Πρίσμα. Παραλληλεπίπεδο

πρίσμαονομάζεται πολύεδρο του οποίου οι δύο όψεις είναι ίσες με n-γόνια (λόγοι) , που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα, και οι υπόλοιπες n όψεις είναι παραλληλόγραμμα (πλευρικές άκρες) . Πλαϊνή πλευρά πρίσμα είναι η πλευρά της πλευρικής όψης που δεν ανήκει στη βάση.

Ένα πρίσμα του οποίου οι πλευρικές ακμές είναι κάθετες στα επίπεδα των βάσεων ονομάζεται ευθεία πρίσμα (Εικ. 1). Αν οι πλευρικές ακμές δεν είναι κάθετες στα επίπεδα των βάσεων, τότε το πρίσμα ονομάζεται λοξός . σωστός Ένα πρίσμα είναι ένα ευθύ πρίσμα του οποίου οι βάσεις είναι κανονικά πολύγωνα.

Υψοςπρίσμα ονομάζεται η απόσταση μεταξύ των επιπέδων των βάσεων. Διαγώνιος Πρίσμα είναι ένα τμήμα που συνδέει δύο κορυφές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη. διαγώνιο τμήμα Το τμήμα ενός πρίσματος από ένα επίπεδο που διέρχεται από δύο πλευρικές ακμές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη ονομάζεται. Κάθετη τομή ονομάζεται τομή του πρίσματος με ένα επίπεδο κάθετο στο πλάγιο άκρο του πρίσματος.

Πλαϊνή επιφάνεια πρίσμα είναι το άθροισμα των εμβαδών όλων των πλευρικών όψεων. Πλήρης επιφάνεια το άθροισμα των εμβαδών όλων των όψεων του πρίσματος ονομάζεται (δηλ. το άθροισμα των εμβαδών των πλευρικών όψεων και των περιοχών των βάσεων).

Για ένα αυθαίρετο πρίσμα, οι τύποι είναι αληθινοί:

όπου μεγάλοείναι το μήκος της πλευρικής πλευράς.

H- ύψος;

Π

Q

S πλευρά

S γεμάτο

S κύριαείναι το εμβαδόν των βάσεων·

Vείναι ο όγκος του πρίσματος.

Για ένα ευθύ πρίσμα, ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:

όπου Π- η περίμετρος της βάσης.

μεγάλοείναι το μήκος της πλευρικής πλευράς.

H- ύψος.

ΠαραλληλεπίπεδοΈνα πρίσμα του οποίου η βάση είναι ένα παραλληλόγραμμο ονομάζεται. Ονομάζεται παραλληλεπίπεδο του οποίου οι πλευρικές ακμές είναι κάθετες στις βάσεις απευθείας (Εικ. 2). Αν οι πλευρικές ακμές δεν είναι κάθετες στις βάσεις, τότε ονομάζεται παραλληλεπίπεδο λοξός . Ονομάζεται ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του οποίου η βάση είναι ορθογώνιο ορθογώνιος. κυβοειδής, στο οποίο όλες οι ακμές είναι ίσες, ονομάζεται κύβος.

Οι όψεις ενός παραλληλεπίπεδου που δεν έχουν κοινές κορυφές ονομάζονται απεναντι απο . Τα μήκη των ακμών που προέρχονται από μια κορυφή ονομάζονται Μετρήσεις παραλληλεπίπεδο. Δεδομένου ότι το κουτί είναι ένα πρίσμα, τα κύρια στοιχεία του ορίζονται με τον ίδιο τρόπο που ορίζονται για τα πρίσματα.

Θεωρήματα.

1. Οι διαγώνιοι του παραλληλεπίπεδου τέμνονται σε ένα σημείο και το διχοτομούν.

2. Σε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, το τετράγωνο του μήκους της διαγώνιου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των τριών διαστάσεων του:

3. Και οι τέσσερις διαγώνιοι ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ίσες μεταξύ τους.

Για ένα αυθαίρετο παραλληλεπίπεδο, ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:

όπου μεγάλοείναι το μήκος της πλευρικής πλευράς.

H- ύψος;

Πείναι η περίμετρος της κάθετης τομής.

Q– Εμβαδόν κάθετου τμήματος.

S πλευράείναι η πλευρική επιφάνεια.

S γεμάτοείναι η συνολική επιφάνεια·

S κύριαείναι το εμβαδόν των βάσεων·

Vείναι ο όγκος του πρίσματος.

Για ένα δεξιό παραλληλεπίπεδο, ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:

όπου Π- η περίμετρος της βάσης.

μεγάλοείναι το μήκος της πλευρικής πλευράς.

Hείναι το ύψος του δεξιού παραλληλεπίπεδου.

Για ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:

(3)

όπου Π- η περίμετρος της βάσης.

H- ύψος;

ρε- διαγώνιος

αλφάβητο– μετρήσεις παραλληλεπίπεδου.

Οι σωστοί τύποι για έναν κύβο είναι:

όπου έναείναι το μήκος της πλευράς.

ρεείναι η διαγώνιος του κύβου.

Παράδειγμα 1Η διαγώνιος ενός ορθογώνιου κυβοειδούς είναι 33 dm και οι μετρήσεις του σχετίζονται με 2:6:9. Βρείτε τις μετρήσεις του κυβοειδούς.

Λύση.Για να βρούμε τις διαστάσεις του παραλληλεπίπεδου, χρησιμοποιούμε τον τύπο (3), δηλ. το γεγονός ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός κυβοειδούς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των διαστάσεων του. Σημειώστε με κσυντελεστή αναλογικότητας. Τότε οι διαστάσεις του παραλληλεπιπέδου θα είναι ίσες με 2 κ, 6κκαι 9 κ. Γράφουμε τον τύπο (3) για τα δεδομένα του προβλήματος:

Επίλυση αυτής της εξίσωσης για κ, παίρνουμε:

Ως εκ τούτου, οι διαστάσεις του παραλληλεπίπεδου είναι 6 dm, 18 dm και 27 dm.

Απάντηση: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Παράδειγμα 2Βρείτε τον όγκο ενός κεκλιμένου τριγωνικού πρίσματος του οποίου η βάση είναι ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά 8 cm, αν η πλευρική άκρη είναι ίση με την πλευρά της βάσης και είναι κεκλιμένη υπό γωνία 60º ως προς τη βάση.

Λύση . Ας κάνουμε ένα σχέδιο (Εικ. 3).

Για να βρείτε τον όγκο ενός κεκλιμένου πρίσματος, πρέπει να γνωρίζετε το εμβαδόν της βάσης και του ύψους του. Το εμβαδόν της βάσης αυτού του πρίσματος είναι το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου με πλευρά 8 εκ. Υπολογίστε το:

Το ύψος ενός πρίσματος είναι η απόσταση μεταξύ των βάσεων του. Απο πάνω ΑΛΛΑ 1 της πάνω βάσης κατεβάζουμε την κάθετη στο επίπεδο της κάτω βάσης ΑΛΛΑ 1 ρε. Το μήκος του θα είναι το ύψος του πρίσματος. Σκεφτείτε το Δ ΑΛΛΑ 1 ΕΝΑ Δ: αφού αυτή είναι η γωνία κλίσης της πλευρικής πλευράς ΑΛΛΑ 1 ΑΛΛΑστο επίπεδο βάσης ΑΛΛΑ 1 ΑΛΛΑ= 8 εκ. Από αυτό το τρίγωνο βρίσκουμε ΑΛΛΑ 1 ρε:

Τώρα υπολογίζουμε τον όγκο χρησιμοποιώντας τον τύπο (1):

Απάντηση: 192 cm3.

Παράδειγμα 3Το πλευρικό άκρο ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος είναι 14 εκ. Το εμβαδόν του μεγαλύτερου διαγώνιου τμήματος είναι 168 cm 2. Βρείτε τη συνολική επιφάνεια του πρίσματος.

Λύση.Ας κάνουμε ένα σχέδιο (Εικ. 4)

Το μεγαλύτερο διαγώνιο τμήμα είναι ένα ορθογώνιο AA 1 DD 1 , αφού η διαγώνιος ΕΝΑ Δκανονικό εξάγωνο ABCDEFείναι το μεγαλύτερο. Για να υπολογιστεί η πλευρική επιφάνεια ενός πρίσματος, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την πλευρά της βάσης και το μήκος της πλευρικής πλευράς.

Γνωρίζοντας το εμβαδόν της διαγώνιας τομής (ορθογώνιο), βρίσκουμε τη διαγώνιο της βάσης.

Διότι, λοιπόν

Από τότε ΑΒ= 6 cm.

Τότε η περίμετρος της βάσης είναι:

Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας του πρίσματος:

Το εμβαδόν ενός κανονικού εξαγώνου με πλευρά 6 cm είναι:

Βρείτε τη συνολική επιφάνεια του πρίσματος:

Απάντηση:

Παράδειγμα 4Η βάση ενός δεξιού παραλληλεπίπεδου είναι ένας ρόμβος. Τα εμβαδά των διαγώνιων τομών είναι 300 cm 2 και 875 cm 2. Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας του παραλληλεπιπέδου.

Λύση.Ας κάνουμε ένα σχέδιο (Εικ. 5).

Να συμβολίσετε την πλευρά του ρόμβου με ένα, οι διαγώνιοι του ρόμβου ρε 1 και ρε 2 , το ύψος του κουτιού η. Για να βρείτε την πλευρική επιφάνεια ενός ευθύγραμμου παραλληλεπίπεδου, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσετε την περίμετρο της βάσης με το ύψος: (τύπος (2)). Περίμετρος βάσης p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, επειδή Α Β Γ Δ- ρόμβος. Η = ΑΑ 1 = η. Οτι. Πρέπει να βρεθεί ένακαι η.

Εξετάστε τις διαγώνιες τομές. AA 1 SS 1 - ένα ορθογώνιο, η μία πλευρά του οποίου είναι η διαγώνιος ενός ρόμβου ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ = ρε 1 , δεύτερη πλευρική άκρη AA 1 = η, έπειτα

Ομοίως για το τμήμα ΒΒ 1 DD 1 παίρνουμε:

Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα ενός παραλληλογράμμου έτσι ώστε το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων να είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του, παίρνουμε την ισότητα Παίρνουμε το εξής.

"Μάθημα του Πυθαγόρειου Θεωρήματος" - Το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Προσδιορίστε τον τύπο του τετράπλευρου ΚΜΝΠ. Ζέσταμα. Εισαγωγή στο θεώρημα. Προσδιορίστε τον τύπο του τριγώνου: Σχέδιο μαθήματος: Ιστορική παρέκβαση. Επίλυση απλών προβλημάτων. Και βρείτε μια σκάλα μήκους 125 ποδιών. Υπολογίστε το ύψος CF του τραπεζοειδούς ABCD. Απόδειξη. Εμφάνιση εικόνων. Απόδειξη του θεωρήματος.

"Τόμος πρίσματος" - Η έννοια του πρίσματος. άμεσο πρίσμα. Ο όγκος του αρχικού πρίσματος είναι ίσος με το γινόμενο S · h. Πώς να βρείτε τον όγκο ενός ευθύγραμμου πρίσματος; Το πρίσμα μπορεί να χωριστεί σε ευθύγραμμα τριγωνικά πρίσματα με ύψος h. Σχεδιάστε το υψόμετρο του τριγώνου ΑΒΓ. Η λύση του προβλήματος. Στόχοι μαθήματος. Βασικά βήματα για την απόδειξη του θεωρήματος του άμεσου πρίσματος; Μελέτη του θεωρήματος όγκου πρίσματος.

"Prism polyhedra" - Ορίστε ένα πολύεδρο. Το DABC είναι ένα τετράεδρο, ένα κυρτό πολύεδρο. Η χρήση των πρισμάτων. Πού χρησιμοποιούνται τα πρίσματα; Το ABCDMP είναι ένα οκτάεδρο, που αποτελείται από οκτώ τρίγωνα. Το ABCDA1B1C1D1 είναι ένα παραλληλεπίπεδο, ένα κυρτό πολύεδρο. Κυρτό πολύεδρο. Η έννοια του πολυέδρου. Το πολύεδρο A1A2..AnB1B2..Bn είναι ένα πρίσμα.

"Κλάση πρίσματος 10" - Ένα πρίσμα είναι ένα πολύεδρο του οποίου οι όψεις είναι σε παράλληλα επίπεδα. Η χρήση πρίσματος στην καθημερινή ζωή. Πλευρά = Pbased. + h Για ευθύ πρίσμα: Sp.p = Pmain. h + 2 Κύρια. Κεκλιμένος. Σωστός. Ευθεία. Πρίσμα. Φόρμουλες για την εύρεση της περιοχής. Η χρήση του πρίσματος στην αρχιτεκτονική. Sp.p \u003d S πλευρά + 2 S με βάση.

"Απόδειξη του Πυθαγόρειου Θεωρήματος" - Γεωμετρική απόδειξη. Η έννοια του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Πυθαγόρειο θεώρημα. Η απόδειξη του Ευκλείδη. «Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών». Αποδείξεις του θεωρήματος. Η σημασία του θεωρήματος έγκειται στο ότι τα περισσότερα από τα θεωρήματα της γεωμετρίας μπορούν να συναχθούν από αυτό ή με τη βοήθειά του.

Στο σχολικό πρόγραμμα σπουδών για το μάθημα της στερεάς γεωμετρίας, η μελέτη των τρισδιάστατων μορφών συνήθως ξεκινά με ένα απλό γεωμετρικό σώμα - ένα πολύεδρο πρίσματος. Ο ρόλος των βάσεων του εκτελείται από 2 ίσα πολύγωνα που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα. Μια ειδική περίπτωση είναι ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα. Οι βάσεις του είναι 2 όμοια κανονικά τετράγωνα, στα οποία οι πλευρές είναι κάθετες, που έχουν σχήμα παραλληλογράμμων (ή ορθογώνια αν το πρίσμα δεν είναι κεκλιμένο).

Πώς μοιάζει ένα πρίσμα

Ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα είναι ένα εξάγωνο, στις βάσεις του οποίου υπάρχουν 2 τετράγωνα και οι πλευρικές όψεις παριστάνονται με ορθογώνια. Άλλο όνομα για αυτό γεωμετρικό σχήμα- ευθύ παραλληλεπίπεδο.

Το σχήμα, που απεικονίζει ένα τετράγωνο πρίσμα, φαίνεται παρακάτω.

Μπορείτε να δείτε και στην εικόνα τα πιο σημαντικά στοιχεία που συνθέτουν ένα γεωμετρικό σώμα. Συνήθως αναφέρονται ως:

Μερικές φορές σε προβλήματα στη γεωμετρία μπορείτε να βρείτε την έννοια της ενότητας. Ο ορισμός θα ακούγεται ως εξής: ένα τμήμα είναι όλα τα σημεία ενός ογκομετρικού σώματος που ανήκουν στο επίπεδο κοπής. Η τομή είναι κάθετη (διασχίζει τις άκρες του σχήματος υπό γωνία 90 μοιρών). Για ένα ορθογώνιο πρίσμα, λαμβάνεται επίσης υπόψη μια διαγώνια τομή (ο μέγιστος αριθμός τμημάτων που μπορούν να κατασκευαστούν είναι 2), που διέρχεται από 2 άκρες και τις διαγώνιες της βάσης.

Εάν η τομή σχεδιάζεται με τέτοιο τρόπο ώστε το επίπεδο κοπής να μην είναι παράλληλο ούτε με τις βάσεις ούτε με τις πλευρικές όψεις, το αποτέλεσμα είναι ένα κολοβωμένο πρίσμα.

Διάφοροι λόγοι και τύποι χρησιμοποιούνται για την εύρεση των μειωμένων πρισματικών στοιχείων. Μερικά από αυτά είναι γνωστά από την πορεία της επιπεδομετρίας (για παράδειγμα, για να βρείτε το εμβαδόν της βάσης ενός πρίσματος, αρκεί να θυμηθούμε τον τύπο για το εμβαδόν ενός τετραγώνου).

Επιφάνεια και όγκος

Για να προσδιορίσετε τον όγκο ενός πρίσματος χρησιμοποιώντας τον τύπο, πρέπει να γνωρίζετε το εμβαδόν της βάσης και του ύψους του:

V = Sprim h

Δεδομένου ότι η βάση ενός κανονικού τετραεδρικού πρίσματος είναι ένα τετράγωνο με πλευρά ένα,Μπορείτε να γράψετε τον τύπο σε πιο λεπτομερή μορφή:

V = a² h

Εάν μιλάμε για έναν κύβο - ένα κανονικό πρίσμα με ίσο μήκος, πλάτος και ύψος, ο όγκος υπολογίζεται ως εξής:

Για να καταλάβετε πώς να βρείτε την πλευρική επιφάνεια ενός πρίσματος, πρέπει να φανταστείτε τη σάρωση του.

Από το σχέδιο φαίνεται ότι η πλευρική επιφάνεια αποτελείται από 4 ίσα ορθογώνια. Το εμβαδόν του υπολογίζεται ως το γινόμενο της περιμέτρου της βάσης και του ύψους του σχήματος:

Πλευρά = Θέση h

Αφού η περίμετρος ενός τετραγώνου είναι P = 4a,ο τύπος παίρνει τη μορφή:

Πλευρά = 4a h

Για τον κύβο:

Πλευρά = 4a²

Για να υπολογίσετε τη συνολική επιφάνεια ενός πρίσματος, προσθέστε 2 εμβαδά βάσης στην πλευρική επιφάνεια:

Sfull = Πλαϊνό + 2Sbase

Όπως εφαρμόζεται σε ένα τετράγωνο κανονικό πρίσμα, ο τύπος έχει τη μορφή:

Πλήρης = 4a h + 2a²

Για την επιφάνεια ενός κύβου:

Πλήρης = 6a²

Γνωρίζοντας τον όγκο ή την επιφάνεια, μπορείτε να υπολογίσετε τα μεμονωμένα στοιχεία ενός γεωμετρικού σώματος.

Εύρεση στοιχείων πρίσματος

Συχνά υπάρχουν προβλήματα στα οποία δίνεται ο όγκος ή είναι γνωστή η τιμή της πλευρικής επιφάνειας, όπου είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί το μήκος της πλευράς της βάσης ή το ύψος. Σε τέτοιες περιπτώσεις, μπορούν να προκύψουν τύποι:

• μήκος πλευράς βάσης: a = Πλευρά / 4h = √(V / h);
• ύψος ή μήκος πλευρών: h = Πλευρά / 4a = V / a²;
• περιοχή βάσης: Sprim = V / h;
• περιοχή του πλευρικού προσώπου: Πλευρά gr = Πλαϊνό / 4.

Για να προσδιορίσετε πόση περιοχή έχει ένα διαγώνιο τμήμα, πρέπει να γνωρίζετε το μήκος της διαγώνιας και το ύψος του σχήματος. Για ένα τετράγωνο d = a√2.Επομένως:

Sdiag = ah√2

Για να υπολογιστεί η διαγώνιος του πρίσματος, χρησιμοποιείται ο τύπος:

dprize = √(2a² + h²)

Για να κατανοήσετε πώς να εφαρμόσετε τις παραπάνω αναλογίες, μπορείτε να εξασκηθείτε και να λύσετε μερικές απλές εργασίες.

Παραδείγματα προβλημάτων με λύσεις

Εδώ είναι μερικές από τις εργασίες που εμφανίζονται στις κρατικές τελικές εξετάσεις στα μαθηματικά.

Ασκηση 1.

Η άμμος χύνεται σε ένα κουτί σε σχήμα κανονικού τετράπλευρου πρίσματος. Το ύψος της στάθμης της είναι 10 εκ. Ποιο θα είναι το επίπεδο της άμμου αν τη μετακινήσετε σε δοχείο του ίδιου σχήματος, αλλά με μήκος βάσης 2 φορές μεγαλύτερο;

Θα πρέπει να υποστηριχθεί ως εξής. Η ποσότητα της άμμου στο πρώτο και το δεύτερο δοχείο δεν άλλαξε, δηλαδή ο όγκος της σε αυτά είναι ο ίδιος. Μπορείτε να ορίσετε το μήκος της βάσης ως ένα. Σε αυτήν την περίπτωση, για το πρώτο πλαίσιο, ο όγκος της ουσίας θα είναι:

V1 = ha² = 10a²

Για το δεύτερο κουτί, το μήκος της βάσης είναι 2α, αλλά το ύψος του επιπέδου της άμμου είναι άγνωστο:

V2 = h(2a)² = 4ha²

Επειδή η V1 = V2, οι εκφράσεις μπορούν να εξισωθούν:

10a² = 4ha²

Αφού μειώσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης κατά a², παίρνουμε:

Ως αποτέλεσμα, το νέο επίπεδο άμμου θα είναι h = 10 / 4 = 2,5εκ.

Εργασία 2.

Το ABCDA1B1C1D1 είναι ένα κανονικό πρίσμα. Είναι γνωστό ότι BD = AB1 = 6√2. Βρείτε τη συνολική επιφάνεια του σώματος.

Για να καταλάβετε πιο εύκολα ποια στοιχεία είναι γνωστά, μπορείτε να σχεδιάσετε μια εικόνα.

Εφόσον μιλάμε για κανονικό πρίσμα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η βάση είναι ένα τετράγωνο με διαγώνιο 6√2. Η διαγώνιος της πλευρικής όψης έχει την ίδια τιμή, επομένως, η πλευρική όψη έχει επίσης σχήμα τετραγώνου ίσου με τη βάση. Αποδεικνύεται ότι και οι τρεις διαστάσεις - μήκος, πλάτος και ύψος - είναι ίσες. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το ABCDA1B1C1D1 είναι ένας κύβος.

Το μήκος οποιασδήποτε ακμής προσδιορίζεται από τη γνωστή διαγώνιο:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Το συνολικό εμβαδόν επιφάνειας βρίσκεται από τον τύπο για τον κύβο:

Πλήρης = 6a² = 6 6² = 216

Εργασία 3.

Το δωμάτιο ανακαινίζεται. Είναι γνωστό ότι το δάπεδό του έχει σχήμα τετραγώνου εμβαδού 9 m². Το ύψος του δωματίου είναι 2,5 μ. Ποιο είναι το χαμηλότερο κόστος για την ταπετσαρία ενός δωματίου εάν το 1 m² κοστίζει 50 ρούβλια;

Δεδομένου ότι το δάπεδο και η οροφή είναι τετράγωνα, δηλαδή κανονικά τετράπλευρα, και τα τοιχώματά του είναι κάθετα σε οριζόντιες επιφάνειες, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι πρόκειται για κανονικό πρίσμα. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η περιοχή της πλευρικής του επιφάνειας.

Το μήκος του δωματίου είναι a = √9 = 3Μ.

Η πλατεία θα καλυφθεί με ταπετσαρία Πλευρά = 4 3 2,5 = 30 m².

Το χαμηλότερο κόστος ταπετσαρίας για αυτό το δωμάτιο θα είναι 50 30 = 1500ρούβλια.

Έτσι, για την επίλυση προβλημάτων σε ένα ορθογώνιο πρίσμα, αρκεί να μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν και την περίμετρο ενός τετραγώνου και ενός ορθογωνίου, καθώς και να γνωρίζουμε τους τύπους για την εύρεση του όγκου και του εμβαδού επιφάνειας.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός κύβου

Προστασία της ιδιωτικής ζωής σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε την πολιτική απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ταυτοποίηση ενός συγκεκριμένου ατόμου ή για επικοινωνία μαζί του.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Τα παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Συλλέγεται από εμάς προσωπικές πληροφορίεςμας επιτρέπει να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να σας στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και μηνύματα.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως τη διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετάσχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοιο κίνητρο, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτα μέρη.

Εξαιρέσεις:

• Σε περίπτωση που είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική τάξη, σε δικαστικές διαδικασίες και / ή βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κρατικούς φορείς στην επικράτεια της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημοσίου συμφέροντος.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Διατήρηση του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε στους υπαλλήλους μας πρακτικές απορρήτου και ασφάλειας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

Πολύεδρα

Το κύριο αντικείμενο μελέτης της στερεομετρίας είναι τα τρισδιάστατα σώματα. Σώμαείναι ένα μέρος του χώρου που οριοθετείται από κάποια επιφάνεια.

πολύεδροΈνα σώμα του οποίου η επιφάνεια αποτελείται από έναν πεπερασμένο αριθμό επίπεδων πολυγώνων ονομάζεται. Ένα πολύεδρο ονομάζεται κυρτό αν βρίσκεται στη μία πλευρά του επιπέδου κάθε επίπεδου πολυγώνου στην επιφάνειά του. ένα κοινό μέροςένα τέτοιο επίπεδο και επιφάνεια ενός πολύεδρου ονομάζεται άκρη. Οι όψεις ενός κυρτού πολυέδρου είναι επίπεδα κυρτά πολύγωνα. Οι πλευρές των προσώπων ονομάζονται άκρες του πολυέδρου, και τις κορυφές κορυφές του πολυέδρου.

Για παράδειγμα, ένας κύβος αποτελείται από έξι τετράγωνα που είναι οι όψεις του. Περιέχει 12 άκρες (πλευρές τετραγώνων) και 8 κορυφές (κορυφές τετραγώνων).

Τα πιο απλά πολύεδρα είναι τα πρίσματα και οι πυραμίδες, τα οποία θα μελετήσουμε περαιτέρω.

Πρίσμα

Ορισμός και ιδιότητες πρίσματος

πρίσμαονομάζεται πολύεδρο που αποτελείται από δύο επίπεδα πολύγωνα που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα συνδυασμένα με παράλληλη μετάφραση, και όλα τα τμήματα που συνδέουν τα αντίστοιχα σημεία αυτών των πολυγώνων. Τα πολύγωνα λέγονται βάσεις πρίσματος, και τα τμήματα που συνδέουν τις αντίστοιχες κορυφές των πολυγώνων είναι πλευρικές άκρες του πρίσματος.

Ύψος πρίσματοςονομάζεται η απόσταση μεταξύ των επιπέδων των βάσεων του (). Ένα τμήμα που συνδέει δύο κορυφές ενός πρίσματος που δεν ανήκουν στην ίδια όψη ονομάζεται διαγώνιο πρίσματος(). Το πρίσμα λέγεται n-κάρβουνοαν η βάση του είναι n-gon.

Κάθε πρίσμα έχει τις ακόλουθες ιδιότητες, οι οποίες προκύπτουν από το γεγονός ότι οι βάσεις του πρίσματος συνδυάζονται με παράλληλη μετάφραση:

1. Οι βάσεις του πρίσματος είναι ίσες.

2. Οι πλευρικές ακμές του πρίσματος είναι παράλληλες και ίσες.

Η επιφάνεια ενός πρίσματος αποτελείται από βάσεις και πλευρική επιφάνεια. Πλαϊνή επιφάνειατο πρίσμα αποτελείται από παραλληλόγραμμα (αυτό προκύπτει από τις ιδιότητες του πρίσματος). Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ενός πρίσματος είναι το άθροισμα των περιοχών των πλευρικών όψεων.

ευθύ πρίσμα

Το πρίσμα λέγεται ευθείααν οι πλευρικές ακμές του είναι κάθετες στις βάσεις. Διαφορετικά, το πρίσμα ονομάζεται λοξός.

Οι όψεις ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ορθογώνια. Το ύψος ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ίσο με τις πλευρικές του όψεις.

επιφάνεια πλήρους πρίσματοςείναι το άθροισμα της πλευρικής επιφάνειας και των εμβαδών των βάσεων.

Σωστό πρίσμαονομάζεται ορθό πρίσμα με κανονικό πολύγωνο στη βάση.

Θεώρημα 13.1. Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ίσο με το γινόμενο της περιμέτρου και του ύψους του πρίσματος (ή, ισοδύναμα, με το πλευρικό άκρο).

Απόδειξη. Οι πλευρικές όψεις ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ορθογώνια των οποίων οι βάσεις είναι οι πλευρές των πολυγώνων στις βάσεις του πρίσματος και τα ύψη είναι οι πλευρικές ακμές του πρίσματος. Τότε, εξ ορισμού, η πλευρική επιφάνεια είναι:

,

όπου είναι η περίμετρος της βάσης ενός ευθύγραμμου πρίσματος.

Παραλληλεπίπεδο

Αν τα παραλληλόγραμμα βρίσκονται στις βάσεις ενός πρίσματος, τότε λέγεται παραλληλεπίπεδο. Όλες οι όψεις ενός παραλληλεπίπεδου είναι παραλληλόγραμμα. Στην περίπτωση αυτή, οι απέναντι όψεις του παραλληλεπίπεδου είναι παράλληλες και ίσες.

Θεώρημα 13.2. Οι διαγώνιοι του παραλληλεπίπεδου τέμνονται σε ένα σημείο και το σημείο τομής διαιρείται στο μισό.

Απόδειξη. Εξετάστε δύο αυθαίρετες διαγώνιους, για παράδειγμα, και . Επειδή οι όψεις του παραλληλεπίπεδου είναι παραλληλόγραμμα, τότε και , που σημαίνει ότι σύμφωνα με το Τ περίπου δύο ευθείες παράλληλες με την τρίτη . Επιπλέον, αυτό σημαίνει ότι οι γραμμές και βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (το επίπεδο). Αυτό το επίπεδο τέμνει παράλληλα επίπεδα και κατά μήκος παράλληλων ευθειών και . Έτσι, ένα τετράπλευρο είναι ένα παραλληλόγραμμο, και από την ιδιότητα του παραλληλογράμμου, οι διαγώνιοι και τέμνονται και το σημείο τομής διαιρείται στο μισό, κάτι που έπρεπε να αποδειχθεί.

Ονομάζεται ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του οποίου η βάση είναι ορθογώνιο κυβοειδής. Όλες οι όψεις ενός κυβοειδούς είναι ορθογώνιες. Τα μήκη των μη παράλληλων ακμών ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου ονομάζονται γραμμικές διαστάσεις (μετρήσεις). Υπάρχουν τρία μεγέθη (πλάτος, ύψος, μήκος).

Θεώρημα 13.3. Σε ένα κυβοειδές, το τετράγωνο οποιασδήποτε διαγώνιου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των τριών διαστάσεων του (αποδεικνύεται εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Τ δύο φορές).

Ονομάζεται ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο στο οποίο όλες οι ακμές είναι ίσες κύβος.

Καθήκοντα

13.1 Πόσες διαγώνιες κάνει n- πρίσμα άνθρακα

13.2 Σε ένα κεκλιμένο τριγωνικό πρίσμα, οι αποστάσεις μεταξύ των πλευρικών άκρων είναι 37, 13 και 40. Βρείτε την απόσταση μεταξύ της μεγαλύτερης πλευρικής όψης και της απέναντι πλευρικής ακμής.

13.3 Μέσω της πλευράς της κάτω βάσης ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος, σχεδιάζεται ένα επίπεδο που τέμνει τις πλευρικές όψεις κατά μήκος τμημάτων, η γωνία μεταξύ των οποίων είναι . Βρείτε τη γωνία κλίσης αυτού του επιπέδου ως προς τη βάση του πρίσματος.