Πώς να υπολογίσετε την αναλογία. Αναλογίες (Wolfson G.I.) Χρησιμοποιώντας τη βασική ιδιότητα της αναλογίας
Ποσοστό – ισότητα δύο σχέσεων, δηλαδή ισότητα της μορφής α: β = γ: δ , ή, σε άλλες σημειώσεις, ισότητα
Αν ένα : σι = ντο : ρε, Οτι έναΚαι ρεπου ονομάζεται άκρο, ΕΝΑ σιΚαι ντο - μέση τιμήμέλη αναλογίες.
Δεν υπάρχει διαφυγή από την «αναλογία», πολλές εργασίες δεν μπορούν να γίνουν χωρίς αυτήν. Υπάρχει μόνο μία διέξοδος - να αντιμετωπίσετε αυτή τη σχέση και να χρησιμοποιήσετε την αναλογία ως σωτήριο.
Πριν αρχίσουμε να εξετάζουμε προβλήματα αναλογίας, είναι σημαντικό να θυμόμαστε τον βασικό κανόνα της αναλογίας:
Σε αναλογία
το γινόμενο των ακραίων όρων είναι ίσο με το γινόμενο των μεσαίων όρων
Εάν κάποια ποσότητα σε μια αναλογία είναι άγνωστη, θα είναι εύκολο να την βρείτε με βάση αυτόν τον κανόνα.
Για παράδειγμα,
Δηλαδή, η άγνωστη τιμή της αναλογίας - η τιμή του κλάσματος, στον παρονομαστή
που είναι ο αριθμός που βρίσκεται απέναντι από την άγνωστη ποσότητα
, στον αριθμητή – το γινόμενο των υπολοίπων όρων της αναλογίας
(ανεξάρτητα από το πού βρίσκεται αυτή η άγνωστη ποσότητα). 
Εργασία 1.
Από 21 κιλά βαμβακόσπορου προέκυψαν 5,1 κιλά λάδι. Πόσο λάδι θα ληφθεί από 7 κιλά βαμβακόσπορου;
Λύση:
Κατανοούμε ότι η μείωση του βάρους του σπόρου κατά έναν συγκεκριμένο παράγοντα συνεπάγεται μείωση του βάρους του λαδιού που προκύπτει κατά την ίδια ποσότητα. Δηλαδή οι ποσότητες συνδέονται άμεσα.
Ας συμπληρώσουμε τον πίνακα: 
Μια άγνωστη ποσότητα είναι η τιμή ενός κλάσματος, στον παρονομαστή του οποίου - 21 - η τιμή απέναντι από το άγνωστο στον πίνακα, στον αριθμητή - το γινόμενο των υπολοίπων μελών του πίνακα αναλογιών.
Επομένως, διαπιστώνουμε ότι 7 κιλά σπόρου θα δώσουν 1,7 κιλά λάδι.
Προς την σωστά Όταν συμπληρώνετε τον πίνακα, είναι σημαντικό να θυμάστε τον κανόνα:
Τα ίδια ονόματα πρέπει να αναγράφονται το ένα κάτω από το άλλο. Γράφουμε ποσοστά κάτω από ποσοστά, κιλά κάτω από κιλά κ.λπ.
Εργασία 2.
Μετατροπή σε ακτίνια.
Λύση:
Ξέρουμε ότι . Ας συμπληρώσουμε τον πίνακα:
Απάντηση:
Εργασία 3.
Ένας κύκλος απεικονίζεται σε καρό χαρτί. Ποιο είναι το εμβαδόν του κύκλου αν το εμβαδόν του σκιασμένου τομέα είναι 27;
Λύση:
Φαίνεται ξεκάθαρα ότι ο μη σκιασμένος τομέας αντιστοιχεί στη γωνία in (για παράδειγμα, επειδή οι πλευρές του τομέα σχηματίζονται από τις διχοτόμους δύο γειτονικών ορθών γωνιών). Και δεδομένου ότι ολόκληρος ο κύκλος είναι , τότε ο σκιασμένος τομέας αντιπροσωπεύει .
Ας κάνουμε έναν πίνακα:
Από πού προέρχεται το εμβαδόν ενός κύκλου;
Απάντηση:
Εργασία 4.Αφού είχε οργωθεί το 82% ολόκληρου του χωραφιού, απέμεναν ακόμη 9 εκτάρια για όργωμα. Ποια είναι η έκταση ολόκληρου του χωραφιού;
Λύση:
Ολόκληρο το χωράφι είναι 100%, και αφού το 82% είναι οργωμένο, τότε μένει να οργωθεί το 100%-82%=18% του χωραφιού.
Συμπληρώστε τον πίνακα: 
Από όπου παίρνουμε ότι ολόκληρο το χωράφι είναι (ha).
Απάντηση:
Και το επόμενο έργο είναι μια ενέδρα.
Εργασία 5.
Ένα επιβατικό τρένο διένυσε την απόσταση μεταξύ δύο πόλεων με ταχύτητα 80 km/h σε 3 ώρες. Πόσες ώρες θα χρειαστεί ένα εμπορευματικό τρένο για να διανύσει την ίδια απόσταση με ταχύτητα 60; km/h?
Λύση:
Εάν λύσετε αυτό το πρόβλημα παρόμοια με το προηγούμενο, θα λάβετε τα εξής:
ο χρόνος που χρειάζεται για ένα εμπορευματικό τρένο για να διανύσει την ίδια απόσταση με ένα επιβατικό τρένο είναι ώρες. Δηλαδή, αποδεικνύεται ότι περπατώντας με χαμηλότερη ταχύτητα, διανύει (ταυτόχρονα) την απόσταση πιο γρήγορα από ένα τρένο με μεγαλύτερη ταχύτητα.
Ποιο είναι το λάθος στο συλλογισμό;
Μέχρι στιγμής έχουμε εξετάσει προβλήματα εκεί που ήταν οι ποσότητες ευθέως ανάλογες μεταξύ τους , αυτό είναι ύψοςίδιας αξίας πολλές φορές, δίνει ύψοςη δεύτερη ποσότητα που σχετίζεται με αυτό κατά το ίδιο ποσό (ομοίως με μείωση, φυσικά). Και εδώ έχουμε μια διαφορετική κατάσταση: την ταχύτητα ενός επιβατικού τρένου περισσότεροη ταχύτητα μιας εμπορευματικής αμαξοστοιχίας είναι πολλές φορές μεγαλύτερη, αλλά ο χρόνος που απαιτείται για την κάλυψη της ίδιας απόστασης απαιτείται από μια επιβατική αμαξοστοιχία μικρότεροςόσες φορές ένα φορτηγό τρένο. Δηλαδή, αξίες μεταξύ τους Αντιστρόφως ανάλογη .
Το σχήμα που χρησιμοποιήσαμε μέχρι τώρα πρέπει να αλλάξει ελαφρώς σε αυτήν την περίπτωση.
Λύση:
Σκεφτόμαστε ως εξής:
Μια επιβατική αμαξοστοιχία ταξίδεψε για 3 ώρες με ταχύτητα 80 km/h, επομένως ταξίδεψε χλμ. Αυτό σημαίνει ότι ένα εμπορευματικό τρένο θα διανύσει την ίδια απόσταση σε μία ώρα.
Δηλαδή, αν κάναμε μια αναλογία, θα έπρεπε πρώτα να είχαμε ανταλλάξει τα κελιά της δεξιάς στήλης. Θα έπαιρνα: h.
Απάντηση: .
Να γιατί, παρακαλούμε να είστε προσεκτικοί κατά την κατάρτιση των αναλογιών. Αρχικά, υπολογίστε με τι είδους εξάρτηση έχετε να κάνετε - άμεση ή αντίστροφη.
Στα μαθηματικά στάσηείναι το πηλίκο που προκύπτει διαιρώντας έναν αριθμό με έναν άλλο. Προηγουμένως, ο ίδιος ο όρος χρησιμοποιήθηκε μόνο σε περιπτώσεις όπου ήταν απαραίτητο να εκφραστεί μια ποσότητα σε κλάσματα μιας άλλης και μια που είναι ομοιογενής με την πρώτη. Για παράδειγμα, οι λόγοι χρησιμοποιήθηκαν κατά την έκφραση του εμβαδού σε κλάσματα άλλης περιοχής, του μήκους σε κλάσματα άλλου μήκους κ.λπ. Αυτό το πρόβλημα λύθηκε χρησιμοποιώντας διαίρεση.
Έτσι, η ίδια η έννοια του όρου « στάση«Ήταν κάπως διαφορετικός από τον όρο» διαίρεση": το γεγονός είναι ότι το δεύτερο σήμαινε τη διαίρεση μιας ορισμένης ονομασμένης τιμής σε οποιονδήποτε εντελώς αφηρημένο αφηρημένο αριθμό. Στα σύγχρονα μαθηματικά οι έννοιες " διαίρεση" Και " στάση«Με τη σημασία τους είναι απολύτως πανομοιότυπα και είναι συνώνυμα. Για παράδειγμα, και οι δύο όροι χρησιμοποιούνται με την ίδια επιτυχία για σχέσηποσότητες που είναι ανομοιογενείς: μάζα και όγκος, απόσταση και χρόνος κ.λπ. Ταυτόχρονα πολλοί σχέσηΣυνηθίζεται να εκφράζονται ομοιογενείς ποσότητες ως ποσοστά.
Παράδειγμα
Το σούπερ μάρκετ έχει τετρακόσια διαφορετικά προϊόντα. Από αυτά, διακόσια παράγονται στο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας. Προσδιορίστε πώς είναι στάσητων εγχώριων αγαθών στον συνολικό αριθμό των προϊόντων που πωλούνται στο σούπερ μάρκετ;
400 – συνολικός αριθμός εμπορευμάτων
Απάντηση: διακόσια διαιρούμενα με τετρακόσια ισούται με μηδέν σημείο πέντε, δηλαδή πενήντα τοις εκατό.
200: 400 = 0,5 ή 50%
Στα μαθηματικά, το μέρισμα συνήθως ονομάζεται προηγούμενος, και ο διαιρέτης είναι επόμενο μέλος της σχέσης. Στο παραπάνω παράδειγμα, ο προηγούμενος όρος ήταν ο αριθμός διακόσιοι και ο επόμενος όρος ήταν ο αριθμός τετρακόσια.
Δύο ίσες αναλογίες σχηματίζουν μια αναλογία
Στα σύγχρονα μαθηματικά είναι γενικά αποδεκτό ότι ποσοστόείναι δύο ίσα μεταξύ τους σχέση. Για παράδειγμα, εάν ο συνολικός αριθμός των προϊόντων που πωλούνται σε ένα σούπερ μάρκετ είναι τετρακόσια και διακόσια από αυτά παράγονται στη Ρωσία και οι ίδιες τιμές για ένα άλλο σούπερ μάρκετ είναι εξακόσια τριακόσια, τότε αναλογίαο αριθμός των ρωσικών προϊόντων προς τον συνολικό αριθμό που πωλήθηκαν και στις δύο εμπορικές επιχειρήσεις είναι ο ίδιος:
1. Διακόσια διαιρούμενα με τετρακόσια ισούται με μηδέν σημείο πέντε, δηλαδή πενήντα τοις εκατό
200: 400 = 0,5 ή 50%
2. Τριακόσια διαιρούμενα με εξακόσια ισούται με μηδέν σημείο πέντε, δηλαδή πενήντα τοις εκατό
300: 600 = 0,5 ή 50%
Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει ποσοστό, το οποίο μπορεί να γραφτεί ως εξής:
| = |
Αν διατυπώσουμε αυτή την έκφραση όπως συνηθίζεται στα μαθηματικά, τότε λέγεται ότι διακόσια ισχύειέως τετρακόσια το ίδιο με τριακόσια ισχύειέως εξακόσια. Στην περίπτωση αυτή καλούνται διακόσιες εξακόσιες ακραίοι όροι της αναλογίαςκαι τετρακόσια τριακόσια - μεσαίους όρους της αναλογίας.
Προϊόν των μέσων όρων της αναλογίας
Σύμφωνα με έναν από τους νόμους των μαθηματικών, το γινόμενο των μέσων όρων οποιουδήποτε αναλογίεςισούται με το γινόμενο των ακραίων όρων του. Αν επιστρέψουμε στα παραπάνω παραδείγματα, αυτό μπορεί να επεξηγηθεί ως εξής:
Διακόσιες εξακόσιες ίσες με εκατόν είκοσι χιλιάδες.
200 × 600 = 120.000
Τριακόσιες επί τετρακόσιες ίσον εκατόν είκοσι χιλιάδες.
300 × 400 = 120.000
Από αυτό προκύπτει ότι οποιοδήποτε από τα ακραία μέλη αναλογίεςείναι ίσο με το γινόμενο των μεσαίων όρων του διαιρούμενο με τον άλλο ακραίο όρο. Με την ίδια αρχή, καθένας από τους μεσαίους όρους αναλογίεςίσο με τα ακραία μέλη του διαιρούμενο με το άλλο μεσαίο μέλος.
Αν επιστρέψουμε στο παραπάνω παράδειγμα αναλογίες, Οτι:
Διακόσια ίσον τετρακόσια πολλαπλασιαζόμενα επί τριακόσια διαιρούμενα επί εξακόσια.
| 200 = |
Αυτές οι ιδιότητες χρησιμοποιούνται ευρέως σε πρακτικούς μαθηματικούς υπολογισμούς όταν είναι απαραίτητο να βρεθεί η τιμή ενός άγνωστου όρου αναλογίεςμε γνωστές τιμές των άλλων τριών όρων.
Πρόβλημα 1. Το πάχος 300 φύλλων χαρτιού εκτυπωτή είναι 3,3 εκ. Τι πάχος θα είναι μια συσκευασία 500 φύλλων του ίδιου χαρτιού;
Λύση.Έστω x cm το πάχος μιας στοίβας χαρτιού 500 φύλλων. Υπάρχουν δύο τρόποι για να βρείτε το πάχος ενός φύλλου χαρτιού:
3,3: 300 ή x : 500.
Δεδομένου ότι τα φύλλα χαρτιού είναι ίδια, αυτές οι δύο αναλογίες είναι ίσες. Παίρνουμε την αναλογία ( υπενθύμιση: αναλογία είναι η ισότητα δύο αναλογιών):
x=(3.3 · 500): 300;
x=5,5. Απάντηση:πακέτο 500 τα φύλλα χαρτιού έχουν πάχος 5,5 εκ.
Αυτό είναι ένα κλασικό σκεπτικό και σχέδιο λύσης ενός προβλήματος. Τέτοια προβλήματα περιλαμβάνονται συχνά σε δοκιμαστικές εργασίες για αποφοίτους, οι οποίοι συνήθως γράφουν τη λύση με την ακόλουθη μορφή:
ή αποφασίζουν προφορικά, συλλογίζοντας έτσι: αν 300 φύλλα έχουν πάχος 3,3 cm, τότε 100 φύλλα έχουν πάχος 3 φορές μικρότερο. Διαιρέστε το 3,3 με το 3, παίρνουμε 1,1 εκ. Αυτό είναι το πάχος ενός πακέτου χαρτιού 100 φύλλων. Επομένως, 500 φύλλα θα έχουν πάχος 5 φορές μεγαλύτερο, επομένως, πολλαπλασιάζουμε 1,1 cm επί 5 και παίρνουμε την απάντηση: 5,5 cm.
Αυτό βέβαια δικαιολογείται, αφού ο χρόνος για τις εξετάσεις αποφοίτων και υποψηφίων είναι περιορισμένος. Ωστόσο, σε αυτό το μάθημα θα συλλογιστούμε και θα καταγράψουμε τη λύση όπως πρέπει να γίνει 6 τάξη.
Εργασία 2.Πόσο νερό περιέχει 5 κιλά καρπούζι, αν είναι γνωστό ότι το καρπούζι αποτελείται κατά 98% από νερό;
Λύση.
Ολόκληρη η μάζα του καρπουζιού (5 κιλά) είναι 100%. Το νερό θα είναι x kg ή 98%. Υπάρχουν δύο τρόποι για να βρείτε πόσα κιλά είναι στο 1% της μάζας.
5: 100 ή x : 98. Παίρνουμε την αναλογία:
5: 100 = x : 98.
x=(5 · 98): 100;
x=4,9 Απάντηση: 5 κιλάτο καρπούζι περιέχει 4,9 κιλά νερό.
Η μάζα των 21 λίτρων λαδιού είναι 16,8 kg. Ποια είναι η μάζα των 35 λίτρων λαδιού;
Λύση.
Έστω η μάζα των 35 λίτρων λαδιού x kg. Στη συνέχεια, μπορείτε να βρείτε τη μάζα 1 λίτρου λαδιού με δύο τρόπους:
16,8: 21 ή x : 35. Παίρνουμε την αναλογία:
16,8: 21=x : 35.
Βρείτε τον μεσαίο όρο της αναλογίας. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε τους ακραίους όρους της αναλογίας ( 16,8 Και 35 ) και διαιρέστε με τον γνωστό μέσο όρο ( 21 ). Ας μειώσουμε το κλάσμα κατά 7 .
Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με 10 ώστε ο αριθμητής και ο παρονομαστής να περιέχουν μόνο φυσικούς αριθμούς. Μειώνουμε το κλάσμα κατά 5 (5 και 10) και μετά 3 (168 και 3).
Απάντηση: 35 λίτρα λαδιού έχουν μάζα 28 κιλά.
Αφού είχε οργωθεί το 82% ολόκληρου του χωραφιού, απέμεναν ακόμη 9 εκτάρια για όργωμα. Ποια είναι η έκταση ολόκληρου του χωραφιού;
Λύση.
Έστω η έκταση ολόκληρου του χωραφιού x εκτάρια, που είναι 100%. Απομένουν 9 εκτάρια για όργωμα, που είναι 100% - 82% = 18% ολόκληρου του χωραφιού. Μπορούμε να εκφράσουμε το 1% της περιοχής πεδίου με δύο τρόπους. Αυτό:
Χ : 100 ή 9 : 18. Κάνουμε την αναλογία:
Χ : 100 = 9: 18.
Βρίσκουμε τον άγνωστο ακραίο όρο της αναλογίας. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάστε τους μέσους όρους της αναλογίας ( 100
Και 9
) και διαιρέστε με τον γνωστό ακραίο όρο ( 18
). Μειώνουμε το κλάσμα.
Απάντηση: περιοχή ολόκληρου του χωραφιού 50 εκτάρια.
Σελίδα 1 από 1 1
Η επίλυση ενός προβλήματος χρησιμοποιώντας μια αναλογία καταλήγει στη δημιουργία μιας άγνωστης τιμής Χμέλος αυτής της αναλογίας. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τη βασική ιδιότητα της αναλογίας, λάβετε μια γραμμική εξίσωση και λύστε την.
Προκαταρκτικές Δεξιότητες Περιεχόμενο μαθήματοςΠώς να λύσετε ένα πρόβλημα χρησιμοποιώντας την αναλογία
Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα. Τρεις ομάδες πρέπει να λάβουν επίδομα 1.600 ρούβλια η καθεμία. Στην πρώτη ομάδα συμμετέχουν 20 μαθητές. Αυτό σημαίνει ότι η πρώτη ομάδα θα πληρωθεί 1600 × 20, δηλαδή 32 χιλιάδες ρούβλια.
Στη δεύτερη ομάδα ανήκουν 17 άτομα. Αυτό σημαίνει ότι η δεύτερη ομάδα θα πληρωθεί 1600 × 17, δηλαδή 27.200 χιλιάδες ρούβλια.
Λοιπόν, θα πληρώσουμε ένα επίδομα στην τρίτη ομάδα. Υπάρχουν 15 άτομα σε αυτό. Πρέπει να ξοδέψετε 1600 × 15 σε αυτά, δηλαδή 24 χιλιάδες ρούβλια.
Ως αποτέλεσμα, έχουμε την εξής λύση:
Για τέτοια προβλήματα, η λύση μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας μια αναλογία.
Η αναλογία εξ ορισμού είναι η ισότητα δύο αναλογιών. Για παράδειγμα, η ισότητα είναι αναλογία. Αυτή η αναλογία μπορεί να διαβαστεί ως εξής:
ένααυτό ισχύει για σι, Πως ντοισχύει ρε
Ομοίως, μπορείτε να συσχετίσετε την υποτροφία και τους φοιτητές, έτσι ώστε ο καθένας να πάρει 1.600 ρούβλια.
Λοιπόν, ας γράψουμε την πρώτη αναλογία, δηλαδή την αναλογία χίλια εξακόσια ρούβλια ανά άτομο:
Ανακαλύψαμε ότι για να πληρώσουμε σε 20 μαθητές 1.600 ρούβλια ο καθένας, θα χρειαστούμε 32 χιλιάδες ρούβλια. Άρα η δεύτερη αναλογία θα είναι η αναλογία τριάντα δύο χιλιάδων προς είκοσι μαθητές:
Τώρα συνδέουμε τις σχέσεις που προκύπτουν με ένα σύμβολο ίσου:
Πήραμε την αναλογία. Μπορεί να διαβαστεί ως εξής:
Χίλια εξακόσια ρούβλια αφορούν έναν μαθητή όπως τριάντα δύο χιλιάδες ρούβλια αφορούν είκοσι μαθητές.
Δηλαδή, 1600 ρούβλια το καθένα. Αν διαιρέσετε και στις δύο πλευρές της εξίσωσης 
, τότε θα διαπιστώσουμε ότι ένας μαθητής, όπως και είκοσι μαθητές, θα λάβει 1.600 ρούβλια.
Τώρα φανταστείτε ότι το χρηματικό ποσό που χρειαζόταν για να πληρωθούν οι υποτροφίες σε είκοσι φοιτητές ήταν άγνωστο. Ας πούμε αν η ερώτηση ήταν έτσι: V Υπάρχουν 20 μαθητές στην ομάδα και ο καθένας πρέπει να πληρώσει 1600 ρούβλια. Πόσα ρούβλια απαιτούνται για την πληρωμή της υποτροφίας;
Στην περίπτωση αυτή η αναλογία θα έπαιρνε τη μορφή. Δηλαδή, το χρηματικό ποσό που χρειάζεται για την πληρωμή της υποτροφίας έχει γίνει άγνωστο μέλος της αναλογίας. Αυτή η αναλογία μπορεί να διαβαστεί ως εξής:
Χίλια εξακόσια ρούβλια αφορούν έναν μαθητή ως άγνωστος αριθμός ρούβλιααναφέρεται σε είκοσι μαθητές
Τώρα ας χρησιμοποιήσουμε τη βασική ιδιότητα της αναλογίας. Δηλώνει ότι το γινόμενο των ακραίων όρων μιας αναλογίας είναι ίσο με το γινόμενο των μεσαίων όρων:
Πολλαπλασιάζοντας τους όρους της αναλογίας «σταυροειδώς», παίρνουμε την ισότητα 1600 × 20 = 1 × Χ. Έχοντας υπολογίσει και τις δύο πλευρές της ισότητας, παίρνουμε 32000 = Χή Χ= 32000 . Με άλλα λόγια, θα βρούμε την αξία της άγνωστης ποσότητας που αναζητούσαμε.
Ομοίως, ήταν δυνατό να προσδιοριστεί το συνολικό ποσό για τον υπόλοιπο αριθμό μαθητών - για 17 και 15. Αυτές οι αναλογίες έμοιαζαν και. Χρησιμοποιώντας τη βασική ιδιότητα της αναλογίας, μπορείτε να βρείτε την τιμή Χ
Πρόβλημα 2. Το λεωφορείο διένυσε απόσταση 100 χιλιομέτρων σε 2 ώρες. Πόσο καιρό θα πάρει το λεωφορείο για να διανύσει 300 χλμ. αν κινηθεί με την ίδια ταχύτητα;
Μπορείτε πρώτα να προσδιορίσετε την απόσταση που διανύει το λεωφορείο σε μία ώρα. Στη συνέχεια, προσδιορίστε πόσες φορές περιέχεται αυτή η απόσταση σε 300 χιλιόμετρα:
100: 2 = 50 km για κάθε ώρα ταξιδιού
300 km: 50 = 6 ώρες
Ή μπορείτε να κάνετε την αναλογία «εκατό χιλιόμετρα είναι προς μία ώρα όπως τριακόσια χιλιόμετρα είναι προς άγνωστο αριθμό ωρών»:
Αναλογία όμοιων ποσοτήτων
Εάν αντικατασταθούν οι ακραίοι ή οι μεσαίοι όροι της αναλογίας, η αναλογία δεν θα παραβιαστεί.
Ναι, αναλογικά μπορείτε να ανταλλάξετε τα ακραία μέλη. Τότε παίρνετε την αναλογία 
.
Η αναλογία επίσης δεν θα παραβιαστεί εάν αναποδογυριστεί, δηλαδή χρησιμοποιούνται αντίστροφες αναλογίες και στα δύο μέρη.
Ας αντιστρέψουμε την αναλογία . Τότε παίρνουμε την αναλογία 
. Η σχέση δεν έχει σπάσει. Η αναλογία μεταξύ των μαθητών είναι ίση με την αναλογία μεταξύ των χρηματικών ποσών που προορίζονται για αυτούς τους μαθητές. Αυτή η αναλογία συχνά συντάσσεται στο σχολείο όταν συντάσσονται πίνακες για να λυθεί ένα πρόβλημα.
Αυτή η μέθοδος γραφής είναι πολύ βολική επειδή σας επιτρέπει να μεταφράσετε τη δήλωση προβλήματος σε μια πιο κατανοητή μορφή. Ας λύσουμε ένα πρόβλημα στο οποίο έπρεπε να προσδιορίσουμε πόσα ρούβλια χρειάζονται για να πληρώσουμε υποτροφίες σε είκοσι φοιτητές.
Ας γράψουμε τις συνθήκες του προβλήματος ως εξής:
Ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα βάσει αυτής της συνθήκης:
Ας κάνουμε μια αναλογία χρησιμοποιώντας τα δεδομένα του πίνακα:
Χρησιμοποιώντας τη βασική ιδιότητα της αναλογίας, παίρνουμε μια γραμμική εξίσωση και βρίσκουμε τη ρίζα της:
Αρχικά, είχαμε να κάνουμε με την αναλογία , που αποτελείται από αναλογίες ποσοτήτων διαφορετικών φύσεων. Οι αριθμητές των αναλογιών περιείχαν τα χρηματικά ποσά και οι παρονομαστές περιλάμβαναν τον αριθμό των μαθητών:
Ανταλλάσσοντας τα ακραία μέλη, παίρνουμε την αναλογία . Αυτή η αναλογία αποτελείται από αναλογίες ποσοτήτων ίδιας φύσης. Η πρώτη σχέση περιέχει τον αριθμό των μαθητών και η δεύτερη - το χρηματικό ποσό:
Αν μια σχέση αποτελείται από ποσότητες της ίδιας φύσης, τότε θα την ονομάσουμε αναλογία ομώνυμων ποσοτήτων. Για παράδειγμα, η σχέση μεταξύ φρούτων, χρημάτων, φυσικών ποσοτήτων, φαινομένων, πράξεων.
Μια αναλογία μπορεί να συντεθεί τόσο από ποσότητες με το ίδιο όνομα όσο και από ποσότητες διαφορετικής φύσης. Παραδείγματα των τελευταίων είναι η αναλογία απόστασης προς το χρόνο, η αναλογία του κόστους ενός προϊόντος προς την ποσότητα του και η αναλογία του συνολικού ποσού των υποτροφιών προς τον αριθμό των φοιτητών.
Παράδειγμα 2. Στον κήπο του σχολείου φυτεύονται πεύκα και σημύδες, με 2 σημύδες για κάθε πεύκο. Πόσα πεύκα φυτεύτηκαν στον κήπο αν φυτεύτηκαν 240 σημύδες;
Ας προσδιορίσουμε πόσα πεύκα φυτεύτηκαν στον κήπο. Για να γίνει αυτό, ας δημιουργήσουμε μια αναλογία. Η συνθήκη λέει ότι για κάθε πεύκο υπάρχουν 2 σημύδες. Ας γράψουμε μια σχέση που δείχνει ότι υπάρχουν δύο σημύδες για ένα πεύκο:
Τώρα ας γράψουμε μια δεύτερη σχέση που το δείχνει αυτό ΧΤα πεύκα αντιπροσωπεύουν 240 σημύδες
Ας συνδέσουμε αυτές τις σχέσεις με ένα πρόσημο ίσου και πάρουμε την ακόλουθη αναλογία:
«Δύο σημύδες μεταχειρίζονται ένα πεύκο έτσι,
πώς σχετίζονται 240 σημύδες με x πεύκα"
Χρησιμοποιώντας τη βασική ιδιότητα της αναλογίας, βρίσκουμε την τιμή Χ
Ή η αναλογία μπορεί να γίνει γράφοντας πρώτα τη συνθήκη, όπως στο προηγούμενο παράδειγμα:
Θα λάβετε την ίδια αναλογία, αλλά αυτή τη φορά θα αποτελείται από αναλογίες ποσοτήτων με το ίδιο όνομα:
Αυτό σημαίνει ότι στον κήπο φυτεύτηκαν 120 πεύκα.
Παράδειγμα 3. Από 225 κιλά μεταλλεύματος προέκυψαν 34,2 κιλά χαλκού. Ποιο είναι το ποσοστό του χαλκού στο μετάλλευμα;
Μπορείτε να διαιρέσετε το 34,2 με το 225 και να εκφράσετε το αποτέλεσμα ως ποσοστό:
Ή κάντε μια αναλογία 225 κιλών μεταλλεύματος ως 100%, καθώς 34,2 κιλά χαλκού είναι σε άγνωστο αριθμό ποσοστού:
Ή δημιουργήστε μια αναλογία στην οποία οι αναλογίες αποτελούνται από ποσότητες με το ίδιο όνομα:
Προβλήματα άμεσης αναλογικότητας
Η κατανόηση των σχέσεων των ποσοτήτων με το ίδιο όνομα οδηγεί στην κατανόηση της επίλυσης προβλημάτων άμεσης και αντιστρόφιας αναλογικότητας. Ας ξεκινήσουμε με προβλήματα άμεσης αναλογικότητας.
Αρχικά, ας θυμηθούμε τι είναι η ευθεία αναλογικότητα. Αυτή είναι μια σχέση μεταξύ δύο ποσοτήτων όπου η αύξηση της μίας από αυτές συνεπάγεται αύξηση της άλλης κατά το ίδιο ποσό.
Αν ένα λεωφορείο διένυε απόσταση 50 χλμ σε 1 ώρα, τότε για να διανύσει απόσταση 100 χλμ (με την ίδια ταχύτητα) το λεωφορείο θα χρειαζόταν 2 ώρες. Καθώς η απόσταση αυξανόταν, ο χρόνος ταξιδιού αυξήθηκε κατά το ίδιο ποσό. Πώς να το εμφανίσετε χρησιμοποιώντας την αναλογία;
Ένας από τους σκοπούς της αναλογίας είναι να δείξει πόσες φορές η πρώτη ποσότητα είναι μεγαλύτερη από τη δεύτερη. Αυτό σημαίνει ότι χρησιμοποιώντας αναλογίες μπορούμε να δείξουμε ότι η απόσταση και ο χρόνος έχουν διπλασιαστεί. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε την αναλογία των ποσοτήτων με το ίδιο όνομα.
Ας δείξουμε ότι η απόσταση έχει διπλασιαστεί:
Ομοίως, θα δείξουμε ότι ο χρόνος έχει αυξηθεί κατά το ίδιο ποσό
«100 χιλιόμετρα είναι σε 50 χιλιόμετρα όπως 2 ώρες είναι 1 ώρα»
Αν διαιρέσουμε και στις δύο πλευρές της εξίσωσης, θα διαπιστώσουμε ότι η απόσταση και ο χρόνος έχουν αυξηθεί ίσες φορές.
2 = 2
Πρόβλημα 2. Σε 3 ώρες αλέστηκαν στο μύλο 27 τόνοι αλεύρι σίτου. Πόσοι τόνοι αλεύρι σίτου μπορούν να αλέσουν σε 9 ώρες εάν ο ρυθμός εργασίας δεν αλλάξει;
Λύση
Ο χρόνος λειτουργίας του μύλου και η μάζα του αλεσμένου αλεύρου είναι άμεσα ανάλογες ποσότητες. Αυξάνοντας τον χρόνο λειτουργίας αρκετές φορές, η ποσότητα του αλεσμένου αλευριού θα αυξηθεί κατά την ίδια ποσότητα. Ας το δείξουμε χρησιμοποιώντας την αναλογία.
Στο πρόβλημα δίνονται 3 ώρες. Αυτές οι 3 ώρες αυξήθηκαν σε 9 ώρες. Ας γράψουμε την αναλογία 9 ωρών προς 3 ώρες. Αυτή η αναλογία θα δείξει πόσες φορές έχει αυξηθεί ο χρόνος λειτουργίας του μύλου:
Τώρα ας γράψουμε τη δεύτερη σχέση. Θα είναι μια στάση Χτόνους αλεύρι σίτου στους 27 τόνους. Αυτή η αναλογία θα δείξει ότι η ποσότητα του αλεσμένου αλεύρου έχει αυξηθεί κατά το ίδιο ποσό με τον χρόνο λειτουργίας του μύλου
Ας συνδέσουμε αυτές τις σχέσεις με ίσο πρόσημο και ας πάρουμε αναλογία.
Ας χρησιμοποιήσουμε τη βασική ιδιότητα της αναλογίας και ας βρούμε Χ
Αυτό σημαίνει ότι σε 9 ώρες μπορείτε να αλέσετε 81 τόνους αλεύρι σίτου.
Γενικά, αν λάβετε δύο ευθέως αναλογικές ποσότητες και τις αυξήσετε κατά τον ίδιο αριθμό φορών, τότε ο λόγος της νέας τιμής προς την παλιά τιμή της πρώτης ποσότητας θα είναι ίσος με την αναλογία της νέας τιμής προς την παλιά τιμή του η δεύτερη ποσότητα.
Έτσι, στο προηγούμενο πρόβλημα, οι παλιές τιμές ήταν 3 h και 27 t. Αυτές οι τιμές αυξήθηκαν κατά τον ίδιο αριθμό φορές (τρεις φορές). Οι νέες τιμές είναι 9 ώρες και 81 ώρες. Τότε η αναλογία της νέας τιμής του χρόνου λειτουργίας του μύλου προς την παλιά τιμή είναι ίση με την αναλογία της νέας τιμής της μάζας του αλεσμένου αλεύρου προς την παλιά τιμή
Αν διαιρέσουμε και στις δύο πλευρές της εξίσωσης, θα βρούμε ότι ο χρόνος λειτουργίας του μύλου και η ποσότητα του αλεσμένου αλεύρου έχουν αυξηθεί ίσες φορές:
3 = 3
Η αναλογία που προστίθεται στα προβλήματα ευθείας αναλογικότητας μπορεί να περιγραφεί χρησιμοποιώντας την έκφραση:
Όπου αργότερα έγινε ίσο με 81.
Πρόβλημα 2. Για 8 αγελάδες το χειμώνα, η γαλατάδα παρασκευάζει καθημερινά 80 κιλά σανό, 96 κιλά ριζικές καλλιέργειες, 120 κιλά ενσίρωση και 12 κιλά συμπυκνώματα. Προσδιορίστε την ημερήσια κατανάλωση αυτής της τροφής για 18 αγελάδες.
Λύση
Ο αριθμός των αγελάδων και το βάρος κάθε τροφής είναι ευθέως ανάλογα. Όταν ο αριθμός των αγελάδων αυξηθεί πολλές φορές, το βάρος κάθε τροφής θα αυξηθεί κατά την ίδια ποσότητα.
Ας κάνουμε πολλές αναλογίες που υπολογίζουν τη μάζα κάθε τροφής για 18 αγελάδες.
Ας ξεκινήσουμε με το σανό. Κάθε μέρα παρασκευάζονται 80 κιλά από αυτό για 8 αγελάδες. Στη συνέχεια θα προετοιμαστούν 18 αγελάδες Χκιλά σανό.
Ας γράψουμε μια αναλογία που δείχνει πόσες φορές έχει αυξηθεί ο αριθμός των αγελάδων:
Τώρα ας γράψουμε την αναλογία που δείχνει πόσες φορές έχει αυξηθεί η μάζα του σανού:
Ας συνδέσουμε αυτές τις σχέσεις με ένα πρόσημο ίσου και ας πάρουμε την αναλογία:
Από εδώ βρίσκουμε Χ
Αυτό σημαίνει ότι για 18 αγελάδες πρέπει να προετοιμάσετε 180 κιλά σανό. Ομοίως, προσδιορίζουμε τη μάζα των ριζικών καλλιεργειών, των ενσίρων και των συμπυκνωμάτων.
Για 8 αγελάδες συλλέγονται καθημερινά 96 κιλά ριζικής καλλιέργειας. Στη συνέχεια θα προετοιμαστούν 18 αγελάδες Χκιλά λαχανικών ρίζας. Ας κάνουμε μια αναλογία από τους λόγους και, στη συνέχεια, υπολογίσουμε την τιμή Χ
Ας προσδιορίσουμε πόση ενσίρωση και συμπυκνώματα πρέπει να προετοιμαστούν για 18 αγελάδες:
Αυτό σημαίνει ότι για 18 αγελάδες πρέπει να παρασκευάζονται καθημερινά 180 κιλά σανό, 216 κιλά ριζικές καλλιέργειες, 270 κιλά ενσίρωση και 27 κιλά συμπυκνώματα.
Πρόβλημα 3. Η νοικοκυρά φτιάχνει μαρμελάδα κεράσι, και βάζει 2 κούπες ζάχαρη για 3 φλιτζάνια κεράσια. Πόση ζάχαρη να βάλω σε 12 φλιτζάνια κεράσια; για 10 ποτήρια κεράσια; για ένα ποτήρι κεράσια;
Λύση
Ο αριθμός των ποτηριών κεράσια και ο αριθμός των ποτηριών κρυσταλλικής ζάχαρης είναι ευθέως ανάλογες ποσότητες. Εάν ο αριθμός των ποτηριών κεράσια αυξηθεί πολλές φορές, ο αριθμός των ποτηριών ζάχαρης θα αυξηθεί κατά την ίδια ποσότητα.
Ας γράψουμε μια αναλογία που δείχνει πόσες φορές έχει αυξηθεί ο αριθμός των ποτηριών κεράσια:
Τώρα ας γράψουμε την αναλογία που δείχνει πόσες φορές έχει αυξηθεί ο αριθμός των ποτηριών ζάχαρης:
Ας συνδέσουμε αυτούς τους λόγους με ένα πρόσημο ίσου, πάρουμε την αναλογία και ας βρούμε την τιμή Χ
Αυτό σημαίνει ότι για 12 φλιτζάνια κεράσια πρέπει να βάλετε 8 φλιτζάνια ζάχαρη.
Προσδιορίστε τον αριθμό των φλιτζανιών ζάχαρης για 10 φλιτζάνια κεράσια και ένα φλιτζάνι κεράσια
Προβλήματα αντίστροφης αναλογικότητας
Για να λύσετε προβλήματα αντίστροφης αναλογικότητας, μπορείτε και πάλι να χρησιμοποιήσετε μια αναλογία που αποτελείται από αναλογίες ποσοτήτων με το ίδιο όνομα.
Σε αντίθεση με την ευθεία αναλογικότητα, όπου οι ποσότητες αυξάνονται ή μειώνονται προς την ίδια κατεύθυνση, στην αντίστροφη αναλογικότητα οι ποσότητες αλλάζουν αντιστρόφως μεταξύ τους.
Εάν μια τιμή αυξηθεί πολλές φορές, τότε η άλλη μειώνεται κατά το ίδιο ποσό. Και αντίστροφα, εάν η μία τιμή μειωθεί πολλές φορές, τότε η άλλη αυξάνεται κατά το ίδιο ποσό.
Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βάψετε έναν φράχτη που αποτελείται από 8 φύλλα
Ένας ζωγράφος θα ζωγραφίσει μόνος του και τα 8 φύλλα
Αν υπάρχουν 2 ζωγράφοι, τότε ο καθένας θα ζωγραφίσει 4 φύλλα.
Αυτό, φυσικά, με την προϋπόθεση ότι οι ζωγράφοι είναι ειλικρινείς μεταξύ τους και δίκαια μοιράζουν αυτό το έργο εξίσου σε δύο.
Αν υπάρχουν 4 ζωγράφοι, τότε ο καθένας θα ζωγραφίσει 2 φύλλα
Σημειώνουμε ότι όταν ο αριθμός των ζωγράφων αυξάνεται πολλές φορές, ο αριθμός των φύλλων ανά ζωγράφο μειώνεται κατά το ίδιο ποσό.
Έτσι, αυξήσαμε τον αριθμό των ζωγράφων από 1 σε 4. Τετραπλασιάσαμε δηλαδή τους ζωγράφους. Ας το γράψουμε χρησιμοποιώντας μια σχέση:
Ως αποτέλεσμα, ο αριθμός των φύλλων περίφραξης ανά ζωγράφο έχει τετραπλασιαστεί. Ας το γράψουμε χρησιμοποιώντας μια σχέση:
Ας συνδέσουμε αυτές τις σχέσεις με ένα πρόσημο ίσου και ας πάρουμε την αναλογία
«4 ζωγράφοι είναι για 1 ζωγράφο όπως 8 φύλλα για 2 φύλλα»
Πρόβλημα 2. 15 εργάτες ολοκλήρωσαν το τελείωμα των διαμερισμάτων στο νέο κτίριο σε 24 ημέρες. Πόσες ημέρες θα χρειάζονταν 18 εργαζόμενοι για να ολοκληρώσουν αυτήν την εργασία;
Λύση
Ο αριθμός των εργαζομένων και ο αριθμός των ημερών που δαπανώνται στην εργασία είναι αντιστρόφως ανάλογοι. Εάν ο αριθμός των εργαζομένων αυξηθεί πολλές φορές, ο αριθμός των ημερών που απαιτούνται για την ολοκλήρωση αυτής της εργασίας θα μειωθεί κατά το ίδιο ποσό.
Ας γράψουμε την αναλογία 18 εργατών προς 15 εργάτες. Αυτή η αναλογία θα δείξει πόσες φορές έχει αυξηθεί ο αριθμός των εργαζομένων
Τώρα ας γράψουμε τη δεύτερη αναλογία, δείχνοντας πόσες φορές έχει μειωθεί ο αριθμός των ημερών. Δεδομένου ότι ο αριθμός των ημερών θα μειωθεί από 24 ημέρες σε Χημέρες, τότε η δεύτερη αναλογία θα είναι η αναλογία του παλιού αριθμού ημερών (24 ημέρες) προς τον νέο αριθμό ημερών ( Χημέρες)
Ας συνδέσουμε τις σχέσεις που προκύπτουν με ένα πρόσημο ίσου και ας πάρουμε την αναλογία:
Από εδώ βρίσκουμε Χ
Αυτό σημαίνει ότι 18 εργαζόμενοι θα ολοκληρώσουν τις απαραίτητες εργασίες σε 20 ημέρες.
Γενικά, αν πάρετε δύο αντιστρόφως ανάλογες ποσότητες και αυξήσετε τη μία από αυτές κατά έναν ορισμένο αριθμό φορές, τότε η άλλη θα μειωθεί κατά το ίδιο ποσό. Τότε η αναλογία της νέας τιμής προς την παλιά τιμή της πρώτης ποσότητας θα είναι ίση με την αναλογία της παλιάς τιμής προς τη νέα τιμή της δεύτερης ποσότητας.
Έτσι στο προηγούμενο πρόβλημα, οι παλιές τιμές ήταν 15 εργάσιμες ημέρες και 24 ημέρες. Ο αριθμός των εργαζομένων αυξήθηκε από 15 σε 18 (δηλαδή αυξήθηκε αρκετές φορές). Ως αποτέλεσμα, ο αριθμός των ημερών που απαιτούνται για την ολοκλήρωση της εργασίας μειώθηκε κατά το ίδιο ποσό. Οι νέες τιμές είναι 18 εργάσιμες ημέρες και 20 ημέρες. Τότε η αναλογία του νέου αριθμού εργαζομένων προς τον παλιό αριθμό είναι ίση με την αναλογία του παλιού αριθμού ημερών προς τον νέο αριθμό
Για να δημιουργήσετε αναλογίες για προβλήματα αντίστροφης αναλογικότητας, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο:
Σε σχέση με το πρόβλημά μας, οι τιμές των μεταβλητών θα είναι οι εξής:
Όπου αργότερα έγινε ίσος με 20.
Πρόβλημα 2. Η ταχύτητα του ατμόπλοιου σχετίζεται με την ταχύτητα της ροής του ποταμού ως 36:5. Το ατμόπλοιο κινήθηκε κατάντη για 5 ώρες και 10 λεπτά. Πόσο καιρό θα του πάρει για να επιστρέψει;
Λύση
Η ταχύτητα του ίδιου του πλοίου είναι 36 km/h. Η ταχύτητα ροής του ποταμού είναι 5 km/h. Εφόσον το ατμόπλοιο κινούνταν με το ρεύμα του χεριού, η ταχύτητά του ήταν 36 + 5 = 41 km/h. Ο χρόνος ταξιδιού ήταν 5 ώρες 10 λεπτά. Για ευκολία, εκφράζουμε τον χρόνο σε λεπτά:
5 ώρες 10 λεπτά = 300 λεπτά + 10 λεπτά = 310 λεπτά
Εφόσον στην επιστροφή το πλοίο κινούνταν αντίθετα με τη ροή του ποταμού, η ταχύτητά του ήταν 36 − 5 = 31 km/h.
Η ταχύτητα του πλοίου και ο χρόνος της κίνησής του είναι αντιστρόφως ανάλογα μεγέθη. Εάν η ταχύτητα μειωθεί πολλές φορές, ο χρόνος της κίνησής της θα αυξηθεί κατά το ίδιο ποσό.
Ας γράψουμε την αναλογία που δείχνει πόσες φορές έχει μειωθεί η ταχύτητα κίνησης:
Τώρα ας γράψουμε τη δεύτερη αναλογία, δείχνοντας πόσες φορές έχει αυξηθεί ο χρόνος κίνησης. Από τη νέα εποχή Χθα είναι μεγαλύτερη από την παλιά ώρα, θα γράψουμε τον χρόνο στον αριθμητή της αναλογίας Χ, και ο παρονομαστής είναι ο παλιός χρόνος ίσος με τριακόσια δέκα λεπτά
Ας συνδέσουμε τις αναλογίες που προκύπτουν με ένα σύμβολο ίσου και ας πάρουμε την αναλογία. Από εδώ βρίσκουμε την τιμή Χ
410 λεπτά είναι 6 ώρες και 50 λεπτά. Αυτό σημαίνει ότι το πλοίο θα χρειαστεί 6 ώρες και 50 λεπτά για να επιστρέψει.
Πρόβλημα 3. Στην επισκευή του δρόμου δούλευαν 15 άτομα και έπρεπε να τελειώσουν τη δουλειά σε 12 ημέρες. Την πέμπτη μέρα έφτασαν το πρωί αρκετοί ακόμη εργάτες και οι υπόλοιπες εργασίες ολοκληρώθηκαν σε 6 μέρες. Πόσοι επιπλέον εργαζόμενοι έφτασαν;
Λύση
Αφαιρέστε 4 ημέρες εργασίας από 12 ημέρες. Έτσι θα προσδιορίσουμε πόσες μέρες έχουν απομείνει για να δουλέψουν οι δεκαπέντε εργάτες
12 ημέρες − 4 ημέρες = 8 ημέρες
Την πέμπτη μέρα επιπλέον αφίξεις Χεργάτες. Τότε ο συνολικός αριθμός των εργαζομένων έγινε 15+ Χ .
Ο αριθμός των εργαζομένων και ο αριθμός των ημερών που απαιτούνται για την ολοκλήρωση της εργασίας είναι αντιστρόφως ανάλογοι. Εάν ο αριθμός των εργαζομένων αυξηθεί πολλές φορές, ο αριθμός των ημερών θα μειωθεί κατά το ίδιο ποσό.
Ας γράψουμε μια αναλογία που δείχνει πόσες φορές έχει αυξηθεί ο αριθμός των εργαζομένων:
Ας γράψουμε τώρα πόσες φορές έχει μειωθεί ο αριθμός των ημερών που απαιτούνται για την ολοκλήρωση της εργασίας:
Ας συνδέσουμε αυτές τις σχέσεις με ίσο πρόσημο και ας πάρουμε αναλογία. Από εδώ μπορείτε να υπολογίσετε την τιμή Χ
Αυτό σημαίνει ότι έφτασαν 5 επιπλέον εργαζόμενοι.
Κλίμακα
Η κλίμακα είναι ο λόγος του μήκους ενός τμήματος στην εικόνα προς το μήκος του αντίστοιχου τμήματος στο έδαφος.
Ας υποθέσουμε ότι η απόσταση από το σπίτι στο σχολείο είναι 8 χλμ. Ας προσπαθήσουμε να σχεδιάσουμε ένα σχέδιο της περιοχής, όπου θα υποδεικνύεται το σπίτι, το σχολείο και η απόσταση μεταξύ τους. Δεν μπορούμε όμως να απεικονίσουμε σε χαρτί μια απόσταση 8 χιλιομέτρων, αφού είναι αρκετά μεγάλη. Μπορούμε όμως να μειώσουμε αυτή την απόσταση αρκετές φορές ώστε να χωράει στο χαρτί.
Αφήστε τα χιλιόμετρα στο έδαφος στο σχέδιο μας να εκφραστούν σε εκατοστά. Ας μετατρέψουμε 8 χιλιόμετρα σε εκατοστά, παίρνουμε 800.000 εκατοστά.
Ας μειώσουμε τα 800.000 cm κατά εκατό χιλιάδες φορές:
800.000 cm: 100.000 cm = 8 cm
8 εκατοστά είναι η απόσταση από το σπίτι στο σχολείο, μειωμένη κατά εκατό χιλιάδες φορές. Τώρα μπορείτε εύκολα να σχεδιάσετε ένα σπίτι και ένα σχολείο σε χαρτί, η απόσταση μεταξύ τους θα είναι 8 cm.
Αυτά τα 8 εκ. αναφέρονται στα πραγματικά 800.000 εκ. Άρα τα γράφουμε χρησιμοποιώντας την αναλογία:
8: 800 000
Μία από τις ιδιότητες μιας σχέσης δηλώνει ότι η σχέση δεν αλλάζει εάν τα μέλη της πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό.
Προκειμένου να απλοποιηθεί η αναλογία 8: 800.000, και οι δύο όροι της μπορούν να διαιρεθούν με το 8. Τότε παίρνουμε την αναλογία 1: 100.000. Ονομάζουμε αυτόν τον λόγο κλίμακα. Αυτή η αναλογία δείχνει ότι ένα εκατοστό στο σχέδιο σχετίζεται (ή αντιστοιχεί) σε εκατό χιλιάδες εκατοστά στο έδαφος.
Επομένως, στο σχέδιό μας είναι απαραίτητο να υποδείξουμε ότι το σχέδιο έχει καταρτιστεί σε κλίμακα 1: 100.000
1 cm στο σχέδιο αναφέρεται σε 100.000 cm στο έδαφος.
Τα 2 cm στο σχέδιο αναφέρονται σε 200.000 cm στο έδαφος.
Τα 3 εκατοστά στο σχέδιο αναφέρονται σε 300.000 στο έδαφος κ.λπ.
Για κάθε χάρτη ή σχέδιο αναφέρεται σε ποια κλίμακα κατασκευάστηκαν. Αυτή η κλίμακα σάς επιτρέπει να προσδιορίσετε την πραγματική απόσταση μεταξύ των αντικειμένων.
Έτσι, το σχέδιό μας καταρτίζεται σε κλίμακα 1: 100.000. Σε αυτό το σχέδιο, η απόσταση μεταξύ σπιτιού και σχολείου είναι 8 εκ. Για να υπολογίσετε την πραγματική απόσταση μεταξύ σπιτιού και σχολείου, πρέπει να αυξήσετε 8 cm κατά 100.000 φορές. Με άλλα λόγια, πολλαπλασιάστε τα 8 cm επί 100.000
8 cm × 100.000 = 800.000 cm
Παίρνουμε 800.000 cm ή 8 km, αν μετατρέψουμε εκατοστά σε χιλιόμετρα.
Ας πούμε ότι υπάρχει ένα δέντρο ανάμεσα στο σπίτι και το σχολείο. Στην κάτοψη, η απόσταση μεταξύ του σχολείου και αυτού του δέντρου είναι 4 cm.
Τότε η πραγματική απόσταση μεταξύ του σπιτιού και του δέντρου θα είναι 4 cm × 100.000 = 400.000 cm ή 4 km.
Η απόσταση στο έδαφος μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας την αναλογία. Στο παράδειγμά μας, η απόσταση μεταξύ σπιτιού και σχολείου θα υπολογιστεί χρησιμοποιώντας την ακόλουθη αναλογία:
1 cm στην κάτοψη σχετίζεται με 100.000 cm στο έδαφος, όπως και 8 cm στην κάτοψη σχετίζονται με x cm στο έδαφος.
Από αυτή την αναλογία διαπιστώνουμε ότι η τιμή Χισούται με 800000 cm.
Παράδειγμα 2. Στον χάρτη, η απόσταση μεταξύ των δύο πόλεων είναι 8,5 εκ. Προσδιορίστε την πραγματική απόσταση μεταξύ των πόλεων εάν ο χάρτης είναι σχεδιασμένος σε κλίμακα 1: 1.000.000.
Λύση
Μια κλίμακα 1:1.000.000 δείχνει ότι 1 cm στο χάρτη αντιστοιχεί σε 1.000.000 cm στο έδαφος. Τότε θα αντιστοιχούν 8,5 cm Χ cm στο έδαφος. Ας κάνουμε την αναλογία 1 προς 1000000 ως 8,5 προς Χ
Το 1 km περιέχει 100.000 cm. Τότε τα 8.500.000 cm θα περιέχουν 
Ή μπορείτε να σκεφτείτε έτσι. Η απόσταση στο χάρτη και η απόσταση στο έδαφος είναι ευθέως ανάλογα μεγέθη. Εάν η απόσταση στον χάρτη αυξηθεί πολλές φορές, η απόσταση στο έδαφος θα αυξηθεί κατά το ίδιο ποσό. Τότε η αναλογία θα πάρει την ακόλουθη μορφή. Η πρώτη αναλογία θα δείξει πόσες φορές η απόσταση στο έδαφος είναι μεγαλύτερη από την απόσταση στον χάρτη:
Η δεύτερη αναλογία θα δείξει ότι η απόσταση στο έδαφος είναι ίσες φορές μεγαλύτερη από 8,5 cm στον χάρτη:
Από εδώ Χίσο με 8.500.000 cm ή 85 km.
Πρόβλημα 3. Το μήκος του ποταμού Νέβα είναι 74 χιλιόμετρα. Ποιο είναι το μήκος του σε έναν χάρτη του οποίου η κλίμακα είναι 1: 2.000.000
Λύση
Μια κλίμακα 1: 2.000.000 σημαίνει ότι 1 cm στο χάρτη αντιστοιχεί σε 2.000.000 cm στο έδαφος.
Και τα 74 km είναι 74 × 100.000 = 7.400.000 cm στο έδαφος. Μειώνοντας 7.400.000 σε 2.000.000, θα προσδιορίσουμε το μήκος του ποταμού Νέβα στον χάρτη
7.400.000: 2.000.000 = 3,7 cm
Αυτό σημαίνει ότι σε έναν χάρτη του οποίου η κλίμακα είναι 1: 2.000.000, το μήκος του ποταμού Νέβα είναι 3,7 cm.
Ας γράψουμε τη λύση χρησιμοποιώντας μια αναλογία. Η πρώτη αναλογία θα δείξει πόσες φορές το μήκος στον χάρτη είναι μικρότερο από το μήκος στο έδαφος:
Η δεύτερη αναλογία θα δείξει ότι 74 km (7.400.000 cm) μειώθηκαν κατά το ίδιο ποσό:
Από εδώ βρίσκουμε Χίσο με 3,7 cm
Προβλήματα προς επίλυση ανεξάρτητα
Πρόβλημα 1. Από 21 κιλά βαμβακόσπορου προέκυψαν 5,1 κιλά λάδι. Πόσο λάδι θα ληφθεί από 7 κιλά βαμβακόσπορου;
Λύση
Αφήνω Χκιλά ελαίου μπορεί να ληφθεί από 7 κιλά βαμβακόσπορου. Η μάζα του βαμβακόσπορου και η μάζα του λαδιού που προκύπτει είναι άμεσα ανάλογες ποσότητες. Στη συνέχεια, η μείωση του σπόρου βαμβακιού από 21 κιλά σε 7 κιλά θα οδηγήσει σε μείωση του λαδιού που προκύπτει κατά την ίδια ποσότητα.
Απάντηση: 7 κιλά βαμβακόσπορου θα δώσουν 1,7 κιλά λάδι.
Πρόβλημα 2. Σε ένα συγκεκριμένο τμήμα της σιδηροδρομικής γραμμής αντικαταστάθηκαν παλιές ράγες μήκους 8 μ. με νέες μήκους 12 μ. Πόσες νέες ράγες δώδεκα μέτρων θα χρειαστούν αν αφαιρεθούν 360 παλιές ράγες;
Λύση
Το μήκος του τμήματος στο οποίο αντικαθίστανται οι ράγες είναι 8 × 360 = 2880 m.
Αφήνω ΧΓια αντικατάσταση απαιτούνται ράγες δώδεκα μέτρων. Η αύξηση του μήκους μιας ράγας από 8 m σε 12 m θα οδηγήσει σε μείωση του αριθμού των σιδηροτροχιών από 360 σε Χπράγματα. Με άλλα λόγια, το μήκος της ράγας και ο αριθμός τους είναι αντιστρόφως ανάλογα
Απάντηση:Η αντικατάσταση παλαιών σιδηροτροχιών θα απαιτήσει 240 νέες.
Εργασία 3. Το 60% των μαθητών της τάξης πήγε στον κινηματογράφο και τα υπόλοιπα 12 άτομα πήγαν στην έκθεση. Πόσοι μαθητές είναι στην τάξη?
Λύση
Εάν το 60% των μαθητών πήγε στον κινηματογράφο και τα υπόλοιπα 12 άτομα πήγαν στην έκθεση, τότε το 40% των μαθητών θα αντιστοιχεί σε 12 άτομα που πήγαν στην έκθεση. Στη συνέχεια, μπορείτε να δημιουργήσετε μια αναλογία στην οποία 12 μαθητές αντιμετωπίζουν το 40% με τον ίδιο τρόπο όπως όλοι οι άλλοι Χοι μαθητές είναι 100%
Ή μπορείτε να δημιουργήσετε μια αναλογία που αποτελείται από αναλογίες ποσοτήτων με το ίδιο όνομα. Οι αριθμοί και τα ποσοστά εγγραφών ποικίλλουν σε άμεση αναλογία. Τότε μπορούμε να γράψουμε ότι πόσες φορές αυξήθηκε ο αριθμός των συμμετεχόντων, πόσες φορές αυξήθηκε το ποσοστό
Πρόβλημα 5. Ο πεζός πέρασε 2,5 ώρες στο ταξίδι κινούμενος με ταχύτητα 3,6 km/h. Πόσο χρόνο θα περάσει ένας πεζός στο ίδιο μονοπάτι αν η ταχύτητά του είναι 4,5 km/h
Λύση
Η ταχύτητα και ο χρόνος είναι αντιστρόφως ανάλογα μεγέθη. Όταν η ταχύτητα αυξάνεται πολλές φορές, ο χρόνος κίνησης θα μειωθεί κατά το ίδιο ποσό.
Ας γράψουμε μια αναλογία που δείχνει πόσες φορές έχει αυξηθεί η ταχύτητα του πεζού:
Ας γράψουμε μια αναλογία που δείχνει ότι ο χρόνος κίνησης έχει μειωθεί κατά το ίδιο ποσό:
Ας συνδέσουμε αυτούς τους λόγους με ένα πρόσημο ίσου, πάρουμε την αναλογία και ας βρούμε την τιμή Χ
Ή μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις αναλογίες των ποσοτήτων με το ίδιο όνομα. Ο αριθμός των μηχανών που παράγονται και το ποσοστό αυτών των μηχανών που αντιστοιχούν είναι ευθέως ανάλογα. Όταν ο αριθμός των μηχανών αυξάνεται πολλές φορές, το ποσοστό αυξάνεται κατά το ίδιο ποσό. Τότε μπορούμε να γράψουμε ότι 230 μηχανές είναι τόσες φορές περισσότερες από Χμηχανές, πόσες φορές περισσότερο είναι 115% από 100%
Απάντηση:Σύμφωνα με το σχέδιο, το εργοστάσιο έπρεπε να παράγει 200 μηχανές.
Σας άρεσε το μάθημα;
Εγγραφείτε στη νέα μας ομάδα VKontakte και αρχίστε να λαμβάνετε ειδοποιήσεις για νέα μαθήματα
Βασικές ιδιότητες των αναλογιών
- Αντιστροφή αναλογίας.Αν ένα : σι = ντο : ρε, Οτι σι : ένα = ρε : ντο
- Πολλαπλασιασμός των όρων μιας αναλογίας σταυρωτά.Αν ένα : σι = ντο : ρε, Οτι Ενα δ = προ ΧΡΙΣΤΟΥ.
- Αναδιάταξη μεσαίων και ακραίων όρων.Αν ένα : σι = ντο : ρε, Οτι
- Αύξηση και μείωση αναλογιών.Αν ένα : σι = ντο : ρε, Οτι
- Δημιουργία αναλογιών με πρόσθεση και αφαίρεση.Αν ένα : σι = ντο : ρε, Οτι
Σύνθετες (συνεχείς) αναλογίες
Ιστορική αναφορά
Βιβλιογραφία
- van der Waerden, B. L. Awakening Science. Μαθηματικά της Αρχαίας Αιγύπτου, της Βαβυλώνας και της Ελλάδας. - ανά. από τα ολλανδικά I. N. Veselovsky- Μ.: GIFML, 1959
δείτε επίσης
Ίδρυμα Wikimedia. 2010.
Συνώνυμα:Δείτε τι είναι το "Proportion" σε άλλα λεξικά:
- (Λατινικά, από pro for, και partio part, part). 1) αναλογικότητα, συντονισμός. 2) η σχέση των μερών μεταξύ τους και με το σύνολο τους. Η σχέση μεταξύ των ποσοτήτων. 3) στην αρχιτεκτονική: καλά μεγέθη. Λεξικό ξένων λέξεων που περιλαμβάνεται στα ρωσικά... ... Λεξικό ξένων λέξεων της ρωσικής γλώσσας
ΑΝΑΛΟΓΙΑ, αναλογίες, θηλυκό. (βιβλίο) (λατ. αναλογία). 1. Αναλογικότητα, ορισμένη σχέση μεταξύ μερών. Σωστές αναλογίες των μερών του σώματος. Ανακατεύουμε τη ζάχαρη με τον κρόκο στην εξής αναλογία: δύο κουταλιές της σούπας ζάχαρη ανά κρόκο. 2. Ισότητα δύο... ... Επεξηγηματικό Λεξικό του Ουσάκοφ
Στάση, αναλογία; αναλογικότητα. Μυρμήγκι. δυσαναλογία Λεξικό ρωσικών συνωνύμων. αναλογία βλέπε αναλογία Λεξικό συνωνύμων της ρωσικής γλώσσας. Πρακτικός οδηγός. Μ.: Ρωσική γλώσσα. Z. E. Alexandrova ... Συνώνυμο λεξικό
Θηλυκό, Γαλλικό αναλογικότητα· αξία ή ποσότητα που αντιστοιχεί σε κάτι. | χαλάκι. Ισότητα περιεχομένου, πανομοιότυπες σχέσεις διψήφιων-τεσσάρων ψηφίων. αριθμητική, αν ο δεύτερος αριθμός είναι τόσο μεγαλύτερος ή μικρότερος από τον πρώτο όσο και ο τέταρτος έναντι... Επεξηγηματικό Λεξικό Dahl
- (λατ. αναλογία) στα μαθηματικά, ισότητα μεταξύ δύο αναλογιών τεσσάρων μεγεθών: a/b =c/d ... Μεγάλο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό
ΑΝΑΛΟΓΙΑ, στα μαθηματικά, ισότητα μεταξύ δύο αναλογιών τεσσάρων μεγεθών: α/β=γ/δ. Μια συνεχής αναλογία είναι μια ομάδα τριών ή περισσότερων ποσοτήτων, καθεμία από τις οποίες έχει την ίδια σχέση με την επόμενη ποσότητα, όπως στην... ... Επιστημονικό και τεχνικό εγκυκλοπαιδικό λεξικό
ΑΝΑΛΟΓΙΑ, και, θηλυκό. 1. Στα μαθηματικά: ισότητα δύο σχέσεων (σε 3 τιμές). 2. Ορισμένη σχέση μεταξύ των μερών, αναλογικότητα. Π. σε σημεία του κτιρίου. Επεξηγηματικό λεξικό Ozhegov. ΣΙ. Ozhegov, N.Yu. Σβέντοβα. 1949 1992… Επεξηγηματικό Λεξικό Ozhegov
Αγγλικά ποσοστό; Γερμανός Ποσοστό. 1. Αναλογικότητα, ορισμένη σχέση μεταξύ των μερών του συνόλου. 2. Ισότητα δύο σχέσεων. Αντινάζι. Εγκυκλοπαίδεια Κοινωνιολογίας, 2009 ... Εγκυκλοπαίδεια Κοινωνιολογίας
ποσοστό- - [A.S. Goldberg. Αγγλο-ρωσικό ενεργειακό λεξικό. 2006] Θέματα ενέργειας γενικά EN ratedegreeDdegdrratio ... Οδηγός Τεχνικού Μεταφραστή
ΠΟΣΟΣΤΟ- ισότητα δύο (βλ.), δηλ. a: b = c: d, όπου τα a, b, c, d είναι μέλη της αναλογίας, με τα a και d να είναι ακραία, τα b και c να βρίσκονται στη μέση. Η κύρια ιδιότητα της αναλογίας: το γινόμενο των ακραίων όρων της αναλογίας είναι ίσο με το γινόμενο του μέσου όρου: ad = bс ... Μεγάλη Πολυτεχνική Εγκυκλοπαίδεια
ΚΑΙ; και. [λατ. αναλογία] 1. Μια αναλογική σχέση μεταξύ των μερών. Διατηρήστε όλες τις αρχιτεκτονικές αναλογίες. Ιδανικά μέρη του σώματος. 2. Ορισμένη ποσοτική σχέση μεταξύ κάτι. Σπάστε την αναλογία. Ανάμειξη μούρων με άμμο σε αναλογίες... ... εγκυκλοπαιδικό λεξικό
