Αυτό το διδακτικό υλικό είναι μόνο για αναφορά και σχετίζεται με ένα ευρύ φάσμα θεμάτων. Το άρθρο παρέχει μια επισκόπηση των γραφημάτων των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων και εξετάζει το πιο σημαντικό ζήτημα - πώς να φτιάξετε ένα γράφημα σωστά και ΓΡΗΓΟΡΑ. Κατά τη διάρκεια της μελέτης ανώτερων μαθηματικών χωρίς γνώση των γραφημάτων των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων, θα είναι δύσκολο, επομένως είναι πολύ σημαντικό να θυμάστε πώς μοιάζουν τα γραφήματα μιας παραβολής, υπερβολής, ημιτόνου, συνημίτονο κ.λπ., και να θυμάστε μερικά των σημασιών των συναρτήσεων. Θα μιλήσουμε επίσης για ορισμένες ιδιότητες των κύριων συναρτήσεων.

Δεν διεκδικώ την πληρότητα και την επιστημονική πληρότητα των υλικών· η έμφαση θα δοθεί, πρώτα απ 'όλα, στην πράξη - εκείνα τα πράγματα με τα οποία συναντά κανείς κυριολεκτικά σε κάθε βήμα, σε οποιοδήποτε θέμα ανώτερων μαθηματικών. Διαγράμματα για ανδρείκελα; Θα μπορούσε να πει κανείς.

Λόγω πολλών αιτημάτων αναγνωστών πίνακα περιεχομένων με δυνατότητα κλικ:

Επιπλέον, υπάρχει μια εξαιρετικά σύντομη περίληψη για το θέμα
– κατακτήστε 16 τύπους γραφημάτων μελετώντας ΕΞΙ σελίδες!

Σοβαρά, έξι, ακόμα κι εγώ εξεπλάγην. Αυτή η σύνοψη περιέχει βελτιωμένα γραφικά και είναι διαθέσιμη με ονομαστική χρέωση· μπορείτε να δείτε μια δοκιμαστική έκδοση. Είναι βολικό να εκτυπώσετε το αρχείο έτσι ώστε τα γραφήματα να είναι πάντα διαθέσιμα. Ευχαριστούμε για την υποστήριξη του έργου!

Και ας ξεκινήσουμε αμέσως:

Πώς να κατασκευάσετε σωστά τους άξονες συντεταγμένων;

Στην πράξη, τα τεστ ολοκληρώνονται σχεδόν πάντα από τους μαθητές σε ξεχωριστά τετράδια, γραμμωμένα σε τετράγωνο. Γιατί χρειάζεστε καρό σημάδια; Μετά από όλα, η εργασία, κατ 'αρχήν, μπορεί να γίνει σε φύλλα Α4. Και το κλουβί είναι απαραίτητο μόνο για υψηλής ποιότητας και ακριβή σχεδιασμό σχεδίων.

Οποιοδήποτε σχέδιο ενός γραφήματος συνάρτησης ξεκινά με άξονες συντεταγμένων.

Τα σχέδια μπορεί να είναι δισδιάστατα ή τρισδιάστατα.

Ας εξετάσουμε πρώτα τη δισδιάστατη περίπτωση Καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων:

1) Σχεδιάστε άξονες συντεταγμένων. Ο άξονας ονομάζεται άξονας x , και ο άξονας είναι άξονας y . Προσπαθούμε πάντα να τα σχεδιάζουμε τακτοποιημένο και όχι στραβό. Τα βέλη δεν πρέπει επίσης να μοιάζουν με τα γένια του Papa Carlo.

2) Υπογράφουμε τους άξονες με μεγάλα γράμματα «Χ» και «Υ». Μην ξεχάσετε να επισημάνετε τα τσεκούρια.

3) Ρυθμίστε την κλίμακα κατά μήκος των αξόνων: σχεδιάστε ένα μηδέν και δύο ένα. Όταν κάνετε ένα σχέδιο, η πιο βολική και συχνά χρησιμοποιούμενη κλίμακα είναι: 1 μονάδα = 2 κελιά (σχέδιο στα αριστερά) - αν είναι δυνατόν, τηρήστε την. Ωστόσο, κατά καιρούς συμβαίνει ότι το σχέδιο δεν ταιριάζει στο φύλλο του σημειωματάριου - τότε μειώνουμε την κλίμακα: 1 μονάδα = 1 κελί (σχέδιο στα δεξιά). Είναι σπάνιο, αλλά συμβαίνει ότι η κλίμακα του σχεδίου πρέπει να μειωθεί (ή να αυξηθεί) ακόμη περισσότερο

ΔΕΝ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ για «πολυβόλο» …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….Γιατί το επίπεδο συντεταγμένων δεν είναι μνημείο του Ντεκάρτ και ο μαθητής δεν είναι περιστέρι. Βάζουμε μηδένΚαι δύο μονάδες κατά μήκος των αξόνων. Ωρες ωρες αντίμονάδες, είναι βολικό να "μαρκάρετε" άλλες τιμές, για παράδειγμα, "δύο" στον άξονα της τετμημένης και "τρία" στον άξονα τεταγμένων - και αυτό το σύστημα (0, 2 και 3) θα ορίζει επίσης μοναδικά το πλέγμα συντεταγμένων.

Είναι καλύτερο να εκτιμήσετε τις εκτιμώμενες διαστάσεις του σχεδίου ΠΡΙΝ την κατασκευή του σχεδίου. Έτσι, για παράδειγμα, εάν η εργασία απαιτεί τη σχεδίαση ενός τριγώνου με κορυφές , , , τότε είναι απολύτως σαφές ότι η δημοφιλής κλίμακα 1 μονάδα = 2 κελιά δεν θα λειτουργήσει. Γιατί; Ας δούμε το σημείο - εδώ θα πρέπει να μετρήσετε δεκαπέντε εκατοστά κάτω και, προφανώς, το σχέδιο δεν θα χωρέσει (ή μόλις χωράει) σε ένα φύλλο σημειωματάριου. Επομένως, επιλέγουμε αμέσως μια μικρότερη κλίμακα: 1 μονάδα = 1 κελί.

Παρεμπιπτόντως, περίπου εκατοστά και κελιά σημειωματάριου. Είναι αλήθεια ότι 30 κελιά σημειωματάριων περιέχουν 15 εκατοστά; Για διασκέδαση, μετρήστε 15 εκατοστά στο σημειωματάριό σας με ένα χάρακα. Στην ΕΣΣΔ, αυτό μπορεί να ίσχυε... Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι αν μετρήσετε αυτά τα ίδια εκατοστά οριζόντια και κάθετα, τα αποτελέσματα (στα κελιά) θα είναι διαφορετικά! Αυστηρά μιλώντας, τα μοντέρνα σημειωματάρια δεν είναι καρό, αλλά ορθογώνια. Αυτό μπορεί να φαίνεται ανοησία, αλλά το να σχεδιάζετε, για παράδειγμα, έναν κύκλο με πυξίδα σε τέτοιες καταστάσεις είναι πολύ άβολο. Για να είμαι ειλικρινής, σε τέτοιες στιγμές αρχίζεις να σκέφτεσαι την ορθότητα του συντρόφου Στάλιν, ο οποίος στάλθηκε σε στρατόπεδα για χάκερ στην παραγωγή, για να μην αναφέρουμε την εγχώρια αυτοκινητοβιομηχανία, την πτώση αεροπλάνων ή την έκρηξη σταθμών παραγωγής ενέργειας.

Μιλώντας για ποιότητα, ή μια σύντομη σύσταση για χαρτικά. Σήμερα, τα περισσότερα από τα σημειωματάρια που πωλούνται είναι, τουλάχιστον, χάλια. Για τον λόγο ότι βρέχονται και όχι μόνο από στυλό gel, αλλά και από στυλό! Εξοικονομούν χρήματα στα χαρτιά. Για την ολοκλήρωση των δοκιμών, συνιστώ να χρησιμοποιήσετε σημειωματάρια από το Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 φύλλα, τετράγωνο) ή το "Pyaterochka", αν και είναι πιο ακριβό. Συνιστάται να επιλέξετε ένα στυλό τζελ· ακόμη και το φθηνότερο κινέζικο ξαναγέμισμα gel είναι πολύ καλύτερο από ένα στυλό, το οποίο είτε μουντζουρώνει είτε σκίζει το χαρτί. Το μόνο «ανταγωνιστικό» στυλό που θυμάμαι είναι το Erich Krause. Γράφει καθαρά, όμορφα και με συνέπεια – είτε με γεμάτο πυρήνα είτε με σχεδόν άδειο.

Επιπροσθέτως: Το όραμα ενός ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων μέσα από τα μάτια της αναλυτικής γεωμετρίας καλύπτεται στο άρθρο Γραμμική (μη) εξάρτηση διανυσμάτων. Βάση διανυσμάτων, λεπτομερείς πληροφορίες σχετικά με τα τέταρτα συντεταγμένων μπορείτε να βρείτε στη δεύτερη παράγραφο του μαθήματος Γραμμικές ανισότητες.

τρισδιάστατη θήκη

Είναι σχεδόν το ίδιο εδώ.

1) Σχεδιάστε άξονες συντεταγμένων. Πρότυπο: άξονας εφαρμογή – κατευθυνόμενος προς τα πάνω, άξονας – κατευθυνόμενος προς τα δεξιά, άξονας – κατευθυνόμενος προς τα κάτω προς τα αριστερά αυστηράσε γωνία 45 μοιρών.

2) Σημειώστε τα τσεκούρια.

3) Ρυθμίστε την κλίμακα κατά μήκος των αξόνων. Η κλίμακα κατά μήκος του άξονα είναι δύο φορές μικρότερη από την κλίμακα κατά μήκος των άλλων αξόνων. Σημειώστε επίσης ότι στο σωστό σχέδιο χρησιμοποίησα μια μη τυπική "εγκοπή" κατά μήκος του άξονα (Αυτή η δυνατότητα έχει ήδη αναφερθεί παραπάνω). Από την άποψή μου, αυτό είναι πιο ακριβές, πιο γρήγορο και πιο ευχάριστο αισθητικά - δεν χρειάζεται να αναζητήσετε τη μέση του κυττάρου κάτω από ένα μικροσκόπιο και να "γλύψετε" μια μονάδα κοντά στην αρχή των συντεταγμένων.

Όταν κάνετε ένα τρισδιάστατο σχέδιο, πάλι, δώστε προτεραιότητα στην κλίμακα
1 μονάδα = 2 κελιά (σχέδιο στα αριστερά).

Σε τι χρησιμεύουν όλοι αυτοί οι κανόνες; Οι κανόνες είναι φτιαγμένοι για να παραβιάζονται. Αυτό θα κάνω τώρα. Το γεγονός είναι ότι τα επόμενα σχέδια του άρθρου θα γίνουν από εμένα στο Excel και οι άξονες συντεταγμένων θα φαίνονται λανθασμένοι από την άποψη του σωστού σχεδιασμού. Θα μπορούσα να σχεδιάσω όλα τα γραφήματα με το χέρι, αλλά είναι πραγματικά τρομακτικό να τα σχεδιάζω, καθώς το Excel είναι απρόθυμο να τα σχεδιάσει με μεγαλύτερη ακρίβεια.

Γραφήματα και βασικές ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων

Μια γραμμική συνάρτηση δίνεται από την εξίσωση. Η γραφική παράσταση των γραμμικών συναρτήσεων είναι απευθείας. Για να κατασκευάσουμε μια ευθεία γραμμή, αρκεί να γνωρίζουμε δύο σημεία.

Παράδειγμα 1

Κατασκευάστε ένα γράφημα της συνάρτησης. Ας βρούμε δύο σημεία. Συμφέρει να επιλέξετε το μηδέν ως ένα από τα σημεία.

Αν τότε

Ας πάρουμε ένα άλλο σημείο, για παράδειγμα, 1.

Αν τότε

Κατά την ολοκλήρωση των εργασιών, οι συντεταγμένες των σημείων συνήθως συνοψίζονται σε έναν πίνακα:

Και οι ίδιες οι τιμές υπολογίζονται προφορικά ή σε προσχέδιο, αριθμομηχανή.

Βρέθηκαν δύο σημεία, ας κάνουμε ένα σχέδιο:

Όταν ετοιμάζουμε ένα σχέδιο, υπογράφουμε πάντα τα γραφικά.

Θα ήταν χρήσιμο να υπενθυμίσουμε ειδικές περιπτώσεις μιας γραμμικής συνάρτησης:

Προσέξτε πώς έβαλα τις υπογραφές, οι υπογραφές δεν πρέπει να επιτρέπουν αποκλίσεις κατά τη μελέτη του σχεδίου. Σε αυτήν την περίπτωση, ήταν εξαιρετικά ανεπιθύμητο να βάλετε μια υπογραφή δίπλα στο σημείο τομής των γραμμών ή κάτω δεξιά μεταξύ των γραφημάτων.

1) Μια γραμμική συνάρτηση της μορφής () ονομάζεται ευθεία αναλογικότητα. Για παράδειγμα, . Ένα γράφημα ευθείας αναλογικότητας διέρχεται πάντα από την αρχή. Έτσι, η κατασκευή μιας ευθείας γραμμής απλοποιείται - αρκεί να βρείτε μόνο ένα σημείο.

2) Μια εξίσωση της μορφής καθορίζει μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα, συγκεκριμένα, ο ίδιος ο άξονας δίνεται από την εξίσωση. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης σχεδιάζεται αμέσως, χωρίς να βρεθούν σημεία. Δηλαδή, η καταχώρηση πρέπει να γίνει κατανοητή ως εξής: «το y είναι πάντα ίσο με –4, για οποιαδήποτε τιμή του x».

3) Μια εξίσωση της μορφής καθορίζει μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα, συγκεκριμένα, ο ίδιος ο άξονας δίνεται από την εξίσωση. Το γράφημα της συνάρτησης απεικονίζεται επίσης αμέσως. Η καταχώριση πρέπει να γίνει κατανοητή ως εξής: «το x είναι πάντα, για οποιαδήποτε τιμή του y, ίση με 1».

Κάποιοι θα ρωτήσουν, γιατί να θυμάστε την 6η δημοτικού;! Έτσι είναι, ίσως να είναι έτσι, αλλά με τα χρόνια της εξάσκησης συνάντησα μια καλή ντουζίνα μαθητές που είχαν μπερδευτεί με το έργο της κατασκευής ενός γραφήματος όπως ή.

Η κατασκευή μιας ευθείας γραμμής είναι η πιο κοινή ενέργεια κατά τη δημιουργία σχεδίων.

Η ευθεία γραμμή συζητείται αναλυτικά στο μάθημα της αναλυτικής γεωμετρίας και οι ενδιαφερόμενοι μπορούν να ανατρέξουν στο άρθρο Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο.

Γράφημα τετραγωνικής, κυβική συνάρτηση, γράφημα πολυωνύμου

Παραβολή. Γράφημα τετραγωνικής συνάρτησης () αντιπροσωπεύει μια παραβολή. Σκεφτείτε την περίφημη περίπτωση:

Ας θυμηθούμε μερικές ιδιότητες της συνάρτησης.

Άρα, η λύση της εξίσωσής μας: – σε αυτό το σημείο βρίσκεται η κορυφή της παραβολής. Γιατί συμβαίνει αυτό, μπορούμε να βρούμε στο θεωρητικό άρθρο για την παράγωγο και το μάθημα για τα άκρα της συνάρτησης. Στο μεταξύ, ας υπολογίσουμε την αντίστοιχη τιμή "Y":

Έτσι, η κορυφή βρίσκεται στο σημείο

Τώρα βρίσκουμε άλλα σημεία, ενώ χρησιμοποιούμε ευθαρσώς τη συμμετρία της παραβολής. Πρέπει να σημειωθεί ότι η συνάρτηση – δεν είναι καν, αλλά, παρόλα αυτά, κανείς δεν ακύρωσε τη συμμετρία της παραβολής.

Με ποια σειρά θα βρεθούν οι υπόλοιποι βαθμοί, νομίζω ότι θα φανεί από τον τελικό πίνακα:

Αυτός ο αλγόριθμος κατασκευής μπορεί μεταφορικά να ονομαστεί "σαΐτα" ή η αρχή "μπρος-πίσω" με την Anfisa Chekhova.

Ας κάνουμε το σχέδιο:

Από τα γραφήματα που εξετάστηκαν, ένα άλλο χρήσιμο χαρακτηριστικό έρχεται στο μυαλό:

Για μια τετραγωνική συνάρτηση () ισχύει το εξής:

Αν , τότε οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω.

Αν , τότε οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα κάτω.

Σε βάθος γνώση για την καμπύλη μπορείτε να αποκτήσετε στο μάθημα Υπερβολή και παραβολή.

Μια κυβική παραβολή δίνεται από τη συνάρτηση. Εδώ είναι ένα οικείο σχέδιο από το σχολείο:

Ας απαριθμήσουμε τις κύριες ιδιότητες της συνάρτησης

Γράφημα μιας συνάρτησης

Αντιπροσωπεύει έναν από τους κλάδους μιας παραβολής. Ας κάνουμε το σχέδιο:

Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης:

Σε αυτή την περίπτωση, ο άξονας είναι κάθετη ασύμπτωτη για τη γραφική παράσταση μιας υπερβολής στο .

Θα ήταν ΧΑΔΡΟ λάθος εάν, κατά την κατάρτιση ενός σχεδίου, αφήσετε απρόσεκτα το γράφημα να τέμνεται με μια ασύμπτωτη.

Επίσης τα μονόπλευρα όρια μας λένε ότι η υπερβολή δεν περιορίζεται από πάνωΚαι δεν περιορίζεται από κάτω.

Ας εξετάσουμε τη συνάρτηση στο άπειρο: , δηλαδή, αν αρχίσουμε να κινούμαστε κατά μήκος του άξονα προς τα αριστερά (ή δεξιά) προς το άπειρο, τότε τα «παιχνίδια» θα είναι σε ένα ομαλό βήμα απείρως κοντάπλησιάζει το μηδέν και, κατά συνέπεια, τους κλάδους της υπερβολής απείρως κοντάπλησιάζει τον άξονα.

Άρα ο άξονας είναι οριζόντια ασύμπτωτη για τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, αν το "x" τείνει στο συν ή πλην άπειρο.

Η συνάρτηση είναι Περιττός, και, επομένως, η υπερβολή είναι συμμετρική ως προς την προέλευση. Αυτό το γεγονός είναι προφανές από το σχέδιο, επιπλέον, επαληθεύεται εύκολα αναλυτικά: .

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης της μορφής () αναπαριστά δύο κλάδους μιας υπερβολής.

Αν , τότε η υπερβολή βρίσκεται στο πρώτο και το τρίτο τέταρτο συντεταγμένων(βλ. εικόνα παραπάνω).

Αν , τότε η υπερβολή βρίσκεται στο δεύτερο και τέταρτο τέταρτο συντεταγμένων.

Το υποδεικνυόμενο μοτίβο της παραμονής της υπερβολής είναι εύκολο να αναλυθεί από την άποψη των γεωμετρικών μετασχηματισμών των γραφημάτων.

Παράδειγμα 3

Κατασκευάστε τον δεξιό κλάδο της υπερβολής

Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο κατασκευής κατά σημείο και είναι πλεονεκτικό να επιλέγουμε τις τιμές έτσι ώστε να διαιρούνται με ένα σύνολο:

Ας κάνουμε το σχέδιο:

Δεν θα είναι δύσκολο να κατασκευάσουμε τον αριστερό κλάδο της υπερβολής· εδώ θα βοηθήσει η παραδοξότητα της συνάρτησης. Χοντρικά στον πίνακα σημειακής κατασκευής προσθέτουμε νοερά ένα μείον σε κάθε αριθμό, βάζουμε τους αντίστοιχους πόντους και σχεδιάζουμε τον δεύτερο κλάδο.

Λεπτομερείς γεωμετρικές πληροφορίες σχετικά με τη γραμμή που εξετάζεται μπορείτε να βρείτε στο άρθρο Υπερβολή και παραβολή.

Γράφημα μιας εκθετικής συνάρτησης

Σε αυτή την ενότητα, θα εξετάσω αμέσως την εκθετική συνάρτηση, αφού σε προβλήματα ανώτερων μαθηματικών στο 95% των περιπτώσεων εμφανίζεται η εκθετική.

Να σας υπενθυμίσω ότι αυτός είναι ένας παράλογος αριθμός: , αυτό θα απαιτηθεί κατά την κατασκευή ενός γραφήματος, το οποίο, στην πραγματικότητα, θα κατασκευάσω χωρίς τελετή. Μάλλον αρκούν τρία σημεία:

Ας αφήσουμε μόνο το γράφημα της συνάρτησης προς το παρόν, περισσότερα για αυτό αργότερα.

Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης:

Τα γραφήματα συναρτήσεων, κ.λπ., φαίνονται ουσιαστικά ίδια.

Πρέπει να πω ότι η δεύτερη περίπτωση εμφανίζεται λιγότερο συχνά στην πράξη, αλλά συμβαίνει, γι' αυτό θεώρησα απαραίτητο να το συμπεριλάβω σε αυτό το άρθρο.

Γράφημα λογαριθμικής συνάρτησης

Θεωρήστε μια συνάρτηση με φυσικό λογάριθμο.
Ας κάνουμε ένα σχέδιο σημείο προς σημείο:

Εάν έχετε ξεχάσει τι είναι ο λογάριθμος, ανατρέξτε στα σχολικά σας εγχειρίδια.

Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης:

Τομέα:

Εύρος τιμών: .

Η λειτουργία δεν περιορίζεται από πάνω: , αν και αργά, αλλά ο κλάδος του λογαρίθμου ανεβαίνει στο άπειρο.
Ας εξετάσουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης κοντά στο μηδέν στα δεξιά: . Άρα ο άξονας είναι κάθετη ασύμπτωτη για τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης καθώς το "x" τείνει προς το μηδέν από τα δεξιά.

Είναι επιτακτική ανάγκη να γνωρίζουμε και να θυμόμαστε την τυπική τιμή του λογαρίθμου: .

Κατ 'αρχήν, η γραφική παράσταση του λογάριθμου προς τη βάση φαίνεται ίδια: , , (δεκαδικός λογάριθμος στη βάση 10) κ.λπ. Επιπλέον, όσο μεγαλύτερη είναι η βάση, τόσο πιο επίπεδο θα είναι το γράφημα.

Δεν θα εξετάσουμε την περίπτωση· δεν θυμάμαι την τελευταία φορά που έφτιαξα ένα γράφημα με τέτοια βάση. Και ο λογάριθμος φαίνεται να είναι ένας πολύ σπάνιος επισκέπτης σε προβλήματα ανώτερων μαθηματικών.

Στο τέλος αυτής της παραγράφου θα πω ένα ακόμη γεγονός: Εκθετική συνάρτηση και λογαριθμική συνάρτηση– πρόκειται για δύο αμοιβαία αντίστροφες συναρτήσεις. Αν κοιτάξετε προσεκτικά το γράφημα του λογάριθμου, μπορείτε να δείτε ότι αυτός είναι ο ίδιος εκθέτης, απλώς βρίσκεται λίγο διαφορετικά.

Γραφήματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Από πού αρχίζει το τριγωνομετρικό μαρτύριο στο σχολείο; Σωστά. Από ημίτονο

Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση

Αυτή η γραμμή ονομάζεται ημιτονοειδής.

Να σας υπενθυμίσω ότι το «πι» είναι ένας παράλογος αριθμός: , και στην τριγωνομετρία κάνει τα μάτια σας να θαμπώνουν.

Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης:

Αυτή η λειτουργία είναι περιοδικόςμε περίοδο. Τι σημαίνει? Ας δούμε το τμήμα. Αριστερά και δεξιά του, το ίδιο ακριβώς κομμάτι του γραφήματος επαναλαμβάνεται ατελείωτα.

Τομέα: , δηλαδή, για οποιαδήποτε τιμή του «x» υπάρχει ημιτονική τιμή.

Εύρος τιμών: . Η συνάρτηση είναι περιορισμένος: , δηλαδή, όλα τα «παιχνίδια» βρίσκονται αυστηρά στο τμήμα .
Αυτό δεν συμβαίνει: ή, πιο συγκεκριμένα, συμβαίνει, αλλά αυτές οι εξισώσεις δεν έχουν λύση.

Παρουσίαση και μάθημα με θέμα:
"Υπερβολία, ορισμός, ιδιότητα μιας συνάρτησης"

Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τις κριτικές, τις επιθυμίες σας. Όλα τα υλικά έχουν ελεγχθεί από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.

Εκπαιδευτικά βοηθήματα και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα Integral για την τάξη 8
Ηλεκτρονικοί εκπαιδευτικοί πίνακες για τη γεωμετρία. 7-9 τάξεις
Ηλεκτρονικοί εκπαιδευτικοί πίνακες για την άλγεβρα. 7-9 τάξεις"

Υπερβολία, ορισμός

Παιδιά, σήμερα θα μελετήσουμε μια νέα συνάρτηση και θα φτιάξουμε το γράφημά της.
Θεωρήστε τη συνάρτηση: $y=\frac(k)(x)$, $k≠0$.
Συντελεστής $k$ – μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή εκτός από το μηδέν. Για απλότητα, ας ξεκινήσουμε την ανάλυση της συνάρτησης από την περίπτωση όταν $k=1$.
Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση: $y=\frac(1)(x)$.
Όπως πάντα, ας ξεκινήσουμε φτιάχνοντας ένα τραπέζι. Είναι αλήθεια ότι αυτή τη φορά θα πρέπει να χωρίσουμε το τραπέζι μας σε δύο μέρη. Ας εξετάσουμε την περίπτωση όταν $x>0$.
Πρέπει να σημειώσουμε έξι σημεία με συντεταγμένες $(x;y)$, που δίνονται στον πίνακα και να τα συνδέσουμε με μια γραμμή.
Τώρα ας δούμε τι παίρνουμε για το αρνητικό x. Ας κάνουμε το ίδιο, μαρκάρουμε τα σημεία και τα συνδέσουμε με μια γραμμή. Έχουμε φτιάξει δύο κομμάτια του γραφήματος, ας τα συνδυάσουμε.

Γράφημα της συνάρτησης $y=\frac(1)(x)$.
Το γράφημα μιας τέτοιας συνάρτησης ονομάζεται «Υπερβολή».

Ιδιότητες μιας υπερβολής

Συμφωνώ, το γράφημα φαίνεται πολύ ωραίο και είναι συμμετρικό ως προς την προέλευση. Εάν σχεδιάσουμε οποιαδήποτε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των συντεταγμένων από το πρώτο έως το τρίτο τέταρτο, τότε θα τέμνει τη γραφική παράσταση μας σε δύο σημεία που θα είναι εξίσου μακριά από την αρχή των συντεταγμένων.
Μια υπερβολή αποτελείται από δύο μέρη, συμμετρικά ως προς την προέλευση. Αυτά τα μέρη ονομάζονται κλάδοι της υπερβολής.
Οι κλάδοι μιας υπερβολής προς μία κατεύθυνση (αριστερά και δεξιά) τείνουν όλο και περισσότερο προς τον άξονα x, αλλά ποτέ δεν τον διασχίζουν. Στην άλλη κατεύθυνση (πάνω και κάτω) τείνουν προς τον άξονα τεταγμένων, αλλά και δεν θα τον διασχίσουν ποτέ (αφού είναι αδύνατο να διαιρεθεί με το μηδέν). Σε τέτοιες περιπτώσεις, οι αντίστοιχες γραμμές ονομάζονται ασύμπτωτες. Η γραφική παράσταση μιας υπερβολής έχει δύο ασύμπτωτες: τον άξονα x και τον άξονα y.

Μια υπερβολή δεν έχει μόνο κέντρο συμμετρίας, αλλά και άξονα συμμετρίας. Παιδιά, χαράξτε τη γραμμή $y=x$ και δείτε πώς χωρίζεται το γράφημα μας. Μπορείτε να παρατηρήσετε ότι αν το τμήμα που βρίσκεται πάνω από την ευθεία $y=x$ υπερτίθεται στο τμήμα που βρίσκεται από κάτω, τότε θα συμπίπτουν, αυτό σημαίνει συμμετρία ως προς την ευθεία.

Έχουμε σχεδιάσει τη συνάρτηση $y=\frac(1)(x)$, αλλά αυτό που θα συμβεί στη γενική περίπτωση είναι $y=\frac(k)(x)$, $k>0$.
Τα γραφήματα δεν θα διαφέρουν ουσιαστικά. Το αποτέλεσμα θα είναι μια υπερβολή με τους ίδιους κλάδους, μόνο που όσο περισσότερα $k$, τόσο πιο μακριά θα αφαιρούνται οι κλάδοι από την αρχή και όσο λιγότερο $k$, τόσο πιο κοντά στην αρχή.

Για παράδειγμα, το γράφημα της συνάρτησης $y=\frac(10)(x)$ μοιάζει με αυτό. Το γράφημα έγινε «πλατύτερο» και απομακρύνθηκε από την αρχή.
Τι γίνεται όμως με το αρνητικό $k$; Το γράφημα της συνάρτησης $y=-f(x)$ είναι συμμετρικό με το γράφημα του $y=f(x)$ σε σχέση με τον άξονα x· πρέπει να το γυρίσετε ανάποδα.
Ας εκμεταλλευτούμε αυτήν την ιδιότητα και ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση $y=-\frac(1)(x)$.

Ας συνοψίσουμε τη γνώση που αποκτήθηκε.
Το γράφημα της συνάρτησης $y=\frac(k)(x)$, $k≠0$ είναι μια υπερβολή που βρίσκεται στο πρώτο και το τρίτο (δεύτερο και τέταρτο) τέταρτο συντεταγμένων, για $k>0$ ($k

Ιδιότητες της συνάρτησης $y=\frac(k)(x)$, $k>0$

1. Τομέας ορισμού: όλοι οι αριθμοί εκτός από $x=0$.
2. $y>0$ για $x>0$ και $y 3. Η συνάρτηση μειώνεται στα διαστήματα $(-∞;0)$ και $(0;+∞)$.



7. Εύρος τιμών: $(-∞;0)U(0;+∞)$.

Ιδιότητες της συνάρτησης $y=\frac(k)(x)$, $k
1. Τομέας ορισμού: όλοι οι αριθμοί εκτός από $x=0$.
2. $y>0$ για $x 0$.
3. Η συνάρτηση αυξάνεται στα διαστήματα $(-∞;0)$ και $(0;+∞)$.
4. Η λειτουργία δεν περιορίζεται ούτε πάνω ούτε κάτω.
5. Δεν υπάρχει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή.
6. Η συνάρτηση είναι συνεχής στα διαστήματα $(-∞;0)U(0;+∞)$ και έχει ασυνέχεια στο σημείο $x=0$.
7. Εύρος τιμών: $(-∞;0)U(0;+∞)$.

Η συνάρτηση Συντελεστής k μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή εκτός από k = 0. Ας εξετάσουμε πρώτα την περίπτωση όταν k = 1; οπότε θα μιλήσουμε πρώτα για τη λειτουργία.

Για να δημιουργήσουμε ένα γράφημα της συνάρτησης, θα κάνουμε το ίδιο όπως στην προηγούμενη παράγραφο: θα δώσουμε στην ανεξάρτητη μεταβλητή x πολλές συγκεκριμένες τιμές και θα υπολογίσουμε (χρησιμοποιώντας τον τύπο) τις αντίστοιχες τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής μεταβλητός u. Είναι αλήθεια ότι αυτή τη φορά είναι πιο βολικό να πραγματοποιούνται υπολογισμοί και κατασκευές σταδιακά, δίνοντας πρώτα στο επιχείρημα μόνο θετικές τιμές και στη συνέχεια μόνο αρνητικές.

Πρώτο στάδιο.Αν x = 1, τότε y = 1 (υπενθυμίζουμε ότι χρησιμοποιούμε τον τύπο).

Δεύτερη φάση.

Συνοπτικά, έχουμε συντάξει τον παρακάτω πίνακα:

Τώρα ας συνδυάσουμε τα δύο στάδια σε ένα, δηλαδή, θα φτιάξουμε ένα από τα δύο σχήματα 24 και 26 (Εικ. 27). Αυτό είναι γράφημα μιας συνάρτησηςλέγεται υπερβολή.
Ας προσπαθήσουμε να περιγράψουμε τις γεωμετρικές ιδιότητες μιας υπερβολής χρησιμοποιώντας το σχέδιο.

Πρώτα, παρατηρούμε ότι αυτή η γραμμή μοιάζει όμορφη σαν παραβολή γιατί έχει συμμετρία. Οποιαδήποτε ευθεία διέρχεται από την αρχή των συντεταγμένων Ο και βρίσκεται στην πρώτη και τρίτη γωνία συντεταγμένων τέμνει την υπερβολή σε δύο σημεία που βρίσκονται σε αυτήν την ευθεία σε αντίθετες πλευρές του σημείου Ο, αλλά σε ίσες αποστάσεις από αυτό (Εικ. 28). Αυτό είναι εγγενές, ιδίως, στα σημεία (1, 1) και (- 1, - 1),

Κλπ. Αυτό σημαίνει - Ο είναι το κέντρο συμμετρίας της υπερβολής. Λένε επίσης ότι μια υπερβολή είναι συμμετρική ως προς την προέλευση συντεταγμένες.

κατα δευτερον, βλέπουμε ότι η υπερβολή αποτελείται από δύο μέρη που είναι συμμετρικά ως προς την αρχή. ονομάζονται συνήθως κλάδοι μιας υπερβολής.

Τρίτον, παρατηρούμε ότι κάθε κλάδος της υπερβολής προς τη μία κατεύθυνση πλησιάζει όλο και πιο κοντά στον άξονα της τετμημένης και από την άλλη κατεύθυνση στον άξονα των τεταγμένων. Σε τέτοιες περιπτώσεις, οι αντίστοιχες ευθείες ονομάζονται ασύμπτωτες.

Αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης, δηλ. Η υπερβολή έχει δύο ασύμπτωτες: τον άξονα x και τον άξονα y.

Αν αναλύσετε προσεκτικά το γράφημα, μπορείτε να ανακαλύψετε μια ακόμη γεωμετρική ιδιότητα, όχι τόσο προφανή όσο οι τρεις προηγούμενες (οι μαθηματικοί συνήθως λένε αυτό: «μια πιο λεπτή ιδιότητα»). Μια υπερβολή δεν έχει μόνο κέντρο συμμετρίας, αλλά και άξονες συμμετρίας.

Στην πραγματικότητα, ας κατασκευάσουμε μια ευθεία γραμμή y = x (Εικ. 29). Τώρα κοιτάξτε: τελείες που βρίσκεται σε αντίθετες πλευρές της διεξαγόμενης ευθεία, αλλά σε ίσες αποστάσεις από αυτό. Είναι συμμετρικά σε σχέση με αυτή την ευθεία. Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για σημεία όπου, φυσικά, αυτό σημαίνει ότι η ευθεία y = x είναι ο άξονας συμμετρίας της υπερβολής (καθώς και y = -x)

Παράδειγμα 1. Βρείτε τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές της συνάρτησης α) στο τμήμα ; β) στο τμήμα [- 8, - 1].
Λύση, α) Ας κατασκευάσουμε ένα γράφημα της συνάρτησης και ας επιλέξουμε εκείνο το τμήμα της που αντιστοιχεί στις τιμές της μεταβλητής x από το τμήμα (Εικ. 30). Για το επιλεγμένο τμήμα του γραφήματος βρίσκουμε:

β) Κατασκευάστε ένα γράφημα της συνάρτησης και επιλέξτε εκείνο το τμήμα της που αντιστοιχεί στις τιμές της μεταβλητής x από τμήμα[- 8, - 1] (Εικ. 31). Για το επιλεγμένο τμήμα του γραφήματος βρίσκουμε:

Έτσι, εξετάσαμε τη συνάρτηση για την περίπτωση που k= 1. Τώρα έστω k ένας θετικός αριθμός διαφορετικός από το 1, για παράδειγμα k = 2.

Ας δούμε τη συνάρτηση και ας φτιάξουμε έναν πίνακα με τις τιμές αυτής της συνάρτησης:

Ας κατασκευάσουμε σημεία (1; 2), (2; 1), (-1; -2), (-2; -1),

στο επίπεδο συντεταγμένων (Εικ. 32). Περιγράφουν μια συγκεκριμένη γραμμή που αποτελείται από δύο κλάδους. Ας το πραγματοποιήσουμε (Εικ. 33). Όπως το γράφημα μιας συνάρτησης, αυτή η γραμμή ονομάζεται υπερβολή.

Ας εξετάσουμε τώρα την περίπτωση όταν ο κ< 0; пусть, например, k = - 1. Построим график функции (здесь k = - 1).

Στην προηγούμενη παράγραφο, σημειώσαμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = -f(x) είναι συμμετρική με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) ως προς τον άξονα x. Συγκεκριμένα, αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = - f(x) είναι συμμετρική με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) ως προς τον άξονα x. Ειδικότερα, αυτό σημαίνει ότι πρόγραμμα, είναι συμμετρικό με το γράφημα σε σχέση με τον άξονα x (Εικ. 34) Έτσι, λαμβάνουμε μια υπερβολή, οι κλάδοι της οποίας βρίσκονται στη δεύτερη και τέταρτη γωνία συντεταγμένων.

Γενικά το γράφημα της συνάρτησης είναι μια υπερβολή, οι κλάδοι της οποίας βρίσκονται στην πρώτη και τρίτη γωνία συντεταγμένων αν k > 0 (Εικ. 33), και στη δεύτερη και τέταρτη γωνία συντεταγμένων εάν k< О (рис. 34). Точка (0; 0) - центр симметрии гиперболы, оси координат - асимптоты гиперболы.

Συνήθως λέγεται ότι δύο μεγέθη x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα αν σχετίζονται με τη σχέση xy = k (όπου k είναι ένας αριθμός διαφορετικός από το 0), ή, τι είναι το ίδιο, . Για το λόγο αυτό, η συνάρτηση μερικές φορές ονομάζεται αντίστροφη αναλογικότητα (κατ' αναλογία με τη συνάρτηση y - kx, η οποία, όπως πιθανότατα γνωρίζετε,
θυμηθείτε, ονομάζεται άμεση αναλογικότητα). αριθμός k - αντίστροφος συντελεστής αναλογικότητα.

Ιδιότητες της συνάρτησης για k > 0

Περιγράφοντας τις ιδιότητες αυτής της συνάρτησης, θα βασιστούμε στο γεωμετρικό της μοντέλο - μια υπερβολή (βλ. Εικ. 33).

2. y > 0 για x>0;y<0 при х<0.

3. Η συνάρτηση μειώνεται στα διαστήματα (-°°, 0) και (0, +°°).

5. Ούτε οι μικρότερες ούτε οι μεγαλύτερες τιμές μιας συνάρτησης

Ιδιότητες της συνάρτησης στο k< 0
Περιγράφοντας τις ιδιότητες αυτής της συνάρτησης, θα βασιστούμε στα γεωμετρικά της μοντέλο- υπερβολή (βλ. Εικ. 34).

1. Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης αποτελείται από όλους τους αριθμούς εκτός από το x = 0.

2. y > 0 στο x< 0; у < 0 при х > 0.

3. Η συνάρτηση αυξάνεται στα διαστήματα (-oo, 0) και (0, +oo).

4. Η λειτουργία δεν περιορίζεται ούτε από κάτω ούτε από πάνω.

5. Η συνάρτηση δεν έχει ούτε τις μικρότερες ούτε τις μεγαλύτερες τιμές.

6. Η συνάρτηση είναι συνεχής στα διαστήματα (-oo, 0) και (0, +oo) και υφίσταται ασυνέχεια στο x = 0.

Περιεχόμενο μαθήματος σημειώσεις μαθήματοςυποστήριξη μεθόδων επιτάχυνσης παρουσίασης μαθήματος διαδραστικές τεχνολογίες Πρακτική εργασίες και ασκήσεις αυτοδιαγνωστικά εργαστήρια, προπονήσεις, περιπτώσεις, αποστολές ερωτήσεις συζήτησης εργασιών για το σπίτι ρητορικές ερωτήσεις από μαθητές εικονογραφήσεις ήχου, βίντεο κλιπ και πολυμέσαφωτογραφίες, εικόνες, γραφικά, πίνακες, διαγράμματα, χιούμορ, ανέκδοτα, αστεία, κόμικ, παραβολές, ρήσεις, σταυρόλεξα, αποσπάσματα Πρόσθετα περιλήψειςάρθρα κόλπα για την περίεργη κούνια σχολικά βιβλία βασικά και επιπλέον λεξικό όρων άλλα Βελτίωση σχολικών βιβλίων και μαθημάτωνδιόρθωση λαθών στο σχολικό βιβλίοενημέρωση ενός τμήματος σε ένα σχολικό βιβλίο, στοιχεία καινοτομίας στο μάθημα, αντικατάσταση ξεπερασμένων γνώσεων με νέες Μόνο για δασκάλους τέλεια μαθήματαημερολογιακό σχέδιο για το έτος· μεθοδολογικές συστάσεις· προγράμματα συζήτησης Ολοκληρωμένα Μαθήματα

Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Οι προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας με μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, σε νομικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικές αρχές στην επικράτεια της Ρωσικής Ομοσπονδίας - να αποκαλύψετε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

Η συνάρτηση γράφεται σε γενική μορφή ως y = ή f(x) =

y και x είναι αντιστρόφως ανάλογες ποσότητες, δηλ. όταν το ένα αυξάνεται, το άλλο μειώνεται (ελέγξτε συνδέοντας αριθμούς στη συνάρτηση)

Σε αντίθεση με την προηγούμενη συνάρτηση, στην οποία το x 2 δημιουργεί πάντα θετικές τιμές, εδώ δεν μπορούμε να πούμε ότι - = γιατί θα είναι εντελώς αντίθετοι αριθμοί. Τέτοιες συναρτήσεις ονομάζονται Περιττός.

Για παράδειγμα, ας φτιάξουμε ένα γράφημα y =

Φυσικά, το x δεν μπορεί να είναι ίσο με μηδέν (x ≠ 0)

Κλαδια δεντρουοι υπερβολές βρίσκονται στο 1ο και 3ο μέρος των συντεταγμένων.

Μπορούν ατελείωτα να πλησιάσουν τους άξονες της τετμημένης και των τεταγμένων και να μην τους φτάσουν ποτέ, ακόμα κι αν το «x» γίνει ίσο με ένα δισεκατομμύριο. Η υπερβολή θα είναι απείρως κοντά, αλλά και πάλι δεν θα τέμνεται με τους άξονες (τέτοια μαθηματική θλίψη).

Ας φτιάξουμε ένα γράφημα για το y = -

Και τώρα οι κλάδοι της υπερβολής βρίσκονται στο δεύτερο και στο 4ο τέταρτο του επιπέδου συντεταγμένων.

Ως αποτέλεσμα, μπορεί να παρατηρηθεί πλήρης συμμετρία μεταξύ όλων των κλάδων.