चटाई अपेक्षा क्या दर्शाता है। संभाव्यता सिद्धांत के मूल सिद्धांत
गणितीय अपेक्षा है, परिभाषा
चटाई प्रतीक्षा हैगणितीय सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक, मूल्यों के वितरण की विशेषता या संभावनाओंअनियमित चर। आमतौर पर एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मापदंडों के भारित औसत के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह तकनीकी विश्लेषण, संख्या श्रृंखला के अध्ययन, निरंतर और दीर्घकालिक प्रक्रियाओं के अध्ययन में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह जोखिमों का आकलन करने, वित्तीय बाजारों में व्यापार करते समय मूल्य संकेतकों की भविष्यवाणी करने में महत्वपूर्ण है, और इसका उपयोग रणनीतियों और खेल रणनीति के तरीकों के विकास में किया जाता है। जुआ सिद्धांत.
चेकमेट प्रतीक्षा- यहयादृच्छिक चर का माध्य मान, वितरण संभावनाओंसंभाव्यता सिद्धांत में यादृच्छिक चर माना जाता है।
चटाई प्रतीक्षा हैसंभाव्यता सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर के औसत मूल्य का माप। एक यादृच्छिक चर की गणित अपेक्षा एक्सलक्षित एम (एक्स).
गणितीय अपेक्षा (जनसंख्या माध्य) है
चटाई प्रतीक्षा है
चटाई प्रतीक्षा हैसंभाव्यता सिद्धांत में, सभी संभावित मूल्यों का भारित औसत जो यह यादृच्छिक चर ले सकता है।
चटाई प्रतीक्षा हैइन मानों की प्रायिकताओं द्वारा एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों के गुणनफल का योग।
गणितीय अपेक्षा (जनसंख्या माध्य) है
चटाई प्रतीक्षा हैकिसी विशेष निर्णय से औसत लाभ, बशर्ते कि इस तरह के निर्णय को बड़ी संख्या और लंबी दूरी के सिद्धांत के ढांचे में माना जा सकता है।
चटाई प्रतीक्षा हैजुए के सिद्धांत में, जीत की वह राशि जो एक सट्टेबाज प्रत्येक दांव के लिए औसतन कमा या खो सकता है। जुए की भाषा में सट्टेबाजोंइसे कभी-कभी "लाभ" कहा जाता है सट्टेबाज़"(यदि यह सट्टेबाज के लिए सकारात्मक है) या" घर का किनारा "(यदि यह सट्टेबाज के लिए नकारात्मक है)।
गणितीय अपेक्षा (जनसंख्या माध्य) है
गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण है
गणितीय अपेक्षा, परिभाषा, असतत और निरंतर यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, चयनात्मक, सशर्त अपेक्षा, गणना, गुण, कार्य, अपेक्षा का अनुमान, विचरण, वितरण कार्य, सूत्र, गणना उदाहरण
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गणितीय अपेक्षा है, परिभाषा
गणितीय सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक, एक यादृच्छिक चर के मूल्यों या संभावनाओं के वितरण की विशेषता है। आमतौर पर एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मापदंडों के भारित औसत के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह तकनीकी विश्लेषण, संख्या श्रृंखला के अध्ययन, निरंतर और दीर्घकालिक प्रक्रियाओं के अध्ययन में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह जोखिम का आकलन करने, वित्तीय बाजारों में व्यापार करते समय मूल्य संकेतकों की भविष्यवाणी करने में महत्वपूर्ण है, और जुआ के सिद्धांत में रणनीतियों और खेल रणनीति के तरीकों के विकास में उपयोग किया जाता है।
गणितीय अपेक्षा हैएक यादृच्छिक चर का माध्य मान, एक यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण संभाव्यता सिद्धांत में माना जाता है।
गणितीय अपेक्षा हैसंभाव्यता सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर के औसत मूल्य का माप। यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्सलक्षित एम (एक्स).
गणितीय अपेक्षा है
गणितीय अपेक्षा हैसंभाव्यता सिद्धांत में, सभी संभावित मूल्यों का भारित औसत जो यह यादृच्छिक चर ले सकता है।
गणितीय अपेक्षा हैइन मानों की प्रायिकताओं द्वारा एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों के गुणनफल का योग।
गणितीय अपेक्षा हैकिसी विशेष निर्णय से औसत लाभ, बशर्ते कि इस तरह के निर्णय को बड़ी संख्या और लंबी दूरी के सिद्धांत के ढांचे में माना जा सकता है।
गणितीय अपेक्षा हैजुआ सिद्धांत में, प्रत्येक बेट के लिए औसतन, एक खिलाड़ी जितनी जीत या हार सकता है, वह राशि। जुआरी की भाषा में, इसे कभी-कभी "गेमर्स एज" (यदि यह खिलाड़ी के लिए सकारात्मक है) या "हाउस एज" (यदि यह खिलाड़ी के लिए नकारात्मक है) के रूप में जाना जाता है।
गणितीय अपेक्षा हैप्रति जीत लाभ का प्रतिशत औसत लाभ से गुणा करके नुकसान की संभावना को औसत नुकसान से गुणा किया जाता है।
गणितीय सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा
एक यादृच्छिक चर की महत्वपूर्ण संख्यात्मक विशेषताओं में से एक गणितीय अपेक्षा है। आइए हम यादृच्छिक चरों की एक प्रणाली की अवधारणा का परिचय दें। यादृच्छिक चर के एक सेट पर विचार करें जो एक ही यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम हैं। यदि सिस्टम के संभावित मूल्यों में से एक है, तो घटना एक निश्चित संभावना से मेल खाती है जो कोलमोगोरोव के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है। यादृच्छिक चर के किसी भी संभावित मूल्यों के लिए परिभाषित एक फ़ंक्शन को संयुक्त वितरण कानून कहा जाता है। यह फ़ंक्शन आपको किसी भी घटना की संभावनाओं की गणना करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, यादृच्छिक चर के वितरण का संयुक्त कानून और, जो सेट से मान लेते हैं और संभावनाओं द्वारा दिया जाता है।
शब्द "उम्मीद" पियरे साइमन मार्क्विस डी लाप्लास (1795) द्वारा पेश किया गया था और "अदायगी के अपेक्षित मूल्य" की अवधारणा से उत्पन्न हुआ था, जो पहली बार 17 वीं शताब्दी में ब्लेज़ पास्कल और क्रिश्चियन ह्यूजेंस के कार्यों में जुए के सिद्धांत में दिखाई दिया था। . हालाँकि, इस अवधारणा की पहली पूर्ण सैद्धांतिक समझ और मूल्यांकन Pafnuty Lvovich Chebyshev (19 वीं शताब्दी के मध्य) द्वारा दिया गया था।
यादृच्छिक संख्यात्मक चरों के वितरण का नियम (वितरण फलन और वितरण श्रृंखला या संभाव्यता घनत्व) एक यादृच्छिक चर के व्यवहार का पूरी तरह से वर्णन करता है। लेकिन कई समस्याओं में पूछे गए प्रश्न का उत्तर देने के लिए अध्ययन के तहत मात्रा की कुछ संख्यात्मक विशेषताओं (उदाहरण के लिए, इसका औसत मूल्य और इससे संभावित विचलन) जानना पर्याप्त है। यादृच्छिक चर की मुख्य संख्यात्मक विशेषताएं गणितीय अपेक्षा, विचरण, मोड और माध्यिका हैं।
असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा इसके संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं के उत्पादों का योग है। कभी-कभी गणितीय अपेक्षा को भारित औसत कहा जाता है, क्योंकि यह बड़ी संख्या में प्रयोगों पर एक यादृच्छिक चर के प्रेक्षित मूल्यों के अंकगणितीय माध्य के लगभग बराबर होता है। गणितीय अपेक्षा की परिभाषा से, यह इस प्रकार है कि इसका मान यादृच्छिक चर के सबसे छोटे संभव मूल्य से कम नहीं है और सबसे बड़े से अधिक नहीं है। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक गैर-यादृच्छिक (स्थिर) चर है।
गणितीय अपेक्षा का एक सरल भौतिक अर्थ है: यदि एक इकाई द्रव्यमान को एक सीधी रेखा पर रखा जाता है, कुछ द्रव्यमान को कुछ बिंदुओं पर (एक असतत वितरण के लिए), या एक निश्चित घनत्व के साथ "स्मीयरिंग" (बिल्कुल निरंतर वितरण के लिए), तो गणितीय अपेक्षा के अनुरूप बिंदु सीधे "गुरुत्वाकर्षण का केंद्र" समन्वय होगा।
एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य एक निश्चित संख्या है, जो कि इसका "प्रतिनिधि" है और इसे अनुमानित अनुमानित गणना में बदल देता है। जब हम कहते हैं: "औसत दीपक संचालन समय 100 घंटे है" या "प्रभाव का औसत बिंदु लक्ष्य के सापेक्ष 2 मीटर दाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है", हम इसके द्वारा एक यादृच्छिक चर की एक निश्चित संख्यात्मक विशेषता का संकेत देते हैं जो इसका वर्णन करता है संख्यात्मक अक्ष पर स्थान, अर्थात पोजिशन का विवरण।
संभाव्यता सिद्धांत में एक स्थिति की विशेषताओं में, सबसे महत्वपूर्ण भूमिका एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा द्वारा निभाई जाती है, जिसे कभी-कभी एक यादृच्छिक चर का औसत मान कहा जाता है।
एक यादृच्छिक चर पर विचार करें एक्स, जिसके संभावित मूल्य हैं x1, x2,…, xnसंभावनाओं के साथ पी1, पी2,…, पीएन. हमें इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि इन मूल्यों की अलग-अलग संभावनाएं हैं, हमें एक्स-अक्ष पर एक यादृच्छिक चर के मूल्यों की स्थिति को कुछ संख्याओं द्वारा चिह्नित करने की आवश्यकता है। इस प्रयोजन के लिए, मूल्यों के तथाकथित "भारित औसत" का उपयोग करना स्वाभाविक है ग्यारहवीं, और औसत के दौरान प्रत्येक मान xi को इस मूल्य की संभावना के आनुपातिक "वजन" के साथ ध्यान में रखा जाना चाहिए। इस प्रकार, हम यादृच्छिक चर के माध्य की गणना करेंगे एक्स, जिसे हम निरूपित करेंगे एम|एक्स|:
इस भारित औसत को यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है। इस प्रकार, हमने संभाव्यता सिद्धांत की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक पर विचार किया - गणितीय अपेक्षा की अवधारणा। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों के उत्पादों और इन मूल्यों की संभावनाओं का योग है।
एक्सबड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ एक यादृच्छिक चर के देखे गए मूल्यों के अंकगणितीय माध्य के साथ एक प्रकार की निर्भरता के कारण। यह निर्भरता उसी प्रकार की है जैसे आवृत्ति और संभाव्यता के बीच निर्भरता, अर्थात्: बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ, एक यादृच्छिक चर दृष्टिकोण के देखे गए मूल्यों का अंकगणितीय माध्य (संभाव्यता में अभिसरण) इसकी गणितीय अपेक्षा। आवृत्ति और संभाव्यता के बीच संबंध की उपस्थिति से, कोई परिणाम के रूप में अंकगणितीय माध्य और गणितीय अपेक्षा के बीच एक समान संबंध के अस्तित्व का अनुमान लगा सकता है। दरअसल, एक यादृच्छिक चर पर विचार करें एक्स, वितरण की एक श्रृंखला द्वारा विशेषता:
इसे उत्पादित होने दें एनस्वतंत्र प्रयोग, जिनमें से प्रत्येक में मूल्य एक्सएक निश्चित मूल्य लेता है। मान लीजिए मान x1दिखाई दिया एम1समय, मूल्य x2दिखाई दिया एम2समय, सामान्य अर्थ ग्यारहवींमील बार दिखाई दिया। आइए हम एक्स के देखे गए मानों के अंकगणितीय माध्य की गणना करें, जो गणितीय अपेक्षा के विपरीत है एम|एक्स|हम निरूपित करेंगे एम*|एक्स|:
प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ एनआवृत्तियों अनुकरणीय(संभाव्यता में अभिसरण) संबंधित संभावनाओं तक पहुंच जाएगा। इसलिए, यादृच्छिक चर के प्रेक्षित मानों का अंकगणितीय माध्य एम|एक्स|प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ, यह अपनी गणितीय अपेक्षा के करीब पहुंच जाएगा (संभाव्यता में अभिसरण)। ऊपर दिए गए अंकगणितीय माध्य और गणितीय अपेक्षा के बीच संबंध बड़ी संख्या के कानून के रूपों में से एक की सामग्री का गठन करता है।
हम पहले से ही जानते हैं कि बड़ी संख्या के कानून के सभी रूप इस तथ्य को बताते हैं कि कुछ औसत बड़ी संख्या में प्रयोगों पर स्थिर होते हैं। यहां हम समान मान वाले प्रेक्षणों की श्रृंखला से अंकगणित माध्य के स्थायित्व के बारे में बात कर रहे हैं। प्रयोगों की एक छोटी संख्या के साथ, उनके परिणामों का अंकगणितीय माध्य यादृच्छिक होता है; प्रयोगों की संख्या में पर्याप्त वृद्धि के साथ, यह "लगभग यादृच्छिक नहीं" हो जाता है और, स्थिर होकर, एक स्थिर मूल्य - गणितीय अपेक्षा तक पहुंच जाता है।
बड़ी संख्या में प्रयोगों के लिए औसत की स्थिरता की संपत्ति को प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित करना आसान है। उदाहरण के लिए, जब किसी पिंड को प्रयोगशाला में सटीक पैमानों पर तौला जाता है, तो तौल के परिणामस्वरूप हमें हर बार एक नया मान मिलता है; अवलोकन की त्रुटि को कम करने के लिए, हम शरीर को कई बार तौलते हैं और प्राप्त मूल्यों के अंकगणितीय माध्य का उपयोग करते हैं। यह देखना आसान है कि प्रयोगों (वजन) की संख्या में और वृद्धि के साथ, अंकगणितीय माध्य इस वृद्धि पर कम और कम प्रतिक्रिया करता है, और पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ यह व्यावहारिक रूप से बदलना बंद कर देता है।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक यादृच्छिक चर की स्थिति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता - गणितीय अपेक्षा - सभी यादृच्छिक चर के लिए मौजूद नहीं है। ऐसे यादृच्छिक चरों के उदाहरण बनाना संभव है जिनके लिए गणितीय अपेक्षा मौजूद नहीं है, क्योंकि संबंधित योग या अभिन्न विचलन। हालांकि, अभ्यास के लिए, ऐसे मामले महत्वपूर्ण रुचि के नहीं हैं। आमतौर पर, हम जिन यादृच्छिक चर के साथ काम कर रहे हैं, उनमें संभावित मूल्यों की एक सीमित सीमा होती है और निश्चित रूप से, एक अपेक्षा होती है।
एक यादृच्छिक चर की स्थिति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं के अलावा - गणितीय अपेक्षा, अन्य स्थिति विशेषताओं का उपयोग कभी-कभी व्यवहार में किया जाता है, विशेष रूप से, यादृच्छिक चर के मोड और माध्यिका।
यादृच्छिक चर का बहुलक इसका सबसे संभावित मान है। शब्द "सबसे संभावित मूल्य", कड़ाई से बोलते हुए, केवल असंतुलित मात्रा पर लागू होता है; एक सतत मात्रा के लिए, बहुलक वह मान है जिस पर प्रायिकता घनत्व अधिकतम होता है। आंकड़े क्रमशः असंतत और निरंतर यादृच्छिक चर के लिए मोड दिखाते हैं।
यदि वितरण बहुभुज (वितरण वक्र) में एक से अधिक अधिकतम हैं, तो वितरण को "बहुविध" कहा जाता है।
कभी-कभी ऐसे वितरण होते हैं जिनमें बीच में अधिकतम नहीं, बल्कि न्यूनतम होता है। इस तरह के वितरण को "एंटीमॉडल" कहा जाता है।
सामान्य स्थिति में, यादृच्छिक चर का बहुलक और गणितीय अपेक्षा मेल नहीं खाती। एक विशेष मामले में, जब वितरण सममित और मोडल (यानी एक मोड होता है) और गणितीय अपेक्षा होती है, तो यह वितरण के समरूपता के केंद्र और मोड के साथ मेल खाता है।
स्थिति की एक और विशेषता का अक्सर उपयोग किया जाता है - एक यादृच्छिक चर का तथाकथित माध्यिका। यह विशेषता आमतौर पर केवल निरंतर यादृच्छिक चर के लिए उपयोग की जाती है, हालांकि इसे औपचारिक रूप से एक असंतत चर के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है। ज्यामितीय रूप से, माध्यिका उस बिंदु का भुज है जिस पर वितरण वक्र से घिरा क्षेत्र द्विभाजित होता है।
सममित मोडल वितरण के मामले में, माध्यिका माध्य और बहुलक के साथ मेल खाती है।
गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर का औसत मान है - एक यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण की एक संख्यात्मक विशेषता। सबसे सामान्य तरीके से, एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्स (डब्ल्यू)संभाव्यता माप के संबंध में लेबेस्ग इंटीग्रल के रूप में परिभाषित किया गया है आरमूल संभाव्यता स्थान में:
गणितीय अपेक्षा की गणना Lebesgue अभिन्न के रूप में भी की जा सकती है एक्ससंभाव्यता वितरण द्वारा पिक्सलमात्रा एक्स:
स्वाभाविक रूप से, कोई भी अनंत गणितीय अपेक्षा के साथ एक यादृच्छिक चर की अवधारणा को परिभाषित कर सकता है। एक विशिष्ट उदाहरण कुछ रैंडम वॉक में वापसी का समय है।
गणितीय अपेक्षा की सहायता से, वितरण की कई संख्यात्मक और कार्यात्मक विशेषताओं को निर्धारित किया जाता है (एक यादृच्छिक चर के संबंधित कार्यों की गणितीय अपेक्षा के रूप में), उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन उत्पन्न करना, विशेषता फ़ंक्शन, किसी भी क्रम के क्षण, विशेष रूप से, विचरण , सहप्रसरण।
गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर (इसके वितरण का औसत मूल्य) के मूल्यों के स्थान की विशेषता है। इस क्षमता में, गणितीय अपेक्षा कुछ "विशिष्ट" वितरण पैरामीटर के रूप में कार्य करती है और इसकी भूमिका स्थिर क्षण की भूमिका के समान होती है - बड़े पैमाने पर वितरण के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के समन्वय - यांत्रिकी में। स्थान की अन्य विशेषताओं से, जिसकी मदद से वितरण को सामान्य शब्दों में वर्णित किया जाता है - माध्यिका, मोड, गणितीय अपेक्षा अधिक मूल्य में भिन्न होती है कि यह और संबंधित प्रकीर्णन विशेषता - फैलाव - संभाव्यता सिद्धांत की सीमा प्रमेयों में होती है . सबसे बड़ी पूर्णता के साथ, बड़ी संख्या के कानून (चेबीशेव की असमानता) और बड़ी संख्या के मजबूत कानून द्वारा गणितीय अपेक्षा का अर्थ प्रकट होता है।
असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा
कुछ यादृच्छिक चर होने दें जो कई संख्यात्मक मानों में से एक ले सकता है (उदाहरण के लिए, एक डाई रोल में अंकों की संख्या 1, 2, 3, 4, 5, या 6) हो सकती है। अक्सर व्यवहार में, इस तरह के मूल्य के लिए सवाल उठता है: बड़ी संख्या में परीक्षणों के साथ "औसतन" क्या मूल्य लेता है? प्रत्येक जोखिम भरे लेन-देन से हमारा औसत प्रतिफल (या हानि) क्या होगा?
मान लीजिए कि किसी प्रकार की लॉटरी है। हम यह समझना चाहते हैं कि इसमें भाग लेना लाभदायक है या नहीं (या नियमित रूप से बार-बार भाग लेना)। मान लीजिए कि हर चौथा टिकट जीतता है, पुरस्कार 300 रूबल होगा, और किसी भी टिकट की कीमत 100 रूबल होगी। असीमित संख्या में भागीदारी के साथ, ऐसा ही होता है। तीन-चौथाई मामलों में, हम हारेंगे, हर तीन नुकसान में 300 रूबल की लागत आएगी। हर चौथे मामले में हम 200 रूबल जीतेंगे। (पुरस्कार माइनस कॉस्ट), यानी चार भागीदारी के लिए हम औसतन 100 रूबल खो देते हैं, एक के लिए - औसतन 25 रूबल। कुल मिलाकर, हमारे बर्बाद होने की औसत दर प्रति टिकट 25 रूबल होगी।
हम एक पासा फेंकते हैं। यदि यह धोखा नहीं है (गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को स्थानांतरित किए बिना, आदि), तो हमारे पास एक समय में औसतन कितने अंक होंगे? चूँकि प्रत्येक विकल्प समान रूप से सम्भाव्य है, हम गूढ़ अंकगणितीय माध्य लेते हैं और 3.5 प्राप्त करते हैं। चूंकि यह औसत है, इसलिए नाराज होने की कोई आवश्यकता नहीं है कि कोई विशेष थ्रो 3.5 अंक नहीं देगा - ठीक है, इस घन में इतनी संख्या वाला चेहरा नहीं है!
आइए अब हमारे उदाहरणों को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं:
आइए ऊपर की तस्वीर पर एक नजर डालते हैं। बाईं ओर एक यादृच्छिक चर के वितरण की एक तालिका है। X का मान n संभावित मानों में से एक ले सकता है (शीर्ष पंक्ति में दिया गया)। कोई अन्य मूल्य नहीं हो सकता। प्रत्येक संभावित मूल्य के तहत, इसकी संभावना नीचे हस्ताक्षरित है। दाईं ओर एक सूत्र है, जहाँ M(X) को गणितीय अपेक्षा कहा जाता है। इस मूल्य का अर्थ यह है कि बड़ी संख्या में परीक्षणों (बड़े नमूने के साथ) के साथ, औसत मूल्य इस गणितीय अपेक्षा की ओर अग्रसर होगा।
चलिए वापस उसी प्लेइंग क्यूब पर चलते हैं। एक थ्रो में अंकों की संख्या की गणितीय अपेक्षा 3.5 है (यदि आप इस पर विश्वास नहीं करते हैं तो सूत्र का उपयोग करके स्वयं की गणना करें)। मान लीजिए कि आपने इसे एक-दो बार फेंका। 4 और 6 गिर गए। औसतन, यह 5 निकला, यानी 3.5 से बहुत दूर। उन्होंने इसे फिर से फेंक दिया, 3 गिर गए, यानी औसतन (4 + 6 + 3) / 3 = 4.3333 ... गणितीय अपेक्षा से किसी तरह दूर। अब एक पागल प्रयोग करें - घन को 1000 बार रोल करें! और अगर औसत बिल्कुल 3.5 नहीं है, तो यह उसके करीब होगा।
आइए ऊपर वर्णित लॉटरी के लिए गणितीय अपेक्षा की गणना करें। तालिका इस तरह दिखेगी:
तब गणितीय अपेक्षा होगी, जैसा कि हमने ऊपर स्थापित किया है।
एक और बात यह है कि यह "उंगलियों पर" भी है, बिना सूत्र के, अधिक विकल्प होने पर यह मुश्किल होगा। ठीक है, मान लें कि 75% हारने वाले टिकट, 20% जीतने वाले टिकट और 5% जीतने वाले टिकट थे।
अब गणितीय अपेक्षा के कुछ गुण।
इसे साबित करना आसान है:
एक निरंतर गुणक को उम्मीद के संकेत से निकाला जा सकता है, जो है:
यह गणितीय अपेक्षा की रैखिकता संपत्ति का एक विशेष मामला है।
गणितीय अपेक्षा की रैखिकता का एक और परिणाम:
अर्थात्, यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा, यादृच्छिक चरों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर होती है।
मान लीजिए X, Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, फिर:
यह साबित करना भी आसान है) XYअपने आप में एक यादृच्छिक चर है, जबकि यदि प्रारंभिक मान ले सकते हैं एनऔर एममान, क्रमशः, तब XYएनएम मान ले सकते हैं। प्रत्येक मान की संभावना की गणना इस तथ्य के आधार पर की जाती है कि स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा किया जाता है। परिणामस्वरूप, हमें यह मिलता है:
एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा
निरंतर यादृच्छिक चर में वितरण घनत्व (संभाव्यता घनत्व) जैसी विशेषता होती है। यह, वास्तव में, इस स्थिति की विशेषता है कि एक यादृच्छिक चर वास्तविक संख्याओं के सेट से कुछ मान अधिक बार लेता है, कुछ - कम बार। उदाहरण के लिए, इस चार्ट पर विचार करें:
यहां एक्स- वास्तव में एक यादृच्छिक चर, एफ (एक्स)- वितरण घनत्व। इस ग्राफ को देखते हुए, प्रयोगों के दौरान, मान एक्सअक्सर शून्य के करीब एक संख्या होगी। अधिक होने की संभावना 3 या कम हो -3 बल्कि विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक।
आइए, उदाहरण के लिए, एक समान वितरण है:
यह सहज ज्ञान युक्त समझ के अनुरूप है। मान लीजिए कि अगर हमें एक समान वितरण के साथ बहुत सारी यादृच्छिक वास्तविक संख्याएँ मिलती हैं, तो प्रत्येक खंड |0; 1| , तो अंकगणितीय माध्य लगभग 0.5 होना चाहिए।
गणितीय अपेक्षा के गुण - रैखिकता, आदि, असतत यादृच्छिक चर के लिए लागू होते हैं, यहां भी लागू होते हैं।
अन्य सांख्यिकीय संकेतकों के साथ गणितीय अपेक्षा का संबंध
सांख्यिकीय विश्लेषण में, गणितीय अपेक्षा के साथ, अन्योन्याश्रित संकेतकों की एक प्रणाली होती है जो घटना की एकरूपता और प्रक्रियाओं की स्थिरता को दर्शाती है। अक्सर, भिन्नता संकेतकों का स्वतंत्र अर्थ नहीं होता है और आगे के डेटा विश्लेषण के लिए उपयोग किया जाता है। अपवाद भिन्नता का गुणांक है, जो डेटा की एकरूपता की विशेषता है, जो एक मूल्यवान सांख्यिकीय विशेषता है।
सांख्यिकीय विज्ञान में प्रक्रियाओं की परिवर्तनशीलता या स्थिरता की डिग्री को कई संकेतकों का उपयोग करके मापा जा सकता है।
एक यादृच्छिक चर की परिवर्तनशीलता को दर्शाने वाला सबसे महत्वपूर्ण संकेतक है फैलाव, जो सबसे निकट और सीधे गणितीय अपेक्षा से संबंधित है। यह पैरामीटर अन्य प्रकार के सांख्यिकीय विश्लेषण (परिकल्पना परीक्षण, कारण-और-प्रभाव संबंधों का विश्लेषण, आदि) में सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। माध्य रैखिक विचलन की तरह, विचरण भी उस सीमा को दर्शाता है जिस तक डेटा माध्य के चारों ओर फैलता है।
संकेतों की भाषा को शब्दों की भाषा में अनुवाद करना उपयोगी है। यह पता चला है कि विचरण विचलन का औसत वर्ग है। अर्थात्, पहले औसत मूल्य की गणना की जाती है, फिर प्रत्येक मूल और औसत मूल्य के बीच के अंतर को लिया जाता है, चुकता किया जाता है, जोड़ा जाता है और फिर इस जनसंख्या में मूल्यों की संख्या से विभाजित किया जाता है। व्यक्तिगत मूल्य और माध्य के बीच का अंतर विचलन के माप को दर्शाता है। यह सुनिश्चित करने के लिए चुकता किया जाता है कि सभी विचलन विशेष रूप से सकारात्मक संख्या बन जाते हैं और जब उन्हें योग किया जाता है तो सकारात्मक और नकारात्मक विचलन के पारस्परिक रद्दीकरण से बचने के लिए। फिर, वर्ग विचलन को देखते हुए, हम केवल अंकगणितीय माध्य की गणना करते हैं। औसत - वर्ग - विचलन। विचलन चुकता है, और औसत माना जाता है। जादुई शब्द "फैलाव" का उत्तर सिर्फ तीन शब्द है।
हालांकि, अपने शुद्ध रूप में, जैसे, उदाहरण के लिए, अंकगणितीय माध्य, या सूचकांक, फैलाव का उपयोग नहीं किया जाता है। यह बल्कि एक सहायक और मध्यवर्ती संकेतक है जिसका उपयोग अन्य प्रकार के सांख्यिकीय विश्लेषण के लिए किया जाता है। उसके पास माप की एक सामान्य इकाई भी नहीं है। सूत्र को देखते हुए, यह मूल डेटा इकाई का वर्ग है।
आइए एक यादृच्छिक चर को मापें एनउदाहरण के लिए, हम हवा की गति को दस गुना मापते हैं और औसत मान ज्ञात करना चाहते हैं। माध्य मान वितरण फलन से किस प्रकार संबंधित है?
या हम पासे को कई बार घुमाएंगे। प्रत्येक थ्रो के दौरान पासे पर गिरने वाले अंकों की संख्या एक यादृच्छिक चर है और 1 से 6 तक कोई भी प्राकृतिक मान ले सकता है। एनयह एक बहुत ही विशिष्ट संख्या की ओर जाता है - गणितीय अपेक्षा एमएक्स. इस मामले में, एमएक्स = 3.5।
यह मूल्य कैसे आया? भीतर आएं एनपरीक्षणों एन 1एक बार 1 अंक गिर जाने पर, एन 2बार - 2 अंक और इसी तरह। फिर परिणामों की संख्या जिसमें एक बिंदु गिर गया:
इसी तरह परिणामों के लिए जब 2, 3, 4, 5 और 6 अंक गिरे।
आइए अब मान लें कि हम यादृच्छिक चर x के वितरण नियम को जानते हैं, अर्थात, हम जानते हैं कि यादृच्छिक चर x मान x1, x2, ..., xk को प्रायिकता p1, p2, ... के साथ ले सकता है। , पी.के.
एक यादृच्छिक चर x की गणितीय अपेक्षा Mx है:
गणितीय अपेक्षा हमेशा कुछ यादृच्छिक चर का उचित अनुमान नहीं होती है। इसलिए, औसत वेतन का अनुमान लगाने के लिए, माध्यिका की अवधारणा का उपयोग करना अधिक उचित है, अर्थात ऐसा मूल्य कि औसत वेतन से कम और अधिक प्राप्त करने वाले लोगों की संख्या समान हो।
प्रायिकता p1 कि यादृच्छिक चर x, x1/2 से कम है और प्रायिकता p2 कि यादृच्छिक चर x, x1/2 से बड़ा है, समान और 1/2 के बराबर है। माध्यिका सभी वितरणों के लिए विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं होती है।
मानक या मानक विचलनआँकड़ों में, औसत मान से अवलोकन डेटा या सेट के विचलन की डिग्री को कहा जाता है। अक्षर s या s द्वारा निरूपित। एक छोटा मानक विचलन इंगित करता है कि डेटा को माध्य के आसपास समूहीकृत किया गया है, और एक बड़ा मानक विचलन इंगित करता है कि प्रारंभिक डेटा इससे बहुत दूर है। मानक विचलन एक मात्रा के वर्गमूल के बराबर होता है जिसे प्रसरण कहा जाता है। यह माध्य से विचलन वाले प्रारंभिक डेटा के वर्ग अंतर के योग का औसत है। एक यादृच्छिक चर का मानक विचलन विचरण का वर्गमूल है:
उदाहरण। एक लक्ष्य पर शूटिंग करते समय परीक्षण स्थितियों के तहत, एक यादृच्छिक चर के विचरण और मानक विचलन की गणना करें:
उतार - चढ़ाव- उतार-चढ़ाव, जनसंख्या की इकाइयों में विशेषता के मूल्य की परिवर्तनशीलता। एक विशेषता के अलग-अलग संख्यात्मक मान जो अध्ययन की गई आबादी में होते हैं, मूल्यों के रूप कहलाते हैं। जनसंख्या के पूर्ण लक्षण वर्णन के लिए औसत मूल्य की अपर्याप्तता औसत मूल्यों को संकेतकों के साथ पूरक करना आवश्यक बनाती है जो अध्ययन के तहत विशेषता के उतार-चढ़ाव (भिन्नता) को मापकर इन औसतों की विशिष्टता का आकलन करना संभव बनाता है। भिन्नता के गुणांक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
अवधि भिन्नता(आर) अध्ययन की गई आबादी में विशेषता के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच का अंतर है। यह संकेतक अध्ययन के तहत विशेषता के उतार-चढ़ाव का सबसे सामान्य विचार देता है, क्योंकि यह केवल विकल्पों के चरम मूल्यों के बीच का अंतर दिखाता है। विशेषता के चरम मूल्यों पर निर्भरता भिन्नता की सीमा को एक अस्थिर, यादृच्छिक चरित्र देती है।
औसत रैखिक विचलनउनके औसत मूल्य से विश्लेषित जनसंख्या के सभी मूल्यों के निरपेक्ष (मॉड्यूलो) विचलन का अंकगणितीय माध्य है:
जुआ सिद्धांत में गणितीय अपेक्षा
गणितीय अपेक्षा हैएक जुआरी किसी दिए गए दांव पर जीत या हार की औसत राशि। यह एक खिलाड़ी के लिए एक बहुत ही महत्वपूर्ण अवधारणा है, क्योंकि यह अधिकांश खेल स्थितियों के आकलन के लिए मौलिक है। बुनियादी कार्ड लेआउट और खेल स्थितियों का विश्लेषण करने के लिए गणितीय अपेक्षा भी सबसे अच्छा उपकरण है।
मान लीजिए कि आप एक दोस्त के साथ सिक्का खेल रहे हैं, हर बार बराबर $1 की बाजी लगा रहे हैं, चाहे कुछ भी हो। पूंछ - तुम जीतते हो, सिर - तुम हारते हो। इसके पूंछ आने की संभावना एक से एक है और आप $ 1 से $ 1 पर दांव लगा रहे हैं। इस प्रकार, आपकी गणितीय अपेक्षा शून्य है, क्योंकि गणितीय रूप से बोलते हुए, आप यह नहीं जान सकते कि आप दो रोल के बाद आगे बढ़ेंगे या हारेंगे या 200 के बाद।
आपका प्रति घंटा लाभ शून्य है। प्रति घंटा भुगतान वह राशि है जो आप एक घंटे में जीतने की उम्मीद करते हैं। आप एक घंटे में एक सिक्के को 500 बार पलट सकते हैं, लेकिन आप न तो जीतेंगे और न ही हारेंगे क्योंकि आपकी संभावनाएं न तो सकारात्मक हैं और न ही नकारात्मक। देखा जाए तो एक गंभीर खिलाड़ी की दृष्टि से इस तरह का सट्टा सिस्टम खराब नहीं है। लेकिन यह सिर्फ समय की बर्बादी है।
लेकिन मान लीजिए कि कोई व्यक्ति उसी गेम में आपके $1 के विरुद्ध $2 का दांव लगाना चाहता है। फिर आपको तुरंत प्रत्येक बेट से 50 सेंट की सकारात्मक उम्मीद है। 50 सेंट क्यों? औसतन, आप एक बेट जीतते हैं और दूसरा हार जाते हैं। पहले डॉलर पर दांव लगाएं और $ 1 खो दें, दूसरे पर दांव लगाएं और $ 2 जीतें। आपने $1 पर दो बार बेट लगाया है और $1 से आगे हैं। तो आपके प्रत्येक एक डॉलर के दांव ने आपको 50 सेंट दिए।
यदि सिक्का एक घंटे में 500 बार गिरता है, तो आपका प्रति घंटा लाभ पहले से ही $250 होगा, क्योंकि। औसतन, आप $1 250 बार हारे और $2 250 बार जीते। $500 माइनस $250 बराबर $250 है, जो कि कुल जीत है। ध्यान दें कि अपेक्षित मूल्य, जो कि एक दांव पर आपके द्वारा औसतन जीती जाने वाली राशि है, 50 सेंट है। आपने 500 बार एक डॉलर की शर्त लगाकर 250 डॉलर जीते, जो आपके दांव के 50 सेंट के बराबर है।
गणितीय अपेक्षा का अल्पकालिक परिणामों से कोई लेना-देना नहीं है। आपका प्रतिद्वंद्वी, जिसने आपके खिलाफ $2 की शर्त लगाने का फैसला किया है, आपको लगातार पहले दस टॉस पर हरा सकता है, लेकिन आप, 2-टू-1 बेटिंग लाभ के साथ, बाकी सभी बराबर होने के कारण, आप किसी भी शर्त के तहत प्रत्येक $1 के दांव पर 50 सेंट बनाते हैं। परिस्थितियां। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप एक शर्त या कई दांव जीतते हैं या हारते हैं, लेकिन केवल इस शर्त पर कि आपके पास लागतों की आसानी से भरपाई करने के लिए पर्याप्त नकदी है। यदि आप इसी तरह से सट्टा लगाते रहते हैं, तो एक लंबी अवधि में आपकी जीत व्यक्तिगत रोल में अपेक्षित मूल्यों के योग तक आ जाएगी।
हर बार जब आप सबसे अच्छा दांव लगाते हैं (एक शर्त जो लंबे समय में लाभदायक हो सकती है) जब ऑड्स आपके पक्ष में होते हैं, तो आप उस पर कुछ जीतने के लिए बाध्य होते हैं, चाहे आप इसे किसी दिए गए हाथ में खो दें या नहीं। इसके विपरीत, यदि आपने एक बदतर शर्त (एक शर्त जो लंबे समय में लाभहीन है) बनाई है, जब ऑड्स आपके पक्ष में नहीं हैं, तो आप कुछ खो देते हैं, चाहे आप जीतें या हारें।
यदि आपकी अपेक्षा सकारात्मक है तो आप सर्वोत्तम परिणाम के साथ शर्त लगाते हैं, और यदि ऑड्स आपके पक्ष में हैं तो यह सकारात्मक है। सबसे खराब परिणाम के साथ दांव लगाने से, आप एक नकारात्मक उम्मीद रखते हैं, जो तब होता है जब ऑड्स आपके खिलाफ होते हैं। गंभीर खिलाड़ी केवल सबसे अच्छे परिणाम के साथ दांव लगाते हैं, सबसे खराब के साथ - वे गुना करते हैं। आपके पक्ष में बाधाओं का क्या अर्थ है? आप वास्तविक बाधाओं से अधिक जीत हासिल कर सकते हैं। टेल मारने की वास्तविक संभावना 1 से 1 है, लेकिन सट्टेबाजी अनुपात के कारण आपको 2 से 1 मिलता है। इस मामले में संभावनाएं आपके पक्ष में हैं। आपको निश्चित रूप से 50 सेंट प्रति दांव की सकारात्मक उम्मीद के साथ सबसे अच्छा परिणाम मिलता है।
यहाँ गणितीय अपेक्षा का अधिक जटिल उदाहरण है। मित्र एक से पांच तक की संख्या लिखता है और आपके $1 के विरुद्ध $5 की शर्त लगाता है कि आप संख्या नहीं चुनेंगे। क्या आप ऐसी शर्त से सहमत हैं? यहाँ क्या उम्मीद है?
औसतन, आप चार बार गलत होंगे। इसके आधार पर, आपके द्वारा संख्या का अनुमान लगाने की संभावना 4 से 1 होगी। संभावना है कि आप एक प्रयास में एक डॉलर खो देंगे। हालाँकि, आप 5 से 1 जीतते हैं, 4 से 1 हारने की संभावना के साथ। इसलिए, ऑड्स आपके पक्ष में हैं, आप दांव लगा सकते हैं और सर्वोत्तम परिणाम की आशा कर सकते हैं। यदि आप यह दांव पांच बार लगाते हैं, तो आप औसतन चार गुना $1 खो देंगे और एक बार $5 जीतेंगे। इसके आधार पर, सभी पांच प्रयासों के लिए आप 20 सेंट प्रति दांव की सकारात्मक गणितीय अपेक्षा के साथ $1 अर्जित करेंगे।
एक खिलाड़ी जो ऊपर दिए गए उदाहरण के अनुसार दांव से अधिक जीतने वाला है, बाधाओं को पकड़ रहा है। इसके विपरीत, जब वह दांव से कम जीतने की उम्मीद करता है तो वह अवसरों को बर्बाद कर देता है। दांव लगाने वाला या तो सकारात्मक या नकारात्मक उम्मीद कर सकता है, इस पर निर्भर करता है कि वह बाधाओं को पकड़ रहा है या बर्बाद कर रहा है।
यदि आप $50 जीतने के लिए $10 जीतने के लिए 4 से 1 मौका देते हैं, तो आपको $ 2 की नकारात्मक उम्मीद मिलेगी, क्योंकि औसतन, आप $10 का चार गुना जीतेंगे और एक बार $50 खो देंगे, जो दर्शाता है कि प्रति बेट का नुकसान $10 होगा। लेकिन अगर आप $30 जीतने के लिए $30 की शर्त लगाते हैं, 4 से 1 जीतने की समान बाधाओं के साथ, तो इस मामले में आपको $2 की सकारात्मक उम्मीद है, क्योंकि आप फिर से $10 के लाभ के लिए चार गुना $10 जीतते हैं और एक बार $30 खो देते हैं। इन उदाहरणों से पता चलता है कि पहला दांव खराब है और दूसरा अच्छा है।
गणितीय अपेक्षा किसी भी खेल की स्थिति का केंद्र है। जब कोई सट्टेबाज फ़ुटबॉल प्रशंसकों को $11 जीतने के लिए $10 की शर्त लगाने के लिए प्रोत्साहित करता है, तो उन्हें प्रत्येक $10 के लिए 50 सेंट की सकारात्मक उम्मीद होती है। यदि कैसिनो क्रेप्स पास लाइन से भी पैसे का भुगतान करता है, तो घर की सकारात्मक अपेक्षा प्रत्येक $100 के लिए लगभग $1.40 है; इस गेम को इस तरह से संरचित किया गया है कि इस लाइन पर दांव लगाने वाला हर व्यक्ति औसतन 50.7% खो देता है और 49.3% बार जीतता है। निस्संदेह, यह प्रतीत होता है कि न्यूनतम सकारात्मक अपेक्षा है जो दुनिया भर के कैसीनो मालिकों के लिए भारी मुनाफा लाती है। जैसा कि वेगास वर्ल्ड कैसीनो के मालिक बॉब स्टुपक ने टिप्पणी की, "एक लंबी पर्याप्त दूरी पर एक प्रतिशत नकारात्मक संभावना का एक हजारवां हिस्सा दुनिया के सबसे अमीर आदमी को दिवालिया कर देगा।"
पोकर खेलते समय गणितीय अपेक्षा
गणितीय अपेक्षा के सिद्धांत और गुणों का उपयोग करने के मामले में पोकर का खेल सबसे अधिक उदाहरण और उदाहरण है।
पोकर में अपेक्षित मूल्य एक विशेष निर्णय से औसत लाभ है, बशर्ते कि इस तरह के निर्णय को बड़ी संख्या और लंबी दूरी के सिद्धांत के ढांचे में माना जा सकता है। सफल पोकर हमेशा सकारात्मक गणितीय अपेक्षा के साथ चालों को स्वीकार करने के बारे में है।
पोकर खेलते समय गणितीय अपेक्षा का गणितीय अर्थ यह है कि निर्णय लेते समय हम अक्सर यादृच्छिक चर का सामना करते हैं (हम नहीं जानते कि कौन से कार्ड प्रतिद्वंद्वी के हाथ में हैं, कौन से कार्ड बाद के बेटिंग राउंड में आएंगे)। हमें प्रत्येक समाधान पर बड़ी संख्या के सिद्धांत के दृष्टिकोण से विचार करना चाहिए, जो कहता है कि पर्याप्त रूप से बड़े नमूने के साथ, एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य इसकी गणितीय अपेक्षा के अनुरूप होगा।
गणितीय अपेक्षा की गणना के लिए निजी फ़ार्मुलों में, पोकर में निम्नलिखित सबसे अधिक लागू होता है:
पोकर खेलते समय, गणितीय अपेक्षा की गणना दांव और कॉल दोनों के लिए की जा सकती है। पहले मामले में, गुना इक्विटी को ध्यान में रखा जाना चाहिए, दूसरे में, पॉट की अपनी बाधाओं को। किसी विशेष चाल की गणितीय अपेक्षा का मूल्यांकन करते समय, यह याद रखना चाहिए कि एक गुना में हमेशा शून्य गणितीय अपेक्षा होती है। इस प्रकार, किसी भी नकारात्मक कदम की तुलना में कार्ड छोड़ना हमेशा अधिक लाभदायक होगा।
उम्मीद आपको बताती है कि आप जोखिम वाले प्रत्येक डॉलर के लिए आप क्या उम्मीद कर सकते हैं (लाभ या हानि)। कैसीनो पैसा कमाते हैं क्योंकि उन सभी खेलों की गणितीय अपेक्षा कैसीनो के पक्ष में है। खेलों की पर्याप्त लंबी श्रृंखला के साथ, यह उम्मीद की जा सकती है कि ग्राहक अपना पैसा खो देगा, क्योंकि "संभावना" कैसीनो के पक्ष में है। हालांकि, पेशेवर कैसीनो खिलाड़ी अपने खेल को कम समय तक सीमित रखते हैं, जिससे उनके पक्ष में संभावनाएं बढ़ जाती हैं। वही निवेश के लिए जाता है। यदि आपकी अपेक्षा सकारात्मक है, तो आप कम समय में कई ट्रेड करके अधिक पैसा कमा सकते हैं। उम्मीद है कि आपके लाभ का प्रतिशत प्रति जीत बार आपके औसत लाभ से घटाकर आपके औसत नुकसान के नुकसान की संभावना है।
पोकर को गणितीय अपेक्षा के संदर्भ में भी माना जा सकता है। आप मान सकते हैं कि एक निश्चित कदम लाभदायक है, लेकिन कुछ मामलों में यह सबसे अच्छा नहीं हो सकता है, क्योंकि दूसरा कदम अधिक लाभदायक है। मान लें कि आपने पांच कार्ड ड्रा पोकर में एक पूरा घर मारा है। आपका प्रतिद्वंद्वी दांव लगाता है। आप जानते हैं कि यदि आप आगे बढ़ेंगे, तो वह फोन करेगा। तो उठाना सबसे अच्छी रणनीति की तरह दिखता है। लेकिन अगर आप उठाते हैं, तो शेष दो खिलाड़ी निश्चित रूप से फोल्ड हो जाएंगे। लेकिन अगर आप दांव लगाते हैं, तो आप पूरी तरह से आश्वस्त होंगे कि आपके बाद के अन्य दो खिलाड़ी भी ऐसा ही करेंगे। जब आप बेट बढ़ाते हैं, तो आपको एक यूनिट मिलती है, और बस कॉल करने पर आपको दो मिलते हैं। इसलिए कॉल करने से आपको एक उच्च सकारात्मक अपेक्षित मूल्य मिलता है और यह सबसे अच्छी रणनीति है।
गणितीय अपेक्षा इस बात का भी अंदाजा लगा सकती है कि कौन सी पोकर रणनीति कम लाभदायक है और कौन सी अधिक लाभदायक है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक निश्चित हाथ खेलते हैं और आपको लगता है कि एंट्स सहित आपका औसत नुकसान 75 सेंट है, तो आपको उस हाथ को खेलना चाहिए क्योंकि यह फोल्डिंग से बेहतर है जब पूर्व $ 1 हो।
अपेक्षित मूल्य को समझने का एक अन्य महत्वपूर्ण कारण यह है कि यह आपको मन की शांति की भावना देता है कि आप एक शर्त जीतते हैं या नहीं: यदि आपने एक अच्छा दांव लगाया है या समय पर मुड़ा हुआ है, तो आपको पता चल जाएगा कि आपने एक निश्चित राशि अर्जित की है या बचाई है। पैसा, जिसे एक कमजोर खिलाड़ी नहीं बचा सका। यदि आप निराश हैं कि आपके प्रतिद्वंद्वी का ड्रॉ पर बेहतर हाथ है, तो इसे मोड़ना बहुत कठिन है। यानी, दांव लगाने के बजाय आप न खेलकर जो पैसा बचाते हैं, वह आपकी रातोंरात या मासिक जीत में जुड़ जाता है।
बस याद रखें कि यदि आप हाथ बदलते हैं, तो आपका विरोधी आपको कॉल करेगा, और जैसा कि आप पोकर के मौलिक प्रमेय लेख में देखेंगे, यह आपके लाभों में से एक है। ऐसा होने पर आपको खुशी मनानी चाहिए। आप एक हाथ खोने का आनंद लेना भी सीख सकते हैं, क्योंकि आप जानते हैं कि आपके जूते में अन्य खिलाड़ी बहुत अधिक खो देंगे।
जैसा कि शुरुआत में सिक्का खेल उदाहरण में चर्चा की गई है, प्रति घंटा वापसी की दर गणितीय अपेक्षा से संबंधित है, और यह अवधारणा पेशेवर खिलाड़ियों के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। जब आप पोकर खेलने जा रहे हों, तो आपको मानसिक रूप से यह अनुमान लगाना होगा कि आप एक घंटे के खेल में कितना जीत सकते हैं। ज्यादातर मामलों में, आपको अपने अंतर्ज्ञान और अनुभव पर भरोसा करने की आवश्यकता होगी, लेकिन आप कुछ गणितीय गणनाओं का भी उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप ड्रा लोबॉल खेल रहे हैं और आप देखते हैं कि तीन खिलाड़ी $ 10 की शर्त लगाते हैं और फिर दो कार्ड बनाते हैं, जो एक बहुत ही खराब रणनीति है, तो आप अपने लिए गणना कर सकते हैं कि हर बार जब वे $ 10 की शर्त लगाते हैं तो वे लगभग $ 2 खो देते हैं। उनमें से प्रत्येक इसे एक घंटे में आठ बार करता है, जिसका अर्थ है कि तीनों को लगभग $48 प्रति घंटे का नुकसान होता है। आप शेष चार खिलाड़ियों में से एक हैं, जो लगभग बराबर हैं, इसलिए इन चार खिलाड़ियों (और उनमें से आप) को $48 साझा करना होगा, और प्रत्येक $12 प्रति घंटे कमाएगा। इस मामले में आपकी प्रति घंटा दर प्रति घंटे तीन खराब खिलाड़ियों द्वारा खोए गए धन की राशि का आपका हिस्सा है।
लंबी अवधि में, खिलाड़ी की कुल जीत अलग-अलग वितरणों में उसकी गणितीय अपेक्षाओं का योग है। जितना अधिक आप सकारात्मक उम्मीद के साथ खेलते हैं, उतना ही आप जीतते हैं, और इसके विपरीत, जितना अधिक आप नकारात्मक उम्मीद के साथ खेलते हैं, उतना ही आप हारते हैं। नतीजतन, आपको एक ऐसे खेल को प्राथमिकता देनी चाहिए जो आपकी सकारात्मक अपेक्षा को अधिकतम कर सके या आपके नकारात्मक को नकार सके ताकि आप अपने प्रति घंटा लाभ को अधिकतम कर सकें।
खेल रणनीति में सकारात्मक गणितीय अपेक्षा
यदि आप जानते हैं कि कार्ड कैसे गिनें, तो आपको कैसीनो पर एक फायदा हो सकता है यदि वे आपको नोटिस नहीं करते हैं और आपको बाहर निकाल देते हैं। कैसीनो शराबी जुआरी से प्यार करते हैं और ताश के पत्तों की गिनती नहीं कर सकते। लाभ आपको समय के साथ हारने से अधिक बार जीतने की अनुमति देगा। उम्मीद की गणना का उपयोग करके अच्छा धन प्रबंधन आपको अपनी बढ़त से बाहर निकलने और अपने नुकसान को कम करने में मदद कर सकता है। एक लाभ के बिना, आप दान के लिए पैसा देना बेहतर समझते हैं। स्टॉक एक्सचेंज पर खेल में, खेल की प्रणाली द्वारा लाभ दिया जाता है, जो नुकसान, मूल्य अंतर और कमीशन की तुलना में अधिक लाभ पैदा करता है। धन प्रबंधन की कोई भी राशि खराब गेमिंग सिस्टम को नहीं बचाएगी।
एक सकारात्मक अपेक्षा शून्य से अधिक मूल्य द्वारा परिभाषित की जाती है। यह संख्या जितनी बड़ी होगी, सांख्यिकीय अपेक्षा उतनी ही मजबूत होगी। यदि मान शून्य से कम है, तो गणितीय अपेक्षा भी ऋणात्मक होगी। ऋणात्मक मान का मापांक जितना बड़ा होगा, स्थिति उतनी ही खराब होगी। यदि परिणाम शून्य है, तो उम्मीद भी टूट जाती है। आप तभी जीत सकते हैं जब आपके पास एक सकारात्मक गणितीय अपेक्षा, एक उचित खेल प्रणाली हो। अंतर्ज्ञान पर खेलने से आपदा आती है।
गणितीय अपेक्षा और स्टॉक ट्रेडिंग
वित्तीय बाजारों में विनिमय व्यापार में गणितीय अपेक्षा काफी व्यापक रूप से मांग और लोकप्रिय सांख्यिकीय संकेतक है। सबसे पहले, इस पैरामीटर का उपयोग व्यापार की सफलता का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। यह अनुमान लगाना मुश्किल नहीं है कि यह मूल्य जितना बड़ा होगा, अध्ययन के तहत व्यापार को सफल मानने का उतना ही अधिक कारण होगा। बेशक, एक व्यापारी के काम का विश्लेषण केवल इस पैरामीटर की मदद से नहीं किया जा सकता है। हालांकि, गणना मूल्य, काम की गुणवत्ता का आकलन करने के अन्य तरीकों के संयोजन में, विश्लेषण की सटीकता में काफी वृद्धि कर सकता है।
गणितीय अपेक्षा की गणना अक्सर ट्रेडिंग खाता निगरानी सेवाओं में की जाती है, जो आपको जमा पर किए गए कार्य का त्वरित मूल्यांकन करने की अनुमति देती है। अपवाद के रूप में, हम उन रणनीतियों का हवाला दे सकते हैं जो ट्रेडों को खोने के "ओवरस्टेयिंग" का उपयोग करती हैं। एक व्यापारी कुछ समय के लिए भाग्यशाली हो सकता है, और इसलिए, उसके काम में बिल्कुल भी नुकसान नहीं हो सकता है। इस मामले में, केवल अपेक्षा से नेविगेट करना संभव नहीं होगा, क्योंकि कार्य में उपयोग किए जाने वाले जोखिमों को ध्यान में नहीं रखा जाएगा।
बाजार पर व्यापार में, गणितीय अपेक्षा का सबसे अधिक बार उपयोग किया जाता है जब एक व्यापारिक रणनीति की लाभप्रदता की भविष्यवाणी करते समय या अपने पिछले ट्रेडों के आंकड़ों के आधार पर किसी व्यापारी की आय की भविष्यवाणी करते समय।
धन प्रबंधन के संदर्भ में, यह समझना बहुत महत्वपूर्ण है कि नकारात्मक अपेक्षा के साथ व्यापार करते समय, कोई धन प्रबंधन योजना नहीं है जो निश्चित रूप से उच्च लाभ ला सके। यदि आप इन शर्तों के तहत एक्सचेंज खेलना जारी रखते हैं, तो आप अपने पैसे का प्रबंधन कैसे भी करते हैं, आप अपना पूरा खाता खो देंगे, चाहे वह शुरुआत में कितना भी बड़ा क्यों न हो।
यह स्वयंसिद्ध न केवल नकारात्मक अपेक्षा वाले खेलों या ट्रेडों के लिए सही है, यह ऑड्स गेम्स के लिए भी सही है। इसलिए, एकमात्र मामला जहां आपको लंबे समय में लाभ उठाने का मौका मिलता है, वह है सकारात्मक गणितीय अपेक्षा के साथ सौदे करना।
नकारात्मक अपेक्षा और सकारात्मक अपेक्षा के बीच का अंतर जीवन और मृत्यु के बीच का अंतर है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि अपेक्षा कितनी सकारात्मक या कितनी नकारात्मक है; क्या मायने रखता है कि यह सकारात्मक है या नकारात्मक। इसलिए, धन प्रबंधन पर विचार करने से पहले, आपको एक सकारात्मक उम्मीद के साथ एक खेल खोजना चाहिए।
यदि आपके पास वह खेल नहीं है, तो दुनिया में कोई भी राशि प्रबंधन आपको नहीं बचाएगा। दूसरी ओर, यदि आपके पास सकारात्मक उम्मीद है, तो उचित धन प्रबंधन के माध्यम से, इसे एक घातीय वृद्धि समारोह में बदलना संभव है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि सकारात्मक अपेक्षा कितनी छोटी है! दूसरे शब्दों में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि एक अनुबंध पर आधारित ट्रेडिंग सिस्टम कितना लाभदायक है। यदि आपके पास एक प्रणाली है जो एक व्यापार (फीस और स्लिपेज के बाद) पर $ 10 प्रति अनुबंध जीतती है, तो आप इसे एक सिस्टम से अधिक लाभदायक बनाने के लिए धन प्रबंधन तकनीकों का उपयोग कर सकते हैं जो प्रति व्यापार $ 1,000 का औसत लाभ दिखाता है (कमीशन की कटौती के बाद और फिसलन)।
महत्वपूर्ण यह नहीं है कि प्रणाली कितनी लाभदायक थी, बल्कि यह कहा जा सकता है कि यह प्रणाली भविष्य में कम से कम न्यूनतम लाभ दिखाएगी। इसलिए, एक व्यापारी जो सबसे महत्वपूर्ण तैयारी कर सकता है, वह यह सुनिश्चित करना है कि सिस्टम भविष्य में सकारात्मक अपेक्षित मूल्य दिखाता है।
भविष्य में सकारात्मक अपेक्षित मूल्य प्राप्त करने के लिए, यह बहुत महत्वपूर्ण है कि आप अपने सिस्टम की स्वतंत्रता की डिग्री को सीमित न करें। यह न केवल अनुकूलित किए जाने वाले मापदंडों की संख्या को समाप्त या कम करके प्राप्त किया जाता है, बल्कि यथासंभव अधिक से अधिक सिस्टम नियमों को कम करके भी प्राप्त किया जाता है। आपके द्वारा जोड़े गए प्रत्येक पैरामीटर, आपके द्वारा बनाए गए प्रत्येक नियम, आपके द्वारा सिस्टम में किए गए प्रत्येक छोटे परिवर्तन से स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या कम हो जाती है। आदर्श रूप से, आप एक काफी आदिम और सरल प्रणाली बनाना चाहते हैं जो लगभग किसी भी बाजार में लगातार एक छोटा सा लाभ लाएगा। फिर, यह महत्वपूर्ण है कि आप समझें कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कोई सिस्टम कितना लाभदायक है, जब तक कि यह लाभदायक है। ट्रेडिंग में आप जो पैसा कमाते हैं वह प्रभावी धन प्रबंधन के माध्यम से अर्जित किया जाएगा।
एक व्यापार प्रणाली केवल एक उपकरण है जो आपको सकारात्मक गणितीय अपेक्षा देता है ताकि धन प्रबंधन का उपयोग किया जा सके। सिस्टम जो केवल एक या कुछ बाजारों में काम करते हैं (कम से कम एक न्यूनतम लाभ दिखाते हैं), या अलग-अलग बाजारों के लिए अलग-अलग नियम या पैरामीटर हैं, संभवतः वास्तविक समय में लंबे समय तक काम नहीं करेंगे। अधिकांश तकनीकी व्यापारियों के साथ समस्या यह है कि वे एक व्यापार प्रणाली के विभिन्न नियमों और मानकों को अनुकूलित करने में बहुत अधिक समय और प्रयास करते हैं। यह बिल्कुल विपरीत परिणाम देता है। ट्रेडिंग सिस्टम के मुनाफे को बढ़ाने पर ऊर्जा और कंप्यूटर का समय बर्बाद करने के बजाय, अपनी ऊर्जा को न्यूनतम लाभ प्राप्त करने की विश्वसनीयता के स्तर को बढ़ाने की दिशा में निर्देशित करें।
यह जानते हुए कि धन प्रबंधन केवल एक संख्या का खेल है जिसमें सकारात्मक अपेक्षाओं के उपयोग की आवश्यकता होती है, एक व्यापारी स्टॉक ट्रेडिंग के "पवित्र कब्र" की तलाश करना बंद कर सकता है। इसके बजाय, वह अपनी ट्रेडिंग पद्धति का परीक्षण शुरू कर सकता है, यह पता लगा सकता है कि यह विधि तार्किक रूप से कैसी है, क्या यह सकारात्मक उम्मीदें देती है। किसी भी, यहां तक कि बहुत ही औसत दर्जे के व्यापारिक तरीकों पर लागू होने वाली उचित धन प्रबंधन विधियां, बाकी काम करेंगी।
किसी भी व्यापारी को अपने काम में सफलता के लिए तीन सबसे महत्वपूर्ण कार्यों को हल करने की आवश्यकता होती है: यह सुनिश्चित करने के लिए कि सफल लेनदेन की संख्या अपरिहार्य गलतियों और गलत गणनाओं से अधिक है; अपना ट्रेडिंग सिस्टम सेट करें ताकि जितनी बार संभव हो पैसा कमाने का अवसर मिले; अपने कार्यों का एक स्थिर सकारात्मक परिणाम प्राप्त करें।
और यहां, हमारे लिए, कामकाजी व्यापारियों के लिए, गणितीय अपेक्षाएं एक अच्छी मदद प्रदान कर सकती हैं। संभाव्यता के सिद्धांत में यह शब्द कुंजी में से एक है। इसके साथ, आप कुछ यादृच्छिक मूल्य का औसत अनुमान दे सकते हैं। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की तरह है, यदि हम विभिन्न द्रव्यमान वाले बिंदुओं के रूप में सभी संभावित संभावनाओं की कल्पना करते हैं।
एक व्यापारिक रणनीति के संबंध में, इसकी प्रभावशीलता का मूल्यांकन करने के लिए, लाभ (या हानि) की गणितीय अपेक्षा का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। इस पैरामीटर को लाभ और हानि के दिए गए स्तरों के उत्पादों के योग और उनके घटित होने की संभावना के रूप में परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, विकसित व्यापारिक रणनीति यह मानती है कि सभी कार्यों का 37% लाभ लाएगा, और शेष भाग - 63% - लाभहीन होगा। उसी समय, एक सफल लेनदेन से औसत आय $7 होगी, और औसत हानि $1.4 होगी। आइए निम्नलिखित प्रणाली का उपयोग करके व्यापार की गणितीय अपेक्षा की गणना करें:
इस अंक का क्या अर्थ है? इसमें कहा गया है कि, इस प्रणाली के नियमों का पालन करते हुए, हमें प्रत्येक बंद लेनदेन से औसतन 1.708 डॉलर प्राप्त होंगे। चूंकि परिणामी दक्षता स्कोर शून्य से अधिक है, इस तरह की प्रणाली का उपयोग वास्तविक कार्य के लिए किया जा सकता है। यदि, गणना के परिणामस्वरूप, गणितीय अपेक्षा नकारात्मक हो जाती है, तो यह पहले से ही एक औसत नुकसान का संकेत देता है और इस तरह के व्यापार से बर्बादी होगी।
प्रति व्यापार लाभ की मात्रा को सापेक्ष मूल्य के रूप में% के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:
- प्रति 1 लेन-देन आय का प्रतिशत - 5%;
- सफल व्यापारिक संचालन का प्रतिशत - 62%;
- प्रति 1 व्यापार हानि प्रतिशत - 3%;
- असफल लेनदेन का प्रतिशत - 38%;
यानी औसत लेन-देन 1.96% लाएगा।
एक ऐसी प्रणाली विकसित करना संभव है, जो ट्रेडों को खोने की प्रबलता के बावजूद, सकारात्मक परिणाम देगी, क्योंकि इसका MO>0 है।
हालांकि, अकेले इंतजार करना काफी नहीं है। अगर सिस्टम बहुत कम ट्रेडिंग सिग्नल देता है तो पैसा कमाना मुश्किल है। इस मामले में, इसकी लाभप्रदता बैंक ब्याज के बराबर होगी। प्रत्येक ऑपरेशन को औसतन केवल 0.5 डॉलर लाने दें, लेकिन क्या होगा यदि सिस्टम प्रति वर्ष 1000 लेनदेन मानता है? यह अपेक्षाकृत कम समय में बहुत गंभीर राशि होगी। यह तार्किक रूप से इसका अनुसरण करता है कि एक अच्छी ट्रेडिंग सिस्टम की एक और पहचान को एक छोटी होल्डिंग अवधि माना जा सकता है।
स्रोत और लिंक
dic.academic.ru - अकादमिक ऑनलाइन शब्दकोश
math.ru - गणित पर शैक्षिक साइट
nsu.ru - नोवोसिबिर्स्क स्टेट यूनिवर्सिटी की शैक्षिक वेबसाइट
webmath.ru छात्रों, आवेदकों और स्कूली बच्चों के लिए एक शैक्षिक पोर्टल है।
exponenta.ru शैक्षिक गणितीय साइट
ru.tradimo.com - मुफ्त ऑनलाइन ट्रेडिंग स्कूल
Crypto.hut2.ru - बहु-विषयक सूचना संसाधन
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sernam.ru - चयनित प्राकृतिक विज्ञान प्रकाशनों का वैज्ञानिक पुस्तकालय
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असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा इसके सभी संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के उत्पादों का योग है।
मान लीजिए कि एक यादृच्छिक चर केवल वही प्रायिकताएँ ले सकता है जिनकी क्रमशः समान हैं। तब एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा समानता द्वारा निर्धारित की जाती है
यदि एक असतत यादृच्छिक चर संभावित मानों के एक गणनीय सेट पर ले जाता है, तो
इसके अलावा, गणितीय अपेक्षा मौजूद है यदि समानता के दाईं ओर की श्रृंखला पूरी तरह से परिवर्तित हो जाती है।
टिप्पणी। यह परिभाषा से इस प्रकार है कि असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक गैर-यादृच्छिक (स्थिर) चर है।
सामान्य स्थिति में गणितीय अपेक्षा की परिभाषा
आइए हम एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा को परिभाषित करें जिसका वितरण आवश्यक रूप से असतत नहीं है। आइए गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर के मामले से शुरू करें। विचार असतत लोगों की मदद से ऐसे यादृच्छिक चर का अनुमान लगाने का होगा, जिसके लिए गणितीय अपेक्षा पहले ही निर्धारित की जा चुकी है, और गणितीय अपेक्षा को असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षाओं की सीमा के बराबर सेट करें। वैसे, यह एक बहुत ही उपयोगी सामान्य विचार है, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि कुछ विशेषता पहले सरल वस्तुओं के लिए निर्धारित की जाती है, और फिर अधिक जटिल वस्तुओं के लिए, उन्हें सरल लोगों के साथ अनुमानित करके निर्धारित किया जाता है।
लेम्मा 1. मान लीजिए कि एक मनमाना गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर है। फिर असतत यादृच्छिक चर का एक क्रम होता है जैसे कि
प्रमाण। आइए हम अर्ध-अक्ष को लंबाई के समान खंडों में विभाजित करें और परिभाषित करें
फिर गुण 1 और 2 एक यादृच्छिक चर की परिभाषा से आसानी से अनुसरण करते हैं, और
लेम्मा 2. मान लीजिए कि एक गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर है और लेम्मा 1 से गुण 1-3 के साथ असतत यादृच्छिक चर के दो अनुक्रम हैं। फिर
प्रमाण। ध्यान दें कि गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर के लिए हम अनुमति देते हैं
संपत्ति 3 से, यह देखना आसान है कि सकारात्मक संख्याओं का एक क्रम है जैसे कि
इसलिए यह इस प्रकार है कि
असतत यादृच्छिक चर के लिए गणितीय अपेक्षाओं के गुणों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं
जब हम लेम्मा 2 का अभिकथन प्राप्त करते हैं तो सीमा तक जाते हुए।
परिभाषा 1. मान लीजिए कि एक गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर है, लेम्मा 1 से गुण 1-3 के साथ असतत यादृच्छिक चर का अनुक्रम हो। यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा संख्या है
लेम्मा 2 गारंटी देता है कि यह अनुमानित अनुक्रम की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।
आइए अब एक मनमाना यादृच्छिक चर बनें। आइए परिभाषित करें
परिभाषा से और यह आसानी से इस प्रकार है
परिभाषा 2. एक मनमाना यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा संख्या है
यदि इस समानता के दायीं ओर की संख्याओं में से कम से कम एक परिमित है।
उम्मीद गुण
संपत्ति 1. स्थिर मूल्य की गणितीय अपेक्षा स्थिरांक के बराबर होती है:
प्रमाण। हम एक स्थिरांक को एक असतत यादृच्छिक चर के रूप में मानेंगे जिसका एक संभावित मान है और इसे प्रायिकता के साथ लेता है, इसलिए,
टिप्पणी 1. हम एक असतत यादृच्छिक चर द्वारा एक निरंतर मूल्य के उत्पाद को एक असतत यादृच्छिक चर के रूप में परिभाषित करते हैं जिसका संभावित मान संभावित मूल्यों द्वारा स्थिर के उत्पादों के बराबर होता है; संभावित मूल्यों की संभावनाएं संबंधित संभावित मूल्यों की संभावनाओं के बराबर हैं उदाहरण के लिए, यदि संभावित मूल्य की संभावना बराबर है, तो संभावना है कि मूल्य एक मूल्य पर ले जाएगा, वह भी बराबर है
संपत्ति 2. उम्मीद के संकेत से एक स्थिर कारक निकाला जा सकता है:
प्रमाण। मान लीजिए कि यादृच्छिक चर प्रायिकता वितरण नियम द्वारा दिया गया है:
टिप्पणी 1 को ध्यान में रखते हुए, हम यादृच्छिक चर के वितरण का नियम लिखते हैं
टिप्पणी 2। अगली संपत्ति पर आगे बढ़ने से पहले, हम बताते हैं कि दो यादृच्छिक चर स्वतंत्र कहलाते हैं यदि उनमें से एक का वितरण कानून इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि दूसरे चर ने क्या संभावित मान लिए हैं। अन्यथा, यादृच्छिक चर निर्भर हैं। कई यादृच्छिक चर परस्पर स्वतंत्र कहलाते हैं यदि उनमें से किसी भी संख्या के वितरण के नियम इस बात पर निर्भर नहीं करते हैं कि अन्य चरों ने क्या संभावित मान लिए हैं।
टिप्पणी 3. हम स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद को परिभाषित करते हैं और एक यादृच्छिक चर के रूप में जिनके संभावित मूल्य प्रत्येक संभावित मूल्य के उत्पादों के बराबर होते हैं, उत्पाद के संभावित मूल्यों की संभावनाओं के प्रत्येक संभावित मूल्य बराबर होते हैं कारकों के संभावित मूल्यों की संभावनाओं के उत्पादों के लिए। उदाहरण के लिए, यदि एक संभावित मूल्य की संभावना है, एक संभावित मूल्य की संभावना है तो संभावित मूल्य की संभावना है
संपत्ति 3. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है:
प्रमाण। स्वतंत्र यादृच्छिक चर दें और अपने स्वयं के संभाव्यता वितरण कानूनों द्वारा दिए जाएं:
आइए उन सभी मानों को बनाते हैं जो एक यादृच्छिक चर ले सकता है। ऐसा करने के लिए, हम सभी संभावित मानों को प्रत्येक संभावित मान से गुणा करते हैं; नतीजतन, हम प्राप्त करते हैं और, टिप्पणी 3 को ध्यान में रखते हुए, हम वितरण कानून लिखते हैं, सादगी के लिए मानते हैं कि उत्पाद के सभी संभावित मूल्य अलग-अलग हैं (यदि ऐसा नहीं है, तो सबूत समान रूप से किया जाता है):
गणितीय अपेक्षा सभी संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के उत्पादों के योग के बराबर है:
परिणाम। कई परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के गुणनफल की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के गुणनफल के बराबर होती है।
संपत्ति 4. दो यादृच्छिक चर के योग की गणितीय अपेक्षा शर्तों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है:
प्रमाण। यादृच्छिक चर दें और निम्नलिखित वितरण कानूनों द्वारा दिए जाएं:
मात्रा के सभी संभावित मानों की रचना करें ऐसा करने के लिए, प्रत्येक संभावित मान को प्रत्येक संभावित मान में जोड़ें; हम सरलता के लिए मान लेते हैं कि ये संभावित मान भिन्न हैं (यदि ऐसा नहीं है, तो प्रमाण उसी तरह से किया जाता है), और उनकी संभावनाओं को क्रमशः और द्वारा निरूपित करते हैं
एक मूल्य की गणितीय अपेक्षा उनकी संभावनाओं द्वारा संभावित मूल्यों के उत्पादों के योग के बराबर है:
आइए हम साबित करें कि एक घटना जिसमें एक मूल्य लेना शामिल है (इस घटना की संभावना बराबर है) में एक घटना शामिल होती है जिसमें मूल्य लेना होता है या (इस घटना की संभावना अतिरिक्त प्रमेय के बराबर होती है), और इसके विपरीत। इसलिए यह इस प्रकार है कि समानताएं
इन समानताओं के सही भागों को संबंध (*) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं
या अंत में
फैलाव और मानक विचलन
व्यवहार में, एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों के औसत मूल्य के आसपास फैलाव का अनुमान लगाने के लिए अक्सर इसकी आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, तोपखाने में यह जानना महत्वपूर्ण है कि गोले उस लक्ष्य के कितने करीब गिरेंगे जिसे मारा जाना चाहिए।
पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि बिखरने का अनुमान लगाने का सबसे आसान तरीका एक यादृच्छिक चर के विचलन के सभी संभावित मूल्यों की गणना करना है और फिर उनका औसत मूल्य ज्ञात करना है। हालाँकि, यह पथ कुछ भी नहीं देगा, क्योंकि विचलन का औसत मूल्य, अर्थात्। किसी भी यादृच्छिक चर के लिए शून्य है। इस संपत्ति को इस तथ्य से समझाया गया है कि कुछ संभावित विचलन सकारात्मक हैं, जबकि अन्य नकारात्मक हैं; उनके पारस्परिक रद्दीकरण के परिणामस्वरूप, विचलन का औसत मान शून्य है। ये विचार संभावित विचलन को उनके पूर्ण मूल्यों या उनके वर्गों के साथ बदलने की समीचीनता का संकेत देते हैं। इस तरह वे इसे व्यवहार में करते हैं। सच है, जब संभावित विचलन को उनके निरपेक्ष मूल्यों से बदल दिया जाता है, तो किसी को पूर्ण मूल्यों के साथ काम करना पड़ता है, जो कभी-कभी गंभीर कठिनाइयों का कारण बनता है। इसलिए, अक्सर वे दूसरी तरफ जाते हैं, यानी। वर्ग विचलन के औसत मूल्य की गणना करें, जिसे विचरण कहा जाता है।
आइए नमूने के माध्य मान और MS EXCEL में एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा की गणना करें।
नमूना माध्य
नमूना माध्यया नमूना माध्य(नमूना औसत, माध्य) is औसतअंकगणितसभी मूल्य नमूने .
गणना के लिए एमएस एक्सेल में नमूना औसतआप औसत() फ़ंक्शन का उपयोग कर सकते हैं। फ़ंक्शन तर्क के रूप में, आपको मान वाली श्रेणी का संदर्भ निर्दिष्ट करना होगा नमूने .
नमूना माध्यएक "अच्छा" (निष्पक्ष और कुशल) बिंदु अनुमान है गणितीय अपेक्षायादृच्छिक चर (देखें), अर्थात्। औसत मूल्यमूल वितरण जिसमें से नमूना .
ध्यान दें: गणना के बारे में विश्वास अंतरालमूल्यांकन करते समय गणितीय अपेक्षाउदाहरण के लिए, लेख में पढ़ा जा सकता है।
कुछ गुण अंकगणित औसत :
- से सभी विचलन का योग औसत मूल्य 0 है:
- यदि प्रत्येक मान x i . में एक और एक ही स्थिरांक जोड़ा जाता है से, फिर औसतएक ही स्थिरांक से बढ़ेगा;
- यदि प्रत्येक x i मान को एक ही स्थिरांक से गुणा किया जाता है से, फिर औसतएक ही स्थिरांक से गुणा किया जाता है।
अपेक्षित मूल्य
अर्थन केवल एक नमूने के लिए, बल्कि एक यादृच्छिक चर के लिए गणना की जा सकती है, यदि यह ज्ञात है। इस मामले में अर्थएक विशेष नाम है अपेक्षित मूल्य।अपेक्षित मूल्यएक यादृच्छिक चर के "केंद्रीय" या औसत मूल्य की विशेषता है।
ध्यान दें: अंग्रेजी भाषा के साहित्य में . के लिए कई शब्द हैं गणितीय अपेक्षा: अपेक्षा, गणितीय अपेक्षा, EV (अपेक्षित मान), औसत, माध्य मान, माध्य, E[X] या प्रथम क्षण M[X]।
अपेक्षित मूल्यसूत्र द्वारा गणना:
जहां x i वह मान है जो यादृच्छिक चर ले सकता है, और p(x i) संभावना है कि यादृच्छिक चर यह मान लेगा।
यदि यादृच्छिक चर है, तो अपेक्षित मूल्यसूत्र द्वारा गणना।
अपेक्षित मूल्य- एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य (एक स्थिर यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण) जब नमूनों की संख्या या माप की संख्या (कभी-कभी वे परीक्षणों की संख्या कहते हैं) अनंत तक जाती है।
परिमित संख्या में परीक्षणों के एक-आयामी यादृच्छिक चर के अंकगणितीय माध्य को आमतौर पर कहा जाता है उम्मीद का अनुमान. जब एक स्थिर यादृच्छिक प्रक्रिया के परीक्षणों की संख्या अनंत हो जाती है, तो गणितीय अपेक्षा का अनुमान गणितीय अपेक्षा की ओर जाता है।
गणितीय अपेक्षा संभाव्यता सिद्धांत में बुनियादी अवधारणाओं में से एक है)।
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संभाव्यता सिद्धांत 15: गणितीय अपेक्षा
गणितीय अपेक्षा
गणितीय अपेक्षा और विचरण। सिद्धांत
ट्रेडिंग में गणितीय अपेक्षा
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परिभाषा
एक प्रायिकता (स्पेस दिया जाए) दें (Ω , A , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathfrak (A)),\mathbb (P)))और उस पर परिभाषित यादृच्छिक मूल्य एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स). यानी परिभाषा के अनुसार, X: Ω → R (\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb (R) )एक मापने योग्य कार्य है। यदि मौजूद है a Lebesgue का अभिन्न अंग एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)अंतरिक्ष से (\displaystyle \Omega ), तो इसे गणितीय अपेक्षा, या औसत (अपेक्षित) मान कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है एम [एक्स] (\displaystyle एम[एक्स])या ई [एक्स] (\displaystyle \mathbb (ई) [एक्स]).
एम [एक्स] = एक्स (ω) पी (डी ω) । (\displaystyle M[X]=\int \limits _(\Omega )\!X(\omega)\,\mathbb (P) (d\omega)।)गणितीय अपेक्षा के लिए बुनियादी सूत्र
एम [ एक्स ] = ∫ - ∞ एक्स डी एफ एक्स (एक्स) ; x ∈ R (\displaystyle M[X]=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!x\,dF_(X)(x);x\in \mathbb (R) ).
असतत वितरण की गणितीय अपेक्षा
P (X = xi) = pi , ∑ i = 1 pi = 1 (\displaystyle \mathbb (P) (X=x_(i))=p_(i),\;\sum \limits _(i=1 )^(\infty )p_(i)=1),तो यह सीधे लेबेसेग इंटीग्रल की परिभाषा से आता है कि
एम [ एक्स ] = ∑ i = 1 x i p i (\displaystyle M[X]=\sum \limits _(i=1)^(\infty )x_(i)\,p_(i)).पूर्णांक मान की गणितीय अपेक्षा
पी (एक्स = जे) = पी जे, जे = 0, 1,। . . ; ∑ j = 0 ∞ pj = 1 (\displaystyle \mathbb (P) (X=j)=p_(j),\;j=0,1,...;\quad \sum \limits _(j=0 )^(\infty )p_(j)=1)तब इसकी गणितीय अपेक्षा को अनुक्रम के सृजन (कार्य) के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है ( p i ) (\displaystyle \(p_(i)\))
P (s) = ∑ k = 0 ∞ p k s k (\displaystyle P(s)=\sum _(k=0)^(\infty )\;p_(k)s^(k))एकता पर पहले व्युत्पन्न के मूल्य के रूप में: एम [ एक्स ] = पी ′ (1) (\displaystyle एम[एक्स]=पी”(1)). यदि गणितीय अपेक्षा एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)अनंत, तो लिम एस → 1 पी ′ (एस) = ∞ (\displaystyle \lim _(s\to 1)P"(s)=\infty )और हम लिखेंगे पी ′ (1) = एम [ एक्स ] = ∞ (\displaystyle पी"(1)=M[X]=\infty )
अब जनरेटिंग फंक्शन लेते हैं क्यू (एस) (\displaystyle क्यू(एस))वितरण के "पूंछ" के अनुक्रम ( क्यू के ) (\displaystyle \(q_(k)\))
क्यू के = पी (एक्स> के) = ∑ जे = के + 1 ∞ पी जे; क्यू (एस) = ∑ के = 0 क्यू के एस के। (\displaystyle q_(k)=\mathbb (P) (X>k)=\sum _(j=k+1)^(\infty )(p_(j));\quad Q(s)=\sum _(k=0)^(\infty )\;q_(k)s^(k).)यह जनरेटिंग फ़ंक्शन पहले से परिभाषित फ़ंक्शन से संबंधित है पी (एस) (\displaystyle पी(एस))संपत्ति: Q (s) = 1 - P (s) 1 - s (\displaystyle Q(s)=(\frac (1-P(s))(1-s)))पर | एस |< 1 {\displaystyle |s|<1} . इससे, माध्य-मूल्य प्रमेय के अनुसार, यह इस प्रकार है कि गणितीय अपेक्षा एकता में इस फ़ंक्शन के मूल्य के बराबर है:
एम [ एक्स ] = पी ′ (1) = क्यू (1) (\displaystyle एम[एक्स]=पी”(1)=क्यू(1))बिल्कुल निरंतर वितरण की गणितीय अपेक्षा
M [ X ] = ∫ xf X (x) dx (\displaystyle M[X]=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!xf_(X)(x)\,dx ).एक यादृच्छिक वेक्टर की गणितीय अपेक्षा
रहने दो X = (X 1 ,… , X n) : → R n (\displaystyle X=(X_(1),\dots ,X_(n))^(\top )\colon \Omega \to \mathbb ( आर) ^(एन))एक यादृच्छिक वेक्टर है। फिर परिभाषा के अनुसार
एम [ एक्स ] = (एम [ एक्स 1 ] , … , एम [ एक्स एन ]) ⊤ (\displaystyle एम[एक्स]=(एम,\डॉट्स ,एम)^(\top )),यानी, वेक्टर की गणितीय अपेक्षा घटक द्वारा निर्धारित की जाती है।
यादृच्छिक चर के परिवर्तन की गणितीय अपेक्षा
रहने दो g: R → R (\displaystyle g\colon \mathbb (R) \to \mathbb (R) )एक बोरेल (फ़ंक्शन) ऐसा है कि यादृच्छिक चर Y = g(X) (\displaystyle Y=g(X))एक सीमित गणितीय अपेक्षा है। तब सूत्र इसके लिए मान्य है
एम [ जी (एक्स)] = ∑ मैं = 1 ∞ जी (xi) पीआई , (\displaystyle एम\बाएं=\योग \सीमा _(i=1)^(\infty )g(x_(i))p_( मैं))अगर एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)एक असतत वितरण है;
एम [ जी (एक्स) ] = ∫ - ∞ जी (एक्स) एफ एक्स (एक्स) डीएक्स , (\displaystyle एम\बाएं=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!g(x )f_(X)(x)\,dx,)अगर एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)बिल्कुल निरंतर वितरण है।
यदि वितरण पी एक्स (\displaystyle \mathbb (पी) ^(एक्स))अनियमित चर एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)सामान्य रूप, फिर
एम [ जी (एक्स)] = - जी (एक्स) पी एक्स (डी एक्स) । (\displaystyle M\left=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!g(x)\,\mathbb (P) ^(X)(dx).)विशेष मामले में जब g (X) = X k (\displaystyle g(X)=X^(k)), अपेक्षित मूल्य एम [जी (एक्स)] = एम [एक्स के] (\displaystyle एम=एम)बुलाया k (\displaystyle k)-एक यादृच्छिक चर का क्षण।
गणितीय अपेक्षा के सबसे सरल गुण
- किसी संख्या की गणितीय अपेक्षा ही वह संख्या होती है।
- गणितीय अपेक्षा रैखिक है, अर्थात्
