असतत यादृच्छिक चर की स्वतंत्र वितरण श्रृंखला दी गई है। असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम
अध्याय 1। असतत यादृच्छिक चर
§ 1. यादृच्छिक चर की अवधारणाएँ।
असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम।
परिभाषा : यादृच्छिक एक मात्रा है, जो परीक्षण के परिणामस्वरूप, अपने मूल्यों के संभावित सेट में से केवल एक मान लेती है, जो पहले से अज्ञात है और यादृच्छिक कारणों पर निर्भर करती है।
यादृच्छिक चर दो प्रकार के होते हैं: असतत और निरंतर।
परिभाषा : यादृच्छिक चर X कहा जाता है अलग (असंतत) यदि इसके मानों का समुच्चय परिमित या अनंत है लेकिन गणनीय है।
दूसरे शब्दों में, असतत यादृच्छिक चर के संभावित मानों को पुनः क्रमांकित किया जा सकता है।
एक यादृच्छिक चर को उसके वितरण नियम का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है।
परिभाषा : असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच पत्राचार को कॉल करें।
असतत यादृच्छिक चर मूल्य, यानी
जहां р1+ р2+…+ рn=1
ऐसी तालिका को असतत यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला कहा जाता है।
यदि किसी यादृच्छिक चर के संभावित मानों का सेट अनंत है, तो श्रृंखला p1+ p2+…+ pn+… अभिसरण करती है और इसका योग 1 के बराबर होता है।
एक असतत यादृच्छिक चर परिणामी पंक्ति कहलाती है वितरण बहुभुज (चित्र .1)।
ऑर्गेनिक केमिस्ट्री" href='/text/category/organichesky_hiimya/' rel='bookmark'>ऑर्गेनिक केमिस्ट्री क्रमशः 0.7 और 0.8 हैं। यादृच्छिक चर X के लिए एक वितरण कानून बनाएं - परीक्षा की संख्या जो छात्र उत्तीर्ण करेगा।
समाधान। परीक्षा के परिणामस्वरूप माना गया यादृच्छिक चर X निम्नलिखित मानों में से एक ले सकता है: x1=0, x2=1, x3=2।
आइए इन मानों की प्रायिकता ज्ञात करें आइए घटनाओं को निरूपित करें:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width=”259” ऊंचाई=”66 src=”>
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तो, यादृच्छिक चर X का वितरण कानून तालिका द्वारा दिया गया है:
नियंत्रण: 0.6+0.38+0.56=1.
§ 2. वितरण समारोह
वितरण फ़ंक्शन द्वारा यादृच्छिक चर का पूरा विवरण भी दिया जाता है।
परिभाषा: असतत यादृच्छिक चर X का वितरण फलन एक फ़ंक्शन F(x) कहा जाता है, जो प्रत्येक मान x के लिए संभावना निर्धारित करता है कि यादृच्छिक चर X, x से कम मान लेगा:
एफ(एक्स)=पी(एक्स<х)
ज्यामितीय रूप से, वितरण फ़ंक्शन की व्याख्या इस संभावना के रूप में की जाती है कि यादृच्छिक चर X वह मान लेगा जो संख्या रेखा पर बिंदु x के बाईं ओर स्थित एक बिंदु द्वारा दर्शाया गया है।
1)0≤ एफ(एक्स) ≤1;
2) F(x) (-∞;+∞) पर एक गैर-घटता हुआ फलन है;
3) F(x) - बिंदु x= xi (i=1,2,...n) पर बाईं ओर निरंतर और अन्य सभी बिंदुओं पर निरंतर;
4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
यदि असतत यादृच्छिक चर X का वितरण नियम एक तालिका के रूप में दिया गया है:
तब वितरण फलन F(x) सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" ऊंचाई='110'>
x≤ x1 के लिए 0,
x1 पर р1< х≤ x2,
F(x)= р1 + р2 x2 पर< х≤ х3
x>xn के लिए 1.
इसका ग्राफ चित्र 2 में दिखाया गया है:
§ 3. असतत यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएँ।
महत्वपूर्ण संख्यात्मक विशेषताओं में से एक गणितीय अपेक्षा है।
परिभाषा: गणितीय अपेक्षा एम(एक्स) असतत यादृच्छिक चर X उसके सभी मानों और उनकी संगत संभावनाओं के उत्पादों का योग है:
एम(एक्स) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर के औसत मूल्य की विशेषता के रूप में कार्य करती है।
गणितीय अपेक्षा के गुण:
1)M(C)=C, जहां C एक स्थिर मान है;
2)एम(सी एक्स)=सी एम(एक्स),
3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), जहां X, Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं;
5)M(X±C)=M(X)±C, जहां C एक स्थिर मान है;
किसी असतत यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों के उसके माध्य मान के आसपास फैलाव की डिग्री को चिह्नित करने के लिए, फैलाव का उपयोग किया जाता है।
परिभाषा: झगड़ा डी ( एक्स ) यादृच्छिक चर X अपनी गणितीय अपेक्षा से यादृच्छिक चर के वर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा है:
फैलाव गुण:
1)D(C)=0, जहां C एक स्थिर मान है;
2)D(X)>0, जहां X एक यादृच्छिक चर है;
3)D(CX)=C2 D(X), जहां C एक स्थिर मान है;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), जहां X, Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं;
विचरण की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग करना अक्सर सुविधाजनक होता है:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
जहाँ M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
प्रसरण D(X) में एक वर्गाकार यादृच्छिक चर का आयाम है, जो हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है। इसलिए, मान √D(X) का उपयोग यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों के फैलाव के संकेतक के रूप में भी किया जाता है।
परिभाषा: मानक विचलन σ(एक्स) यादृच्छिक चर X को प्रसरण का वर्गमूल कहा जाता है:
कार्य क्रमांक 2.असतत यादृच्छिक चर X वितरण कानून द्वारा निर्दिष्ट है:
P2, वितरण फ़ंक्शन F(x) ढूंढें और इसका ग्राफ, साथ ही M(X), D(X), σ(X) प्लॉट करें।
समाधान: चूँकि यादृच्छिक चर X के संभावित मानों की संभावनाओं का योग 1 के बराबर है
Р2=1- (0.1+0.3+0.2+0.3)=0.1
आइए वितरण फ़ंक्शन F(x)=P(X खोजें ज्यामितीय रूप से, इस समानता की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है: F(x) संभावना है कि यादृच्छिक चर वह मान लेगा जो संख्या अक्ष पर बिंदु x के बाईं ओर स्थित एक बिंदु द्वारा दर्शाया गया है। यदि x≤-1, तो F(x)=0, क्योंकि (-∞;x) पर इस यादृच्छिक चर का एक भी मान नहीं है; यदि -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; यदि 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) दो मान हैं x1=-1 और x2=0; यदि 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; यदि 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; यदि x>3, तो F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1, क्योंकि चार मान x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 अंतराल (-∞;x) और x5=3 में आते हैं। https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width='14 ऊंचाई=2' ऊंचाई=2'> 0 x≤-1 पर, 0.1 पर -1<х≤0, 0.2 पर 0<х≤1, एफ(एक्स)= 1 पर 0.5<х≤2, 2 बजे 0.7<х≤3, 1 x>3 पर आइए हम फ़ंक्शन F(x) को आलेखीय रूप से निरूपित करें (चित्र 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width=”158 ऊंचाई=29” ऊंचाई=”29”>≈1.2845. §
4. द्विपद वितरण नियम असतत यादृच्छिक चर, पॉइसन का नियम। परिभाषा: द्विपद
असतत यादृच्छिक चर फिर P(X=m) - n परीक्षणों में घटना A के बिल्कुल m बार घटित होने की संभावना की गणना बर्नौली सूत्र का उपयोग करके की जाती है: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m एक द्विआधारी कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर एक्स की गणितीय अपेक्षा, फैलाव और मानक विचलन क्रमशः सूत्रों का उपयोग करके पाए जाते हैं: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> प्रत्येक परीक्षण में घटना A - "पांच को बाहर निकालना" की संभावना समान है और 1/6 के बराबर है , यानी। P(A)=p=1/6, फिर P(A)=1-p=q=5/6, कहां - "पांच में से गिरना।" यादृच्छिक चर X निम्नलिखित मान ले सकता है: 0;1;2;3. हम बर्नौली के सूत्र का उपयोग करके एक्स के प्रत्येक संभावित मान की संभावना पाते हैं: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. वह। यादृच्छिक चर X के वितरण नियम का रूप है: नियंत्रण: 125/216+75/216+15/216+1/216=1। आइए यादृच्छिक चर X की संख्यात्मक विशेषताएँ ज्ञात करें: एम(एक्स)=एनपी=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, टास्क नंबर 4.एक स्वचालित मशीन भागों पर मुहर लगाती है। निर्मित हिस्से के ख़राब होने की प्रायिकता 0.002 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 1000 चयनित भागों में से होंगे: क) 5 दोषपूर्ण; बी) कम से कम एक ख़राब है। समाधान:
संख्या n=1000 बड़ी है, दोषपूर्ण भाग p=0.002 उत्पन्न होने की संभावना छोटी है, और विचाराधीन घटनाएँ (भाग दोषपूर्ण निकला) स्वतंत्र हैं, इसलिए पॉइसन सूत्र मानता है: Рn(m)= इ-
λ
λm आइए λ=np=1000 0.002=2 खोजें। a) 5 दोषपूर्ण भागों के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए (m=5): Р1000(5)= इ-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 बी) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कम से कम एक भाग दोषपूर्ण होगा। घटना ए - "चयनित भागों में से कम से कम एक दोषपूर्ण है" घटना के विपरीत है - "सभी चयनित भाग दोषपूर्ण नहीं हैं।" इसलिए, पी(ए) = 1-पी()। इसलिए आवश्यक संभाव्यता बराबर है: P(A)=1-P1000(0)=1- इ-2
20
= 1- e-2=1-0.13534≈0.865. स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य.
1.1
1.2.
फैला हुआ यादृच्छिक चर X वितरण कानून द्वारा निर्दिष्ट है: वितरण फलन F(X) p4 ढूंढें और उसका ग्राफ, साथ ही M(X), D(X), σ(X) आलेखित करें। 1.3.
बॉक्स में 9 मार्कर हैं, जिनमें से 2 पर अब लिखना बंद हो गया है। यादृच्छिक रूप से 3 मार्कर लें। रैंडम वेरिएबल X लिए गए लेखन मार्करों की संख्या है। यादृच्छिक चर के वितरण का एक नियम बनाएं। 1.4.
लाइब्रेरी शेल्फ पर 6 पाठ्यपुस्तकें बेतरतीब ढंग से व्यवस्थित हैं, जिनमें से 4 जिल्दबंद हैं। लाइब्रेरियन यादृच्छिक रूप से 4 पाठ्यपुस्तकें लेता है। रैंडम वेरिएबल X ली गई पाठ्यपुस्तकों में से बाध्य पाठ्यपुस्तकों की संख्या है। यादृच्छिक चर के वितरण का एक नियम बनाएं। 1.5.
टिकट पर दो कार्य हैं। पहली समस्या को सही ढंग से हल करने की संभावना 0.9 है, दूसरी 0.7 है। रैंडम वेरिएबल X टिकट में सही ढंग से हल की गई समस्याओं की संख्या है। एक वितरण कानून बनाएं, इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता की गणना करें, और वितरण फ़ंक्शन F(x) भी ढूंढें और इसका ग्राफ़ बनाएं। 1.6.
तीन निशानेबाज एक लक्ष्य पर निशाना साध रहे हैं. एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की संभावना पहले निशानेबाज के लिए 0.5, दूसरे के लिए 0.8 और तीसरे के लिए 0.7 है। यदि निशानेबाज एक समय में एक गोली चलाते हैं तो रैंडम वेरिएबल एक्स लक्ष्य पर हिट की संख्या है। वितरण नियम, M(X),D(X) ज्ञात कीजिए। 1.7.
एक बास्केटबॉल खिलाड़ी 0.8 की प्रत्येक शॉट मारने की संभावना के साथ गेंद को टोकरी में मारता है। प्रत्येक हिट के लिए, उसे 10 अंक मिलते हैं, और यदि वह चूक जाता है, तो उसे कोई अंक नहीं दिया जाता है। यादृच्छिक चर X के लिए एक वितरण कानून बनाएं - एक बास्केटबॉल खिलाड़ी द्वारा 3 शॉट्स में प्राप्त अंकों की संख्या। M(X),D(X), साथ ही संभावना ज्ञात करें कि उसे 10 से अधिक अंक मिले। 1.8.
कार्ड पर अक्षर लिखे गए हैं, कुल 5 स्वर और 3 व्यंजन। 3 कार्ड यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं, और हर बार लिया गया कार्ड वापस लौटा दिया जाता है। यादृच्छिक चर X लिए गए स्वरों में से स्वरों की संख्या है। एक वितरण कानून बनाएं और M(X),D(X),σ(X) खोजें। 1.9.
औसतन, 60% अनुबंधों के तहत, बीमा कंपनी किसी बीमित घटना के घटित होने के संबंध में बीमा राशि का भुगतान करती है। यादृच्छिक चर X के लिए एक वितरण कानून बनाएं - उन अनुबंधों की संख्या जिनके लिए बीमा राशि का भुगतान यादृच्छिक रूप से चुने गए चार अनुबंधों के बीच किया गया था। इस मात्रा की संख्यात्मक विशेषताएँ ज्ञात कीजिए। 1.10.
दोतरफा संचार स्थापित होने तक रेडियो स्टेशन निश्चित अंतराल पर कॉल संकेत (चार से अधिक नहीं) भेजता है। कॉल साइन पर प्रतिक्रिया प्राप्त करने की संभावना 0.3 है। यादृच्छिक चर X भेजे गए कॉल संकेतों की संख्या है। एक वितरण कानून बनाएं और F(x) खोजें। 1.11.
इसमें 3 चाबियाँ हैं, जिनमें से केवल एक ही ताले में फिट होती है। यदि आज़माई गई कुंजी बाद के प्रयासों में भाग नहीं लेती है, तो ताला खोलने के प्रयासों की यादृच्छिक चर एक्स-संख्या के वितरण के लिए एक कानून बनाएं। एम(एक्स),डी(एक्स) खोजें। 1.12.
विश्वसनीयता के लिए तीन उपकरणों का लगातार स्वतंत्र परीक्षण किया जाता है। प्रत्येक अगले उपकरण का परीक्षण केवल तभी किया जाता है जब पिछला विश्वसनीय निकला हो। प्रत्येक डिवाइस के लिए परीक्षा उत्तीर्ण करने की संभावना 0.9 है। परीक्षण किए गए उपकरणों के यादृच्छिक चर एक्स-संख्या के लिए एक वितरण कानून बनाएं। 1.13
.असतत यादृच्छिक चर X के तीन संभावित मान हैं: x1=1, x2, x3, और x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
इलेक्ट्रॉनिक डिवाइस ब्लॉक में 100 समान तत्व होते हैं। समय T के दौरान प्रत्येक तत्व की विफलता की संभावना 0.002 है। तत्व स्वतंत्र रूप से कार्य करते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि समय T के दौरान दो से अधिक तत्व विफल नहीं होंगे। 1.15.
पाठ्यपुस्तक 50,000 प्रतियों के संचलन में प्रकाशित हुई थी। पाठ्यपुस्तक के गलत तरीके से बंधे होने की प्रायिकता 0.0002 है। संभाव्यता ज्ञात कीजिए कि संचलन में शामिल हैं: क) चार दोषपूर्ण पुस्तकें, ख) दो से कम दोषपूर्ण पुस्तकें। 1
.16.
हर मिनट पीबीएक्स पर आने वाली कॉलों की संख्या पॉइसन के नियम के अनुसार पैरामीटर λ=1.5 के साथ वितरित की जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक मिनट में निम्नलिखित आ जाएगा: ए) दो कॉल; बी) कम से कम एक कॉल। 1.17.
यदि Z=3X+Y है तो M(Z),D(Z) खोजें। 1.18.
दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के वितरण के नियम दिए गए हैं: यदि Z=X+2Y है तो M(Z),D(Z) खोजें। उत्तर:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" ऊंचाई='110'> 1.1.
p3=0.4; 0 x≤-2 पर, 0.3 पर -2<х≤0, F(x)= 0.5 पर 0<х≤2, 2 बजे 0.9<х≤5, 1 x>5 पर -1 पर 0.3<х≤0, 0.4 पर 0<х≤1, एफ(एक्स)= 0.6 1 पर<х≤2, 2 बजे 0.7<х≤3, 1 x>3 पर एम(एक्स)=1; डी(एक्स)=2.6; σ(एक्स) ≈1.612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width=”2 ऊंचाई=98” ऊंचाई=”98”> 0 x≤0 पर, 0.03 पर 0<х≤1, एफ(एक्स)= 1 पर 0.37<х≤2, x>2 के लिए 1 एम(एक्स)=2; डी(एक्स)=0.62 एम(एक्स)=2.4; डी(एक्स)=0.48, पी(एक्स>10)=0.896 1.
8
.
एम(एक्स)=15/8; डी(एक्स)=45/64; σ(एक्स) ≈ एम(एक्स)=2.4; डी(एक्स)=0.96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
एम(एक्स)=2; डी(एक्स)=2/3 1.14.
1.22 ई-0.2≈0.999 1.15.
ए)0.0189; बी) 0.00049 1.16.
ए)0.0702; बी)0.77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. अध्याय दो। निरंतर यादृच्छिक चर
परिभाषा: निरंतर
वे एक मात्रा को सभी संभावित मान कहते हैं जो संख्या रेखा के एक सीमित या अनंत विस्तार को पूरी तरह से भर देते हैं। जाहिर है, एक सतत यादृच्छिक चर के संभावित मानों की संख्या अनंत है। एक सतत यादृच्छिक चर को वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है। परिभाषा:एफ वितरण समारोह
एक सतत यादृच्छिक चर आर वितरण फ़ंक्शन को कभी-कभी संचयी वितरण फ़ंक्शन भी कहा जाता है। वितरण फलन के गुण:
1)1≤ एफ(एक्स) ≤1 2) एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, वितरण फ़ंक्शन किसी भी बिंदु पर निरंतर होता है और व्यक्तिगत बिंदुओं को छोड़कर, हर जगह भिन्न होता है। 3) एक यादृच्छिक चर बिंदु ए और बी पर, यानी आर(ए)<Х 4) एक सतत यादृच्छिक चर X के एक अलग मान लेने की प्रायिकता 0 है। 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करके निरंतर यादृच्छिक चर निर्दिष्ट करना एकमात्र तरीका नहीं है। आइए हम संभाव्यता वितरण घनत्व (वितरण घनत्व) की अवधारणा का परिचय दें। परिभाषा
:
संभाव्यता वितरण घनत्व
एफ
(
एक्स
)
एक सतत यादृच्छिक चर का X इसके वितरण फलन का व्युत्पन्न है, अर्थात: संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन को कभी-कभी अंतर वितरण फ़ंक्शन या अंतर वितरण कानून कहा जाता है। संभाव्यता घनत्व वितरण का ग्राफ f(x) कहलाता है संभाव्यता वितरण वक्र
.
संभाव्यता घनत्व वितरण के गुण:
1) f(x) ≥0, xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width='285' ऊंचाई='141'>DIV_ADBLOCK13'> पर https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" ऊंचाई='38 src='> +∞ 2 6 +∞ 6 6 ∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx +∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/ 2-4))=8s; बी) यह ज्ञात है कि F(x)= ∫ f(x)dx इसलिए, एक्स यदि x≤2, तो F(x)= ∫ 0dx=0; https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" ऊंचाई='38 src='> 2 6 x 6 6 यदि x>6, तो F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) = 1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1. इस प्रकार, 0 x≤2 पर, F(x)= (x-2)2/16 2 पर<х≤6, x>6 के लिए 1. फ़ंक्शन F(x) का ग्राफ चित्र 3 में दिखाया गया है https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width='14' ऊंचाई='62 src='> 0 x≤0 पर, F(x)= (3 आर्कटान x)/π 0 पर<х≤√3, x>√3 के लिए 1. विभेदक वितरण फ़ंक्शन f(x) खोजें समाधान:
चूँकि f(x)= F'(x), तो DIV_ADBLOCK14"> · गणितीय अपेक्षा एम (एक्स)
निरंतर यादृच्छिक चर X समानता द्वारा निर्धारित होते हैं: एम(एक्स)= ∫ एक्स एफ(एक्स)डीएक्स, बशर्ते कि यह अभिन्न अंग पूर्ण रूप से अभिसरण हो। · फैलाव
डी
(
एक्स
)
निरंतर यादृच्छिक चर X समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है: D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx, या D(X)= ∫ x2 f(x)dx - (M(x))2 · मानक विचलन σ(Х)
निरंतर यादृच्छिक चर समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है: बिखरे हुए यादृच्छिक चर के लिए पहले चर्चा की गई गणितीय अपेक्षा और फैलाव के सभी गुण, निरंतर वाले के लिए भी मान्य हैं। कार्य क्रमांक 3.यादृच्छिक चर X को अंतर फ़ंक्शन f(x) द्वारा निर्दिष्ट किया गया है: https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" ऊंचाई='38'> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" ऊंचाई='38'> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" ऊंचाई='38'> पी(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. स्वतंत्र समाधान के लिए समस्याएँ.
2.1.
एक सतत यादृच्छिक चर X वितरण फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट किया गया है: 0 x≤0 पर, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width=”14” ऊंचाई=”86”> 0 x≤ π/6 के लिए, F(x)= - cos 3x π/6 पर<х≤ π/3, x> π/3 के लिए 1. विभेदक वितरण फलन f(x), और भी ज्ञात कीजिए Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 x≤2 पर, f(x)= c x 2 पर<х≤4, x>4 के लिए 0. 2.4.
एक सतत यादृच्छिक चर X वितरण घनत्व द्वारा निर्दिष्ट किया गया है: 0 x≤0 पर, f(x)= c √x 0 पर<х≤1, x>1 के लिए 0. खोजें: ए) संख्या सी; बी) एम(एक्स), डी(एक्स)। 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width=”36” ऊंचाई=”39”> x पर, x पर 0. खोजें: a) F(x) और इसका ग्राफ बनाएं; बी) एम(एक्स),डी(एक्स), σ(एक्स); ग) संभावना है कि चार स्वतंत्र परीक्षणों में एक्स का मान अंतराल (1;4) से संबंधित मान का ठीक 2 गुना होगा। 2.6.
एक सतत यादृच्छिक चर X का संभाव्यता वितरण घनत्व दिया गया है: f(x)= 2(x-2) x पर, x पर 0. खोजें: a) F(x) और इसका ग्राफ बनाएं; बी) एम(एक्स),डी(एक्स), σ (एक्स); ग) संभावना है कि तीन स्वतंत्र परीक्षणों में एक्स का मूल्य खंड से संबंधित मूल्य का ठीक 2 गुना होगा। 2.7.
फ़ंक्शन f(x) इस प्रकार दिया गया है: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width=”43″ ऊंचाई=”38 src=”>.jpg” width=”16” ऊंचाई=”15”>[-√ 3/2; √3/2]। 2.8.
फ़ंक्शन f(x) इस प्रकार दिया गया है: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width=”45” ऊंचाई=”36 src=”> .jpg” width=”16” ऊंचाई=”15”>[- π /4 ; π /4]. खोजें: ए) स्थिरांक सी का मान जिस पर फ़ंक्शन कुछ यादृच्छिक चर एक्स की संभाव्यता घनत्व होगा; बी) वितरण समारोह एफ(एक्स)। 2.9.
यादृच्छिक चर X, अंतराल (3;7) पर केंद्रित है, वितरण फ़ंक्शन F(x)= द्वारा निर्दिष्ट किया गया है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए यादृच्छिक चर X मान लेगा: a) 5 से कम, b) 7 से कम नहीं। 2.10.
यादृच्छिक चर X, अंतराल पर केंद्रित (-1;4), वितरण फलन F(x)= द्वारा दिया गया है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए यादृच्छिक चर X मान लेगा: a) 2 से कम, b) 4 से कम नहीं। 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width=”43″ ऊंचाई=”44 src=”> .jpg” width=”16” ऊंचाई=”15”>. खोजें: ए) संख्या सी; बी) एम(एक्स); सी) संभाव्यता पी(एक्स> एम(एक्स)). 2.12.
यादृच्छिक चर को अंतर वितरण फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width=”60” ऊंचाई=”38 src=”>.jpg” width=”16 ऊंचाई=15” ऊंचाई=”15”> . खोजें: ए) एम(एक्स); बी) संभावना P(X≤M(X)) 2.13.
रेम वितरण संभाव्यता घनत्व द्वारा दिया गया है: x ≥0 के लिए https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg' width='46' ऊंचाई='37'>। साबित करें कि f(x) वास्तव में एक संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन है। 2.14.
एक सतत यादृच्छिक चर X का संभाव्यता वितरण घनत्व दिया गया है: DIV_ADBLOCK17"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width=”187 ऊंचाई=136” ऊंचाई=”136”>(चित्र 5) 2.16.
यादृच्छिक चर X को अंतराल (0;4) में "समकोण त्रिभुज" नियम के अनुसार वितरित किया जाता है (चित्र 5)। संपूर्ण संख्या रेखा पर संभाव्यता घनत्व f(x) के लिए एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति खोजें। जवाब
0 x≤0 पर, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width=”14” ऊंचाई=”86”> 0 x≤ π/6 के लिए, F(x)= 3sin 3x π/6 पर<х≤ π/3,
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е. x≤a के लिए 0, f(x)= a के लिए<х x≥b के लिए 0. फलन f(x) का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width=”30” ऊंचाई=”37”>, D(X)=, σ(X)=. कार्य क्रमांक 1.यादृच्छिक चर X को खंड पर समान रूप से वितरित किया जाता है। खोजो: ए) संभाव्यता वितरण घनत्व एफ (एक्स) और इसे प्लॉट करें; बी) वितरण फ़ंक्शन एफ(एक्स) और इसे प्लॉट करें; सी) एम(एक्स),डी(एक्स), σ(एक्स)। समाधान:
ऊपर चर्चा किए गए सूत्रों का उपयोग करते हुए, a=3, b=7 के साथ, हम पाते हैं: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width=”22” ऊंचाई=”39”> 3≤х≤7 पर, x>7 के लिए 0 आइए इसका ग्राफ बनाएं (चित्र 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width='14' ऊंचाई='86 src='> 0 x≤3 पर, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width=”203” ऊंचाई=”119 src=”>चित्र 4 डी(एक्स) ===https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width='37' ऊंचाई='43'>==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width=”14” ऊंचाई=”49 src=”> 0 x पर<0, f(x)= λе-λх x≥0 के लिए। घातांकीय नियम के अनुसार वितरित यादृच्छिक चर X का वितरण फलन सूत्र द्वारा दिया गया है: DIV_ADBLOCK19"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" width=”161” ऊंचाई=”119 src=”> चित्र 6 घातीय वितरण की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन क्रमशः बराबर हैं: एम(एक्स)= , डी(एक्स)=, σ (Х)= इस प्रकार, गणितीय अपेक्षा और घातांकीय वितरण का मानक विचलन एक दूसरे के बराबर हैं। X के अंतराल (a;b) में गिरने की संभावना की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: पी(ए<Х कार्य क्रमांक 2.डिवाइस का औसत विफलता-मुक्त संचालन समय 100 घंटे है, यह मानते हुए कि डिवाइस के विफलता-मुक्त संचालन समय में एक घातीय वितरण कानून है, खोजें: ए) संभाव्यता वितरण घनत्व; बी) वितरण समारोह; ग) संभावना है कि डिवाइस का विफलता-मुक्त संचालन समय 120 घंटे से अधिक होगा। समाधान:
शर्त के अनुसार, गणितीय वितरण M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" ऊंचाई='43 src='> 0 x पर<0, a) x≥0 के लिए f(x)= 0.01e -0.01x। बी) एफ(एक्स)= 0 x पर<0, 1-e -0.01x x≥0 पर। ग) हम वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करके वांछित संभावना पाते हैं: P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3. §
3. सामान्य वितरण कानून परिभाषा:
एक सतत यादृच्छिक चर X है सामान्य वितरण नियम (गॉस का नियम),
यदि इसके वितरण घनत्व का रूप है: जहां m=M(X), σ2=D(X), σ>0. सामान्य वितरण वक्र कहलाता है सामान्य या गाऊसी वक्र
(चित्र.7) एक यादृच्छिक चर X का वितरण फ़ंक्शन, सामान्य कानून के अनुसार वितरित, लाप्लास फ़ंक्शन Ф (x) के माध्यम से सूत्र के अनुसार व्यक्त किया जाता है: लाप्लास फ़ंक्शन कहां है. टिप्पणी:
फ़ंक्शन Ф(x) विषम है (Ф(-х)=-Ф(х)), इसके अलावा, x>5 के लिए हम Ф(х) ≈1/2 मान सकते हैं। वितरण फलन F(x) का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width=”218” ऊंचाई=”33”> संभावना है कि विचलन का पूर्ण मान एक सकारात्मक संख्या से कम है δ सूत्र द्वारा गणना की जाती है: विशेष रूप से, m=0 के लिए निम्नलिखित समानता कायम है: "तीन सिग्मा नियम"
यदि एक यादृच्छिक चर https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width=”157” ऊंचाई=”57 src=”>a) ख) आइए सूत्र का उपयोग करें: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width=”369″ ऊंचाई=”38 src=”> फ़ंक्शन मानों की तालिका से Ф(х) हम Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413 पाते हैं। तो, वांछित संभावना: पी(28 स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य
3.1.
यादृच्छिक चर X को अंतराल (-3;5) में समान रूप से वितरित किया जाता है। खोजो: बी) वितरण समारोह एफ(एक्स); ग) संख्यात्मक विशेषताएँ; डी) संभाव्यता पी(4<х<6). 3.2.
यादृच्छिक चर X को खंड पर समान रूप से वितरित किया जाता है। खोजो: ए) वितरण घनत्व एफ(एक्स); बी) वितरण समारोह एफ(एक्स); ग) संख्यात्मक विशेषताएँ; d) प्रायिकता P(3≤х≤6). 3.3.
राजमार्ग पर एक स्वचालित ट्रैफिक लाइट लगाई जाती है, जिसमें वाहनों के लिए 2 मिनट के लिए हरी बत्ती, 3 सेकंड के लिए पीली और 30 सेकंड के लिए लाल बत्ती जलती है, आदि। एक कार यादृच्छिक समय पर राजमार्ग पर चलती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक कार बिना रुके ट्रैफिक लाइट से गुजर जाएगी। 3.4.
सबवे ट्रेनें नियमित रूप से 2 मिनट के अंतराल पर चलती हैं। एक यात्री यादृच्छिक समय पर प्लेटफार्म में प्रवेश करता है। इसकी क्या संभावना है कि किसी यात्री को ट्रेन के लिए 50 सेकंड से अधिक इंतजार करना पड़ेगा? यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें - ट्रेन के लिए प्रतीक्षा समय। 3.5.
वितरण फ़ंक्शन द्वारा दिए गए घातांकीय वितरण का विचरण और मानक विचलन ज्ञात करें: F(x)= 0 x पर<0, x≥0 के लिए पहला-8x। 3.6.
एक सतत यादृच्छिक चर X संभाव्यता वितरण घनत्व द्वारा निर्दिष्ट किया गया है: x पर f(x)= 0<0, 0.7 e-0.7x x≥0 पर। ए) विचाराधीन यादृच्छिक चर के वितरण कानून का नाम बताइए। बी) वितरण फ़ंक्शन F(X) और यादृच्छिक चर X की संख्यात्मक विशेषताओं का पता लगाएं। 3.7.
यादृच्छिक चर X को संभाव्यता वितरण घनत्व द्वारा निर्दिष्ट घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है: x पर f(x)= 0<0, 0.4 e-0.4 x x≥0 पर। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परीक्षण के परिणामस्वरूप X अंतराल (2.5;5) से एक मान लेगा। 3.8.
एक सतत यादृच्छिक चर X को वितरण फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है: F(x)= 0 x पर<0, 1st-0.6x x≥0 पर प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि, परीक्षण के परिणामस्वरूप, X खंड से एक मान लेगा। 3.9.
सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान और मानक विचलन क्रमशः 8 और 2 हैं: ए) वितरण घनत्व एफ(एक्स); बी) संभावना है कि परीक्षण के परिणामस्वरूप एक्स अंतराल (10;14) से एक मान लेगा। 3.10.
यादृच्छिक चर X को सामान्यतः 3.5 की गणितीय अपेक्षा और 0.04 के विचरण के साथ वितरित किया जाता है। खोजो: ए) वितरण घनत्व एफ(एक्स); बी) संभावना है कि परीक्षण के परिणामस्वरूप एक्स खंड से एक मूल्य लेगा। 3.11.
यादृच्छिक चर X को सामान्यतः M(X)=0 और D(X)=1 के साथ वितरित किया जाता है। इनमें से कौन सी घटना: |X|≤0.6 या |X|≥0.6 अधिक संभावित है? 3.12.
यादृच्छिक चर 3.13.
प्रति शेयर मौजूदा कीमत को एम(एक्स)=10 डेन के साथ सामान्य वितरण कानून का उपयोग करके तैयार किया जा सकता है। इकाइयां और σ (X)=0.3 डेन. इकाइयां खोजो: ए) संभावना है कि मौजूदा शेयर की कीमत 9.8 डेन से होगी। इकाइयां 10.4 दिन तक इकाइयाँ; बी) "थ्री सिग्मा नियम" का उपयोग करके, उन सीमाओं का पता लगाएं जिनके भीतर वर्तमान स्टॉक मूल्य स्थित होगा। 3.14.
पदार्थ को व्यवस्थित त्रुटियों के बिना तौला जाता है। यादृच्छिक वजन त्रुटियां माध्य वर्ग अनुपात σ=5g के साथ सामान्य कानून के अधीन हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चार स्वतंत्र प्रयोगों में तीन भारों में त्रुटि निरपेक्ष मान 3r में नहीं होगी। 3.15.
यादृच्छिक चर X को सामान्यतः M(X)=12.6 के साथ वितरित किया जाता है। एक यादृच्छिक चर के अंतराल (11.4;13.8) में गिरने की संभावना 0.6826 है। मानक विचलन ज्ञात करें σ. 3.16.
यादृच्छिक चर 3.17.
स्वचालित मशीन द्वारा निर्मित एक भाग को दोषपूर्ण माना जाता है यदि इसके नियंत्रित पैरामीटर का नाममात्र मूल्य से विचलन माप की मॉड्यूलो 2 इकाइयों से अधिक हो। यह माना जाता है कि यादृच्छिक चर X को सामान्यतः M(X)=0 और σ(X)=0.7 के साथ वितरित किया जाता है। मशीन कितने प्रतिशत दोषपूर्ण हिस्से बनाती है? 3.18.
भाग का एक्स पैरामीटर सामान्य रूप से नाममात्र मूल्य के बराबर 2 की गणितीय अपेक्षा और 0.014 के मानक विचलन के साथ वितरित किया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि नाममात्र मूल्य से X का विचलन नाममात्र मूल्य के 1% से अधिक नहीं होगा। जवाब
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width=”14” ऊंचाई=”110 src=”> बी) x≤-3 के लिए 0, एफ(एक्स)=बाएं"> 3.10.
ए)एफ(एक्स)= , बी) Р(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185। 3.11.
|x|≥0.6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
ए) पी(9.8≤Х≤10.4) ≈0.6562। 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1.2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. अनियमित परिवर्तनशील वस्तुएक चर को एक चर कहा जाता है, जो प्रत्येक परीक्षण के परिणामस्वरूप, यादृच्छिक कारणों के आधार पर, पहले से अज्ञात एक मान लेता है। यादृच्छिक चर को बड़े लैटिन अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ उनके प्रकार के अनुसार, यादृच्छिक चर हो सकते हैं अलगऔर निरंतर. असतत यादृच्छिक चर- यह एक यादृच्छिक चर है जिसका मान गणनीय से अधिक नहीं हो सकता है, अर्थात परिमित या गणनीय। गणनीयता से हमारा तात्पर्य यह है कि एक यादृच्छिक चर के मानों को क्रमांकित किया जा सकता है। उदाहरण 1
. यहां असतत यादृच्छिक चर के उदाहरण दिए गए हैं: a) $n$ शॉट्स के साथ लक्ष्य पर हिट की संख्या, यहां संभावित मान $0,\ 1,\ \dots ,\ n$ हैं। बी) सिक्का उछालते समय गिराए गए प्रतीकों की संख्या, यहां संभावित मान $0,\ 1,\ \dots ,\ n$ हैं। ग) बोर्ड पर आने वाले जहाजों की संख्या (मूल्यों का एक गणनीय सेट)। घ) पीबीएक्स पर आने वाली कॉलों की संख्या (मूल्यों का गणनीय सेट)। एक असतत यादृच्छिक चर $X$ संभावनाओं $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ के साथ मान $x_1,\dots ,\ x_n$ ले सकता है। इन मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच के पत्राचार को कहा जाता है असतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियम. एक नियम के रूप में, यह पत्राचार एक तालिका का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जाता है, जिसकी पहली पंक्ति में मान $x_1,\dots ,\ x_n$ इंगित किए जाते हैं, और दूसरी पंक्ति में संभावनाएं $p_1,\dots ,\ p_n$ इन मानों के अनुरूप संकेत दिए गए हैं। $\begin(सरणी)(|c|c|) उदाहरण 2
. मान लीजिए कि यादृच्छिक चर $X$ एक पासा उछालने पर प्राप्त अंकों की संख्या है। ऐसा यादृच्छिक चर $X$ निम्नलिखित मान ले सकता है: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$। इन सभी मानों की संभावनाएँ $1/6$ के बराबर हैं। फिर यादृच्छिक चर $X$ के संभाव्यता वितरण का नियम: $\begin(सरणी)(|c|c|) टिप्पणी. चूँकि एक असतत यादृच्छिक चर $X$ के वितरण नियम में घटनाएँ $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं, तो संभावनाओं का योग एक के बराबर होना चाहिए, अर्थात $ \sum(p_i)=1$. एक यादृच्छिक चर की अपेक्षाइसका "केंद्रीय" अर्थ निर्धारित करता है। एक असतत यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा की गणना $x_1,\dots ,\ x_n$ मानों और इन मानों के अनुरूप संभावनाओं $p_1,\dots ,\ p_n$ के उत्पादों के योग के रूप में की जाती है, अर्थात : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. अंग्रेजी भाषा के साहित्य में, एक अन्य संकेतन $E\left(X\right)$ का उपयोग किया जाता है। गणितीय अपेक्षा के गुण$M\बाएं(X\दाएं)$: उदाहरण 3
. आइए उदाहरण $2$ से यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें। $$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\ओवर (6))+4\cdot ((1)\ओवर (6))+5\cdot ((1)\ओवर (6))+6\cdot ((1) )\ओवर (6))=3.5.$$ हम देख सकते हैं कि $M\left(X\right)$ यादृच्छिक चर $X$ के सबसे छोटे ($1$) और सबसे बड़े ($6$) मानों के बीच स्थित है। उदाहरण 4
. यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा $M\left(X\right)=2$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $3X+5$ की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए। उपरोक्त गुणों का उपयोग करते हुए, हमें $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ मिलता है cdot 2 +5=$11. उदाहरण 5
. यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा $M\left(X\right)=4$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $2X-9$ की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें। उपरोक्त गुणों का उपयोग करते हुए, हमें $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ मिलता है cdot 4 -9=-1$. समान गणितीय अपेक्षाओं वाले यादृच्छिक चर के संभावित मान उनके औसत मूल्यों के आसपास अलग-अलग तरीके से फैल सकते हैं। उदाहरण के लिए, दो छात्र समूहों में संभाव्यता सिद्धांत में परीक्षा का औसत स्कोर 4 निकला, लेकिन एक समूह में सभी अच्छे छात्र निकले, और दूसरे समूह में केवल सी छात्र और उत्कृष्ट छात्र थे। इसलिए, एक यादृच्छिक चर की एक संख्यात्मक विशेषता की आवश्यकता है जो यादृच्छिक चर के मूल्यों के गणितीय अपेक्षा के आसपास प्रसार को दिखाएगी। यह विशेषता है फैलाव. असतत यादृच्छिक चर का प्रसरण$X$ इसके बराबर है: $$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$ अंग्रेजी साहित्य में $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ का प्रयोग किया जाता है। बहुत बार विचरण $D\left(X\right)$ की गणना सूत्र $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) का उपयोग करके की जाती है बाएँ(X \दाएँ)\दाएँ))^2$। फैलाव गुण$D\left(X\right)$: उदाहरण 6
. आइए उदाहरण $2$ से यादृच्छिक चर $X$ के विचरण की गणना करें। $$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\ओवर (6))\cdot (\left(6-3.5\दाएं))^2=((35)\ओवर (12))\लगभग 2.92.$$ उदाहरण 7
. यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ का विचरण $D\left(X\right)=2$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $4X+1$ का प्रसरण ज्ञात कीजिए। उपरोक्त गुणों का उपयोग करके, हम $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= पाते हैं 16D\ बाएँ(X\दाएँ)=16\cdot 2=32$. उदाहरण 8
. यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ का विचरण $D\left(X\right)=3$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $3-2X$ का प्रसरण ज्ञात कीजिए। उपरोक्त गुणों का उपयोग करके, हम $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= पाते हैं 4D\ बाएँ(X\दाएँ)=4\cdot 3=12$. वितरण श्रृंखला के रूप में एक असतत यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व करने की विधि एकमात्र नहीं है, और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि यह सार्वभौमिक नहीं है, क्योंकि वितरण श्रृंखला का उपयोग करके एक निरंतर यादृच्छिक चर निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है। यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व करने का एक और तरीका है - वितरण फ़ंक्शन। वितरण समारोहयादृच्छिक चर $X$ को एक फ़ंक्शन $F\left(x\right)$ कहा जाता है, जो यह संभावना निर्धारित करता है कि यादृच्छिक चर $X$ कुछ निश्चित मान $x$ से कम मान लेगा, अर्थात, $F\ बाएँ(x\दाएँ )=P\बाएँ(X< x\right)$ वितरण फलन के गुण: उदाहरण 9
. आइए उदाहरण $2$ से असतत यादृच्छिक चर $X$ के वितरण कानून के लिए वितरण फ़ंक्शन $F\left(x\right)$ ढूंढें। $\begin(सरणी)(|c|c|) यदि $x\le 1$, तो, जाहिर है, $F\left(x\right)=0$ ($x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X सहित)< 1\right)=0$). यदि $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$. यदि $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$. यदि $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$. यदि $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$. यदि $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$. यदि $x > 6$, तो $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$. तो $F(x)=\left\(\begin(matrix) परिभाषा 1 एक यादृच्छिक चर $X$ को असतत (असंतत) कहा जाता है यदि इसके मानों का सेट अनंत या परिमित है लेकिन गणनीय है। दूसरे शब्दों में, कोई मात्रा असतत कहलाती है यदि उसके मानों को क्रमांकित किया जा सके। वितरण कानून का उपयोग करके एक यादृच्छिक चर का वर्णन किया जा सकता है। असतत यादृच्छिक चर $X$ के वितरण कानून को एक तालिका के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है, जिसकी पहली पंक्ति यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों को आरोही क्रम में इंगित करती है, और दूसरी पंक्ति में इनकी संबंधित संभावनाएं होती हैं मान: चित्र 1। जहां $р1+ р2+ ... + рn = 1$. यह तालिका है एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण के निकट. यदि यादृच्छिक चर के संभावित मानों का सेट अनंत है, तो श्रृंखला $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ अभिसरित होती है और इसका योग $1$ के बराबर होगा। एक असतत यादृच्छिक चर $X$ के वितरण कानून को ग्राफिक रूप से दर्शाया जा सकता है, जिसके लिए समन्वय प्रणाली (आयताकार) में एक टूटी हुई रेखा का निर्माण किया जाता है, जो क्रमिक रूप से निर्देशांक $(xi;pi), i=1,2, के साथ बिंदुओं को जोड़ता है। ... n$. हमें जो लाइन मिली उसे कहा जाता है वितरण बहुभुज. चित्र 2। असतत यादृच्छिक चर $X$ के वितरण कानून को विश्लेषणात्मक रूप से भी दर्शाया जा सकता है (सूत्र का उपयोग करके): $P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$. संभाव्यता सिद्धांत में कई समस्याओं को हल करते समय, एक असतत यादृच्छिक चर को एक स्थिरांक से गुणा करना, दो यादृच्छिक चर जोड़ना, उन्हें गुणा करना, उन्हें एक शक्ति में प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। इन मामलों में, यादृच्छिक असतत मात्राओं के लिए निम्नलिखित नियमों का पालन करना आवश्यक है: परिभाषा 3 गुणाएक असतत यादृच्छिक चर $X$ का एक स्थिरांक $K$ द्वारा एक असतत यादृच्छिक चर $Y=KX,$ है जो समानताओं द्वारा निर्धारित किया जाता है: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\ बाएँ(x_i\right)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$ परिभाषा 4 दो यादृच्छिक चर $x$ और $y$ कहलाते हैं स्वतंत्र, यदि उनमें से एक का वितरण कानून इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि दूसरी अर्जित मात्रा किन संभावित मूल्यों पर निर्भर करती है। परिभाषा 5 मात्रादो स्वतंत्र असतत यादृच्छिक चर $X$ और $Y$ को यादृच्छिक चर $Z=X+Y कहा जाता है,$ समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij) )\right)= P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\left (x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$. परिभाषा 6 गुणादो स्वतंत्र असतत यादृच्छिक चर $X$ और $Y$ को यादृच्छिक चर $Z=XY कहा जाता है,$ समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\left( x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ बाएँ(x_i\right )=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$. आइए ध्यान रखें कि कुछ उत्पाद $x_(i\ \ \ \ )y_j$ एक दूसरे के बराबर हो सकते हैं। इस मामले में, उत्पाद को जोड़ने की संभावना संबंधित संभावनाओं के योग के बराबर है। उदाहरण के लिए, यदि $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $तो $x_2y_3$ (या वही $x_5y_7$) की संभावना $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 के बराबर होगी .$ उपरोक्त राशि पर भी लागू होता है. यदि $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ तो $x_1+\ y_2$ (या वही $x_4+\ y_6$) की संभावना $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6 के बराबर होगी। $ यादृच्छिक चर $X$ और $Y$ वितरण कानूनों द्वारा निर्दिष्ट हैं: चित्र तीन। जहाँ $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ तब योग के वितरण का नियम $X+Y$ का रूप होगा चित्र 4. और उत्पाद के वितरण का नियम $XY$ का रूप होगा चित्र 5. वितरण फ़ंक्शन द्वारा यादृच्छिक चर का पूरा विवरण भी दिया जाता है। ज्यामितीय रूप से, वितरण फ़ंक्शन को इस संभावना के रूप में समझाया जाता है कि यादृच्छिक चर $X$ वह मान लेता है जो संख्या रेखा पर बिंदु $x$ के बाईं ओर स्थित बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है। एक्स; अर्थ एफ(5); संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्सखंड से मान लेगा. एक वितरण बहुभुज का निर्माण करें. यादृच्छिक चर के वितरण का नियम निर्धारित करें एक्सएक तालिका के रूप में. एक यादृच्छिक चर का वितरण फलन ज्ञात कीजिए एक्स. फ़ंक्शंस और के ग्राफ़ बनाएं। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण, मोड और माध्यिका की गणना करें एक्स. नमूना ए: 6 9 7 6 4 4 नमूना बी: 55 72 54 53 64 53 59 48 42 46 50 63 71 56 54 59 54 44 50 43 51 52 60 43 50 70 68 59 53 58 62 49 59 51 52 47 57 71 60 46 55 58 72 47 60 65 63 63 58 56 55 51 64 54 54 63 56 44 73 41 68 54 48 52 52 50 55 49 71 67 58 46 50 51 72 63 64 48 47 55 विकल्प 17. इसकी गणितीय अपेक्षा और विचरण की गणना करें। एक यादृच्छिक चर का वितरण फलन ज्ञात कीजिए एक्स. फ़ंक्शंस और के ग्राफ़ बनाएं। यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा, विचरण, बहुलक और माध्यिका की गणना करें। · नमूना औसत; · नमूना विचरण; मोड और माध्यिका; नमूना ए: 0 0 2 2 1 4 · नमूना औसत; · नमूना विचरण; मानक नमूना विचलन; · मोड और माध्यिका; नमूना बी: 166 154 168 169 178 182 169 159 161 150 149 173 173 156 164 169 157 148 169 149 157 171 154 152 164 157 177 155 167 169 175 166 167 150 156 162 170 167 161 158 168 164 170 172 173 157 157 162 156 150 154 163 143 170 170 168 151 174 155 163 166 173 162 182 166 163 170 173 159 149 172 176 विकल्प 18. इसकी गणितीय अपेक्षा और विचरण की गणना करें। यादृच्छिक चर X का वितरण फ़ंक्शन ढूंढें। फ़ंक्शन के ग्राफ़ बनाएं और। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण, मोड और माध्यिका की गणना करें एक्स। · नमूना औसत; · नमूना विचरण; मानक नमूना विचलन; · मोड और माध्यिका; नमूना ए: 4 7 6 3 3 4 · नमूना औसत; · नमूना विचरण; मानक नमूना विचलन; · मोड और माध्यिका; नमूना बी: 152 161 141 155 171 160 150 157 154 164 138 172 155 152 177 160 168 157 115 128 154 149 150 141 172 154 144 177 151 128 150 147 143 164 156 145 156 170 171 142 148 153 152 170 142 153 162 128 150 146 155 154 163 142 171 138 128 158 140 160 144 150 162 151 163 157 177 127 141 160 160 142 159 147 142 122 155 144 170 177 विकल्प 19. 1. साइट पर 16 महिलाएं और 5 पुरुष काम कर रहे हैं। 3 लोगों को उनके कर्मियों की संख्या का उपयोग करके यादृच्छिक रूप से चुना गया था। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सभी चयनित व्यक्ति पुरुष होंगे। 2. चार सिक्के उछाले गए। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि केवल दो सिक्कों पर "हथियार का कोट" होगा। 3. "PSYCHOLOGY" शब्द कार्डों से बना है, जिनमें से प्रत्येक पर एक अक्षर लिखा हुआ है। कार्डों को मिलाया जाता है और बिना वापस लौटाए एक-एक करके निकाल लिया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गए अक्षर एक शब्द बनाते हैं: a) मनोविज्ञान; बी) कर्मचारी। 4. कलश में 6 काली और 7 सफेद गेंदें हैं। 5 गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उनमें से हैं: एक। 3 सफेद गेंदें; बी। 3 से कम सफेद गेंदें; सी। कम से कम एक सफेद गेंद. 5. किसी घटना के घटित होने की सम्भावना एएक परीक्षण में 0.5 के बराबर है. निम्नलिखित घटनाओं की संभावनाएँ ज्ञात कीजिए: एक। आयोजन ए 5 स्वतंत्र परीक्षणों की श्रृंखला में 3 बार प्रकट होता है; बी। आयोजन ए 50 परीक्षणों की श्रृंखला में कम से कम 30 और 40 से अधिक बार दिखाई देगा। 6. एक ही शक्ति की 100 मशीनें हैं, जो एक ही मोड में एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से काम करती हैं, जिनमें उनकी ड्राइव 0.8 कार्य घंटों के लिए चालू रहती है। क्या संभावना है कि किसी भी समय 70 से 86 मशीनें चालू हो जाएंगी? 7. पहले कलश में 4 सफेद और 7 काली गेंदें हैं, और दूसरे कलश में 8 सफेद और 3 काली गेंदें हैं। पहले कलश से 4 गेंदें और दूसरे से 1 गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाली गई गेंदों में से केवल 4 काली गेंदें हैं। 8. कार बिक्री शोरूम में प्रतिदिन तीन ब्रांडों की कारें आती हैं: "मोस्कविच" - 40%; "ओका" - 20%; "वोल्गा" - सभी आयातित कारों का 40%। मोस्कविच कारों में, 0.5% में चोरी-रोधी उपकरण है, ओका - 0.01%, वोल्गा - 0.1% है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निरीक्षण के लिए ली गई कार में चोरी-रोधी उपकरण है। 9. खंड पर संख्याएँ यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि ये संख्याएँ असमानताओं को संतुष्ट करती हैं। 10. यादृच्छिक चर के वितरण का नियम दिया गया है एक्स: एक यादृच्छिक चर का वितरण फलन ज्ञात कीजिए एक्स; अर्थ एफ(2); संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्सअंतराल से मान लेगा. एक वितरण बहुभुज का निर्माण करें. जैसा कि ज्ञात है, अनियमित परिवर्तनशील वस्तु
एक परिवर्तनशील मात्रा है जो मामले के आधार पर कुछ मान ले सकती है। यादृच्छिक चर को लैटिन वर्णमाला (X, Y, Z) के बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, और उनके मान संबंधित छोटे अक्षरों (x, y, z) द्वारा दर्शाए जाते हैं। यादृच्छिक चर को असंतत (असतत) और निरंतर में विभाजित किया गया है। असतत यादृच्छिक चर
एक यादृच्छिक चर है जो कुछ गैर-शून्य संभावनाओं के साथ मूल्यों का केवल एक सीमित या अनंत (गणनीय) सेट लेता है। असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम
एक फ़ंक्शन है जो एक यादृच्छिक चर के मानों को उनकी संबंधित संभावनाओं से जोड़ता है। वितरण कानून को निम्नलिखित में से किसी एक तरीके से निर्दिष्ट किया जा सकता है। 1
. वितरण कानून तालिका द्वारा दिया जा सकता है:
जहां λ>0, k = 0, 1, 2,…। वी)का उपयोग करके वितरण फलन F(x)
, जो प्रत्येक मान x के लिए संभावना निर्धारित करता है कि यादृच्छिक चर X, x से कम मान लेगा, अर्थात। एफ(एक्स) = पी(एक्स< x). फ़ंक्शन के गुण F(x) 3
. वितरण कानून को रेखांकन द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है
– वितरण बहुभुज (बहुभुज) (समस्या 3 देखें)। ध्यान दें कि कुछ समस्याओं को हल करने के लिए वितरण कानून को जानना आवश्यक नहीं है। कुछ मामलों में, एक या कई संख्याओं को जानना पर्याप्त है जो वितरण कानून की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं को दर्शाते हैं। यह एक संख्या हो सकती है जिसमें यादृच्छिक चर के "औसत मान" का अर्थ होता है, या एक संख्या जो यादृच्छिक चर के औसत मूल्य से विचलन के औसत आकार को दर्शाती है। इस प्रकार की संख्याओं को यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएँ कहा जाता है।
: कार्य 1। 1000 लॉटरी टिकट जारी किए गए: उनमें से 5 500 रूबल जीतेंगे, 10 100 रूबल जीतेंगे, 20 50 रूबल जीतेंगे, 50 10 रूबल जीतेंगे। यादृच्छिक चर X - प्रति टिकट जीत की संभाव्यता वितरण का नियम निर्धारित करें।
समाधान। समस्या की स्थितियों के अनुसार, यादृच्छिक चर X के निम्नलिखित मान संभव हैं: 0, 10, 50, 100 और 500। बिना जीते टिकटों की संख्या 1000 है - (5+10+20+50) = 915, फिर पी(एक्स=0) = 915/1000 = 0.915। इसी तरह, हम अन्य सभी संभावनाएँ पाते हैं: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01, P(X =500) = 5/1000=0.005. आइए परिणामी कानून को एक तालिका के रूप में प्रस्तुत करें: कार्य 3. 1000 लॉटरी टिकट जारी किए गए: उनमें से 5 500 रूबल जीतेंगे, 10 100 रूबल जीतेंगे, 20 50 रूबल जीतेंगे, 50 10 रूबल जीतेंगे। यादृच्छिक चर X - प्रति टिकट जीत की संभाव्यता वितरण का नियम निर्धारित करें।
1.
असतत यादृच्छिक चर X = (एक प्रयोग में असफल तत्वों की संख्या) के निम्नलिखित संभावित मान हैं: दो तत्व विफल रहे) और x 4 =3 (तीन तत्व विफल रहे)। तत्वों की विफलता एक दूसरे से स्वतंत्र होती है, प्रत्येक तत्व की विफलता की संभावनाएँ समान होती हैं, इसलिए यह लागू होता है बर्नौली का सूत्र
. यह ध्यान में रखते हुए, शर्त के अनुसार, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, हम मानों की संभावनाएँ निर्धारित करते हैं: इस प्रकार, एक्स के वांछित द्विपद वितरण कानून का रूप है: हम x i के संभावित मानों को भुज अक्ष के अनुदिश और संबंधित संभावनाओं p i को कोटि अक्ष के अनुदिश आलेखित करते हैं। आइए बिंदु M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) बनाएं। इन बिंदुओं को सीधी रेखा खंडों से जोड़कर, हम वांछित वितरण बहुभुज प्राप्त करते हैं। 3.
आइए वितरण फलन F(x) = Р(Х) ज्ञात करें फ़ंक्शन का ग्राफ़ F(x) 4.
द्विपद बंटन X के लिए:
1.2.
p4=0.1; 0 x≤-1 पर,
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width=”14” ऊंचाई=”86”> 0 x≤a के लिए,
,
सामान्य वक्र सीधी रेखा x=m के संबंध में सममित है, x=a पर अधिकतम है, के बराबर।
,
1. असतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण का नियम।
\hline
X_i और x_1 और x_2 और \dots और x_n \\
\hline
p_i और p_1 और p_2 और \dots और p_n \\
\hline
\end(सरणी)$
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\hline
\end(सरणी)$2. असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा।
3. असतत यादृच्छिक चर का फैलाव।
4. असतत यादृच्छिक चर का वितरण फलन।
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(सरणी)$
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6,पर\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ पर\ 2< x\le 3,\\
1/2,पर\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ पर\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ के लिये\ x > 6.
\end(मैट्रिक्स)\right.$
असतत संभावनाओं पर संचालन
वितरण समारोह
एक्स
–28
–20
–12
–4
पी
0,22
0,44
0,17
0,1
0,07
एक्स
पी
0,1
0,2
0,3
0,4
एम(एक्स)=Σ एक्स आई पी आई
. अंतर X-M(X) को गणितीय अपेक्षा से यादृच्छिक चर का विचलन कहा जाता है।σ(X)=√D(X)
"असतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियम" विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण
आइए मान X की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5
पी 3 (0) = सी 3 0 पी 0 क्यू 3-0 = क्यू 3 = 0.9 3 = 0.729;
पी 3 (1) = सी 3 1 पी 1 क्यू 3-1 = 3*0.1*0.9 2 = 0.243;
पी 3 (2) = सी 3 2 पी 2 क्यू 3-2 = 3*0.1 2 *0.9 = 0.027;
पी 3 (3) = सी 3 3 पी 3 क्यू 3-3 = पी 3 =0.1 3 = 0.001;
जांचें: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.
0 के लिए< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1 के लिए< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2 के लिए< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 के लिए F(x) = 1 होगा, क्योंकि घटना विश्वसनीय है. 
- गणितीय अपेक्षा एम(एक्स) = एनपी = 3*0.1 = 0.3;
- विचरण D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- मानक विचलन σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.
