जोड़ के साहचर्य गुण का निरूपण कैसे करें। गुणन के साहचर्य और वितरण गुण

यह पाठ जिस विषय के लिए समर्पित है वह है "जोड़ के गुण।" इसमें, आप विशिष्ट उदाहरणों के साथ उनका परीक्षण करते हुए, जोड़ के कम्यूटेटिव और साहचर्य गुणों से परिचित होंगे। पता करें कि गणना प्रक्रिया को आसान बनाने के लिए आप उनका उपयोग कब कर सकते हैं। परीक्षण के मामले यह निर्धारित करने में मदद करेंगे कि आपने सामग्री को कितनी अच्छी तरह सीखा है।

पाठ: अतिरिक्त गुण

अभिव्यक्ति पर करीब से नज़र डालें:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

हमें इसका मूल्य खोजना होगा। हो जाए।

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

व्यंजक 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40 का परिणाम।
मुझे बताओ, क्या गणना करना सुविधाजनक था? गणना करना बहुत सुविधाजनक नहीं था। इस व्यंजक में संख्याओं को फिर से देखें। क्या उन्हें स्वैप करना संभव है ताकि गणना अधिक सुविधाजनक हो?

यदि हम संख्याओं को अलग ढंग से पुनर्व्यवस्थित करते हैं:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

व्यंजक का अंतिम परिणाम 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40 है।
हम देखते हैं कि भावों के परिणाम समान हैं।

गणना के लिए सुविधाजनक होने पर शर्तों को आपस में बदला जा सकता है, और योग का मूल्य इससे नहीं बदलेगा।

गणित में एक नियम है: जोड़ का कम्यूटेटिव कानून. यह कहता है कि योग शर्तों की पुनर्व्यवस्था से नहीं बदलता है।

चाचा फ्योडोर और शारिक ने तर्क दिया। शारिक ने अभिव्यक्ति का मूल्य पाया जैसा कि लिखा गया था, और अंकल फ्योडोर ने कहा कि वह गणना करने का एक और अधिक सुविधाजनक तरीका जानता था। क्या आपको गणना करने का अधिक सुविधाजनक तरीका दिखाई देता है?

गेंद ने व्यंजक को वैसे ही हल किया जैसा लिखा है। और अंकल फ्योडोर ने कहा कि वह उस कानून को जानता है जो आपको शर्तों को बदलने की अनुमति देता है, और संख्या 25 और 3 की अदला-बदली की।

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

हम देखते हैं कि परिणाम वही रहता है, लेकिन गणना बहुत आसान हो गई है।

निम्नलिखित भावों को देखें और उन्हें पढ़ें।

6 + (24 + 51) = 81 (6 में 24 और 51 का योग जोड़ें)
क्या गणना करने का कोई सुविधाजनक तरीका है?
हम देखते हैं कि यदि हम 6 और 24 को जोड़ते हैं, तो हमें एक गोल संख्या प्राप्त होती है। गोल संख्या में कुछ जोड़ना हमेशा आसान होता है। कोष्ठकों में संख्या 6 और 24 का योग लीजिए।
(6 + 24) + 51 = …
(संख्या 6 और 24 के योग में 51 जोड़ें)

आइए व्यंजक के मान की गणना करें और देखें कि क्या व्यंजक का मान बदल गया है?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

हम देखते हैं कि व्यंजक का मान वही रहता है।

आइए एक और उदाहरण के साथ अभ्यास करें।

(27 + 19) + 1 = 47 (संख्या 27 और 19 के योग में 1 जोड़ें)
कौन-सी संख्याएँ आसानी से इस प्रकार समूहित की जा सकती हैं कि एक सुविधाजनक तरीका प्राप्त हो?
आपने अनुमान लगाया कि ये संख्याएँ 19 और 1 हैं। आइए संख्याओं 19 और 1 का योग कोष्ठक में लें।
27 + (19 + 1) = …
(27 में 19 और 1 की संख्या का योग जोड़ें)
आइए इस अभिव्यक्ति का मूल्य ज्ञात करें। हमें याद है कि कोष्ठक में क्रिया पहले की जाती है।
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

हमारी अभिव्यक्ति का अर्थ वही रहता है।

जोड़ का साहचर्य नियम: दो आसन्न पदों को उनके योग से बदला जा सकता है।

आइए अब दोनों नियमों का प्रयोग करते हुए अभ्यास करें। हमें अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है:

38 + 14 + 2 + 6 = …

सबसे पहले, हम जोड़ की कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी का उपयोग करते हैं, जो हमें शर्तों को स्वैप करने की अनुमति देता है। आइए शर्तों 14 और 2 को स्वैप करें।

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

अब हम सहयोगी संपत्ति का उपयोग करते हैं, जो हमें दो पड़ोसी शब्दों को उनके योग से बदलने की अनुमति देता है।

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

सबसे पहले, हम 38 और 2 के योग का मान ज्ञात करते हैं।

अब योग 14 और 6 है।

3. शैक्षणिक विचारों का त्योहार सार्वजनिक सबक» ().

घर पर करो

1. विभिन्न तरीकों से पदों के योग की गणना करें:

ए) 5 + 3 + 5 बी) 7 + 8 + 13 सी) 24 + 9 + 16

2. व्यंजकों के परिणामों की गणना करें:

क) 19 + 4 + 16 + 1 ख) 8 + 15 + 12 + 5 ग) 20 + 9 + 30 + 1

3. राशि की गणना करें सुविधाजनक तरीका:

ए) 10 + 12 + 8 + 20 बी) 17 + 4 + 3 + 16 सी) 9 + 7 + 21 + 13

आइए एक पिंजरे में 5 सेमी और 3 सेमी के किनारों के साथ कागज के एक टुकड़े पर एक आयत बनाएं। आइए इसे 1 सेमी (अंजीर। 143) के साथ वर्गों में तोड़ दें। आइए आयत में स्थित कोशिकाओं की संख्या गिनें। यह किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, इस तरह।

1 सेमी भुजा वाले वर्गों की संख्या 5*3 है। ऐसे प्रत्येक वर्ग में चार कोशिकाएँ होती हैं। इसलिए, कोशिकाओं की कुल संख्या (5 * 3 ) * 4 है।

एक ही समस्या को अलग तरीके से हल किया जा सकता है। आयत के पाँच स्तंभों में से प्रत्येक में 1 सेमी की भुजा वाले तीन वर्ग होते हैं। इसलिए, एक स्तंभ में 3 * 4 कोशिकाएँ होती हैं। इसलिए, कुल मिलाकर 5*(3*4) सेल होंगे।

चित्र 143 में कोशिकाओं की संख्या दो तरह से प्रदर्शित होती है गुणन की साहचर्य संपत्तिसंख्या 5, 3 और 4 के लिए। हमारे पास है: (5 * 3 ) * 4 = 5 * (3 * 4 )।

दो संख्याओं के गुणनफल को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप पहली संख्या को दूसरी और तीसरी संख्या के गुणनफल से गुणा कर सकते हैं।

(एबी) सी = ए (बीसी)

यह गुणन के कम्यूटेटिव और साहचर्य गुणों से निम्नानुसार है कि कई संख्याओं को गुणा करते समय, कारकों को आपस में जोड़ा जा सकता है और कोष्ठक में संलग्न किया जा सकता है, जिससे गणना का क्रम निर्धारित होता है।

उदाहरण के लिए, समानताएं सत्य हैं:

एबीसी = सीबीए

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

आकृति 144 में, खंड AB ऊपर माने गए आयत को एक आयत और एक वर्ग में विभाजित करता है।

हम 1 सेमी भुजा वाले वर्गों की संख्या दो प्रकार से गिनते हैं।

एक ओर, परिणामी वर्ग में उनमें से 3 * 3 और आयत में 3 * 2 हैं। कुल मिलाकर हमें 3 * 3 + 3 * 2 वर्ग मिलते हैं। दूसरी ओर, इस आयत की तीन पंक्तियों में से प्रत्येक में 3 + 2 वर्ग हैं। तब उनकी कुल संख्या 3*(3+2) होती है।

इक्वलस्टो 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 दिखाता है जोड़ के संबंध में गुणन की वितरण संपत्ति.

किसी संख्या को दो संख्याओं के योग से गुणा करने के लिए, आप इस संख्या को प्रत्येक पद से गुणा कर सकते हैं और परिणामी गुणनफल जोड़ सकते हैं।

शाब्दिक रूप में, यह गुण इस प्रकार लिखा गया है:

ए (बी + सी) = एबी + एसी

यह जोड़ के संबंध में गुणन के वितरण गुण से निम्नानुसार है कि

एबी + एसी = ए (बी + सी)।

यह समानता सूत्र P = 2 a + 2 b को एक आयत के परिमाप को निम्न प्रकार से लिखने की अनुमति देती है:

पी = 2 (ए + बी)।

ध्यान दें कि वितरण संपत्ति तीन या अधिक शर्तों के लिए मान्य है। उदाहरण के लिए:

ए (एम + एन + पी + क्यू) = एएम + ए + एपी + एक्यू।

घटाव के संबंध में गुणन का वितरण गुण भी धारण करता है: यदि b> c या b = c, तो

ए (बी - सी) = एबी - एसी

उदाहरण 1 . सुविधाजनक तरीके से गणना करें:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) हम गुणन के कम्यूटेटिव और फिर साहचर्य गुणों का उपयोग करते हैं:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) हमारे पास है:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

उदाहरण 2 . अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

1) 4 ए * 3 बी;

2) 18मी - 13मी.

1) गुणन के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुणों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

4 ए * 3 बी \u003d (4 * 3) * एबी \u003d 12 एबी।

2) घटाव के संबंध में गुणन के वितरण गुण का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

18m - 13m = m(18 - 13 ) = m * 5 = 5m।

उदाहरण 3 . व्यंजक 5 (2 m + 7) लिखिए ताकि उसमें कोष्ठक न हों।

योग के संबंध में गुणन के वितरण गुण के अनुसार, हमारे पास है:

5 (2 मी + 7) = 5 * 2 मी + 5 * 7 = 10 मी + 35।

इस तरह के परिवर्तन को कहा जाता है उद्घाटन कोष्ठक.

उदाहरण 4 . एक सुविधाजनक तरीके से व्यंजक 125 * 24 * 283 के मान की गणना करें।

समाधान। हमारे पास है:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

उदाहरण 5 . गुणन करें: 3 दिन 18 घंटे * 6.

समाधान। हमारे पास है:

3 दिन 18 घंटे * 6 = 18 दिन 108 घंटे = 22 दिन 12 घंटे

उदाहरण को हल करते समय, योग के संबंध में गुणन के वितरण गुण का उपयोग किया गया था:

3 दिन 18 घंटे * 6 = (3 दिन + 18 घंटे) * 6 = 3 दिन * 6 + 18 घंटे * 6 = 18 दिन + 108 घंटे = 18 दिन + 96 घंटे + 12 घंटे = 18 दिन + 4 दिन + 12 घंटे = 22 दिन 12 घंटे

एक नंबर को दूसरे नंबर से जोड़ना बहुत आसान है। एक उदाहरण पर विचार करें, 4+3=7। इस व्यंजक का अर्थ है कि चार इकाइयों में तीन इकाइयाँ जोड़ी गईं और परिणामस्वरूप, सात इकाइयाँ प्राप्त हुईं।
संख्या 3 और 4 जिन्हें हमने एक साथ जोड़ा है, कहलाती है मामले. और संख्या 7 को जोड़ने का परिणाम कहलाता है योग.

योगसंख्याओं का जोड़ है। प्लस साइन "+"।
शाब्दिक रूप में, यह उदाहरण इस तरह दिखेगा:

ए+ख =सी

अतिरिक्त घटक:
ए- अवधि, बी- शर्तें, सी- योग।
यदि हम 3 इकाइयों में 4 इकाई जोड़ते हैं, तो जोड़ के परिणामस्वरूप हमें वही परिणाम मिलेगा, यह 7 के बराबर होगा।

इस उदाहरण से, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि हम शर्तों को कैसे भी स्वैप करें, उत्तर अपरिवर्तित रहता है:

पदों के इस गुण को कहते हैं जोड़ का क्रमविनिमेय नियम.

जोड़ का कम्यूटेटिव कानून।

शब्दों के स्थान बदलने से योग नहीं बदलता है।

शाब्दिक संकेतन में, कम्यूटेटिव कानून इस तरह दिखता है:

ए+ख =बी+ए

यदि हम तीन पदों पर विचार करते हैं, उदाहरण के लिए, संख्या 1, 2 और 4 लें। और हम इस क्रम में जोड़ करते हैं, पहले हम 1 + 2 जोड़ते हैं, और फिर हम 4 के परिणामी योग में जोड़ते हैं, हमें अभिव्यक्ति मिलती है:

(1+2)+4=7

हम इसके विपरीत कर सकते हैं, पहले 2 + 4 जोड़ें, और फिर परिणामी राशि में 1 जोड़ें। हमारा उदाहरण इस तरह दिखेगा:

1+(2+4)=7

उत्तर वही रहता है। एक ही उदाहरण के दोनों प्रकार के जोड़ के लिए, उत्तर समान है। हम निष्कर्ष निकालते हैं:

(1+2)+4=1+(2+4)

इस अतिरिक्त संपत्ति को कहा जाता है जोड़ का साहचर्य नियम.

जोड़ का क्रमविनिमेय और साहचर्य नियम सभी गैर-ऋणात्मक संख्याओं के लिए कार्य करता है।

जोड़ का साहचर्य नियम।

दो संख्याओं के योग में तीसरी संख्या जोड़ने के लिए, आप दूसरी और तीसरी संख्याओं के योग को पहली संख्या में जोड़ सकते हैं।

(ए+बी)+सी =ए+(बी+सी)

साहचर्य कानून किसी भी संख्या में शर्तों के लिए काम करता है। हम इस नियम का उपयोग तब करते हैं जब हमें संख्याओं को सुविधाजनक क्रम में जोड़ने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, आइए तीन संख्याएं 12, 6, 8 और 4 जोड़ें। पहले 12 और 8 को जोड़ना अधिक सुविधाजनक होगा, और फिर परिणामी योग में दो संख्याओं 6 और 4 का योग जोड़ें।
(12+8)+(6+4)=30

शून्य के साथ अतिरिक्त संपत्ति।

जब आप किसी संख्या को शून्य में जोड़ते हैं, तो परिणाम वही संख्या होती है।

3+0=3
0+3=3
3+0=0+3

एक शाब्दिक अभिव्यक्ति में, शून्य के साथ जोड़ इस तरह दिखेगा:

ए+0=ए
0+ ए =ए

प्राकृत संख्याओं के योग के बारे में प्रश्न:
अतिरिक्त तालिका, संकलित करें और देखें कि कम्यूटेटिव कानून की संपत्ति कैसे काम करती है?
1 से 10 तक की अतिरिक्त तालिका इस तरह दिख सकती है:

अतिरिक्त तालिका का दूसरा संस्करण।

यदि हम जोड़ तालिकाओं को देखें, तो हम देख सकते हैं कि क्रमविनिमेय नियम कैसे कार्य करता है।

व्यंजक a + b \u003d c में, योग क्या होगा?
उत्तर: योग पदों का योग है। ए + बी और सी।

व्यंजक a + b \u003d c पदों में, क्या होगा?
उत्तर: ए और बी। शब्द वे संख्याएँ हैं जिन्हें हम जोड़ते हैं।

किसी संख्या में 0 जोड़ने पर क्या होता है?
उत्तर: कुछ नहीं, नंबर नहीं बदलेगा। जब शून्य में जोड़ा जाता है, तो संख्या वही रहती है क्योंकि शून्य का अभाव होता है।

उदाहरण में कितने पद होने चाहिए ताकि योग के साहचर्य नियम को लागू किया जा सके?
उत्तर: तीन पदों और अधिक से।

क्रमविनिमेय नियम को शाब्दिक अर्थों में लिखिए ?
उत्तर: a+b=b+a

कार्यों के लिए उदाहरण।
उदाहरण 1:
प्रस्तुत भावों के लिए उत्तर लिखें: a) 15+7 b) 7+15
उत्तर: ए) 22 बी) 22

उदाहरण #2:
संयोजन कानून को शर्तों पर लागू करें: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
उत्तर: 20.

उदाहरण #3:
अभिव्यक्ति को हल करें:
ए) 5921+0 बी) 0+5921
समाधान:
क) 5921+0 =5921
बी) 0+5921=5921

ए, बी - वे संख्याएं जिन पर जोड़ किया जाता है, सी - जोड़ का परिणाम।

बहु-अंकों का जोड़ थोड़ा-थोड़ा करके किया जाता है।

• उदाहरण: 9067542 + 34981 = 9102523

जोड़ के नियम।

• 1) विस्थापन योग्य: ए + बी = बी + ए;

उदाहरण। 310 + 1454 = 1454 + 310। कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कैसे जोड़ते हैं, परिणाम 1764 होगा।

• 2) सहयोगी: (ए + बी) + सी = ए + (बी + सी);

उदाहरण: (329 + 85) + 120 = 329 + (85 + 120) = 329 + 205 = 534;

• 3) किसी संख्या को शून्य में जोड़ने का नियम: a + 0 = a।

घटाव

ए (घटाया) - बी (घटाया) = सी (अंतर)

• उदाहरण: 42397 - 17963 = 24434

क्रिया गुण घटाएँ:

• 1) किसी संख्या के योग से घटाने का नियम:

(ए + बी) - सी = (ए - सी) + बी अगर ए> सी या ए = सी;

• 2) योग की संख्या से घटाव का नियम:

ए - (बी + सी) = (ए - बी) - सी;

• 3) किसी संख्या से घटाने का नियम:

• 4) शून्य से घटाव का नियम:

• 5) योग के योग से घटाव का नियम:

(ए + बी) - (सी + डी) =;

जोड़ और घटाव संचालन के उदाहरण के रूप में समस्या

सुविधाजनक तरीके से गणना करें:

• 1) (4981 - 2992) - 808;
• 2) (3975 + 5729) - (5729 + 975).

हम घटाव के दूसरे और 5वें नियम लागू करते हैं:

• 1) (4981- 2992) - 808 = 4981 - (2992 + 808) = 4981 - 3800 = 1181;
• 2) (3975 + 5729) - (5729 + 975) = (3975 - 975) + (5729 - 5720)= 3000 + 0 = 3000

गुणा

संख्या a को संख्या b (b>1) से गुणा करने का अर्थ है b पदों का योग ज्ञात करना (प्रत्येक पद a के बराबर है)।

ए एक्स बी = ए + ए + ... + ए

यदि b = 1, तो a x 1 = a.

ए (पहला कारक) एक्स बी (दूसरा कारक) = सी (उत्पाद)

उदाहरण के लिए: 57 + 57 + 57 + 34 + 34 = 57 x 3 + 34 x 2 = 171 + 68 + 239

गुणन के नियम

• 1) विस्थापन योग्य: ए एक्स बी \u003d बी एक्स ए;

उदाहरण। 15 x 110 = 110 x 15.

• 2) सहयोगी: (ए एक्स बी) एक्स सी \u003d ए एक्स (बी एक्स सी);

उदाहरण: (9 x 30) x 10 = 9 x (30 x 10) = 9 x 300 = 2700;

(65 x 25) x 44 = (25 x 65) x 44 = 25 x (65 x 44) = 25 x 2860 = 71500।

• 3) शून्य से गुणा: 0 x a = 0;

उदाहरण: 0 x 10 = 0।

• 4) जोड़ (घटाव) की क्रिया के संबंध में गुणन का वितरण नियम:

ए एक्स (बी + सी) = ए एक्स बी + ए एक्स सी;

गुणन के संचालन के उदाहरण के रूप में कार्य

कार्य 1।सुविधाजनक तरीके से गणना करें:

• 1) (37 x 125) x 8;
• 2) 49 x 84 + 49 x 83 - 49 x 67।

1) (37 x 125) x 8 = 37 x (125 x 8) = 37 x 1000 = 37000;

2) 49 x 84 + 49 x 83 - 49 x 67 = 49 x (84 + 83 - 67) = 49 x 100 = 4900।

कार्य 2. 1 kWh की कीमत 12 रूबल है। एक इलेक्ट्रिक आयरन 1 घंटे के ऑपरेशन के लिए 2 kW/h की खपत करता है। लोहे को दो दिनों के लिए इस्त्री किया गया था: पहले दिन - 3 घंटे, दूसरे पर - 2 घंटे। दो दिनों में खपत की गई बिजली की लागत क्या है? समस्या को स्वयं हल करें, और हम केवल उत्तर देंगे: 3 घंटे के लिए - 72 रूबल; 2 घंटे के लिए - 48 रूबल।

विभाजन

a (लाभांश) : b (भाजक) = c (भागफल)

डिवीजन कानून:

• 1) ए: 1 \u003d ए, एक्स 1 \u003d ए के बाद से;
• 2) 0: ए \u003d 0, 0 एक्स ए \u003d 0 के बाद से;
• 3) आप 0 से विभाजित नहीं कर सकते!

2224222: 2222 = 1001

योग (अंतर) को एक संख्या से विभाजित करने का नियम:

• 1) (ए + बी): सी \u003d ए: सी + बी: सी, सी 0 के बराबर नहीं है;
• 2) (ए - बी): सी \u003d ए: सी -बी: सी, सी 0 के बराबर नहीं है;

उदाहरण: (4800 + 9300): 300 = 4800: 300 + 9300: 300 = 16 + 31 + 47।

किसी उत्पाद को किसी संख्या से विभाजित करने का नियम:

(ए एक्स बी): सी = (ए: सी) एक्स बी = (बी: सी) एक्स ए, सी 0 के बराबर नहीं है।

हमने पूर्णांकों के योग, गुणा, घटाव और भाग को परिभाषित किया है। इन क्रियाओं (संचालन) के कई विशिष्ट परिणाम होते हैं, जिन्हें गुण कहा जाता है। इस लेख में, हम पूर्णांकों के जोड़ और गुणा के मूल गुणों पर विचार करेंगे, जिनसे इन संक्रियाओं के अन्य सभी गुण अनुसरण करते हैं, साथ ही पूर्णांकों के घटाव और विभाजन के गुण।

पृष्ठ नेविगेशन।

पूर्णांक जोड़ में कई अन्य बहुत महत्वपूर्ण गुण हैं।

उनमें से एक शून्य के अस्तित्व से संबंधित है। पूर्णांक योग का यह गुण बताता है कि किसी भी पूर्ण संख्या में शून्य जोड़ने से वह संख्या नहीं बदलती. आइए योग के इस गुण को अक्षरों का उपयोग करके लिखें: a+0=a और 0+a=a (यह समानता जोड़ के कम्यूटेटिव गुण के कारण मान्य है), a कोई पूर्णांक है। आपने सुना होगा कि पूर्णांक शून्य को इसके अतिरिक्त उदासीन तत्व भी कहा जाता है। आइए एक दो उदाहरण दें। एक पूर्णांक −78 और शून्य का योग −78 है; यदि हम एक धनात्मक पूर्णांक 999 को शून्य में जोड़ते हैं, तो हमें परिणाम के रूप में संख्या 999 प्राप्त होती है।

अब हम पूर्णांक योग का एक अन्य गुणधर्म तैयार करेंगे, जो किसी पूर्णांक के लिए विपरीत संख्या के अस्तित्व से संबंधित है। विपरीत संख्या वाली किसी भी पूर्ण संख्या का योग शून्य होता है. यहाँ इस गुण का शाब्दिक रूप है: a+(−a)=0 , जहाँ a और −a विपरीत पूर्णांक हैं। उदाहरण के लिए, योग 901+(−901) शून्य है; इसी तरह, विपरीत पूर्णांकों -97 और 97 का योग शून्य होता है।

पूर्णांकों के गुणन के मूल गुण

पूर्णांकों के गुणन में प्राकृत संख्याओं के गुणन के सभी गुण होते हैं। हम इन गुणों में से मुख्य सूचीबद्ध करते हैं।

जैसे शून्य योग के संबंध में एक तटस्थ पूर्णांक है, पूर्णांकों के गुणन के संबंध में एक तटस्थ पूर्णांक है। अर्थात, किसी भी पूर्ण संख्या को एक से गुणा करने पर उस संख्या के गुणा करने पर कोई परिवर्तन नहीं आता. अतः 1·a=a , जहां a कोई पूर्णांक है। अंतिम समानता को 1=a के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, यह हमें गुणन की कम्यूटेटिव संपत्ति बनाने की अनुमति देता है। आइए दो उदाहरण दें। पूर्णांक 556 बटा 1 का गुणनफल 556 है; एक और एक ऋणात्मक पूर्णांक −78 का गुणनफल −78 है।

पूर्णांक गुणन का अगला गुण शून्य से गुणा से संबंधित है। किसी भी पूर्णांक a को शून्य से गुणा करने का परिणाम शून्य होता है, वह है, एक 0=0 । समानता 0·a=0 पूर्णांकों के गुणन के क्रमविनिमेय गुण के कारण भी सत्य है। किसी विशेष मामले में, जब a=0, शून्य और शून्य का गुणनफल शून्य के बराबर होता है।

पूर्णांकों के गुणन के लिए, पिछले गुणनफल के विपरीत गुण भी सत्य है। यह दावा करता है कि दो पूर्णांकों का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि कम से कम एक गुणनखंड शून्य के बराबर हो. शाब्दिक रूप में, यह गुण इस प्रकार लिखा जा सकता है: a·b=0 , यदि या तो a=0 , या b=0 , या दोनों a और b एक ही समय में शून्य के बराबर हैं।

योग के संबंध में पूर्णांकों के गुणन का वितरण गुण

पूर्णांकों का एक साथ जोड़ और गुणा हमें जोड़ के संबंध में गुणन के वितरण गुण पर विचार करने की अनुमति देता है, जो दो संकेतित क्रियाओं को जोड़ता है। जोड़ और गुणन का एक साथ उपयोग करने से अतिरिक्त संभावनाएं खुलती हैं जो कि अगर हम गुणन से अलग जोड़ पर विचार करते हैं तो हम चूक जाएंगे।

इसलिए, योग के संबंध में गुणन का वितरण गुण कहता है कि एक पूर्णांक a का गुणनफल और दो पूर्णांक a और b का योग a b और a c के गुणनफल के योग के बराबर होता है, अर्थात, ए (बी+सी)=ए बी+ए सी. उसी संपत्ति को दूसरे रूप में लिखा जा सकता है: (ए+बी) सी=ए सी+बी सी .

योग के संबंध में पूर्णांकों के गुणन का वितरण गुण, योग की साहचर्य संपत्ति के साथ, एक पूर्णांक के गुणन को तीन या अधिक पूर्णांकों के योग से निर्धारित करना संभव बनाता है, और फिर पूर्णांकों के योग का गुणन योग।

यह भी ध्यान दें कि पूर्णांकों के योग और गुणन के अन्य सभी गुण हमारे द्वारा दर्शाए गए गुणों से प्राप्त किए जा सकते हैं, अर्थात वे उपरोक्त गुणों के परिणाम हैं।

पूर्णांक घटाव गुण

प्राप्त समानता से, साथ ही पूर्णांकों के जोड़ और गुणा के गुणों से, पूर्णांकों के घटाव के निम्नलिखित गुण अनुसरण करते हैं (a, b और c मनमाने पूर्णांक हैं):

• पूर्णांक घटाव में आम तौर पर कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी नहीं होती है: a−b≠b−a ।
• बराबर पूर्णांकों का अंतर शून्य के बराबर होता है: a−a=0 ।
• किसी दिए गए पूर्णांक से दो पूर्णांकों के योग को घटाने का गुण: a−(b+c)=(a−b)−c ।
• दो पूर्णांकों के योग से एक पूर्णांक घटाने का गुण: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) ।
• घटाव के संबंध में गुणन का वितरण गुण: a (b−c)=a b−a c और (a−b) c=a c−b c.
• और पूर्णांक घटाव के अन्य सभी गुण।

पूर्णांक विभाजन गुण

पूर्णांकों के विभाजन के अर्थ के बारे में बहस करते हुए, हमने पाया कि पूर्णांकों का विभाजन गुणन का व्युत्क्रम होता है। हमने निम्नलिखित परिभाषा दी: पूर्णांकों का विभाजन एक ज्ञात उत्पाद और एक ज्ञात कारक द्वारा अज्ञात कारक की खोज है। अर्थात्, हम पूर्णांक c को पूर्णांक a के भागफल को पूर्णांक b से विभाजित कहते हैं, जब गुणन c·b a के बराबर होता है।

यह परिभाषा, साथ ही ऊपर माने गए पूर्णांकों पर संक्रियाओं के सभी गुण, हमें पूर्णांकों के विभाजन के निम्नलिखित गुणों की वैधता स्थापित करने की अनुमति देते हैं:

• किसी भी पूर्णांक को शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता है।
• शून्य को एक गैर-शून्य पूर्णांक से विभाजित करने का गुण a : 0:a=0 ।
• बराबर पूर्णांकों को विभाजित करने का गुण: a:a=1 , जहां a कोई शून्येतर पूर्णांक नहीं है।
• एक मनमाना पूर्णांक a को एक से विभाजित करने का गुण: a:1=a ।
• सामान्य तौर पर, पूर्णांकों के विभाजन में क्रमविनिमेय गुण नहीं होता है: a:b≠b:a ।
• दो पूर्णांकों के योग और अंतर को एक पूर्णांक से विभाजित करने के गुण हैं: (a+b):c=a:c+b:c और (a−b):c=a:c−b:c , जहां a , b , और c ऐसे पूर्णांक हैं कि a और b दोनों c से विभाज्य हैं, और c अशून्य है।
• दो पूर्णांकों a और b के गुणनफल को एक गैर-शून्य पूर्णांक c से विभाजित करने का गुण: (a b):c=(a:c) b यदि a, c से विभाज्य है; (a b):c=a (b:c) यदि b, c से विभाज्य है; (a b):c=(a:c) b=a (b:c) यदि a और b दोनों c से विभाज्य हैं।
• एक पूर्णांक a को दो पूर्णांक b और c के गुणनफल से विभाजित करने का गुण (संख्या a , b और c इस प्रकार a को b c से विभाजित करना संभव है): a:(b c)=(a:b) c=(a :c ) बी ।
• पूर्णांक विभाजन का कोई अन्य गुण।