Διαφήμιση στην πύλη

Πώς να λύσετε μια έκφραση με πράξεις. Διαδικασία

Οι αριθμητικές και αλφαβητικές εκφράσεις μπορεί να περιέχουν σημάδια διαφόρων αριθμητικών πράξεων. Κατά τον μετασχηματισμό παραστάσεων και τον υπολογισμό των τιμών των παραστάσεων, οι ενέργειες εκτελούνται με μια συγκεκριμένη σειρά, καθώς υπάρχει μια αυστηρή σειρά με την οποία εκτελούνται οι μαθηματικές πράξεις

Πρώτα πολλαπλασιασμός και διαίρεση, μετά πρόσθεση και αφαίρεση


Η σειρά εκτέλεσης των ενεργειών σε εκφράσεις χωρίς παρένθεση:

- οι ενέργειες εκτελούνται με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά,

- Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση εκτελούνται πρώτα και μετά η πρόσθεση και η αφαίρεση.

1. Εξετάστε ένα παράδειγμα: ακολουθήστε τα βήματα 17−3+6

Η αρχική έκφραση δεν περιέχει πολλαπλασιασμό ή διαίρεση και δεν περιέχει παρενθέσεις. Επομένως θα πρέπει να ακολουθήσουμε όλα τα βήματα με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, δηλαδή, πρώτα αφαιρούμε 3 από το 17, παίρνουμε 14, μετά από το οποίο προσθέτουμε 6 στη διαφορά του 14 που προκύπτει, παίρνουμε 20.

Εν συντομία, η λύση μπορεί να γραφτεί ως εξής: 17 − 3 + 6 = 14 + 6 = 20

2. Υπολογίστε την τιμή της παράστασης 17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2

Αρχικά, ας προσδιορίσουμε με ποια σειρά πρέπει να εκτελούνται οι ενέργειες στην έκφραση. Περιέχει και πολλαπλασιασμό και διαίρεση και πρόσθεση και αφαίρεση. Πρώτα από αριστερά προς τα δεξιά χρειάζεστε εκτελεί πολλαπλασιασμό και διαίρεση.

4: 2 τώρα 4 διαιρούμενο με 2, παίρνουμε 2.

Αντικαθιστούμε την τιμή που βρέθηκε 10 στην αρχική παράσταση αντί για 5 · 6: 3, και αντί για 4: 2 - την τιμή 2, παίρνουμε την ακόλουθη παράσταση 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2+ 2.

Η έκφραση που προκύπτει δεν περιέχει πλέον πολλαπλασιασμό και διαίρεση, επομένως παραμένει με σειρά από αριστερά προς τα δεξιάσυμπληρώστε τις υπόλοιπες ενέργειες: 17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7.

Δράσεις του πρώτου και του δεύτερου σταδίου


Για να είναι πιο εύκολο να αποφασίσετε για την ακολουθία εκτέλεσης οι ενέργειές τους χωρίστηκαν σε δύο στάδια:

το πρώτο στάδιο είναι η πρόσθεση και η αφαίρεση,

το δεύτερο στάδιο είναι ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση.

Εάν η παράσταση δεν περιέχει παρενθέσεις, τότε με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά εκτελούνται πρώτα οι ενέργειες του δεύτερου σταδίου (πολλαπλασιασμός και διαίρεση) και μετά οι ενέργειες του πρώτου σταδίου (πρόσθεση και αφαίρεση).

Σειρά αριθμητικών πράξεων σε εκφράσεις με παρένθεση

Ο κανόνας που καθορίζει τη σειρά εκτέλεσης των ενεργειών σε παραστάσεις με αγκύλες διατυπώνεται ως εξής: πρώτα εκτελούνται οι ενέργειες σε αγκύλες, ενώ ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση γίνονται επίσης με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, μετά πρόσθεση και αφαίρεση.

Ας δούμε ένα παράδειγμα: 99: (45 – 39 + 5) – 25: 5

Η διαδικασία υπολογισμού είναι η εξής. Αρχικά, ας κάνουμε τα βήματα σε παρένθεση:

45 – 39 = 6 ; 6 + 5 = 11 ,

στη συνέχεια οι ενέργειες του δεύτερου σταδίου

Οι κανόνες για τη σειρά εκτέλεσης ενεργειών σε σύνθετες εκφράσεις μελετώνται στη 2η τάξη, αλλά τα παιδιά χρησιμοποιούν πρακτικά μερικούς από αυτούς στην 1η τάξη.

Αρχικά, εξετάζουμε τον κανόνα σχετικά με τη σειρά των πράξεων σε παραστάσεις χωρίς παρένθεση, όταν οι αριθμοί εκτελούνται είτε μόνο πρόσθεση και αφαίρεση, είτε μόνο πολλαπλασιασμός και διαίρεση. Η ανάγκη εισαγωγής εκφράσεων που περιέχουν δύο ή περισσότερες αριθμητικές πράξεις του ίδιου επιπέδου προκύπτει όταν οι μαθητές εξοικειωθούν με τις υπολογιστικές τεχνικές της πρόσθεσης και της αφαίρεσης εντός 10, και συγκεκριμένα:

Ομοίως: 6 - 1 - 1, 6 - 2 - 1, 6 - 2 - 2.

Δεδομένου ότι για να βρουν τις έννοιες αυτών των εκφράσεων, οι μαθητές στρέφονται σε αντικειμενικές ενέργειες που εκτελούνται με μια συγκεκριμένη σειρά, μαθαίνουν εύκολα το γεγονός ότι οι αριθμητικές πράξεις (πρόσθεση και αφαίρεση) που λαμβάνουν χώρα σε εκφράσεις εκτελούνται διαδοχικά από αριστερά προς τα δεξιά.

Οι μαθητές θα συναντήσουν αρχικά εκφράσεις αριθμών που περιέχουν πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης και παρενθέσεις στο θέμα "Πρόσθεση και αφαίρεση εντός 10". Όταν τα παιδιά συναντούν τέτοιες εκφράσεις στην 1η δημοτικού, για παράδειγμα: 7 - 2 + 4, 9 - 3 - 1, 4 +3 - 2; στη 2η τάξη, για παράδειγμα: 70 - 36 +10, 80 - 10 - 15, 32+18 - 17; 4*10:5, 60:10*3, 36:9*3, ο δάσκαλος δείχνει πώς να διαβάζετε και να γράφετε τέτοιες εκφράσεις και πώς να βρίσκετε το νόημά τους (για παράδειγμα, 4*10:5 ανάγνωση: 4 πολλαπλασιάστε με 10 και διαιρέστε το αποτέλεσμα στο 5). Μέχρι να μελετήσουν το θέμα «Σειρά ενεργειών» στη 2η τάξη, οι μαθητές είναι σε θέση να βρουν τις έννοιες των εκφράσεων αυτού του τύπου. Ο σκοπός της εργασίας για σε αυτό το στάδιο- βασιζόμενοι στις πρακτικές δεξιότητες των μαθητών, εφιστήστε την προσοχή τους στη σειρά εκτέλεσης των ενεργειών σε τέτοιες εκφράσεις και διατυπώστε τον αντίστοιχο κανόνα. Οι μαθητές λύνουν ανεξάρτητα παραδείγματα που επιλέχθηκαν από τον δάσκαλο και εξηγούν με ποια σειρά τα εκτέλεσαν. ενέργειες σε κάθε παράδειγμα. Στη συνέχεια διατυπώνουν μόνοι τους το συμπέρασμα ή διαβάζουν από ένα σχολικό βιβλίο: αν σε μια έκφραση χωρίς παρένθεση υποδεικνύονται μόνο ενέργειες πρόσθεσης και αφαίρεσης (ή μόνο ενέργειες πολλαπλασιασμού και διαίρεσης), τότε εκτελούνται με τη σειρά με την οποία γράφτηκαν (δηλαδή από αριστερά στα δεξιά).

Παρά το γεγονός ότι σε εκφράσεις της μορφής a+b+c, a+(b+c) και (a+b)+c η παρουσία παρενθέσεων δεν επηρεάζει τη σειρά των ενεργειών λόγω του συνειρμικού νόμου της πρόσθεσης, σε αυτό Το στάδιο είναι πιο σκόπιμο να προσανατολιστούν οι μαθητές στο ότι η ενέργεια στην παρένθεση εκτελείται πρώτα. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι για εκφράσεις της μορφής a - (b + c) και a - (b - c) μια τέτοια γενίκευση είναι απαράδεκτη και για τους μαθητές αρχικό στάδιοΘα είναι αρκετά δύσκολο να πλοηγηθείτε στην αντιστοίχιση αγκύλων για διάφορες αριθμητικές εκφράσεις. Η χρήση παρενθέσεων σε αριθμητικές εκφράσεις που περιέχουν πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης αναπτύσσεται περαιτέρω, η οποία σχετίζεται με τη μελέτη κανόνων όπως η προσθήκη ενός αθροίσματος σε έναν αριθμό, ενός αριθμού σε ένα άθροισμα, η αφαίρεση ενός αθροίσματος από έναν αριθμό και ενός αριθμού από έναν αριθμό. άθροισμα. Αλλά όταν εισάγετε για πρώτη φορά παρενθέσεις, είναι σημαντικό να κατευθύνετε τους μαθητές να κάνουν πρώτα τη δράση στις παρενθέσεις.

Ο δάσκαλος εφιστά την προσοχή των παιδιών στο πόσο σημαντικό είναι να ακολουθούν αυτόν τον κανόνα όταν κάνουν υπολογισμούς, διαφορετικά μπορεί να λάβετε μια εσφαλμένη ισότητα. Για παράδειγμα, οι μαθητές εξηγούν πώς λαμβάνονται οι έννοιες των εκφράσεων: 70 - 36 +10 = 24, 60:10 - 3 = 2, γιατί είναι λανθασμένες, τι σημασίες έχουν στην πραγματικότητα αυτές οι εκφράσεις. Ομοίως, μελετούν τη σειρά των ενεργειών σε εκφράσεις με αγκύλες της μορφής: 65 - (26 - 14), 50: (30 - 20), 90: (2 * 5). Οι μαθητές είναι επίσης εξοικειωμένοι με τέτοιες εκφράσεις και μπορούν να διαβάζουν, να γράφουν και να υπολογίζουν το νόημά τους. Έχοντας εξηγήσει τη σειρά των ενεργειών σε πολλές τέτοιες εκφράσεις, τα παιδιά διατυπώνουν ένα συμπέρασμα: στις εκφράσεις με αγκύλες, η πρώτη ενέργεια εκτελείται στους αριθμούς που είναι γραμμένοι σε αγκύλες. Εξετάζοντας αυτές τις εκφράσεις, δεν είναι δύσκολο να δείξουμε ότι οι ενέργειες σε αυτές δεν εκτελούνται με τη σειρά με την οποία είναι γραμμένες. για να εμφανιστεί διαφορετική σειρά εκτέλεσής τους και χρησιμοποιούνται παρενθέσεις.

Στη συνέχεια εισάγεται ο κανόνας για τη σειρά εκτέλεσης των ενεργειών σε εκφράσεις χωρίς παρένθεση, όταν περιέχουν ενέργειες του πρώτου και του δεύτερου σταδίου. Εφόσον οι κανόνες λειτουργίας γίνονται δεκτοί κατόπιν συμφωνίας, ο δάσκαλος τους κοινοποιεί στα παιδιά ή οι μαθητές τους μαθαίνουν από το σχολικό βιβλίο. Για να κατανοήσουν οι μαθητές τους εισαγόμενους κανόνες, μαζί με ασκήσεις εκπαίδευσης, περιλαμβάνουν παραδείγματα επίλυσης με επεξήγηση της σειράς των ενεργειών τους. Αποτελεσματικές είναι και οι ασκήσεις για την εξήγηση σφαλμάτων στη σειρά των ενεργειών. Για παράδειγμα, από τα δοσμένα ζεύγη παραδειγμάτων, προτείνεται να καταγραφούν μόνο εκείνα στα οποία οι υπολογισμοί πραγματοποιήθηκαν σύμφωνα με τους κανόνες της σειράς ενεργειών:

Αφού εξηγήσετε τα σφάλματα, μπορείτε να δώσετε μια εργασία: χρησιμοποιώντας παρενθέσεις, αλλάξτε τη σειρά των ενεργειών έτσι ώστε η παράσταση να έχει την καθορισμένη τιμή. Για παράδειγμα, για να έχει η πρώτη από τις παραστάσεις που δίνονται τιμή ίση με 10, πρέπει να τη γράψετε ως εξής: (20+30):5=10.

Οι ασκήσεις για τον υπολογισμό της αξίας μιας έκφρασης είναι ιδιαίτερα χρήσιμες όταν ο μαθητής πρέπει να εφαρμόσει όλους τους κανόνες που έχει μάθει. Για παράδειγμα, η έκφραση 36:6+3*2 είναι γραμμένη στον πίνακα ή σε τετράδια. Οι μαθητές υπολογίζουν την αξία του. Στη συνέχεια, σύμφωνα με τις οδηγίες του δασκάλου, τα παιδιά χρησιμοποιούν παρενθέσεις για να αλλάξουν τη σειρά των ενεργειών στην έκφραση:

  • 36:6+3-2
  • 36:(6+3-2)
  • 36:(6+3)-2
  • (36:6+3)-2

Μια ενδιαφέρουσα, αλλά πιο δύσκολη, άσκηση είναι η αντίστροφη άσκηση: η τοποθέτηση παρενθέσεων έτσι ώστε η έκφραση να έχει τη δεδομένη τιμή:

  • 72-24:6+2=66
  • 72-24:6+2=6
  • 72-24:6+2=10
  • 72-24:6+2=69

Επίσης ενδιαφέρουσες είναι οι παρακάτω ασκήσεις:

  • 1. Τοποθετήστε τις αγκύλες έτσι ώστε οι ισότητες να είναι αληθείς:
  • 25-17:4=2 3*6-4=6
  • 24:8-2=4
  • 2. Τοποθετήστε τα σημάδια «+» ή «-» αντί για αστερίσκους, ώστε να λάβετε τις σωστές ισότητες:
  • 38*3*7=34
  • 38*3*7=28
  • 38*3*7=42
  • 38*3*7=48
  • 3. Τοποθετήστε αριθμητικά ζώδια αντί για αστερίσκους ώστε οι ισότητες να είναι αληθείς:
  • 12*6*2=4
  • 12*6*2=70
  • 12*6*2=24
  • 12*6*2=9
  • 12*6*2=0

Εκτελώντας τέτοιες ασκήσεις, οι μαθητές πείθονται ότι το νόημα μιας έκφρασης μπορεί να αλλάξει εάν αλλάξει η σειρά των ενεργειών.

Για να κατακτήσετε τους κανόνες της σειράς των ενεργειών, είναι απαραίτητο στους βαθμούς 3 και 4 να συμπεριλάβετε ολοένα και πιο σύνθετες εκφράσεις, κατά τον υπολογισμό των τιμών των οποίων ο μαθητής θα εφαρμόσει όχι έναν, αλλά δύο ή τρεις κανόνες της σειράς των ενεργειών το καθένα χρόνος, για παράδειγμα:

  • 90*8- (240+170)+190,
  • 469148-148*9+(30 100 - 26909).

Σε αυτήν την περίπτωση, οι αριθμοί θα πρέπει να επιλέγονται έτσι ώστε να επιτρέπουν την εκτέλεση ενεργειών με οποιαδήποτε σειρά, γεγονός που δημιουργεί προϋποθέσεις για τη συνειδητή εφαρμογή των κανόνων που έχουν μάθει.

Το Alpha σημαίνει πραγματικός αριθμός. Το πρόσημο ίσου στις παραπάνω εκφράσεις δείχνει ότι αν προσθέσετε έναν αριθμό ή άπειρο στο άπειρο, τίποτα δεν θα αλλάξει, το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο άπειρο. Αν πάρουμε ως παράδειγμα το άπειρο σύνολο φυσικών αριθμών, τότε τα εξεταζόμενα παραδείγματα μπορούν να αναπαρασταθούν με την ακόλουθη μορφή:

Για να αποδείξουν ξεκάθαρα ότι είχαν δίκιο, οι μαθηματικοί βρήκαν πολλές διαφορετικές μεθόδους. Προσωπικά, βλέπω όλες αυτές τις μεθόδους ως σαμάνους που χορεύουν με ντέφια. Ουσιαστικά, όλα συνοψίζονται στο γεγονός ότι είτε κάποια από τα δωμάτια είναι ανεκμετάλλευτα και νέοι επισκέπτες μετακομίζουν μέσα, είτε ότι κάποιοι από τους επισκέπτες πετιούνται στο διάδρομο για να κάνουν χώρο για τους επισκέπτες (πολύ ανθρώπινα). Παρουσίασα την άποψή μου για τέτοιες αποφάσεις με τη μορφή μιας ιστορίας φαντασίας για την Ξανθιά. Σε τι βασίζεται το σκεπτικό μου; Η μετεγκατάσταση ενός άπειρου αριθμού επισκεπτών απαιτεί άπειρο χρόνο. Αφού αδειάσουμε το πρώτο δωμάτιο για έναν επισκέπτη, ένας από τους επισκέπτες θα περπατά πάντα κατά μήκος του διαδρόμου από το δωμάτιό του στο επόμενο μέχρι το τέλος του χρόνου. Φυσικά, ο παράγοντας χρόνος μπορεί να αγνοηθεί ανόητα, αλλά αυτό θα είναι στην κατηγορία του «κανένας νόμος δεν είναι γραμμένος για ανόητους». Όλα εξαρτώνται από το τι κάνουμε: προσαρμογή της πραγματικότητας στις μαθηματικές θεωρίες ή το αντίστροφο.

Τι είναι ένα «ατελείωτο ξενοδοχείο»; Ένα άπειρο ξενοδοχείο είναι ένα ξενοδοχείο που έχει πάντα οποιονδήποτε αριθμό κενών κρεβατιών, ανεξάρτητα από το πόσα δωμάτια είναι κατειλημμένα. Αν όλα τα δωμάτια στον ατελείωτο διάδρομο «επισκέπτη» είναι κατειλημμένα, υπάρχει ένας άλλος ατελείωτος διάδρομος με δωμάτια «ξενώνες». Θα υπάρχει άπειρος αριθμός τέτοιων διαδρόμων. Επιπλέον, το «άπειρο ξενοδοχείο» έχει έναν άπειρο αριθμό ορόφων σε έναν άπειρο αριθμό κτιρίων σε έναν άπειρο αριθμό πλανητών σε έναν άπειρο αριθμό συμπάντων που δημιουργήθηκαν από έναν άπειρο αριθμό Θεών. Οι μαθηματικοί δεν μπορούν να αποστασιοποιηθούν από τα κοινά καθημερινά προβλήματα: υπάρχει πάντα μόνο ένας Θεός-Αλλάχ-Βούδας, υπάρχει μόνο ένα ξενοδοχείο, υπάρχει μόνο ένας διάδρομος. Έτσι, οι μαθηματικοί προσπαθούν να ταχυδακτυλουργήσουν τους σειριακούς αριθμούς των δωματίων του ξενοδοχείου, πείθοντάς μας ότι είναι δυνατό να «χτυπήσουμε το αδύνατο».

Θα σας δείξω τη λογική του συλλογισμού μου χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός άπειρου συνόλου φυσικών αριθμών. Πρώτα πρέπει να απαντήσετε σε μια πολύ απλή ερώτηση: πόσα σύνολα φυσικών αριθμών υπάρχουν - ένα ή πολλά; Δεν υπάρχει σωστή απάντηση σε αυτή την ερώτηση, αφού εφεύραμε τους αριθμούς μόνοι μας· οι αριθμοί δεν υπάρχουν στη Φύση. Ναι, η Φύση είναι εξαιρετική στο να μετράει, αλλά για αυτό χρησιμοποιεί άλλα μαθηματικά εργαλεία που δεν μας είναι οικεία. Θα σας πω τι σκέφτεται η Φύση μια άλλη φορά. Εφόσον εφεύραμε τους αριθμούς, εμείς οι ίδιοι θα αποφασίσουμε πόσα σύνολα φυσικών αριθμών υπάρχουν. Ας εξετάσουμε και τις δύο επιλογές, όπως αρμόζει σε πραγματικούς επιστήμονες.

Επιλογή μία. «Ας μας δοθεί» ένα ενιαίο σύνολο φυσικών αριθμών, που βρίσκεται γαλήνια στο ράφι. Παίρνουμε αυτό το σετ από το ράφι. Αυτό ήταν, δεν έχουν μείνει άλλοι φυσικοί αριθμοί στο ράφι και πουθενά να τους πάρεις. Δεν μπορούμε να προσθέσουμε ένα σε αυτό το σύνολο, αφού το έχουμε ήδη. Τι γίνεται αν το θέλεις πραγματικά; Κανένα πρόβλημα. Μπορούμε να πάρουμε ένα από το σετ που έχουμε ήδη πάρει και να το επιστρέψουμε στο ράφι. Μετά από αυτό, μπορούμε να πάρουμε ένα από το ράφι και να το προσθέσουμε σε ότι μας περισσεύει. Ως αποτέλεσμα, θα πάρουμε ξανά ένα άπειρο σύνολο φυσικών αριθμών. Μπορείτε να γράψετε όλους τους χειρισμούς μας ως εξής:

Έγραψα τις ενέργειες στην αλγεβρική σημειογραφία και στη σημειογραφία της θεωρίας συνόλων, με μια λεπτομερή λίστα των στοιχείων του συνόλου. Ο δείκτης υποδεικνύει ότι έχουμε ένα και μοναδικό σύνολο φυσικών αριθμών. Αποδεικνύεται ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών θα παραμείνει αμετάβλητο μόνο αν αφαιρεθεί ένας από αυτό και προστεθεί η ίδια μονάδα.

Επιλογή δύο. Έχουμε πολλά διαφορετικά άπειρα σύνολα φυσικών αριθμών στο ράφι μας. Τονίζω - ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ, παρά το γεγονός ότι πρακτικά δεν διακρίνονται. Ας πάρουμε ένα από αυτά τα σετ. Στη συνέχεια παίρνουμε έναν από ένα άλλο σύνολο φυσικών αριθμών και τον προσθέτουμε στο σύνολο που έχουμε ήδη πάρει. Μπορούμε ακόμη να προσθέσουμε δύο σύνολα φυσικών αριθμών. Αυτό είναι αυτό που παίρνουμε:

Οι δείκτες "ένα" και "δύο" υποδεικνύουν ότι αυτά τα στοιχεία ανήκαν σε διαφορετικά σύνολα. Ναι, αν προσθέσετε ένα σε ένα άπειρο σύνολο, το αποτέλεσμα θα είναι επίσης ένα άπειρο σύνολο, αλλά δεν θα είναι το ίδιο με το αρχικό σύνολο. Εάν προσθέσετε ένα άλλο άπειρο σύνολο σε ένα άπειρο σύνολο, το αποτέλεσμα είναι ένα νέο άπειρο σύνολο που αποτελείται από τα στοιχεία των δύο πρώτων συνόλων.

Το σύνολο των φυσικών αριθμών χρησιμοποιείται για μέτρηση με τον ίδιο τρόπο που χρησιμοποιείται ένας χάρακας για τη μέτρηση. Τώρα φανταστείτε ότι προσθέσατε ένα εκατοστό στον χάρακα. Αυτή θα είναι μια διαφορετική γραμμή, όχι ίση με την αρχική.

Μπορείτε να δεχτείτε ή να μην αποδεχτείτε το σκεπτικό μου - είναι δική σας υπόθεση. Αλλά αν συναντήσετε ποτέ μαθηματικά προβλήματα, σκεφτείτε αν ακολουθείτε το μονοπάτι της ψευδούς συλλογιστικής που έχουν πατήσει γενιές μαθηματικών. Εξάλλου, η μελέτη των μαθηματικών, πρώτα απ 'όλα, σχηματίζει ένα σταθερό στερεότυπο σκέψης μέσα μας και μόνο τότε προσθέτει στις νοητικές μας ικανότητες (ή, αντίθετα, μας στερεί την ελεύθερη σκέψη).

Κυριακή 4 Αυγούστου 2019

Τελειώνω ένα υστερόγραφο σε ένα άρθρο σχετικά και είδα αυτό το υπέροχο κείμενο στη Wikipedia:

Διαβάζουμε: «... πλούσιος θεωρητική βάσηΤα μαθηματικά της Βαβυλώνας δεν είχαν ολιστικό χαρακτήρα και περιορίστηκαν σε ένα σύνολο ανόμοιων τεχνικών, χωρίς κοινό σύστημα και βάση αποδεικτικών στοιχείων».

Ουάου! Πόσο έξυπνοι είμαστε και πόσο καλά μπορούμε να δούμε τις ελλείψεις των άλλων. Είναι δύσκολο για εμάς να δούμε τα σύγχρονα μαθηματικά στο ίδιο πλαίσιο; Παραφράζοντας ελαφρώς το παραπάνω κείμενο, προσωπικά πήρα τα εξής:

Η πλούσια θεωρητική βάση των σύγχρονων μαθηματικών δεν έχει ολιστικό χαρακτήρα και περιορίζεται σε ένα σύνολο ανόμοιων τμημάτων, χωρίς κοινό σύστημα και βάση στοιχείων.

Δεν θα πάω μακριά για να επιβεβαιώσω τα λόγια μου - έχει γλώσσα και σύμβολα, διαφορετική από τη γλώσσα και τις συμβάσεις πολλών άλλων κλάδων των μαθηματικών. Τα ίδια ονόματα σε διαφορετικούς κλάδους των μαθηματικών μπορεί να έχουν διαφορετική σημασία. Θέλω να αφιερώσω μια ολόκληρη σειρά δημοσιεύσεων στα πιο προφανή λάθη των σύγχρονων μαθηματικών. Τα λέμε σύντομα.

Σάββατο 3 Αυγούστου 2019

Πώς να χωρίσετε ένα σύνολο σε υποσύνολα; Για να γίνει αυτό, πρέπει να εισαγάγετε μια νέα μονάδα μέτρησης που υπάρχει σε ορισμένα από τα στοιχεία του επιλεγμένου συνόλου. Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Μακάρι να έχουμε πολλά ΕΝΑπου αποτελείται από τέσσερα άτομα. Αυτό το σύνολο σχηματίζεται με βάση το «άνθρωποι». Ας υποδηλώσουμε τα στοιχεία αυτού του συνόλου με το γράμμα ΕΝΑ, ο δείκτης με έναν αριθμό θα υποδεικνύει τον σειριακό αριθμό κάθε ατόμου σε αυτό το σετ. Ας εισαγάγουμε μια νέα μονάδα μέτρησης «φύλο» και ας τη συμβολίσουμε με το γράμμα σι. Δεδομένου ότι τα σεξουαλικά χαρακτηριστικά είναι εγγενή σε όλους τους ανθρώπους, πολλαπλασιάζουμε κάθε στοιχείο του συνόλου ΕΝΑμε βάση το φύλο σι. Παρατηρήστε ότι το σύνολο των «ανθρώπων» μας έχει πλέον γίνει ένα σύνολο «ανθρώπων με χαρακτηριστικά φύλου». Μετά από αυτό μπορούμε να χωρίσουμε τα σεξουαλικά χαρακτηριστικά σε αρσενικά bmκαι γυναικεία bwσεξουαλικά χαρακτηριστικά. Τώρα μπορούμε να εφαρμόσουμε ένα μαθηματικό φίλτρο: επιλέγουμε ένα από αυτά τα σεξουαλικά χαρακτηριστικά, ανεξάρτητα από το - αρσενικό ή θηλυκό. Αν κάποιος το έχει, τότε το πολλαπλασιάζουμε με ένα, αν δεν υπάρχει τέτοιο σημάδι, το πολλαπλασιάζουμε με το μηδέν. Και μετά χρησιμοποιούμε κανονικά σχολικά μαθηματικά. Δείτε τι έγινε.

Μετά τον πολλαπλασιασμό, τη μείωση και την αναδιάταξη, καταλήξαμε σε δύο υποσύνολα: το υποσύνολο των ανδρών Bmκαι ένα υποσύνολο γυναικών Bw. Οι μαθηματικοί συλλογίζονται περίπου με τον ίδιο τρόπο όταν εφαρμόζουν τη θεωρία συνόλων στην πράξη. Αλλά δεν μας λένε τις λεπτομέρειες, αλλά μας δίνουν το τελικό αποτέλεσμα - «πολλοί άνθρωποι αποτελούνται από ένα υποσύνολο ανδρών και ένα υποσύνολο γυναικών». Φυσικά, μπορεί να έχετε μια ερώτηση: πόσο σωστά έχουν εφαρμοστεί τα μαθηματικά στους μετασχηματισμούς που περιγράφονται παραπάνω; Τολμώ να σας διαβεβαιώσω ότι, στην ουσία, οι μετασχηματισμοί έγιναν σωστά· αρκεί να γνωρίζουμε τη μαθηματική βάση της αριθμητικής, της άλγεβρας Boole και άλλων κλάδων των μαθηματικών. Τι είναι? Κάποια άλλη φορά θα σας πω για αυτό.

Όσον αφορά τα υπερσύνολα, μπορείτε να συνδυάσετε δύο σετ σε ένα υπερσύνολο επιλέγοντας τη μονάδα μέτρησης που υπάρχει στα στοιχεία αυτών των δύο συνόλων.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι μονάδες μέτρησης και τα συνηθισμένα μαθηματικά κάνουν τη θεωρία συνόλων λείψανο του παρελθόντος. Ένα σημάδι ότι δεν πάνε όλα καλά με τη θεωρία συνόλων είναι ότι οι μαθηματικοί έχουν βρει τη δική τους γλώσσα και σημειογραφία για τη θεωρία συνόλων. Οι μαθηματικοί ενήργησαν όπως κάποτε οι σαμάνοι. Μόνο οι σαμάνοι ξέρουν πώς να εφαρμόζουν «σωστά» τη «γνώση» τους. Μας διδάσκουν αυτή τη «γνώση».

Εν κατακλείδι, θέλω να σας δείξω πώς χειραγωγούν οι μαθηματικοί.

Δευτέρα 7 Ιανουαρίου 2019

Τον πέμπτο αιώνα π.Χ., ο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος Ζήνων από την Ελαία διατύπωσε τις περίφημες απορίας του, η πιο γνωστή από τις οποίες είναι η απορία «Αχιλλέας και η Χελώνα». Να πώς ακούγεται:

Ας πούμε ότι ο Αχιλλέας τρέχει δέκα φορές πιο γρήγορα από τη χελώνα και είναι χίλια βήματα πίσω της. Κατά τη διάρκεια του χρόνου που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει αυτή την απόσταση, η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Όταν ο Αχιλλέας τρέχει εκατό βήματα, η χελώνα σέρνεται άλλα δέκα βήματα, και ούτω καθεξής. Η διαδικασία θα συνεχιστεί επ’ άπειρον, ο Αχιλλέας δεν θα προλάβει ποτέ τη χελώνα.

Αυτό το σκεπτικό έγινε ένα λογικό σοκ για όλες τις επόμενες γενιές. Αριστοτέλης, Διογένης, Καντ, Χέγκελ, Χίλμπερτ... Όλοι θεωρούσαν την απορία του Ζήνωνα με τον ένα ή τον άλλο τρόπο. Το σοκ ήταν τόσο δυνατό που " ... οι συζητήσεις συνεχίζονται μέχρι σήμερα· η επιστημονική κοινότητα δεν έχει καταφέρει ακόμη να καταλήξει σε κοινή γνώμη για την ουσία των παραδόξων ... μαθηματική ανάλυση, θεωρία συνόλων, νέες φυσικές και φιλοσοφικές προσεγγίσεις συμμετείχαν στη μελέτη του ζητήματος ; κανένα από αυτά δεν έγινε μια γενικά αποδεκτή λύση στο πρόβλημα..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Όλοι καταλαβαίνουν ότι τους κοροϊδεύουν, αλλά κανείς δεν καταλαβαίνει σε τι συνίσταται η εξαπάτηση.

Από μαθηματική άποψη, ο Ζήνων στην απορία του έδειξε ξεκάθαρα τη μετάβαση από την ποσότητα στο . Αυτή η μετάβαση συνεπάγεται εφαρμογή αντί για μόνιμες. Από όσο καταλαβαίνω, η μαθηματική συσκευή για τη χρήση μεταβλητών μονάδων μέτρησης είτε δεν έχει ακόμη αναπτυχθεί, είτε δεν έχει εφαρμοστεί στην απορία του Ζήνωνα. Η εφαρμογή της συνηθισμένης λογικής μας οδηγεί σε μια παγίδα. Εμείς, λόγω της αδράνειας της σκέψης, εφαρμόζουμε σταθερές μονάδες χρόνου στην αμοιβαία τιμή. Από φυσική άποψη, αυτό μοιάζει να επιβραδύνεται ο χρόνος μέχρι να σταματήσει τελείως τη στιγμή που ο Αχιλλέας προλαβαίνει τη χελώνα. Αν ο χρόνος σταματήσει, ο Αχιλλέας δεν μπορεί πλέον να ξεπεράσει τη χελώνα.

Αν γυρίσουμε τη συνηθισμένη μας λογική, όλα μπαίνουν στη θέση τους. Ο Αχιλλέας τρέχει με σταθερή ταχύτητα. Κάθε επόμενο τμήμα της διαδρομής του είναι δέκα φορές μικρότερο από το προηγούμενο. Αντίστοιχα, ο χρόνος που δαπανάται για την αντιμετώπισή του είναι δέκα φορές μικρότερος από τον προηγούμενο. Εάν εφαρμόσουμε την έννοια του «άπειρου» σε αυτήν την κατάσταση, τότε θα ήταν σωστό να πούμε «Ο Αχιλλέας θα προλάβει τη χελώνα απείρως γρήγορα».

Πώς να αποφύγετε αυτή τη λογική παγίδα; Παραμείνετε σε σταθερές μονάδες χρόνου και μην μεταβείτε σε αντίστροφες μονάδες. Στη γλώσσα του Ζήνωνα μοιάζει με αυτό:

Στον χρόνο που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει χίλια βήματα, η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Στο επόμενο χρονικό διάστημα ίσο με το πρώτο, ο Αχιλλέας θα τρέξει άλλα χίλια βήματα και η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα. Τώρα ο Αχιλλέας είναι οκτακόσια βήματα μπροστά από τη χελώνα.

Αυτή η προσέγγιση περιγράφει επαρκώς την πραγματικότητα χωρίς λογικά παράδοξα. Αλλά αυτό δεν είναι μια πλήρης λύση στο πρόβλημα. Η δήλωση του Αϊνστάιν για το ακαταμάχητο της ταχύτητας του φωτός μοιάζει πολύ με την απορία του Ζήνωνα «Ο Αχιλλέας και η Χελώνα». Πρέπει ακόμα να μελετήσουμε, να ξανασκεφτούμε και να λύσουμε αυτό το πρόβλημα. Και η λύση πρέπει να αναζητηθεί όχι σε απείρως μεγάλους αριθμούς, αλλά σε μονάδες μέτρησης.

Μια άλλη ενδιαφέρουσα απορία του Ζήνωνα λέει για ένα ιπτάμενο βέλος:

Ένα ιπτάμενο βέλος είναι ακίνητο, αφού σε κάθε στιγμή του χρόνου είναι σε ηρεμία, και αφού βρίσκεται σε ηρεμία σε κάθε στιγμή του χρόνου, είναι πάντα σε ηρεμία.

Σε αυτήν την απορία, το λογικό παράδοξο ξεπερνιέται πολύ απλά - αρκεί να διευκρινίσουμε ότι σε κάθε στιγμή ένα ιπτάμενο βέλος βρίσκεται σε ηρεμία σε διαφορετικά σημεία του χώρου, που στην πραγματικότητα είναι κίνηση. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ένα άλλο σημείο. Από μια φωτογραφία ενός αυτοκινήτου στο δρόμο είναι αδύνατο να προσδιοριστεί ούτε το γεγονός της κίνησής του ούτε η απόσταση από αυτό. Για να προσδιορίσετε αν ένα αυτοκίνητο κινείται, χρειάζεστε δύο φωτογραφίες που τραβήχτηκαν από το ίδιο σημείο σε διαφορετικά χρονικά σημεία, αλλά δεν μπορείτε να προσδιορίσετε την απόσταση από αυτές. Για να προσδιορίσετε την απόσταση από ένα αυτοκίνητο, χρειάζεστε δύο φωτογραφίες από διαφορετικά σημεία του χώρου σε μια χρονική στιγμή, αλλά από αυτές δεν μπορείτε να προσδιορίσετε το γεγονός της κίνησης (φυσικά, χρειάζεστε επιπλέον δεδομένα για υπολογισμούς, η τριγωνομετρία θα σας βοηθήσει ). Αυτό στο οποίο θέλω να επιστήσω ιδιαίτερη προσοχή είναι ότι δύο σημεία στο χρόνο και δύο σημεία στο χώρο είναι διαφορετικά πράγματα που δεν πρέπει να συγχέονται, γιατί παρέχουν διαφορετικές ευκαιρίες για έρευνα.

Τετάρτη 4 Ιουλίου 2018

Σας έχω ήδη πει ότι με τη βοήθεια του οποίου οι σαμάνοι προσπαθούν να ταξινομήσουν την "" πραγματικότητα. Πώς το κάνουν αυτό; Πώς συμβαίνει στην πραγματικότητα ο σχηματισμός ενός συνόλου;

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στον ορισμό ενός συνόλου: «μια συλλογή διαφορετικών στοιχείων, που συλλαμβάνεται ως ένα ενιαίο σύνολο». Τώρα αισθανθείτε τη διαφορά μεταξύ δύο φράσεων: "νοητό ως σύνολο" και "νοητό ως σύνολο". Η πρώτη φράση είναι τελικό αποτέλεσμα, ένα μάτσο. Η δεύτερη φράση είναι μια προκαταρκτική προετοιμασία για το σχηματισμό ενός πλήθους. Σε αυτό το στάδιο, η πραγματικότητα χωρίζεται σε επιμέρους στοιχεία (το «σύνολο»), από τα οποία στη συνέχεια θα σχηματιστεί ένα πλήθος (το «ενιαίο σύνολο»). Ταυτόχρονα, ο παράγοντας που καθιστά δυνατό τον συνδυασμό του «όλου» σε ένα «ενιαίο σύνολο» παρακολουθείται προσεκτικά, διαφορετικά οι σαμάνοι δεν θα πετύχουν. Άλλωστε, οι σαμάνοι γνωρίζουν εκ των προτέρων τι ακριβώς σετ θέλουν να μας δείξουν.

Θα σας δείξω τη διαδικασία με ένα παράδειγμα. Επιλέγουμε το "κόκκινο στερεό σε ένα σπυράκι" - αυτό είναι το "σύνολο". Ταυτόχρονα, βλέπουμε ότι αυτά τα πράγματα είναι με τόξο, και υπάρχουν χωρίς τόξο. Μετά από αυτό, επιλέγουμε μέρος του "όλου" και σχηματίζουμε ένα σύνολο "με φιόγκο". Έτσι παίρνουν την τροφή τους οι σαμάνοι συνδέοντας τη θεωρία των συνόλων τους με την πραγματικότητα.

Τώρα ας κάνουμε ένα μικρό κόλπο. Ας πάρουμε το «συμπαγές με ένα σπυράκι με φιόγκο» και ας συνδυάσουμε αυτά τα «ολόκληρα» ανάλογα με το χρώμα, επιλέγοντας τα κόκκινα στοιχεία. Πήραμε πολύ «κόκκινο». Τώρα το τελευταίο ερώτημα: τα σετ που προκύπτουν "με φιόγκο" και "κόκκινο" είναι το ίδιο σετ ή δύο διαφορετικά σετ; Μόνο οι σαμάνοι γνωρίζουν την απάντηση. Πιο συγκεκριμένα, οι ίδιοι δεν ξέρουν τίποτα, αλλά όπως λένε, έτσι θα είναι.

Αυτό το απλό παράδειγμα δείχνει ότι η θεωρία συνόλων είναι εντελώς άχρηστη όταν πρόκειται για την πραγματικότητα. Ποιο είναι το μυστικό; Σχηματίσαμε ένα σετ από "κόκκινο συμπαγές με σπυράκι και φιόγκο". Ο σχηματισμός έγινε σε τέσσερις διαφορετικές μονάδες μέτρησης: χρώμα (κόκκινο), αντοχή (συμπαγές), τραχύτητα (σπυράκι), διακόσμηση (με φιόγκο). Μόνο ένα σύνολο μονάδων μέτρησης μας επιτρέπει να περιγράψουμε επαρκώς πραγματικά αντικείμενα στη γλώσσα των μαθηματικών. Έτσι φαίνεται.

Το γράμμα "a" με διαφορετικούς δείκτες υποδηλώνει διαφορετικές μονάδες μέτρησης. Οι μονάδες μέτρησης με τις οποίες διακρίνεται το «σύνολο» στο προκαταρκτικό στάδιο επισημαίνονται σε αγκύλες. Η μονάδα μέτρησης με την οποία σχηματίζεται το σετ βγαίνει από αγκύλες. Η τελευταία γραμμή δείχνει το τελικό αποτέλεσμα - ένα στοιχείο του σετ. Όπως μπορείτε να δείτε, αν χρησιμοποιήσουμε μονάδες μέτρησης για να σχηματίσουμε ένα σύνολο, τότε το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από τη σειρά των ενεργειών μας. Και αυτό είναι μαθηματικά, και όχι ο χορός των σαμάνων με τα ντέφια. Οι σαμάνοι μπορούν «διαισθητικά» να καταλήξουν στο ίδιο αποτέλεσμα, υποστηρίζοντας ότι είναι «προφανές», επειδή οι μονάδες μέτρησης δεν αποτελούν μέρος του «επιστημονικού» τους οπλοστασίου.

Χρησιμοποιώντας μονάδες μέτρησης, είναι πολύ εύκολο να χωρίσετε ένα σετ ή να συνδυάσετε πολλά σετ σε ένα υπερσύνολο. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στην άλγεβρα αυτής της διαδικασίας.

Σάββατο 30 Ιουνίου 2018

Εάν οι μαθηματικοί δεν μπορούν να αναγάγουν μια έννοια σε άλλες έννοιες, τότε δεν καταλαβαίνουν τίποτα από τα μαθηματικά. Απαντώ: σε τι διαφέρουν τα στοιχεία ενός συνόλου από τα στοιχεία ενός άλλου συνόλου; Η απάντηση είναι πολύ απλή: αριθμοί και μονάδες μέτρησης.

Σήμερα, όλα όσα δεν παίρνουμε ανήκουν σε κάποιο σύνολο (όπως μας διαβεβαιώνουν οι μαθηματικοί). Παρεμπιπτόντως, είδες στον καθρέφτη στο μέτωπό σου μια λίστα με εκείνα τα σύνολα στα οποία ανήκεις; Και δεν έχω δει τέτοια λίστα. Θα πω περισσότερα - κανένα πράγμα στην πραγματικότητα δεν έχει μια ετικέτα με μια λίστα με τα σύνολα στα οποία ανήκει αυτό το πράγμα. Τα σετ είναι όλα εφευρέσεις των σαμάνων. Πώς το κάνουν; Ας δούμε λίγο βαθύτερα την ιστορία και ας δούμε πώς έμοιαζαν τα στοιχεία του σετ προτού τα πάρουν στα σετ τους οι μαθηματικοί σαμάνοι.

Πριν από πολύ καιρό, όταν κανείς δεν είχε ακούσει ποτέ για τα μαθηματικά, και μόνο τα δέντρα και ο Κρόνος είχαν δαχτυλίδια, τεράστια κοπάδια από άγρια ​​στοιχεία συνόλων περιπλανιόταν στα φυσικά πεδία (εξάλλου, οι σαμάνοι δεν είχαν εφεύρει ακόμη μαθηματικά πεδία). Κάπως έτσι έμοιαζαν.

Ναι, μην εκπλαγείτε, από την άποψη των μαθηματικών, όλα τα στοιχεία των συνόλων μοιάζουν περισσότερο με αχινούς- από ένα σημείο, όπως οι βελόνες, οι μονάδες μέτρησης προεξέχουν προς όλες τις κατευθύνσεις. Για όσους, σας υπενθυμίζω ότι οποιαδήποτε μονάδα μέτρησης μπορεί να αναπαρασταθεί γεωμετρικά ως τμήμα αυθαίρετου μήκους και ένας αριθμός ως σημείο. Γεωμετρικά, οποιαδήποτε ποσότητα μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια δέσμη τμημάτων που προεξέχουν σε διαφορετικές κατευθύνσεις από ένα σημείο. Αυτό το σημείο είναι το σημείο μηδέν. Δεν θα ζωγραφίσω αυτό το κομμάτι γεωμετρικής τέχνης (χωρίς έμπνευση), αλλά μπορείτε εύκολα να το φανταστείτε.

Ποιες μονάδες μέτρησης αποτελούν στοιχείο ενός συνόλου; Όλα τα είδη των πραγμάτων που περιγράφουν ένα δεδομένο στοιχείο από διαφορετικές οπτικές γωνίες. Αυτές είναι αρχαίες μονάδες μέτρησης που χρησιμοποιούσαν οι πρόγονοί μας και τις οποίες όλοι έχουν ξεχάσει εδώ και καιρό. Αυτό και σύγχρονες μονάδεςμετρήσεις που χρησιμοποιούμε τώρα. Αυτές είναι επίσης άγνωστες σε εμάς μονάδες μέτρησης, τις οποίες θα καταλήξουν οι απόγονοί μας και τις οποίες θα χρησιμοποιήσουν για να περιγράψουν την πραγματικότητα.

Τακτοποιήσαμε τη γεωμετρία - το προτεινόμενο μοντέλο των στοιχείων του συνόλου έχει μια σαφή γεωμετρική αναπαράσταση. Τι γίνεται με τη φυσική; Οι μονάδες μέτρησης είναι η άμεση σύνδεση μεταξύ των μαθηματικών και της φυσικής. Εάν οι σαμάνοι δεν αναγνωρίζουν τις μονάδες μέτρησης ως ένα πλήρες στοιχείο των μαθηματικών θεωριών, αυτό είναι το πρόβλημά τους. Προσωπικά δεν μπορώ να φανταστώ την πραγματική επιστήμη των μαθηματικών χωρίς μονάδες μέτρησης. Αυτός είναι ο λόγος που στην αρχή της ιστορίας για τη θεωρία συνόλων μίλησα ότι βρισκόταν στη Λίθινη Εποχή.

Αλλά ας προχωρήσουμε στο πιο ενδιαφέρον πράγμα - την άλγεβρα των στοιχείων των συνόλων. Αλγεβρικά, οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου είναι γινόμενο (το αποτέλεσμα πολλαπλασιασμού) διαφορετικών μεγεθών.Μοιάζει με αυτό.

Δεν χρησιμοποίησα εσκεμμένα τις συμβάσεις της θεωρίας συνόλων, αφού εξετάζουμε ένα στοιχείο ενός συνόλου στο φυσικό του περιβάλλον πριν από την εμφάνιση της θεωρίας συνόλων. Κάθε ζεύγος γραμμάτων σε παρένθεση δηλώνει μια ξεχωριστή ποσότητα, που αποτελείται από έναν αριθμό που υποδεικνύεται με το γράμμα " n"και η μονάδα μέτρησης που υποδεικνύεται με το γράμμα" ένα". Οι δείκτες δίπλα στα γράμματα υποδεικνύουν ότι οι αριθμοί και οι μονάδες μέτρησης είναι διαφορετικοί. Ένα στοιχείο του συνόλου μπορεί να αποτελείται από έναν άπειρο αριθμό ποσοτήτων (πόσο εμείς και οι απόγονοί μας έχουμε αρκετή φαντασία). Κάθε παρένθεση απεικονίζεται γεωμετρικά ως ένα ξεχωριστό τμήμα Στο παράδειγμα με τον αχινό ένα στήριγμα είναι μια βελόνα.

Πώς οι σαμάνοι σχηματίζουν σύνολα από διαφορετικά στοιχεία; Μάλιστα, με μονάδες μέτρησης ή με αριθμούς. Μη καταλαβαίνοντας τίποτα για τα μαθηματικά, παίρνουν διαφορετικούς αχινούς και τους εξετάζουν προσεκτικά αναζητώντας αυτή τη μοναδική βελόνα, κατά μήκος της οποίας σχηματίζουν ένα σύνολο. Εάν υπάρχει μια τέτοια βελόνα, τότε αυτό το στοιχείο ανήκει στο σετ· εάν δεν υπάρχει τέτοια βελόνα, τότε αυτό το στοιχείο δεν είναι από αυτό το σετ. Οι σαμάνοι μας λένε μύθους για τις διαδικασίες σκέψης και το σύνολο.

Όπως ίσως έχετε μαντέψει, το ίδιο στοιχείο μπορεί να ανήκει σε πολύ διαφορετικά σύνολα. Στη συνέχεια θα σας δείξω πώς σχηματίζονται σύνολα, υποσύνολα και άλλες σαμανικές ανοησίες. Όπως μπορείτε να δείτε, "δεν μπορούν να υπάρχουν δύο πανομοιότυπα στοιχεία σε ένα σύνολο", αλλά εάν υπάρχουν πανομοιότυπα στοιχεία σε ένα σύνολο, ένα τέτοιο σύνολο ονομάζεται "πολυσύνολο". Τα λογικά όντα δεν θα καταλάβουν ποτέ μια τέτοια παράλογη λογική. Αυτό είναι το επίπεδο των παπαγάλων που μιλάνε και των εκπαιδευμένων πιθήκων, που δεν έχουν νοημοσύνη από τη λέξη «εντελώς». Οι μαθηματικοί λειτουργούν ως απλοί εκπαιδευτές, κηρύττοντας μας τις παράλογες ιδέες τους.

Μια φορά κι έναν καιρό, οι μηχανικοί που κατασκεύασαν τη γέφυρα βρίσκονταν σε μια βάρκα κάτω από τη γέφυρα ενώ δοκίμαζαν τη γέφυρα. Αν η γέφυρα κατέρρεε, ο μέτριος μηχανικός πέθαινε κάτω από τα ερείπια του δημιουργήματός του. Αν η γέφυρα μπορούσε να αντέξει το φορτίο, ο ταλαντούχος μηχανικός κατασκεύασε άλλες γέφυρες.

Ανεξάρτητα από το πόσο κρύβονται οι μαθηματικοί πίσω από τη φράση «να με νου, είμαι στο σπίτι», ή μάλλον, «τα μαθηματικά μελετούν αφηρημένες έννοιες», υπάρχει ένας ομφάλιος λώρος που τις συνδέει άρρηκτα με την πραγματικότητα. Αυτός ο ομφάλιος λώρος είναι χρήματα. Εφαρμόσιμος μαθηματική θεωρίασετ στους ίδιους τους μαθηματικούς.

Σπουδάσαμε πολύ καλά μαθηματικά και τώρα καθόμαστε στο ταμείο και βγάζουμε μισθούς. Έρχεται λοιπόν σε εμάς ένας μαθηματικός για τα λεφτά του. Του μετράμε όλο το ποσό και το απλώνουμε στο τραπέζι μας σε διαφορετικούς σωρούς, στους οποίους βάζουμε λογαριασμούς της ίδιας ονομαστικής αξίας. Στη συνέχεια, παίρνουμε έναν λογαριασμό από κάθε σωρό και δίνουμε στον μαθηματικό το «μαθηματικό σύνολο του μισθού» του. Ας εξηγήσουμε στον μαθηματικό ότι θα λάβει τους υπόλοιπους λογαριασμούς μόνο όταν αποδείξει ότι ένα σύνολο χωρίς πανομοιότυπα στοιχεία δεν είναι ίσο με ένα σύνολο με πανομοιότυπα στοιχεία. Εδώ αρχίζει η διασκέδαση.

Πρώτα απ 'όλα, θα λειτουργήσει η λογική των βουλευτών: "Αυτό μπορεί να εφαρμοστεί σε άλλους, αλλά όχι σε μένα!" Τότε θα αρχίσουν να μας καθησυχάζουν ότι τα χαρτονομίσματα της ίδιας ονομαστικής αξίας έχουν διαφορετικούς αριθμούς λογαριασμών, πράγμα που σημαίνει ότι δεν μπορούν να θεωρηθούν τα ίδια στοιχεία. Εντάξει, ας μετρήσουμε τους μισθούς σε νομίσματα - δεν υπάρχουν αριθμοί στα νομίσματα. Εδώ ο μαθηματικός θα αρχίσει να θυμάται μανιωδώς τη φυσική: διαφορετικά νομίσματα έχουν διαφορετικές ποσότητες βρωμιάς, η κρυσταλλική δομή και η διάταξη των ατόμων είναι μοναδική για κάθε νόμισμα...

Και τώρα έχω την πιο ενδιαφέρουσα ερώτηση: πού είναι η γραμμή πέρα ​​από την οποία τα στοιχεία ενός πολυσυνόλου μετατρέπονται σε στοιχεία ενός συνόλου και το αντίστροφο; Δεν υπάρχει τέτοια γραμμή - όλα αποφασίζονται από σαμάνους, η επιστήμη δεν είναι καν κοντά στο να ψεύδεται εδώ.

Κοιτάξτε εδώ. Επιλέγουμε γήπεδα ποδοσφαίρου με τον ίδιο χώρο γηπέδου. Οι περιοχές των πεδίων είναι οι ίδιες - που σημαίνει ότι έχουμε ένα πολυσύνολο. Αλλά αν δούμε τα ονόματα των ίδιων γηπέδων, παίρνουμε πολλά, γιατί τα ονόματα είναι διαφορετικά. Όπως μπορείτε να δείτε, το ίδιο σύνολο στοιχείων είναι και σύνολο και πολυσύνολο. Ποιο είναι σωστό? Και εδώ ο μαθηματικός-σαμάνος-αιχμηρός βγάζει έναν άσσο ατού από το μανίκι του και αρχίζει να μας λέει είτε για σετ είτε για πολυσύνολο. Σε κάθε περίπτωση, θα μας πείσει ότι έχει δίκιο.

Για να κατανοήσουμε πώς λειτουργούν οι σύγχρονοι σαμάνοι με τη θεωρία συνόλων, συνδέοντάς την με την πραγματικότητα, αρκεί να απαντήσουμε σε μια ερώτηση: πώς διαφέρουν τα στοιχεία ενός συνόλου από τα στοιχεία ενός άλλου συνόλου; Θα σας δείξω, χωρίς κανένα «νοητό ως μη ενιαίο σύνολο» ή «μη νοητό ως ενιαίο σύνολο».

Το δημοτικό σχολείο φτάνει στο τέλος του και σύντομα το παιδί θα μπει στον προηγμένο κόσμο των μαθηματικών. Αλλά ήδη κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου ο μαθητής έρχεται αντιμέτωπος με τις δυσκολίες της επιστήμης. Όταν εκτελεί μια απλή εργασία, το παιδί μπερδεύεται και χάνεται, κάτι που τελικά οδηγεί σε αρνητικό βαθμό για τη δουλειά που έχει κάνει. Για να αποφύγετε τέτοια προβλήματα, κατά την επίλυση παραδειγμάτων, πρέπει να μπορείτε να πλοηγηθείτε με τη σειρά με την οποία πρέπει να λύσετε το παράδειγμα. Έχοντας κατανείμει τις ενέργειες λανθασμένα, το παιδί δεν ολοκληρώνει σωστά την εργασία. Το άρθρο αποκαλύπτει τους βασικούς κανόνες για την επίλυση παραδειγμάτων που περιέχουν ολόκληρο το φάσμα των μαθηματικών υπολογισμών, συμπεριλαμβανομένων των παρενθέσεων. Διαδικασία στα μαθηματικά Δ ́ τάξης κανόνες και παραδείγματα.

Πριν ολοκληρώσετε την εργασία, ζητήστε από το παιδί σας να αριθμήσει τις ενέργειες που πρόκειται να κάνει. Εάν έχετε οποιεσδήποτε δυσκολίες, βοηθήστε.

Μερικοί κανόνες που πρέπει να ακολουθήσετε κατά την επίλυση παραδειγμάτων χωρίς αγκύλες:

Εάν μια εργασία απαιτεί την εκτέλεση πολλών ενεργειών, πρέπει πρώτα να εκτελέσετε διαίρεση ή πολλαπλασιασμό και μετά . Όλες οι ενέργειες εκτελούνται καθώς προχωρά το γράμμα. Διαφορετικά, το αποτέλεσμα της απόφασης δεν θα είναι σωστό.

Εάν στο παράδειγμα πρέπει να εκτελέσετε, το κάνουμε με τη σειρά, από αριστερά προς τα δεξιά.

27-5+15=37 (Όταν λύνουμε το παράδειγμα, καθοδηγούμαστε από τον κανόνα. Πρώτα κάνουμε αφαίρεση και μετά πρόσθεση).

Διδάξτε στο παιδί σας να σχεδιάζει και να αριθμεί πάντα τις ενέργειες που εκτελούνται.

Οι απαντήσεις σε κάθε λυμένη ενέργεια γράφονται πάνω από το παράδειγμα. Αυτό θα διευκολύνει πολύ το παιδί να πλοηγηθεί στις ενέργειες.

Ας εξετάσουμε μια άλλη επιλογή όπου είναι απαραίτητο να διανεμηθούν οι ενέργειες με τη σειρά:

Όπως μπορείτε να δείτε, κατά την επίλυση, ακολουθείται ο κανόνας: πρώτα αναζητούμε το προϊόν και μετά αναζητούμε τη διαφορά.

Αυτό απλά παραδείγματα, κατά την επίλυση των οποίων απαιτείται προσοχή. Πολλά παιδιά μένουν έκπληκτα όταν βλέπουν μια εργασία που δεν περιέχει μόνο πολλαπλασιασμό και διαίρεση, αλλά και παρενθέσεις. Ένας μαθητής που δεν γνωρίζει τη διαδικασία εκτέλεσης ενεργειών έχει ερωτήσεις που τον εμποδίζουν να ολοκληρώσει την εργασία.

Όπως αναφέρεται στον κανόνα, πρώτα βρίσκουμε το προϊόν ή το πηλίκο και μετά όλα τα άλλα. Υπάρχουν όμως παρενθέσεις! Τι να κάνετε σε αυτή την περίπτωση;

Επίλυση παραδειγμάτων με αγκύλες

Ας δούμε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα:

  • Κάνοντας αυτής της ανάθεσης, βρείτε πρώτα την τιμή της έκφρασης που περικλείεται σε παρένθεση.
  • Θα πρέπει να ξεκινήσετε με πολλαπλασιασμό και μετά πρόσθεση.
  • Αφού λυθεί η έκφραση σε αγκύλες, προχωράμε σε ενέργειες εκτός αυτών.
  • Σύμφωνα με τον εσωτερικό κανονισμό, το επόμενο βήμα είναι ο πολλαπλασιασμός.
  • Το τελικό στάδιο θα είναι.

Όπως μπορούμε να δούμε στο οπτικό παράδειγμα, όλες οι ενέργειες είναι αριθμημένες. Για να ενισχύσετε το θέμα, καλέστε το παιδί σας να λύσει μόνο του πολλά παραδείγματα:

Η σειρά με την οποία πρέπει να υπολογιστεί η τιμή της έκφρασης έχει ήδη τακτοποιηθεί. Το παιδί θα πρέπει μόνο να εκτελέσει την απόφαση απευθείας.

Ας περιπλέκουμε το έργο. Αφήστε το παιδί να βρει μόνο του το νόημα των εκφράσεων.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

Διδάξτε στο παιδί σας να λύνει όλες τις εργασίες σε πρόχειρη μορφή. Σε αυτή την περίπτωση, ο μαθητής θα έχει την ευκαιρία να διορθώσει μια λανθασμένη απόφαση ή blots. Δεν επιτρέπονται διορθώσεις στο βιβλίο εργασίας. Ολοκληρώνοντας εργασίες μόνα τους, τα παιδιά βλέπουν τα λάθη τους.

Οι γονείς με τη σειρά τους θα πρέπει να προσέχουν τα λάθη, να βοηθούν το παιδί να τα κατανοήσει και να τα διορθώσει. Δεν πρέπει να υπερφορτώνετε τον εγκέφαλο ενός μαθητή με μεγάλες ποσότητες εργασιών. Με τέτοιες ενέργειες θα αποθαρρύνετε την επιθυμία του παιδιού για γνώση. Θα πρέπει να υπάρχει μια αίσθηση αναλογίας σε όλα.

Κάνε ένα διάλειμμα. Το παιδί πρέπει να αποσπάται η προσοχή του και να κάνει ένα διάλειμμα από τα μαθήματα. Το κύριο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι ότι δεν έχουν όλοι μαθηματικό μυαλό. Ίσως το παιδί σας μεγαλώσει και γίνει διάσημος φιλόσοφος.

Και κατά τον υπολογισμό των τιμών των εκφράσεων, οι ενέργειες εκτελούνται με μια συγκεκριμένη σειρά, με άλλα λόγια, πρέπει να παρατηρήσετε σειρά ενεργειών.

Σε αυτό το άρθρο, θα καταλάβουμε ποιες ενέργειες πρέπει να εκτελεστούν πρώτα και ποιες μετά από αυτές. Ας ξεκινήσουμε με τις απλούστερες περιπτώσεις, όταν η παράσταση περιέχει μόνο αριθμούς ή μεταβλητές που συνδέονται με πρόσημα συν, πλην, πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Στη συνέχεια, θα εξηγήσουμε ποια σειρά ενεργειών πρέπει να ακολουθούνται στις εκφράσεις με αγκύλες. Τέλος, ας δούμε τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες σε εκφράσεις που περιέχουν δυνάμεις, ρίζες και άλλες συναρτήσεις.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Πρώτα πολλαπλασιασμός και διαίρεση, μετά πρόσθεση και αφαίρεση

Το σχολείο δίνει τα εξής ένας κανόνας που καθορίζει τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες σε εκφράσεις χωρίς παρένθεση:

  • οι ενέργειες εκτελούνται με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά,
  • Επιπλέον, εκτελούνται πρώτα ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση και μετά η πρόσθεση και η αφαίρεση.

Ο αναφερόμενος κανόνας γίνεται αντιληπτός αρκετά φυσιολογικά. Η εκτέλεση ενεργειών με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά εξηγείται από το γεγονός ότι συνηθίζεται να κρατάμε αρχεία από αριστερά προς τα δεξιά. Και το γεγονός ότι ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση εκτελούνται πριν από την πρόσθεση και την αφαίρεση εξηγείται από το νόημα που φέρουν αυτές οι ενέργειες.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα για το πώς εφαρμόζεται αυτός ο κανόνας. Για παράδειγμα, θα πάρουμε τις απλούστερες αριθμητικές εκφράσεις, ώστε να μην μας αποσπούν οι υπολογισμοί, αλλά να επικεντρωθούμε συγκεκριμένα στη σειρά των ενεργειών.

Παράδειγμα.

Ακολουθήστε τα βήματα 7−3+6.

Λύση.

Η αρχική έκφραση δεν περιέχει παρενθέσεις και δεν περιέχει πολλαπλασιασμό ή διαίρεση. Επομένως, θα πρέπει να εκτελέσουμε όλες τις ενέργειες με τη σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, δηλαδή, πρώτα αφαιρούμε 3 από το 7, παίρνουμε 4, μετά από το οποίο προσθέτουμε 6 στην προκύπτουσα διαφορά των 4, παίρνουμε 10.

Συνοπτικά, η λύση μπορεί να γραφτεί ως εξής: 7−3+6=4+6=10.

Απάντηση:

7−3+6=10 .

Παράδειγμα.

Να αναφέρετε τη σειρά των ενεργειών στην έκφραση 6:2·8:3.

Λύση.

Για να απαντήσουμε στην ερώτηση του προβλήματος, ας στραφούμε στον κανόνα που υποδεικνύει τη σειρά εκτέλεσης των ενεργειών σε εκφράσεις χωρίς παρένθεση. Η αρχική έκφραση περιέχει μόνο τις πράξεις πολλαπλασιασμού και διαίρεσης και σύμφωνα με τον κανόνα, πρέπει να εκτελούνται με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά.

Απάντηση:

Αρχικά Διαιρούμε το 6 με το 2, πολλαπλασιάζουμε αυτό το πηλίκο με το 8 και τέλος διαιρούμε το αποτέλεσμα με το 3.

Παράδειγμα.

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 17−5·6:3−2+4:2.

Λύση.

Αρχικά, ας προσδιορίσουμε με ποια σειρά πρέπει να εκτελούνται οι ενέργειες στην αρχική έκφραση. Περιέχει και πολλαπλασιασμό και διαίρεση και πρόσθεση και αφαίρεση. Πρώτα, από αριστερά προς τα δεξιά, πρέπει να εκτελέσετε πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Έτσι πολλαπλασιάζουμε το 5 με το 6, παίρνουμε 30, διαιρούμε αυτόν τον αριθμό με το 3, παίρνουμε 10. Τώρα διαιρούμε το 4 με το 2, παίρνουμε 2. Αντικαθιστούμε την τιμή που βρέθηκε 10 στην αρχική έκφραση αντί για 5·6:3, και αντί για 4:2 - την τιμή 2, έχουμε 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2.

Η παράσταση που προκύπτει δεν περιέχει πλέον πολλαπλασιασμό και διαίρεση, επομένως μένει να εκτελέσουμε τις υπόλοιπες ενέργειες με τη σειρά από αριστερά προς τα δεξιά: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

Απάντηση:

17−5·6:3−2+4:2=7.

Αρχικά, για να μην συγχέεται η σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες κατά τον υπολογισμό της τιμής μιας παράστασης, είναι βολικό να τοποθετούνται αριθμοί πάνω από τα σημάδια ενέργειας που αντιστοιχούν στη σειρά με την οποία εκτελούνται. Για το προηγούμενο παράδειγμα θα μοιάζει με αυτό: .

Η ίδια σειρά πράξεων - πρώτα πολλαπλασιασμός και διαίρεση, μετά πρόσθεση και αφαίρεση - πρέπει να ακολουθείται κατά την εργασία με εκφράσεις γραμμάτων.

Δράσεις του πρώτου και του δεύτερου σταδίου

Σε ορισμένα εγχειρίδια μαθηματικών υπάρχει μια διαίρεση των αριθμητικών πράξεων σε πράξεις του πρώτου και του δεύτερου σταδίου. Ας το καταλάβουμε αυτό.

Ορισμός.

Δράσεις του πρώτου σταδίουλέγονται πρόσθεση και αφαίρεση και λέγονται πολλαπλασιασμός και διαίρεση δράσεις δεύτερου σταδίου.

Με αυτούς τους όρους, ο κανόνας της προηγούμενης παραγράφου, ο οποίος καθορίζει τη σειρά εκτέλεσης των ενεργειών, θα γραφτεί ως εξής: εάν η έκφραση δεν περιέχει παρενθέσεις, τότε με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, πρώτα οι ενέργειες του δεύτερου σταδίου ( εκτελούνται πολλαπλασιασμός και διαίρεση) και στη συνέχεια οι ενέργειες του πρώτου σταδίου (πρόσθεση και αφαίρεση).

Σειρά αριθμητικών πράξεων σε εκφράσεις με παρένθεση

Οι εκφράσεις συχνά περιέχουν παρενθέσεις για να υποδείξουν τη σειρά με την οποία πρέπει να εκτελεστούν οι ενέργειες. Σε αυτήν την περίπτωση ένας κανόνας που καθορίζει τη σειρά εκτέλεσης των ενεργειών σε εκφράσεις με παρένθεση, διατυπώνεται ως εξής: πρώτα εκτελούνται οι ενέργειες σε αγκύλες, ενώ ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση γίνονται επίσης με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, μετά πρόσθεση και αφαίρεση.

Έτσι, οι εκφράσεις σε αγκύλες θεωρούνται ως συστατικά της αρχικής έκφρασης και διατηρούν τη σειρά των ενεργειών που είναι ήδη γνωστές σε εμάς. Ας δούμε τις λύσεις στα παραδείγματα για μεγαλύτερη σαφήνεια.

Παράδειγμα.

Ακολουθήστε αυτά τα βήματα 5+(7−2·3)·(6−4):2.

Λύση.

Η έκφραση περιέχει παρενθέσεις, οπότε ας εκτελέσουμε πρώτα τις ενέργειες στις εκφράσεις που περικλείονται σε αυτές τις παρενθέσεις. Ας ξεκινήσουμε με την έκφραση 7−2·3. Σε αυτό πρέπει πρώτα να εκτελέσετε τον πολλαπλασιασμό, και μόνο μετά την αφαίρεση, έχουμε 7−2·3=7−6=1. Ας προχωρήσουμε στη δεύτερη έκφραση στις αγκύλες 6−4. Υπάρχει μόνο μία ενέργεια εδώ - αφαίρεση, την εκτελούμε 6−4 = 2.

Αντικαθιστούμε τις λαμβανόμενες τιμές στην αρχική έκφραση: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2. Στην παράσταση που προκύπτει, εκτελούμε πρώτα πολλαπλασιασμό και διαίρεση από αριστερά προς τα δεξιά, μετά αφαίρεση, παίρνουμε 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6. Σε αυτό το σημείο ολοκληρώνονται όλες οι ενέργειες, τηρήσαμε την ακόλουθη σειρά υλοποίησης τους: 5+(7−2·3)·(6−4):2.

Ας γράψουμε μια σύντομη λύση: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6.

Απάντηση:

5+(7−2·3)·(6−4):2=6.

Συμβαίνει μια έκφραση να περιέχει παρενθέσεις μέσα σε παρενθέσεις. Δεν χρειάζεται να το φοβάστε αυτό, απλά πρέπει να εφαρμόζετε με συνέπεια τον δηλωμένο κανόνα για την εκτέλεση ενεργειών σε εκφράσεις με αγκύλες. Ας δείξουμε τη λύση του παραδείγματος.

Παράδειγμα.

Εκτελέστε τις πράξεις στην παράσταση 4+(3+1+4·(2+3)) .

Λύση.

Αυτή είναι μια έκφραση με αγκύλες, που σημαίνει ότι η εκτέλεση των ενεργειών πρέπει να ξεκινά με την έκφραση σε αγκύλες, δηλαδή με 3+1+4·(2+3) . Αυτή η έκφραση περιέχει επίσης παρενθέσεις, επομένως πρέπει πρώτα να εκτελέσετε τις ενέργειες σε αυτές. Ας κάνουμε αυτό: 2+3=5. Αντικαθιστώντας την τιμή που βρέθηκε, παίρνουμε 3+1+4·5. Σε αυτή την παράσταση, κάνουμε πρώτα πολλαπλασιασμό, μετά πρόσθεση, έχουμε 3+1+4·5=3+1+20=24. Η αρχική τιμή, αφού αντικαταστήσει αυτή την τιμή, παίρνει τη μορφή 4+24, και το μόνο που μένει είναι να ολοκληρώσουμε τις ενέργειες: 4+24=28.

Απάντηση:

4+(3+1+4·(2+3))=28.

Γενικά, όταν μια έκφραση περιέχει παρενθέσεις μέσα σε παρενθέσεις, είναι συχνά βολικό να εκτελούνται ενέργειες ξεκινώντας από τις εσωτερικές παρενθέσεις και μεταβαίνοντας στις εξωτερικές.

Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι πρέπει να εκτελέσουμε τις ενέργειες στην παράσταση (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Αρχικά, εκτελούμε τις ενέργειες στις εσωτερικές αγκύλες, αφού 4−6:2=4−3=1, μετά από αυτό η αρχική έκφραση θα πάρει τη μορφή (4+(4+1)−1)−1. Εκτελούμε πάλι την ενέργεια στις εσωτερικές αγκύλες, αφού 4+1=5, καταλήγουμε στην παρακάτω παράσταση (4+5−1)−1. Και πάλι εκτελούμε τις ενέργειες σε αγκύλες: 4+5−1=8, και φτάνουμε στη διαφορά 8−1, που είναι ίση με 7.