Πώς να μετατρέψετε μια τετραγωνική εξίσωση σε γινόμενο. Ποια εξίσωση δεν έχει ρίζες; Παραδείγματα εξισώσεων
Υπενθυμίζουμε ότι η πλήρης τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής:
Η επίλυση πλήρους τετραγωνικών εξισώσεων είναι λίγο πιο περίπλοκη (λίγο λίγο) από αυτές που δίνονται.
Θυμάμαι, οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τη διάκριση!
Έστω και ημιτελής.
Οι υπόλοιπες μέθοδοι θα σας βοηθήσουν να το κάνετε πιο γρήγορα, αλλά αν έχετε προβλήματα με τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις, πρώτα κατακτήστε τη λύση χρησιμοποιώντας το διαχωριστικό.
1. Επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη διάκριση.
Η επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων με αυτόν τον τρόπο είναι πολύ απλή, το κύριο πράγμα είναι να θυμάστε την ακολουθία των ενεργειών και μερικούς τύπους.
Αν, τότε η εξίσωση έχει 2 ρίζες. Δώστε ιδιαίτερη προσοχή στο βήμα 2.
Η διάκριση D μας λέει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης.
- Εάν, τότε ο τύπος στο βήμα θα μειωθεί σε. Έτσι, η εξίσωση θα έχει μόνο μια ρίζα.
- Εάν, τότε δεν θα μπορέσουμε να εξαγάγουμε τη ρίζα του διακριτικού στο βήμα. Αυτό δείχνει ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες.
Ας στραφούμε στη γεωμετρική σημασία της τετραγωνικής εξίσωσης.
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παραβολή:
Ας επιστρέψουμε στις εξισώσεις μας και ας δούμε μερικά παραδείγματα.
Παράδειγμα 9
Λύστε την Εξίσωση
Βήμα 1παραλείπω.
Βήμα 2
Εύρεση του διαχωριστικού:
Άρα η εξίσωση έχει δύο ρίζες.
Βήμα 3
Απάντηση:
Παράδειγμα 10
Λύστε την Εξίσωση
Η εξίσωση είναι σε τυπική μορφή, άρα Βήμα 1παραλείπω.
Βήμα 2
Εύρεση του διαχωριστικού:
Άρα η εξίσωση έχει μία ρίζα.
Απάντηση:
Παράδειγμα 11
Λύστε την Εξίσωση
Η εξίσωση είναι σε τυπική μορφή, άρα Βήμα 1παραλείπω.
Βήμα 2
Εύρεση του διαχωριστικού:
Αυτό σημαίνει ότι δεν θα μπορέσουμε να εξαγάγουμε τη ρίζα από το διακριτικό. Δεν υπάρχουν ρίζες της εξίσωσης.
Τώρα ξέρουμε πώς να γράφουμε σωστά τέτοιες απαντήσεις.
Απάντηση:χωρίς ρίζες
2. Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta
Αν θυμάστε, τότε υπάρχει ένας τέτοιος τύπος εξισώσεων που ονομάζονται μειωμένες (όταν ο συντελεστής a είναι ίσος με):
Τέτοιες εξισώσεις είναι πολύ εύκολο να λυθούν χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta:
Το άθροισμα των ριζών δεδομένοςη τετραγωνική εξίσωση είναι ίση και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο.
Απλά πρέπει να επιλέξετε ένα ζεύγος αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο της εξίσωσης και το άθροισμα είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή, που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο.
Παράδειγμα 12
Λύστε την Εξίσωση
Αυτή η εξίσωση είναι κατάλληλη για λύση χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, επειδή .
Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι, δηλ. παίρνουμε την πρώτη εξίσωση:
Και το προϊόν είναι:
Ας δημιουργήσουμε και λύσουμε το σύστημα:
- και. Το άθροισμα είναι?
- και. Το άθροισμα είναι?
- και. Το ποσό είναι ίσο.
και είναι η λύση του συστήματος:
Απάντηση: ; .
Παράδειγμα 13
Λύστε την Εξίσωση
Απάντηση:
Παράδειγμα 14
Λύστε την Εξίσωση
Η εξίσωση μειώνεται, που σημαίνει:
Απάντηση:
ΤΕΤΑΡΧΙΑΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση;
Με άλλα λόγια, μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής, όπου - άγνωστος, - ορισμένοι αριθμοί, επιπλέον.
Ο αριθμός ονομάζεται υψηλότερος ή πρώτος συντελεστήςτετραγωνική εξίσωση, - δεύτερος συντελεστής, ένα - ελεύθερο μέλος.
Διότι αν, η εξίσωση θα γίνει αμέσως γραμμική, γιατί θα εξαφανιστεί.
Σε αυτή την περίπτωση, και μπορεί να είναι ίσο με μηδέν. Σε αυτή την καρέκλα καλείται εξίσωση ατελής.
Αν όλοι οι όροι είναι στη θέση τους, δηλαδή η εξίσωση - πλήρης.
Μέθοδοι επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων
Αρχικά, θα αναλύσουμε τις μεθόδους επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων - είναι απλούστερες.
Μπορούν να διακριθούν οι ακόλουθοι τύποι εξισώσεων:
I. , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής και ο ελεύθερος όρος είναι ίσοι.
II. , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής είναι ίσος.
III. , σε αυτή την εξίσωση ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με.
Τώρα εξετάστε τη λύση καθενός από αυτούς τους υποτύπους.
Προφανώς, αυτή η εξίσωση έχει πάντα μόνο μία ρίζα:
Ένας αριθμός στο τετράγωνο δεν μπορεί να είναι αρνητικός, γιατί όταν πολλαπλασιάζουμε δύο αρνητικούς ή δύο θετικούς αριθμούς, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα ένας θετικός αριθμός. Να γιατί:
αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις.
αν έχουμε δύο ρίζες
Αυτοί οι τύποι δεν χρειάζεται να απομνημονεύονται. Το κύριο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι ότι δεν μπορεί να είναι λιγότερο.
Παραδείγματα επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων
Παράδειγμα 15
Απάντηση:
Μην ξεχνάτε ποτέ τις ρίζες με αρνητικό πρόσημο!
Παράδειγμα 16
Το τετράγωνο ενός αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητικό, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση
χωρίς ρίζες.
Για να γράψουμε εν συντομία ότι το πρόβλημα δεν έχει λύσεις, χρησιμοποιούμε το εικονίδιο κενού συνόλου.
Απάντηση:
Παράδειγμα 17
Άρα, αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες: και.
Απάντηση:
Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων:
Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν εάν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση έχει λύση όταν:
Άρα, αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ρίζες: και.
Παράδειγμα:
Λύστε την εξίσωση.
Λύση:
Παραγοντοποιούμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης και βρίσκουμε τις ρίζες:
Απάντηση:
Μέθοδοι επίλυσης πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων
1. Διακριτικός
Η επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων με αυτόν τον τρόπο είναι εύκολη, το κύριο πράγμα είναι να θυμάστε την ακολουθία των ενεργειών και μερικούς τύπους. Θυμηθείτε, οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τη διάκριση! Έστω και ημιτελής.
Παρατηρήσατε τη ρίζα του διακριτικού στον τύπο ρίζας;
Αλλά η διάκριση μπορεί να είναι αρνητική.
Τι να κάνω?
Πρέπει να δώσουμε ιδιαίτερη προσοχή στο βήμα 2. Ο διαχωριστής μας λέει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης.
- Αν, τότε η εξίσωση έχει ρίζα:
- Αν, τότε η εξίσωση έχει την ίδια ρίζα, αλλά στην πραγματικότητα, μία ρίζα:
Τέτοιες ρίζες ονομάζονται διπλές ρίζες.
- Αν, τότε δεν εξάγεται η ρίζα του διαχωριστικού. Αυτό δείχνει ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες.
Γιατί υπάρχουν διαφορετικοί αριθμοί ριζών;
Ας στραφούμε στη γεωμετρική σημασία της τετραγωνικής εξίσωσης. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παραβολή:
Σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, η οποία είναι μια τετραγωνική εξίσωση, .
Και αυτό σημαίνει ότι οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης είναι τα σημεία τομής με τον άξονα x (άξονα).
Η παραβολή μπορεί να μην διασχίζει καθόλου τον άξονα ή μπορεί να τον τέμνει σε ένα (όταν η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στον άξονα) ή σε δύο σημεία.
Επιπλέον, ο συντελεστής είναι υπεύθυνος για την κατεύθυνση των κλάδων της παραβολής. Αν, τότε τα κλαδιά της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω, και αν - τότε προς τα κάτω.
4 παραδείγματα επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων
Παράδειγμα 18
Απάντηση:
Παράδειγμα 19
Απάντηση: .
Παράδειγμα 20
Απάντηση:
Παράδειγμα 21
Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις.
Απάντηση: .
2. Θεώρημα Vieta
Η χρήση του θεωρήματος του Vieta είναι πολύ εύκολη.
Το μόνο που χρειάζεσαι είναι μαζεύωένα τέτοιο ζεύγος αριθμών, το γινόμενο του οποίου είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο της εξίσωσης και το άθροισμα είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή, που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο.
Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι το θεώρημα του Vieta μπορεί να εφαρμοστεί μόνο σε δεδομένες τετραγωνικές εξισώσεις ().
Ας δούμε μερικά παραδείγματα:
Παράδειγμα 22
Λύστε την εξίσωση.
Λύση:
Αυτή η εξίσωση είναι κατάλληλη για λύση χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, επειδή . Άλλοι συντελεστές: ; .
Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι:
Και το προϊόν είναι:
Ας επιλέξουμε τέτοια ζεύγη αριθμών, το γινόμενο των οποίων είναι ίσο, και ας ελέγξουμε αν το άθροισμά τους είναι ίσο:
- και. Το άθροισμα είναι?
- και. Το άθροισμα είναι?
- και. Το ποσό είναι ίσο.
και είναι η λύση του συστήματος:
Έτσι, και είναι οι ρίζες της εξίσωσής μας.
Απάντηση: ; .
Παράδειγμα 23
Λύση:
Επιλέγουμε τέτοια ζεύγη αριθμών που δίνουν στο γινόμενο και μετά ελέγχουμε αν το άθροισμά τους είναι ίσο:
και: δίνω συνολικά.
και: δίνω συνολικά. Για να το αποκτήσετε, απλά πρέπει να αλλάξετε τα σημάδια των υποτιθέμενων ριζών: και, τελικά, το έργο.
Απάντηση:
Παράδειγμα 24
Λύση:
Ο ελεύθερος όρος της εξίσωσης είναι αρνητικός και επομένως το γινόμενο των ριζών είναι αρνητικός αριθμός. Αυτό είναι δυνατό μόνο εάν η μία από τις ρίζες είναι αρνητική και η άλλη θετική. Άρα το άθροισμα των ριζών είναι διαφορές των ενοτήτων τους.
Επιλέγουμε τέτοια ζεύγη αριθμών που δίνουν στο γινόμενο και η διαφορά των οποίων είναι ίση με:
και: η διαφορά τους είναι - δεν είναι κατάλληλη.
και: - ακατάλληλο.
και: - ακατάλληλο.
και: - κατάλληλο. Μένει μόνο να θυμόμαστε ότι μία από τις ρίζες είναι αρνητική. Εφόσον το άθροισμά τους πρέπει να είναι ίσο, τότε η ρίζα, που είναι μικρότερη σε απόλυτη τιμή, πρέπει να είναι αρνητική: . Ελέγχουμε:
Απάντηση:
Παράδειγμα 25
Λύστε την εξίσωση.
Λύση:
Η εξίσωση μειώνεται, που σημαίνει:
Ο ελεύθερος όρος είναι αρνητικός και επομένως το γινόμενο των ριζών είναι αρνητικό. Και αυτό είναι δυνατό μόνο όταν η μία ρίζα της εξίσωσης είναι αρνητική και η άλλη θετική.
Επιλέγουμε τέτοια ζεύγη αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο και, στη συνέχεια, προσδιορίζουμε ποιες ρίζες πρέπει να έχουν αρνητικό πρόσημο:
Προφανώς, μόνο ρίζες και είναι κατάλληλα για την πρώτη συνθήκη:
Απάντηση:
Παράδειγμα 26
Λύστε την εξίσωση.
Λύση:
Η εξίσωση μειώνεται, που σημαίνει:
Το άθροισμα των ριζών είναι αρνητικό, που σημαίνει ότι τουλάχιστον μία από τις ρίζες είναι αρνητική. Αλλά επειδή το προϊόν τους είναι θετικό, σημαίνει ότι και οι δύο ρίζες είναι μείον.
Επιλέγουμε τέτοια ζεύγη αριθμών, το γινόμενο των οποίων είναι ίσο με:
Προφανώς, οι ρίζες είναι οι αριθμοί και.
Απάντηση:
Συμφωνώ, είναι πολύ βολικό - να εφεύρουμε ρίζες από το στόμα, αντί να μετράμε αυτό το δυσάρεστο διαχωριστικό.
Προσπαθήστε να χρησιμοποιείτε το θεώρημα του Vieta όσο πιο συχνά γίνεται!
Αλλά το θεώρημα Vieta είναι απαραίτητο για να διευκολυνθεί και να επιταχυνθεί η εύρεση των ριζών.
Για να είναι επικερδής η χρήση του, πρέπει να φέρετε τις ενέργειες στον αυτοματισμό. Και για αυτό, λύστε πέντε ακόμη παραδείγματα.
Αλλά μην εξαπατήσετε: δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το διακριτικό! Μόνο το θεώρημα του Βιέτα!
5 παραδείγματα του θεωρήματος του Βιέτα για αυτοδιδασκαλία
Παράδειγμα 27
Εργασία 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta:
Ως συνήθως, ξεκινάμε την επιλογή με το προϊόν:
Ακατάλληλο γιατί το ποσό?
: το ποσό είναι αυτό που χρειάζεστε.
Απάντηση: ; .
Παράδειγμα 28
Εργασία 2.
Και πάλι, το αγαπημένο μας θεώρημα Vieta: το άθροισμα πρέπει να λειτουργεί, αλλά το γινόμενο είναι ίσο.
Επειδή όμως δεν έπρεπε, αλλά, αλλάζουμε τα σημάδια των ριζών: και (συνολικά).
Απάντηση: ; .
Παράδειγμα 29
Εργασία 3.
Χμ... Πού είναι;
Είναι απαραίτητο να μεταφέρετε όλους τους όρους σε ένα μέρος:
Το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με το γινόμενο.
Ναι, σταματήστε! Η εξίσωση δεν δίνεται.
Αλλά το θεώρημα του Vieta είναι εφαρμόσιμο μόνο στις δεδομένες εξισώσεις.
Άρα πρώτα πρέπει να φέρεις την εξίσωση.
Εάν δεν μπορείτε να το αναφέρετε, αφήστε αυτήν την ιδέα και λύστε τη με άλλο τρόπο (για παράδειγμα, μέσω του διακριτικού).
Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι για να φέρετε μια τετραγωνική εξίσωση σημαίνει να κάνετε τον συντελεστή που οδηγεί ίσο με:
Τότε το άθροισμα των ριζών είναι ίσο και το γινόμενο.
Είναι πιο εύκολο να το μαζέψεις εδώ: τελικά - έναν πρώτο αριθμό (συγγνώμη για την ταυτολογία).
Απάντηση: ; .
Παράδειγμα 30
Εργασία 4.
Ο ελεύθερος όρος είναι αρνητικός.
Τι το ιδιαίτερο έχει;
Και το γεγονός ότι οι ρίζες θα είναι διαφορετικών ζωδίων.
Και τώρα, κατά την επιλογή, δεν ελέγχουμε το άθροισμα των ριζών, αλλά τη διαφορά μεταξύ των ενοτήτων τους: αυτή η διαφορά είναι ίση, αλλά το γινόμενο.
Έτσι, οι ρίζες είναι ίσες και, αλλά μία από αυτές είναι με ένα μείον.
Το θεώρημα του Βιέτα μας λέει ότι το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή με το αντίθετο πρόσημο, δηλαδή.
Αυτό σημαίνει ότι η μικρότερη ρίζα θα έχει ένα μείον: και, δεδομένου ότι.
Απάντηση: ; .
Παράδειγμα 31
Εργασία 5.
Τι πρέπει να γίνει πρώτα;
Σωστά, δώστε την εξίσωση:
Και πάλι: επιλέγουμε τους παράγοντες του αριθμού και η διαφορά τους πρέπει να είναι ίση με:
Οι ρίζες είναι ίσες και, αλλά μία από αυτές είναι μείον. Οι οποίες? Το άθροισμά τους πρέπει να είναι ίσο, πράγμα που σημαίνει ότι με ένα μείον θα υπάρχει μεγαλύτερη ρίζα.
Απάντηση: ; .
Συνοψίζω
- Το θεώρημα του Vieta χρησιμοποιείται μόνο στις δεδομένες τετραγωνικές εξισώσεις.
- Χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta, μπορείτε να βρείτε τις ρίζες με επιλογή, προφορικά.
- Εάν η εξίσωση δεν δίνεται ή δεν βρέθηκε κατάλληλο ζεύγος παραγόντων του ελεύθερου όρου, τότε δεν υπάρχουν ακέραιες ρίζες και πρέπει να το λύσετε με άλλο τρόπο (για παράδειγμα, μέσω του διαχωριστή).
3. Μέθοδος επιλογής πλήρους τετραγώνου
Εάν όλοι οι όροι που περιέχουν το άγνωστο αντιπροσωπεύονται ως όροι από τους τύπους του συντετμημένου πολλαπλασιασμού - το τετράγωνο του αθροίσματος ή της διαφοράς - τότε μετά την αλλαγή των μεταβλητών είναι δυνατό να αναπαρασταθεί η εξίσωση με τη μορφή μιας ατελούς τετραγωνικής εξίσωσης του τύπου .
Για παράδειγμα:
Παράδειγμα 32
Λύστε την εξίσωση: .
Λύση:
Απάντηση:
Παράδειγμα 33
Λύστε την εξίσωση: .
Λύση:
Απάντηση:
Σε γενικές γραμμές, ο μετασχηματισμός θα μοιάζει με αυτό:
Αυτό υπονοεί: .
Δεν σου θυμίζει τίποτα;
Είναι η διάκριση! Έτσι ακριβώς προέκυψε ο τύπος διάκρισης.
ΤΕΤΑΡΧΙΑΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΚΥΡΙΟ
Τετραγωνική εξίσωσηείναι μια εξίσωση της μορφής, όπου είναι το άγνωστο, είναι οι συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, είναι ο ελεύθερος όρος.
Πλήρης τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία οι συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν.
Μειωμένη τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία ο συντελεστής, δηλαδή: .
Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία ο συντελεστής και ή ο ελεύθερος όρος c είναι ίσοι με μηδέν:
- αν ο συντελεστής, η εξίσωση έχει τη μορφή: ,
- αν είναι ελεύθερος όρος, η εξίσωση έχει τη μορφή:
- αν και, η εξίσωση έχει τη μορφή: .
1. Αλγόριθμος επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων
1.1. Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής, όπου, :
1) Εκφράστε το άγνωστο:
2) Ελέγξτε το πρόσημο της έκφρασης:
- αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις,
- αν, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες.
1.2. Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής, όπου, :
1) Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων: ,
2) Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν εάν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Επομένως, η εξίσωση έχει δύο ρίζες:
1.3. Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής, όπου:
Αυτή η εξίσωση έχει πάντα μόνο μία ρίζα: .
2. Αλγόριθμος επίλυσης πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων της μορφής όπου
2.1. Λύση με χρήση του διαχωριστικού
1) Ας φέρουμε την εξίσωση στην τυπική μορφή: ,
2) Υπολογίστε τη διάκριση χρησιμοποιώντας τον τύπο: , που δείχνει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης:
3) Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης:
- αν, τότε η εξίσωση έχει μια ρίζα, η οποία βρίσκεται από τον τύπο:
- αν, τότε η εξίσωση έχει μια ρίζα, η οποία βρίσκεται από τον τύπο:
- αν, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες.
2.2. Λύση χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta
Το άθροισμα των ριζών της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης (μια εξίσωση της μορφής, όπου) είναι ίσο, και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο, δηλ. , ένα.
2.3. Λύση πλήρους τετραγώνου
Ξεχωριστή θέση κατέχει η λύση των εξισώσεων στα μαθηματικά. Αυτή η διαδικασία προηγείται από πολλές ώρες μελέτης της θεωρίας, κατά τη διάρκεια των οποίων ο μαθητής μαθαίνει πώς να λύνει εξισώσεις, να καθορίζει τη μορφή τους και να φέρνει τη δεξιότητα σε πλήρη αυτοματισμό. Ωστόσο, η αναζήτηση ριζών δεν έχει πάντα νόημα, αφού μπορεί απλώς να μην υπάρχουν. Υπάρχουν ειδικές μέθοδοι για την εύρεση ριζών. Σε αυτό το άρθρο, θα αναλύσουμε τις κύριες συναρτήσεις, τους τομείς ορισμού τους, καθώς και τις περιπτώσεις που απουσιάζουν οι ρίζες τους.
Ποια εξίσωση δεν έχει ρίζες;
Μια εξίσωση δεν έχει ρίζες εάν δεν υπάρχουν πραγματικά ορίσματα x για τα οποία η εξίσωση είναι πανομοιότυπη αληθής. Για έναν μη ειδικό, αυτή η διατύπωση, όπως τα περισσότερα μαθηματικά θεωρήματα και τύποι, φαίνεται πολύ ασαφής και αφηρημένη, αλλά αυτό είναι στη θεωρία. Στην πράξη, όλα γίνονται εξαιρετικά απλά. Για παράδειγμα: η εξίσωση 0 * x = -53 δεν έχει λύση, αφού δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός x, το γινόμενο του οποίου με το μηδέν θα έδινε κάτι άλλο από το μηδέν.
Τώρα θα δούμε τους πιο βασικούς τύπους εξισώσεων.
1. Γραμμική εξίσωση
Μια εξίσωση ονομάζεται γραμμική αν το δεξί και το αριστερό μέρος της παρουσιάζονται ως γραμμικές συναρτήσεις: ax + b = cx + d ή σε γενικευμένη μορφή kx + b = 0. Όπου a, b, c, d είναι γνωστοί αριθμοί και το x είναι an άγνωστη τιμή. Ποια εξίσωση δεν έχει ρίζες; Παραδείγματα γραμμικών εξισώσεων φαίνονται στην παρακάτω εικόνα.
Βασικά, οι γραμμικές εξισώσεις λύνονται μεταφέροντας απλώς το αριθμητικό μέρος στο ένα μέρος και τα περιεχόμενα του x στο άλλο. Αποδεικνύεται μια εξίσωση της μορφής mx \u003d n, όπου m και n είναι αριθμοί και x είναι ένας άγνωστος. Για να βρείτε το x, αρκεί να διαιρέσετε και τα δύο μέρη με m. Τότε x = n/m. Βασικά, οι γραμμικές εξισώσεις έχουν μόνο μία ρίζα, αλλά υπάρχουν περιπτώσεις που υπάρχουν είτε άπειρες ρίζες είτε καθόλου. Όταν m = 0 και n = 0, η εξίσωση παίρνει τη μορφή 0 * x = 0. Απολύτως οποιοσδήποτε αριθμός θα είναι η λύση σε μια τέτοια εξίσωση.
Ποια εξίσωση όμως δεν έχει ρίζες;
Για m = 0 και n = 0, η εξίσωση δεν έχει ρίζες από το σύνολο των πραγματικών αριθμών. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - αυτές οι εξισώσεις δεν έχουν ρίζες.
2. Τετραγωνική εξίσωση
Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής ax 2 + bx + c \u003d 0 για ένα \u003d 0. Η πιο κοινή είναι η λύση μέσω του διαχωριστή. Ο τύπος για την εύρεση της διάκρισης μιας τετραγωνικής εξίσωσης: D \u003d b 2 - 4 * a * c. Στη συνέχεια, υπάρχουν δύο ρίζες x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.
Για D > 0, η εξίσωση έχει δύο ρίζες, για D = 0, έχει μία ρίζα. Αλλά ποια τετραγωνική εξίσωση δεν έχει ρίζες; Ο ευκολότερος τρόπος για να παρατηρήσουμε τον αριθμό των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι στο γράφημα μιας συνάρτησης, η οποία είναι παραβολή. Για a > 0, οι κλάδοι κατευθύνονται προς τα πάνω, για a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.
Μπορείτε επίσης να προσδιορίσετε οπτικά τον αριθμό των ριζών χωρίς να υπολογίσετε το διαχωριστικό. Για να γίνει αυτό, πρέπει να βρείτε την κορυφή της παραβολής και να προσδιορίσετε προς ποια κατεύθυνση κατευθύνονται τα κλαδιά. Μπορείτε να προσδιορίσετε τη συντεταγμένη x της κορυφής με τον τύπο: x 0 \u003d -b / 2a. Σε αυτή την περίπτωση, η συντεταγμένη y της κορυφής βρίσκεται αντικαθιστώντας απλώς την τιμή x0 στην αρχική εξίσωση.
Η τετραγωνική εξίσωση x 2 - 8x + 72 = 0 δεν έχει ρίζες, αφού έχει αρνητική διάκριση D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Αυτό σημαίνει ότι η παραβολή δεν αγγίζει τον άξονα x και η συνάρτηση δεν παίρνει ποτέ την τιμή 0, επομένως η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.
3. Τριγωνομετρικές εξισώσεις
Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις θεωρούνται σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο, αλλά μπορούν επίσης να αναπαρασταθούν σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε δύο βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τις εξισώσεις τους: sinx και cosx. Επειδή αυτές οι συναρτήσεις σχηματίζουν έναν τριγωνομετρικό κύκλο με ακτίνα 1, |sinx| και |cosx| δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από 1. Άρα ποια εξίσωση sinx δεν έχει ρίζες; Εξετάστε το γράφημα συνάρτησης sinx που φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.
Βλέπουμε ότι η συνάρτηση είναι συμμετρική και έχει περίοδο επανάληψης 2pi. Με βάση αυτό, μπορούμε να πούμε ότι η μέγιστη τιμή αυτής της συνάρτησης μπορεί να είναι 1 και η ελάχιστη -1. Για παράδειγμα, η έκφραση cosx = 5 δεν θα έχει ρίζες, αφού είναι μεγαλύτερη από μία σε απόλυτη τιμή.
Αυτό είναι το απλούστερο παράδειγμα τριγωνομετρικών εξισώσεων. Στην πραγματικότητα, η λύση τους μπορεί να πάρει πολλές σελίδες, στο τέλος των οποίων συνειδητοποιείς ότι χρησιμοποιήσατε λάθος τύπο και πρέπει να ξεκινήσετε από την αρχή. Μερικές φορές, ακόμη και με τη σωστή εύρεση των ριζών, μπορείτε να ξεχάσετε να λάβετε υπόψη τους περιορισμούς στο ODZ, γι 'αυτό εμφανίζεται μια επιπλέον ρίζα ή ένα διάστημα στην απάντηση και ολόκληρη η απάντηση μετατρέπεται σε λανθασμένη. Επομένως, ακολουθήστε αυστηρά όλους τους περιορισμούς, επειδή δεν ταιριάζουν όλες οι ρίζες στο πεδίο εφαρμογής της εργασίας.
4. Συστήματα εξισώσεων
Ένα σύστημα εξισώσεων είναι ένα σύνολο εξισώσεων σε συνδυασμό με σγουρές ή τετράγωνες αγκύλες. Τα σγουρά τιράντες υποδηλώνουν την από κοινού εκτέλεση όλων των εξισώσεων. Δηλαδή, αν τουλάχιστον μία από τις εξισώσεις δεν έχει ρίζες ή έρχεται σε αντίθεση με την άλλη, ολόκληρο το σύστημα δεν έχει λύση. Οι αγκύλες δηλώνουν τη λέξη "ή". Αυτό σημαίνει ότι αν τουλάχιστον μία από τις εξισώσεις του συστήματος έχει λύση, τότε ολόκληρο το σύστημα έχει λύση.
Η απάντηση του συστήματος γ είναι το σύνολο όλων των ριζών των επιμέρους εξισώσεων. Και τα συστήματα με σγουρά τιράντες έχουν μόνο κοινές ρίζες. Τα συστήματα εξισώσεων μπορούν να περιλαμβάνουν εντελώς διαφορετικές συναρτήσεις, επομένως αυτή η πολυπλοκότητα δεν σας επιτρέπει να πείτε αμέσως ποια εξίσωση δεν έχει ρίζες.
Σε προβληματικά βιβλία και σχολικά βιβλία, υπάρχουν διαφορετικοί τύποι εξισώσεων: αυτές που έχουν ρίζες και αυτές που δεν έχουν. Καταρχήν, αν δεν μπορείτε να βρείτε ρίζες, μην νομίζετε ότι δεν υπάρχουν καθόλου. Ίσως έχετε κάνει κάπου λάθος, τότε αρκεί να ελέγξετε προσεκτικά την απόφασή σας.
Εξετάσαμε τις πιο βασικές εξισώσεις και τους τύπους τους. Τώρα μπορείτε να πείτε ποια εξίσωση δεν έχει ρίζες. Στις περισσότερες περιπτώσεις, αυτό δεν είναι καθόλου δύσκολο να γίνει. Για να επιτευχθεί επιτυχία στην επίλυση εξισώσεων, απαιτείται μόνο προσοχή και συγκέντρωση. Εξασκηθείτε περισσότερο, θα σας βοηθήσει να πλοηγηθείτε στο υλικό πολύ καλύτερα και πιο γρήγορα.
Άρα, η εξίσωση δεν έχει ρίζες αν:
- στη γραμμική εξίσωση mx = n, η τιμή m = 0 και n = 0;
- σε μια τετραγωνική εξίσωση εάν η διάκριση είναι μικρότερη από το μηδέν.
- σε τριγωνομετρική εξίσωση της μορφής cosx = m / sinx = n, αν |m| > 0, |n| > 0;
- σε ένα σύστημα εξισώσεων με σγουρές αγκύλες, εάν τουλάχιστον μία εξίσωση δεν έχει ρίζες, και με αγκύλες, εάν όλες οι εξισώσεις δεν έχουν ρίζες.
Ελπίζω ότι αφού μελετήσετε αυτό το άρθρο, θα μάθετε πώς να βρείτε τις ρίζες μιας πλήρους τετραγωνικής εξίσωσης.
Με τη βοήθεια της διάκρισης λύνονται μόνο πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις· για την επίλυση ημιτελών δευτεροβάθμιων εξισώσεων χρησιμοποιούνται άλλες μέθοδοι, τις οποίες θα βρείτε στο άρθρο «Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων».
Ποιες τετραγωνικές εξισώσεις ονομάζονται πλήρεις; το εξισώσεις της μορφής ax 2 + b x + c = 0, όπου οι συντελεστές a, b και c δεν είναι ίσοι με μηδέν. Έτσι, για να λύσετε την πλήρη τετραγωνική εξίσωση, πρέπει να υπολογίσετε τη διάκριση D.
D \u003d b 2 - 4ac.
Ανάλογα με την αξία που έχει το διακριτικό, θα γράψουμε την απάντηση.
Εάν η διάκριση είναι αρνητικός αριθμός (Δ< 0),то корней нет.
Εάν η διάκριση είναι μηδέν, τότε x \u003d (-b) / 2a. Όταν η διάκριση είναι θετικός αριθμός (D > 0),
τότε x 1 = (-b - √D)/2a, και x 2 = (-b + √D)/2a.
Για παράδειγμα. λύσει την εξίσωση x 2– 4x + 4= 0.
D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0
x = (- (-4))/2 = 2
Απάντηση: 2.
Λύστε την εξίσωση 2 x 2 + x + 3 = 0.
D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23
Απάντηση: χωρίς ρίζες.
Λύστε την εξίσωση 2 x 2 + 5x - 7 = 0.
D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81
x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5
x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1
Απάντηση: - 3,5; ένας.
Ας φανταστούμε λοιπόν τη λύση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων με το σχήμα του σχήματος 1.
Αυτοί οι τύποι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση οποιασδήποτε πλήρους τετραγωνικής εξίσωσης. Απλά πρέπει να προσέξεις η εξίσωση γράφτηκε ως πολυώνυμο τυπικής μορφής
ένα x 2 + bx + c,αλλιώς μπορείς να κάνεις λάθος. Για παράδειγμα, γράφοντας την εξίσωση x + 3 + 2x 2 = 0, μπορείτε κατά λάθος να αποφασίσετε ότι
a = 1, b = 3 και c = 2. Τότε
D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 και τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Και αυτό δεν είναι αλήθεια. (Βλ. παράδειγμα 2 λύση παραπάνω).
Επομένως, εάν η εξίσωση δεν γραφτεί ως πολυώνυμο της τυπικής μορφής, πρώτα η πλήρης τετραγωνική εξίσωση πρέπει να γραφτεί ως πολυώνυμο της τυπικής μορφής (το μονώνυμο με τον μεγαλύτερο εκθέτη θα πρέπει να είναι στην πρώτη θέση, δηλαδή ένα x 2 , μετά με λιγότερα – bx, και μετά ο ελεύθερος όρος Με.
Κατά την επίλυση της παραπάνω τετραγωνικής εξίσωσης και της δευτεροβάθμιας εξίσωσης με άρτιο συντελεστή για τον δεύτερο όρο, μπορούν να χρησιμοποιηθούν και άλλοι τύποι. Ας εξοικειωθούμε με αυτούς τους τύπους. Εάν στην πλήρη τετραγωνική εξίσωση με τον δεύτερο όρο ο συντελεστής είναι άρτιος (b = 2k), τότε η εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τους τύπους που φαίνονται στο διάγραμμα του σχήματος 2.
Μια πλήρης τετραγωνική εξίσωση ονομάζεται ανηγμένη αν ο συντελεστής στο x 2 ισούται με μονάδα και η εξίσωση παίρνει τη μορφή x 2 + px + q = 0. Μια τέτοια εξίσωση μπορεί να δοθεί για επίλυση ή να ληφθεί διαιρώντας όλους τους συντελεστές της εξίσωσης με τον συντελεστή έναστέκεται στο x 2 .
Το σχήμα 3 δείχνει ένα διάγραμμα της λύσης του μειωμένου τετραγώνου 
εξισώσεις. Εξετάστε το παράδειγμα της εφαρμογής των τύπων που συζητούνται σε αυτό το άρθρο.
Παράδειγμα. λύσει την εξίσωση
3x 2 + 6x - 6 = 0.
Ας λύσουμε αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιώντας τους τύπους που φαίνονται στο σχήμα 1.
D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3
x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3
Απάντηση: -1 - √3; –1 + √3
Μπορείτε να δείτε ότι ο συντελεστής στο x σε αυτήν την εξίσωση είναι ένας ζυγός αριθμός, δηλαδή b \u003d 6 ή b \u003d 2k, από όπου k \u003d 3. Στη συνέχεια, ας προσπαθήσουμε να λύσουμε την εξίσωση χρησιμοποιώντας τους τύπους που φαίνονται στο διάγραμμα D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3
Απάντηση: -1 - √3; –1 + √3. Παρατηρώντας ότι όλοι οι συντελεστές σε αυτή την τετραγωνική εξίσωση διαιρούνται με το 3 και διαιρώντας, παίρνουμε τη μειωμένη τετραγωνική εξίσωση x 2 + 2x - 2 = 0 Λύνουμε αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιώντας τους τύπους για το ανηγμένο τετραγωνικό 
εξισώσεις σχήμα 3.
D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3
Απάντηση: -1 - √3; –1 + √3.
Όπως μπορείτε να δείτε, όταν λύναμε αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιώντας διαφορετικούς τύπους, πήραμε την ίδια απάντηση. Επομένως, έχοντας κατακτήσει καλά τους τύπους που φαίνονται στο διάγραμμα του Σχήματος 1, μπορείτε πάντα να λύσετε οποιαδήποτε πλήρη τετραγωνική εξίσωση.
site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.
Η γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης είναι παραβολή. Οι λύσεις (ρίζες) μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα της τετμημένης. Εάν η παραβολή που περιγράφεται από την τετραγωνική συνάρτηση δεν τέμνει τον άξονα x, η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες. Εάν η παραβολή τέμνει τον άξονα x σε ένα σημείο (την κορυφή της παραβολής), η εξίσωση έχει μία πραγματική ρίζα (η εξίσωση λέγεται επίσης ότι έχει δύο ρίζες που συμπίπτουν). Αν η παραβολή τέμνει τον άξονα x σε δύο σημεία, η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες.
Αν ο συντελεστής έναΕάν είναι θετικό, οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω, εάν είναι αρνητικός, οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα κάτω. Εάν ο συντελεστής b είναι θετικός, τότε η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στο αριστερό ημιεπίπεδο, εάν είναι αρνητική - στο δεξιό μισό επίπεδο.
Παραγωγή τύπου για την επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης
Ο τύπος για την επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης μπορεί να ληφθεί ως εξής
ένα x 2 + σι x + ντο = 0ένα x 2 + σι x=- ντο
Πολλαπλασιάστε την εξίσωση με το 4 ένα
4ένα 2 x 2 + 4 αβ x=-4 μετα Χριστον
4ένα 2 x 2 + 4 αβ x + σι 2 = -4μετα Χριστον + σι 2
(2ένα x + σι) 2 = σι 2 -4μετα Χριστον
2ένα x + σι= ±$\sqrt(b^2-4 a c)$
Εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης
Μια τετραγωνική εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές μπορεί να έχει από 0 έως 2 πραγματικές ρίζες, ανάλογα με την τιμή της διακρίνουσας D = σι 2 − 4μετα Χριστον:
- για D > 0 υπάρχουν δύο ρίζες και υπολογίζονται με τον τύπο
- για D = 0, υπάρχει μία ρίζα (δύο ίσες ή συμπίπτουσες ρίζες), πολλαπλότητα 2:
Μόλις. Σύμφωνα με τύπους και σαφείς απλούς κανόνες. Στο πρώτο στάδιο
είναι απαραίτητο να φέρουμε τη δεδομένη εξίσωση στην τυπική μορφή, δηλ. στη θέα:
Εάν η εξίσωση σας έχει ήδη δοθεί σε αυτή τη μορφή, δεν χρειάζεται να κάνετε το πρώτο στάδιο. Το πιο σημαντικό είναι σωστό
καθορίσει όλους τους συντελεστές ένα, σικαι ντο.
Τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης.
Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται διακριτική . Όπως μπορείτε να δείτε, για να βρούμε το x, εμείς
χρήση μόνο τα α, β και γ. Εκείνοι. πιθανότητες από τετραγωνική εξίσωση. Απλά εισάγετε προσεκτικά
αξίες α, β και γσε αυτόν τον τύπο και μετρήστε. Αντικατάσταση με δικα τουςσημάδια!
Για παράδειγμα, στην εξίσωση:
ένα =1; σι = 3; ντο = -4.
Αντικαταστήστε τις τιμές και γράψτε:
Παράδειγμα σχεδόν λυμένο:
Αυτή είναι η απάντηση.
Τα πιο συνηθισμένα λάθη είναι η σύγχυση με τα σημάδια των αξιών α, βκαι Με. Μάλλον με αντικατάσταση
αρνητικές τιμές στον τύπο για τον υπολογισμό των ριζών. Εδώ ο αναλυτικός τύπος αποθηκεύει
με συγκεκριμένους αριθμούς. Αν υπάρχουν προβλήματα με τους υπολογισμούς, κάντε το!
Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να λύσουμε το ακόλουθο παράδειγμα:
Εδώ ένα = -6; σι = -5; ντο = -1
Ζωγραφίζουμε τα πάντα με λεπτομέρεια, προσεκτικά, χωρίς να λείπει τίποτα με όλα τα σημάδια και τις αγκύλες:
Συχνά οι τετραγωνικές εξισώσεις φαίνονται ελαφρώς διαφορετικές. Για παράδειγμα, όπως αυτό:
Τώρα σημειώστε τις πρακτικές τεχνικές που μειώνουν δραματικά τον αριθμό των σφαλμάτων.
Πρώτη υποδοχή. Μην είσαι τεμπέλης πριν επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσηςφέρτε το σε τυπική μορφή.
Τι σημαίνει αυτό?
Ας υποθέσουμε ότι, μετά από οποιουσδήποτε μετασχηματισμούς, λαμβάνετε την ακόλουθη εξίσωση:
Μη βιαστείτε να γράψετε τη φόρμουλα των ριζών! Σχεδόν σίγουρα θα μπερδέψετε τις πιθανότητες α, β και γ.
Χτίστε το παράδειγμα σωστά. Πρώτα, x τετράγωνο, μετά χωρίς τετράγωνο, μετά ελεύθερο μέλος. Σαν αυτό:
Απαλλαγείτε από το μείον. Πως? Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:
Και τώρα μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια τον τύπο για τις ρίζες, να υπολογίσετε τη διάκριση και να ολοκληρώσετε το παράδειγμα.
Αποφασίστε μόνοι σας. Θα πρέπει να καταλήξετε με τις ρίζες 2 και -1.
Δεύτερη υποδοχή.Ελέγξτε τις ρίζες σας! Με Θεώρημα Vieta.
Για να λύσετε τις δεδομένες δευτεροβάθμιες εξισώσεις, δηλ. αν ο συντελεστής
x2+bx+c=0,
έπειταx 1 x 2 =c
x1 +x2 =−σι
Για μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση στην οποία a≠1:
x 2 +σιx+ντο=0,
διαιρέστε ολόκληρη την εξίσωση με ένα:
→ 
→
όπου x 1και Χ 2 - ρίζες της εξίσωσης.
Τρίτη υποδοχή. Εάν η εξίσωσή σας έχει κλασματικούς συντελεστές, απαλλαγείτε από τα κλάσματα! Πολλαπλασιάζω
εξίσωση για έναν κοινό παρονομαστή.
Συμπέρασμα. Πρακτικές συμβουλές:
1. Πριν λύσουμε, φέρνουμε την τετραγωνική εξίσωση στην τυπική φόρμα, την κατασκευάζουμε σωστά.
2. Αν υπάρχει αρνητικός συντελεστής μπροστά από το x στο τετράγωνο, τον εξαλείφουμε πολλαπλασιάζοντας τα πάντα
εξισώσεις για -1.
3. Αν οι συντελεστές είναι κλασματικοί, εξαλείφουμε τα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με την αντίστοιχη
παράγοντας.
4. Εάν το x τετράγωνο είναι καθαρό, ο συντελεστής για αυτό είναι ίσος με ένα, η λύση μπορεί εύκολα να ελεγχθεί με
