख तनावों को निर्धारित करने के लिए, हम प्रसिद्ध अभिव्यक्ति का उपयोग करते हैं:

भरा हुआ तनाव राज्य विश्लेषणचित्र में मौजूद है।

झुकने में तनाव की स्थिति का विश्लेषण

सबसे बड़ा प्रमुख तनाव σ 1पर स्थित है अपरअत्यधिक फाइबर और निचले चरम तंतुओं पर शून्य के बराबर है। प्रधान तनाव 3यह है निचले तंतुओं पर सबसे बड़ा निरपेक्ष मूल्य।

प्रधान तनाव प्रक्षेपवक्रपर निर्भर करता है लोड प्रकारऔर बीम को ठीक करने का तरीका।

समस्याओं को हल करते समय, यह पर्याप्त है अलग सेजाँच करना सामान्यऔर अलग कतरनी तनाव।हालाँकि, कभी-कभी सबसे तनावपूर्णउपस्थित होना मध्यमफाइबर जिसमें सामान्य और कतरनी दोनों तनाव होते हैं। यह उन वर्गों में होता है जहां एक साथ झुकने का क्षण और अनुप्रस्थ बल दोनों बड़े मूल्यों तक पहुँचते हैं- यह एक ब्रैकट बीम के एम्बेडिंग में, एक ब्रैकट के साथ एक बीम के समर्थन पर, एक केंद्रित बल के तहत वर्गों में, या तेजी से बदलती चौड़ाई वाले वर्गों में हो सकता है। उदाहरण के लिए, I-सेक्शन में, सबसे खतरनाक शेल्फ से दीवार का जंक्शन- वहाँ हैं महत्वपूर्ण और सामान्य और कतरनी तनाव।

सामग्री समतल तनाव की स्थिति में है और इसकी आवश्यकता है समकक्ष वोल्टेज परीक्षण।

तन्य सामग्री से बने बीम के लिए मजबूती की स्थितिपर तीसरा(सबसे बड़े स्पर्शरेखा तनाव के सिद्धांत) और चौथी(रूप परिवर्तन की ऊर्जा का सिद्धांत) शक्ति सिद्धांत।

एक नियम के रूप में, लुढ़के हुए बीम में, समतुल्य तनाव बाहरी तंतुओं में सामान्य तनाव से अधिक नहीं होते हैं और किसी विशेष सत्यापन की आवश्यकता नहीं होती है। एक और बात - कम्पोजिट धातु बीम, कौन सा पतली दीवारएक ही ऊंचाई पर लुढ़का हुआ प्रोफाइल की तुलना में। स्टील शीट से बने वेल्डेड कंपोजिट बीम आमतौर पर अधिक उपयोग किए जाते हैं। ताकत के लिए ऐसे बीम की गणना: ए) खंड का चयन - बीम तार की ऊंचाई, मोटाई, चौड़ाई और मोटाई; बी) सामान्य और कतरनी तनाव के लिए शक्ति परीक्षण; सी) समकक्ष तनाव द्वारा ताकत का सत्यापन।

I-सेक्शन में अपरूपण प्रतिबल का निर्धारण. अनुभाग पर विचार करें मैं दमक। एस एक्स \u003d 96.9 सेमी 3; वाईएक्स=2030 सेमी 4; क्यू = 200 केएन

अपरूपण प्रतिबल ज्ञात करने के लिए इसका प्रयोग किया जाता है सूत्र, जहां क्यू खंड में अनुप्रस्थ बल है, एस एक्स 0 परत के एक तरफ स्थित क्रॉस सेक्शन के हिस्से का स्थिर क्षण है जिसमें कतरनी तनाव निर्धारित किए जाते हैं, I x पूरे क्रॉस की जड़ता का क्षण है खंड, बी उस स्थान पर खंड की चौड़ाई है जहां कतरनी तनाव निर्धारित किया जाता है

गणना करना ज्यादा से ज्यादाअपरूपण तनाव:

आइए हम के लिए स्थिर क्षण की गणना करें सबसे ऊपर वाला खांचा:

अब गणना करते हैं कतरनी तनाव:

हम निर्माण कर रहे हैं कतरनी तनाव आरेख:

प्रपत्र में मानक प्रोफ़ाइल के एक भाग पर विचार करें मैं दमकऔर परिभाषित करें कतरनी तनावअनुप्रस्थ बल के समानांतर कार्य करना:

गणना स्थिर क्षणसाधारण आंकड़े:

इस मान की गणना भी की जा सकती है अन्यथा, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि एक आई-बीम और एक गर्त खंड के लिए, आधे खंड का स्थिर क्षण एक ही समय में दिया जाता है। ऐसा करने के लिए, स्थिर क्षण के ज्ञात मूल्य से स्थिर क्षण के मान को रेखा में घटाना आवश्यक है ए 1 बी 1:

दीवार परिवर्तन के लिए निकला हुआ किनारा के जंक्शन पर कतरनी जोर देती है अंतर डालते हुए, जैसा तेज़दीवार की मोटाई से बदलती है टी स्टूइससे पहले बी.

गर्त, खोखले आयताकार और अन्य वर्गों की दीवारों में कतरनी तनाव के भूखंडों का एक ही रूप है जैसा कि आई-सेक्शन के मामले में होता है। सूत्र में एक्स अक्ष के सापेक्ष अनुभाग के छायांकित भाग का स्थिर क्षण शामिल होता है, और हर उस परत में खंड चौड़ाई (नेट) होता है जहां कतरनी तनाव निर्धारित होता है।

आइए हम एक वृत्ताकार खंड के लिए अपरूपण प्रतिबल ज्ञात करें।

चूंकि खंड के समोच्च पर स्पर्शरेखा तनाव को निर्देशित किया जाना चाहिए समोच्च के स्पर्शरेखा,फिर बिंदुओं पर लेकिनऔर परव्यास के समानांतर किसी भी जीवा के सिरों पर एबी,कतरनी तनाव निर्देशित हैं त्रिज्या OA के लंबवतऔर ओवी।इसलिये, दिशाओंबिंदुओं पर कतरनी तनाव लेकिन, वीकेकिसी बिंदु पर अभिसरण एचवाई अक्ष पर।

कट-ऑफ भाग का स्थिर क्षण:

अर्थात् अपरूपण प्रतिबल के अनुसार परिवर्तन होता है अणुवृत्त आकार काकानून और तटस्थ रेखा के स्तर पर अधिकतम होगा जब वाई 0 = 0

अपरूपण प्रतिबल निर्धारित करने का सूत्र (सूत्र)

एक आयताकार खंड पर विचार करें

दूरी पर 0 . परकेंद्रीय अक्ष से ड्रा करें खंड 1-1और अपरूपण प्रतिबल ज्ञात कीजिए। स्थिर क्षण क्षेत्रकटा हुआ हिस्सा:

यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि मूल रूप से उदासीन, क्षेत्र का स्थिर क्षण लें छायांकित या आरामअनुप्रस्थ काट। दोनों स्थिर क्षण बराबर और विपरीत चिह्न में, ताकि वे जोड़,जो दर्शाता है पूरे खंड के क्षेत्र का स्थिर क्षणतटस्थ रेखा के सापेक्ष, अर्थात् केंद्रीय अक्ष x, के बराबर होगा शून्य।

एक आयताकार खंड की जड़ता का क्षण:

फिर कतरनी तनावसूत्र के अनुसार

चर y 0 के दौरान सूत्र में शामिल किया गया है दूसराडिग्री, यानी। एक आयताकार खंड में अपरूपण प्रतिबल अलग-अलग होते हैं एक वर्ग परवलय का नियम।

शीयर स्ट्रेस पहुंच गया ज्यादा से ज्यादातटस्थ रेखा के स्तर पर, अर्थात्। जब वाई 0 = 0:

, कहाँ पे ए पूरे खंड का क्षेत्र है।

कतरनी तनाव के लिए ताकत की स्थितिकी तरह लगता है:

, कहाँ पे एस एक्स 0परत के एक तरफ स्थित क्रॉस सेक्शन के हिस्से का स्थिर क्षण है जिसमें कतरनी तनाव निर्धारित किया जाता है, मैं एक्सपूरे क्रॉस सेक्शन की जड़ता का क्षण है, बी- उस स्थान पर खंड की चौड़ाई जहां कतरनी तनाव निर्धारित किया जाता है, क्यू- अनुप्रस्थ बल, τ - अपरूपण तनाव, [τ] - स्वीकार्य कतरनी तनाव।

यह ताकत की स्थिति उत्पादन करना संभव बनाती है तीनगणना का प्रकार (शक्ति विश्लेषण में तीन प्रकार की समस्याएं):

1. अपरूपण तनावों के लिए सत्यापन गणना या शक्ति परीक्षण:

2. खंड की चौड़ाई का चयन (आयताकार खंड के लिए):

3. अनुमेय अनुप्रस्थ बल का निर्धारण (एक आयताकार खंड के लिए):

निर्धारण के लिए स्पर्शरेखातनाव, बलों से भरी हुई किरण पर विचार करें।

प्रतिबलों को निर्धारित करने का कार्य सदैव होता है स्थिर रूप से अनिश्चितऔर भागीदारी की आवश्यकता है ज्यामितिकऔर शारीरिकसमीकरण हालाँकि, कोई ले सकता है तनाव वितरण की प्रकृति के बारे में परिकल्पनाकि कार्य बन जाएगा स्थिर रूप से निर्धारित।

दो असीम रूप से करीबी क्रॉस सेक्शन 1-1 और 2-2 चुनें डीजे तत्व,इसे बड़े पैमाने पर बनाएं, फिर एक अनुदैर्ध्य खंड 3-3 बनाएं।

खंड 1-1 और 2-2 में, सामान्य 1 , 2 तनाव, जो प्रसिद्ध सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

कहाँ पे एम - झुकने का क्षणक्रॉस सेक्शन में डीएम - वेतन वृद्धिलंबाई dz . पर झुकने का क्षण

बहुत ताकतखंड 1–1 और 2–2 में मुख्य केंद्रीय अक्ष Y के साथ निर्देशित है और जाहिर है, का प्रतिनिधित्व करता है अनुभाग में वितरित आंतरिक कतरनी तनाव के ऊर्ध्वाधर घटकों का योग. सामग्री की ताकत में, इसे आमतौर पर लिया जाता है खंड की चौड़ाई पर उनके समान वितरण की धारणा।

दूरी पर स्थित क्रॉस सेक्शन के किसी भी बिंदु पर अपरूपण प्रतिबल का परिमाण निर्धारित करने के लिए 0 . परतटस्थ एक्स अक्ष से, इस बिंदु के माध्यम से तटस्थ परत (3-3) के समानांतर एक विमान बनाएं, और कट-ऑफ तत्व को बाहर निकालें। हम ABSD साइट पर अभिनय करने वाले वोल्टेज का निर्धारण करेंगे।

आइए सभी बलों को Z अक्ष पर प्रक्षेपित करें

दाहिनी ओर आंतरिक अनुदैर्ध्य बलों का परिणाम बराबर होगा:

कहाँ पे ए 0 मुखौटा चेहरे का क्षेत्र है, एस एक्स 0 एक्स अक्ष के सापेक्ष कट-ऑफ भाग का स्थिर क्षण है. इसी तरह बाईं ओर:

दोनों परिणाम की ओर निर्देशित एक-दूसरे से, क्योंकि तत्व में है दबा हुआबीम क्षेत्र। उनके अंतर को निचले चेहरे पर 3-3 स्पर्शरेखा बलों द्वारा संतुलित किया जाता है।

चलो दिखावा करते हैं कि कतरनी तनावबीम क्रॉस सेक्शन की चौड़ाई में वितरित b के बराबर. यह धारणा अधिक संभावना है, खंड की ऊंचाई की तुलना में चौड़ाई जितनी कम होगी। फिर स्पर्शरेखा बलों का परिणाम dTचेहरे के क्षेत्र से गुणा किए गए तनाव मूल्य के बराबर है:

अभी लिखें संतुलन समीकरण z=0:

या कहाँ से

चलो याद करते हैं अंतर निर्भरता, किसके अनुसार तब हमें सूत्र मिलता है:

इस सूत्र को कहा जाता है सूत्रों. यह सूत्र 1855 में प्राप्त किया गया था। यहाँ एस एक्स 0 - क्रॉस सेक्शन के एक हिस्से का स्थिर क्षण,परत के एक तरफ स्थित है जिसमें कतरनी तनाव निर्धारित किया जाता है, मैं एक्स - जड़ता का क्षणसंपूर्ण क्रॉस सेक्शन बी - खंड चौड़ाईजहां कतरनी तनाव निर्धारित किया जाता है, क्यू - अनुप्रस्थ बलअनुभाग में।

झुकने की ताकत की स्थिति है,कहाँ पे

- झुकने वाले क्षणों के आरेख से अधिकतम क्षण (मॉड्यूलो); - अक्षीय खंड मापांक, ज्यामितीय विशेषता; - स्वीकार्य तनाव (σadm)

- अधिकतम सामान्य तनाव।

यदि गणना पर आधारित है सीमा राज्य विधि, फिर गणना में स्वीकार्य तनाव के बजाय पेश किया जाता है सामग्री का डिजाइन प्रतिरोध आर।

झुकने की ताकत की गणना के प्रकार

1. चेकिंगसामान्य तनाव शक्ति की गणना या सत्यापन

2. परियोजनागणना या अनुभाग चयन

3. परिभाषा अनुमति हैभार (परिभाषा उठाने की क्षमताऔर या परिचालन वाहकक्षमताएं)

सामान्य तनावों की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करते समय, झुकने के ऐसे मामले पर विचार करें, जब बीम के वर्गों में आंतरिक बल केवल कम हो जाते हैं झुकने का पल, ए अनुप्रस्थ बल शून्य है. झुकने के इस मामले को कहा जाता है शुद्ध झुकना. शुद्ध झुकने वाले बीम के मध्य भाग पर विचार करें।

लोड होने पर, बीम झुक जाता है ताकि यह निचला तंतु लंबा हो जाता है और ऊपरी तंतु छोटा हो जाता है।

चूंकि बीम के कुछ तंतु खिंचे हुए होते हैं और कुछ संकुचित होते हैं, और तनाव से संपीड़न में संक्रमण होता है सुचारू रूप से, बिना छलांग के, में मध्यबीम का हिस्सा है एक परत जिसके तंतु केवल झुकते हैं, लेकिन तनाव या संपीड़न का अनुभव नहीं करते हैं।ऐसी परत कहलाती है तटस्थपरत। वह रेखा जिसके साथ तटस्थ परत बीम के अनुप्रस्थ काट को काटती है, कहलाती है तटस्थ रेखाया तटस्थ अक्षखंड। बीम की धुरी पर तटस्थ रेखाएं लगी होती हैं। तटस्थ रेखावह रेखा है जिसमें सामान्य तनाव शून्य हैं।

अक्ष के लंबवत बीम की पार्श्व सतह पर खींची गई रेखाएँ बनी रहती हैं समतलझुकते समय। ये प्रयोगात्मक डेटा सूत्रों की व्युत्पत्तियों को आधार बनाना संभव बनाते हैं समतल वर्गों की परिकल्पना (परिकल्पना). इस परिकल्पना के अनुसार, बीम के खंड झुकने से पहले अपनी धुरी पर सपाट और लंबवत होते हैं, सपाट रहते हैं और झुकने पर बीम के मुड़े हुए अक्ष के लंबवत हो जाते हैं।

सामान्य तनाव सूत्रों की व्युत्पत्ति के लिए मान्यताएँ: 1) समतल वर्गों की परिकल्पना की पूर्ति होती है। 2) अनुदैर्ध्य तंतु एक-दूसरे पर दबाव नहीं डालते (गैर-दबाव परिकल्पना) और इसलिए, प्रत्येक तंतु एक अक्षीय तनाव या संपीड़न की स्थिति में होता है। 3) रेशों की विकृति खंड की चौड़ाई के साथ उनकी स्थिति पर निर्भर नहीं करती है। नतीजतन, सामान्य तनाव, खंड की ऊंचाई के साथ बदलते हुए, चौड़ाई में समान रहते हैं। 4) बीम में समरूपता का कम से कम एक तल होता है, और सभी बाहरी बल इस तल में होते हैं। 5) बीम की सामग्री हुक के नियम का पालन करती है, और तनाव और संपीड़न में लोच का मापांक समान होता है। 6) बीम के आयामों के बीच का अनुपात ऐसा है कि यह बिना मुड़े या घुमाए फ्लैट झुकने की स्थिति में काम करता है।

मनमाना खंड के एक बीम पर विचार करें, लेकिन समरूपता की धुरी है। झुकने का पलप्रतिनिधित्व करता है आंतरिक सामान्य बलों का परिणामी क्षणअसीम रूप से छोटे क्षेत्रों पर उत्पन्न होने वाले और के रूप में व्यक्त किया जा सकता है अभिन्नप्रपत्र: (1), जहाँ y, x अक्ष के सापेक्ष प्राथमिक बल की भुजा है

सूत्र (1) व्यक्त स्थिरएक सीधी पट्टी झुकने की समस्या का पक्ष, लेकिन इसके साथ एक ज्ञात झुकने वाले क्षण के अनुसार जब तक उनके वितरण का कानून स्थापित नहीं हो जाता, तब तक सामान्य तनावों को निर्धारित करना असंभव है।

मध्य भाग में बीम का चयन करें और विचार करें लंबाई dz का खंड,झुकने के अधीन। आइए इसे ज़ूम इन करें।

अनुभाग dz को बाध्य करने वाले अनुभाग, विरूपण से पहले एक दूसरे के समानांतर, और लोड लगाने के बाद उनकी तटस्थ रेखाओं को एक कोण पर घुमाएँ . तटस्थ परत के तंतुओं के खंड की लंबाई नहीं बदलेगी।और इसके बराबर होगा: , वह कहां है वक्रता त्रिज्याबीम की घुमावदार धुरी। लेकिन कोई अन्य फाइबर झूठ बोल रहा है नीचे या ऊपरतटस्थ परत, इसकी लंबाई बदल जाएगी. गणना करना तटस्थ परत से y दूरी पर स्थित तंतुओं का सापेक्ष बढ़ाव।सापेक्ष बढ़ाव मूल लंबाई के पूर्ण विरूपण का अनुपात है, फिर:

हम समान पदों को घटाते और घटाते हैं, तो हमें प्राप्त होता है: (2) यह सूत्र व्यक्त करता है ज्यामितिकशुद्ध झुकने की समस्या का पक्ष: फाइबर विकृतियां तटस्थ परत से उनकी दूरी के सीधे आनुपातिक हैं।

अब चलते हैं तनाव, अर्थात। हम विचार करेंगे शारीरिककार्य का पक्ष। के अनुसार गैर-दबाव धारणाफाइबर का उपयोग अक्षीय तनाव-संपीड़न में किया जाता है: फिर, सूत्र को ध्यान में रखते हुए (2) अपने पास (3), वे। सामान्य तनावअनुभाग की ऊंचाई के साथ झुकते समय एक रैखिक कानून के अनुसार वितरित किए जाते हैं. चरम तंतुओं पर, सामान्य तनाव अधिकतम मूल्य तक पहुंच जाता है, और गुरुत्वाकर्षण के केंद्र में, क्रॉस सेक्शन शून्य के बराबर होते हैं। विकल्प (3) समीकरण में (1) और अभिन्न चिह्न से भिन्न को एक स्थिर मान के रूप में लेते हैं, तो हमारे पास है . लेकिन अभिव्यक्ति है x-अक्ष के परितः खंड की जड़ता का अक्षीय आघूर्ण - मैं एक्स. इसका आयाम सेमी 4, एम 4

फिर ,कहाँ पे (4) , कहाँ है बीम के मुड़े हुए अक्ष की वक्रता, झुकने के दौरान बीम खंड की कठोरता है।

परिणामी अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें वक्रता (4)एक अभिव्यक्ति में (3) और पाओ क्रॉस सेक्शन के किसी भी बिंदु पर सामान्य तनावों की गणना के लिए सूत्र: (5)

उस। ज्यादा से ज्यादातनाव पैदा होता है तटस्थ रेखा से सबसे दूर के बिंदुओं पर।रवैया (6) बुलाया अक्षीय खंड मापांक. इसका आयाम सेमी 3, मी 3. प्रतिरोध का क्षण तनाव के परिमाण पर क्रॉस सेक्शन के आकार और आयामों के प्रभाव की विशेषता है।

फिर अधिकतम तनाव: (7)

झुकने की ताकत की स्थिति: (8)

अनुप्रस्थ झुकने के दौरान न केवल सामान्य, बल्कि कतरनी तनाव भी, क्योंकि उपलब्ध बहुत ताकत. कतरनी तनाव विरूपण की तस्वीर को जटिल, वे करने के लिए नेतृत्व वक्रताबीम के क्रॉस सेक्शन, जिसके परिणामस्वरूप समतल वर्गों की परिकल्पना का उल्लंघन होता है. हालांकि, अध्ययनों से पता चलता है कि कतरनी तनाव द्वारा शुरू की गई विकृतियां थोड़ासूत्र द्वारा गणना किए गए सामान्य तनावों को प्रभावित करते हैं (5) . इस प्रकार, अनुप्रस्थ झुकने के मामले में सामान्य तनाव का निर्धारण करते समय शुद्ध झुकने का सिद्धांत काफी लागू है।

तटस्थ रेखा। तटस्थ रेखा की स्थिति के बारे में प्रश्न।

झुकते समय कोई अनुदैर्ध्य बल नहीं होता है, इसलिए हम लिख सकते हैं सामान्य प्रतिबलों के लिए सूत्र को यहाँ रखिए (3) और पाओ चूंकि बीम सामग्री की लोच का मापांक गैर-शून्य है और बीम के मुड़े हुए अक्ष में वक्रता का एक परिमित त्रिज्या है, यह मान लेना बाकी है कि यह अभिन्न है क्षेत्र का स्थिर क्षणतटस्थ रेखा-अक्ष x . के सापेक्ष बीम का क्रॉस सेक्शन , और तब से यह शून्य के बराबर है, तो तटस्थ रेखा खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से होकर गुजरती है।

स्थिति (क्षेत्र रेखा के सापेक्ष आंतरिक बलों के क्षण की अनुपस्थिति) देगी या खाते में लेना (3) . उन्हीं कारणों से (ऊपर देखें) . एकीकृत में - x और y कुल्हाड़ियों के बारे में खंड की जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण शून्य है, तो ये कुल्हाड़ियाँ हैं मुख्य और केंद्रीयऔर श्रृंगार सीधाइंजेक्शन। इसलिये, एक सीधे मोड़ में शक्ति और तटस्थ रेखाएँ परस्पर लंबवत होती हैं।

व्यवस्थित करके तटस्थ रेखा स्थिति, बनाने में आसान सामान्य तनाव आरेखखंड की ऊंचाई से। उसकी रैखिकचरित्र निर्धारित है पहली डिग्री का समीकरण।

आरेख की प्रकृति तटस्थ रेखा के संबंध में सममित वर्गों के लिए, M<0

बीम के अक्ष के लंबवत कार्य करने वाले और इस अक्ष से गुजरने वाले तल में स्थित बल एक विकृति का कारण बनते हैं जिसे कहा जाता है अनुप्रस्थ मोड़. यदि उल्लिखित बलों की कार्रवाई का विमान – मुख्य विमान, फिर एक सीधा (सपाट) अनुप्रस्थ मोड़ होता है। अन्यथा, मोड़ को तिरछा अनुप्रस्थ कहा जाता है। वह बीम जो मुख्य रूप से झुकने के अधीन होती है, कहलाती है खुशी से उछलना 1 .

अनिवार्य रूप से अनुप्रस्थ झुकना शुद्ध झुकने और कतरनी का एक संयोजन है। ऊंचाई के साथ कैंची के असमान वितरण के कारण क्रॉस सेक्शन की वक्रता के संबंध में, सामान्य तनाव सूत्र को लागू करने की संभावना पर सवाल उठता है एक्सफ्लैट वर्गों की परिकल्पना के आधार पर शुद्ध झुकने के लिए व्युत्पन्न।

1 एक सिंगल-स्पैन बीम, जिसके सिरों पर क्रमशः एक बेलनाकार स्थिर समर्थन और एक बेलनाकार बीम की धुरी की दिशा में चलने योग्य होता है, कहलाता है सरल. एक बीम जिसके एक निश्चित सिरे और दूसरे मुक्त सिरे होते हैं, कहलाते हैं सांत्वना देना. एक साधारण बीम जिसमें एक या दो भाग किसी सहारे पर लटके होते हैं, कहलाते हैं सांत्वना देना.

यदि, इसके अलावा, अनुभागों को लोड के आवेदन के बिंदुओं से दूर ले जाया जाता है (बीम अनुभाग की आधी ऊंचाई से कम दूरी पर नहीं), तो, शुद्ध झुकने के मामले में, यह माना जा सकता है कि फाइबर एक दूसरे पर दबाव नहीं डालते हैं। इसका मतलब है कि प्रत्येक फाइबर एक अक्षीय तनाव या संपीड़न का अनुभव करता है।

एक वितरित भार की कार्रवाई के तहत, दो आसन्न वर्गों में अनुप्रस्थ बल बराबर मात्रा में भिन्न होंगे क्यूडीएक्स. इसलिए, वर्गों की वक्रता भी थोड़ी भिन्न होगी। इसके अलावा, फाइबर एक दूसरे पर दबाव डालेंगे। मुद्दे के सावधानीपूर्वक अध्ययन से पता चलता है कि यदि बीम की लंबाई मैंइसकी ऊंचाई की तुलना में काफी बड़ा एच (मैं/ एच> 5), फिर वितरित भार के साथ भी, इन कारकों का क्रॉस सेक्शन में सामान्य तनाव पर महत्वपूर्ण प्रभाव नहीं पड़ता है और इसलिए, व्यावहारिक गणनाओं में इसे ध्यान में नहीं रखा जा सकता है।

ए बी सी

चावल। 10.5 अंजीर। 10.6

केंद्रित भार के तहत और उनके पास के वर्गों में, वितरण σ एक्सरैखिक नियम से विचलन। यह विचलन, जो एक स्थानीय प्रकृति का है और सबसे बड़े तनाव (चरम तंतुओं में) में वृद्धि के साथ नहीं है, आमतौर पर व्यवहार में ध्यान नहीं दिया जाता है।

इस प्रकार, अनुप्रस्थ झुकने के साथ (विमान में हू) सामान्य तनावों की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

σ एक्स= – [मज़ू(एक्स)/इज़ू]आप.

यदि हम भार रहित बीम के एक खंड पर दो आसन्न खंड खींचते हैं, तो दोनों खंडों में अनुप्रस्थ बल समान होगा, जिसका अर्थ है कि वर्गों की वक्रता समान होगी। इस मामले में, फाइबर का कोई भी टुकड़ा अब(चित्र 10.5) एक नई स्थिति में चला जाएगा ए "बी", अतिरिक्त बढ़ाव के बिना, और इसलिए सामान्य तनाव के परिमाण को बदले बिना।

आइए हम बीम के अनुदैर्ध्य खंड में अभिनय करने वाले उनके युग्मित तनावों के माध्यम से क्रॉस सेक्शन में कतरनी तनावों का निर्धारण करें।

बार से लंबाई वाले तत्व का चयन करें डीएक्स(चित्र। 10.7 ए)। आइए कुछ दूरी पर एक क्षैतिज खंड बनाएं परतटस्थ अक्ष से जेड, तत्व को दो भागों में विभाजित करना (चित्र 10.7) और ऊपरी भाग के संतुलन पर विचार करें, जिसका आधार है

चौड़ाई बी. अपरूपण प्रतिबलों के युग्मन के नियम के अनुसार, अनुदैर्ध्य खंड में कार्य करने वाले प्रतिबल अनुप्रस्थ काट में कार्य करने वाले प्रतिबलों के बराबर होते हैं। इसे ध्यान में रखते हुए, इस धारणा के तहत कि कतरनी साइट पर जोर देती है बीसमान रूप से वितरित, हम ΣX = 0 की स्थिति का उपयोग करते हैं, हमें मिलता है:

एन * - (एन * +डीएन *)+

जहां: एन * "कट-ऑफ" क्षेत्र ए * (छवि। 10.7 डी) के भीतर तत्व डीएक्स के बाएं क्रॉस सेक्शन में सामान्य बलों σ का परिणाम है:

कहा पे: एस \u003d - क्रॉस सेक्शन के "कट ऑफ" हिस्से का स्थिर क्षण (अंजीर में छायांकित क्षेत्र। 10.7 सी)। इसलिए, हम लिख सकते हैं:

तब आप लिख सकते हैं:

यह सूत्र 19वीं शताब्दी में रूसी वैज्ञानिक और इंजीनियर डी.आई. ज़ुरावस्की और उसका नाम भालू। और यद्यपि यह सूत्र अनुमानित है, क्योंकि यह अनुभाग की चौड़ाई पर तनाव को औसत करता है, इसका उपयोग करके गणना के परिणाम प्रयोगात्मक डेटा के साथ अच्छे समझौते में हैं।

z अक्ष से y की दूरी पर स्थित खंड के एक मनमाना बिंदु पर अपरूपण तनावों को निर्धारित करने के लिए, किसी को यह करना चाहिए:

आरेख से अनुभाग में अभिनय करने वाले अनुप्रस्थ बल Q का परिमाण निर्धारित करें;

पूरे खंड की जड़ता I z के क्षण की गणना करें;

इस बिंदु के माध्यम से विमान के समानांतर एक विमान बनाएं xzऔर खंड की चौड़ाई निर्धारित करें बी;

मुख्य केंद्रीय अक्ष के संबंध में कट-ऑफ क्षेत्र एस के स्थिर क्षण की गणना करें जेडऔर पाए गए मानों को ज़ुरावस्की के सूत्र में बदलें।

आइए, एक उदाहरण के रूप में, एक आयताकार अनुप्रस्थ काट में अपरूपण प्रतिबल को परिभाषित करें (चित्र 10.6, ग)। अक्ष के बारे में स्थिर क्षण जेडरेखा 1-1 के ऊपर के खंड के भाग, जिस पर तनाव निर्धारित होता है, हम फॉर्म में लिखते हैं:

यह वर्ग परवलय के नियम के अनुसार बदलता है। खंड की चौथाई मेंएक आयताकार बीम के लिए स्थिर है, तो खंड में स्पर्शरेखा तनाव के परिवर्तन का नियम भी परवलयिक होगा (चित्र। 10.6, सी)। y = और y = - के लिए स्पर्शरेखा तनाव शून्य के बराबर होते हैं, और तटस्थ अक्ष पर जेडवे अपने उच्चतम बिंदु पर पहुंच जाते हैं।

तटस्थ अक्ष पर एक गोलाकार क्रॉस सेक्शन वाले बीम के लिए, हमारे पास है

झुकनाविरूपण कहलाता है, जिसमें छड़ की धुरी और उसके सभी तंतु, यानी छड़ की धुरी के समानांतर अनुदैर्ध्य रेखाएं बाहरी बलों की कार्रवाई के तहत मुड़ी हुई होती हैं। झुकने का सबसे सरल मामला तब प्राप्त होता है जब बाहरी बल छड़ के केंद्रीय अक्ष से गुजरने वाले तल में होते हैं और इस अक्ष पर प्रक्षेपित नहीं होते हैं। झुकने के ऐसे मामले को अनुप्रस्थ झुकने कहा जाता है। फ्लैट मोड़ और तिरछा भेद।

सपाट मोड़- ऐसा मामला जब रॉड की मुड़ी हुई धुरी उसी तल में स्थित हो जिसमें बाहरी बल कार्य करते हैं।

ओब्लिक (जटिल) मोड़- झुकने का ऐसा मामला, जब छड़ की मुड़ी हुई धुरी बाहरी बलों की कार्रवाई के तल में नहीं होती है।

एक झुकने वाली पट्टी को आमतौर पर के रूप में जाना जाता है खुशी से उछलना।

एक समन्वय प्रणाली y0x के साथ एक खंड में बीम के एक फ्लैट अनुप्रस्थ झुकने के साथ, दो आंतरिक बल हो सकते हैं - एक अनुप्रस्थ बल Q y और एक झुकने वाला क्षण M x; निम्नलिखित में, हम संकेतन का परिचय देते हैं क्यूऔर एम।यदि बीम के खंड या खंड (क्यू = 0) में कोई अनुप्रस्थ बल नहीं है, और झुकने का क्षण शून्य के बराबर नहीं है या एम स्थिरांक है, तो ऐसे मोड़ को आमतौर पर कहा जाता है साफ़.

बहुत ताकतबीम के किसी भी भाग में संख्यात्मक रूप से खंड के एक तरफ (किसी भी) पर स्थित सभी बलों (समर्थन प्रतिक्रियाओं सहित) की धुरी पर अनुमानों के बीजगणितीय योग के बराबर है।

झुकने का पलबीम खंड में संख्यात्मक रूप से इस खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के सापेक्ष खींचे गए खंड के एक तरफ (किसी भी) पर स्थित सभी बलों (समर्थन प्रतिक्रियाओं सहित) के बीजगणितीय योग के बराबर है, अधिक सटीक रूप से, अक्ष के सापेक्ष खींचे गए खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के माध्यम से ड्राइंग के विमान के लंबवत गुजरना।

क्यू-बलहै परिणामीआंतरिक के क्रॉस सेक्शन पर वितरित कतरनी तनाव, ए पल एम– क्षणों का योगखंड X के केंद्रीय अक्ष के चारों ओर आंतरिक सामान्य तनाव।

आंतरिक बलों के बीच एक अंतर संबंध है

जिसका उपयोग डायग्राम Q और M के निर्माण और सत्यापन में किया जाता है।

चूंकि बीम के कुछ तंतु खिंचे हुए होते हैं, और कुछ संकुचित होते हैं, और तनाव से संपीड़न में संक्रमण बिना कूद के सुचारू रूप से होता है, बीम के मध्य भाग में एक परत होती है जिसके तंतु केवल झुकते हैं, लेकिन अनुभव भी नहीं करते हैं तनाव या संपीड़न। ऐसी परत कहलाती है तटस्थ परत. वह रेखा जिसके साथ तटस्थ परत बीम के अनुप्रस्थ काट को काटती है, कहलाती है तटस्थ रेखावें या तटस्थ अक्षखंड। बीम की धुरी पर तटस्थ रेखाएं लगी होती हैं।

बीम की पार्श्व सतह पर अक्ष के लंबवत खींची गई रेखाएँ मुड़ी हुई होने पर सपाट रहती हैं। ये प्रयोगात्मक डेटा फ्लैट वर्गों की परिकल्पना पर सूत्रों के निष्कर्षों को आधार बनाना संभव बनाते हैं। इस परिकल्पना के अनुसार, बीम के खंड झुकने से पहले अपनी धुरी पर सपाट और लंबवत होते हैं, सपाट रहते हैं और झुकने पर बीम के मुड़े हुए अक्ष के लंबवत हो जाते हैं। झुकने के दौरान बीम का क्रॉस सेक्शन विकृत हो जाता है। अनुप्रस्थ विकृति के कारण, बीम के संकुचित क्षेत्र में क्रॉस सेक्शन के आयाम बढ़ जाते हैं, और तनाव क्षेत्र में वे संकुचित हो जाते हैं।

सूत्र व्युत्पन्न करने की मान्यताएँ। सामान्य तनाव

1) समतल वर्गों की परिकल्पना की पूर्ति होती है।

2) अनुदैर्ध्य तंतु एक दूसरे पर दबाव नहीं डालते हैं और इसलिए, सामान्य तनाव की कार्रवाई के तहत, रैखिक तनाव या संपीड़न काम करते हैं।

3) रेशों की विकृति खंड की चौड़ाई के साथ उनकी स्थिति पर निर्भर नहीं करती है। नतीजतन, सामान्य तनाव, खंड की ऊंचाई के साथ बदलते हुए, चौड़ाई में समान रहते हैं।

4) बीम में समरूपता का कम से कम एक तल होता है, और सभी बाहरी बल इस तल में होते हैं।

5) बीम की सामग्री हुक के नियम का पालन करती है, और तनाव और संपीड़न में लोच का मापांक समान होता है।

6) बीम के आयामों के बीच का अनुपात ऐसा है कि यह बिना मुड़े या मुड़े फ्लैट झुकने की स्थिति में काम करता है।

अपने खंड में प्लेटफार्मों पर बीम के शुद्ध झुकने के साथ, केवल सामान्य तनाव, सूत्र द्वारा निर्धारित:

जहां y खंड के एक मनमाना बिंदु का निर्देशांक है, जिसे तटस्थ रेखा से मापा जाता है - मुख्य केंद्रीय अक्ष x।

खंड की ऊंचाई के साथ सामान्य झुकने वाले तनावों को वितरित किया जाता है रैखिक कानून. चरम तंतुओं पर, सामान्य तनाव अधिकतम मूल्य तक पहुंच जाता है, और गुरुत्वाकर्षण के केंद्र में, क्रॉस सेक्शन शून्य के बराबर होते हैं।

तटस्थ रेखा के संबंध में सममित वर्गों के लिए सामान्य तनाव आरेखों की प्रकृति

उन वर्गों के लिए सामान्य तनाव आरेखों की प्रकृति जिनमें तटस्थ रेखा के बारे में समरूपता नहीं है

खतरनाक बिंदु वे होते हैं जो तटस्थ रेखा से सबसे दूर होते हैं।

आइए कुछ अनुभाग चुनें

अनुभाग के किसी भी बिंदु के लिए, आइए इसे एक बिंदु कहते हैं सेवा, सामान्य तनाव के लिए बीम की ताकत की स्थिति का रूप है:

, जहां आई.डी. - यह तटस्थ अक्ष

यह अक्षीय खंड मापांकतटस्थ अक्ष के बारे में। इसका आयाम सेमी 3, मी 3 है। प्रतिरोध का क्षण तनाव के परिमाण पर क्रॉस सेक्शन के आकार और आयामों के प्रभाव की विशेषता है।

सामान्य तनाव के लिए ताकत की स्थिति:

सामान्य तनाव तटस्थ अक्ष के सापेक्ष अक्षीय खंड मापांक के अधिकतम झुकने वाले क्षण के अनुपात के बराबर है।

यदि सामग्री असमान रूप से खींचने और संपीड़न का विरोध करती है, तो दो ताकत की स्थिति का उपयोग किया जाना चाहिए: एक स्वीकार्य तन्यता तनाव वाले खिंचाव क्षेत्र के लिए; अनुमेय संपीड़न तनाव के साथ संपीड़न क्षेत्र के लिए।

अनुप्रस्थ झुकने के साथ, इसके खंड में प्लेटफार्मों पर बीम के रूप में कार्य करते हैं सामान्य, और स्पर्शरेखावोल्टेज।

सीधा मोड़- यह एक प्रकार की विकृति है जिसमें रॉड के क्रॉस सेक्शन में दो आंतरिक बल कारक उत्पन्न होते हैं: एक झुकने वाला क्षण और एक अनुप्रस्थ बल।

शुद्ध मोड़- यह प्रत्यक्ष झुकने का एक विशेष मामला है, जिसमें रॉड के क्रॉस सेक्शन में केवल झुकने वाला क्षण होता है, और अनुप्रस्थ बल शून्य होता है।

शुद्ध मोड़ उदाहरण - प्लॉट सीडीछड़ी पर अब. झुकने का पलमूल्य है देहातबाहरी बलों की जोड़ी झुकने का कारण बनती है। रॉड के हिस्से के संतुलन से क्रॉस सेक्शन के बाईं ओर एम.एन.यह इस प्रकार है कि इस खंड पर वितरित आंतरिक बल स्थिर रूप से क्षण के बराबर हैं एम, झुकने के क्षण के बराबर और विपरीत देहात.

क्रॉस सेक्शन पर इन आंतरिक बलों के वितरण को खोजने के लिए, बार के विरूपण पर विचार करना आवश्यक है।

सरलतम मामले में, रॉड में समरूपता का एक अनुदैर्ध्य विमान होता है और इस विमान में स्थित बलों के बाहरी झुकने वाले जोड़े की कार्रवाई के अधीन होता है। फिर मोड़ उसी तल में होगा।

रॉड अक्ष एनएन 1अपने क्रॉस सेक्शन के गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों से गुजरने वाली एक रेखा है।

माना छड़ का अनुप्रस्थ काट एक आयत है। इसके फलकों पर दो लंबवत रेखाएँ खींचिए मिमीऔर पीपी. मुड़ने पर, ये रेखाएँ सीधी रहती हैं और घूमती हैं ताकि वे छड़ के अनुदैर्ध्य तंतुओं के लंबवत रहें।

झुकने का एक और सिद्धांत इस धारणा पर आधारित है कि न केवल रेखाएं मिमीऔर पीपी, लेकिन रॉड का पूरा फ्लैट क्रॉस सेक्शन झुकने के बाद सपाट रहता है और रॉड के अनुदैर्ध्य तंतुओं के लिए सामान्य होता है। इसलिए, झुकते समय, क्रॉस सेक्शन मिमीऔर पीपीझुकने वाले विमान (ड्राइंग प्लेन) के लंबवत कुल्हाड़ियों के चारों ओर एक दूसरे के सापेक्ष घुमाएं। इस मामले में, उत्तल पक्ष पर अनुदैर्ध्य तंतु तनाव का अनुभव करते हैं, और अवतल पक्ष के तंतु संपीड़न का अनुभव करते हैं।

तटस्थ सतहएक सतह है जो झुकने के दौरान विरूपण का अनुभव नहीं करती है। (अब यह ड्राइंग के लंबवत स्थित है, रॉड की विकृत धुरी एनएन 1इस सतह के अंतर्गत आता है)।

तटस्थ अनुभागीय अक्ष- यह किसी भी क्रॉस सेक्शन के साथ किसी भी तटस्थ सतह का प्रतिच्छेदन है (अब यह भी ड्राइंग के लंबवत स्थित है)।

मान लीजिए कि एक मनमाना फाइबर कुछ दूरी पर है आपएक तटस्थ सतह से। ρ वक्र अक्ष की वक्रता त्रिज्या है। दूरसंचार विभाग हेवक्रता का केंद्र है। आइए एक रेखा खींचते हैं एन 1 एस 1समानांतर मिमी.एसएस 1फाइबर का पूर्ण बढ़ाव है।

सापेक्ष विस्तार एक्सफाइबर

यह इस प्रकार है कि अनुदैर्ध्य तंतुओं की विकृतिदूरी के समानुपाती आपतटस्थ सतह से और वक्रता की त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती ρ .

छड़ के उत्तल पक्ष के तंतुओं का अनुदैर्ध्य बढ़ाव के साथ होता है पार्श्व कसना, और अवतल पक्ष का अनुदैर्ध्य छोटा - पार्श्व विस्तार, जैसा कि साधारण खिंचाव और संकुचन के मामले में होता है। इस वजह से, सभी क्रॉस सेक्शन की उपस्थिति बदल जाती है, आयत के ऊर्ध्वाधर पक्ष तिरछे हो जाते हैं। पार्श्व विकृति जेड:

μ - जहर के अनुपात।

इस विकृति के परिणामस्वरूप, अक्ष के समानांतर सभी सीधी क्रॉस-अनुभागीय रेखाएं जेड, मुड़े हुए हैं ताकि अनुभाग के किनारों पर सामान्य बने रहें। इस वक्र की वक्रता त्रिज्या आरसे अधिक होगा ρ उसी तरीके से ε x निरपेक्ष मान से अधिक है ε जेड, और हम प्राप्त करते हैं

अनुदैर्ध्य तंतुओं की ये विकृतियाँ तनावों के अनुरूप होती हैं

किसी भी फाइबर में वोल्टेज तटस्थ अक्ष से इसकी दूरी के समानुपाती होता है। एन 1 एन 2. तटस्थ अक्ष की स्थिति और वक्रता की त्रिज्या ρ समीकरण में दो अज्ञात हैं σ एक्स - इस शर्त से निर्धारित किया जा सकता है कि किसी भी क्रॉस सेक्शन पर वितरित बल बाहरी पल को संतुलित करने वाले बलों की एक जोड़ी बनाते हैं एम.

उपरोक्त सभी भी सत्य हैं यदि छड़ में समरूपता का अनुदैर्ध्य तल नहीं है जिसमें झुकने का क्षण कार्य करता है, जब तक कि झुकने का क्षण अक्षीय तल में कार्य करता है, जिसमें दो में से एक होता है मुख्य कुल्हाड़ियोंअनुप्रस्थ काट। इन विमानों को कहा जाता है मुख्य झुकने वाले विमान.

जब समरूपता का एक तल होता है और इस तल में झुकने का क्षण कार्य करता है, तो इसमें विक्षेपण होता है। अक्ष के बारे में आंतरिक बलों के क्षण जेडबाहरी क्षण को संतुलित करें एम. अक्ष के सापेक्ष प्रयास के क्षण आपपरस्पर नष्ट हो जाते हैं।